立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)
空间角(异面直线所成角,线面角,二面角)
第四讲 空间角（异面直线所成角线面角二面角）A 组题一、选择题1.下面正确的序号是①两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.②直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角. ③两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.④两异面直线夹角的范围是(00,90⎤⎦，直线与平面所成角的范围是0090⎡⎤⎣⎦，，二面角的范围是[0，1800] ( ).A.①B.②C.③D.④【答案】D【解析】对于①，因为两异面直线夹角的范围是(00,90⎤⎦，而两直线的方向向量所成的角可能为钝角. 所以①错. 对于②，直线的方向向量和平面的法向量所成的角是直线与平面所成的角或其补角. 所以②错.对于③，两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角是这两个平面所成的角或其补角. 所以③错. 故选D .2.如图，在正方体ABCD －A′B′C′D′中，AB 的中点为M ，DD′的中点为N ，则异面直线B′M 与C N 所成的角是( ). A.90° B.75° C.60° D.45°【答案】A【解析】取AA′的中点Q ，连接QN ，B Q ，且B Q 与B′M 相交于点H ，则QN 綉AD 綉BC ，从而有四边形NQ BC 为平行四边形，所以N C ∥Q B ，则有∠B′H B 为异面直线B′M 与C N 所成的角. 又∵B′B ＝BA ，∠B′B M ＝∠BA Q ＝90°，B M ＝A Q ，∴△B′B M ≌△BA Q ， ∴∠M B′B ＝∠Q B M .而∠B′M B ＋∠M B′B ＝90°，从而∠B′M B ＋∠Q B M ＝90°，∴∠MH B ＝90°.故选A. 3.如图，在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△P AB 和△P AD 都是等边三角形，则异面直线CD 与P B 所成角的大小为( ) A.90° B.75° C.60° D.45°【答案】 A【解析】如图，过点B 作直线B E ∥CD ，交DA 的延长线于点E ，连接PE .∴∠P B E (或其补角)是异面直线CD 与P B 所成角.∵△P AB 和△P AD 都是等边三角形，∴∠P AD ＝60°，DA ＝P A ＝AB＝P B ＝A E ，∴∠P A E ＝120°.设P A ＝AB ＝P B ＝A E ＝a ，则PE .又∠ABC ＝∠BAD ＝90°，∴∠BA E ＝90°，∴B E a ，∴在△P B E 中，P B 2＋B E 2＝PE 2，∴∠P B E ＝90°.即异面直线CD 与P B 所成角为90°.故选A.4.已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线B E 与CD 1所成角的余弦值为( )B.15 D.35【答案】C【解析】如图，连接BA 1,因为BA 1∥CD 1，所以∠E B A 1是异面直线B E 与CD 1所成角，设AB ＝1,则111,EB A E A B ===,作EF ⊥BA 1, 11A E AB EF A B ⋅==FB =∠E B A 1.选C.5. 如图，三棱锥P —ABC 中， P C ⊥平面ABC ，P C ＝AC ＝2，AB ＝BC ，D 是P B 上一点，且CD ⊥平面P AB, 则异面直线A P 与BC 所成角的大小； A.90°B. 60°C. 75°D.45°【答案】B【解法】∵P C ⊥平面ABC ，⊂A B 平面ABC ， ∴P C ⊥AB ．∵CD ⊥平面P AB ，⊂A B 平面P AB ， ∴CD ⊥AB ．又C CD PC = ， ∴AB ⊥平面P CB ．过点A 作A F //BC ，且A F ＝BC ，连结PF ，C F ． 则 PAF ∠为异面直线P A 与BC 所成的角．由（Ⅰ）可得AB ⊥BC ，∴C F ⊥A F ，得PF ⊥A F ．则A F ＝C F ＝2，PF ＝6 CF PC 22=+，在PFA Rt ∆中， tan ∠P A F ＝26AFPF=＝3，∴异面直线P A 与BC 所成的角为60°．选B.6. 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形，AB EF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与B F 所成角的余弦值. A.42 B.2C. 3D.【答案】A 【解析】∵CB ∥AD, ∴∠CB F 为异面直线AD 与B F 所成的角.连接C F 、C E 设正方形ABCD 的边长为α,则B F ＝a 2∵CB ⊥AB, E B ⊥AB ∴∠C E B 为平面ABCD 与平面AB EF所成ABC DPE F的角,∴∠CB E ＝∠60ο ∴C E ＝a F C ＝a 2 ,∴cos ∠CB F ＝42,选A. 7. 如图，已知棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，且⊥1AA 面ABCD ， 60=∠DAB ，1AA AD =，F 为棱1AA 的中点，M 为线段1BD 的中点，则面1BFD 与面ABCD 所成二面角的大小． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°【答案】C【解析】 底面是菱形， BD AC ⊥∴ 又⊥B B 1 面ABCD ，⊂AC 面ABCD B B AC 1⊥∴，⊥∴AC 面11B BDD 又AC MF // ⊥∴MF 面11B BDD 延长F D 1、DE 交于点E ，F 是A A 1的中点且ABCD 是菱形AB AE DA ==∴ 又 60=∠DAB 90=∠∴DBE ∴BE B D ⊥1 BD D 1∠∴为所求角 在菱形ABCD 中， 60=∠DAB BD BC 3=∴ 3t a n 11==∠BDDD BD D 601=∠∴BD D ,选C .8.在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°，则此直线与二面角的另一个面所成的角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【答案】A【解析】如图，二面角α－l －β为45°，β，且与棱l 成45°角，过A 作A O ⊥α于O ，作A H ⊥l 于H .连接OH 、O B ，则∠A HO 为二面角α－l －β的平面角，∠AB O 为AB 与平面α所成角．不妨设A HRt △A OH 中，易得A O ＝1；在Rt △AB H 中，易得AB ＝2.故在Rt △AB O 中，sin ∠AB O ＝12AO AB =，∴∠AB O ＝30°，为所求线面角．选A. 二、填空题9. 如图所示，在正四面体S －ABC 中，D 为S C 的中点，则BD 与S A所成角的余弦值是A BC DA 1B 1C 1D 1F MOE________．【解析】取AC 中点E ，连接D E ，B E ，则BD 与D E 所成的角即为BD 与S A 所成的角．设S A ＝a ，则BD ＝B Ea ，D E ＝2a .由余弦定理知cos ∠BD E.10. 如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小的正切为23，则该正四棱柱的高等于____________．【答案】【解析】由题意得11122tan 33DD DBD DD BD ∠===⇒=. 11. A 、B 是直二面角α－l －β的棱l 上的两点，分别在α，β内作垂直于棱l 的线段AC ，BD ，已知AB ＝AC ＝BD ＝1，那么CD 的长为【解析】如图，由于此题的二面角是直角，且线段AC ，BD 分别在α，β内垂直于棱l ，AB ＝AC ＝BD ＝1，作出以线段AB ，BD ，AC 为棱的正方体，CD 即为正方体的对角线，由正方体的性质知，CD三、解答题 12. 如图，三棱锥P —ABC 中， P C ⊥平面ABC ，P C ＝AC ＝2，AB ＝BC ，D 是P B 上一点，且CD ⊥平面P AB ．(1) 求证：AB ⊥平面P CB ；(2 求异面直线A P 与BC 所成角的大小；（3π） 【解析】(1) ∵P C ⊥平面ABC ，⊂A B 平面ABC ，BDPE∴P C ⊥AB ．∵CD ⊥平面P AB ，⊂A B 平面P AB ， ∴CD ⊥AB ．