复数范围内实系数一元二次方程(19题)答案知识讲解
复数集内一元二次方程的解法
复数集内一元二次方程的解法 实系数一元二次方程复系数一元二次方程 ∆的作用 可以用来判断根的情况不能用来判断根的情况 求根公式 适用适用 韦达定理适用 适用 一、实系数一元二次方程只有实系数一元n 次方程的虚根才成对共轭，1．判定下列方程根的情况，并解方程（1）022=++x x ，0722=++x x ，0452=+-x x（2）0122=+-x x 答：471i x ±=，05322=+-x x ，09222=+-x x 2．若关于x 的方程x 2+5x+m=0的两个虚数根x 1，x 2满足|x 1-x 2|=3，求实数m 的值．|x 1-x 2|=3，|（x 1-x 2）2|=9；则|（x 1＋x 2）2-4x 1x 2|=9，即|25-4m|=9．3．已知实系数一元二次方程2x 2＋rx ＋s=0的一个根为2i-3，求r ，s 的值．二、复系数一元二次方程虚根不一定成对，成对也不一定共轭。
1．求方程x 2-2ix-5=0的解．（当b 2-4ac ≥0时，方程的解都是实数吗？）求方程x 2-2ix-7=0的解解方程：x 2-4ix+5=0；解方程：0)2(25222=--++-i x x x x 答：i x x 5351,221-==（应用求根公式，不能用复数相等） 06)32(2=+++i x i x 答：i x x 3,221-=-=（b 2-4ac 为虚数，）2．解方程：x 2＋（1＋i ）x ＋5i=0．251122=+++x x x x 答：4151,13,21i x x ±== 231122=+-+x x x x 答：4151,13,21i x x ±=-= 三、方程有实根或纯虚根的问题1．方程x 2+（m+2i ）x+2+mi=0至少有一实根，求实数m 的值和这方程的解．2．已知方程x 2+mx+1+2i=0（m ∈C ）有实根，求|m|的最小值．解方程关于x 的方程03)12(2=-+--i m x i x 有实数解，则实数m 满足的条件是( C )A ．41-≥mB ．41-≤mC ．121=mD ．121-=m R k ∈，方程04)3(2=++++k x i k x 一定有实根的充要条件是( D )A ．4≥kB ． 522-≤k 或522+≥kC ．23±=kD ．4-=k一元二次方程缺少常数项，必有零根（一个特殊的实根）设βα与是实系数一元二次方程0m x 2=++x 两个虚根，且3=-βα，求m 。
3实系数一元二次方程在复数范围内的解集同步练习
实系数一元二次方程在复数范围内的解集同步练习1．在复数集中解下列方程：（x＋1）（x＋3）＋2＝0．2．在复数集中解下列方程：4x²－5ax＋a2＝0（a∈R）．3．已知实系数一元二次方程x²＋x＋p＝0有两个虚根ɑ、β，且|ɑ−β|＝√3．（1）求ɑ、β在复平面上对应的两个向量之间的夹角．（2）求实数p的值．4．已知2＋i是实系数四次方程x4－2x3＋2x²－10x＋25＝0的一个根，求此方程的其他根．5．设2－3i是实系数二次方程x²＋ax＋b＝0的一个根，求系数a、b．6．已知关于x的方程x²－（2a＋1）x＋a＋2＝0（a∈R）有虚根，且虚根的立方是实数，求a的值，并解此方程．7．已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根，求这个实根以及实数k的值．参考答案1．x＝－2±i2．．3．（1）120°【解析】: 设α＝α＋bi（a，b∈R），则β＝a−bi，|α−β|＝|2bi|＝|2b|＝，又因为α＋β＝−1，则α＝，所以，因此；又因为，利用复数相减的三角形法则可得α、β之间的夹角为120°（2）p＝14．方程的另三个根为2−i，【解析】: 原方程可化为（x²－4x＋5）（x²＋2x＋5）＝0，分别解方程x²－4x ＋5＝0和x²＋2x＋5 ＝0即可5．方程另一根为2＋3i，－a＝（2－3i）＋（2＋3i），b＝（2－3i）（2＋3i），得α＝－4，b＝136．设方程的虚根为x＝m＋ni（m，n∈R且n≠0），由虚根的立方是实数可得，又解得或α＝−1，检验△＜0，当时，方程两根为；当α＝−1时，方程两根为7．设方程的实根为x0，则x02+(k+2i)x0+2+ki=0．即(x02+kx0+2)+(2x0+k)i=0．∴∴x02=2，x0=±．∴或【解析】: 方程有实根，可先设出实根x0，再代入方程利用复数相等的定义求解．。
一元二次方程(全)知识点习题及答案
一元二次方程复习一）一元二次方程的定义)0a (0c bx ax 2≠=++是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
0ax 0c ax 0bx ax 222==+=+；；这三个方程都是一元二次方程。
求根公式为()0ac 4b a2ac 4b b x 22≥--±-=二）)0a (0c bx ax 2≠=++。
a 是二次项系数；b 是一次项系数；c 是常数项，注意的是系数连同符号的概念。
这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？ 1、ac 4b 2-∆＝当Δ>0时方程有2个不相等的实数根； 2、当Δ＝0时方程有两个相等的实数根； 3、当Δ< 0时方程无实数根.4、当Δ≥0时方程有两个实数根（方程有实数根）;5、ac<0时方程必有解,且有两个不相等的实数根;6、c=0，即缺常数项时，方程有2个不相等的实数根，且有一个根是0.另一个根为ab -7、当a 、b 、c 是有理数，且方程中的Δ是一个完全平方式时，这时的一元二次方程有有理数实数根。
8若1x ,2x 是一元二次方程)0a (0c bx ax 2≠=++的两个实数根， 即① a b x x 21-=+ acx x 21=∙（注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足 Δ≥0这个条件，否则解题就会出错。
）例：已知关于X 的方程()0m x 2m 2x 22=+--,问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由。
②一元二次方程)0a (0c bx ax 2≠=++可变形为()()0x x x x a 21=++的形式。
可以用求根公式法分解二次三项式。
9、以两个数x 1 x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x 2-（x 1+ x 2）+ x 1 x 2＝0 10几种常见的关于21x ,x 的对称式的恒等变形 ①()212212221x x 2x x x x -+=+②()()()()[]2122121222121213231x x 3x x x xx x x x x x x x -++=+-+=+③()2121221221x x x x x x x x +⋅=⋅+⋅④()()()2212121a x x a x x a x a x +++⋅=++⑤212121x x x x x 1x 1⋅+=+ ⑥()()22121221222122212221x x x x 2x x x x x x x 1x 1⋅-+=⋅+=+⑦()()2122122121x x 4x x x x x x -+=-=-三）例题1如果方程x 2-3x+c=0有一个根为1，求另一个根及常数项的值。
复数范围内解一元二次方程
复数范围内解一元二次方程解一元二次方程是高中数学中的基本知识，我们首先回顾一下一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
现在我们要求解的是一元二次方程在复数范围内的解。
在实数范围内，一元二次方程的解可以通过判别式来确定：Δ = b^2 - 4ac根据判别式的值，可以得到三种情况：1.如果Δ>0，则方程有两个不相等的实数解。
2.如果Δ=0，则方程有两个相等的实数解。
3.如果Δ<0，则方程没有实数解。
然而，在复数范围内，一元二次方程的解是可以存在的。
我们来详细讨论一下复数范围内一元二次方程的解的情况。
首先，我们假设方程有解x = p + qi (p和q为实数，i是虚数单位，i^2 = -1)。
将x代入方程，可以得到：a(p + qi)^2 + b(p + qi) + c = 0ap^2 + 2apiq - aq^2 + bp + bqi + c = 0令实部和虚部分别相等，我们可以得到两个方程：ap^2 - aq^2 + bp + c = 0 (1)2apiq + bqi = 0 (2)根据(2)式可得。
如果aq = 0，则可以得到两种情况：1. 如果a = 0，则方程退化为一元一次方程bx + c = 0，解为x = -c/b。
2. 如果q = 0，则代入(1)式可以得到ap^2 + bp + c = 0，这是一个一元二次方程，可以像在实数范围内解一样求解。
如果bp + c = 0，则(1)式可以化简为ap^2 - aq^2 = 0，即p^2 = q^2、这也是一个一元二次方程，可以类似地求解。
