高等数学11-5.1二阶常系数齐次线性微分方程(18)
高等数学上册教材目录
高等数学上册教材目录1. 微积分导论1.1. 实数与数集1.1.1. 实数的概念与性质1.1.2. 数集的分类与运算1.1.3. 上确界与下确界1.2. 极限与连续性1.2.1. 函数极限的定义1.2.2. 极限的性质1.2.3. 无穷小量与无穷大量1.2.4. 连续性的定义与性质2. 函数与极限2.1. 函数的基本概念2.1.1. 函数的定义与表示2.1.2. 函数的图像与性质2.2. 函数的极限2.2.1. 函数极限的计算方法2.2.2. 无穷小量对函数极限的影响2.3. 极限存在与连续性2.3.1. 极限存在的条件2.3.2. 连续函数与间断点3. 导数与微分3.1. 导数的概念与性质3.1.1. 导数的定义3.1.2. 导数的运算法则3.1.3. 高阶导数与导数的应用3.2. 微分的概念与应用3.2.1. 微分的定义与计算3.2.2. 微分中值定理与导数的应用3.3. 函数的凸性与最值3.3.1. 函数的单调性与凸性3.3.2. 最值问题与应用4. 微分中值定理与导数应用4.1. 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理4.2. 柯西中值定理与洛必达法则4.3. 震荡定理与不等式的应用4.4. 张贴问题与曲线追踪5. 积分与不定积分5.1. 积分的概念与性质5.1.1. 不定积分的定义5.1.2. 积分运算法则5.2. 牛顿-莱布尼兹公式与变限积分 5.2.1. 牛顿-莱布尼兹公式的应用 5.2.2. 变限积分的计算5.3. 定积分的概念与性质5.3.1. 定积分的定义5.3.2. 定积分的计算方法5.4. 积分中值定理与上积分5.4.1. 积分中值定理的应用5.4.2. 上积分的概念与计算6. 积分应用与定积分计算6.1. 曲线的长度与平面图形的面积6.1.1. 曲线长度的计算6.1.2. 平面图形面积的计算6.2. 旋转体的体积与平面曲线的求弧长6.2.1. 旋转体的体积计算6.2.2. 平面曲线弧长的计算6.3. 曲线的参数方程与极坐标方程6.3.1. 参数方程与极坐标方程的基本概念6.3.2. 参数方程与极坐标方程的应用7. 微分方程初步7.1. 微分方程的基本概念与解的存在唯一性 7.2. 一阶微分方程的解法7.2.1. 可分离变量的微分方程7.2.2. 齐次与一阶线性微分方程7.2.3. 可降阶的高阶微分方程7.3. 二阶线性齐次微分方程7.3.1. 齐次线性微分方程的基本概念7.3.2. 常系数齐次线性微分方程的解法 7.4. 可降阶的高阶线性微分方程7.4.1. 高阶线性微分方程的基本概念7.4.2. 可降阶的高阶线性微分方程的解法8. 多元函数微分学8.1. 二元函数与偏导数8.1.1. 二元函数的概念与性质8.1.2. 偏导数的定义与计算8.2. 多元函数的微分8.2.1. 多元函数的全微分8.2.2. 隐函数与反函数的微分8.2.3. 多元函数的全微分与偏导数8.3. 多元函数的极值与条件极值8.3.1. 多元函数的极值及其判定条件8.3.2. 多元函数的条件极值及其求解9. 重积分9.1. 二重积分的概念与性质9.1.1. 二重积分的定义9.1.2. 二重积分的计算方法9.2. 二重积分的应用9.2.1. 平面图形的质心与重心 9.2.2. 轴对称曲面的体积计算 9.3. 三重积分的概念与性质9.3.1. 三重积分的定义9.3.2. 三重积分的计算方法9.4. 三重积分的应用9.4.1. 空间图形的体积计算9.4.2. 质量和质心的计算10. 曲线积分与曲面积分10.1. 曲线积分的概念与计算10.1.1. 第一类曲线积分10.1.2. 第二类曲线积分10.2. Green公式与环流量10.2.1. Green公式的推导与应用10.2.2. 曲线的环流量计算10.3. 曲面积分的概念与计算10.3.1. 第一类曲面积分10.3.2. 第二类曲面积分10.4. Stokes公式与散度定理10.4.1. Stokes公式的应用10.4.2. 散度定理的应用11. 序列与级数11.1. 数列的极限与收敛性11.1.1. 数列极限的概念与性质11.1.2. 数列收敛性的判定准则11.2. 函数项级数11.2.1. 函数项级数的收敛性判定11.2.2. 常见函数项级数的性质11.3. 幂级数与Taylor展开11.3.1. 幂级数的概念与收敛半径11.3.2. Taylor级数与Maclaurin级数11.4. 函数的一致收敛性11.4.1. 函数列的逐点收敛与一致收敛11.4.2. 一致收敛的判定条件以上为《高等数学上册》教材目录的简要内容概述，各章节内容详细，适合根据教材目录迅速定位所需知识点并展开学习。
高等数学-十九 二阶线性常系数齐次微分方程-精选文档
(常数)
定理3
若
y 是二阶线性非齐次方程(2)的特解,
y 是方程(2)所对应的齐次方程的通解，则
Y y y 就是方程(2)的通解。
定理4 若 y 1 , y 2 分别是方程
a y b y c y f () x 1
与 a y b y c y f () x 的特解, 那么 y y 1 y 2 2
x 2
3
x
e 2x
x
x
根据例1知道该方程所对应的齐次方程的通解 ,所以该方程的通解为 yce cx 1 2 e x x 1 3 x Y ce cx 1 2 e xe 3
x
二、二阶线性常系数齐次微分方程求通解的方法
a y b y c y 0
由定理知，要求齐次线性方程的通解，只要 求出它的两个线性无关的特解即可.
