应用数理统计第1章

(3) 单调不减性：若事件BA，则P(B)≥ P(A) , 且 P(B－A)＝P(B)－P(A)；
(4) 互补性：P(A)＝1－ P(A)，且P(A) 1 ;
(1.4)
(1.5)
(5) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB) (1.6)
公式(1.6)可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形；
j1 j1


则称P(A)，AF为域F上的概率测度，简称“ “概率” 。
满足公理 1和公理2的三元体 ( , F， P)称为概率空间。
1.3 条件概率及概率计算公式
一、条件概率
设A、B是 中的两个事件，即A、B F，则
P ( AB ) P ( B | A) , P ( A)
P ( A) 0
例 6、(De Mere问题)一颗骰子掷4次至少得一个六点
与两颗骰子掷24次至少得一个双六，这两件事，哪
一个有更多的机会遇到？
P1=1(5/6)4 = 0.5177;
P2=1(35/36)24 = 0.4914.
四、 几何概型
1. 几何概型的特征
(1) 基本事件数无限：＝{}， 充满区域且 不可数，但可测 ； (2) 等可能性：随机点落在某区域g的概率与区
域g的测度(长度、面积、体积等)成正比，而 与其位置及形状无关。
2. 几何概型的计算公式
g的测度 P( Ag )＝ 的测度
其中Ag表示“在区域 中随机地取一点落在区域g中 ” 这一事件。
例 1、(会面问题)两人相约7点到8点在某 地会面，先到者等候另一人20分钟，过时可
离去，试求两人会面的概率。
A B A B,
k
AB A B
k
可推广 Ak Ak ,
A
k
k
Ak .
k
1.2 概率及其性质
一、频率
1.定义 事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值 nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A). 即 f n(A)＝ nA/n.
2.频率的性质
(1) 非负性： fn(A) ≥0； (2) 规范性： fn()＝1；
(2) 取数问题
设有1～7七位数字，从中任
取三个不同的数字组成一个三位数，求这三 位数是偶数的概率。
(3)分配问题 把n个球随机地分配到m个
盒子中去，问每盒中至多有一球的 概率是多少？(nm，盒子足够大)
(4)配对问题 从五双不同的鞋
子中任意地取出四只，问其中至 少有两只成双的概率是多少?
例 3、设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N个房
常记为“”. 3.两个特殊事件: 必然事件Ω、不可能事件.
任何事件均是某些样本点组成的集合. 例 对于试验E2与E5 ，以下A 、 B即为两个随机事件: A＝“至少出一个正面” ＝{(H,H), (H, T), (T, H)}； B＝“至少m次少于n次”＝{m, m+1, …, n－1}。
四、事件之间的关系
河海大学研究生数学系列基础课程CAI
概率论 与数理统计
讲授: 夏乐天
本课程与其他数学基础课的关系
微积分
（高等数学）
线性代数
序
一.确定性数学
言
初等数学、高等数学(微积分)、线性代数等
二.随机数学---以概率论为代表
1. 非确定性现象: 彩票中奖 发大水 阴天等
2. 生活中的随机现象：抛硬币 掷骰子 赌博 出生性别等
E6: 对一目标进行射击，直到命中为止，考虑其结果; E7: 在一批灯泡中任取一只，测其寿命。
2. 随机试验的特征
(1) 可在相同条件下重复进行; (2) 试验结果不止一个 ,但能确定所有的可能结果; (3) 一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。
二、样本空间
1、样本空间：所有试验结果组成的集合称为样本 空间，记为 ={}； 2、样本点: 样本空间的元素称为样本点，样本点即 试验结果，记为. 例如
10
二、乘法公式
设A、BF，则 P(AB)＝P(A)P(B|A). (1.3.2)
公理 2 概率公理 设( ，F)为可测空间，在事件域F
上定义一个实值函数P(A)，AF，满足：
(1)非负性： P(A)0，对任意AF; (2)规范性： P( )＝1;
(3)可列可加性：若有一列AiF, i＝1, 2, …, AiAj＝, 使得
P( A j ) P( A j )
对应E1的样本空间为 ={H，T}； 对应E2的样本空间为 ={(H,H), (H, T), (T, H), (T, T)}； 对应E5的样本空间为 ={0, 1, 2, … }；
三、随机事件
1.定义 试验中可能出现或可能不出现的事情叫
“随机事件”, 简称“事件”. 2.基本事件 : 不可能再分解的事件, 即试验的结果，
概率论
第一章 事件与概率 第二章 随机变量及其分布 第三章 随机向量及其分布 第四章 随机变量的数字特征何特征函数 第五章 大数定律和中心极限定理

第一章 随机事件和概率
随机事件和样本空间 概率及其性质 条件概率、全概公式和贝叶斯公式

事件的独立性及贝努里概型
1.1 随机事件和样本空间
(3) 可加性：若AB＝ ，则 fn(AB)＝ fn(A) ＋fn(B).
实践证明：当试验次数 n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个定值。
二. 概率
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀 质硬币时，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson
一、随机试验
1. 随机试验(简称“试验”)的例子
随机试验可表为E E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 抛两枚硬币，考虑可能出现的结果； E3: 掷一颗骰子，考虑可能出现的点数i; E4: 掷两颗骰子，考虑可能出现的结果及点数之和；
E5: 记录电话交换台一分钟内接到的呼叫次数；
1.包含关系: “A发生必导致 B发生”记为AB A＝ B A B且 B A. 2.和事件 : AB 3.积事件 : AB＝ AB 4.差事件、对立事件(余事件)：A－B称为 A与B的差事件 B B称为B的对立事件; 易知A B AB;
5.互不相容性：AB＝ A、 B互为对立事件 AB＝ , 且AB＝ 6. 可分性：对任意两事件A、B，有A AB AB.
P(A)＝P(AB)＋P(AB ) .