现在我们考虑aq≠0，进一步讨论两种可能的情况：1. 如果ap^2 - aq^2 + bp + c = 0，则可以将这个方程视为一个关于p的一元二次方程，可以求得p的值。
然后，将p代入到(2)式，可以解得q的值。
2. 如果a = 0，则方程退化为一元一次方程bp + c = 0，解为p = -c/b。
复数范围内解方程
复数范围内解方程在数学中，方程是一个数学等式，其中包含一个或多个未知数，并要求找到使等式成立的解。
解方程是数学中的一个重要问题，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将以复数范围内解方程为主题，介绍解方程的方法和应用。
一、复数的定义和性质复数是由实数和虚数构成的数，可以表示为a + bi 的形式，其中a 和 b 是实数，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
复数具有加法、减法、乘法和除法等运算，同时也具有共轭和模的性质。
二、一元一次方程的解一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，形如 ax + b = 0。
解一元一次方程的方法很简单，我们可以通过将方程两边同时加上相反数 b/a，得到 x = -b/a。
这个解是一个实数解，如果方程无解，则说明该方程在实数范围内无解。
三、一元二次方程的解一元二次方程是指含有一个未知数的二次方程，形如 ax^2 + bx + c = 0。
解一元二次方程的方法有多种，其中一种常用的方法是使用求根公式，即 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
这个解可以是实数，也可以是复数。
当判别式 D = b^2 - 4ac 大于零时，方程有两个不相等的实数根；当D 等于零时，方程有两个相等的实数根；当D 小于零时，方程有两个共轭复数根。
四、多元方程的解多元方程是指含有多个未知数的方程。
解多元方程的方法比较复杂，常常需要利用代数的知识和技巧来求解。
一般来说，我们可以通过消元法、代入法、加减消去法等方法来求解多元方程组。
五、应用举例解方程在实际生活和科学研究中有广泛的应用。
以下是一些例子：1. 金融领域：利润和成本之间的关系可以表示为一个方程，通过解方程可以计算出最大利润或最小成本的条件。
2. 物理学：牛顿第二定律 F = ma 可以表示为一个方程，通过解方程可以计算出物体的加速度。
3. 工程学：电路中的电压和电流之间的关系可以表示为一个方程，通过解方程可以计算出电路中各个元件的电流和电压。
48、复数中的方程问题
三、复数中的方程问题【教学目标】1．掌握判别式小于零的实系数一元二次方程的复数根的求法．2．掌握一元二次方程根与系数的关系并能用于解决一些方程根的问题． 3．在解决问题的过程中体会转化与分类讨论的数学思想的应用．【教学重点】一元二次方程的根的讨论．【教学难点】含字母系数的方程根的情况的讨论，13=x 的根的应用．【教学过程】一．知识整理1．实系数一元二次方程的根的情况设方程02=++c bx ax （a ，b ，R c ∈且0≠a ），判别式△ac b 42-=． （1）当△0>时，方程有两个不相等的实数根：aac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=．（2）当△0=时，方程有两个相等的实数根： ab x x 221-==．（3）当△0<时，方程有两个共轭虚根： ai b ac b x 2421-+-=，ai b ac b x 2422---=．2．代数式22b a +（a ，R b ∈）的因式分解利用z z z ⋅=2||，有))((22bi a bi a b a -+++3．复系数一元二次方程根与系数的关系设方程02=++c bx ax （a ，b ，C c ∈且0≠a ）的两个根为1x ，2x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+a c x x ab x x 2121．4．方程13=x 的根方程13=x 有三个根，11=x ，i x 23212+-=，i x 23213--=．若记i 2321+-=ω，则ω有性质：13=ω（13=n ω，Z n ∈），2ωω=，012=++ωω．二．例题解析【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，解答题，易，运算【题目】在复数范围内分解因式． （1）44b a -； （2）3212-+-x x ．【解答】解：（1）))()()(())((222244bi a bi a b a b a b a b a b a -+-+=+-=-． （2）3212-+-x x ])5()1[(21)62(21222+--=+--=x x x)51)(51(21i x i x --+--=．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】（1）若i 23+是实系数方程022=++c bx x 的根，求实数b 与c ；（2）若i 23+是方程0422=-++i c bx x 的根，求实数b 与c ．【解答】解；（1）由题意，i 23-是方程的另一根，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-++2)23)(23(2)23()23(c i i b i i ，所以12-=b ，26=c ．（2）将i 23+代入方程得04)23()23(22=-++++i c i b i ，整理得，0)220()310(=++++i b c b ，所以⎩⎨⎧=+=++02200310b c b ，解得⎩⎨⎧=-=2010c b ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】（1）已知012=++x x ，求504030x x x ++的值． （2）若012=+-a a ，求17171aa +的值．【解答】解：（1）由012=++x x ，得i x 2321±-=，所以13=x ，所以504030x x x ++012=++=x x ．（2）由012=+-a a ，得i a 2321±=，当i a 2321-=时，则ω-=a （i 2321+-=ω），13=a ，2171717)(ωωω-=-=-=a ，ωω-=-=21711a，所以1)(121717=+-=+ωωaa ．同理可得，当i a 2321+=时，也有111717=+aa．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，证明题，中，逻辑思维【题目】证明：在复数范围内，方程ii z i z i z +-=+--+255)1()1(||2（i 为虚数单位）无解．【解答】证明：原方程化简为i z i z i z 31)1()1(||2-=+--+，设yi x z +=（x ，R y ∈），代入上述方程，得i yi xi y x 312222-=--+，所以⎩⎨⎧=+=+322122y x y x ，消去y ，整理得051282=+-x x ，此方程的判断式△016584)12(2<-=⨯⨯--=，故x 无实数解．所以，原方程在复数范围内无解．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，分析问题解决问题【题目】已知关于x 的二次方程02)12(2=+++-a x a x 有虚根，且此根的三次方是实数，求实数a 的值．【解答】解法一：设方程的虚根为ni m +（m ，R n ∈且0≠n ），由3)(ni m +为实数，得m n 3±=，所以方程的虚根为)31(i m ±，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧+=+-=24)12(22a m a m ，消去m ，得 21442+=++a a a ，01342=-+a a ，解得1-=a 或41=a ．解法二：设方程的虚根为1z ，则另一虚根为12z z =， 因为R z ∈31，所以()32313131z z z z ===，03231=-z z ，0))((22212121=++-z z z z z z ，因为21z z ≠，所以0222121=++z z z z ，即21221)(z z z z =+，由根与系数的关系，2)12(2+=+a a ，01342=-+a a ，解得1-=a 或41=a ．三．课堂反馈【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】若i 23+是方程022=++c bx x （b ，R c ∈）的一个根，则=c _________．【解答】答案：26【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】已知ai +2，i b +是实系数一元二次方程02=++q px x 的两根，则=p _________，=q ____________．