工程力学：第19课_第13章_应力状态分析(1)
工程力学应力状态分析
H
x y 2
x y 2
cos2
s
x
i
n
2
同理：
H
五、应力圆的应用
§13-2 平面应力状态应力分析
H
H (, )
• 利用应力圆明晰的几何关
系推导并记忆一些基本公
式，避免死记硬背；
o
D H
C 220x
y
F
• 在应用过程中，应当将应 力圆作为思考、分析问题 的工具，而不是计算工具；
y E
(
x
2
y
)2
2
(
x
2
y
)2
x2
—坐标系下的圆方程
圆心坐标：
（ x y ， 0） 2
o
R
半径：
R
(
x 2
y
)2
2 x
(x+ y)/2
结论：平面应力状态下各方向的应力轨迹为一个圆
——应力圆
三、应力圆的绘制
绘制方法1：
§13-2 平面应力状态应力分析
以 （ x y ， 0） 为圆心，
0
当
d d
0
时，正应力有极值。
2
x
y 2
sin2
c
x
o
s
2
0
最大正应力方位角α0：
tan2
0
2 x x
y
max x y
•
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。08:305.26.202108:305.26.202108:3008:30:575.26.202108:305.26.2021
工程力学：第19课_第13章_应力状态分析(1)
x
F
y
x+y)/2 x-y)/2 x
设x面和y面的应力分别为 D( x , x ), E ( y , y ),
由于 x
y ,
故DE中点坐标
C(
x
2
y
,
0)
为圆心，DE为直径。
29
第十三章 应力状态分析
y
y y
n
x
x x
D
C x
o
y
F
绘图：以ED为直径，C为圆心作圆
y
面应力： 考察D点逆时针转动2α
2
60 cos60
=8.35MPa
还可取何值 150; 30 （x轴向左）
N 180 不改变 25
第十三章 应力状态分析
二、应力圆
一、应力圆
应力转轴公式
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin2
x
2
y
sin2
xcos2
在 平面上， , 的轨迹？
应力转轴公式形式变换
x
2
推论：微体互垂截面，对应应力圆同一直径两端 微体平行对边, 对应应力圆同一点
32
第十三章 应力状态分析
几种简单受力状态的应力圆
单向受力状态
x
x
纯剪切受力状态 y
x
E 0,0
o
R=x/2
C
D x ,0
D 0,
R=x
o
双向等拉
C
o
x/2
D 0,
45º方向面上既有正应力又有 45º方向面上只有正应力无剪 剪应力，但正应力不是最大 应力，且正应力最大。 值，剪应力却最大。
工程力学-应力状态与应力状态分析
8 应力状态与应变状态分析1、应力状态的概念，2、平面应力状态下的应力分析，3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。
（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:321σσσ≥≥最大切应力为132max σστ-=（2）任斜截面上的应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=（3) 主应力的大小22minmax )2(2xyyx yx τσσσσσ+-±+=主平面的方位yx xytg σστα--=2204、主应变122122x y x y xy xyx y()()tg εεεεεεγγϕεε⎡=+±-+⎣=-5、广义胡克定律)]([1z y x x E σσμσε+-=)]([1xzyy Eσσμσε+-=)]([1yxzz Eσσμσε+-=Gzxzxτγ=Gyzyzτγ=，Gxyxyτγ=6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。
”8.1试画出下图8.1(a)所示简支梁A点处的原始单元体。
图8.1[解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。
再取A点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。
截取出的单元体如图8.1(d)所示。
(2)分析单元体各面上的应力:A点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为：zMyIσ=bIQSzz*=τ由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ；前后边面为自由表面，应力为零。
在单元体各面上画上应力，得到A点单元体如图8.1(d)。
工程力学-应力状态
sy
n
例1 已知 sx= –100MPa、sy =50MPa 、tx = – 60MPa，a = –30º
cos[2 ( 30)] ( 60)sin[2 ( 30)]
114.5MPa
τ 30
上海应用技术学院
τ T WP
此时不适用基本变形下的强度条件，应同时考虑s 、t 的影响。 又如：受内压容器筒壁
上海应用技术学院
sy
A 筒壁某点A处应力： sx 、sy，为双向受拉状态。 又如：火车车轮与铁轨接触处表层
4
sx
s s
A
s
A点应力：为三向受压状态。 此外：在通过A点不同斜截面上的应力是不同的，将影响到构 件的破坏形式。
s
OC CFcos2 α DFsin2 α σx σy σx σy cos2 α τ x sin2 α σ α 2 2
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证明： H点横坐标： OM 纵坐标： MH CD与s 轴夹角为2a0
OM σx σy 2 σx σy 2 cos2 α τ x sin2 α σ α
ty
e