(1.7)
(6) 连续性：设{An} 是一个单调不减的事件序列，记
A
n 1
n
lim An
n
n
则
P(lim An ) lim P{ An }.
n
三、古典概型
1. 古典概型的特征 (1) 有限性：样本空间＝{1, 2 , … , n }; (2) 等可能性：P(i)＝1/n, (i＝1, 2, … , n). 古典概型也称为等可能概型。
2. 古典概型的计算公式
A中所含样本点数 k k ( A ) ＝ ＝ P(A)＝ 中样本点总数 n n
设事件A中包含k个样本点(基本事件)
例1、做试验E：“将一枚硬币连抛2次” , 观测出正、反面的情形。
(1) 写出E的样本空间； (2) 设A1＝“恰有一次出正面” ，求P(A1)；
(3) 设A2＝“至少出一次正面” ，求P(A2).
四.概率论的内容构成
本课程的内容在数学上属于概率论范畴，它由如下 三个部分所组成
基础部分 ---概率论: 古典概率 随机变量及其分布
分布函数 数字特征等 应用部分 ---数理统计: 统计量构造 参数估计 假设检验 回归分析等 深入部分 ---随机过程: 马尔可夫过程 平稳过程 随机分析等 本课程主要介绍应用部分，但需要回顾基础部分。
(1.3.1)
wenku.baidu.com
称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
条件概率 P(B|A)也是概率。它的计算除了按上式 计算之外，也可在缩减的样本空间A里直接计算。
例 1、一只盒子中混有100只新 、
红
白
旧乒乓球，各有红、白两色，分
类如右：若取得的是一只红球， 试求该红球是新球的概率。
新 40
旧 20
30
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间 中的每一事件
A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：
(1)非负性：对任一事件A，有P(A) ≥ 0； (2) 规范性： P( )＝1；
3. 研究和揭示随机现象的统计规律性的科学
--- 概率论
三.理论联系实际最活跃的学科
1. 应用性: 概率统计的理论一直在广泛地应用于工农业、军事、科 技等领域
2. 渗透性:
与基础学科、工程学科结合可产生新的学科和研究方向。
例如：信息论、系统论、控制论、排队论、可靠
性理论、可靠度分析、平差分析、统计物理、水文统 计、 数量经济等
五、概率的公理化结构
公理 1 事件域公理
样本空间 的部分子集所组成的集合F若满足以下 三个条件: (F.1) F； (F.2) 若AF ，则 A＝ －A F； (F.3) 若有一列AiF, i＝1,2,… , 则可列和
A
i＝1

i
F.
则称其为 上的域(或代数)，也称其为 上的事件域。 二元体 ( ， F )称为可测空间。
(3) 可列可加性：设A1, A2, … 是一列两两互不相容的事件,
即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有
P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+ … . 则称P(A)为事件A的概率。
(1.1)
2.概率的性质
(1) 不可能事件概率为零：P()＝0； (1.2) (2) 有限可加性：设A1，A2, …,An , 是n个两两互不相容的 事件，即AiAj＝ ，(ij), i , j＝1, 2, …, n ,则有 P( A1 A2 … An)＝ P(A1) ＋P(A2)+…+ P(An); (1.3)
间中的任意一间去住(n N，房间足够大，大到住得下
所有的人)，求下列事件的概率： (1)指定的n个房间每个房间各有一人;
(2)恰好有n个房间，每个房间各有一人。
例 4、某班级有n 个人(n365)， 问至少有两个人的生日在同一天
的概率有多大？
n pn
10 0.12 20 0.41
实例
23 0.51 30 0.71 40 0.89 50 0.97
例 2、(蒲丰(Buffon)投针问题)1777年法国 科学家蒲丰提出了下列著名问题： 平面上画着一些平行线，它们 之间的距离都等于a，向此平面上任
a
x l

投一长度为l ( l < a )的针，试求此针与任一平行线相交的 概率。
可求得其概率
2 l P＝ a
利用蒙特－卡洛(Monte-Carlo)法可求得圆周率 的近似值。 (参见教材P.14)
例2、袋中有6只乒乓球，其中4白2红，现从中 取二次，每次取一只(分别考虑有放回和无放回
取球的情形)。求 (1) 全是白球的概率；
(2) 两球色相同的概率； (3) 至少一只白球的概率。
3.古典概型的几类基本问题 (1) 抽球问题
设袋中有N个球，其中有M 个白球，现从中任抽n个球，问这n个球中恰 有k个白球的概率是多少?
由公理 1 可推得如下性质：
(1) F;
(2) 若有一列AiF, i＝1, 2, … , 则
n
A F.
i i＝1 n i i i＝1

(3)若AiF, i＝1, 2, … ,n, 则
A F , A F.
i 1
从而, 若A、BF，则AB F，A－B F，AB F.
一般的，有如下定义 定义 事件组A1，A2，…，An (n可为)，称为样 本空间的一个划分(或完备事件组)，若满足：
(i ) Ai ;
i 1
n
(ii) Ai A j , (i j ), i, j 1,2, , n.
五、事件的运算
1、交换律：AB＝BA，AB＝BA 2、结合律：(AB)C＝A(BC)， (AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)， (AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶 (De Morgan)律：