概率论与数理统计习题答案(廖茂新复旦版)
概率论与数理统计课后习题答案(非常全很详细)
P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B A)
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5
0.2 0.1
1 0.02702
0.8 0.9 0.2 0.1 37
即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占 2.702%
(2) P(A B) P(AB)
P(A)P(B A)
P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B A)
可以看出，用第二种方法简便得多. （3） 由于是有放回的抽取，每次都有 N 种取法，故所有可能的取法总数为 Nn 种，n
次抽取中有
m
次为正品的组合数为
C
m n
种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，
m 次取得正品，都有 M 种取法，共有 Mm 种取法，nm 次取得次品，每次都有 NM 种取法，共有（NM）nm 种取法，故
【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)
111 1 3
=+ + =
4 4 3 12 4
7. 从 52 张扑克牌中任意取出 13 张，问有 5 张黑桃，3 张红心，3 张方块，2 张梅花的概率 是多少？
【解】
p=
C153C133C133C123
P( A1
B)
P( A1B) P(B)
P(B
A 1
)
P(
A1
)
2
P(B Ai )P( Ai )
i0
2 / 31/ 3
1
1/ 31/ 3 2 / 31/ 3 11/ 3 3
28. 某工厂生产的产品中 96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率
为 0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.05，求在被检查后认为是合格品产品确
概率论与数理统计复旦大学出版社第二章课后答案(供参考)
概率论与数理统计习题二答案1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】X 的可能取值为3,4,5，其取不同值的概率为以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】X 的可能取值为0,1,2，其取不同值的概率为（2） 当0x <时，{}()0F x P X x =≤=当01x ≤<时，{}{}22()035F x P X x P X =≤===当12x ≤<时，{}{}{}34()0135F x P X x P X P X =≤==+==当2x ≥时，{}{}{}{}()0121F x P X x P X P X P X =≤==+=+== 故X 的分布函数(3)3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X 表示3次射击中击中目标的次数.则X 的可能取值为0，1，2，3，显然~(3,0.8)X b 其取不同值的概率为分布函数3次射击中至少击中2次的概率为 4.（1） 设随机变量X 的分布律为{}!kP x k ak λ==，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a .（2） 设随机变量X 的分布律为{}aP x k N==， k =1，2，…，N ， 试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知故 ea λ-=(2) 由分布律的性质知即 1a =.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率;（2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】设X 、Y 分别表示甲、乙投中次数，则~(3,0.6)X b ,~(3,0.7)Y b(1) {}{}{}{}{}0,01,12,23,3P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+(2) {}{}{}{}1,02,03,0P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3++=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则~(200,0.02)X b ，设机场需配备N 条跑道，根据题意有 即2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松定理近似计算查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则故 13p =所以 4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】设B 表示指示灯发出信号（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则~(5,0.3)X B 。
概率论与数理统计课后习题答案____复旦版
概率论与数理统计课后习题答案____复旦版2.设A，B，C为三个事件，试⽤A，B，C的运算关系式表⽰下列事件：（1）A发⽣，B，C都不发⽣；（2）A与B发⽣，C不发⽣；（3）A，B，C都发⽣；（4）A，B，C⾄少有⼀个发⽣；（5）A，B，C都不发⽣；（6）A，B，C不都发⽣；（7）A，B，C⾄多有2个发⽣；（8）A，B，C⾄少有2个发⽣.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C(6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3. 略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最⼤值？（2）在什么条件下P（AB）取到最⼩值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最⼤值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最⼩值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求A，B，C⾄少有⼀事件发⽣的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=14+14+13-112=347. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张⿊桃，3张红⼼，3张⽅块，2张梅花的概率是多少？【解】p=5332131313131352C C C C/C12. 50只铆钉随机地取来⽤在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件⽤3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在⼀个部件上，则这个部件强度就太弱.求发⽣⼀个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A ={发⽣⼀个部件强度太弱} 133103501()C C /C 1960P A == 13. ⼀个袋内装有⼤⼩相同的7个球，其中4个是⽩球，3个是⿊球，从中⼀次233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14. 有甲、⼄两批种⼦，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种⼦中各随机取⼀粒，求：（1）两粒都发芽的概率；（2）⾄少有⼀粒发芽的概率；（3）恰有⼀粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种⼦中的⼀粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==?= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-?= (3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =?+?= 15. 掷⼀枚均匀硬币直到出现3次正⾯才停⽌.（1）问正好在第6次停⽌的概率；（2）问正好在第6次停⽌的情况下，第5次也是出现正⾯的概率.【解】（1） 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325p == 16. 甲、⼄两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每⼈各投了3次，求⼆⼈进球数相等的概率.【解】设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={⼄进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+??+ 2222333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)=0.32076 17．从5双不同的鞋⼦中任取4只，求这4只鞋⼦中⾄少有两只鞋⼦配成⼀双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-=18. 某地某天下雪的概率为0.3，下⾬的概率为0.5，既下雪⼜下⾬的概率为0.1,求：（1）在下⾬条件下下雪的概率；（2）这天下⾬或下雪的概率. 【解】设A ={下⾬}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=21. 两⼈约定上午9∶00~10∶00在公园会⾯，求⼀⼈要等另⼀⼈半⼩时以上的概率.题21图题22图【解】设两⼈到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“⼀⼈要等另⼀⼈半⼩时以上”等价于|x -y |>30.如图阴影部分所⽰.22301604P ==23. 设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ）【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-24. 在⼀个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第⼀次⽐赛中任意取出3个球，⽐赛后放回原盒中；第⼆次⽐赛同样任意取出3个球，求第⼆次取出的3个球均为新球的概率.【解】设A i ={第⼀次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第⼆次取出的3球均为新球}由全概率公式，有30()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =?+?+?+?0.089= 33. 三⼈独⽴地破译⼀个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】设A i ={第i ⼈能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-??=3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458习题⼆1.