cos2 α τ x sin2 α
b
sy
切线方向上： Σ F 0 τ
τ α d A (σ x d A cos α )sin α ( τ x d A cos α )cos α (σ y d A sin α )cos α ( τ y d A sin α )sin α 0
∴ τ α σ x sin α cos α σ y sin α cos α τ x cos2 α τ y sin 2 α
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《应力状态分析》课件
意义
揭示了物体在受力状态下 内部应力的分布规律，为 分析强度、刚度和稳定性 问题提供依据。
空间应力状态的分类
单向应力状态
物体只承受单向正应力作 用，即一维应力状态。
二向应力状态
物体承受两个正交方向的 正应力作用，即平面应力 状态。
三向应力状态
物体承受三个正交方向的 的正应力作用，即空间应 力状态。
02 平面应力状态分析
平面应力状态的概念
平面应力状态
在二维平面上，各应力分量均平行于平面，且均沿z轴方向变化的 应力状态。
平面应力状态的特点
各应力分量均平行于平面，且均沿z轴方向变化。
平面应力状态的应用
在工程中，许多问题可以简化为平面应力状态进行分析，如薄板、 薄壳等结构的应力分析。
平面应力状态的分类
数值法
通过有限元、有限差分等方法求解平面应力状态 的应力和应变。
3
实验法
通过实验测试和测量平面应力状态的应力和应变 。
03 空间应力状态分析
空间应力状态的概念
01
02
03
空间应状态
描述物体内部各点应力矢 量在空间位置和方向上的 分布情况。
定义
空间中任意一点处的应力 状态由三个正交的主应力 及相应的主方向组成。
将物体离散化为有限个小的单元，对 每个单元进行受力分析，再通过单元 的集合得到整体的平衡方程，求解得 到各点的应力分量。适用于复杂几何 形状和边界条件的物体。
通过实验测试得到物体的应力应变关 系，从而反推出物体的应力状态。适 用于无法通过理论分析求解的复杂问 题。
05 应变与应力的关系
应变的概念
复杂应力状态的分类
按主应力大小分类
分为三向主应力状态和二向主应力状态。
13应力状态分析ppt课件
本章主要研究：
应力状态应力分析基本理论 应力、应变间的一般关系 复合材料应力应变关系简介
单辉祖：工程力学
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1
§1 引言 §2 平面应力状态应力分析 §3 极值应力与主应力 §4 复杂应力状态的最大应力 §5 广义胡克定律 §6 复合材料应力应变关系简介
单辉祖：工程力学
空间应力状态一般形式
单辉祖：工程力学
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8
§2 平面应力状态应力分析
应力分析的解析法 应力圆 例题
单辉祖：工程力学
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9
应力分析的解析法
问题
斜截面：// z 轴；方位用 a 表示；应力为 sa , ta
符号规定：
切应力 t － 以企图使微体沿 旋转者为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、 者为正
单辉祖：工程力学 sm11M 5精品P 课件atm35MPa
19
§3 极值应力与主应力
平面应力状态的极值应力 主平面与主应力 纯剪切与扭转破坏 例题
单辉祖：工程力学
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20
平面应力状态的极值应力
极值应力数值
ssm mainxOCCAsx 2sy sx 2sy2tx2
ttmmainx CK
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2
§1 引 言
实例 应力状态概念 平面与空间应力状态
单辉祖：工程力学
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3
实例
微体A
单辉祖：工程力学
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4
微体abcd
单辉祖：工程力学
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5
微体A
单辉祖：工程力学
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6
应力状态概念
应力状态 过构件内一点所作各微截面的应力状况，称为该点 处的应力状态
工程力学课件 13应力状态
i j
0
tg2 0
2 xy
x y
2
±（
x y
2
x y y
2 ） xy 2
x
y O x
0 极值正应力就是主应力 ！
xy
三、主应力大小及方向
(1) i j 0 (2) 0 i j (3) i 0; j 0
第十三章 应力状态分析
§13–1 应力状态的概念
§13–2 平面应力状态分析——解析法
§13–3 平面应力状态分析——图解法 §13–4 空间应力状态简介
§13–5
复杂应力状态下的应力--应变关系（广义虎克定律）
§13–１ 应力状态的概念
一、引言 铸铁与低碳钢的拉、压、扭的破坏原因？ 低 碳 钢 扭 转 铸 铁 拉 伸 P
n y
1 i ; 2 j ; 3 0 1 0; 2 i ; 3 j
1 i ; 2 0; 3 j
2 xy
y
1 0
tg2 0
x y
y O
3
0
x
O
y
xy
x
X 0
1 S cos 0 x S cos o xy S sin 0 0
铸铁
例3 用解析法求斜截面上的应力。
解：
300
x 20MPa xy 0
y 30MPa
30MPa
20MPa
120o
