高中数学命题热点名师解密专题：集合的解题技巧(有答案)

专题01 集合的解题技巧

一、集合的解题技巧及注意事项

1。元素与集合,集合与集合关系混淆问题； 2。造成集合中元素重复问题； 3。隐含条件问题；

4。代表元变化问题； 5。分类讨论问题； 6．子集中忽视空集问题； 7。新定义问题；

8。任意、存在问题中的最值问题； 9。集合的运算问题； 10。集合的综合问题。 二．知识点 【学习目标】

1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题,理解集合中元素的互异性；

2．理解集合之间包含和相等的含义,能识别给定集合的子集,了解在具体情境中全集与空集的含义； 3．理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集,理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集；

4．能使用韦恩(Venn )图表达集合间的关系与运算． 【知识要点】 1．集合的含义与表示

(1)一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称集． (2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性 (3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法

(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种,分别用“∈”或“∉”来表示．

(5)常用的数集：自然数集N ；正整数集N *(或N ＋)；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R 。 2．集合之间的关系

(1)一般地,对于两个集合A ,B 。如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集,记作A B ⊆；若A ⊆B ,且A ≠B ,则A B ⊂,我们就说A 是B 的真子集． (2)不含任何元素的集合叫做空集,记作Φ,它是任何集合的子集,即∅⊆A ． 3．集合的基本运算

(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }； (2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }； (3)补集：∁U A ＝

．

4．集合的运算性质

(1)A∩B＝A⇔A⊆B,A∩A＝A,A∩∅＝∅；

(2)A∪B＝A⇔A⊇B,A∪A＝A,A∪∅＝A；

(3)A⊆B,B⊆C,则A⊆C；

【点评】：注意两个集合代表元的条件,容易忽视集合中元素属于整数的条件。

练习2．【江西省九江市2019届高三第一次联考】已知集合,集合

,则图中的阴影部分表示的集合是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】图中阴影部分表示的集合为,所以先求出集合A,B后可得结论．

【解析】由题意得,

所以,

即图中阴影部分表示的集合为．

故选C．

【点评】本题考查集合的元素、韦恩图和集合的补集运算,解题的关键是认清图中阴影部分表示的集合以及所给集合中元素的特征,属于基础题．

（四）代表元变化问题

例4．【内蒙古鄂尔多斯市一中2018-2019模拟】已知A＝{y|y＝log2x,x>1},B=,则（) A．B．C．D．

【答案】C

【分析】利用对数性质和交集定义求解．

【解析】∵A={y|y=log2x,x>1}={y|y>0},B=,

∴A∩B={x|0x≤1}= ．

故选C．

【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要注意对数函数的性质的灵活运用．

练习1。【华东师范大学附中2018-2019学年试题】集合,的元素只有1个,则的取值范围是__________。

【答案】

【分析】由中有且仅有一个元素,可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；利用分类讨论思想,可求出的范围。

【解析】联立即,

是单元素集,分两种情况考虑:

,方程有两个相等的实数根,即,可得,解得

,方程只有一个根,符合题意,综上,的范围为故答案为。

【点评】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于中档题。

练习2。同时满足：①M ⊆{1,2,3,4,5}；②a∈M且6－a∈M的非空集合M有()

A．9个B．8个C．7个D．6个

【答案】C

共有7个集合满足条件,故选C。

【点评】本题主要考查了元素与集合的关系,以及集合与集合的关系的判定与应用,其中熟记元素与集合的关系,以及集合与集合的包含关系是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题。

（五）分类讨论问题

例5。【九江市2019届高三第一次十校联考】（1）求解高次不等式的解集A；

（2）若的值域为B,A B=B求实数的取值范围。

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用讨论的方法求得不等式的解集A；（2）根据函数的单调性求出值域B,由得,转化为不式等组求解,可得所求范围．

【解析】（1）①当时,原不等式成立．

②当时,原不等式等价于,解得。,综上可得原不等式的解集为,

∴．

（2）由题意得函数在区间上单调递减,

∴,

∴,∴．

∵,∴,

∴,解得,∴实数的取值范围是．

【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用,已知集合的包含关系求参数的取值范围时,可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解,转化时要注意不等式中的等号能否成立,解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义．

练习1。设集合,,

若,求实数a的取值范围；

若,求实数a的取值范围．

【答案】（1）（2）

【分析】（1）由题意得,,根据可得,从而可解出的取值范围；（2）先求出,根据可得到,解出的取值范围即可．

【解析】由题意得,

；

（1）∵,

∴,解得,

又,∴,∴实数的取值范围为．

（2）由题意得,

∵,

∴,解得．∴实数的取值范围为．

【点评】本题考查集合表示中描述法的定义,一元二次不等式的解法,子集的概念,以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时,注意转化方法的运用,特别要注意不等式中的等号能否成立．

（六）子集中忽视空集问题

例6【云南省2018-2019学年期中考试】已知集合,若,则的取值集合是（）