数列导学案之一
高中数学《导数和数列综合证明 (1)》导学案
高中数学《导数和数列综合证明（一）》导学案例2：已知：x x <+)1ln(2，（1）求证：）*2222()21...(81)41)(21(N n e n ∈<+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++（2）求证：*2()311)...(8111)(911(N n e n ∈<+++）（3）求证：（1+421）（1+431）…（1+41n）＜e )211ln(......)411ln()211ln()]211)...(411)(211ln[()1ln(12222222n n x x ++++++=+++∴<+ ）（e n n n n <+++∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++<)211)...(411)(211(12112112112121 (814121222),)311)...(8111)(911(21311213113113131......3131)311ln(......)8111ln()911()]311)...(8111)(911ln[(2212222e e n n n n n n =<+++∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++<++++++=+++∴）（ （3）ln[（1+421）（1+431）……(1+41n )]=ln[（1+421）（1+431）+…ln （1+41n ）＜221+231+…+21n＜)1(1321211-+⨯+⨯n n =1-21+21-31+…+n n 111--=1-n 1＜1∴（1+421）（1+431）……(1+41n )＜e 例3：设曲线y = f (x ) =cx bx x a ++23213在点x 处的切线斜率为k (x )，且k (-1) = 0.对一切实数x ，不等式).0()1(21)(2≠+≤≤a x x k x 恒成立（1）求f (1)的值；（2）求函数k (x )的表达式；（3）设数列)(1n k 的前n 项和为S n ，求证22+>n nS n解：（1）04)1(,0,00)(222≤--≤∆>∴≥-++++=ac b a x c bx ax c bx ax x k ①0)21)(21(4,0,021,02121222≤---≤∆<-∴≤--++c a b a x c bx ax ②又,4)1(1)1(),11(21)1(12a cb a k k k =++==∴+≤≤ 又1270)1(41=∴=∴f a（2）)0()(2≠++='=a c bx ax y x k ，由0)1(,1)1(=-=k k 得⎩⎨⎧=+-=++01c b a c b a 得⎪⎩⎪⎨⎧==+2121b c a 又)1(21)(2+≤≤x x k x 恒成立，则由)0(0212≠≥+-a c x ax 恒成立得410402141==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+≤-=∆>c a c a ac a 同理由02121)21(2≥-++-c x x a 恒成立得41==c a 综上，21,41===b c a 412141)(2++=∴x x k（3）∑=+++⨯+⨯>+++=ni n n n i k 122])2)(1(1431321[41])1(121[41)(1 22]2121[41+=+-=n n n 法二：和式代换，要证22+>n n S n ，即也证()1121+->-n n S n ，只需证：()()()21411222++=+--+>n n n n n n a n ，只需()()()21414)(12++>+=n n n n k ，且()322121114211=+>=+==S a ，故22+>n n S n。
高中数学 数列复习(1)导学案 苏教版必修5
【学习目标】掌握数列有关概念和公式并会运用解决问题
【课前预习】
1．数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．
2．等差、等比数列的定义．
3．等差、等比数列的通项公式．
4．等差中项、等比中项．
5．等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．
【课堂研讨】
例1、（1）已知等差数列的第p n k ，，项构成等比数列的连续3项，如果这个等差数列不是常数列，则等比数列的公比为 ．
（2）182 ，，，，z y x 成等比数列，则=x ．
（3）三个数成等比数列，它们的积为512，如果中间一个数加上2，则成等差数列，
这三个数是 ．
（4）一个数列的前n 项和为n S n n 1)1(4321+-++-+-=Λ，
则=++503317S S S ．
（5）一个数列}{n a ，当n 为奇数时，15+=n a n ，当n 为偶数时，2
2n n a =，
则这个数列前m 2项的和为 ．
（6）已知正项等比数列}{n a 共有m 2项，且)(94342a a a a +=⋅，++++Λ321a a a )(426422m m a a a a a ++++=Λ，则=1a ，公比=q ．
（7）设}{n a ，}{n b 都是等差数列，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，
已知1235-+=n n T S n n ，则=n n b a ；=5
5b a ．。
高中数学数列复习1导学案苏教版必修5
执笔人：姚东盐审核人： 2009 年 10 月日必修5 数列复习小结第1课时第 19 课时一、学习目标（1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n项和公式；（2）提高分析、解决问题能力．二、知识点总结（一）数列的概念1．数列的概念与简单表示法（1）从定义角度看：（2）从函数角度看：数列可以看成以正整数集N*它的有限子集为定义域的函数a n=f(n)当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值.2．数列的表示（1）列表法；（2）图象法：注意图象是，而不是_______；（3）通项公式：（4）递推公式：如果已知数列｛a n｝的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.3．数列的分类1）按数列项数的多少可以分为和。
2）按数列中相邻两项的大小可分为、、和 .4．数列的通项a n与前n项和S n之间的关系对任一数列有a n=（二）等差数列1.等差数列的定义：若数列｛a n｝为等差数列，则有a n-a n-1=(其中n≥2，n∈N*).2.等差中项：3.等差数列的通项公式：a n=，其中a1为首项，d为公差.当d>0时，数列｛a n｝为数列；当d<0时，数列｛a n｝为数列；当d=0时，数列｛a n｝为列.4.等差数列的前n项和公式：_____________________________; _____________________________5.等差数列的性质：（1）等差数列｛a n ｝中，a n -a m = d ；（2）等差数列｛a n ｝中，若m+n=p+q (其中m,n,p,q ∈N *)，则 ；若m+n=2p ，则a m +a n = p ，也称a p 为a m ，a n 的 .（3）等差数列中依次k 项和成等差数列，即___________________________________成等差数列，其公差为 。
数列的导学案
第一章 数 列第1课时 数列的概念一．自“学”提纲（一）知识点1.数列的概念（1）数列：一般地，按照一定 排列的一列数叫做数列. （2）项：数列中的每个数都叫做这个数列的 .（3）数列的表示：数列的一般形式可以写成a 1,a 2,a 3,…,a n ,…,简记为： .数列的第1项a 1也称 ，a n 是数列的第n 项，叫数列的 . 2.数列的分类项数有限的数列叫作 ，项数无限的数列叫作 . 3.数列的通项公式如果数列｛a n ｝的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n =f (n )，那么式子叫作数列{a n }的 . 4.数列的表示方法数列的表示方法一般有三种： 、 、 .（二）预习自测1.写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列个数: (1)7,5,3,1(2)515,414,313,2122222---- 2.根据下面数列}{n a 的通项公式,写出前5项.(1)1+=n na n(2)na n n ⋅-=)1((3)2=n a二．典型“导”例［例1］ 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ (1){0,1,2,3,4};(2)0,1,2,3,4; (3)0,1,2,3,4…;(4)1,-1,1,-1,1,-1…; (5)6,6,6,6,6.［例2］ 写出下面各数列的一个通项公式 (1)3,5,9,17,33,…;(2)32，154，356，638，…； (3)21,2, 29，8，225，…; (4) 1122-，3232-，5342-，7452-，….变式应用 写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： （1）1，3，7，15，31，…; （2）1，21，31，41，…； （3）0.9，0.99，0.999，……， 0.9999个项有第n n ，….［例3］ 在数列｛a n ｝中通项公式是a n ＝（-1）n -1·)1)(12(2+-n n n ,写出该数列的前5项，并判断17081是否是该数列中的项？如果是，是第几项，如果不是，请说明理由.变式应用 以下四个数中，哪个是数列{n （n ＋1）}中的项（ ） A. 380 B. 39 C. 32 D.23［例4］ 在数列{a n }中，a 1=2,a 2=1,且a n +2=3a n +1-a n ,求a 6+a 4-3a 5.变式应用4 已知数列{a n }的首项a 1=1,a n =2a n -1+1(n ≥2)，那么a 5= .［例5］ 已知数列{a n }的前4项为1,0,1,0，则下列各式可以作为数列{a n }的通项公式的有（ ） ①a n =21［1+(-1) n+1］;②a n =sin 22n π，(n ∈N +);③a n =21［1+(-1) n+1］+(n -1)(n -2);④a n =2πcos 1n -; 1 (n 为偶数) ⑤a n =0 (n 为奇数)A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 三．练习反馈 一、选择题1.数列2，5，22，11，…，则25是该数列的（ ） A.第6项 B.第7项 C.第10项 D.第11项2.数列0，31，21，53，32，…的通项公式为（ ） A.a n =n n 2- B.a n =n n 1- C.a n =11+-n n D.a n =22+-n n 3.数列1，3，6，10，x ，21，…中，x 的值是（ ）A.12B.13C.15D.16二、填空题4.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n +1,则a k +1= .5.已知数列｛a n ｝的通项公式a n =)2(1 n n (n ∈N +),则1201是这个数列的第 项.三、解答题6.