ye
x
y e
代入齐次方程得
y e （ 为常数） 2 x x x a e b e c e 0
2 x
x
e( a b c ) 0
x
2
e( a b c ) 0 e
x
2
x
0
a b c 0
二阶线性常系数微分方程
一. 二阶线性常系数微分方程解的性质
二. 二阶线性常系数齐次微分方程求解的方法
形如
a y b y c y fx () （其中 a , b , c 为常数）
即
叫做二阶线性常系数微分方程 当
f ( x) 0
a y b y c y 0 (1 )
bcy acy ( 1 1 cy ccy ( 1 1 cy ( 1 1 cy ) 2 2) 2 2) 2 2
考研高等数学基础知识点归纳
考研高等数学知识点归纳本文档适用于考前复习查漏补缺和考场前快速回顾知识点使用目录第一章函数极限连续 (1).三角函数常用公式 (1).函数奇偶性 (2).重要的极限 (2).定积分公式 (2)x (2)·常用的等价无穷小0.无穷小比阶 (2).复合函数的等价无穷小 (2)第二章导数与微分 (4).导数的定义式 (4).基本求导公式 (4).导数有理运算法则 (4).复合函数求导法 (4).隐函数求导法 (4).反函数的导数 (4).参数方程求导法 (4)第三章微分中值定理及导数应用 (5)3.1微分中值定理 (5).费马引理 (5).罗尔定理 (5).拉格朗日中值定理 (5).柯西中值定理 (5).泰勒公式 (6)3.2导数的应用 (7).函数的单调性 (7).函数的极值 (7).函数的最大值与最小值 (7).函数的凹凸性 (8).曲线的渐近线 (8)第四章不定积分 (9)4.1不定积分的性质 (9).原函数存在定理 (9).不定积分的性质 (9).常用积分公式 (9)4.2不定积分的计算方法 (10).第一换元积分法 (10).第二换元积分法 (10).分部积分公式 (10).“积不出”的积分 (11).三类常见可积函数积分 (11)第五章定积分 (12)5.1定积分的定义与性质 (12).定积分的定义 (12).定积分存在的充分条件 (12).定积分的不等式性质 (12).定积分的中值定理 (12)5.2积分上限函数 (12).积分上限函数的定义 (12).积分上限函数的奇偶性 (12)5.3定积分的计算方法 (13).牛顿一莱布尼茨公式 (13).换元积分法 (13).分部积分法 (13).利用奇偶性和周期性 (13).利用已有公式 (13).具有几何意义的积分 (13).变上限积分求导方法 (13).区间再现法 (13)5.3反常积分 (14).无穷区间上的反常积分 (14).比较判别法 (14).比较判别法的极限形式 (14).无界函数的反常积分 (14).比较判别法 (14).比较判别法的极限形式 (14)第六章定积分的应用 (15)6.1几何应用 (15).平面图形的面积 (15).旋转体体积 (15).曲线弧长 (15).旋转体侧面积 (15)第七章微分方程 (16)7.1常微分方程的基本概念 (16)7.2一阶微分方程 (16)7.3可降阶的高阶方程 (17)7.4高阶线性微分方程 (17).线性微分方程的解的结构 (17).常系数齐次线性微分方程 (17).常系数非齐次线性微分方程 (17)第八章多元函数微分学 (19)8.1多元函数的基本概念 (19).多元函数的极限 (19).多元函数的连续性 (19).偏导数 (19).全微分 (20).连续、可偏导、可微之间的关系 (21)8.2多元函数的微分法 (21).复合函数微分法 (21).隐函数微分法 (21)8.3多元函数的极值与最值 (21).无约束极值 (21).条件极值及拉格朗日乘数法 (22).最大最小值 (22)第九章二重积分 (23)9.1二重积分的概念及性质 (23).二重积分的概念 (23).二重积分的性质 (23)9.2二重积分的计算 (23).几何意义 (23).利用直角坐标计算 (23).利用极坐标计算 (23).利用函数的奇偶性计算 (24).利用变量的轮换对称性计算 (24)第十章无穷级数 (25)10.1常数项级数 (25).级数的概念 (25).级数的性质 (25).级数的审敛准则 (25).一些收敛关系和级数收敛性 (26)10.2幂级数 (27).幂级数的定义 (27).阿贝尔定理 (27)·幂级数n nn a x∞=∑的收敛性 (27).求收敛半径方法 (27).有理运算性质 (27).分析性质 (28).函数的幂级数展开 (28).函数展开为幂级数的两种方法 (29)10.3傅里叶级数 (29).傅里叶系数和傅里叶级数 (29).收敛定理（狄利克雷） (29).周期为2 的函数的展开 (29).周期为2l的函数的展开 (30)第十一章向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用 (31)11.1向量代数 (31).数量积 (31).向量积 (31).混合积 (31)11.2空间平面与直线 (32).平面方程 (32).直线方程 (32).平面与直线的位置关系（平行、垂直、夹角） (32).点到面的距离 (32).点到直线的距离 (32)11.3曲面与空间曲线 (32).曲面方程 (32).空间曲线 (32).常见曲面 (32)11.4多元微分学在几何上的应用 (33).曲面的切平面与法线 (33).曲线的切线与法平面 (33)第十二章多元积分学及其应用 (34)12.1三重积分 (34)12.2曲线积分 (35).对弧长的线积分（第一类线积分） (35).对坐标的线积分（第二类线积分） (35)12.3曲面积分 (37).对面积的面积分（第一类面积分） (37).对坐标的面积分（第二类面积分） (37)12.4多元积分应用 (38)12.5场论初步 (39)第一章函数极限连续·三角函数常用公式倒数关系sin csc 1θθ⋅=cos sec 1θθ⋅=tan cot 1θθ⋅=平方关系22sin cos 1θθ+=221tan sec θθ+=221cot csc θθ+=和角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-cot cot 1cot()cot cot αβαβαβ-+=+倍角公式2222cos2cos sin 2cos 112sin θθθθθ=-=-=-3cos34cos 3cos θθθ=-sin 22sin cos θθθ=3sin33sin 4sin θθθ=-22tan tan 21tan θθθ=-21cot cot 22cot θθθ-+=半角公式sin 2α=cos 2α=sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+万能公式22tan 2sin 1tan 2ααα=+221tan 2cos 1tan 2ααα-=+22tan 2tan 1tan 2ααα=-积化和差公式1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--和差化积公式sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=sin sin 2cos sin 22θϕθϕθϕ+--=cos cos 2cos cos 22θϕθϕθϕ+-+=cos cos 2sin sin 22θϕθϕθϕ+--=-sin cos arctan b a b a θθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭反三角函数arcsin arccos 2πθθ+=arctan arccot 2πθθ+=arctan arctan arctan(1x y x y xy±±=·函数奇偶性设函数()f x 的定义域D 关于原点对称奇函数：()()f x f x -=-偶函数：()()f x f x -=+=奇奇奇+=偶偶偶=⨯奇奇偶=⨯偶偶偶=⨯奇偶奇·常用函数大小关系0x ≥时sin x x ≤0x >时ln(1)x x+<·重要的极限1lim(1)x x e x →∞+=11lim(1)x x e x -→∞-=lim(1)x a x a e x→∞+=10lim(1)x x x e→+=110lim(1)x x x e -→-=0sin lim 1x x x→=·定积分公式1011111lim lim ()n n n n i i i i f f f x dx n n n n →∞→∞==-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰·常用的等价无穷小0x →()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln 1~1x x x x x x x e +-()log 1~ln a x x a +1~ln x a x a -211cos ~~sec 12x x x --21cos ~2a a x x -31sin ~6x x x -31tan ~3x x x -()21ln 1~2x x x -+31arcsin ~6x x x -31arctan ~3x x x -()11~a x ax +-推广得：若()()()0,0x x x ααβ→→则()()()()()11~x x x x βααβ+-·无穷小比阶加减法时低阶吸收高阶o ±o =o ,=m s 乘法时阶数累加o ∙o =o r ,∙o =o r 非零常数相乘不影响阶数o =o B =∙o ,≠0且为常数·复合函数的等价无穷小当0x →时，若()~m f x ax 、()~n g x bx ，且()f x 、()g x 、a 、b 均不为0，则[()]~m mnf g x ab x·一些求解极限的思路（1）(1)~()e e e e e αββαββαβ--=--，0αβ→（2）1∞型①指数化②1lim lim(1)lim(1)~e αββαβααα⋅⋅+=+，0α→，β→∞·一些常用极限1n =第二章导数与微分·导数的定义式00000000())()())(l d (lim im x x x x x y f x dx f x x f x f x f x x x x →∆→='+∆-==-=∆-·基本求导公式()0C '=1()a a x ax -'=()x x e e '=l )(n x x