又C CD PC = ， ∴AB ⊥平面P CB ．(2) 过点A 作A F //BC ，且A F ＝BC ，连结PF ，C F ．则 PAF ∠为异面直线P A 与BC 所成的角．由（Ⅰ）可得AB ⊥BC ，∴C F ⊥A F ．由三垂线定理，得PF ⊥A F ．则A F ＝C F ＝2，PF ＝6 CF PC 22=+，在PFA Rt ∆中， tan ∠P A F ＝26AF PF =＝3， ∴异面直线P A 与BC 所成的角为3π．13.如图所示，在多面体111A B D DCBA 中，四边形11AA B B，11,ADD A ABCD均为正方形，点E 为11B D的中点，过点1A ，D ，E 的平面交1CD 于点F .（1）求证：1//EF B C ；(2)求二面角11EA DB ﹣﹣余弦值.【解析】（1）证明：由题可得1//AD B C ，又因为1A D ⊄平面11B CD ，1B C ⊂平面11B CD ，所以1//A D 平面11B CD ．又平面1A DEF平面11B CD EF =，所以1//A D EF ．又因为11//A D B C ，所以1//EF B C ．（2）将原图形补全成正方体，如图所示，则平面1A CD 即为平面1A EFD ，所以求二面角11E A D B --的余弦值可以转化为求二面角111C A D B --的余弦值。
专题一：立体几何中“线线角、线面角、面面角”的求法 课件
知识回顾
1. 异面直线所成角； 2. 直线与平面所成角； 3. 两平面所成角.
知识点一：线线角
关键：把空间角转化成平面角 步骤：①选点平移；
②定角； ③算角（解位线平移
知识点一：线线角
变式1. 已知四面体ABCD的各棱长均 相等，E、F分别为AB、CD的中点， 求AC与EF所成角的大小．
定义：以二面角的棱上任意一点为端点，
在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条 射线所成的角叫做二面角的平面角.
B
l
O
A
知识点三：面面角
方法：①定义法（点在棱上）
②三垂线法（点在一个平面内） 例3.在四面体ABCD中，平面ABD 平面BCD， ③射影法（找一个平面内对应的点 AB BD DA a, CD BD，DBC＝30． 在另一个平面内的射影）
定义：过斜线AP上且斜足以外的一点P向平面引 垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平 面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所 成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
知识点二：线面角 关键：①找垂足 ②等体积法求高
例2.如图，设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a, （1）求直线AB1与平面A1B1CD所成的角； （2）求直线AB与平面ACB1所成角的正弦值.
(1)求二面角A DC B的大小；
④垂面法（点在面外）
(2)求二面角A BC D的平面角的正切值.
⑤补形法
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作业：
高中立体几何证明方法及例题
1.空间角与空间距离在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。
2.立体几体的探索性问题立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。
近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。
对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。
对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。
（一）平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。
1.线线、线面、面面平行关系的转化：面面平行性质α//βαI γ=a ,βI γ⎫⎬⇒a =b ⎭//baa //b⎫⎬ba ⊄α,b ⊂α⎭α⇒a //αa ⊂α,b ⊂αAb a I b =Aαaa //β,b //ββ⎫⎪⎬⎪⎭(a//b,b//c线线∥⇒a //c)公理4线面平行判定线面平行性质线面∥⇒α//β面面平行判定1面面∥面面平行性质面面平行性质1α//γ⎫β//γ⎭⎫⎪a ⊂β⎬αI β=b ⎪⎭a //α⇒a //bα//β⎫a ⊂α⎭⎬⎬⇒α//β⇒a //β2.线线、线面、面面垂直关系的转化：⎫⎪a Ib =O ⎬l ⊥a ,l ⊥b ⎪⎭a ,b ⊂α⇒l ⊥α⎫⎬⇒α⊥βa ⊂β⎭a ⊥α面面⊥三垂线定理、逆定理线线⊥PA ⊥α,AO 为PO 在α内射影a ⊂α则a ⊥OA ⇒a ⊥PO a ⊥PO ⇒a ⊥AOl ⊥α线面垂直判定1线面垂直定义线面⊥α⊥β面面垂直判定面面垂直性质，推论2⎫⎬a ⊂α⎭⇒l ⊥a⎫⎪αI β=b ⎬⇒a ⊥αa ⊂β,a ⊥b ⎪⎭α⊥γβ⊥γαI β⎫⎪⎬⇒a ⊥γ=a ⎪⎭面面垂直定义αI β=l ，且二面角α-l -β⎫成直二面角⎬⇒α⊥β⎭3.平行与垂直关系的转化：a //b ⎫a ⊥αa ⊥α⎫⇒b ⊥αa⎬⎭⎬⇒αa ⊥β⎭//β线线∥线面垂直判定2线面垂直性质2a ⊥α⎫线面⊥面面平行判定2面面平行性质3面面∥⎬⇒a //b b ⊥α⎭α//β⎫a ⊥α⎬a ⊥β⎭4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。
专题35 空间中线线角、线面角,二面角的求法-
专题35 空间中线线角、线面角、二面角的求法【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.类型一 空间中线线角的求法方法一 平移法例1正四面体ABCD 中， E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为 A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 【变式演练1】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】如图，正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为6，点F 是棱1AA 的中点，AC 与BD 的交点为O ，点M 在棱BC 上，且2BM MC =，动点T （不同于点M ）在四边形ABCD 内部及其边界上运动，且TM OF ⊥，则直线1B F 与TM 所成角的余弦值为（ ）A B C D ．79【变式演练2】【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月月考模拟测试】当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时，异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围（ ）A ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【变式演练3】【甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学（文科）第四次联考】在四面体ABCD 中，2BD AC ==，AB BC CD DA ====E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【变式演练4】【2020年浙江省名校高考押题预测卷】如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，4AB BC ==，90ABC ∠=︒，侧棱SB 与平面ABC 所成的角为45︒，M 为AC 的中点，N 是侧棱SC上一动点，当BMN △的面积最小时，异面直线SB 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．16B ．3C D ．6方法二 空间向量法例2、【重庆市第三十七中学校2020-2021学年高三上学期10月月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱1AA ，11C D ，1DD 的中点，12AB AA AD ==，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒例3、【四川省泸县第四中学2020-2021学年高三上学期第一次月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，2BC =，14AB BB ==，E ，F 分别是11A D ，CD 的中点，则异面直线1A F 与1B E 所成角的余弦值为（ ）A ．