根据数列的前四项的规律，写出下列数列的一个通项公式. (1)-1,1,-1,1; (2)-3,12,-27,48; (3)53，21,115，73; (4)32，154，356，638. 四．归纳总结1．知识方面： 2．思想与方法方面： 3．典型题型第2课时 数列的函数特性一．自“学”提纲 （一）知识点 1.几种数列的概念（1）数列按照项与项之间的大小关系可分为 数列， 数列， 数列和 数列. （2）一般地，一个数列｛a n ｝，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做 数列；（3）一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做 数列； （4）一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做 数列；（5）如果数列｛a n ｝的各项都相等，那么这个数列叫做 数列. 2.数列的递推公式如果已知数列的 (或前几项)，且从第二项（或某一项）开始的 与它的(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 公式. 3.a n 与S n 的关系S 1 (n =1) 若数列｛a n ｝的前n 项和记为S n ，即S n =a 1+a 2+…+a n ,则a n =(n ≥2)（二）预习自测1. 已知数列{}n a 中的首项,11=a 且满足,21211na a n n +=+此数列的第三项是( ) A. 1 B. 21 C. 43 D. 852. 已知数列{}n a 满足,11=a ),1(,121>-=-n a a n n 则这个数列的前5项分别为____________________________ . 3. 写出下列数列的前5项： (1) ,211=a );1(141>+=+n a a n n(2) ,411-=a );1(111>-=-n a a n n二．典型“导”例［例1］ (1)根据数列的通项公式填表：(2)画出数列{a n }的图像，其中a n =3n -1.［例2］ 已知函数f (x )=2x -2-x ，数列{a n }满足f (log 2a n ) =-2n . (1)求数列{a n }的通项公式； （2）求证数列{a n }是递减数列.变式应用2 写出数列1, 42,73,104,135,…的通项公式，并判断它的增减性.［例3］ 求数列{-2n 2+9n +3}中的最大项.变式应用3 已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-5n +4. (1)数列中有多少项是负数？（2）n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值.［例4］ 在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出它们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资1500元，以后每年月工资比上年月工资增加230元，B 公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上年月工资的基础上增加5%，设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：该人在A 公司工作比在B 公司工作月工资收入最多可以多多少元？并说明理由(精确到1元).变式应用4 某企业由于受2011年国家财政紧缩政策的影响，预测2012年的月产值（万元）组成数列{a n }，满足a n =2n 2-15n +3,问第几个月的产值最少，最少是多少万元？［例5］ 已知a n =a ·（21）n(a ≠0且a 为常数)，试判断数列{a n }的单调性. 三．练习反馈 一、选择题1.已知数列｛a n ｝,a 1=1,a n -a n -1＝n -1(n ≥2)，则a 6=（ ）A.7B.11C.16D.172.(2012·济南高二检测)数列{a n }中，a n =-n 2+11n ,则此数列最大项的值是（ ） A.4121B.30C.31D.32 二、填空题 4.已知f (1)=2,f (n +1)=21)(+n f (n ∈N +),则f (4)= . 5.已知数列{a n }中，a n =a n +m (a <0,n ∈N ＋)满足a 1=2,a 2=4,则a 3= . 三、解答题 6.证明数列｛)1(1+n n ｝是递减数列.四．归纳总结1．知识方面： 2．思想与方法方面： 3．典型题型§2 等 差 数 列第1课时 等差数列的概念及通项公式一．自“学”提纲（一）知识点1.等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的 是 ，我们称这样的数列为等差数列.2.等差中项如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a,A,b 成等差数列，那么A 叫做 . 3.等差数列的判断方法（1）要证明数列{a n }是等差数列，只要证明：当n ≥2时， . （2）如果a n+1=22++n n a a 对任意的正整数n 都成立，那么数列{a n }是 . （3）若a,A,b 成等差数列，则A ＝ . 4.等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为 ，它的推广通项公式为 .5.等差数列的单调性 当d >0时，{a n }是 数列；当d =0时，{a n }是 数列；当d <0时，{a n ｝是数列.（二）预习自测1. 在下列选项中选出等差数列 __________（1） -1,1,3(2) 12,22,32,42(3)0,1,2,3,5,6（4）满足通项公式a n =2n 的数列 （5）满足递推关系a n+1=a n +3的数列(n 为正整数） （6）满足通项公式a n =1n 的数列 （7）3,3,3,3,... (8) 9,8,72. 等差数列{}n a 中，首项a 1=4，公差d=-2，则通项公式为__________3. 等差数列{}n a 中，第三项a 3=0，公差d=-2，则a 1=_______，通项公式为__________4. 等差数列{}n a 的通项公式为n a n23-=，则它的公差为（ ）A ．2 B. 3 C. -2 D. -3二．典型“导”例［例1］ 判断下列数列是否为等差数列. （1）a n =3n +2； （2）a n =n 2+n .1 n =1变式应用1 试判断数列｛c n ｝，c n = 是否为等差数列. 2n -5 n ≥2 ［例2］ 已知数列{a n }为等差数列，且a 5=11,a 8=5,求a 11.变式应用2 已知等差数列{a n }中，a 10=29,a 21=62,试判断91是否为此数列中的项.［例3］已知a,b,c成等差数列，那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列？变式应用3已知数列｛x n｝的首项x1=3,通项x n=2n p+nq(n∈N＋,p,q为常数)，且x1、x4、x5成等差数列.求：p,q的值.［例4］某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？变式应用42012年将在伦敦举办奥运会，伦敦将会有很多的体育场，为了实际效果，体育场的看台一般呈“辐射状”.例如，某体育场一角的看台座位是这样排列的：第一排有150个座位，从第二排起每一排都比前一排多20个座位，你能用a n表示第n排的座位数吗？第10排可坐多少人？［例5］已知数列｛a n｝,a1=a2=1,a n=a n-1+2(n≥3).（1）判断数列｛a n｝是否为等差数列？说明理由；（2）求｛a n｝的通项公式.三．练习反馈一、选择题1.（2011·重庆文，1）在等差数列{a n}中,a2=2,a3=4,则a10=（）A.12B.14C.16D.182.已知等差数列{a n}的通项公式a n=3-2n,则它的公差为（）A.2B.3C.－2D.－33.方程x2-6x+1=0的两根的等差中项为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题4.在等差数列{a n}中，a2=3,a4=a2+8,则a6= .5.已知a、b、c成等差数列，那么二次函数y=ax2+2bx+c(a≠0)的图像与x轴的交点有个.三、解答题6.在等差数列｛a n｝中，已知a5=10,a12=31,求通项公式a n.四．归纳总结1．知识方面：2．思想与方法方面：3．典型题型第2课时 等差数列的性质一．自“学”提纲（一）知识点1.等差数列的项与序号的性质 （1）两项关系通项公式的推广：a n =a m +(m 、n ∈N +).(2)多项关系 项的运算性质：若m+n =p+q (m 、n 、p 、q ∈N +)，则=a p +a q .特别地，若m+n =2p (m 、n 、p ∈N +)，则a m +a n =.2.等差数列的项的对称性有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和（若有中间项则等于中间项的2倍），即a 1+a n =a 2+=a k +=2a 21+n (其中n 为奇数且n ≥3).3.等差数列的性质（1）若｛a n ｝是公差为d 的等差数列，则下列数列： ①｛c+a n ｝(c 为任一常数)是公差为 的等差数列； ②｛c ·a n ｝(c 为任一常数)是公差为的等差数列；③｛a nk ｝(k ∈N +)是公差为的等差数列.(2)若｛a n ｝、｛b n ｝分别是公差为d 1、d 2的等差数列，则数列｛pa n +qb n ｝(p 、q 是常数)是公差为的等差数列.（二）预习自测1．在等差数列{}n a 中，102,a a 是方程0532=--x x 的两根，求a 6的值。
高中数学 2.1数列(1)导学案 苏教版必修5
⑤某种树木第1年长出幼枝，第2年幼枝长成粗干，第3年粗干可生出幼枝（书29页图2-1-2），那么按照这个规律，各年树木的枝干数依次为
1，1，2，3，5，8 …
⑥从1984年到2004年，我国共参加了6次奥运会，各次参赛得的金牌总数依次为
2．根据数列 的通项公式，写出这个数列的前 项和第 项：
（1） ；（2） ．
3． 是否为数列 中的项？如果是，是第几项？
4．数列 的第 项是________________．
【课外作业】
1．不是数列 中的一项的是 （ ）
Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．
2．已知数列 ，则函数 的图象是 （ ）
Ａ．一条直线Ｂ．在第一象限的一条射线
20，22，24，26，28，…
②人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为
1740，1823，1906，1989，2072，…
③某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，一个细胞分裂的个数依次为
1，2，4，8，16，…
15，5，16，16，28，32
这些问题有什么共同的特点？
2．数列的定义：____________________________________________________称为数列；
_____________________________________________叫这个数列的项．
____________________叫有穷数列．__________________叫无穷数列．
数列导学案