【解答】答案：4-，5【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】若ω是方程13=x 的一个虚根，则=-++-)1)(1(22ωωωω___________．【解答】答案：4【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，中，运算【题目】在复数范围内解方程：ii i z z z +-=++23)(||2（i 为虚数单位）．【解答】解：原方程化简为i i z z z -=++1)(||2，设yi x z +=（x ，R y ∈），代入上述方程，得 i xi y x -=++1222，所以⎩⎨⎧-==+12122x y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=-=iy x 2321， 所以，原方程的解为i z 2321+-=或i z 2321--=．四．课堂小结1．实系数一元二次方程，在判别式小于零时，有一对共轭虚根（虚根成对）．利用这一点，在已知一根的情况下，就可以知道另一根，再结合根与系数的关系，就使问题得到简化．2．由于实系数一元二次方程在复数范围必有两根，因此在复数范围内二次多项式的因式分解一定可以分到一次式的乘积．3．如果方程的系数含有虚数，则不能用△来判断方程有无实根，共轭虚根定理也不成立，但根与虚数的关系仍成立．这类题如果给出方程有实根的条件，可用复数相等的充要条件转化为实数方程组求解．所以说，复数问题实数化总是解决复数问题的基本策略．五．课后作业【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，填空题，易，运算【题目】在复数范围内分解因式：（1）=++1622x x ____________________．（2）=+-1cos 22θx x _________________________．【解答】答案：（1）)151)(151(i x i x -+++（2）)sin cos )(sin cos (θθθθi x i x +---【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】设一元二次方程0122=++-b ax x （a ，R b ∈）的一个虚根是i -1，则实数=a __________，=b _________．【解答】答案：4，3【属性】高三，复数，复数开平方问题，填空题，易，运算【题目】复数i 43-的平方根为______________．【解答】答案：i -2，i +-2【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】已知方程04)4(2=-+++ai x i x （R a ∈）有实根b ，且bi a z +=，求z ．【解答】解：i z 22--=．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，选择题，中，运算【题目】方程i z z 31||+=+中z 的解是（ ）A ．i 2321+B ．i 2321+C ．i 34+-D ．i 34-【解答】答案：C【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-pz z 有无实数根，并给出证明．【解答】解；由已知212-<<-p ，所以4412<<p，所以方程05222=-+-pz z 的判别式△0)4(4)5(4422<-=--=p p ，所以原方程无褛根．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】在复数范围内解方程x x x 23623-=+．【解答】解：把原方程化为523123--=+x x x ⇒)53)(1()1)(1(2-+=+-+x x x x x ，⇒0)64)(1(2=+-+x x x ，解得11-=x ，i x 222+=，i x 223-=．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，分析问题解决问题【题目】已知关于x 的方程02=++m x x （R m ∈）的两根为α、β．（1）若3||=-βα，求m 的值； （2）若3||||=+βα，求m 的值．【解答】解：（1）因为3||=-βα，所以9||2=-βα，所以9|4)(|2=-+αββα，9|41|=-m ，解得25=m 或2-=m ．（2）①当α、β为实数，即041≥-m ，41≤m 时，9|)||(|2=+βα⇒9||222=++αββα⇒9||22)(2=+-+αβαββα⇒9||221=+-m m ，当410≤≤m 时无解；当0<m 时，2-=m ．②当α、β为一对共轭虚数时，即41>m 时，αβ=，由3||||=+βα，可知23||=α，则49||2==⋅=αααm ．综上，2-=m 或49=m ．【题目资源】【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，解答题，易，运算【题目】1．在复数范围内分解因式 （1）164-x ； （2）522+-x x ； （3）83+x ．【解答】解：（1）)2)(2)(2)(2()4)(4(16224i x i x x x x x x -+-+=+-=-． （2）)21)(21(2)1(52222i x i x x x x -+++=++=+-．（3）)31)(31)(2()42)(2(282333i x i x x x x x x x --+-+=+-+=+=+．2．若实系数一元二次方程02=++b ax x 有一个虚根为i 2，则=a _______，=b ______．【解答】答案：0，4【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】关于复数z 的方程i zi z 212||2+=-的解集是________________．【解答】答案：}21,1{i ---【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】方程022=-+kx x 有一个根是i +1，则它的另一个根是_________．【解答】答案：i +-1【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】a 为实数，方程01822=++-a x x 的一个虚根的模是5，则=a __________．【解答】答案：9【属性】高三，复数，复数中的方程问题，选择题，易，运算【题目】方程0||2=+z z 的复数解有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【解答】答案：C【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】已知方程03=++b ax x （a ，R b ∈）有一个根为1．（1）求a ，b 满足的关系式；（2）若此方程的另两个根为虚数，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题意，01=++b a ，即1-=+b a ．（2）由（1），1--=a b ，故方程变为013=--+a ax x ，即0)1()1(3=-+-x a x ，0)1()1)(1(2=-+++-x a x x x ，0)1)(1(2=+++-a x x x ，所以方程的另两根就是方程012=+++a x x 的两根，故△0<， 即0)1(41<+-a ，43->a ．所以，实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛∞+-,43．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】已知方程042=+-k x x 有一个虚数根为i 21-，求k 的值．【解答】解：由042=+-k x x ，得x x k 42+-=，将i x 21-=代入，得i k 47-=．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，中，运算【题目】设α、β是方程072=+-m x x 的两个虚根，且8||||=+βα，则实数=m ________．【解答】答案：16由题意，α、β是共轭虚数，所以8||2=α，4||=α，于是16||2==αβα，即16=m ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】已知关于x 的方程0)1(2)21(2=--++i a x i ax 有实根，求实数a 的值．【解答】解：设方程实根为0x ，则0)1(2)21(020=--++i a x i ax ，即0)22()2(0020=++-+i a x a x ax，所以⎩⎨⎧=+=-+020020a x a x ax ，所以a x -=0，所以 033=-a a ，解得0=a 或3=a 或3-=a ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】若虚数z 满足83=z ，求322++z z 的值．