34B ．34-C D ．6【变式演练5】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【变式演练6】【云南省云天化中学、下关一中2021届高三复习备考联合质量检测卷】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段AB 的中点，点F 在线段AD 上移动，异面直线1B C 与EF 所成角最小时，其余弦值为（ ）A ．0B ．12C D ．1116类型二 空间中线面角的求法方法一 垂线法第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角； 第三步 得出结论.例3如图，四边形ABCD是矩形，1,AB AD ==E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；（Ⅰ）若AF FG =，求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值.【变式演练7】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．13 B． C．3 D ．23【变式演练8】【北京市朝阳区2020届高三年级下学期二模】如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，AD DE ⊥，4=AD ，2DE EF ==，且π3EDC ∠=．（1）求证：AD ⊥平面CDEF ；（2）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值；GFEDCBA（3）设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由．方法二 空间向量法第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标； 第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；第三步 再利用a bsin a bθ→→→→⋅=即可得出结论.例4 【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）模拟】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，222AD BC CD ===，O 是AD 的中点，PO ⊥平面ABCD ，过AB 的平面交棱PC 于点E （异于点C ，P 两点），交PO 于F .（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）若F 是PO 中点，且平面EFD 与平面ABCD 求PC 与底面ABCD 所成角的正切值.【变式演练9】【2020年浙江省名校高考仿真训练】已知三棱台111ABC A B C -的下底面ABC 是边长为2的正三角形，上地面111A B C △是边长为1的正三角形.1A 在下底面的射影为ABC 的重心，且11A B A C ⊥.（1）证明：1A B ⊥平面11ACC A ；（2）求直线1CB 与平面11ACC A 所成角的正弦值.类型三 空间二面角的求解例4【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】三棱锥S ABC -中，2SA BC ==，SC AB ==，SB AC ==记BC 中点为M ，SA 中点为N（1）求异面直线AM 与CN 的距离； （2）求二面角A SM C --的余弦值.【变式演练10】【2021年届国著名重点中学新高考冲刺】如图，四边形MABC 中，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，MAC △是边长为2的正三角形，以AC 为折痕，将MAC △向上折叠到DAC △的位置，使D 点在平面ABC 内的射影在AB 上，再将MAC △向下折叠到EAC 的位置，使平面EAC ⊥平面ABC ，形成几何体DABCE .（1）点F 在BC 上，若//DF 平面EAC ，求点F 的位置； （2）求二面角D BC E --的余弦值. 【高考再现】1．【2020年高考山东卷4】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为 （ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒2. 【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A B C D 3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数16】如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1,3,,,30AC AB AD AB AC AB AD CAE ===⊥⊥∠=︒，则cos FCB ∠=_____________．4.【2020年高考全国Ⅱ卷理数20】如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：1AA //MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为Ⅰ111C B A 的中心，若F C EB AO 11平面∥，且AB AO =，求直线E B 1与平面AMN A 1所成角的正弦值．5.【2020年高考江苏卷24】在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO Ⅰ平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．6．【2020年高考浙江卷19】如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．（I）证明：EF⊥DB；（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．7．【2020年高考山东卷20】如图，四棱锥P ABCD-的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知1PD AD==，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【反馈练习】1．【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是线段BC ，1BB 的中点，则异面直线DE 与1D F 所成角的余弦值为（ ）A B C ．35 D ．452．【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】某四棱锥的三视图如图所示，点E 在棱BC 上，且2BE EC =，则异面直线PB 与DE 所成的角的余弦值为（ ）A ．BCD ．153．【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟】如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足12DP PB +=1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围为（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．1,22⎡⎢⎣⎦4．【广西玉林市2021届高三11月教学质量监测理科】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AD ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与BF 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 5．【山东省泰安市2020届高三第四轮模拟复习质量】如图，在三棱锥A —BCD 中，AB =AC =BD =CD =3，AD =BC =2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是（ ）A ．