⼀袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表⽰取出的3只球中的最⼤号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========故所求分布律为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.62.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表⽰取出的次品个数，求：（1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ========== 故X 的分布律为X 0 1 2 P2235 1235 135（2）当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x(3)1122()(),2235333434(1)()(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(12)(2)(1)(2)10.设X 表⽰击中⽬标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============故X 的分布律为X0 1 2 3 P0.0080.0960.3840.512分布函数0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x=≤≥??(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.（1）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k akλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a .（2）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1）由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑故 e a λ-=(2) 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即 1a =.5.甲、⼄两⼈投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：（1）两⼈投中次数相等的概率; （2）甲⽐⼄投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表⽰甲、⼄投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++2222333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+ 0.3207633C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 33221233(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+=0.2437.有⼀繁忙的汽车站，每天有⼤量汽车通过，设每辆车在⼀天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不⼩于2的概率是多少（利⽤泊松定理）？【解】设X 表⽰出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=0.10.1e0.1e --=--? 8.已知在五重贝努⾥试验中成功的次数X 满⾜P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}.【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则1422355C (1)C (1)p p p p -=-故 13p =所以 4451210(4)C ()33243P X ===.9.设事件A 在每⼀次试验中发⽣的概率为0.3，当A 发⽣不少于3次时，指⽰灯发出信号，（1）进⾏了5次独⽴试验，试求指⽰灯发出信号的概率；（2）进⾏了7次独⽴试验，试求指⽰灯发出信号的概率. 【解】（1）设X 表⽰5次独⽴试验中A 发⽣的次数，则X ~6（5，0.3）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑(2) 令Y 表⽰7次独⽴试验中A 发⽣的次数，则Y~b （7，0.3）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，⽽与时间间隔起点⽆关（时间以⼩时计）. （1）求某⼀天中午12时⾄下午3时没收到呼救的概率；（2）求某⼀天中午12时⾄下午5时⾄少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32(0)e P X -== (2) 52(1)1(0)1e P X P X -≥=-==-11.设P {X =k }=k k k p p --22)1(C , k =0,1,2 P {Y =m }=m m m p p --44)1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}.【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=.⽽ 2(1)(0)(1)P X P X p <===- 故得 24(1),9p -=即 1.3p =从⽽ 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈15.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞求：（1）A 值；（2）P {0=?得||1e d 2e d 2x x A x A x A ∞011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-? (3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==? 当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+ 11e 2x -=-故 1e ,02()11e 02xx x F x x -?-≥ 16.设某种仪器内装有三只同样的电⼦管，电⼦管使⽤寿命X 的密度函数为f (x )=<≥.100,0,100,1002x x x求：（1）在开始150⼩时内没有电⼦管损坏的概率；（2）在这段时间内有⼀只电⼦管损坏的概率；（3） F （x ）. 【解】（1） 150********(150)d .3P X x x ≤==? 33128[(150)]()327p P X =>==(2) 1223124C ()339p == (3) 当x <100时F （x ）=0当x ≥100时()()d x F x f t t -∞=?100100()d ()d x f t t f t t -∞=+??2100100100d 1xt t x==-?故 1001,100()0,0x F x xx ?-≥?=??在［0，a ］中任意⼩区间内的概率与这⼩区间长度成正⽐例，试求X 的分布函数.【解】由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a≤≤=其他故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d x x xx F x f t t f t t t a a-∞====当x >a 时，F （x ）=1即分布函数18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进⾏三次独⽴观测，求⾄少有两次的观测值⼤于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ?≤≤?=其他 5312(3)d 33P X x >==?故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+= 习题三1.将⼀硬币抛掷三次，以X 表⽰在三次中出现正⾯的次数，以Y 表⽰三次中出现正⾯次数与出现反⾯次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 0 1 2 31 0131113C 2228??= 23111C 3/8222= 0 31811112228=2.盒⼦⾥装有3只⿊球、2只红球、2只⽩球，在其中任取4只球，以X 表⽰取到⿊球的只数，以Y 表⽰取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 0 1 2 3 X YX Y0 0 0223247C C 3C 35= 313247C C 2C 35= 1 011232247C C C 6C 35= 21132247C C C 12C 35= 313247C C 2C 35= 2P (0⿊,2红,2⽩)= 2242271C C /C 35= 12132247C C C 6C 35= 223247C C 3C 35= 03.设⼆维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=≤≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ{0,}(3.2)463P X Y <≤<≤公式ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636F F F F --+ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin4346362(31).4=--+=-题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。
概率论与数理统计复旦大学出版社第一章课后参考答案
精心整理第一章1.见教材习题参考答案.2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C（1）A 发生，B ，C 都不发生； （2）A ，B ，C 都发生； （3）A ，B ，C （4）A ，B ，C 都不发生； （5）A ，B ，C（6）A ，【解】（1（B C (4)ABC B C (5)ABC ∪ABC ∪ABC ABC =AB BC AC3..4.设A ，?B )=0.3，求P （.【解】P 5.设A ，（A ）=0.6,P (B )=0.7,（1AB （2AB【解】（1)()0.6AB P A ==,()P AB 取到最大值为（2）当()()()0.3P A P B P A B =+-= 6.设A ，B ，P （C ）=1/3P （AC ）至少有一事件发生的概率. )=0， 由加法公式可得=14+14+13?112=347.52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？ 【解】设A 表示“取出的13张牌中有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花”，则样本空间Ω中样本点总数为1352n C =,A 中所含样本点533213131313k C C C C =,所求概率为8.（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率； （3）求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2）设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3)设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1?P (A 1)=1?