【解答】解：由已知，0)42)(2(282333=++-=-=-z z z z z ，因z 为虚数，故0422=++z z ，所以1322-=++z z ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】在复数范围内解关于x 的方程06||52=+-x x ．【解答】解：若x 为实数，则原方程可化为0)3|)(|2|(|=--x x ，解得2±=x ，3±=x ． 若x 为虚数，设bi a x +=（a ,R b ∈且0≠b ），原方程化为065)(222=++-+b a bi a ,所以⎪⎩⎪⎨⎧==++--020652222ab b a b a ，因为0≠b ．故0=a ，06||52=-+b b ，0)1|)(|6|(|=-+b b ，1±=b ．所以，原方程的解为2，2-，3，3-，i ，i -．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】解关于z 的方程iz z 2110||-=-．【解答】解：原方程可化为i z z 42||+=-，设bi a z +=（a ,R b ∈），则原方程可化为i bi a ba 42)(22+=--+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-+4222b a b a ，解得3=a ，4=b ． 所以，原方程的解i z 43+=．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】方程0)2()(tan 2=+-+-i x i x θ中，θ为锐角，若实数a 是方程的一个解，求θ与a 的值．【解答】解：由题意，0)2()(tan 2=+-+-i a i a θ，0)1(2tan 2=+--⋅-i a a a θ， 所以⎩⎨⎧=+=-⋅-0102tan 2a a a θ，解得1-=a ，1tan =θ．所以，4πθ=，1-=a ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】已知复数w 满足i w w )23(4-=-，|2|5-+=w wz ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程．【解答】解：由i w w )23(4-=-，所以i i w 34)21(+=+，i w -=2，所以i i iz +=-+-=3||25，故另一根为i -3，设所作方程为02=+-q px x ，则6)3()3(=-++=i i p ，10)3)(3(=-+=i i q ，所以所求方程为01062=+-x x ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，逻辑思维【题目】关于x 的实系数方程03222=-++a a ax x 至少有一个模为1的根，求实数a 的值．【解答】解：①当根x 为实数时，0)(8922≥--a a a ，082≥+a a ，8-≤a 或0≥a ．由1||=x ⇒1±=x ．当1=x 时，0222=++a a ，a 无实数解；当1-=x 时，0242=+-a a ，解得22±=a ．②当根x 为虚数时，08<<-a ，1||=x ⇒1=⋅x x ，即122=-a a ，022=--a a ，解得1-=a 或2=a （舍去）． 综上，1-=a ，或22-=a 或22+=a ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，逻辑思维【题目】若C z ∈，关于x 的一元二次方程0342=++-i zx x 有实根，求复数z 的模的最小值．【解答】解：i x zx 342++=，当0=x 时，此等式不成立，故0≠x ．所以，i xxx z 34++=，23825282534||222222=+⋅≥++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=xx xx x x x z所以，当2225xx =，5±=x 时，||z 取最小值23．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，分析问题解决问题【题目】已知△ABC 顶点为直角坐标分别为)4,(a A ，),0(b B ，)0,(c C ．若虚数aix +=2（0>a ）是实系数一元二次方程052=+-cx x 的根，且A ∠是钝角，求b 的取值范围．【解答】解：由已知，虚数ai x -=2也是实系数一元二次方程052=+-cx x 的根，所以⎩⎨⎧=-+=-++5)2)(2()2()2(ai ai cai ai ，解得1=a ，4=c ，则A 、C 的坐标为)4,1(A ，())0,4C ， 所以)4,1(--=b AB ，)4,3(-=AC ，因A ∠是钝角，故0413<-=⋅b AC AB ，又当AB ，AC 共线时，316=b ．所以b 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛∞+⎪⎭⎫⎝⎛,316316,413 ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，逻辑思维【题目】已知关于x 的方程022=++a x x （R a ∈）有两个根α、β，求||||βα+的最小值．【解答】解：① 当△044≥-=a 即1≤a 时，α、β是实数，=+2|)||(|βα||222αββα++)|(|24||22)(2a a -+=+-+=αβαββα．当10≤≤a 时，2|)||(|βα+恒为4；当0<a 时，4|)||(|2>+βα． 即1≤a 时，||||βα+的最小值为2．② 当△044<-=a ，即1>a 时，α、β是一对共轭虚数，故αβαβα2||2||||==+22>=a ．综上，||||βα+的最小值为2，取得最小值时a 的取值范围是]1,0[．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，数学探究【题目】已知复数1z ，2z 满足条件2||1<z ，2||2<z ，是否存在非零实数m ，使得mz z 121=+和mz z 121=⋅同时成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=+m z z m z z 112121，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=+m z z m z z 112121，故1z ，2z 是方程0112=+-m x m x 的两个根．（1）当△0≥即41≤m 且0≠m 时，1z ，R z ∈2，记mx mx x f 11)(2+-=，则2||1<z ，2||2<z ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠≤<<->>-04122120)2(0)2(m m m f f 且，解得43-<m ．（2）当△0<，即41>m 时，1z 、2z 为一对共轭虚数，则mz z z 1||2121==，由2||1<z ，得41<m，所以41>m ．综上，当43-<m 或41>m 时，mz z 121=+和mz z 121=⋅同时成立．。
复数的乘法与除法第2课时复数的除法及实系数一元二次方程在复数范围内的解集课件
提示：(1)复数代数形式的除法是复数代数形式的乘法的逆 运算．
(2)复数除法的运算法则不必死记，在实际运算时，只需把 商ac＋＋dbii看作分数，分子、分母同乘以分母的共轭复数 c－di，把 分母变为实数，化简后，就可以得到运算结果．
知识点二 实系数一元二次方程
解析：本题考查复数的乘法与除法． 31＋0ii＝31＋0ii3－3－ii＝10＋1030i＝1＋3i. ∴复数31＋0ii对应的点的坐标为(1,3)．
3．复数 z 满足(z－i)(2－i)＝5，则 z＝( D )
A．－2－2i
B．－2＋2i
C．2－2i
D．2＋2i
解析：由题意可得，z－i＝2－5 i＝2－52i＋2＋i i＝2＋i， 所以 z＝2＋2i.
于是 ω－u2＝2(x＋1)＋1＋2 x－3≥2 2x＋1·1＋2 x－3＝1. 当且仅当 2(x＋1)＝1＋2 x，即 x＝0 时等号成立． ∴ω－u2 的最小值为 1，此时 z＝±i.
该题涉及复数的基本概念和四则运算以及均值不等式等知识. 只要概念清楚，运算熟练，按常规思路顺其自然不难求解.注意： 解决后面的问题时，可以使用前面已经得到的结论.
[变式训练 3] 设 z2＝8＋6i，求 z3－16z－10z0.
解：z3－16z－10z0＝z4－16zz2－100＝z2－8z2－164
＝6i2－z 164＝－20z0＝－z2·0z0
z
200 z ＝－ |z|2
.