y
O x
x y
x y
2
2 17.5 MPa
cos 2 xy sin2
应力状态分析和强度理论
03
弹性极限
材料在弹性范围内所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生弹性变形。
01
屈服点
当物体受到一定的外力作用时，其内部应力状态会发生变化，当达到某一特定应力状态时，材料会发生屈服现象。
02
强度极限
材料所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生断裂。
应力状态对材料强度的影响
形状改变比能准则
04
弹塑性材料的强度分析
屈服条件
屈服条件是描述材料在受力过程中开始进入屈服（即非弹性变形）的应力状态，是材料强度分析的重要依据。
根据不同的材料特性，存在多种屈服条件，如Mohr-Coulomb、Drucker-Prager等。
屈服条件通常以等式或不等式的形式表示，用于确定材料在复杂应力状态下的响应。
最大剪切应力准则
总结词
该准则以形状改变比能作为失效判据，当形状改变比能超过某一极限值时发生失效。
详细描述
形状改变比能准则基于材料在受力过程中吸收能量的能力。当材料在受力过程中吸收的能量超过某一极限值时，材料会发生屈服和塑性变形，导致失效。该准则适用于韧性材料的失效分析，尤其适用于复杂应力状态的失效判断。
高分子材料的强度分析
01
高分子材料的强度分析是工程应用中不可或缺的一环，主要涉及到对高分子材料在不同应力状态下的力学性能进行评估。
02
高分子材料的强度分析通常采用实验方法来获取材料的应力-应变曲线，并根据曲线确定材料的屈服极限、抗拉强度等力学性能指标。
03
高分子材料的强度分析还需要考虑温度、湿度等环境因素的影响，因为高分子材料对环境因素比较敏感。
02
强度理论
总结词
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的主要因素。
过一点所方向面上应力的集合,称为这一点的应力状态
应力是指物体内部受到的力的作用，它可以通过单位面积上的力来描述。
在工程力学中，应力是非常重要的物理量，它与物体的形状、材料特性和外部力的作用密切相关。
本文将围绕应力的概念展开讨论，针对其在材料力学中的应用进行深入分析。
一、应力的定义和分类1.1 应力的概念应力是单位面积上的力，常用符号表示为σ，其计算公式为力F除以面积A，即σ=F/A。
在物体内部，由于外部力的作用，各处都会受到应力的作用，这种应力称为内应力。
而外部施加在物体表面上的力也会导致应力的产生，这种应力称为外部应力。
1.2 应力的分类根据应力的作用方向和大小，可以将应力分为正应力、剪切应力和法向应力三种类型。
正应力是垂直于物体截面的应力，常用符号表示为σn。
而沿着截面方向的应力称为剪切应力，常用符号表示为τ。
另外，法向应力是指作用在物体某一点上的应力。
二、应力状态的描述2.1 应力张量在三维空间中，一个点的应力状态可以由一个3x3的对称矩阵来描述，这个对称矩阵称为应力张量。
应力张量的分量代表了在不同方向上的应力情况，可以通过数学方法进行求解和分析。
2.2 应力状态的表示一个点处的应力状态可以通过应力张量的特征值和特征向量来表示。
特征值代表了应力状态的大小，特征向量则代表了应力作用的方向。
通过对特征值和特征向量的分析，可以判断物体处于何种应力状态，从而进行相应的力学分析和设计。
三、应力的应用3.1 工程材料的性能应力是描述物体受力情况的重要参数，它直接影响着材料的强度、刚度和韧性等性能。
在工程中，通过对材料的应力状态进行分析，可以评估材料的可靠性和安全性，为工程设计提供参考依据。
3.2 结构的稳定性对结构件的受力状态进行分析，可以判断结构在外部载荷作用下的稳定性。
通过对结构的应力分布和应力集中区域的分析，可以预测结构是否会发生破坏或失稳现象，为结构设计和改进提供重要参考。
3.3 力学设计在工程实践中，需要根据实际的力学要求来设计各种零部件和结构件。
工程力学-应力状态与应力状态分析资料报告
8 应力状态与应变状态分析1、应力状态的概念，2、平面应力状态下的应力分析，3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。
（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:321σσσ≥≥最大切应力为132max σστ-=（2）任斜截面上的应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=（3) 主应力的大小22minmax )2(2xyyx yx τσσσσσ+-±+=主平面的方位yx xytg σστα--=2204、主应变122122x y x y xy xyx y()()tg εεεεεεγγϕεε⎡=+±-+⎣=-5、广义胡克定律)]([1z y x x E σσμσε+-=)]([1x z y y E σσμσε+-=)]([1y x z z E σσμσε+-=G zxzx τγ=G yzyz τγ=，G xyxy τγ=6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。
”8.1 试画出下图8.1(a)所示简支梁A 点处的原始单元体。
图8.1[解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A 点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。
再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。
截取出的单元体如图8.1(d)所示。