(17)59..见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率. （1）n （2）n（3）n .【解】（1样本空间Ω，所求概率为；(P (2)次为正品m 件的排（3n 次抽取中此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为 11..见教材习题参考答案.12.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A ={发生一个部件强度太弱},样本空间Ω中样本点总数为350C ,A 中所含样本点13103k C C =，因此，所求概率为133103501()C C /C 1960P A ==13.7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互不相容.样本空间Ω中样本点总数为37n=C ，2A 中所含样本点数为2143C C ，3A 中所含样本点数为34C ，故所求概率为232322()()()35P A A P A P A =+=14.0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率； （2）至少有一粒发芽的概率； （3）恰有一粒发芽的概率.【解】设2)0.7A =212)A A A =15.（1）问正好在第6次停止的概率；（2）问正好在第6次停止的情况下，第【解】（151次正面，（1）(P 16.0.7【解】设175双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 【解】设A 表示“4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双”，从5双不同的鞋子中任取4只，取法总数为410C ,A 表示“4只鞋子中没有配对的鞋子”，A 中所含基本事件数为4111152222C C C C C ,所求概率为 18.0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求： （1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率. 【解】设A ={下雨}，B ={下雪}.（1）()0.1()0.2()0.5P AB P B A P A ===（2）()()()()0.30.50.10.7P A B P A P B P AB =+-=+-= 19.3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.20.5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）. 【解】设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则A ={此人是女人}，显然A ，A 是样本空间的一个划分，且1()()P A P A ==,由贝叶斯公式得21.【解】 部分所示22.（1（2【解】区域”.(1)(2)设B 23.P 【解】()()()()()P B A B P A B P A P B P AB ==+- 24.15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率. 【解】设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新 球}。
概率论和数理统计_复旦大学_课后题答案(全)【精选】
1 概率论与数理统计习题及答案习题一1． 略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(6) ABC(5) ABC=A B C(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3. 略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=14+14+13-112=347. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】 p =5332131313131352C C C C /C8. 对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17）5 （亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5 (3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1-P (A 1)=1-(17)5 9. 略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率.如果：（1） n 件是同时取出的；（2） n 件是无放回逐件取出的；（3） n 件是有放回逐件取出的.【解】（1） P （A ）=C C /C mn m n M N M N --(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P n N 种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为C mn 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P m M 种，从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n m N M --种，故P （A ）=C P P P m m n m n MN M n N-- 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P （A ）=C C C mn m M N M nN-- 可以看出，用第二种方法简便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n 种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，n -m 次取得次品，每次都有N -M 种取法，共有（N -M ）n -m 种取法，故()C ()/m m n m n nP A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为M N，则取得m 件正品的概率为 ()C 1m n m mn M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11. 略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A == 13. 一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ==== 故 232322()()()35P A A P A P A =+=14. 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1） 两粒都发芽的概率；（2） 至少有一粒发芽的概率；（3） 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯=(2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯= (3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15. 掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1） 问正好在第6次停止的概率；（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325p == 16. 甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+ 22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.3207617． 从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18. 某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率.【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19. 已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A === 或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7. 6()7P B A =20. 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯ 21. 两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图题22图【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x-y|>30.如图阴影部分所示.22301604P==22. 从（0，1）中随机地取两个数，求：（1）两个数之和小于65的概率；（2）两个数之积小于14的概率.【解】设两数为x,y，则0<x,y<1.（1）x+y<65.11441725510.68125p=-==(2) xy=<14.1111244111d d ln242xp x y⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰23. 设P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(A B)=0.5，求P（B｜A∪B）【解】()()()()()()()()P AB P A P ABP B A BP A B P A P B P AB-==+-0.70.510.70.60.54-==+- 24. 在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有30()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =∙+∙+∙+∙0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯ 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯ 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B }由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+ 2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯ 27. 在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知 111120()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯ 28. 某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯ 29. 某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故}则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++ 0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯ 30. 