a a a'=1(ln )x x '=1(log )ln a x x a '=(sin )cos x x '=(cos )sin x x'=-221(tan )(sec )(cos )x x x '==221(cot )(csc )(sin )x x x '=-=-(sec )sec tan x x x '=(csc )csc cot x x x'=-(arcsin )x '(arccos )x '=2(arctan )1x x '=+2(arccot )1x x '=-+·导数有理运算法则设()u u x =，()v v x =在x 处可导，则()u v u v '''±=±()uv u v uv '''=+2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭·复合函数求导法设()u x ϕ=在x 处可导，()y f u =在对应点处可导则复合函数[()]y f x ϕ=在x 处可导，且d d d ()()d d d y y u f u x x u xϕ''=⋅=·隐函数求导法设()y f x =是由方程(,)0F x y =所确定的可导函数，为求得y '可在方程(,)0F x y =两边对x 求导，可得到一个含有y '的方程，从中解出y '·反函数的导数若()y f x =在某区间内单调可导，且()0f x '≠，则其反函数()x y ϕ=在对应的区间也可导，且1()()y f x ϕ'='，即dx 1d d dxy y =·参数方程求导法设()y y x =是由参数方程(),()(),x t t y t ϕαβψ=⎧<<⎨=⎩确定的函数，则（1）若()t ϕ和()t ψ都可导，且()0t ϕ'≠，则d ()d ()y t x t ψϕ'='（2）若()t ϕ和()t ψ二阶可导，且()0t ϕ'≠，则223d d ()1()()()()d d ()()()y t t t t t x t t t t ψψϕϕψϕϕϕ'''''''⎛⎫-=⋅= ⎪'''⎝⎭第三章微分中值定理及导数应用3.1微分中值定理·费马引理设()f x 在点0x 处可导，如果()f x 在点0x 处取得极值，那么0()0f x '=·罗尔定理如果()f x 满足以下条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续，（2）在开区间(,)a b 内可导，（3）()()f a f b =则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=·拉格朗日中值定理如果()f x 满足以下条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续（2）在开区间(,)a b 内可导则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-推论：如果在(,)a b 内恒有()0f x '=,则在(,)a b 内()f x 为常数·柯西中值定理如果()f x ，()F x 满足以下条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续（2）在开区间(,)a b 内可导，且()F x '在(,)a b 内每一点处均不为零则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()()()f b f a f F b F a F ξξ'-='-罗尔、拉格朗日、柯西中值定理的作用：建立了()f x 与()f x '的联系罗尔、拉格朗日、柯西中值定理的关系：罗尔拉格朗日柯西推广推广特例特例罗尔、拉格朗日、柯西中值定理的图像：罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理·泰勒公式皮亚偌型余项泰勒公式如果()f x 在点0x 有直至n 阶的导数，则有2()0000000011()()()()()()()()[()]2!!n n n f x f x f x x x f x x x f x x x o x x n '''=+-+-++-+- 常称0()[()]nn R x o x x =-为皮亚诺型余项拉格朗日型余项泰勒公式设函数()f x 在含有0x 的开区间(,)a b 内有直到1n +阶的导数，则当(,)x a b ∈时有(1)2()10000000011()()()()()()()()()()2!!(1)!n n nn f f x f x f x x x f x x x f x x x x x n n ξ++'''=+-+-++-+-+ 其中(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+这里ξ介于0x 与x 之间，称为拉格朗日型余项若00x =则得麦克劳林公式：2()11()(0)(0)(0)(0)()2!!n n n f x f f x f x f x o x n '''=+++++ 共同点：①利用多项式逼近函数②建立()f x 与()()n f x 的联系不同点：①条件皮亚诺型余项：n 阶拉格朗日型余项：1n +阶②余项皮亚诺型余项→局部用于求解：①极限②极值拉格朗日型余项→整体用于求解：①最值②不等式常用泰勒公式：2111()2!!x n n e x x x o x n =+++++ 32121sin (1)()3!(21)!n nn x x x x o x n ++=-++-++ 2422cos 1(1)()2!4!(2)!n n n x x x x o x n =-+-+-+ ()331tan 3x x x o x =++()331arcsin 6x x x o x =++()331arctan 3x x x o x =-+211()1n n x x x o x x =+++++- 211(1)()1n n n x x x o x x=-+-+-++ 231ln(1)(1)()23nn n x x x x x o x n -+=-+-+-+ 2(1)(1)(1)(1)1()2!!a nn a a a a a n x ax x x o x n ---++=+++++3.2导数的应用·函数的单调性设()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导（1）若在(,)a b 内()0f x '>，则()f x 在[,]a b 上单调增（2）若在(,)a b 内()0f x '<，则()f x 在[,]a b 上单调减·函数的极值定义：设()f x 在点0x 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任何x 恒有0()()f x f x ≤（0()()f x f x ≥）则称0x 为()f x 的一个极大值点（极小值点），称0()f x 为()f x 的极大值（极小值），极大（小）值统称为极值，极大（小）值点统称为极值点导数为零的点称为函数的驻点极值的必要条件：设()y f x =在点0x 处可导，如果0x 为()f x 的极值点，则0()0f x '=极值的第一充分条件：设()y f x =在点0x 的某去心邻域内可导，且0()0f x '=（或()f x 在0x 处连续）（1）若0x x <时，()0f x '>，0x x >时，()0f x '<，则0x 为()f x 的极大值点（2）若0x x <时，()0f x '<，0x x >时，()0f x '>，则0x 为()f x 的极小值点（3）若()f x '在0x 的两侧同号，则0x 不为()f x 的极值点极值的第二充分条件：设()y f x =在点0x 处二阶可导，且0()0f x '=（1）若0()0f x ''<，则0x 为()f x 的极大值点（2）若0()0f x ''>，则0x 为()f x 的极小值点（1）若0()0f x ''=，则此方法不能判定0x 是否为极值点极值的第三充分条件：设()y f x =在点0x 处可导，且()()()01,2,,1m o f x m n ==- ，()0()0n f x ≠，则①当n 为偶数且()0()0n f x <时，()f x 在0x 处取得极大值②当n 为奇数且()0()0n f x >时，()f x 在0x 处取得极小值极值点与驻点的关系：极值点驻点例：x 有极值点但无驻点3x 有驻点但无极值点可能的极值点：①()0f x '=的点②()f x '不存在的点注意：端点不可是极值点，因为只有一侧邻域·函数的最大值与最小值定义：设()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，0[,]x a b ∈。
二阶常微分方程的几种解法
二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法一 公式解法目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]:通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本'''()y ay by f x ++=身的特解之和。
微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。
那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。
而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。
设二阶常系数线性非齐次方程为(1)'''()y ay by f x ++=这里都是常数。
为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程b a 、(2)20k ak b ++=对特征方程的根分三种情况来讨论。
1 若特征方程有两个相异实根。
则方程(1) 可以写成12k 、k'''1212()()y k k y k k y f x --+=即 '''212()()()y k y k y k y f x ---= 记 , 则(1) 可降为一阶方程'2z y k y =-由一阶线性方程的通解公'1()z k z f x -= [5]()()[()]p x dx p x dxy e Q x e dx c -⎰⎰=+⎰(3)知其通解为这里表示积分之后的函数是以为自变量的。