58B ．8C ．78D ．86．【福建省厦门市2020届高三毕业班（6月）第二次质量检查（文科）】如图，圆柱1OO 中，12OO =，1OA =，1OA O B ⊥，则AB 与下底面所成角的正切值为( )A ．2BC ．2D ．127．【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）】若正方体1AC 的棱长为1，点P 是面11AA D D 的中心，点Q 是面1111D C B A 的对角线11B D 上一点，且//PQ 面11AA B B ，则异面直线PQ 与1CC 所成角的正弦值为__.8．【吉林省示范高中（四平一中、梅河口五中、白城一中等）2020届高三第五次模拟联考】如图，已知直三棱柱ADF BCE -，AD DF ⊥，2AD DF CD ===，M 为AB 上一点，四棱锥F AMCD -的体积与该直三棱柱的体积之比为512，则异面直线AF 与CM 所成角的余弦值为________.9．【湖北省华中师大附中2020届高三下学期高考预测联考文科】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，PA ⊥平面ABC ，E 、F 分别是PC 、PB 边上的中点，点M 是线段AB 上任意一点，若2AP AC BC ===.（1）求异面直线AE 与BC 所成的角：（2）若三棱锥M AEF -的体积等于19，求AM BM10．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试】如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，侧面11BCC B 为菱形，且平面11BCC B ⊥平面ABC ，160CBB ∠=︒，D 为棱1AA 的中点．（1）证明：1BC ⊥平面1DCB ；（2）求二面角11B DC C --的余弦值．11．【河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学（理）】如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，四边形BDFE 为矩形，平面BDFE ⊥平面ABCD ，点P 在AD 上，EP BC ⊥.（1）证明：AD ⊥平面BEP ；（2）若EP 与平面ABCD 所成角为60°，求二面角C PE B --的余弦值.12．【广西南宁三中2020届高三数学（理科）考试】如图1，在直角ABC 中，90ABC ∠=︒，AC =AB =D ，E 分别为AC ，BD 的中点，连结AE 并延长交BC 于点F ，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示.（1）求证：AE CD ⊥；（2）求平面AEF 与平面ADC 所成锐二面角的余弦值.13．【广西柳州市2020届高三第二次模拟考试理科】已知三棱锥P ABC -的展开图如图二，其中四边形ABCD ABE △和BCF △均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 是PA 的中点，求二面角P BC M --的余弦值．14．【浙江省“山水联盟”2020届高三下学期高考模拟】四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，侧面PBC 为正三角形，平面PBC ⊥平面ABCD ，3ABC π∠=，点M 为AD 中点.；（1）求证：CM PB（2）若点N是线段PA上的中点，求直线MN与平面PCM所成角的正弦值.。
(完整版)立体几何坐标法教师版
立体几何坐标法：一：一般的公式：1、空间角(1)（线线）设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|.(2)（线面）设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|. (3)（面面）求二面角的大小(ⅰ)如图①，AB 、CD 是二面角α-l -β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．(ⅱ)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α-l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉．2、距离（1）点面距的求法：设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离d ＝|AB →·n ||n |.（2）线面距、面面距均可转化为点面距（3）两异面直线的距离求法：d ＝|AB →·n ||n |.（AB 是异面直线上任意两点）二：如何选择建系：8、在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：CM EM ⊥；（Ⅱ）求CM 与平面CDE 所成的角．11年重庆 19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）如题（19）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB BC ⊥，AD CD =，CAD ∠=30︒．（Ⅰ）若AD =2，AB BC =2，求四面体ABCD 的体积；（Ⅱ）若二面角C AB D --为60︒，求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值．28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分)如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点PEDCM AB在平面ABC 内的射影O 在AB 上。
高考理科数学必考——几何证明与利用空间向量求线面角、面面角
高考理科数学必考——几何证明与利用空间向量求线面角、面
面角
时间过的飞快，距离高考的时间就只剩76天了，同学和老师也越来越紧张了，有些地方欠缺的同学开始寝食难安，老师也赶快奉献点干货来帮助几何证明欠缺的学生。
立体几何其实难度不大，只要你会空间向量，会建系，一切就自然而然水到渠成了。
在这先分析这些立体几何的解题思路。
在立体几何中，第一问一般会让你证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直
1、证明线面平行的方法1、平移的方法，找到直线与平面内一条直线平行
2、利用面面平行、证明线面平行
2、证明线面垂直的方法1、证明直线与平面内相交的两直线垂直
3、证明面面平行的方法1、证明一个平面内两相交的直线与另一个平面内两相交的直线互相平行
2、证明平面内两相交的直线分别平行另一个平面
4、证明面面垂直的方法1、先证明一条直线垂直于一个平面，这条直线还在另一个平面内
利用这些方法第一问就可以轻松解决了。
在立体几何第二中，会求线面角、面面角，在第二步中，利用空间向量解决就可以
利用空间向量解决第二问的步骤1、找三垂，建立空间直角坐标系
2、写出各个点的坐标
3、求出直线向量、面的法向量
4、利用夹角公式算出余弦值
下面通过两个例题说明一下这个空间几何。
2024年高考数学复习培优讲义专题15---几何法求二面角,线面角(含解析)
专题3-1几何法求二面角，线面角立体几何空间向量求解过程，丧失了立体几何求解的乐趣，无形中也降低了学生的空间想象能力。
这是空间向量求解的巨大优点，也是缺点，就这么共存着。
其实不建系而直接计算真的很比较锻炼空间想象的能力，方法上也更灵活一些，对于备考的中档学生来说，2种方法都要熟练掌握。