加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==- 12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯=31. 设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n ≤故 n ≥11至少必须进行11次独立射击.32. 证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B = 亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B =故A 与B 相互独立.33. 三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则 31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=- 42310.6534=-⨯⨯= 34. 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得30()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.45835. 已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：（1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.【解】（1） 3101100C(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑ (2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241kk k k p -===∑36. 一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；（3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”；（4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1） 2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型： 224619()C ()()1010P A = （2） 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B = （3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++（4） D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=- 37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；（2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】 （1） 111p n =-(2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>- (3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38. 将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a -x -y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y a x y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣ 如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--=== 40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）.【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====. 41.对任意的随机事件A ，B ，C ，试证P （AB ）+P （AC ）-P （BC ）≤P (A ).【证】 ()[()]()P A P A B C P AB AC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+-()()()P AB P AC P BC ≥+-42. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()416P A ==因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43. 将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44. 掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P （A ）=P （B ）（1） 当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5(2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45. 设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1-甲反≤n -乙反）=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反） 因此P (甲正>乙正)=1246. 证明“确定的原则”（Sure -thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |)≥P (B |)，则P （A ）≥P (B ).【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki k ki j ki i i n P A n nP A A nn P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n -1是1，2，…，n 中的任n -1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni ki j n i j n n kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)k k n n kn n n n nnn--=---++-- 故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n n i P A n n =-=--+--+ 111(1)C (1)n n k nn n+---- 48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+ 121212rrr m m m n m n m n m n m n+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？ 【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n -r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n -r 次取自B 2盒，第2n -r +1次拿起B 1，发现已空。
(完整版)概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版)
概率论与数理统计习题答案详解版（廖茂新复旦版）习题一1. 设A，B，C 为三个事件，用A，B，C 的运算式表示下列事件：（1）A 发生而B与 C 都不发生；（2）A，B，C 至少有一个事件发生；（3）A，B，C 至少有两个事件发生；（4）A，B，C 恰好有两个事件发生；（5）A，B至少有一个发生而 C 不发生；（6）A，B，C 都不发生.解：（1）A BC或 A B C或 A （B∪C）.（2）A∪B∪C.（3）（AB）∪（AC）∪（BC）.（4）（AB C ）∪（AC B ）∪（BC A）.（5）（A∪B）C.（6） A B C 或ABC.2. 对于任意事件A，B，C，证明下列关系式：（1）（A+B）（A+B ）（ A + B）（ A + B ）= ；（2）AB+A B +A B+A B AB= AB；(3)A-(B+C)= (A-B)-C. 证明：略.3.设A，B为两事件，P（A）=0.5,P（B）=0.3,P（AB）=0.1，求：（1）A发生但B不发生的概率；（2）A，B 都不发生的概率；（3）至少有一个事件不发生的概率.解（1）P（A B ）=P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.4；（2） P（AB）=P（ A B）=1-P（A∪B）=1-0.7=0.3；（3） P（A∪B）=P（AB ）=1-P（AB）=1-0.1=0.9.4.调查某单位得知。
购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD 的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD占10%，购买电脑和DVD占5％，三种电器都购买占2％。
求下列事件的概率。
（1）至少购买一种电器的；（2）至多购买一种电器的；（3）三种电器都没购买的.解：（1）0.28, （2）0.83, （3）0.725.10 把钥匙中有 3 把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。
解：8/156. 任意将10 本书放在书架上。
其中有两套书，一套 3 本，另一套4 本。
概率论与统计(第三版)复旦大学版第一章课后习题答案
概率论与数理统计习题及答案习题一1．略.见教材习题参考答案.A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C(6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1--A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=14+14+13-112=347.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】 p =5332131313131352C C C C /C 8.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1-P (A 1)=1-(17)59.略.见教材习题参考答案.N 件，其中Mn 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率.如果： （1） n 件是同时取出的；（2） n 件是无放回逐件取出的； （3） n 件是有放回逐件取出的.