1130[()]xk xk tz e f t edt c -=+⎰0()xh t dt ⎰x 再由11230[()]x k xk t dy k y z e f t e dt c dx--==+⎰解得12212()()34012[(())]k k xxuk xk k ue y e ef t dt du c c k k --=++-⎰⎰应用分部积分法, 上式即为1212212()()34001212121[()()]k k xk k xxxk xk tk te e y ef t edt f t edt c c k k k k k k ----=-++---⎰⎰(4)1122121200121[()()]x x k x k t k xk t k k x e f t e dt e f t e dt c e c e k k --=-++-⎰⎰2 若特征方程有重根, 这时方程为k 或'''22()y ky k y f x -+='''()()()y ky k y ky f x ---=由公式(3) 得到'10[()]x kx kt y ky e e f t dt c --=+⎰再改写为'1()xkxkx kt ey key e f t dt c ----=+⎰即10()()x kxkt d e y e f t dt c dx--=+⎰故(5)120()()xkx kt kx kx y ex t e f t dt c xe c e -=-++⎰例1 求解方程'''256xy y y xe -+=解 这里 的两个实根是2 , 32560k k -+=.由公式(4) 得到方程的解是2()x f x xe =332222321200xxx t t x t t x xy e e te dt e e te dt c e c e --=-++⎰⎰32321200xxx t x x xe te dt e tdt c e c e -=-++⎰⎰2232132xx x x x e c e c e ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦这里.321c c =-例2 求解方程'''2ln x y y y e x-+=解 特征方程 有重根1 , .由公式(5) 得到方程的解是2210k k -+=()ln x f x e x =120()ln xx t t x xy ex t e e tdt c xe c e -=-++⎰120()ln xxx xe x t tdt c xe c e =-++⎰1200[ln ln ]xxxx xe x tdt t tdt c xe c e =-++⎰⎰21213ln 24x x xx e x c xe c e ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦二 常数变易法二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是, (6)'''()y py qy f x ++= , (7)'''0y py qy ++=其中 为常数,根构造方程(7) 的两个线性无关的解,再由这两个解构造出方p q 、程(7) 的通解。
高等数学基础第十一章
形如 y'' +py' qy f (x)
（11-2）
的方程(其中p，q为常数)，称为二阶常系数非齐次线性微分方
程。称 y'' +py' qy 0为方程（11-2）所对应的齐次方程。
定理11.2 (非齐次线性方程解的结构) 若 yp是线性非齐次方程(2)的 某个特解， yc 为对应的齐次线性方程的通解，则 y yp yc 为
以 s t
t0 0
，ds
dt
t0 0
。代入上式得
C1 C2=0
所以
s t 1 gt2
2
二、微分方程的基本概念
定义11.1 凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系 的方程称为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程称为常微 分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶
把初始条件y x0 2 代入上式,得C 2
所以方程的特解为
y (x2 2)ex2
第三节 可降阶的高阶微分方程
一、y(n) f (x) 型的微分方程
例1 求微分方程 y 2x sinx 的通解。
解
因为 y 2x sinx，所以
y' x2 cosx C1
y
1 3
x3
sinx
C1x
x3
1 5
x5 )
+
C2
例4 求微分方程(1 ex ) y'' y' 0 的通解。
解
设 y' p(x) ，代入方程，得
(1 ex ) p' p 0
分离变量得
dp p
二阶线性常微分方程的级数解法和广义傅里叶级数
接着对常见的变系数线性微分方程进行分类，介绍了如何用 幂级数解法和弗罗贝尼乌斯级数解法求解正则奇点的二阶常微分 方程。
最后对常见的施图姆-刘维尔型微分方程的特征值和特征函 数的性质作了系统的介绍。
sin 9 ))| = sin 2 9 - 2 cos9 = (1 - x2 ) - 2x
这样式(5.1-20)可以写成
(1- x2 ) - 2x + n(n + 1)-
y = 0 (5.1-21)
式(5.1-21)是常见的勒让德方程的一般形式， 称为连带勒让德方程。
17
5.1.2
令m = 0 ，得到
(2) 若p(x)和q(x)中至少有一个不满足(x _ x0 )p(x), (x _ x0 )2 q(x)在
x0点解析， 则x0称为方程(5.3-1)的本性奇点。在本性奇点附近， 方
x 程至少有一解在x0 有本性奇点，
而另一解可能是y =
w
an
(x
_
)n+p
x0
，
n=0
但它往往是发散的， 这种情况在数理方程中不多见， 这里不讨论它。
上式代入式(5.1-7)，得到
(5.1-8)
p p + R，， 2
R，+ 入p2
= - = O，， 山
RR
O
式中山为常数。上式是两个常微分方程，分别是
p2 + p + (入p2 - 山)R = 0
(5.1-9)
O，，+ 山O = 0
8
5.1.1
由于V(p,9)是单值函数，所以内(9)应满足周期性边界条件，因而有
高数第十二章常系数齐次线性微分方程
C1,C2是 任 意 常 数 .
6
2 .特 征 根 是 实 重 根 的 情 形
r p (二重), 2
则 y 1 e r x 是 微 分 方 程 的 一 个 解 ,要 求 方 程 的 通 解 , 只 令 需 y y再 1 2 求 u 一 (x 个 ),解 则 y2y ,2 且 y yy 1 21不 u(是 x)常 数 erx .u(x),
12
例 1 求 微 分 方 程 y 2 y 3 y 0 的 通 解 . 解 特征方程为
r2 2r30,
解 得 特 征 根 r 1 1 ,r 2 3 , 故 所 求 方 程 的 通 解 为
yC1exC2e3x. C1,C2是 任 意 常 数 .
13
例 2 求 方 程d2s2dss0满 足 初 始 条 件 dt2 dt
y1
1 2 ( y1
y2 )
ex cosx
y2
1 2i ( y1
y2 )
ex sinx
9
y1,y2仍 是 微 分 方 程 的 解 .且
y1 y2
eexxcsoinsxxcotx
不是常数. 于 是 微 分 方 程 的 通 解 为
y e x (C 1c o sx C 2s inx )
则 (1 )的 通 解 即 可 求 得 :
yC1y1C2y2
2
分 析 : 一 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程
dy ay 0 dx 有 形 如 y e a x 的 解 ( 通 解 y C e a x 中 C 1 ) ,
猜 想 : 假 如 方 程 ( 1 ) 也 有 指 数 形 式 的 解
高等数学ppt课件
05
常微分方程初步
常微分方程基本概念
1 2
常微分方程定义
明确常微分方程的定义，包括独立变量、未知函 数、方程阶数等概念。
初始条件和边界条件
解释初始条件和边界条件在解常微分方程中的作 用和意义。
3
常微分方程的解
阐述通解、特解、隐式解、显式解等概念，并举 例说明。
一阶常微分方程解法
分离变量法
介绍分离变量法的原理、步骤和适用范围，通 过实例演示其应用。
向量积定义
两向量按照右手定则所构成的平行四边形的面积，结果为一向量，可用于计算法向量、判断三向量共 面等。
平面和直线方程求解方法
要点一
平面方程求解方法
包括点法式、一般式等，用于确定平面在空间中的位置。
要点二
直线方程求解方法
包括点向式、参数式等，用于确定直线在空间中的位置和 方向。
常见曲面方程及其图形特征
为未来职业生涯打基础
许多行业都需要具备一定的数学基础 ，学习高等数学有助于为未来职业生 涯打下坚实基础。
02
函数与极限
函数概念与性质
函数定义
详细解释函数的定义，包括函数值、定义域、值域等概念。
函数性质
介绍函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并举例说明。
初等函数及其图像
基本初等函数
详细讲解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的定义、性质和图像。
隐函数求导法
阐述隐函数存在定理，介绍隐函数求导方法及应用实例。
二重积分定义和计算方法
二重积分定义
阐述二重积分概念、性质及实际意义，介绍 二重积分在物理、工程等领域的应用。
二重积分计算方法
分别介绍直角坐标系和极坐标系下二重积分 的计算方法，包括累次积分法、换元积分法
第三节_二阶常系数线性微分方程的解法
通解的表达式
y = C1e r1 x + C 2e r2 x
y = (C1 + C 2 x ) e
r1 x
y = eαx (C 1 cos β x + C 2 sin β x )
8
例1 解
的通解. 求微分方程 y′′ − 2 y′ − 3 y = 0 的通解.
特征方程为 λ 2 − 2λ − 3 = 0 特征根为 λ1 = −1, λ2 = 3 故所求通解为
y = C 1e − x + C 2 e 3 x
例2 解
求方程 y′′ + 2 y′ + 5 y = 0的通解 .