方法介绍一、定义法：交线上取点 等腰三角形共底边时作二面角步骤第一步：在交线l上取一点O第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB∠AOB即为二面角，余弦定理求角αβl OAB二、三垂线法（先作面的垂直）—后续计算小使用情况：已知其中某个平面的垂线段第二步：过垂直B作l的垂线OB∠AOB即为二面角且△AOB为直角三角形，邻比斜三、作2次交线的垂线作二面角步骤第一步：作AO⊥l第二步：作OB⊥l连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角四、转换成线面角作二面角步骤第一步：作AO⊥l第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长)连接AB，∠AOB即为二面角△AOB为直角三角形，邻比斜五、转换成线线角—计算小，也是法向量的原理提问：什么时候用？若α平面存在垂线AB，且β平面存在垂线AC则α平面与β平面的夹角等于直线AC与AB的夹角αβlOABαβlOABβαOABCαβlOAB六、投影面积法——面积比（三垂线法进阶）将cos θ＝边之比∣面积之比，从一维到二维，可多角度求出两面积，最后求解如图△ABC 在平面α上的投影为△A 1BC ， 则平面α与平面ABC 的夹角余弦值1cos A BCABCθ=△△即cos θ=投影原S S补充：即使交线没有画出来也可以直接用例题：一题多解2023汕头二模T20如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，PQ 是所在棱上的中点.1C 1CD ABA B 1αBCAA 1D（1）求平面APQ 与平面ABCD 夹角的余弦值 （2）补全截面APQ2023全国乙卷数学(理)T9——由二面角求线面角P C 1CDABA B 1P C 1DABA B 1P C 1CDABA B 1P C 1DABA B 1P C 1CDABA B 1PC 1DABA B 11．已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D −−为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．252021·新高考1卷·T20——由二面角求线段长2．如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D −−的大小为45︒，求三棱锥A BCD −的体积.题型一 定义法1．如图，在三棱锥S—ABC 中，SC ⊥平面ABC ，点P 、M 分别是SC 和SB 的中点，设PM=AC =1，∠ACB =90°，直线AM 与直线SC 所成的角为60°.(1)求证：平面MAP ⊥平面SAC . (2)求二面角M—AC—B 的平面角的正切值；2．(湛江期末)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，点M ，N 分别是PB ，AC 的中点，且MN ⊥A C ． （1）证明：BC ⊥平面PA C ．（2）若PA ＝4，AC ＝BC ＝22，求平面PBC 与平面AMC 夹角的余弦值．(几何法比较简单)3．如图1，在平行四边形ABCD 中，60,2,4A AD AB ∠=︒==，将ABD △沿BD 折起，使得点A 到达点P ，如图2．重点题型·归类精讲(1)证明：平面BCD⊥平面P AD；(2)当二面角D PA B−−的平面角的正切值为6时，求直线BD与平面PBC夹角的正弦值．题型二三垂线法4．(佛山期末)如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，12PA AD AB CD===，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PC的中点．（1）求证：BE⊥平面PCD；（2）若PA＝PD，求二面角P－BC－D的余弦值．5．如图，在四棱锥P -ABCD 中，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，,,224,23BC AD CD AD AD CD BC PB ⊥====∥ （2023广州一模T19）（1） 求证：AD PB ⊥；（2）求平面P AB 与平面ABCD 交角的正弦值.6．如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为2的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =且二面角E BC D −−的大小为60，求三棱锥A BCD −的体积．7．（2023·浙江·统考二模）如图，在三棱柱111ABCA B C 中，底面ABC ⊥平面11AA B B ，ABC 是正三角形，D 是棱BC 上一点，且3CD DB =，11A A A B =.(1)求证：111B C A D ⊥；(2)若2AB =且二面角11A BC B −−的余弦值为35，求点A 到侧面11BB C C 的距离.8．如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，ABC 和ACD 均为正三角形，4AC =，3BE =.(1)在线段AC 上是否存在点F ，使得BF ∥平面ADE ?说明理由； (2)求平面CDE 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值.题型三 作2次交线的垂线9．在三棱锥S ABC −中,底面△ABC 为等腰直角三角形,90SAB SCB ABC ∠=∠=∠=︒. （杭州二模） （1）求证：AC ⊥SB ；（2）若AB ＝2，22SC =，求平面SAC 与平面SBC 夹角的余弦值．题型四 找交线10．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCI )是平行四边形，∠ABC ＝120°，AB ＝1，BC ＝2，PD ⊥C D ． (1)证明：AB ⊥PB ；(2)若平面PAB ⊥平面PCD ，且102PA =，求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值． （广东省二模T19）题型五 转换成线线角湖北省武汉市江汉区2023届高三上学期7月新起点考试11．在直三棱柱111ABC A B C −中，已知侧面11ABB A 为正方形，2BA BC ==，D ，,E F 分别为AC ，BC ，CC 1的中点，BF ⊥B 1D ．(1)证明：平面B 1DE ⊥平面BCC 1B 1；(2)求平面BC 1D 与平面1B DE 夹角的余弦值六、 题型六 投影面积法12．(2022·惠州第一次调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知//AB CD ，AD ⊥CD ，BC BP =，CD ＝2AB＝4，△ADP 是等边三角形，E 为DP 的中点．(1)证明：AE ⊥平面PCD ；(2)若2,PA =求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值13．(2022深圳高二期末)如图(1)，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ⊥BC ，且12,2BC CD AB ===取AB 的中点O ，连结OD ，并将△AOD 沿着OD 翻折，翻折后23AC =M ，N 分别是线段AD ，AB 的中点，如图(2)．（1）求证：AC⊥OM.（2）求平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值．专题3-1几何法求二面角，线面角立体几何空间向量求解过程，丧失了立体几何求解的乐趣，无形中也降低了学生的空间想象能力。
3.2 空间角
1 1 BD1 ( , ,1) 2 2
x
30 所以 BD1 与 AF1 所成角的余弦值为 10
题型一：线线角 练习： 在长方体 ABCD A B1C1D1 中， = 5，AD 8, AB 1
AA1 4, M 为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM .
A1 （2）求AD与平面ANM 所成的角. B1 M
z
N
D1
C1
D
AM (5, 2, 4), A1D (0,8, 4), AM A1D 0 A1D AM . ＝
A(0,0,0), A1 (0,0, 4),D(0,8,0), M (5, 2, 4)
n2
n1
B
cos
| cos n1, n2 |
cos
| cos n1, n2 |
关键：观察二面角的范围
题型三：二面角 3. 如所示，A B C D 是一直角梯形，A B C = 900 , 1 SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD , 求面SCD与面SBA 2 S 所成二面角的余弦值.
A B
y
x
C
题型二：线面角 题型二：线面角
直线与平面所成角的范围： [0, ] 2 A 思考： n
O
n, BA 与的关系？
结论：sin
|
cos n, AB
|
题型二：线面角
AB 2. 在长方体 ABCD A B1C1D1 中， = 5，AD 8, 1 AA1 4, M为BC1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
第2讲 立体几何中的空间角问题
(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.