【解】（1） P （A ）=C C /C m n m nM N M N --P n N 种，n 次抽取中有m 次为正品的组合数为C mn 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P m M 种，从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n mN M --种，故P （A ）=C P P P m m n mn M N MnN-- 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P （A ）=C C C m n mM N MnN-- 可以看出，用第二种方法简便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n 种，n 次抽取中有m 次为正品的组合数为C mn 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，n -m 次取得次品，每次都有N -M 种取法，共有（N -M ）n -m 种取法，故()C ()/m m n mn n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为()C 1m n mmnM M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1） 问正好在第6次停止的概率；（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） 223151115()()22232p C ==(2) 1342111C ()()22245/325p == 16.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则3331212333()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+ 22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯17．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯ 21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图 题22图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤“一人要等另一人半小时以上”等价于|x -y |>30.如图阴影部分所示.22301604P ==22.从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于65的概率； （2） 两个数之积小于14的概率.【解】 设两数为x ,y ，则0<x ,y <1. （1） x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰ 23.设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ） 【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B AB P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率. 【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•+•0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P （A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作AA 与B 传递的频繁程度为2∶A ，试问原发信息是A 的概率是多少？ 【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,iB ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯=31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击.32.证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立.33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率. 【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯=34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑××××××0.7)0.2+ ××××××××35.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. （2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） 310110C(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241kk k k p -===∑36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1） 2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型： 224619()C ()()1010P A =（2） 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B =（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++（4） D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1） 111p n =- (2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a -x -y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣ 如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--===40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）. 【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.A ，B ，C ，试证P （AB ）+P （AC ）-P （BC ）≤P (A ).【证】 ()[()]()P A P A BC P AB AC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+- ()()()P AB P AC P BC ≥+-42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()416P A ==因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22n n n P A =-44.掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P （A ）=P （B ）（1） 当nP （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B (2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1-甲反≤n -乙反） =（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反） 因此P (甲正>乙正)=1246.证明“确定的原则”（Sure -thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）≥P (B ). 【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki k ki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n -1是1，2，…，n 中的任n -1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni ki j n i j nn kn i i i n i i i nn nn i n i S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)k kn n kn n n n n nn --=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n ni P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+121212rrr m m m n m n m n m n m n+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有Nr 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？ 【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n -r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n -r 次取自B 2盒，第2n -r +1次拿起B 1，发现已空。
概率论与数理统计习题答案(廖茂新复旦版)
习 题 一1.设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算式表示下列事件： （1） A 发生而B 与C 都不发生； （2） A ，B ，C 至少有一个事件发生； （3） A ，B ，C 至少有两个事件发生； （4） A ，B ，C 恰好有两个事件发生； （5） A ，B 至少有一个发生而C 不发生； （6） A ，B ，C 都不发生. 解：（1）A C B 或A -B -C 或A -（B ∪C ）. （2）A ∪B ∪C . （3）（AB ）∪（AC ）∪（BC ）. （4）（AB C ）∪（AC B ）∪（BC A ）. （5）（A ∪B ）C . （6）C B A 或C B A .2.对于任意事件A ，B ，C ，证明下列关系式： （1）(A +B ) (A +B )(A + B )(A +B )= ∅； （2）AB +A B +A B +A B AB -= AB ；（3）A -(B +C )= (A-B )-C . 证明：略.3.设A ，B 为两事件，P （A ）=0.5,P (B )=0.3,P (AB )=0.1，求： （1） A 发生但B 不发生的概率； （2） A ，B 都不发生的概率；（3） 至少有一个事件不发生的概率.解（1） P （A B ）=P （A -B ）=P （A -AB ）=P （A ）-P （AB ）=0.4； (2) P (B A )=P (B A )=1-P (A ∪B )=1-0.7=0.3； (3) P (A ∪B ）=P (AB ）=1-P (AB )=1-0.1=0.9.4.调查某单位得知。
购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD 的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD 占10%，购买电脑和DVD 占5％，三种电器都购买占2％。
求下列事件的概率。
（1）至少购买一种电器的； （2）至多购买一种电器的；（3）三种电器都没购买的. 解：（1） 0.28, （2）0.83, （3） 0.725.10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。
概率论与数理统计(复旦大学第二版)习题及答案