特征方程为 λ2 + 2λ + 5 = 0
解得
λ1， = −1± 2i , 2
y = e (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x )
9
故所求通解为
−x
ds ds 例3 求微分方程 2 + 2 + s = 0 满足初始条件 dt dt
∗
′′ = Q′′( x )e r x + 2λ Q′( x )e r x + λ2Q( x )e r x (y )
∗
代入方程 y′′ + ay′ + by = f ( x ) ,
整理并约去 e
rx
,得
Q′′ + (2r + a)Q′ + (r 2 + ar + b)Q = Pm ( x)
(*)
13
(1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； (1)的任意两个解 (1)的解 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解； 方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解； (1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解
二阶常系数齐次线性微分方程
第七章常微分方程7.10 二阶常系数齐次线性微分方程数学与统计学院赵小艳1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法1 二阶常系数齐次线性微分方程的形式 )(1)1(1)(t F x a x a x a x n n n n =++++-- n 阶常系数线性微分方程的标准形式21=++x a x a x 二阶常系数齐次线性方程的标准形式.,,,,121均为实常数其中n n a a a a - )1()()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- ,2211x C x C x +=则其通解为,,21解是其线性无关的两个特若x x .,21为任意常数其中C C 解的结构1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法,t e x λ=设则 ()0212=++t e a a λλλ得 0212=++a a λλ特征方程 ,2422111a a a -+-=λ,11t e x λ=,22t e x λ=且它们线性无关，通解为 .,)(212121为任意常数其中C C e C e C t x tt ,λλ+=特征根为: ,2422112a a a ---=λ情形1 有两个不相等的实根 )0(>∆,021=++x a x a x 对于对应特解 ,,21解是其线性无关的两个特若x x ,2211x C x C x +=则其通解为.,21为任意常数其中C C 待定系数法2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法,11t e x λ=,2121a -==λλ情形2 有两个相等的实根 )0(=∆故一特解为 ,,,222代入原方程并化简得将x x x ()(),022112111=+++'++''u a a u a u λλλ,)(12t e t u x λ=设另一特解为特征根为 2121,)()('1112t t e t u e t u x λλλ+= ,)()('2)("1112112tt t e t u e t u e t u x λλλλλ++=,11t e x λ=情形2 有两个相等的实根 )0(=∆故一特解为 通解为 (),te t C C t x 121)(λ+=,,,222代入原方程并化简得将x x x ()(),022112111=+++'++''u a a u a u λλλ,0=''u 得(),t t u =取,12t te x λ=则特征根为 2121(),21C t C t u +=,)(12t e t u x λ=设另一特解为0=0=.,21为任意常数其中C C ,2121a -==λλ,1βαλi +=,2βαλi -=,)(1t i e x βα+=t i e x )(2βα-=情形3 有一对共轭复根 )0(<∆由解的性质 ()21121x x x +=,cos t e t βα=()21221x x ix -=.sin t e t βα=通解为 (),sin cos 21t βC t βC e x t α+=特征根为 2121对应特解为 t e i t e t t ββααsin cos -=.,21为任意常数其中C C .,21线性无关且x x.044的通解求方程=++x x x解 特征方程为 ,0442=++λλ,221-==⇒λλ故所求通解为 ().221te t C C x -+=例1 解 特征方程为 ,0522=++λλ,2121i ±-=⇒，λ故所求通解为 ().2sin 2cos 21x C x C e y x +=-.052的通解求方程=+'+''y y y 例2 021=++x a x a x 0212=++a a λλ特征方程为,)1(21时λλ≠;)(2121t t e C e C t x λλ+=通解为,)2(21时λλλ==;)()(21te t C C t x λ+=通解为,)3(2,1时βαλi ±=().sin cos )(21t βC t βC e t x t α+=通解为()().00,2004422的解满足初始条件求='==++y y y x y x y d d d d 解 特征方程为 ,01442=++λλ.212,1-=⇒λ故所求通解为 x e x C C y 2121)(-+=例3 ()()得由00,20='=y y ,21=C .12=C 为方程满足初始条件的解.22121x x xe e y --+=021=++x a x a x 0212=++a a λλ特征方程为,)1(21时λλ≠;)(2121t t e C e C t x λλ+=通解为,)2(21时λλλ==;)()(21te t C C t x λ+=通解为,)3(2,1时βαλi ±=().sin cos )(21t βC t βC e t x t α+=通解为1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法01)1(1)(=+'+++--x a x a xa x n n n n 特征方程为 0111=++++--n n n n a a a λλλ 特征方程的根 相对应的线性无关的特解 重根是若k λt k t t et te e λλλ1,,,- 重是若共轭复根k i βα±.sin ,,sin ,sin ,cos ,,cos ,cos 11t βe t t βte t βe t βe tt βte t βe t αk t αt αt αk t αt α-- 注意： n次代数方程有n 个根, 而特征方程的每个根都对应着一个特解. 3 高阶常系数齐次线性微分方程的解法.2211n n x C x C x C x +++= 通解为特征根为.2,1321-===λλλ故所求通解为 ()t e t C C x 21+=解 ,0233=+-λλ特征方程为 ()(),0212=+-λλ().0233的通解求方程=+-x x x 例4 特征根为 .,,154321i i -====-=λλλλλ故所求通解为 ()()t.t C C t t C C sin cos 5432++++解 ,01222345=+++++λλλλλ特征方程为 ()(),01122=++λλ()()().022345的通解求方程=+++++x x x x x x 例5 .e C t 23-+t e C x -=1。
微分方程计算公式
微分方程计算公式咱来说说微分方程的一些计算公式哈。
一、一阶线性微分方程。
1. 标准形式。
一阶线性微分方程长这样：y'+p(x)y = q(x)。
这里y'就是y对x的导数，p(x)和q(x)都是关于x的函数。
2. 通解公式。
它的通解公式是y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
这个公式看起来有点复杂，咱来拆拆看。
首先呢，e^-∫ p(x)dx就像是一个“调节因子”。
∫ p(x)dx就是对p(x)求不定积分啦。
然后e^∫ p(x)dx和q(x)乘起来再求不定积分∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx，最后再加上个常数C，再乘上前面那个“调节因子”e^-∫p(x)dx就得到通解啦。
二、可分离变量的微分方程。
1. 形式和解法。
如果一个微分方程能写成g(y)dy = f(x)dx的形式，那它就是可分离变量的微分方程。
解法超简单，就是两边分别积分。
对g(y)dy积分得到∫ g(y)dy，对f(x)dx积分得到∫ f(x)dx，然后这两个积分结果相等，就得到方程的解啦，不过别忘了最后可能有个常数C哦。
就好像把x和y的东西分开处理，各算各的积分，然后让它们相等就行。
三、二阶常系数线性齐次微分方程。
1. 标准形式。
二阶常系数线性齐次微分方程是y'' + ay'+by = 0，这里a和b都是常数，y''是y 对x的二阶导数。
2. 特征方程。
我们先写出它的特征方程r^2+ar + b=0。
这个特征方程就像是这个微分方程的“小密码”。
3. 通解的情况。
如果特征方程有两个不同的实根r_1和r_2，那么通解就是y =C_1e^r_1x+C_2e^r_2x，就好像是两个不同的“增长模式”e^r_1x和e^r_2x按照一定比例C_1和C_2加起来。
如果特征方程有重根r，通解就是y=(C_1+C_2x)e^rx，这里多了个x和C_2，就像是在原来e^rx的基础上有点小变化。
微分方程求解过程
微分方程求解过程微分方程是研究函数的变化规律的重要工具，广泛应用于科学和工程领域。
在数学上，微分方程是包含未知函数的导数或微分的方程。
求解微分方程的过程通常分为两步：确定方程的类型和应用相应的求解方法。
首先，我们需要确定微分方程的类型。
常见的微分方程类型包括常微分方程、偏微分方程、线性微分方程和非线性微分方程等。
常微分方程是指只含有未知函数的一阶或高阶导数的方程。
常微分方程通常以一阶一次的方程形式出现，例如dy/dx=f(x)。
常微分方程求解的关键是找到函数y(x)的通解。
如果给定一个特定的初始条件，我们可以得到一个特解。
偏微分方程是指方程中含有未知函数的偏导数的方程。
偏微分方程通常用于描述多变量的函数之间的关系，如波动方程、热传导方程和亥姆霍兹方程等。
求解偏微分方程的过程较为困难，需要借助数值方法或特殊的变量分离法。
线性微分方程是指方程中未知函数的导数和函数本身都是线性的。
线性微分方程可以通过特征方程的求解得到解的形式，例如二阶常系数齐次线性微分方程的解可以表示为C1e^(r1x)+C2e^(r2x)，其中C1和C2是常数，r1和r2是特征方程的根。
非线性微分方程是指方程中未知函数的导数或函数本身出现在非线性项中的微分方程。
非线性微分方程的求解通常依赖于特殊的技巧和数值方法。
例如，一些非线性微分方程可以通过变量替换、线性化或级数展开的方法求得近似解。
确定微分方程的类型后，我们可以根据方程的性质选择适当的求解方法。
一些常用的微分方程求解方法包括分离变量法、齐次方程法、变量替换法、线性微分方程解法、微分变换法和级数展开法等。
分离变量法适用于可以将微分方程中的变量分离的情况。
通过对方程两边的变量进行移项和积分，可以将微分方程分离成两个只含有一个变量的方程。
齐次方程法适用于齐次线性微分方程。
通过将未知函数表示为指数函数的形式，然后将其代入微分方程中，可以得到满足特征方程的解。
变量替换法适用于一些特殊形式的微分方程。
二阶常系数线性微分方程
§6 二阶常系数线性微分方程
高阶线性微分方程在实际问题中应用比较多， 本节以讨论二阶线性微分方程为主，所得的结果 可以推广到二阶以上的线性微分方程。 定义 形如
d2y dy P( x) Q( x) y f ( x) 2 dx dx 的方程，称为二阶线性微分方程。
E-mail: xuxin@
(ii) 当 是单实根, 即2 + p1 + p2 = 0 , 但2 + p2 0. Q(x)是 m+1次多项式, 取常数项为零. Q(x) = x Qm(x)
y* xe Qm ( x)
x
E-mail: xuxin@
y (C1 C 2 x)e x .