(2)分析单元体各面上的应力:A 点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为：zM y I σ=b I QS z z *=τ由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ ；前后边面为自由表面，应力为零。
第十三章应力状态分析
应力状态分析
14
§13-2 平面应力状态分析
1. 求斜截面上的应力
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应力状态分析
15
Fn 0
dA ( xdAcos )sin ( xdAcos )cos ( ydAsin )cos ( ydAsin )sin 0
Ft 0
Fn Ft
0 0
得
x
2
y
x
2
y
cos 2
x sin 2
x
2
y
sin
2
x
cos 2
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应力状态分析
35
(2) 求最大、最小正应力及其方位—主应力及主方向
令 0 0 得 tan 2 0 2 xy /( x y)
x cos2
(
x
y )2
2
2
(
x
y )2
2
x2
(10 1) (10 2) (10 3)
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应力状态分析
17
2. 作应力圆
应力圆方程：(
x
2
y )2
2
(
x
y )2
2
x2
标准圆方程： x a2 y b2 r2
( 2)2 2
问题:在基本变形中, 杆件内那些点为上述应力
状态？根据上述结果可以确定三个主应力的顺序
工程力学-应力状态与应力状态分析
8 应力状态与应变状态分析1、应力状态的概念，2、平面应力状态下的应力分析，3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。
（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:321σσσ≥≥最大切应力为132max σστ-=（2）任斜截面上的应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=（3) 主应力的大小22minmax )2(2xyyx yx τσσσσσ+-±+=主平面的方位y x xytg σστα--=2204、主应变12122x y xyx y()tg εεεεγϕεε⎡=+±⎣=-5、广义胡克定律)]([1z y x x E σσμσε+-=)]([1x z y y E σσμσε+-=)]([1y x z z E σσμσε+-=G zxzx τγ=G yzyz τγ=，G xyxy τγ=6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。
”8.1 试画出下图8.1(a)所示简支梁A 点处的原始单元体。
图8.1[解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A 点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。
再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。
截取出的单元体如图8.1(d)所示。
(2)分析单元体各面上的应力:A 点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为：z M y I σ=bI QS z z*=τ由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ ；前后边面为自由表面，应力为零。
工程力学：第20课_第13章 应力状态分析(2)
解析法：构造如图所示微体
B
B
15
x
x
2 15
2
x 15 cos
2
sin 2(90 )
2(90 ) 15sin 2(90 ) 15cos 2(90 ) 20MPa
40MPa
两个未知数， 两个方程，求解得：
y
x
47MPa 35.5
故：
max
x
y
2
(
x
y )2
2
2 x
52.9MPa
max min 18
第十三章 应力状态分析(2)
例：纯剪应力状态下不同的断裂机理： 低碳钢圆轴扭转时滑移与剪断发生在max的作用面：
铸铁圆轴扭转时断裂发生在max 的作用面：
A
B
思考：1. 如何扭才能造成上图所示的断裂面？A 还是B？
2. 如果两端再加上一些拉力，则断裂面的角度大于
还是小于45？
图解法501051965051961030105196505196两点联结de以de为直径作应力圆2量ab两点坐标bd的方位角得两点联结de以de为直径作应力圆22max第十三章应力状态分析2一三向应力圆134复杂应力状态的最大应力三向应力状态应力圆第十三章应力状态分析2二其它任意斜截面上的应力任意斜截面的应力值位于三向应力圆的阴影区内coscoscoscoscoscoscoscoscosbcdobcadcoscosbocabccoscosabcboc分离体平衡
py2
pz2
2 1
cos2
2 2
cos2
2 3
cos2
正应 力： 切应 力：
n px cos py cos pz cos 1 cos2 2 cos2 3 cos2
工程力学第13章应力状态分析和强度理论
max
m in
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 xy
——主应力的大小
3)、 切应力 的极值及所在截面
由
x
y
2
sin 2
xy cos 2 ,
令 d
0
d 1
tan
21
x 2 xy
y
(1 ; 1 1 900 )
——最大切应力 所在的位置
z
x
y y
x
z x
2
I 3 1
(1)求平行于σ1的方向面的应力σα 、 τα ,其上之应力与σ1 无关.
