勾股定理典型例题详细讲解与练习附答案

典型例题

知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理

例1：如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）

A. CD、EF、GH

B. AB、EF、GH

C. AB、CD、GH

D. AB、CD、EF

勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。

方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解

决问题等。

例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老树折断在地，此刻，老师正和占明、

清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。

清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。”

“是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！”

“但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。

老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出树站立的那一段的高度吗？”

占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角

形。”

“勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。”绣亚补充说。几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。同学们，你算

出来了吗？

思路分析：

1）题意分析：本题考查勾股定理的应用

2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确

的解答

常通过作辅助线构造直角三角形将它们转化为直角三角形问题等。

解题后的思考：

分类讨论思想是解题时常用的一种思想方法，同学们如果掌握了这种方法，可以使思维的条理性、缜密性、灵活性得到培养，才能在解题中真正做到不重

不漏。

知识点三、勾股定理及其逆定理的正逆混用

例6：（1）图甲是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5，求中

间小正方形的面积。

（2）现有一长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，

再拼合成一个正方形。

（要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）