2.1数列的概念与简单表示法(1)导学案班级： 组别： 组号：___________ 姓名： 【学习目标】1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式. 【自主学习】（学习教材P 28 ~ P 30 ，找出疑惑之处）复习1：函数3x y =，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？ 复习2：函数y =7x +9，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？任务：数列的概念⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列.⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项. 反思：⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？3. 数列的一般形式：123,,,,,n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第 项.4. 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用 来表示，那么 就叫做这个数列的通项公式. 反思：⑴所有数列都能写出其通项公式？⑵一个数列的通项公式是唯一？⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？5．数列的分类：1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列， 数列， 数列和 数列. 【合作探究】例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴ 1，－12，13，－14； ⑵ 1， 0， 1， 0.变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴ 12，45，910，1617； ⑵ 1， －1， 1， －1；小结：要由数列的若干项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数关系.例2已知数列2，74，2，…的通项公式为2nan bacn+=，求这个数列的第四项和第五项.变式是它的第项.小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项【目标检测】（A级、全体学生做）1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴1，13，15，17；⑵12 .2. 写出数列2{}n n-的第20项，第n＋1项.3. 在横线上填上适当的数：3，8，15，，35，48.4.数列(1)2{(1)}n n--的第4项是.5. 写出数列121-⨯，122⨯，123-⨯，124⨯的一个通项公式.【作业布置】任课教师自定2.1数列的概念与简单表示法(2)导学案班级： 组别： 组号：___________ 姓名： 【学习目标】1. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2. 会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法.【自主学习】（学习教材P 31 ~ P 34 ，找出疑惑之处） 复习1：什么是数列？什么是数列的通项公式？复习2：数列如何分类？【合作探究】探究任务：数列的最常用表示方法问题：观察钢管堆放示意图，寻找每层的钢管数n a 与层数n 之间有何关系？1. 通项公式法：试试：上图中每层的钢管数n a 与层数n 之间关系的一个通项公式是 .2. 递推公式法：递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.试试：上图中相邻两层的钢管数n a 与1n a +之间关系的一个递推公式是 .典型例题例1 设数列{}n a 满足11111(1).nn a a n a -=⎧⎪⎨=+>⎪⎩写出这个数列的前五项.例2 已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+， 那么2007a =（ ）.A. 2003×2004B. 2004×2005C. 2007×2006D. 22004例3．已知数列{}n a 满足10a =，1n a + （*n N ∈），则20a =（ ）.A ．0 B.D.【目标检测】（A 级、全体学生做）1. 已知数列130n n a a +--=，则数列{}n a 是（ ）.A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 常数列2. 数列{}n a 中，2293n a n n =-++，则此数列最大项的值是（ ）.A. 3B. 13C. 1318 D. 123. 数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=+（n ≥1），则该数列的通项n a =（ ）. A. (1)n n + B. (1)n n - C. (1)2n n + D. (1)2n n -4. 已知数列{}n a 满足113a =，1(1)2n n n a a -=- （n ≥2），则5a = .5. 已知数列{}n a 满足112a =，111n n a a +=-（n ≥2），则6a = .6. 数列{}n a 中，1a ＝0，1n a +＝n a ＋(2n －1) (n ∈N )，写出前五项，并归纳出通项公式.【作业布置】 任课教师自定2.2等差数列（1）导学案班级： 组别： 组号：___________ 姓名： 【学习目标】1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.【自主学习】（学习教材P 36 ~ P 39 ，找出疑惑之处） 复习1：什么是数列？复习2：求数列的通项公式有哪些常用方法？任务一：等差数列的概念1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示.2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A =任务二：等差数列的通项公式若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得： 21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+ 43a a -= ，即：431a a d a =+=+……由此归纳等差数列的通项公式可得：n a =∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a .【合作探究】例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要例2 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？变式：已知数列的通项公式为61n a n =-，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？小结：要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1n n a a --（n ≥2）是不是一个与n 无关的常数.理解：1. 等差数列通项公式为1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-. 分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线1(1)y a x d =+-上的一些间隔均匀的孤立点.2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为,,a d a a d -+. 若四个数成等差数列，可设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++.【目标检测】（A 级、全体学生做）1. 等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.2. 在等差数列{}n a 的首项是51210,31a a ==， 求数列的首项与公差.3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 64. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则∠B ＝ .5. 等差数列的相邻4项是a +1，a +3，b ，a +b ，那么a ＝ ，b ＝ .【作业布置】 任课教师自定2.2等差数列（2）导学案班级： 组别： 组号：___________ 姓名： 【学习目标】1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.【自主学习】（复习1：什么叫等差数列？复习2：等差数列的通项公式是什么？【合作探究】1. 在等差数列{}n a 中，d 为公差， m a 与n a 有何关系？2. 在等差数列{}n a 中，d 为公差，若,,,m n p q N +∈且m n p q +=+，则m a ，n a ，p a ，q a 有何关系？3. 判别一个数列是否等差数列的三种方法，即： （1）1n n a a d +-=；（证明时使用） （2）q pn a n +=； （3）2n S an bn =+.典型例题例1 在等差数列{}n a 中，已知510a =，1231a =，求首项1a 与公差d .小结：在等差数列{}n a 中，公差d 可以由数列中任意两项m a 与n a 通过公式m na a d m n-=-求出.例2 在等差数列{}n a 中，23101136a a a a +++=，求58a a +和67a a +.【目标检测】（A 级、全体学生做）1. 在等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，25833a a a ++=，求369a a a ++的值.2. 已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个相同项？3. 等差数列{}n a 中，3a ，10a 是方程2350x x --=，则56a a +＝（ ）.A. 3B. 5C. －3D. －54. 等差数列{}n a 中，25a =-，611a =，则公差d ＝ .5. 若48，a ，b ，c ，－12是等差数列中连续五项，则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .【作业布置】 任课教师自定2.3.1 等差数列的前n 项和（一）班 级 组 别 组 号 姓 名【学习目标】1、掌握等差数列前n 项和公式及其推导过程和思想方法．2、会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题。
高中数学 2.1数列的概念与简单表示法 精品导学案1 新人教A版必修5
湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 2.1数列的概念与简单表示法导学案1 新人教A 版必修5班级 组别 组号______ 姓名 【学习目标】 1、 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系； 2、 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3、 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
【自主学习】复习1：函数3x y =，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？复习2：函数y =7x +9，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？任务1 数列的概念1、 数列的定义： 的一列数叫做数列。
2、 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项。
反思：⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？3、 数列的一般形式：123,,,,,n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第 项。
4、 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用 来表示，那么 就叫做这个数列的通项公式。
.反思： ⑴所有数列都能写出其通项公式？⑵一个数列的通项公式是唯一？⑶数列与函数有关系吗？如果有，是什么关系？5、数列的分类（1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；（2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列 数列 数列和 数列.【合作探究】例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴ 1，－12，13，－14； ⑵ 1， 0， 1， 0.变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴ 12，45，910，1617； ⑵ 1， －1， 1， －1；小结： 要由数列的若干项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数关系。
例2、已知数列2，74，2，…的通项公式为2n an b a cn +=，求这个数列的第四项和第五项。
人教版高中数学全套教案导学案1.数列概念教案1
教师课时教案备课人授课时间课题 2.1数列的概念与简单表示法（1）课标要求理解数列及其有关概念，掌握通项公式及其应用教学目标知识目标理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，技能目标会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
情感态度价值观体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
重点数列及其有关概念，通项公式及其应用难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动Ⅰ.课题导入三角形数：1，3，6，10，…正方形数：1，4，9，16，25，…Ⅱ.讲授新课⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式：,,,,,321naaaa，或简记为{}n a，其中na是数列的第n项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序有这样的对应关系：项151413121↓↓↓↓↓序 1 2 3 4 5这个数的第一项与这一项的序可用一个公式：nan1=来表示学生阅读理解概念老师评价讲解1教师课时教案教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动⒋数列的通项公式：如果数列{}n a的第n项n a与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=nna，也可以是|21cos|π+=nan.⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()na f n=，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
等比数列第一课时导学案
2.3 等比数列导学案(1)主备人：卢爱侠 审核人：韩世设 编制时间：3月 姓名_________班级___组别____ 学习目标:1 .理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列; 2 ..掌握等比数列的通项公式并能简单应用;重点：等比数列和等差中项的概念及等比数列通项公式的推导和应用 难点：等比数列通项公式的推导及应用。
一、温故知新什么叫等差数列？通项公式是什么?什么叫等差中项？ 二、探求新知1、研究下面三个数列并回答问题①1、2、4、8…；②1、-1、1、-1…③1、21-、41、81-…问题1：上面数列都是等差数列吗？问题2：以上数列后项与前项的比有何特点？ 2、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示。
3、等比数列的通项公式的推导过程：设等比数列{}n a ，的公比为q 方法1：（归纳法）,11a a =12a a = ，123a q a a == ，134a q a a == ，……11a q a a n n ==-方法2：（累乘法）根据等比数列的定义，可以得到=12a a ，=23a a ，=34a a ，…，=-1n n a a .以上共有 等式，把以上 个等式左右两边分别相乘得=∙∙∙∙-1342312n n a a a a a a a a ，即 =1a a n ，即得到等比数列的通项公式。
4、等比数列的通项公式 =n a三、通过预习掌握的知识点1、等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n n a a =q （q ≠0）1︒ “从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)，即nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）2︒ 隐含：任一项00≠≠q a n 且 3︒ q= 1时，{a n }为常数。
数列概念导学案
数列概念一.学习目标：1、熟练掌握数列的概念，准确理解通项公式与函数的关系，提高归纳猜想能力2、自主学习、合作探究，总结求数列通项公式的规律方法。
3、激情投入，惜时高效，培养良好的数学思维品质，体验数字变化之美。
重难点：数列的概念以及数列的通项公式二•问题导学：阅读课本P3-6思考并回答下列问题：1. 数列的概念：①你能根据自己的理解写出数列的定义吗？②数列的一般形式a!, a2,...a n,..•，简记｛a n｝，那么a n与｛a n｝有什么不同？2. 数列的通项公式：给定一个数列：1、3、5、7……你能写出数列的第5项，第7项吗？第n项呢?①你能试着写出数列通项公式的定义吗？③通项公式可看作是一个函数吗？它的定义域是什么？图像有什么特点？⑴2, 3,4, 5；则a n= ----------------------------- (2)持3鲁；则a n=-1111(3) -,,；则a n= (4) 1，-3，5, -7 ；则a n =2 4 8 16三.合作探究例1、根据下面数列｛a n｝的通项公式，写出它的前5项：n …1n n⑴“市；(2) a n=cos y；(3) an=2n(—1);拓展：根据下面数列｛a n｝的通项公式，写出它的第10项：2(n —1加(1) a= n-9n 10; (2) a= 1 cos ;(3)请判断2是不是第(1)小题中的那个数列的项3. 数列的分类：按项数分可以分为哪几类？【小试牛刀】1. 下列说法不正确的是( )A、所有数列都能写出通项公式B、数列的通项公式不唯一C、数列中的项不能相等 D 、数列可以用一群孤立的点表示2. 已知数列｛a n｝中，务=2n-1，则a3等于____________3. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：小结：例2、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1) 1，3，5，7; (2) 0，2，0，2; (3) 10,100,1000,10000;变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数:(1) 9，99，999，9999;(2) 5, 55, 555, 5555;四.深化提咼:1.已知数列1,、、3,、、5,、一7,…，.2^1,...,贝U 3.5是该数列的第__ 项.当堂检测1. 下列说法正确的是（）.A. 数列中不能重复出现同一个数B. 1 , 2, 3, 4 与4, 3, 2, 1 是同一数列C. 1 , 1, 1, 1…不是数列D. 两个数列的每一项相同，则数列相同2. 下列式子不能作为数列0, 1, 0, 1,...的通项公式的是（）2.观察下列各式：1+3=4;1+3+5=9 ；1+3+5+7=16请写出第4,第5个等式，并写出第n个等式.A.』0（n为奇数）. a1（n为偶数）；B.r • n + 1 f a. = sin 2二；C.1（一丫；D.1 (-1严a n・2a n -23. 在横线上填上适当的数：3, 8, 15, ____ , 35, 48.五.我的学习总结：（1）我对知识的总结_____________________________________________________________________ 4.写出数列1, 3, 6, 10, 15,...;的一个通项公式_____________ . ____（2）我对数学思想及方法的总结__________________________________________________________欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
数列导学案
（ 6）已知 a5＝ 10， a15＝90，求 a20；
3
例 4 设 { an}
a1 a4 a7
a 97
是公差为
50,则 a3 a6 a 9
2 的等差数列，
a 99 等于（ ）
5．已知 {a n} 为等差数列， Sn 为数列 {a n } 的前 n 项和，已知 S7＝ 7， S15＝75， T n 为数 列 { Sn } 前 n 项和。求 Tn．
4
《等差数列 （二） 》导学案
【学习目标】
一、掌握并应用等差数列的性质
【重点难点】
二、等差数列的性质
【学法指导】
归纳总结、习题训练
【教学过程】 一、导入 【疑 点探究 】：
等差数列的性质
1 、 在 等 差 数 列 中 ， 若 p+q=m+n ， 则
则
；
2、an=A n+B { an} 成等差数列；
【重点难点】 等差数列的定义、通项公式及前 n 项和 Sn 的公式。 【学法指导】
归纳总结、习题训练
为 __________ ；若 d＝ 0，则数列为 ________．
二、深入学习
例 1.求项数 （1） 1,4,7,10, …… 73, 共 __个数 （2） 3， 6，9， 12，…… 3n+6,共 项
(1) 求通项 an； (2) 若 Sn＝ 242，求 n.