1
3
II 2
(2)求平行于σ2的方向面的应力σα、 τα ,其上之应力与σ2 无关.
2
III 1 3
2
(3)求平行于σ3的方向面的应力σα 、 τα ,其上之应力与σ3 无关.
例2、槽形刚体内放置一边长为a = 10 cm 正方形钢块，试求钢 块的三个主应力。F = 8 kN，E = 200 GPa, μ = 0.3。
Fy
解：1) 研究对象ຫໍສະໝຸດ 正方形钢块y F 80 MPa, A
x
?,
z 0.
x 0, y ?, z ? .
y
x b
a
c x x
y
b x
x
a y
c
y t
n 单元体各面面积
x bc : dA
ab: dAcos ac : dAsin
设：斜截面面积为ｄA，由分离体平衡得：
应力状态分析
应⼒状态分析第⼆章应⼒状态分析⼀. 内容介绍弹性⼒学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体⼊⼿，本章的任务就是从静⼒学观点出发，讨论⼀点的应⼒状态，建⽴平衡微分⽅程和⾯⼒边界条件。
应⼒状态是本章讨论的⾸要问题。
由于应⼒⽮量与内⼒和作⽤截⾯⽅位均有关。
因此，⼀点各个截⾯的应⼒是不同的。
确定⼀点不同截⾯的应⼒变化规律称为应⼒状态分析。
⾸先是确定应⼒状态的描述⽅法，这包括应⼒⽮量定义，及其分解为主应⼒、切应⼒和应⼒分量；其次是任意截⾯的应⼒分量的确定—转轴公式；最后是⼀点的特殊应⼒确定，主应⼒和主平⾯、最⼤切应⼒和应⼒圆等。
应⼒状态分析表明应⼒分量为⼆阶对称张量。
本课程分析中使⽤张量符号描述物理量和基本⽅程，如果你没有学习过张量概念，请进⼊附录⼀，或者查阅参考资料。
本章的另⼀个任务是讨论弹性体内⼀点－微分单元体的平衡。
弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分⽅程和切应⼒互等定理；边界单元体的平衡条件为⾯⼒边界条件。
⼆. 重点1.应⼒状态的定义：应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；2.平衡微分⽅程与切应⼒互等定理；3.⾯⼒边界条件；4.应⼒分量的转轴公式；5.应⼒状态特征⽅程和应⼒不变量；§2.5 ⾯⼒边界条件学习思路:在弹性体内部，应⼒分量必须与体⼒满⾜平衡微分⽅程；在弹性体的表⾯，应⼒分量必须与表⾯⼒满⾜⾯⼒边界条件，以维持弹性体表⾯的平衡。
⾯⼒边界条件的推导时，参考了应⼒⽮量与应⼒分量关系表达式。
只要注意到物体边界任意⼀点的微分四⾯体单元表⾯作⽤应⼒分量和⾯⼒之间的关系就可以得到。
⾯⼒边界条件描述弹性体表⾯的平衡，⽽平衡微分⽅程描述物体内部的平衡。
当然，对于弹性体，这仅是静⼒学可能的平衡，还不是弹性体实际存在的平衡。
⾯⼒边界条件确定的是弹性体表⾯外⼒与弹性体内部趋近于边界的应⼒分量的关系。
学习要点：1. ⾯⼒边界条件。
物体在外⼒作⽤下处于平衡状态，不仅整体，⽽且任意部分都是平衡的。
在弹性体内部，应⼒分量必须与体⼒满⾜平衡微分⽅程；在弹性体的表⾯，应⼒分量须与表⾯⼒满⾜⾯⼒边界条件，以满⾜弹性体表⾯的平衡。
材料力学应力分析
应力状态
-
yx
即又一次证明了切应力的互等定理。
xy
y
§2 平面应力状态分析
应力状态
３、平面应力状态的极值与主应力
x
+ y
2
+ x
- y
2
cos 2
- xy sin 2
x
- y
2
sin 2
+ xy cos 2
x
- y sin
2
tan 20
2 -
+ xy cos 2 xy
x - y
2＝0
得到xy 的极值
＝ 1 2
x
- y
2
+
4
2 xy
应力状态
需要特别指出的是，上述切应力极值仅对垂直 于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大切应 力与面内最小切应力。二者不一定是过一点的所有 方向面中切应力的最大和最小值。
§2 平面应力状态分析
应力状态
过一点所有方向面中的最大切应力
为确定过一点的所有方向面上的最大切应力，可以
(
-
x
+
2
y
)
x
-
2
y
cos 2
-
xy
sin
2
(1)
x
- y
2
sin 2
+ xy
cos 2
x