因=1是特征方程的重根，Pm(x)=x+1,故特解形 式为： 2 x y* x e (ax b).
E-mail: xuxin@
代入原方程中得
6ax 2b x 1.
所以 从而有一特解为
1 1 a ,b . 6 2 1 1 y* x e ( x ). 6 2
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.
E-mail: xuxin@
例6 求方程 y''+y=xcos2x 的通解. 解： 特征方程为 r2+1=0, 其根为r1,2= i, 所以对应齐次线性方程的通解为 y = C1cosx + C2sinx. 因 i =2i不是特征方程的根, P1(x)=x, Qn(x)0, 故可设特解为 y* = (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x y*'' = (–4ax+4c–4b)cos2x+(–4cx–4a–4d)sin2x
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高等数学自学教材目录第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义1.1.2 函数的分类1.1.3 函数的图像与性质1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限的性质1.2.3 极限存在的判定方法第二章导数与微分2.1 导数的定义与性质2.1.1 导数的定义2.1.2 导数的性质与运算法则2.1.3 导数存在的条件2.2 微分的概念与应用2.2.1 微分的定义2.2.2 微分的应用：局部线性化与近似计算 2.2.3 高阶导数与高阶微分第三章微分中值定理与导数应用3.1 微分中值定理3.1.1 罗尔定理3.1.2 拉格朗日中值定理3.1.3 柯西中值定理3.2 函数的单调性与曲线的凹凸性3.2.1 函数的单调性及其判定方法3.2.2 曲线的凹凸性及其判定方法3.3 各种中值定理的应用3.3.1 利用中值定理证明不等式3.3.2 利用中值定理证明函数性质第四章不定积分与定积分4.1 不定积分的概念与性质4.1.1 不定积分的定义4.1.2 不定积分的基本性质与运算法则4.2 定积分的概念与性质4.2.1 定积分的定义4.2.2 定积分的性质与运算法则4.3 牛顿-莱布尼茨公式与变限积分4.3.1 牛顿-莱布尼茨公式的推导与应用4.3.2 变限积分的概念与性质第五章微分方程5.1 微分方程的基本概念与解法5.1.1 微分方程的定义与分类5.1.2 一阶常微分方程的解法5.1.3 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 5.2 高阶线性常系数微分方程5.2.1 特征根与齐次线性微分方程的解5.2.2 叠加原理与非齐次线性微分方程的解 5.2.3 欧拉方程及其特解的求法第六章无穷级数6.1 数项级数的概念与性质6.1.1 数项级数的定义6.1.2 数项级数的收敛与发散6.1.3 常用数项级数的性质6.2 幂级数与泰勒级数6.2.1 幂级数的概念与性质6.2.2 幂级数的收敛域与求和6.2.3 泰勒级数的推导与应用第七章多元函数微分学7.1 多元函数的概念与性质7.1.1 多元函数的定义7.1.2 多元函数的极限与连续性 7.1.3 多元函数的偏导数与全微分 7.2 方向导数与梯度7.2.1 方向导数的概念与计算7.2.2 梯度的定义与性质7.2.3 梯度的应用与几何意义7.3 隐函数与参数方程7.3.1 隐函数定理与求导公式7.3.2 参数曲线方程与对弧长的求解第八章重积分8.1 二重积分的概念与性质8.1.1 二重积分的定义8.1.2 二重积分的计算与性质8.1.3 二重积分的应用8.2 三重积分与坐标变换8.2.1 三重积分的定义与计算8.2.2 三重积分的性质8.2.3 坐标变换与积分域的变换第九章曲线积分与曲面积分9.1 第一类曲线积分9.1.1 第一类曲线积分的概念与性质 9.1.2 第一类曲线积分的计算9.2 第二类曲线积分9.2.1 第二类曲线积分的概念与性质9.2.2 第二类曲线积分的计算9.3 曲面积分9.3.1 曲面积分的概念与性质9.3.2 曲面积分的计算与应用第十章空间解析几何10.1 空间直线与平面的方程10.1.1 点、直线与平面的方程10.1.2 直线与平面的位置关系与夹角 10.2 空间曲线与曲面10.2.1 参数方程与直纹面10.2.2 旋转曲面与曲线的切线与法平面 10.3 二次曲面与空间直角坐标系10.3.1 二次曲面的方程与图像10.3.2 空间直角坐标系第十一章向量代数与空间解析几何11.1 向量的概念与运算11.1.1 向量的定义与性质11.1.2 向量的线性运算与数量积11.2 平面与空间解析几何11.2.1 向量方程与点、向量与直线的位置关系 11.2.2 点、向量与平面的位置关系与夹角11.3 空间平面与直线的方程11.3.1 空间平面的方程11.3.2 空间直线的方程与位置关系第十二章广义重积分12.1 重积分的概念与性质12.1.1 重积分的定义12.1.2 重积分的性质与计算12.2 多元函数的均值与中值定理12.2.1 平均值定理与均值公式12.2.2 中值定理与均值不等式12.3 可积函数与不可积函数12.3.1 可积函数与不可积函数的定义12.3.2 可积函数的判定与性质第十三章常微分方程初值问题的解法13.1 齐次线性常微分方程13.1.1 一阶齐次线性常微分方程的解法13.1.2 二阶齐次线性常微分方程的解法13.1.3 高阶齐次线性常微分方程的解法13.2 非齐次线性常微分方程13.2.1 一阶非齐次线性常微分方程的通解与特解 13.2.2 二阶非齐次线性常微分方程的通解与特解 13.3 可降阶的高阶常微分方程13.3.1 可降阶的高阶常微分方程的解法13.3.2 高阶常微分方程的特解与通解第十四章偏微分方程14.1 偏导数与偏微分方程的概念14.1.1 偏导数的定义与性质14.1.2 偏微分方程的定义与分类14.2 常见偏微分方程的解法14.2.1 齐次线性偏微分方程的特征曲线法14.2.2 分离变量法与变数分离法 14.3 热传导方程与波动方程14.3.1 热传导方程的解法与应用 14.3.2 波动方程的解法与应用。
常系数齐次微分方程求解
C2e r2x ;
第3页/共20页
2. 当 p2 4 q 0 时, 特征方程有两个相等实根
则微分方程有一个特解
设另一特解
( u (x) 待定)
代入方程得:
er1 x [ (u 2 r1u r12u ) p(u r1u ) q u 0
u ( 2 r1 p )u ( r12 p r1 q )u 0
x Aent sin(t )
运动周期:
振幅: A ent 衰减很快,
随时间 t 的增大物体 趋于平衡位置.