7.已知数列
{
an
}
中，
a
1＝
3 5
，
an＝
2－
1 a n－ 1
(n≥ 2， n∈N *)，数列
{ bn} 满足
b
n＝
1 an－
1
(n
苏教版必修五全册导学案--数列复习1导学案(教师版).doc
执笔人：姚东盐审核人：2009年10月日必修5数列复习小结第1课时第19课时一、学习目标（1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n项和公式；（2）提高分析、解决问题能力.二、知识点总结（~）数列的概念1.数列的概念与简单表示法（1）从定义角度看：（2）从函数角度看：数列可以看成以正整数集N*它的有限子集为定义域的函数a…=f（n）当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值.2.数列的表示（1）列表法；（2）图象法：注意图象是,而不是；（3）通项公式：（4）递推公式：如果已知数列｛a,｝的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.3.数列的分类1）按数列项数的多少可以分为和o2）按数列中相邻两项的大小可分为、、—和—.4.数列的通项a”与前n项和S”之间的关系对任一数列有a…=< （二）等差数列1.等差数列的定义：若数列｛混为等差数列，则有a-^d｛其中nN2, nEN*）.2.等差中项：3.等差数列的通项公式：a,~a^ + （n~\）d,其中切为首项，d为公差.当d>0时，数列｛a,｝为递增数列;当次0时，数列｛&,｝为递减数列;当d=O 时，数列｛&｝为宣数列.4.等差数列的前〃项和公式:5.等差数列的性质：（1）等差数列｛&｝中，&-&= d・,（2）等差数列｛&,｝中，若m+n=p+q（其中m, n, p, qE中）,则&,也=<3/%；若m+n/p,则am+an Wa”也称a。
为a®,a”的等差中项.（3）等差数列中依次k项和成等差数列，即S K、S2K-S K. S3K-S2K成等差数列，其公差为矿。
6.已知三个数成等差数列，可设这三个数为若四个数成等差数列，可设为——.7.等差数列的判定方法：1）定义法：% — a, = d 0｛a“｝是等差数列。
2.1数列的概念导学案
§2.1 数列的概念与简单表示法编者：1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
2. 通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．3.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式使用说明：（1）预习教材，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法；（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容；（3）不做标记的为C 级，标记★为B 级，标记★★为A 级。
预习案（20分钟）一．知识链接1. ①三角形数：1，3，6，10，…②正方形数：1，4，9，16，25，… 你能找到规律并写出后面三个数吗？探究案（30分钟）二．新知探究⒈ 数列的定义：按一定 排列的 叫做数列.反思：⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？（3）和集合中的元素有什么区别？⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“1”是这个数列的第1项（或首项），“10”是这个数列中的第4项.⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项组长评价： 教师评价：结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“9”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于下面的数列，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 151413121↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：na n 1=来表示其对应关系即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第 项 与n 之间的关系可以用一个公式 来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 反思：⑴是不是所有数列都能写出其通项公式？⑵一个数列的通项公式是唯一的？⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？注意：（1）数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．（2）数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
【高中】高中数学必修五数列导学案
【关键字】高中数列导学案§2.1 数列的概念及简单表示（一）【学习要求】1．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型．2．探索并掌握数列的几种简单表示法．3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．【学法指导】1．在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念．2．类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法．3．由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式．【知识要点】1．按照一定顺序排列的一列数称为，数列中的每一个数叫做这个数列的．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做___项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第项．2．数列的一般形式可以写成a1,a2,…,an,…,简记为．3．项数有限的数列叫做数列，项数无限的数列叫做_____数列．4．如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的公式．【问题探究】探究点一数列的概念问题先看下面的几组例子：（1）全体自然数按从小到大排成一列数：0,1,2,3,4，…；（2）正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数：1，，，，；（3）π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排成一列数：3,3.1,3.14,3.141，…；（4）无穷多个1排成一列数：1,1,1,1,1，…；（5）当n分别取1,2,3,4,5，…时，(－1)n的值排成一列数：－1,1，－1,1，－1，….请你根据上面的例子尝试给数列下个定义．探究数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质？探究点二数列的几种表示方法问题数列的一般形式是什么？回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，数列还有哪些表示方法？探究下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整．（1）数列：1,3,5,7,9，…①用公式法表示：an＝；②用列表法表示：（2）数列：1，，，，，…①用公式法表示：an＝.②用列表法表示：③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)：探究点三 数列的通项公式问题 什么叫做数列的通项公式？谈谈你对数列通项公式的理解？探究 根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要熟悉一些常见数列的通项公式．下表中的一些基本数列，你能准确快速地写出它们的通项公式吗？ 数列 通项公式 －1,1，－1,1，…a n ＝ 1,2,3,4，…a n ＝ 1,3,5,7，…a n ＝ 2,4,6,8，…a n ＝ 1,2,4,8，…a n ＝ 1,4,9,16，…a n ＝ 1，12，13，14，… a n ＝【典型例题】例1 根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2 012项．（1）an ＝cos ；（2）bn ＝＋＋＋…＋.小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意n ＝1,2,3，….如果数列的通项公式较为复杂，应考虑运算化简后再求值．追踪训练1 根据下面数列的通项公式，写出它的前4项．（1）an ＝2n ＋1；（2）bn ＝例2 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：（1）1，－3,5，－7,9，…；（2），2，，8，，…；（3）9,99,999,9 999，…；（4）0,1,0,1，….小结 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．追踪训练2 写出下列数列的一个通项公式：（1）212，414，618，8116，…； （2）0.9,0.99,0.999,0.999 9，…；（3）－12，16，－112，120，…. 例3 已知数列{a n }的通项公式a n ＝－1n n ＋12n －12n ＋1. （1）写出它的第10项；（2）判断233是不是该数列中的项． 小结 判断某数列是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n 的值，若存在正整数n ，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项．跟踪训练3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n n ＋2(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第______项． 【当堂检测】1．下列叙述正确的是 ( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }C ．数列0,1,0,1，…是常数列D ．数列{n n ＋1}是递增数列 2．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，___，11，…. 3．已知下列数列：（1）2 000,2 004,2 008,2 012； （2）0，12，23，…，n －1n，…； （3）1，12，14，…，12n －1，…； （4）1，－23，35，…，－1n －1·n 2n －1，…； （5）1,0，－1，…，sin n π2，…； （6）6,6,6,6,6,6. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上)【拓展提高】4．写出下列数列的一个通项公式：（1）a ，b ，a ，b ，…；（2）－1，85，－157，249，…. 【课堂小结】1．{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．3．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决．§2.1 数列的概念及简单表示（二）【学习要求】1．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．2．能从函数的观点研究数列，掌握数列的一些简单性质．【学法指导】1．数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．一般只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项．2．由于数列可以看作是一类特殊的函数，因此许多函数的性质可以应用到数列中．例如，数列的单调性、数列的最值、数列的周期性都可以类比函数的性质．【知识要点】1．如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的 公式．2．数列可以看作是一个定义域为 (或它的有限子集{1,2,3，…，n })的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列 ．3．一般地，一个数列{a n }，如果从 起，每一项都大于它的前一项，那么这个数列叫做 数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，那么这个数列叫做 数列．如果数列{a n }的各项都 ，那么这个数列叫做常数列．4．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝1，则a n ＝ ，从单调性来看，数列是单调 数列．【问题探究】公元前13世纪意大利数学家斐波那契的名著《算盘全书》中，记载了一个著名的问题，某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，如果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开始也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？该问题在原书中作了分析：第一个月和第二个月都是最初的一对兔子，第三个月生下一对兔子，围墙内共有两对兔子，第四个月仍是最初的一对兔子生下一对兔子，共有3对兔子．到第五个月除最初的兔子新生一对兔子外，第一个月生的兔子也开始生兔子，因此共有5对兔子．继续推下去，第12个月时最终共有144对兔子．书中还提出，每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得．据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数{a n }：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，a n ＋1＝a n ＋a n －1命名为斐波那契数列，它在数学的许多分支中有广泛应用．