相位差的计算

12.1.3光程与光程差的计算

在分析和讨论光的干涉过程时，必须考虑光在不同介质中传播的问题，例如光穿过透镜时的情况。由于光在不同介质中的波速和波

长不相同，光干涉的情况比前面在机械波中的讨论要复杂一些。

一、光程和光程差

先分析光的波长在介质中变化的情况。介质的折射率定义为真空光速与介质中光速的比，故有

其中λ表示光在真空中的波长，表示介质中的波长。由于，所以即光在介质中的波长比真空中的波长要短一些。

下面分析一束光在介质中传播时光振动的相位差。设有一束光在空间传播，沿光线设立x轴，A和B为x轴上两点，光在A B之间的路程（波程）为x，即B点比A点距离波源要远x这么一段长度，见下图（a）。若A B之间是真空或空气，则A B之间光振动的时间差，即B点的光振动比A点在时间上要落后；A B之间光振动的相位差，即B点比A点在相位上要落后，其中λ为光在真空中的波长。若A B之间是折射率为n的介质，见下图（b），则A B之间光振动的时间差，相位差

，其中为介质中的波长，可见相位差不仅和波程x相关，还与折射率有关。若A B之间有几种不同的介质，其长度分别为、、…折射率分别为、、…，见下图（c），则

A B之间的时间差为，相位差为，其中λ为真空中的波长。

光程的概念

定义A B之间的光程为

求和沿光线（光路）进行，则A B之间光振动的时间差可简洁表示为

相位差为

在形式上又回到了“真空”情况。光程显然和波程不同，光程含有波程和折射率两个因数，除非在光路上全是真空或空气，光程大于波程。

在物理意义上，光程的概念有等价折算的含义。例如，有3/4毫米长折射率为4/3的一层水膜，有2/3毫米折射率为3/2的一块玻璃片，这两个物体在很多方面性质都不同，如力学性质、热学性质、电学性质等等。但它们的光程相同（1毫米），这意味着光通过它们时所需要的时间，以及由此产生的相位差相同，都相当于1毫米的真空。在引起光振动的时间差和相位差方面，它们完全等价，或者通俗地说，是不可分辨的。

下面考虑两束相干光在干涉点的相位差。设有两束相干光，来自于同一个光源，在干涉点p相遇。它们从光源到干涉点的光程分别为和，于是它们在p点引起的两个光振动的相位分别比光源落后和，故它们之间的相位差为

。

定义两束相干光在干涉点p的光程差

则该点光振动的相位差

在上面的定义中，光程和是从两束相干光共同的光源开始计算的（两个子光波列被分开的地方开始计算）。显然，如果不从光源而是从两个同相点算起，其结果仍然正确。

二、薄透镜的等光程性

在光的干涉实验中，常常需要用薄透镜将平行光会聚成一点，为了讨论会聚点的干涉情况，需要计算相干光在该点的光程差。由于透镜各处的厚度不相同，折射率也往往不知道，按光程的定义来计算有困难。下面我们讨论薄透镜的等光程性，提供一个简便计算的方法。

几何光学告诉我们，平面光波通过透镜会聚在焦平面上时，叠加后总是形成亮点，如下图所示。这个光学现象隐含着一个结论：与光束正交的波面上所有的同相点到透镜焦平面上像点的光程相同。即图(a)中的a1、a2、a3各点到像点a’的光程相同；图(b)中的b1、b2、b3各点到b’的光程相同。正是由于光程相同，所以光传播到像点的相位变化也一样，因而在像点的各个光振动同相，才能干涉增强形成亮点。这个结果可以通过光程的定义来帮助理解。从波程来看，从同一波面到像点的光线中，过透镜中心的光线要短一些，过透镜边缘的光线要长一些；但从折射率来看，过透镜中心的光线要更多地经过玻璃，过透镜边缘的光线却很少通过玻璃，从波程和折射率这两个因素来分析，各条光线的光程相等是可以理解的。

(a)(b)

薄透镜的等光程性

上述结论称为薄透镜的等光程性，即平行光经薄透镜会聚时各光线的光程相等。这提示我们，如果要计算两束平行光在会聚点的光

程差，只需要在透镜前面垂直于光线作一个波面，只要知道两条光

线在波面上的光程差，由于在会聚过程中各光线的光程相等，这个

光程差将保持到会聚点。例如在图（a）表示的光路中，有两束平行光到达波面上a1点和a2点后，经过透镜最终在会聚点a’相迂，如果它们在a1点和a2点的光程差是δ，则它们在a’点的光程差也是δ。所以这个结论又叫做平行光经薄透镜会聚不附加光程差。

三、光的半波损失

在研究驻波时我们知道，若波从波疏介质入射到波密介质表面反射时，反射波将发生相位突变或半波损失。光的反射也同样可能有

半波损失现象发生。两种介质相比较，我们把折射率大的介质称为

光疏介质，折射率小的称为光疏介质。光从光疏介质入射到光密介

质分界面而反射时，反射光也会产生半波损失。半波损失不是光在

介质内传播过程中产生的，而是在反射的瞬间在界面上发生的，常

称为附加光程差。在光程和光程差的计算中必须考虑附加光程差。

一般来说，如果总共发生了偶数个半波损失，亦即发生了偶数次的

相位突变，它们相互抵消，可以不必考虑；如果有基数个半波损失，偶数次的相互抵消后，最终可算作一个半波损失。考虑了附加光程

差后，一束光在介质中传播时A B两点之间的光程应表示为

其中l’为附加光程差，有0和λ/2两个可能的取值，依半波损失的情况而定。两束相干光在干涉点p的光程差为

其中求和沿两条光路进行，从同相点计算到干涉点，δ’是附加光程差，同样有0和λ/2两个可能的取值，取决于两束相干光半波损失的情况。

波的干涉

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