∵|z|2＝|z2|＝|8＋6i|＝10，
又由 z2＝8＋6i，得 z＝±(3＋i)，∴ z ＝±(3－i)，
类型三 复数运算的综合应用
[例 3] 设 z 是虚数，ω＝z＋1z是实数，且－1<ω<2. (1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围； (2)设 u＝11－ ＋zz，求证：u 为纯虚数； (3)求 ω－u2 的最小值． [分析] (1)ω 是实数可得到哪些结论？(ω 的虚部为 0 或 ω＝ ω )(2)u 为纯虚数可得到哪些结论？(u 的实部为 0 且虚部不为 0， 或 u＝－ u )
复数范围内解一元二次方程
复数范围内解一元二次方程实系数一元二次方程ax+bx+c=0在实数范围内的解的情况：ax+bx+c=a（x +x）+c=a［x+x+（）］+c-=a（x+）+=0，即（x+）=。
设Δ=b-4ac（判别式），当Δ＞0时，方程有两个不等的实数解：x=。
当Δ=0时，方程有两个相等的实数解：x=。
当Δ＜0时，方程无实数解。
方程的根与系数的关系：x+x=-，xx=。
实系数一元二次方程ax+bx+c=0在复数范围内的解的情况：ax+bx+c=a（x+x）+c=a［x+x+（）］+c-=a（x+）+=0，即（x+）=。
设Δ=b-4ac（判别式），当Δ＞0时，方程有两个不等的实数根：x=。
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根：x=。
当Δ＜0时，方程有两个共轭虚数根：x=。
注意：实系数一元二次方程在复数范围内求解时，①由于求根公式仍可使用，故方程的根与系数的关系也仍成立；②若Δ＜0，则意味着方程有一对共轭的虚数根。
二下面对两道例题进行解算。
例1：已知实系数一元二次方程2x+rx+s=0的一个根为-3+2i，求r，s的值。
解：由题设得方程另一根为-3-2i，由韦达定理得s=2（-3+2i）（-3-2i）=2 6，r=-2（-3+2i-3-2i）=12。
例2：若关于x的方程x+5x+m=0的两个虚数根x，x满足|x-x|=3 ，求实数m的值。
解：方法一：方程x+5x+m=0有两个虚根，则有Δ=25-4m＜0，m＞。
又|x-x|=|-|==3，4m-25=9，m=。
方法二：|x-x|=3，|x-x|=9，即|（x-x）|=9，|（x+x）-4xx|=9。
又x+x=-5，xx=m，|25-4m|=9。
又25-4m＜0，4m-25=9，m=。
三上面我们解决了实系数一元二次方程求解问题，那么对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程又应该如何求解呢？例1：求方程x-2ix-5=0的解。
解：配方，得（x-i）-4=0，即（x-i）=4，x=2+i，x=-2+i。
上海高二数学下册--02—复数的方根与实系数一元二次方程
高二数学春季班（教师版）一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义若复数1z ，2z 满足212z z =，则称1z 是2z 的平方根．2．复数的平方根的求法2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 3．复数的平方根的性质复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ，2z ，且120z z +=（见图1）． 4．复数的立方根的定义类似的，若复数1z ，2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．5．1的立方根设复数12ω=-+，则21,,ωω都是1的立方根． 6．ω的性质 ①210ωω++=， ②31ω=，③212ωω==-． 可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论2(1)2i i -=-，2(1)2i i +=二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a-±；复数的方根与实系数一元二次方程知识梳理（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）． （3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．三、常见几何图形的复数表达式复数1z ，2z 为定值，且12z z ≠．（1）线段12Z Z 的中垂线方程：12||||z z z z -=-； （2）以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：1||z z r -=； （3）以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为2(0)a a >的椭圆方程：12||||2z z z z a -+-=（其中12||2z z a -<）； （4）以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为2(0)a a >的双曲线方程：12||||||2z z z z a ---=（其中12||2z z a ->）．1、复数的平方根与立方根 【例1】求4-及86i -的平方根．【难度】★【答案】4-的平方根为2i 或2i -；86i -的平方根为3i -或3i -+ 【例2】计算：（112112(1)22i i i ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）50820028)i +-++⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）513；（2）247+【例3】记12ω=-，求1ωω+，221ωω+． 【难度】★★ 【答案】11ωω+=-，2211ωω+=-【例4】已知等比数列123,,,,n z z z z ，其中11z =，2z x yi =+，3z y xi =+（,,0x y x ∈>R ）．（1）求,x y 的值； （2）试求使1230n z z z z ++++=的最小正整数n ；（3）对（2）中的正整数n ，求123n z z z z 的值．【难度】★★【答案】（1）12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）12n =；（3）1-．【巩固训练】1．复数34i +的平方根是 ．例题解析【难度】★ 【答案】(2)i ±+2．计算：（11996= ． （2）151512(1)(1)(1)i -+=-+ ．【难度】★ 【答案】（1）12-；（2）03．已知ω满足等式210ωω++=．（1）计算4(1)ωω++；304050ωωω++；224(1)(1)ωωωω-+-+；（2）求证：对任意复数u ，有恒等式33233(1)()()3(1)u u u u ωω+++++=+； （3）计算：21n n ωω++，*n ∈N ． 【难度】★★【答案】（1）1-；0；4；（2）略；（3）*2**33()1031()032()n n n k k n k k n k k ωω⎧=∈⎪++==-∈⎨⎪=-∈⎩N N N2、复数中的代数式和方程【例5】在复数范围内分解因式：2223x x ++ 【难度】★【答案】22232x x x x ⎛++=-⎝⎭⎝⎭11222x x ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【例6】复数z 满足方程210z z ++=，求()41z z ++的值 【难度】★★【答案】由210z z ++=得，21102z w z w w w ==-+=∴++=或 所以原式()()4428211w w ww w w w w =++=-+=+=+=-【巩固训练】1．若虚数z 满足327z =，则32315z z z +++的值为 ． 【难度】★★ 【答案】332．，，求的值.【难度】★★【答案】12ω=-时，原式=15-；12ω=-时，原式；3、实系数一元二次方程【例7】已知方程2350()x x m m -+=∈R ，求方程的解． 【难度】★【答案】920m ∆=- 当0∆>时，即920m <时，32x ±=；当0∆=时，即920m =时，32x =； 当0∆<时，即920m >时，32i x =．【例8】已知βα,是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两个虚根，且2αβ∈R ，求βα的值．【难度】★★【答案】∵2αβ∈R ，∴2222ααβαββαβ=⇒=，即330αβ-=∴12αβ=-± 1≠ω13=ω32302ωωω+++【例9】已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根，且满足12||3x x -=，求实数p 的值． 【难度】★★ 【答案】14p ∆=-， （1）当0∆≥时，即14p ≤时，12,x x 是实根，∴12||3x x -==，即32p =⇒=-； （2）当0∆<时，即14p >时，12,x x 是共轭虚根，设1(,)x a bi a b =+∈R ，则2x a bi =-， ∴123|||2|2||32x x bi b b -===⇒=±，由1221x x a +==-，得12a =-．从而21215||2p x x x ===．综上，2p =-或52．【例10】已知,αβ是实系数一元二次方程230x mx -+=的两个根，求||||αβ+的值． 【难度】★★【答案】212m ∆=-，（1）当0∆≥时，即m ≥m ≤-30αβ=>，∴||||||||m αβαβ+=+=； （2）当0∆<时，即m -<<||||2||αβα+===．【例11】已知复数12,z z 满足1||2z =，2||1z =，12||2z z -=，求12z z ． 【难度】★★【答案】212121211121222||()()4z z z z z z z z z z z z z z -=--=⋅-⋅-⋅+⋅=， ∴12121z z z z ⋅+⋅=， ∴122211211z zz z z z z z ⋅⋅+⋅⋅=， ∴122141z zz z +=． 