解 方法一 如图(2)，过点O作OH⊥BD，交直线BD于点H，连接CH.
由ABC－DEF为三棱台，得DF∥CO，
所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角.
由BC⊥平面BDO，得OH⊥BC，又BC∩BD＝B，
故OH⊥平面DBC，
所以∠OCH为直线CO与平面DBC所成角.
(2)(2021·温州模拟)如图，点M，N分别是正四面体ABCD的棱AB，CD上 的点，设BM＝x，直线MN与直线BC所成的角为θ，则 A.当ND＝2CN时，θ随着x的增大而增大 B.当ND＝2CN时，θ随着x的增大而减小 C.当CN＝2ND时，θ随着x的增大而减小
√D.当CN＝2ND时，θ随着x的增大而增大
又∵AA1∥B1B，∴BB1⊥BM. 又BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BMC， ∴BB1⊥平面BMC， 又CM⊂平面BMC，∴BB1⊥CM.
(2)求直线BM与平面CB1M所成角的正弦值.
解 方法一 作BG⊥MB1于点G，连接CG. 由(1)知BC⊥平面AA1B1B，得到BC⊥MB1， 又BC∩BG＝B，BC，BG⊂平面BCG，
MN＝ x2－3x＋7，
所以在△MNE 中，cos θ＝2
4－x x2－3x＋7
＝12 1＋x2－9－3x5＋x 7(x∈[0,3])，
令 f(x)＝x2－9－3x5＋x 7，
则 f′(x)＝5xx22－－31x8＋x－782<0，
所以f(x)在定义域内单调递减，即x增大，f(x)减小，即cos θ减小，从而θ 增大，故D正确，C错误.
所以在△FNM中， cos θ＝2 x25－－3xx＋7＝21
1＋x21－8－3x7＋x 7(x∈[0,3])，
立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)
空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现， 也是历年来高考命题者的热点， 几乎年年必考。
空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。
其取值范围分别是：0° < 90°、0°< < 90°、0° < 180°。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转 化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正 余弦定理）和向量法。
下面举例说明。
一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体 ABCD A i BiGD i 中，已知AB 4 , AD 3, AA 2。
E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB FB 1。
求直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值。
思路一：本题易于建立空间直角坐标系，uuu uuu把EC i 与FD i 所成角看作向量 EC 与FD 的夹角，用向量法求 解。
思路二：平移线段C i E 让C i 与D i 重合。
转化为平面角，放到 三角形中，用几何法求解。
（图I ）uuu uju umr解法一：以A 为原点，ABAD'AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的•••直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值为 --- I4解法二： 延长 BA 至点 E i ,使 AE i =I ，连结 E i F 、DE i 、D i E i 、DF , 有D i C i //E i E , D i C i =E i E ,则四边形 D i E i EC i 是平行四边形。
则 E i D i //EC i 于是/ E i D i F 为直线EC i 与FD i 所成的角。
在 Rt △ BE i F 中， E i F -J E i F 2 BF 2「5 2 i 2 「‘莎。
空间中线线角、线面角、面面角成法原理及求法思路
DBA Cα空间中的夹角空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
1、异面直线所成的角〔1〕异面直线所成的角的围是]2,0(π。
求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。
简称为“作，证，求〞2、线面夹角直线与平面所成的角的围是]2,0[π。
求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
具体步骤如下：〔假设线面平行，线在面，线面垂直，那么不用此法，因为角度不用问你也知道〕①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。
也是简称为“作，证，求〞注：斜线和平面所成的角，是它和平面任何一条直线所成的一切角中的最小角，即假设θ为线面角，β为斜线与平面任何一条直线所成的角，那么有θβ≤；〔这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。
在右图的解释为BAD CAD∠>∠〕〕2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；：如图，BAC∠在一个平面α，,,PN AC PM AB PN PM⊥⊥且＝〔就是点P到角两边的距离相等〕过P作POα⊥〔说明点O为P点在面α的射影〕求证：OAN OAM∠∠＝〔OAN OAM∠∠＝，所以AO为BAC∠的角平分线，所以点O会在BAC∠的角平分线上〕证明：PA＝PA，PN＝PM，90PNA PMA∠∠︒＝＝PNA PMA∴∆≅∆〔斜边直角边定理〕AN AM∴＝①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。
高考数学专题—立体几何(空间向量求空间角与空间距离)
高考数学专题——立体几何（空间向量求角与距离）一、空间向量常考形式与计算方法设直线l,m 的方向向量分别为l ⃗,m ⃗⃗⃗⃗，平面α,β的法向量分别为n ⃗⃗1,n 2⃗⃗⃗⃗⃗. （1）线线角：（正负问题）：用向量算取绝对值（因为线线角只能是锐角）直线l,m 所成的角为θ，则0≤θ≤π2，计算方法：cos θ=l⃗⋅m ⃗⃗⃗⃗|l⃗|⋅|m ⃗⃗⃗⃗|； （2）线面角：正常考你正弦值，因为算出来的是角的余角的余弦值 非正常考你余弦值，需要再算一步。
直线l 与平面α所成的角为θ，则0≤θ≤π2，计算方法：sin θ=|l ⃗⋅n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗||l⃗|⋅|n ⃗⃗|； (3)二面角：同进同出为补角；一进一出为原角。
注意：考试从图中观察，若为钝角就取负值，若为锐角就取正值。
平面α,β所成的二面角为θ，则0≤θ≤π，如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝⟨AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗,CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⟩．如图②③，n ⃗⃗1,n 2⃗⃗⃗⃗⃗分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|n⃗⃗1⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n⃗⃗1|⋅|n2⃗⃗⃗⃗⃗⃗||，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． (4)空间距离额计算：通常包含点到平面距离，异面直线间距离。
二、空间向量基本步骤空间向量求余弦值或正弦值四步法（1）建系：三垂直，尽量多点在轴上；左右下建系，建成墙角系；锥体顶点在轴上；对称面建系。