- y
2
sin 2
+ xy cos 2
(2)
§2 平面应力状态分析
应力状态
(
-x
+ y
2
)2
+
2
a( a , a )
第十三章工程力学之交变应力汇总
例如弯曲对称循环下实际构件的持久极限为
0 1
k
1
例13-3：如图13-10所示一火车轮轴，其轴径处的结构如图所示， 轴的材料为碳钢，σb=560MPa，σ-1=250MPa，试求这段轴的弯曲 持久极限。 分析： 轮轴在对称循环的交 变应力下工作，其实际的持 久极限为
不同表面加工质量的试 件的持久极限 表面磨光的标准试件的 持久极限
（13-6）
工程中β的数值同样可以通过查表获得。
表13-2给出了不同表面粗糙度的表面质量系数。
综合考虑上述三个方面因素的影响，实际构件的持久极限为
0 r
k
r（13-7a） 或
0 r
r （13-7b） k
b 400MPa
0.95 0.90
b 800MPa
由线性插入法可得
b 560MPa
0.90
800 560 (0.95 0.9) 0.93 800 400
（4）轮轴的实际持久极限
轮轴的实际持久极限为
0 1
k
1
这些方法的共同特点是使构件表层产生残余应力，减少 表面出现细微裂纹的机会，从而达到提高持久极限的目 的。 但在采用这些方法时，一定要严格控制工艺过程，否则 会适得其反。
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
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强度条件
y y
y
dx
dy
x
x x
dz x
z
y
13
第十三章 应力状态分析
二、应力和应力状态的基本概念
FS FNx
MZ
横截面上的正应力分布
横截面上的切应力分布
横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一 面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。
14
第十三章 应力状态分析
FP
FP
FP
FP
受力之前,表面的正方形。受拉 后，正方形变成了矩形，直角 没有改变。
10
受内压的圆筒
第十三章 应力状态分析 导轨与滚轮接触处
微体abcd
微体A
11
第十三章 应力状态分析
工字梁
C ,max
d 1
1
a max
C
z
a max
O
max
b 1
1
c
t ,max
b
1
1
d
C ,max
c
y
t ,max
y
a 点处: 纯剪切；c , d 点处: 单向应力；
b 点处: ,联合作用
(1)单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布
(2)任意一对平行平面上的应力相等
x
z
y
y dx
y
dy
x x
dz
x
y
研究目的：研究一点处的应力、应变及其关系，目的是为构 件的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础。
19
应力状态的分类
三向（空间）应力状态
x
x
z
z
zx
zy
xz
yz
y
xy yx
sin2
x
y
cos 2
2 x
应力转轴公式的适用范围？
x y
cos sin
sin x
cos
y
x y
x y
x0 y0
x, y
y x, y
d x0 , y0
x, y
0 r x2 y2
x
上述关系式是建立在静力平衡基础上，与材料性质无关。也 就是说，它既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向 异性、非线弹性与非弹性问题。
受力之前,表面斜置的正方形受 拉后，正方形变成了菱形。
这表明：拉杆的斜截面上存在剪应力。
F
m
n
m
p
t
cos2
2
sin 2
15
第十三章 应力状态分析
Mx Mx
受扭之前，圆轴表面为正圆。受扭后，变为一斜置椭圆， 长轴方向伸长，短轴方向缩短。这是为什么？
这表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。
如何建立复杂应力状态下（一般 分别满足 ?