概率论与数理统计习题及答案习题一1.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C(6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3..4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,（1）在什么条件下P（AB（2）在什么条件下P（AB【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=14+14+13-112=3423.P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(A B)=0.5，求P（B｜A∪B）【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-33.15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458.习题二1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========故所求分布律为 X 3 4 5 P 0.10.30.62.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ========== 故X 的分布律为 X 012P2235 1235 135（2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩(3)1122()(),2235333434(1)()(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(12)(2)(1)(2)10.3535P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=<<=--==--=3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============故X 的分布律为 X 0 1 2 3 P0.0080.0960.3840.512分布函数0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.（1） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k akλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a .（2） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑故 ea λ-=(2) 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即 1a =.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+0.32076=(2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ (2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==12322333C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 33221233(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有()0.01P X N ><即 2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==⨯=41e 4()0.01!kk N P X N k -∞=+≥<∑ 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=0.10.11e0.1e --=--⨯8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则1422355C (1)C (1)p p p p -=-故 13p =所以 4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32(0)eP X -== (2) 52(1)1(0)1e P X P X -≥=-==-11.设P {X =k }=kkkp p --22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mmmp p --44)1(C , m =0,1,2,3,4分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}.【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=. 而 2(1)(0)(1)P X P X p <===-故得 24(1),9p -=即 1.3p =从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,20000.0012np λ==⨯=得 25e 2(5)0.00185!P X -=≈= 13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =113()()44k P X k -==(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+321131313()()444444k -=++++213141451()4==- 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有514e 5(15)10.000069!kk P X k -=>≈-≈∑(2) P (保险公司获利不少于10000)(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤510e 50.986305!kk k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤55e 50.615961!kk k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞<x <+∞,求：（1）A 值；（2）P {0<X <1}; (3) F (x ). 【解】（1） 由()d 1f x x ∞-∞=⎰得||1e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞---∞===⎰⎰故 12A =. (2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-⎰(3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==⎰当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2x-=-故 1e ,02()11e 02xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3） F （x ）. 【解】（1） 15021001001(150)d .3P X x x ≤==⎰ 33128[(150)]()327p P X =>==(2) 1223124C ()339p ==(3) 当x <100时F （x ）=0当x ≥100时()()d xF x f t t -∞=⎰100100()d ()d x f t t f t t -∞=+⎰⎰2100100100d 1xt t x==-⎰ 故 1001,100()0,0x F x xx ⎧-≥⎪=⎨⎪<⎩ 17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】 由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xx xx F x f t t f t t t a a-∞====⎰⎰⎰当x >a 时，F （x ）=1即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他5312(3)d 33P X x >==⎰故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+= 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为51e ,0()50,xx f x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩x 0 该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5x P X x -∞->==⎰2~(5,e )Y b -,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1） 若走第一条路，X~N （40，102），则406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若走第二条路，X~N （50，42），则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭++故走第二条路乘上火车的把握大些.（2） 若X~N （40，102），则404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若X~N （50，42），则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--⎛⎫<=<=- ⎪⎝⎭1(1.25)0.1056Φ=-= 故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设X ~N （3，22），（1） 求P {2<X ≤5}，P {-4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; （2） 确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }. 【解】（1） 23353(25)222X P X P ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=433103(410)222X P X P ----⎛⎫-<≤=<≤ ⎪⎝⎭770.999622ΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----⎛⎫⎛⎫=>+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-=333(3)()1(0)0.522X P X P Φ->=>=-=- (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ⎛-⎫->=>⎪⎝⎭1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=-+-=-=23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200}≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭404040210.8ΦΦΦσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故4031.251.29σ≤= 24.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-⎧+≥>⎨<⎩（1） 求常数A ，B ；（2） 求P {X ≤2}，P {X ＞3}； （3） 求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=-⎩（2） 2(2)(2)1eP X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e)e P X F λλ-->=-=--=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-⎧≥'==⎨<⎩25.