第13页/共20页
大阻尼解的特征:
(n>k)
其中 r1, 2 n n2 k 2 n n2 k 2 0
1) 无振荡现象;
2) 对任何初始条件
lim x(t) 0.
t
即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.
第8页/共20页
例3. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
在无外力作用下做自由运动,
取其平衡位置为原点建
立坐标系如图,
设 t = 0 时物体的位置为
求物体的运动规律
初始
解: 由第七节例1 (P293) 知, 位移满足
自由振动方程 ,
因此定解问题为
d2x dt2
2n
dx dt
k
2
x
0
o x
x
此图参数:
n 1.5, k 1 x0 1.5 v0 5.073
第14页/共20页
临界阻尼解的特征 :
(n=k)
任意常数由初始条件定,
无论 C1,C2 取何值都有
1) x(t) 最多只与 t 轴交于一点;
2) 无振荡现象 ;
即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.
高等数学教材同济七版
高等数学教材同济七版同济大学高等数学教材（第七版）是大学数学课程中常用的教材之一。
它综合了数学的基本原理和技巧，涵盖了微积分、线性代数、微分方程、概率统计等多个领域。
本教材的特点是理论与实践相结合，注重数学思维的培养和应用能力的培养，深受广大学生和教师的欢迎。
同济大学高等数学教材（第七版）的目录结构清晰合理，共分为十二章。
第一章是函数与极限，介绍了函数的概念、性质和极限的定义与计算方法。
第二章是导数与微分，阐述了导数与微分的基本概念、性质和计算方法，并介绍了一些基本的微分公式。
第三章是微分中值定理与导数的应用，探讨了中值定理的理论基础和应用，以及导数的应用于函数的单调性、凹凸性和极值等方面。
第四章是不定积分，介绍了不定积分的基本概念、性质和计算方法，并给出了一些常见的积分公式。
第五章是定积分，包括定积分的定义与性质、定积分的计算方法和几何应用。
第六章是微分方程，介绍了微分方程的基本概念、常微分方程、一阶线性微分方程以及二阶线性齐次微分方程。
第七章是无穷级数，包括级数的概念、级数的性质以及收敛级数的判定。
第八章是多元函数微分学，涵盖了多元函数的概念、偏导数、全微分、方向导数、梯度以及多元函数的极值问题。
第九章是重积分，包括二重积分与三重积分的概念、性质以及计算方法。
第十章是曲线积分与曲面积分，介绍了曲线积分与曲面积分的概念、性质和计算方法。
第十一章是常微分方程，阐述了常微分方程的基本理论和解法，包括一阶线性微分方程、二阶常系数齐次线性微分方程和高阶齐次线性微分方程。
第十二章是概率统计基础，介绍了基本的概率论知识和统计学基本理论。
每一章的内容都循序渐进，注重理论与实践的结合，使学生能够逐步掌握并运用所学的知识。
同济大学高等数学教材（第七版）的章节内容丰富，涵盖了大学数学课程的各个方面。
每一章的内容都由浅入深，循序渐进，适用于不同层次的学生。
教材的表达清晰明了，注重用图表等辅助材料来帮助学生理解和掌握知识。
一、二阶常系数线性非齐次微分方程解的概念与结构.
比较两端 x 同次幂的系数，有
A 1, 4 A B 0, 2 A 2 B C 0.
解得
A = 1，B = 4，C = 6.
故所求特解为
y* x 2 4 x 6.
例6
求方程 y + y = x3 – x + 1 的一个特解.
解 因为自由项 f (x) = x3 – x + 1 是一个 x 的三 次多项式， 且 y 的系数 q = 0， p = 1 0，取 k = 1.
是两个不相等的实根. 所以方程的通解为
x C1e
( n n 2 w 2 ) t
C 2e
( n n 2 w 2 ) t
.
2 临界阻尼情形，即 n = w.
这时，特征根 r1 = r2 = - n，所以方程的通解为
x (C1 C2 t )e
nt
.
3 小阻尼情形，即 n < w . 这时，特征根为共轭复数 n w 2 n2i , 所以方程的通解为
一二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构一二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构形如的方程称为二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次方程的解的结构二阶常系数线性非齐次方程的解的结构因为方程中pq均为常数且多项式的导数仍为多项式所以可设式的特解为其中qbxax所以设特解为比较两端xcxbxaxcxbxaxbxax所以设方程的特解为比较两端x同次幂的系数
称为振动的微分方程， 是一个二阶常系数线性齐次 方程， 它的特征方程为 r2 + 2nr + w2 = 0， 其根为
r1, 2 n n 2 w 2 .
由题意列出初始条件
x |t 0 x 0 , dx 0 , dt t 0
高等数学新版教材目录
高等数学新版教材目录1. 引言（50字）2. 高等数学概述（100字）2.1 数学的历史与发展2.2 高等数学的作用与意义3. 函数与极限（200字）3.1 实数与数轴3.2 函数的概念与性质3.3 极限的引入与性质3.4 极限运算法则3.5 无穷小量与无穷大量3.6 连续性与间断点4. 导数与微分（250字）4.1 导数的定义与性质4.2 常用函数的导数4.3 高阶导数与隐函数求导4.4 微分的定义与应用4.5 泰勒公式与近似计算4.6 凸函数与最值问题5. 积分与数值计算（200字）5.1 不定积分的概念与计算5.2 定积分的概念与性质5.3 牛顿—莱布尼茨公式5.4 定积分的应用5.5 数值积分与数值计算方法6. 微分方程（150字）6.1 微分方程的基本概念6.2 一阶常微分方程6.3 高阶常微分方程6.4 变量分离与常数变异法6.5 齐次线性方程与非齐次线性方程7. 多元函数微分学（200字）7.1 二元函数与偏导数7.2 多元复合函数与链式法则7.3 隐函数与参数方程的偏导数 7.4 方向导数与梯度7.5 多元函数的极值与条件极值8. 多元函数积分学（250字）8.1 二重积分的定义与性质8.2 二重积分的计算8.3 二重积分的应用8.4 三重积分的定义与性质8.5 三重积分的计算8.6 曲线与曲面的面积与弧长9. 无穷级数与幂级数（200字）9.1 数项级数的概念与性质9.2 正项级数的审敛法9.3 幂级数的收敛域与和函数9.4 函数展开为幂级数10. 空间解析几何（150字）10.1 点、直线与平面的位置关系10.2 球面与圆锥曲线11. 常微分方程初步（150字）11.1 高阶线性微分方程11.2 齐次线性方程与非齐次线性方程12. 数学建模初步（100字）12.1 建模思想与步骤12.2 数学模型的应用备注：以上仅为目录，具体内容详见教材正文。
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三、小结
高等数学
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
(见下表)
y py qy 0
高等数学
r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
因此 u( x) 0
2r1 p 0
可取满足上式的简单函数 u( x) x
高等数学
由此得到方程 (1)的另一个与 y1 线性无关的解
y2
xe
r
1
x
于是，方程(1)的通解为 :y C1er1x C2 xer1 x (C1 C2 x)er1 x
3 当 p2 4q 0时,
特征方程有一对共轭复根 :
便是( 1 )的通解, 其中C1 , C 2是任意常数。
如何找出齐次方程的两个线性无关的解呢?