令12z t z =，则141t t+=，∴240t t -+=，∴122t =±，即12122z i z =±．【例12】（1）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值； （2）方程240x x k -+=有一个根为12i +，求k 的值． 【难度】★【答案】（1）由题意：另一个根为12i -，∴(12)(12)5k i i =+-=； （2）由题意2(12)4(12)074i i k k i +-++=⇒=+．【例12】关于x 的方程2(2i)i 0x a b x a b --+-=有实根，且一个根的模是2，求实数a 、b 的值． 【难度】★★【答案】设()t t ∈R 是方程的一实根，则2(2)()i 0t at a bt b -++-=．则220,0t at a bt b ⎧-+=⎨-=⎩．（1）当0b =时，此方程为220x ax a -+=． ①有实根，0∆≥即1a ≥或0a ≤．当根为2时，440a a -+=．得43a =． 当根为2-时，440a a ++=．得45a =-．②有一对共轭虚根即01a <<．模为2，即有4a =（舍）．（2）当0b ≠时，则1t =，此时1a =．又因为模为2，所以b =所以4,30a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或4,50a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【巩固训练】1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？（1）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且240b ac -≥，则方程20ax bx c ++=有两个实数根；（2）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则12b x x a +=-，12cx x a=； （3）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则221212||()x x x x -=-；（4）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且α是方程20ax bx c ++=的根，则α也是方程的根． 【难度】★★ 【答案】（1）、（2）、（4）正确，（3）不正确2．若12,x x 为方程270x x -+=的两个根，则212||x x -= ．【难度】★★ 【答案】273．已知,0x y ≠且，求20092009()(x y x y x y+++的值. 【难度】★★【答案】14．关于x 的方程222(31)10x m x m --++=的两根为αβ、，且||||3αβ+=，求实数m 的值． 【难度】★★【答案】53m =-或2m =5．设αβ、为方程220x x t ++=，（t ∈R ）的两个根，()||||f t αβ=+， （1）求()f t 的解析式；（2）证明关于t 的方程()f t m =，当2m >时恰有两个不等的根，且两根之和为定值． 【难度】★★【答案】（1）0()2,010t f t t t ⎧<⎪=<≤⎨⎪<⎩．．．（2）证明：函数()y f t =的图像关于直线12t =对称（证略） 当(1,)t ∈+∞时，()f t 为增函数，且()(2,)f t ∈+∞；022=++y xy x当(,0)t ∈-∞时，()f t 为减函数，且()(2,)f t ∈+∞．所以当2m >，方程()f t m =在区间(1,)+∞上有唯一解1t ，在区间(,0)-∞上也有唯一解2t ， 则121212t t +=⨯=．4、复数方程综合问题【例13】关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z ，2z ，m 都是复数，且21241620z z i -=+，设这个方程的两个根α、β满足||αβ-=||m 的最大值和最小值． 【难度】★★【答案】根据韦达定理有12z z mαβαβ+=-⎧⎨=+⎩∵22212()()444z z m αβαβαβ-=+-=-- ∴2212|()||4(4)|28m z z αβ-=--=．∴2121|(4)|74m z z --=，即|(45)|7m i -+=， 这表明复数m 在以(4,5)C 为圆心，7为半径的圆周上，∴max ||7m =min ||7m =当5001,150log 22m t m t >⎧⎪<<⎨<-⎪⎩即2log 215050m t -<<．【例14】已知22016220160122016(1)x x a a x a x a x ++=++++，试求0362016a a a a ++++的值。
第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程(讲义)解析版
第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程知识梳理一、理解复数的几何意义(1)复平面的有关概念：实轴是x 轴,虚轴是y 轴；与复数(,)z a b i a b R =+∈ 一一对应的点是(,)a b ； 非零复数22(,,0)z a bi a b R a b =+∈+≠与复平面上自原点出发以点(,)Z a b 为终点的向量OZ 一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点的距离.二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a-；（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔方程有两个共轭虚根2b a-±，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）．（3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．例题解析一、复数的几何意义例1．（2021·上海杨浦区·复旦附中高二期末）若复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z +=122z z -的值是______.【答案】【分析】设复数所对应的向量分别为a ，b ，根据123z z ==，12z z +=面向量的模的运算，由2222a b ba ab +++=⋅，得到0a b ⋅=，再由222424a a b a b b --+=⋅求解.【详解】设复数所对应的向量分别为a ，b因为复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z += 所以3a =，3b =，32a b +=， 所以222218a a b b a b+⋅+=+=，即0a b ⋅=， 所以a b ⊥， 所以22244524b ba a ab -=⋅-+=，解得352a b -=所以122z z -的值是故答案为：例2．（2021·上海市松江二中高二期末）已知复数z 满足242z i +-=，则1z -的取值范围是__________. 【答案】[]3,7【分析】设(,)z x y =，(,)x y R ∈，由复数z 满足|24|2z i +-=，可得在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r为半径的圆．|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，求出圆心与点(1,0)之间的距离d ．可得|1|z -的范围是[d r -，]d r +． 【详解】解：设(,)z x y =，(,)x y R ∈， 复数z 满足|24|2z i +-=，∴2，即22(2)(4)4x y ++-=． ∴在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r为半径的圆．|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，圆心与点(1,0)之间的距离5d =． 则|1|z -的范围是[d r -，]d r +，即[]3,7． 故答案为：[]3,7．例3．（2021·上海市西南位育中学高二期末）设O 是复平面的原点，满足|||1|z i z -+-=的复数在复平面上所对应的点构成集合M ，在M 中任取不同的两点A 和B ，则AOB ∠的最大值是_____________.【答案】2π【分析】根据|||1|z i z -+-=z 在复平面所表示的轨迹，从而确定集合M ，这样可以确定AOB ∠的最大值.【详解】由|||1|z i z -+-=z 表示在复平面内到(0,1),(1,0)P Q 两点的距，而PQ =z 表示的线段PQ ，因此集合M 是表示线段PQ上的点，如下图所示：显然当2AOB POQ π∠=∠=时，AOB ∠有最大值，最大值为2π. 故答案为：2π 【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合，属于基础题.例4．（2021·徐汇区·上海中学高二期末）已知关于x 的方程2430x zx i +++=有实数根，求复数z 的模的最小值.【答案】【分析】根据题意，设x ∈R ，且0x ≠，得到43z x i x x⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据复数模的计算公式，得到z =.【详解】由题意，可设x ∈R ，且0x ≠，则24343x i z x i x x x ++⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭，832z ==当且仅当2225x x=，即x =故min z =【点睛】本题主要考查求复数模的最值问题，熟记复数模的计算公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.例5.已知复数z x yi =+满足22z z i =--，则33x y+的最小值是（ ）A 、18B 、6C、D、3【难度】★★ 【答案】 B例6.设复数（为虚数单位），若对任意实数，，则实数的取值范围为 ． 【难度】★★【答案】[ 【巩固训练】1．若复数z 满足211=-++z z ，则1-+i z 的最小值是 . 【难度】★★ 【答案】12．设O 为坐标原点，已知向量1OZ 、2OZ 分别对应复数1z 、2z ，i a a z )10(5321-++=， 212),()52(12z z R a i a az +∈-+-=若其中是实数，求2z 的值。