数列的这种表达形式，是用前面的项来表达后面的项，我们称之为数列的递推公式，数列的递推公式有什么应用呢？这一节我们就来学习数列的递推公式．探究点一 数列的函数特性问题 数列是一种特殊的函数，与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈你的认识． 探究1 数列的单调性下面给出了一些数列的图象：a n ＝2n －1a n ＝1na n ＝(－1)n观察上述数列项的取值的变化规律，请类比单调函数的定义，把下列单调数列的定义补充完整．一般地，一个数列{a n }，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做递增数列；如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做递减数列；如果数列{a n }的各项都相等，那么这个数列叫做常数列．因此，要证明数列{a n }是单调递增数列，只需证明a n ＋1－a n 0；要证明数列{a n }是单调递减数列，只需证明a n ＋1－a n 0.探究2 数列的周期性已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，试写出a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，你发现数列{a n }具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 012项是多少？探究点二 由简单的递推公式求通项公式问题 递推公式与通项公式，都可以用来写出数列中的任意项，都是给出数列的一种方法，那么它们究竟有什么不同呢？探究1 对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立．试根据这一结论，求解下列问题．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，试求通项a n .探究2 若数列{a n }中各项均不为零，则有：a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a n成立．试根据这一结论求解下列问题．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)，试求通项a n . 【典型例题】例1 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项．小结 已知数列递推公式求数列通项时，依次将项数n 的值代入即可．跟踪训练1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4. 例2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2n 2＋1.求证：数列{a n }为递增数列． 小结 数列是一种特殊的函数，因此可用函数单调性的方法来研究数列的单调性．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝an bn ＋1，其中a 、b 均为正常数，那么a n 与a n ＋1的大小关系是 ( )A ．a n >a n ＋1B ．a n <a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．与n 的取值相关例3 已知a n ＝9n n ＋110n (n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．小结 数列的最大、最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决，若求最大项a n ，n 的值可通过解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1a n ≥a n ＋1来确定；若求最小项a n ，n 的值可通过解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1a n ≤a n ＋1来确定． 跟踪训练3 在数列{a n }中，a n ＝n 3－an ，若数列{a n }为递增数列，试确定实数a 的取值范围．【当堂检测】1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是 ( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是 ( )A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥23．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列中最大项的值是( )A ．107B ．108C ．10818D ．1094．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列的通项a n 等于 ( )A．n2＋1 B．n＋1 C．1－n D．3－n【课堂小结】1．同数列的通项公式一样，数列的递推公式也是表示数列的常用方法之一．递推公式法与通项公式法统称为公式法．2．函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N*或它的有限子集{1,2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即a n>a n－1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{a n}递增⇔a n＋1>a n对任意的n (n∈N*)都成立．类似地，有{a n}递减⇔a n＋1<a n对任意的n(n∈N*)都成立．【拓展提高】§2.2 等差数列（一）【学习要求】1．理解等差数列的意义．2．会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题．3．掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．【学法指导】1．要善于通过实例的观察、分析、归纳、提炼来理解等差数列的概念，同时，还应准确理解等差数列的关键词“从第2项起”，“差是一个常数”等；要善于用归纳或叠加法探求等差数列的通项公式．2．利用a n＋1－a n＝d(n∈N＋)可以帮助我们判断一个数列是否为等差数列．【知识要点】1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做数列，这个常数叫做等差数列的，公差通常用字母d表示．2．若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的_________，并且A＝.3．若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项a n＝________.4．等差数列{a n}中，若公差d>0，则数列{a n}为数列；若公差d<0，则数列{a n}为数列．【问题探究】1．1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星运动的轨迹和1531年、1607年的彗星的运动轨迹惊人地相似，便大胆断定这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归．这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年．请你查找资料，列出哈雷彗星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的时间．哈雷彗星的回归时间表(单位：年)1607,1682,1759,1835,1910,1986,2061，….预测它在本世纪回归的时间是2061年．2．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？这个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，像这样的数列叫做等差数列．等差数列有很多的应用，这一节我们就来学习等差数列及其通项公式．探究点一 等差数列的概念问题1 我们先看下面几组数列：（1）3,4,5,6,7，…；（2）6,3,0，－3，－6，…；（3）1.1,2.2,3.3,4.4,5.5，…；（4）－1，－1，－1，－1，－1，….观察上述数列，我们发现这几组数列的共同特点是问题2 判断下列数列是否为等差数列，如果是，指出首项a 1和公差d ；如果不是，请说明理由：（1）4,7,10,13,16，…；（2）31,25,19,13,7，…；（3）0,0,0,0,0，…；（4）a ，a －b ，a －2b ，…；（5）1,2,5,8,11，….探究 如何准确把握等差数列的概念？谈谈你的理解．探究点二 等差数列的通项公式问题 如果等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，你能用两种方法求其通项吗？探究1 根据等差数列的定义：a n ＋1＝a n ＋d ，可以依次得到a 1，a 2，a 3，a 4，…，然后观察规律，归纳概括出通项公式a n .探究2 由等差数列的定义知：a n －a n －1＝d (n ≥2)，可以采用叠加法得到通项公式a n .探究点三 等差中项问题1 如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，试用x ，y 表示A . 探究 若数列{a n }满足：a n ＋1＝a n ＋a n ＋22，求证：{a n }是等差数列． 【典型例题】例1 已知{a n }为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式．（1）a 3＝5，a 7＝13；（2）前三项为：a,2a －1,3－a .小结 在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．跟踪训练1 若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.例2 已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c也成等差数列． 跟踪训练2 已知a ，b ，c 成等差数列，那么a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )是否能构成等差数列？ 例3 梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．跟踪训练3 在通常情况下，从地面到10 km 高空，高度每增加1 km ，气温就下降某一个固定数值.如果1 km 高度的气温是8.5℃,5 km 高度的气温是-17.5℃，求2 km ，4 km ，8 km 高度的气温.【当堂检测】1．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列是 ( )A ．公差为1的等差数列B ．公差为13的等差数列 C ．公差为－13的等差数列 D ．不是等差数列 2．若a b s ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是( ) A ．b －a B ．b －a 2 C ．b －a 3 D ．b －a 43．在等差数列{a n }中，（1）已知a 1＝2，d ＝3，n ＝10，则a n ＝___；（2）已知a 1＝3，d ＝2，a n ＝21，则n ＝___；（3）已知a 1＝12，a 6＝27，则d ＝___；（4）已知d ＝－13，a 7＝8，则a 1＝___. 4（1）你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？（2）利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远？它爬行49 cm 需要多长时间？【课堂小结】1．等差数列的判定关键要看a n ＋1－a n (n ∈N *)是否为一个与n 无关的常数．由于a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n＋1⇔2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，所以也可以利用2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)来判定等差数列．注意数列的项中含有字母时是否需要分类讨论．2．等差数列的通项公式及其变形a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d 的应用极其灵活，公式中的四个量a 1，a n ，n ，d 中知三可求一．充分利用等差数列的函数特性可使解题过程更为简捷．3．数列的应用题在数列中占有很重要的地位．【拓展提高】§2.2 等差数列（二）【学习要求】1．能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质．2．能运用等差数列的性质解决有关问题．【学法指导】1．灵活运用等差数列的性质，可以减少计算量，因此要熟练掌握等差数列的有关性质．2．掌握等差数列与一次函数之间的关系，就能站在较高的角度整体把握等差数列的内涵和本质．【知识要点】1．等差数列的通项公式：a n＝.2．等差数列的项的对称性：有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即：a1＋a n＝a2＋＝…＝a k＋.3．等差数列的性质（1）若{a n}是等差数列，且k＋l＝m＋n(k、l、m、n∈N*)，则.（2）若{a n}是等差数列，且公差为d，则{a2n－1}和{a2n}都是等差数列，且公差为.（3）若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p、q是常数)是公差为的等差数列．【问题探究】探究点一等差数列的常用性质问题设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则有下列性质：（1）若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.