情况下）的强度条件 ？
实验（工作量与难度） ?
12
第十三章 应力状态分析
如何建立复杂应力状态强度条件？
材料物质点应力状况（应力状态）
材料失效机理（强度理论）
•应力状态
通过构件内一点，所作各微截面的应 力状况，称为该点处的应力状态
•应变状态
构件内一点在各个不同方位的应变状 况，称为该点处的应变状态
F SS z,max
I z
max
[
]
单向受力状态、纯剪切建立强度条件的依据？
8
第十三章 应力状态分析
低碳钢和铸铁的拉伸与扭转实验:
拉伸实验
x
x
单向受力状态
低碳钢
铸铁
扭转实验 y x
纯剪切受力状态
由对应实验确定强度指标
9
螺旋桨轴
第十三章 应力状态分析
A
F
F
M
微体A
分别采用拉伸强度条件、扭转强度条件，还是其它强度条件？
y
第十三章 应力状态分析
平面（二向）应力状态
yy yx yx xy x
xy
x
20
y 单向应力状态
第十三章 应力状态分析
纯剪应力状态
x x
y
yx
xy
x
三 向 应 力 状 态 特例
平
面
单向应力状态
应
力
状 态
特例
纯剪应力状态
21
第十三章 应力状态分析
§13-2 平面应力状态应力分析
y
y dx
受力构件内一点在不同方向面上应力的集合，称为该点的应力状态。
m
n
F
F
o
m
拉(压)：
p p
cos sin
F cos cos cos2 A
F cos sin sin 2
A
2
拉(压)扭：
？ ？
18
应力状态的概念和研究方法
第十三章 应力状态分析
研究方法：围绕所研究点取无限小微六面体为研究对象
x x
y x
2
2
y sin 2 2
y x
cos 2 cos 2
x
sin
2
23
第十三章 应力状态分析
平面应力状态下斜截面上的应力公式（应力转轴公式）
x x
y
2
y
2
x sin2
2
y cos2 xcos2
xsin2
应力转轴公式的意义？
x
2 0
y
cos2 sin2
24
第十三章 应力状态分析
例: 求图示 ，
已知 x 80 MPa y 30 MPa x 60 MPa 210
60
80
解：
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin2
30
单位：MPa
80 30
2
80 30 cos60
2
(-60)sin60
104.46MPa
x
2
y
sin2
xcos2
80 30 sin60
符号规定：—拉伸为正； —使微体顺时针转动为正 —以x轴为始边，逆时针转向为正
Fn 0 dA xdAcos sin xdAcos cos
ydAsin cos ydAsin sin 0
Ft 0 dA xdAcos cos xdAcos sin
ydAsin sin ydAsin cos 0
什么是平面应力状态？
y
dy
微体有一对平行表面不受力的应力状态。
x
x x
由此推断：
dz
x 微体仅有四个面作用有应力；
z
y
y
应力作用线均平行于不受力表面；
平面应力状态的应力分析
问题：已知x , y, x , y, 求任
意平行于z轴的斜截面上的应力？
dz
x
z 22
第十三章 应力状态分析
一、应力分析的解析法：微体中分离体的平衡。
第十三章 应力状态分析
§13-1 应力状态概述 一、杆、轴、梁强度条件回顾
强度条件：保证结构或构件不致因强度不够而破坏的条件。
拉压杆强度条件：
max＝
FN A
max
圆轴强度条件：
max
T Wp
max
x
x
单向受力状态
y x
纯剪切受力状态
梁的强度条件：
max
M Wz
max
[ ]
max
45
45
等价
45
45
16
根据微元的局部平衡
y'
x
x'
第十三章 应力状态分析
x x
拉中有剪
x
y'
y
x'
x
x
x
x x
剪中有拉
y
微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力 也是各不相同的，此即应力的面的概念（多面性）。
17
应力状态的概念和研究方法
第十三章 应力状态分析
应力 指 明
哪一个横截面上,哪一点？ 哪一点,哪个方向面？
2
60 cos60
=8.35MPa
还可取何值 150; 30 （x轴向左）
N 180 不改变 25