一定要注明怎样建成的坐标系（2）写点坐标（3）写向量：向量最好在面上或者轴上（可简化计算量） （4）法向量的简化计算直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个.（2）若直线l ⊥α，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作，有无数多个，任意两个都是共线向量.平面法向量的求法：设平面的法向量为α⃗=(x,y,z ).在平面内找出（或求出）两个不共线的向量a ⃗=(x 1,y 1,z 1)，b ⃗⃗=(x 2,y 2,z 2)，根据定义建立方程组，得到{α⃗×a ⃗=0α⃗×b ⃗⃗=0，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.三、空间向量求距离向量方法求异面直线距离：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上任意两点的连结线段在公共法向量上的射影长。
线线角、线面角,二面角(高考立体几何法宝)
1A 1B 1C 1D ABCD E FG线线角、线面角、二面角的求法1.空间向量的直角坐标运算律：⑴两个非零向量与垂直的充要条件是1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=⑵两个非零向量与平行的充要条件是a ·b =±|a ||b | 2.向量的数量积公式若a 与b 的夹角为θ(0≤θ≤π),且123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =,则 （1）点乘公式： a ·b =|a ||b | cos θ（2）模长公式：则212||a a a a a =⋅=++2||b b b b =⋅=+（3）夹角公式：2cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+（4）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB x ==,A B d =①两条异面直线a 、b 间夹角0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，则cos |cos ,|AB CD θ=<>=例1 (福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ）A ．515arccosB ．4π C ．510arccosD ．2π（向量法，传统法）PBCA例 2 (2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____．解：（1）向量法（2）割补法：将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt △PDB中，即t a n 2PDDBA DB∠==． 点评：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCA D B C P -②直线a 与平面α所成的角0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦(重点讲述平行与垂直的证明)可转化成用向量→a 与平面α的法向量→n 的夹角ω表示，由向量平移得：若ππ（图）；若ππ平面α的法向量→n 是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.求平面法向量的一般步骤：(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)a a b c b a b c == (2)设出平面的一个法向量为(,,)n x y z =(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z 的方程组(0a <(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量。
几何法求线线角,线面角,二面角的10类题型(教师版)
几何法求线线角、线面角、二面角常考题型题型一平行四边形平移法求线线角 4题型二中位线平移法求线线角 6题型三补形平移法求线线角 8题型四作垂线法求线面角 10题型五等体积法求线面角 13题型六定义法求二面角 15题型七三垂线法求二面角 17题型八垂面法求二面角 19题型九补棱法求二面角 22题型十射影面积法求二面角 25知识梳理一、线线角的定义与求解线线角主要是求异面直线所成角。
1、线线角的定义：①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a ⎳a，b ⎳b，把a 与b 所成的锐角或直角叫做异面直线a,b所成的角(或夹角)②范围：0,π22、求异面直线所成角一般步骤：(1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．(4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0,π2，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①平行四边形平移法；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．二、线面角的定义与求解1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°]2、垂线法求线面角(也称直接法)：(1)先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面α做垂线，确定垂足O；(2)连结斜足与垂足为斜线AB在面α上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；(3)把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形)。
3、公式法求线面角(也称等体积法)：用等体积法，求出斜线P A在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
公式为：sinθ=h，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长。
立体几何复习空间角的求法
(1)证明：DE∥平面 BCF； (2)证明：CF⊥平面 ABF； (3)当 AD＝23时，求三棱锥 F－DEG 的体积 V . 的大 90.0 小为
（结论）B
O
D
作(找)---证(指出)---算---结论
C
练:正方体ABCD—A1B1C1D1中,
D1
求:
A1
(1) 二面角A-BD-A1的正切值;
(2) 二面角A1-AD-B的大小.
D
解由:正连方结体A的C,性交质BD可于知O,,连BD结⊥OOAA1 ,BD⊥AAA1
作(找)---证---指出---算---结论
在三角形中计算
（一）异面直线所成的角：范围是（0，π/2]. 平移直线成相交直线: (1)利用中位线,平行四边形; (2)补形法.
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
例1.正四面体S-ABC中,如
s
果E、F分别是SC、AB的
中点,那么异面直线EF和 E
• [例1] (2013年高考新课标全国卷Ⅱ)如图
所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是 AB，BB1的中点．
(1)证明：BC1∥平面 A1CD； (2)设 AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2 2，求三棱锥 C－A1DE 的体积．
题型二 立体几何中的折叠问题
[例 3] (2013 年高考广东卷)如图(1)，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 边上的 点，AD＝AE，F 是 BC 的中点，AF 与 DE 交于点 G， 将△ABF 沿 AF 折起，得到如图(2)所示的三棱锥 A－ BCF，其中 BC＝ 2.
SA所成的角=_______.
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空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。
空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。
其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。
下面举例说明。
一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =。
E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==。
求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。
思路一：本题易于建立空间直角坐标系，把1EC 与1FD 所成角看作向量EC 1与FD 的夹角，用向量法求解。
思路二：平移线段C 1E 让C 1与D 1重合。
转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。
（图1）解法一：以A 为原点，1AB AD AA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2），于是11(1,3,2),(4,2,2)EC FD ==-设EC 1与FD 1所成的角为β，则：112222221121cos 14132(4)22EC FD EC FD β⋅===⋅++⨯-++ ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为2114解法二：延长BA 至点E 1，使AE 1=1，连结E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF ， 有D 1C 1//E 1E ， D 1C 1=E 1E ，则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形。
则E 1D 1//EC 1 于是∠E 1D 1F 为直线1EC 与1FD 所成的角。
在Rt △BE 1F 中，2222115126E F E F BF =+=+=。
在Rt △D 1DE 1中，11D E ====在Rt △D 1DF中，1FD ====在△E 1FD 1中，由余弦定理得：222111111111cos 214D E FD E F E D F D E FD +-∠==⨯⨯∴直线1EC 与1FD所成的角的余弦值为14。
可见，“转化”是求异面直线所成角的关键。
平移线段法，或化为向量的夹角。
一般地，异面直线l 1、l 2的夹角的余弦为：cos AC BD AC BDβ⋅=⋅。
二、直线和平面所成的角斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。
因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设θ为直线l 与平面α所成的角，ϕ为直线l 的方向向量v 与平面α的法向量n 之间的夹角，则有θπϕ-=2或θπϕ+=2（图2）图2特别地 0=ϕ时，2πθ=，α⊥l ；2πϕ=时，0=θ，α⊆l 或α//l 。
例2如图3，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，90=∠ACB ，侧棱AA 1=2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在θωαlvnωθαvln平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G 。
求A 1B 与平面ABD 所成角的大小。
解 以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，1CC 所在直线为z 轴，建立直角坐标系，设a CB CA ==，则）（0,0,a A ，）（0,,0a B ，）（2,0,1a A ，）（1,0,0D ∴ ）（1,2,2a a E ， ）（31,3,3a a G ， ）（32,6,6a a GE =，）（1,,0a BD -=， ∵ 点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G ， ∴ ⊥GE 平面ABD ， ∴ 0=⋅BD GE ，解得 2=a 。
∴）（32,31,31=GE ， ）（2,2,21-=BA ， ∵ ⊥GE 平面ABD ， ∴GE 为平面ABD 的一个法向量。
由 32323634||||,cos 111=⋅=⋅>=<BA GE BA GE BA GE得 32arccos,1>=<BA GE ， ∴ B A 1与平面ABD 所成的角为32arccos 2-π，即 37arccos 。
评析 ① 因规定直线与平面所成角]20[π∈θ，，两向量所成角]0[π∈α，，所以用此法向量求出的线面角应满足|2|α-π=θ。
②一般地，设n 是平面M 的法向量，AB 是平面M 的一条斜线，A 为斜足，则AB 与平面 M 所成的角为：arccosarcsin2AB n AB n AB nAB nπ⋅⋅-=⋅⋅。
三、二面角的求法：1．几何法：二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法： ①直接利用定义，图4（1）。
②利用三垂线定理及其逆定理，图4（2）最常用。
③作棱的垂面，图4（3）。
图4另外，特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角；2．向量法：①从平面的法向量考虑，设 21,n n 分别为平面βα,的法向量，二面角β--αl 的大小为θ，向量 21,n n 的夹角为ϕ，则有π=ϕ+θ或 ϕ=θ（图5）图5②如果AB 、CD 分别是二面角l αβ--的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小为,AB CD 〈〉。
例3如图6，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱3231=AA ， D 是CB 延长线上一点，且BC BD =。
求二面角B AD B --1的大小。
解 取BC 的中点O ，连AO 。
由题意 平面⊥ABC 平面11B BCC ，BC AO ⊥，α βAOP A B OP αβ 4（1） 4（2）4（3）ωθβlαnnCB 1BOA 1C 1zAy∴⊥AO 平面11B BCC ，以O 为原点，建立如图6所示空间直角坐标系， 图6 则 ）（323,0,0A ，）（0,0,23B ，）（0,0,29D ，）（0,323,231B ， ∴ ）（323,0,29-=AD ， ）（0,323,31-=D B ， ）（0,323,01=BB ， 由题意 ⊥1BB 平面ABD ， ∴ ）（0,323,01=BB为平面ABD 的法向量。
设 平面D AB 1的法向量为 ),,(2z y x n =，则 ⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥D B n AD n 122， ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00122D B n AD n ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=-03233032329y x z x ，即 ⎪⎩⎪⎨⎧==xz y x 3323。
∴ 不妨设 )23,1,23(2=n ， 由 212323323||||,cos 212121=⨯=⋅>=<n BB n BB n BB ， 得 60,21>=<n BB 。
故所求二面角B AD B --1的大小为60。
评析 在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取)23,1,23(2---=n 时，会算得21,cos 21->=<n BB ，从而所求二面角为 120，但依题意只为60。
因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。
所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。
小结：1空间各种角的计算方法都是转化为平面角或两向量的夹角来计算的，对空间各种角概念必须深刻理解。
平行和垂直可以看作是空间角的特殊情况。
．几何法在书写上体现：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步。
向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化。
主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算。
练习：1、如图，以正四棱锥V —ABCD 底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz ，其中O x //BC ，O y //AB ．E 为VC 中点，正正四棱锥底面边长为2a ，高为h 。
（Ⅰ）求;,cos ><DE BE（Ⅱ）记面BCV 为α，面DCV 为β，若∠BED 是 二面角α—VC —β的平面角，求∠BED ．解：（I ）由题意知B （a ，a ，0），C （―a ，a ，0），D （―a ，―a ，0），E ),2,2,2(ha a -由此得),2,23,2(),2,2,23(h a a DE h a a BE =--= ,42322)232()223(22h a h h a a a a DE BE +-=⋅+⋅-+⋅-=⋅∴.1021)2()2()23(||||22222h a h a a DE BE +=+-+-== 由向量的数量积公式有.10610212\1021423||||,cos 222222222ha h a h a h a h a DE BE DE BE DE BE ++-=+⋅+++-=⋅⋅>=< （II ）若∠BED 是二面角α—VC —β的平面角，则CV BE ⊥，即有CV BE ⋅=0． 又由C （－a ，a ，0），V （0，0，h ），有),,(h a a CV -=且),2,2,23(ha a BE --= ,02223222=++-=⋅∴h a a CV BE 即,2a h =这时有.31)2(10)2(6106,cos 22222222-=++-=++->=<a a a a h a h a DE BE .31arccos )31arccos(,-=->==<∠∴πDE BE BED2．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，侧棱AA 1=1，侧面AA 1B 1B的两条对AA'D角线交点为D ，B 1C 1的中点为M 。
求证：（1）CD ⊥平面BDM ；（2） 求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小。
分析：要证CD ⊥平面BDM ，只需证明直线CD 与平面BDM 内的两条相交直线垂直即可；要求二面角，需找出二面角的平面角或转化为 两直线的夹角。
考虑几何法或向量法求解。
解法一：（1）如图连结CA 1、 AC 1、CM ，则CA 111CB CA CBA ==∴∆为等腰三角形。
又知D 为其底边的中点，∴CD ⊥A 1B 。
∵A 1C 1=1，C 1B 1∴A 1B 1。