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）.【解】当x <0时F （x ）=0当0≤x <1时0()()d ()d ()d x xF x f t t f t t f t t -∞-∞==+⎰⎰⎰20d 2xx t t ==⎰当1≤x<2时()()d xF x f t t -∞=⎰1011122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x -∞==+=+-=+--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==⎰故 220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩26.设随机变量X 的密度函数为（1） f (x )=a e -|x |,λ>0;(2) f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<.,0,21,1,10,2其他x x x bx 试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）. 【解】（1） 由()d 1f x x ∞-∞=⎰知||021e d 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===⎰⎰故 2a λ=即密度函数为 e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当x ≤0时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===⎰⎰当x >0时0()()d e d e d 22xxxx F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2xλ-=-故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ-⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩(2) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+⎰⎰⎰得 b =1即X 的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其他当x ≤0时F （x ）=0 当0<x <1时0()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+⎰⎰⎰2d 2xx x x ==⎰当1≤x <2时012011()()d 0d d d x xF x f x x x x x x x-∞-∞==++⎰⎰⎰⎰312x=- 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-≤<⎪⎪≥⎩27.求标准正态分布的上α分位点， （1）α=0.01，求z α; （2）α=0.003，求z α，/2z α. 【解】（1） ()0.01P X z α>=即 1()0.01z αΦ-= 即 ()0.09z αΦ= 故 2.33z α= （2） 由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ-=即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α=由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α-Φ=即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α= 28.设随机变量X 的分布律为 X -2 -1 0 1 3 P k1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求Y =X 2的分布律.【解】Y 可取的值为0，1，4，91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X =======-+==+====-=====故Y 的分布律为Y 0 1 4 9 P k1/5 7/30 1/5 11/3029.设P {X =k }=(12)k, k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ⎧=⎨-⎩当取偶数时当取奇数时求随机变量X 的函数Y 的分布律. 【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+242111()()()222111()/(1)443k =++++=-=2(1)1(1)3P Y P Y =-=-==30.设X ~N （0，1）.（1） 求Y =e X 的概率密度； （2） 求Y =2X 2+1的概率密度； （3） 求Y =｜X ｜的概率密度.【解】（1） 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )xY F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ln ()d yX f x x -∞=⎰故 2/2ln d ()111()(ln )e ,0d 2πy Y Y x F y f y f y y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤2111222y y y P X P X ⎛⎫---⎛⎫=≤=-≤≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)/2(1)/2()d y X y f x x ---=⎰故 d 1211()()d 4122Y Y XX y y f y F y f f y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--==+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦(1)/4121e ,1212πy y y --=>-(3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤ ()d yX yf x x -=⎰故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+- 2/22e ,02πy y -=>31.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1） Y =e X 的分布函数及密度函数； （2） Z =-2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1） (01)1P X <<=故 (1e e )1XP Y <=<=当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )XY F y P y P X y =≤=≤ln 0d ln yx y ==⎰当y ≥e 时()(e )1XY F y P y =≤=即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 （2） 由P （0<X <1）=1知(0)1P Z >=当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤/2(ln )(e)2z zP X P X -=≤-=≥/21/2e d 1e z z x --==-⎰即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩0 故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩032.设随机变量X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时，()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x -=+⎰⎰222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为221,01π()10,Y y f y y⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其他 33.设随机变量X 的分布函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上(1),(2),(3)项.【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。
概率论和数理统计_复旦大学_课后题答案6
2
n1 n2 2
2 [ E ( 12 ) E ( 2 )]
2
n1 n2 2
[(n1 1) (n2 1)] 2 1 2n X i ，令 2n i 1
，X 1 ，X 2 ，…，X 2n （n≥2）是总体X的一个样本， X 10.设总体X~N（μ,σ2）
2(1 0.6628) 0.6744.
8.设总体X~N （0， σ2） ,X 1 ,…,X 10 ,…,X 15 为总体的一个样本.则Y= 从 【解】 分布,参数为 .
X 1 X 2 X 10 2 2 2 2 X 11 X 12 X 15
2
2
2
服
Xi
t
X X 1000 ~ t (8) 100 / 3 S/ n
P ( X 1062) P (t
1062 1000 ) P (t 1.86) 0.05 100 / 3
4.从一正态总体中抽取容量为 10 的样本， 假定有 2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在 4 以上，求总体的标准差. 【解】 Z
2
2
X i2 ~ 2 (5), 22 X i2 ~ X 2 (n 5)
i 1 i 1
2
5
n
且 1 与 2 相互独立. 所以
Y
X 12 / 5 ~ F (5, n 5) 2 X2 /n5
7.求总体 X~N（20，3）的容量分别为 10，15 的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于 0.3 的概率. 【解】令 X 的容量为 10 的样本均值， Y 为容量为 15 的样本均值 , 则 X ~N(20,310),
概率论和数理统计 复旦版课后答案