（2）若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则a m＋a n＝2a k.请你给出证明．探究已知等差数列{a n}、{b n}分别是公差为d和d′，则由{a n}及{b n}生成的“新数列”具有以下性质，请你补充完整．①{a n}是等差数列，则a1，a3，a5，…仍成等差数列(首项不一定选a1)，公差为；②下标成等差数列且公差为m的项a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为的等差数列；③数列{λa n＋b}(λ，b是常数)是公差为的等差数列；④数列{a n＋b n}仍是等差数列，公差为；⑤数列{λa n＋μb n}(λ,μ是常数)仍是等差数列,公差为.探究点二等差数列与一次函数的联系探究由于等差数列{a n}的通项公式a n＝dn＋(a1－d)，与一次函数对比可知，公差d本质上是相应直线的斜率．如a m，a n是等差数列{a n}中的任意两项，由a n＝a m＋(n－m)d，可知点(n，a n)分布以为斜率，以为纵截距的直线上．【典型例题】例1在等差数列{a n}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．小结解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则a m ＋a n＝a p＋a q＝2a w(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．跟踪训练1已知等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．例2 三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．小结 利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间一项为a ，再用公差为d 向两边分别设项：…a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，这样可减少计算量．跟踪训练2 四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两数的积为－8，求这四个数．例3 已知数列{a n }，满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2. （1）数列{1a n}是否为等差数列？说明理由． （2）求a n .小结 判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)，也可以用a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)进行判断．本题属于“生成数列问题”，关键是形成整体代换的思想方法，运用方程思想求通项公式．跟踪训练3 正项数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n .（1）数列{a n }是否为等差数列？说明理由．（2）求a n .【当堂检测】1．等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( )A ．3B ．－3C ．32D ．－322．等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d ＝____3．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，求a 5＋a 84．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．【课堂小结】1．判断一个数列{a n }是否是等差数列，关键是看a n ＋1－a n 是否是一个与n 无关的常数．2．三个数成等差数列可设为：a －d ，a ，a ＋d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ；四个数成等差数列可设为：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d .3．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．【拓展提高】§2.3等差数列前n 项和（一）【学习要求】1．理解等差数列前n 项和公式的推导过程．2．熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．3．掌握等差数列前n 项和公式及性质的应用．【学法指导】1．运用等差数列的前n 项和公式的关键在于准确把握它们的结构特征，这样才能根据具体情境(已知条件和待求目标)选用恰当的公式解决问题．2．要善于从推导等差数列的前n 项和公式中，归纳总结出一般的求和方法——倒序相加法．【知识要点】1．把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做 .例如a 1＋a 2＋…＋a 16可以记做 ；a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝ (n ≥2)．2．若{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝ ；若首项为a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝ 3．写出下列常见等差数列的前n 项和 （1）1＋2＋3＋…＋n ＝ ． （2）1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝ . （3）2＋4＋6＋…＋2n ＝ . 4．等差数列{a n }中（1）已知d ＝2，n ＝15，a n ＝－10，则S n ＝________； （2）已知a 1＝20，a n ＝54，S n ＝999，则d ＝________； （3）已知a 1＝56，d ＝－16，S n ＝－5，则n ＝_______【问题探究】“数学王子”高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．高斯十岁那年，老师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，老师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去．老师起初并不在意这一举动，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊．而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数的和是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，…共有50对这样的数，用101乘以50得到5 050，这种算法是教师未曾教过的方法，高斯自己就想出来了，那么这是一个什么样的方法呢？它用于解决什么类型的问题呢？这种方法叫倒序相加法，是等差数列求和的一种重要方法，这一节我们就来学习等差数列的求和方法．探究点一 等差数列前n 项和公式的推导 问题 求和：1＋2＋3＋…＋100＝？对于这个问题，著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结果．当时他的思路和解答方法是：S ＝1＋2＋3＋…＋99＋100，把加数倒序写一遍：S ＝100＋99＋98＋…＋2＋1.所以有2S ＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101，∴S ＝50×101＝5 050. 请你利用“高斯的算法”求1＋2＋3＋…＋n ＝？探究 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，你能利用“倒序相加法”求等差数列{a n }的前n 项和S n 吗？探究点二 等差数列前n 项和的性质探究1 设{a n }是等差数列，公差为d ，S n 是前n 项和，易知a 1＋a 2＋…＋a m ，a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ，a 2m ＋1＋a 2m ＋2＋…＋a 3m 也成等差数列，公差为 .上述性质可以用前n 项和符号S n 表述为：若{a n }成等差数列，则S m ， ，_________也成等差数列．探究2 若数列{a n }是公差为d 的等差数列，求证：数列{S nn }也是等差数列．探究3 设S n 、T n 分别为两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，证明：a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.【典型例题】例1 在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .小结 在解决等差数列问题时，如已知a 1，a n ，n ，d ，S n 中任意三个，可求其余两个，这种问题在数学上常称为“知三求二”型．跟踪训练1 已知等差数列{a n }中，（1）a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；（2）a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .例2 （1）等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ； （2）两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．小结 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练2 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .例3 甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m.（1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？（2）如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？小结 建立等差数列的模型时，注意相遇时甲、乙两人的路程和是两个等差数列的前n 项和． 跟踪训练3 现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( ) A ．9 B ．10 C ．19 D ．29【当堂检测】1．记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于 ( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7 2．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于 ( ) A ．18 B ．27 C ．36 D ．453．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝84，S 20＝460，则S 6＝________. 4．已知等差数列{a n }的前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k .【课堂小结】1．求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a 1及末项a n ，用公式S n ＝na 1＋a n2较好，若已知首项a 1及公差d ，用公式S n ＝na 1＋nn －12d 较好． 3．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用．【拓展提高】§2.3等差数列前n 项和（二）【学习要求】1．熟练掌握等差数列前n 项和的性质，并能灵活运用． 2．掌握等差数列前n 项和的最值问题． 3．理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n .【学法指导】1．任何一个数列{a n }与它的前n 项和S n 之间都有一个等量关系式，此公式为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1，S n －S n －1 n ≥2，题中已知一个数列的前n 项和，则可利用此公式求得此数列的通项公式，同时要注意此公式是一个分段的函数，所以在使用此公式求解时，要分类讨论．2．数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是利用函数解决数列问题的一个重要应用．3．等差数列的前n 项和与二次函数联系十分紧密，要辨析它们之间的关系，从更高境界处理等差数列的前n 项和问题．【知识要点】1．前n 项和S n 与a n 之间的关系对任意数列{a n }，S n 是前n 项和，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1， n ≥2.2．等差数列前n 项和公式S n ＝ ＝ .3．若等差数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝An 2＋Bn ＋C ，则A ＝___，B ＝ ，C ＝ 4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________．【问题探究】1．如果已知数列{a n }的前n 项和S n 的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？2．如果一个数列的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，那么这个数列一定是等差。
9数列导学案(一)
11．⑴．设等差数列an 的公差为 d ，由 a3b3
1 2
，得
2a3
s3 ，
………2 分
即 2a1 4d 3a1 3d ，得 a1 d ，
……… 4 分
又 s3 s5 21，得 8a1 13d 21 ，解得： a1 d 1， …… 6 分
所以 an
1
n
1
n
， bn
2 n(n 1)
q 的值为
.