复数解一元二次方程
复数解一元二次方程一元二次方程是数学中最基础的几何问题，它是求解一个实数或复数解时最常见的方程类型。
一元二次方程可以表达为：ax2+bx+c=0。
复数解一元二次方程的根为两个复数，即：p+qi和p-qi，其中p=b24ac2a， q=b24ac2a。
要求复数解一元二次方程的根，我们需要先解出其特征方程的解，即求解ax2+bx+c=0的根，它的特征方程可以写为：x2+bx+c=0，其中b=b24ac。
求解特征方程的根可以使用直接开方法，即它的根可以写为：x1=b+√b24ac2a，x2=b-√b24ac2a。
这里b24ac称为判别式，若判别式小于0，则一元二次方程没有实数解，只有复数解。
由特征方程的两个根可以计算出一元二次方程的复数解，其计算公式为：p+qi=x1+x2，p-qi=x1-x2。
其中p=b24ac2a， q=b24ac2a。
以ax2+bx+c=0为例来说明复数解一元二次方程的计算过程：（1）减小问题：将一元二次方程转化为特征方程，即求解x2+bx+c=0的根。
（2）计算特征方程的根：x1=b+√b24ac2a，x2=b-√b24ac2a。
（3）计算一元二次方程的复数解：p+qi=x1+x2，p-qi=x1-x2。
其中p=b24ac2a， q=b24ac2a。
从上述步骤可以看出，求解一元二次方程的复数解非常容易，只需要先求解其特征方程的根，然后用上述公式进行计算即可得到复数解。
另外，复数解一元二次方程还有另一重要的作用，就是当一元二次方程没有实数解时，复数解能够将其实际的解隐藏起来，从而使求解过程变得更容易。
总之，复数解一元二次方程是数学中重要的问题，它不仅可以揭示一元二次方程的复数解，而且可以隐藏一元二次方程实际解的复杂性。
因此，如果要求解一元二次方程，复数解是一个非常重要的方法，值得我们进一步探讨。
一元二次方程知识点总结与易错题及答案
一元二次方程知识点总结考点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次 多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
考点二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。
4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于-a b ，二根之积等于a c ，也可以表示为x 1+x 2=-a b ，x 1 x 2=ac 。
在复数范围内解实系数一元二次方程+教案 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
在复数范围内解实系数一元二次方程【教学目标】1、理解实系数一元二次方程在复数集中的解的情况；2、使学生掌握在复数集中求解实系数一元二次方程的方法；3、掌握当△<0时，实系数一元二次方程的根与系数的关系；4、培养学生的计算能力和类比推理的思想，提高学生逻辑推理的核心素养。
【教学重难点】重点：在复数集内求解实系数一元二次方程难点：共轭虚根的应用【教学内容】一、复习巩固复数的乘法：(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i复数的除法：a+bic+di =(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2i[练习](1)(1+i)(3−i)(2)3i−11+i二、例题与练习[例1]在复数范围内解下列方程：(1)x2+2=0 (2)2x2+3=0 (3)x2+3x+4=0小结：<解法一><解法二>【设计意图：培养学生的计算能力和逻辑思维，提高学生的逻辑思维】Q：观察实系数一元二次方程的两个根，你能发现什么吗？（根是成对出现的，有两种情况：两根均为实数或两根均为虚数，当两根均为虚数时，恰好是互为共轭虚数，即虚根成对定理）Q：在实数范围内实系数一元二次方程的两个根满足韦达定理，那么在复数范围内实系数一元二次方程的两个根是否也会满足韦达定理？（根据求根公式，当实系数一元二次方程的两根为虚数时，x1=−b+√−b2+4aci2a ，x2=−b−√4ac−b2i2a，当x1+x2=−b+√4ac−b2i2a +−b−√4ac−b2i2a=−ba，x1x2=−b+√4ac−b2i2a×−b−√4ac−b2i2a=ca，这说明复数范围内的实系数一元二次方程的两个根也满足韦达定理）【设计意图：通过类比推理，培养学生的逻辑推理能力】[例2]若1+3i是方程x2+bx+c=0(b，c∈R)的一个根，则方程的另一个根是_____.小结：利用实系数一元二次方程的两个根互为共轭虚数求解【设计意图：在理论成立的基础上进行计算，着重培养学生的计算能力】[例3]已知1−√2i是关于x的方程ax2+bx+1=0(a≠0)的一个根，求实数a,b 的值.小结：利用实系数一元二次方程的虚根成对定理和韦达定理进行求解【设计意图：通过对上述理论知识，将理论知识与具体题目进行结合，培养学生的计算能力】作业：课本习题7.2 -6 7【板书设计】主题求解方法：1例题演示思路过程2。
复数集内实系数一元二次方程的根的问题
1、在复数范围内求解方程(求根公式或因பைடு நூலகம்分解)
2、有关结论
(1)实系数一元二次方程在复数范围内定有两个根
•
•• 0，方程有两个不相等的实数根x1、2 0，方程有两个相等的实数根x1、2
b
b2a 2a
2a
(2)0，0方时程，有虚一数对根共成轭对虚且根x共1、2 轭 2ba
2、实系数一元二次方程根与系数的关系
3、在复数范围内分解因式
例2、已知3i 2是关于x的方程2 x 2 px q 0
的一个根,求实数p, q的值．
解：x1 2 3i是方程的一个虚根
方程2x2 px q 0的另一虚根是x2 2 3i
x1 x1
x2 x2
p 4 2
q 13 2
在实数集内，若实系数一元二次方程ax2 bx c 0
有根x1、x2 ,则ax2 bx c可因式分解为a(x x1)(x x2 )
在复数集内，若实系数一元二次方程ax2 bx c 0
有根x1,x2 ,则ax2 bx c可因式分解为a(x x1)(x x2 )
p8 q 26
韦达定理依然成立
四、课堂练习
ex1、在复数集中解方程：
(1) x 2 2 0
(2) x 2 x 1 0
(3) x 2 2ix 2 0
ex 2、 在 复 数 集 中 分 解 因 式：
(1) x 2 6 ( x 6i)( x 6i)
(2) x 4 16 (x 2i)( x 2i)( x 2)( x 2)
复数集内一元二次方程的解法
复数集内一元二次方程的解法一、实系数一元二次方程只有实系数一元n 次方程的虚根才成对共轭,1．判定下列方程根的情况,并解方程1022=++x x ,0722=++x x ,0452=+-x x20122=+-x x 答：471i x ±=,05322=+-x x ,09222=+-x x 2．若关于x 的方程x 2+5x+m=0的两个虚数根x 1,x 2满足|x 1-x 2|=3,求实数m 的值．|x 1-x 2|=3,|x 1-x 22|=9；则|x 1＋x 22-4x 1x 2|=9,即|25-4m|=9．3．已知实系数一元二次方程2x 2＋rx ＋s=0的一个根为2i-3,求r,s 的值．二、复系数一元二次方程虚根不一定成对,成对也不一定共轭;1．求方程x 2-2ix-5=0的解．当b 2-4ac ≥0时,方程的解都是实数吗 求方程x 2-2ix-7=0的解解方程：x 2-4ix+5=0；解方程：0)2(25222=--++-i x x x x 答：i x x 5351,221-==应用求根公式,不能用复数相等06)32(2=+++i x i x 答：i x x 3,221-=-=b 2-4ac 为虚数,2．解方程：x 2＋1＋ix ＋5i=0．251122=+++x x x x 答：4151,13,21i x x ±== 231122=+-+x x x x 答：4151,13,21i x x ±=-= 三、方程有实根或纯虚根的问题1．方程x 2+m+2ix+2+mi=0至少有一实根,求实数m 的值和这方程的解．2．已知方程x 2+mx+1+2i=0m ∈C 有实根,求|m|的最小值．解方程关于x 的方程03)12(2=-+--i m x i x 有实数解,则实数m 满足的条件是 CA ．41-≥mB ．41-≤mC ．121=mD ．121-=m R k ∈,方程04)3(2=++++k x i k x 一定有实根的充要条件是 DA ．4≥kB ． 522-≤k 或522+≥kC ．23±=kD ．4-=k 一元二次方程缺少常数项,必有零根一个特殊的实根设βα与是实系数一元二次方程0m x 2=++x 两个虚根,且3=-βα,求m;答：25=m 利用∆-=∆-=-i βα 已知i 2321+-是方程022=++kx x C k ∈的一个根,求k 的值;答：i 2323+不能用求根公式、虚根成对定理求解,可利用根适合方程解答关于x 的方程02=++a x x 有两个虚根,而且2=-βα,则实数a 的值是 AA ．45B ．21C ．52 D ．2 若方程035)(2)1(2=-++-+i x i a x i R a ∈有实根,求合适的a;答：37=a 或－3 关于x 的方程22210123ix ix i x a x --=--有实数根,求实数x 的值;答：571-=a 或11; 7．设关于x 的方程0)3(22=+++i tx t t x 有纯虚数根,求实数t 的值;答：3-=a 8．。
高二数学复数的平方根与立方根,实系数一元二次方程(学生版)
19、已知复数 ，且 ，求实数 的值。
【课堂总结】
1、关于复系数一元二次方程