高等数学
下面介绍求解的欧拉指数法 ---特征方程法
由于当r为常数时,指数函数y erx及其各阶导数,
都只相差一个常数因子r, 根据指数函数的这个特点, 我们用y erx来尝试, 看能否取到适当的常数 r, 使y erx 满足方程(1)。
第五节 二阶常系数线性 微分方程
一、二阶常系数齐次线性方程
二、二阶常系数非齐次线性方程
高等数学
一、二阶常系数齐次线性方程解法
设二阶线性常系数齐次方程为
y py qy 0 (1) 由上一节的讨论可以知道，求出齐次方程的通解的 关键是找出方程的两个线性无关的特解 y1 , y2
这样
y C1 y1 C2 y2
y1线性无关的解
y2 ,
为此,
设
y2 y1
u( x)
常数,
于是, y2 u( x)er1x , u( x)为待定函数
把y2代入方程(1) : ( y2 ) p( y2 ) qy2 0
y2 u( x)er1 x r1er1 x u( x) er1x[r1u( x) u( x)]
y2 u( x)er1x r1u( x)er1x r12er1xu( x) r1er1xu( x)
r1,2
2
4 20 2
1
4 1 2i
此时 1 2
故所求通解为 y ex (C1 cos x C2 sin x).
ex (C1 cos2x C2 sin 2x).
例3 求微分方程 y 2 y 3 y 0的通解
高等数学
解 特征方程为 r2 2r 3 0 (r 1)(r 3) 0
y1 e( i )x exei x e x (cos x i sin x) y2 e( i )x exei x e x (cos x i sin x)
利用共轭复数的性质 ,得到 :
y1
1( 2
y1
y2 )
e
x
cos
x
y2
1 2i
(
y1
y2 )
e
x
sin
x
显然 y1, y2 还是方程 (1)的解, 它们是实值函数形式的解, 且满足
特征根为 r1 1, r2 3 故所求通解为 y C1ex C2e3x
请你动手做
高等数学
求下列微分方程的通解:
1. y y 0
2. y 4 y 4 y 0
3. y 4 y 5 y 0
解1：特征方程为 r2 r 0 r(r 1) 0, 特征根为 r1 0, r2 1. 故所求通解为 y C1 C2ex
由题设可知 1,e x 它的两个线性无关的解 则其通解为 y C11 C2e x 即 y C1e0x C2e1x
高等数学
故 r1 0, r2 1 是特征方程 r 2 pr q 0
的两个特征根，将其代入特征方程，可得
q 0, p 1 故所求方程为 y y 0
练习题
高等数学
r12er1xu( x) 2r1er1xu( x) u( x)er1x er1x[r12u( x) 2r1u( x) u( x)] 由 ( y2 ) p( y2 ) qy2 0
高等数学
得 er1x[r12u( x) 2r1u( x) u( x)] per1x[r1u( x) u( x)]
这表明 : 只要r是代数方程(2)的根, 那么函数 y erx 就是微分方程(1)的解。
依据一元二次方程的判别式 p2 4q的值, 会有三种情形:
1 当 p2 4q 0时,
特征方程有两个不同的实根 : r1 r2
方程(1)有两个特解 : y1 er1x 与y2 er2x
y2 y1
er2 x e r1 x
一、求下列微分方程的通解:
1、y 4 y 0 ；
2、4 d 2 x 20 dx 25x 0；
dt 2
dt
3、 y 6 y 13 y 0； 4、 y(4) 5 y 36 y 0 .
二、下列微分方程满足所给初始条件的特解: 1、4 y 4 y y 0 , y x0 2 , yx0 0；
高等数学
练习题答案
一、1、 y C1 C2e4 x ；2、xFra bibliotek(C1
C2t
)e
5t 2
；
3、 y e 3 x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x) ；
4、 y C1e2 x C2e2 x C3 cos 3 x C4 sin 3 x .
二、1、
y
e
x 2
(2
x)；
2、 y e2 x sin 3 x .
r1 i , r2 i , ( 0).
这时y1 e( i ) x 与 y2 e( i ) x 是方程(1)的两个解。
高等数学
但它们是复值函数形式的解使用不便。
为此，以这个两解为基础从中得出实值函数形式的解。
先用欧拉公式 ei cos i sin
把 y1 与 y2 改写成 :
高等数学
解2：特征方程为 r2 4r 4 0 (r 2)2 0, 特征根为 r1 r2 2 故所求通解为 y (C1 C2 x)e2x
解3：特征方程为 r2 4r 5 0， 特征根为 r 4 42 4 5 2 4 2i 2 i 2 故所求通解为 y e2x (C1 cos x C2 sin x)
（1）写出相应的特征方程: r 2 pr q 0 （2）求出特征根: r1, r2
（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解:
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
2、 y 4 y 13 y 0 , y x0 0 , yx0 3. 三、求 作 一 个 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 , 使
1 , e x , 2e x , e x 3都是它的解 .
四、设圆柱形浮筒,直径为0.5m ,铅直放在水中,当稍
向下压后突然放开,浮筒在水中上下振动的 周期为 2s ,求浮筒的质量 .
三、 y y 0 . (提示: 1, e x 为两个 线性无关的解)
四、M 195kg.
y2 tan x 常数 即它们线性无关。
y1
由此得到方程(1)的通解 :
高等数学
y C1 y1 C2 y2
C1(e x cos x) C2(ex sin x) e x (C1 cos x C2 sin x)
综上所述，可得求二阶常系数齐次微分方程的通解 一般步骤:
高等数学
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: y py qy 0
e(r2 r1 ) x 常数,
所以
y1与y2线性无关,
从而方程 (1)有通解 : y C1er1x C2er2x
2 当 p2 4q 0时,
高等数学
特征方程有两个相同的实根 : r1 r2
这时只得到方程(1)的一个解: y1 er1x
为了得出方程 (1)的通解, 还需要求出另一个与
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
高等数学
思考题
求作一个二阶常系数齐次线性微分方程，使
1,e x ,2e x ,e x 3 都是它的解。
高等数学
解：设所求二阶常系数线性齐次微分方程为
y py q 0
为此 , 把 y erx , y rerx， y r 2erx 代入方程(1) : 得 r 2erx prerx qerx 0
(r 2 pr q)erx 0 由于erx 0, 所以 r2 pr q 0 (2) 代数方程(2)称为微分方程(1)的特征方程。 特征方程
高等数学
高等数学
定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定 其通解的方法称为特征方程法.
例1 求方程 y 4 y 4 y 0 的通解.
解 特征方程为 r 2 4r 4 0 , 解得 r1 r2 2 , 故所求通解为 y (C1 C2 x)e2x .
高等数学
例2 求方程 y 2 y 5 y 0 的通解. 解 特征方程为 r2 2r 5 0 ,
qer1xu( x) 0 约去公因式er1x ,合并同类项得到:
(r12 pr1 q)u( x) (2r1 p)u( x) u( x) 0
u (2r1 p)u (r12 pr1 q)u 0,
因为r1 是特征方程(r2 pr q) 0的二重根,
r12 pr1 q 0