10. 等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它前 3m 项的和为_______
二.综合练习
11.
已知等差数列an 的前项和为 sn ， bn
1 sn
，且
a3b3
1 2
，
s3
s5
21 ．
⑴．求数列bn 的通项公式；⑵．求证： b1 b2 bn 2 ．
12 、 在 等 比 数 列 {an} 中 ， an 0(n N*) ， 公 比 q (0,1) ， 且
3. 已知数列｛ an ｝的通项公式 an 3n 50, 则其前 n 项的和 Sn 的最小值是( )
（A）－784 （B）－392 （C）－389
（D）－368
4. 数列｛ an ｝是项数为偶数的等差数列，它的奇数项之和为 24，偶数项之和
为 30，若它的末项比首项大 10.5，则数列的项数是( )
9.数列(一)
一.基础练习
1. 在等差数列｛ an ｝中，若 a3 a9 a15 a17 8, 则 a11 (
)
（A）1
（B）－1 （C）2 （D）－2
2. 在－9 和 3 之间插入 n 个数，使这 n＋2 个数组成和为－21 的等差数列，则 n
数列复习导学案共3课时(很详细很全面)(20210317213959)
数列复习（一）_________ 班级_________ 组号 ______ 评价_______一、数列的概念：1. 数列是按排成的一列数。
数列中的每一个数都叫做这个数列的;2. 数列是一个定义域为_______________________________________________ 的特殊函数;3•如果数列｛“”｝的第n项““与n之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的_______ ，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
二、等差数列的有关概念：1•等差数列的判断方法：①定义法：_______________ ②等差中项法：________________③通项公式法：______________________ ④前n项和公式法：_____________________2. _______________________________________ 等差数列的通项公式：__________ 可推广为: ___________________________________________3. 等差数列的前几和公式： _或_例1 （1）已知气=2 "则在数列｛““｝的最大项为_________________________n +156（2）已知数列｛©｝中，6/;I=/r+2n,且｛©｝是递增数列，则实数几的取值围/I + + •・・ 4-（I例2设｛©｝是等差数列，求证：以W —= ------------- 」neN^为通项公式的数列｛仇｝n为等差数列例3、（1）等差数列｛©｝中，伽=30,如=50,则通项©=_______________（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值围是1 3 15（3）数列｛a n｝中，a rl =% +-（n>2,n e N）, a n =—,前n 项和S” = 一亍,2 2 2则①=___________ , n = ______（4）已知等差数列｛弘｝前三项的和为-3,前三项的积为&①求弘②若成等比数列，求数列｛|a n|｝的前n项和。
《数列的概念》 导学案
《数列的概念》导学案一、学习目标1、理解数列的概念，了解数列的分类。
2、掌握数列的通项公式，能根据通项公式写出数列的项。
3、理解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项。
二、学习重难点1、重点（1）数列的概念及数列的通项公式。
（2）根据数列的通项公式或递推公式写出数列的项。
2、难点（1）根据数列的前几项归纳出数列的通项公式。
（2）理解数列的递推公式，并能运用递推公式求出数列的项。
三、知识链接1、集合的概念：具有某种特定性质的事物的总体。
2、函数的概念：设 A、B 是非空数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。
四、学习过程（一）数列的概念1、观察下列实例：（1）堆放的钢管，自上而下每层的钢管数分别为 4，5，6，7，8，9，10。
（2）正整数 1，2，3，4，5，…（3）－1 的 1 次幂，2 次幂，3 次幂，4 次幂，…，分别为－1，1，－1，1，…（4）无穷多个 1 排成一列数：1，1，1，1，…思考：以上这些例子有什么共同特点？这些例子的共同特点是：都是按照一定次序排列的一列数。
2、数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项，……，排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项。
3、数列的表示数列通常用大写字母 A、B、C、…表示，如数列 A，数列 B 等。
数列的一般形式可以写成：a₁，a₂，a₃，…，aₙ，…，简记为{ aₙ ｝。
其中 aₙ 是数列的第 n 项。
4、数列的分类（1）按照项数的多少，数列可以分为有穷数列和无穷数列。
项数有限的数列叫做有穷数列；项数无限的数列叫做无穷数列。
例如，上述例子（1）是有穷数列，例子（2）（3）（4）是无穷数列。
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数列导学案之一学习目标：
1、理解数列的概念、表示法、分类，对给定数列
能选适当的方法将其表示来，并能判定数列类
型。
2、理解数列通项公式，会根据数列的前几项写某
些简单数列的通项公式。
重点：数列概念、数列的通项公式。
难点：据数列的前几项，通过观察、分析、抽象、归纳出数列的通项公式
学习过程：
1、观察课本①---⑦例思考：
（1）、分析各列数的特点。
（2）、几个名词：
数列及记法：
项：
通项及通项公式：
（3）数列概念的形成探究：
数列的第n项与项数n有无关系分别是
怎样的？是否所有的数列的项与项数都
可写出通项公式？
举例数列及通项公式：
（4）数列概念深化：
数列中项与项数的关系能否看作两集合
间映射？如是则有什么特点？
数列与函数有无关系？如有，能否用函
数的方法围绕几个方面研究数列？（5）应用举例：
例1解决是什么样的问题？
【练一练】由下列数列{a n}通项公式，
写出前几项:
课本28页A 2 , 3
例2所解决的问题是：
要求写出“一个”说明什么？
并探求。
【练一练】①课本28页B 1
②5，55，555，
55----5，----
⑶2，0，2，0，------
④2，6，12，20，
30-----
例3是考察哪个方面的问题?：怎样研究？
【练一练】考察数列
a n=n2/(n2+1)的前几项，
①证明a n<1
②判断数列的单
调性
归纳总结：
1、数列：
2、数列的通项公式
3、数列的表示
4、数列的分类
5、思想方法
当堂检测：
1、习题A的1、
2、3
2、数列{a n}的通项公式a n=(n+1)·0.92是
否存在这样的正整数使得对任意的正整
数n都有成立？证明结论.
©3、已知数列{a n}的前项和S n=-n2+24n(n 为N*)
①求{a n}的通项公式②当为何值时
达到最大最大值是多少。