一般不能用来判断这个方程根的情况，然而实系数一元二次方程中根与系数的关系对于复系数一元二次方程仍适用，即有 。一元二次方程的求根公式仍然成立，只不过两根不一定成共轭复数。
2、实系数二次三项式在复数范围内的因式分解
若 是实系数一元二次方程 的根，则有 ，这样就可以利用一元二次方程的求根公式在复数范围内将实数系的二次三项式分解因式。
3、解题方法指导
（1）实系数一元二次方程若有虚根，则其虚根是成对出现的，即为共轭复数
（2）已知实数系一元二次方程的一根或两根的关系，求其系数时，一般对根的情况分类讨论，即分实根和虚根，利用根与系数的关系加以求解。
例8、设方程 的两根为 ，且 ，求实数 的值。
变式练习：设 ， 是关于 的方程 的两根， ，且 ，试求 的值。
【课堂小练】
1、已知关于 的二次方程 有实根，求复数 的模的最小值。
2、设 则 。·
3、若 是方程 的一个根，则 __________， _________。
4、在复数范围内分解因式： =_________________________。
【注】（1）一个非零复数的平方根都有相应的两个复数；
（2）复数的平方根一般不要记为 。
2、复数的立方根
若复数 满足 ，则称 是 的立方根。
【注】1的立方根有三个：1， ， （其中 ），满足 。
3、实系数的一元二次方程:
实系数的一元二次方程 （ 、 、 ，且 ）
(1)当 时，方程有两个不相等的实数根；
(A) 17 (B) (C) 8 (D） 4
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复数范围内实系数一元二次方程（19题）（答案）
1
、若实系数一元二次方程的一个根是13+，则这个方程可以是 228039
x x -+= ． 2、复数集内分解221x x ++=
2(x x
3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下
列等式成立的是（ C ）
(A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ∆=-≥ (C)1212,b c x x x x a a
+=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假，并说明理由；
(1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总
有两个根．（ √ ）
(2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另
一个根是12i -．（ ⨯ ）
(3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ √）
5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -⋅=+．
解：设i()z x y x y =+∈R ，，则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+．
由复数相等，有3133x y y x -=⎧⎨-=⎩，，解得543.4
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，． ∴53i 44z =--． 6、适合方程20z z i --=的复数z
12
i
7、适合方程2560z z -+=的复数z ；
若z R ∈，则2
5602,32,3z z z z z z -+=⇒==⇒=±=±
若z 为虚数， 设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠
，则2()60a bi +-=
222226026020a b a b abi ab ⎧⎪--=-+-=⇒⎨=⎪⎩
2222606056010a b b b b b a ⎧⎪--=⇒⇒--=⇒+-=⇒=±⎨=⎪⎩
所以，方程的解为2,2,3,3,,i i ---。
8、解方程210x ix i -+-=
（1）x R ∈ （2）x C ∈
解：（1）1x = （2）11x orx i ==-
9、已知复数Z 满足84Z Z i +=-，且Z 是关于x 的实系数一元二次方程2250x mx ++=的一个根，求m 的值。
34Z i =+ 6m =-
10、如果虚数z 满足38z =，那么3222z z z +++的值是_____． 分析：若设i(0)z a b b =+≠，代入求值，过程复杂，不易求解，但运用整体代入的思维策略则显得简洁明快．
解：∵328(2)(24)0z z z z =∴-++=，
． ∵z 是虚数，∴z ≠2．
∴2240z z ++=，即2222z z ++=-．
故3222826z z z +++=-=．
说明：该题也可通过设z=x+yi(x 、y ∈R)求解，但过程繁复.
可见，从整体出发利用条件，解题思路流畅，运算量小，
11、已知关于x 的方程2(4)30()x i x pi p ++++=∈R 有实根，则p 的值
是 ．p =1或3
12、已知关于x 的方程2(4)30()x i x pi p ++++=∈R 有纯虚根，则p 的
值是 ．2±
13、关于x 的方程2(4)30x i x pi ++++=无实根，求实数p 的取值范围； (,1)(1,3)(3,)-∞+∞U U
14、实系数方程230x mx -+=的两虚根为,αβ，则αβ+=
15、已知关于x 的方程230()x kx k ++=∈R 有两个虚根α和β，且
||αβ-=k 的值是 2± ．
16、已知关于x 的方程250x x a ++=的两根12,x x ，且12||3x x -=，则实
数a 的值是 1742
or ．
17、已知关于x 的方程2220()x kx k k k ++-=∈R 有一个模为1的虚根，
则k 的值是 ．1-
18、已知关于x 的方程：22230x ax a a ++-=至少有一个模为1的根α，
求实数a 的值.
【解】
如果α∈R ，则0∆≥,∴(,8][0,)a ∈-∞-+∞U ，又∵∈R ，∴α=1或-1 当α=1时，代入得：a 2+2a+2=0不可能.
当α= -1时，代入得：a 2-4a+2=0∴2a =如果α是虚数，则0∆<，∴(8,0)a ∈-，并且|α|=1， 则α也是此方程的根，于是：αα=2
2a a -
但是αα=|α|2
=1，∴
2a a -=1，解得：a=2（舍去）或者a=-1 所以，所求的2a =，或者-1
19、已知m C ∈，关于x 的方程2340x mx i +++=有实数根，求复数m 的模的最小值。
解法一：设m a bi(a,b R )=+∈，设方程的实根为t ，代入方程得： 222
3034034040
t at t (a bi )t i t at (bt )i bt ⎧++=++++=⇒++++=⇒⎨+=⎩ 22222125061644
a (t )t t m a
b t m t b t ⎧=-+⎪⎪≠∴⇒=+=+
+≥∴≥⎨⎪=-⎪⎩
Q 当且仅当t =时，取等号。
即4min m =
解法二：设方程的实根为t ，代入方程得：
2343400t tm i t ,m t i t t +++=≠∴=---Q 2222223425616164m (t )()t ,m m
t t
⇒=--+=++≥∴≥∴≥ 当且仅当t =时，取等号。
即4min m =
点评：本例将m 转化为关于t 的函数，利用函数的性质从而求出m 的模 的最小值。
复数范围内实系数一元二次方程（19题）
1、若实系数一元二次方程的一个根是
13+，则这个方程可以是 ．
2、复数集内分解221x x ++=
3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下
列等式成立的是
(A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ∆=-≥ (C)1212,b c x x x x a a
+=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+
4、判断下列命题的真假，并说明理由；
(1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总 有两个根．（ ）
(2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另 一个根是12i -．（ ）
(3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ ）
5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -⋅=+．
6、适合方程20z z i --=的复数z ；
7、适合方程2560z z -+=的复数z ；
8、解方程210x ix i -+-=
（1）x R ∈ （2）x C ∈
9、已知复数Z 满足84Z Z i +=-，且Z 是关于x 的实系数一元二次方程2250x mx ++=的一个根，求m 的值。
10、如果虚数z 满足38z =，那么3222z z z +++的值是_____．
11、已知关于x 的方程2(4)30()x i x pi p ++++=∈R 有实根，则p 的值
是 ．
12、已知关于x 的方程2(4)30()x i x pi p ++++=∈R 有纯虚根，则p 的
值是 ．
13、关于x 的方程2(4)30x i x pi ++++=无实根，求实数p 的取值范围；
14、实系数方程230x mx -+=的两虚根为,αβ，则αβ+= ；
15、已知关于x 的方程230()x kx k ++=∈R 有两个虚根α和β，且
||αβ-=k 的值是 ．
16、已知关于x 的方程250x x a ++=的两根12,x x ，且12||3x x -=，则实
数a 的值是 ．
17、已知关于x 的方程2220()x kx k k k ++-=∈R 有一个模为1的虚根，则k 的值是 ．
18、已知关于x 的方程：22230x ax a a ++-=至少有一个模为1的根α，
求实数a 的值.
19、已知m C ∈，关于x 的方程2340x mx i +++=有实数根，求复数m 的模的最小值。