习题四1.设随机变量X 的分布律为X -1 0 1 2 P1/8 1/2 1/8 1/4求E （X ），E （X 2），E （2X +3）. 【解】(1) 11111()(1)012;82842E X =-⨯+⨯+⨯+⨯= (2) 2222211115()(1)012;82844E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=(3) 1(23)2()32342E X E X +=+=⨯+=2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X ，则X 的分布律为 X 0 12345P5905100C 0.583C = 1410905100C C 0.340C = 2310905100C C 0.070C = 3210905100C C 0.007C = 4110905100C C 0C = 5105100C 0C =故 ()0.58300.34010.07020.0073E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.501,= 52()[()]iii D X x E X P ==-∑222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.=-⨯+-⨯++-⨯=3.设随机变量X 的分布律为X -1 0 1Pp 1 p 2 p 3且已知E （X ）=0.1,E (X 2)=0.9,求P 1，P 2，P 3. 【解】因1231P P P ++=……①,又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-= ……②,222212313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+= ……③由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P ===4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则(){|}{}Nk P A P A X k P X k ===∑ 全概率公式1{}{}1().NNk k k P X k kP X k N Nn E X N N========∑∑5.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x求E （X ），D （X ）. 【解】12201()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞-∞==+-⎰⎰⎰21332011 1.33x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰ 故 221()()[()].6D XE X E X =-=6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望.（1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ -4X .【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=⨯+⨯+=(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X - 因独立1184568.=⨯-⨯= 7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ），D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=(2) 22(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=⨯+⨯= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<.,0,0,10,其他x y x k试确定常数k ，并求E （XY ）. 【解】因11(,)d d d d 1,2xf x y x y x k y k +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰故k =2 1()(,)d d d 2d 0.25xE XY xyf x y x y x x y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰.9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为f X （x ）=⎩⎨⎧≤≤;,0,10,2其他x x f Y （y ）=(5)e ,5,0,.y y --⎧>⎨⎩其他 求E （XY ）.【解】方法一：先求X 与Y 的均值12()2d ,3E X xx x ==⎰ 5(5)5()e d5e d e d 51 6.z y y zzE Y y y z zz +∞+∞+∞=-----=+=+=⎰⎰⎰令 由X 与Y 的独立性，得2()()()6 4.3E XY E X E Y ==⨯=方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为(5)2e ,01,5,(,)()()0,,y X Y x x y f x y f x f y --⎧≤≤>==⎨⎩ 其他于是11(5)2(5)552()2ed d 2de d 6 4.3y y E XY xy x x y x x y y +∞+∞----===⨯=⎰⎰⎰⎰10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为f X （x ）=⎩⎨⎧≤>-;0,0,0,22x x x e f Y （y ）=⎩⎨⎧≤>-.0,0,0,44y y y e求（1） E （X +Y ）;（2） E （2X -3Y 2）. 【解】22-200()()d 2e d [e]e d xx x X X xf x x x x x x +∞+∞+∞--+∞-∞==-⎰⎰⎰201e d .2x x +∞-==⎰401()()d 4e d y .4yY E Y y f y y y +∞+∞--∞==⎰⎰ 22242021()()d 4e d .48y Y E Y y f y y y y +∞+∞--∞====⎰⎰从而(1)113()()().244E X Y E X E Y +=+=+=(2)22115(23)2()3()23288E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯= 11.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-.0,0,0,22x x cx xke求（1） 系数c ;（2） E （X ）;（3） D （X ）. 【解】(1) 由222()d ed 12k x cf x x cx x k+∞+∞--∞===⎰⎰得22c k =. (2) 222()()d()2ed k x E X xf x x x k x x +∞+∞--∞==⎰⎰22220π2e d .2k x kx x k+∞-==⎰(3) 222222201()()d()2e .kxE X x f x x x k x k+∞+∞--∞==⎰⎰故 222221π4π()()[()].24D X E X E X k k k⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ，求E （X ）和D （X ）. 【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X 的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知9{0}0.750,12P X === 39{1}0.204,1211P X ==⨯= 329{2}0.041,121110P X ==⨯⨯= 3219{3}0.005.1211109P X ==⨯⨯⨯= 于是，得到X 的概率分布表如下： X 0 1 2 3 P0.7500.2040.0410.005由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =⨯+⨯+⨯+⨯=22222222()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.E X D X E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯==-=-=13.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,414x x xe为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和 -200元/41/411{100}{1}e d e4x P Y P X x +∞--==≥==⎰1/4{200}{1}1e.P Y P X -=-=<=- 故1/41/41/4()100e (200)(1e )300e 20033.64E Y ---=⨯+-⨯-=-= (元).14.设X 1，X 2，…，X n 是相互独立的随机变量，且有E （X i ）=μ，D （X i ）=σ2，i =1，2，…，n ，记∑==n i i S X n X 12,1，S 2=∑=--n i i X X n 12)(11. （1） 验证)(X E =μ，)(X D =n2σ；（2） 验证S 2=)(11122∑=--ni i X n X n ；（3） 验证E （S 2）=σ2.【证】(1) 1111111()()().n nn i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑22111111()()n nn i i i i i i i D X D X D X X DX n nn ===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑ 之间相互独立 2221.n n nσσ==(2) 因222221111()(2)2nnnniii ii i i i i XX X X X X X nX X X ====-=+-=+-∑∑∑∑2222112nnii i i X nX X nX X nX ===+-=-∑∑故22211()1ni i S X nX n ==--∑.(3) 因2(),()i i E X u D X σ==,故2222()()().i i i E X D X EX u σ=+=+ 同理因2(),()E X u D X nσ==,故222()E X u nσ=+.从而222221111()()[()()]11n ni i i i E s E X nX E X nE X n n ==⎡⎤=-=-⎢⎥--⎣⎦∑∑221222221[()()]11().1ni i E X nE X n n u n u n n σσσ==--⎡⎤⎛⎫=+-+=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦∑15.对随机变量X 和Y ，已知D （X ）=2，D （Y ）=3，Cov(X ,Y )= -1,计算：Cov （3X -2Y +1，X +4Y -3）. 【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()X Y X Y D X X Y D Y -++-=+- 3210(1)8328=⨯+⨯--⨯=- (因常数与任一随机变量独立，故Cov(X ,3)=Cov(Y ,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=221,1,π0,.x y ⎧+≤⎪⎨⎪⎩其他试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的. 【解】设22{(,)|1}D x y x y =+≤.2211()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞+∞-∞-∞+≤==⎰⎰⎰⎰ 2π1001=cos d d 0.πr r r θθ=⎰⎰同理E (Y )=0. 而 C o v (,)[()][()](,X Y x E x y E Y f x y x y+∞+∞-∞-∞=--⎰⎰222π1200111d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+≤===⎰⎰⎰⎰, 由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关. 下面讨论独立性，当|x |≤1时，22121112()d 1.ππx X x f x y x ---=-⎰当|y |≤1时，22121112()d 1ππy Y y f y x y ---=-⎰. 显然()()(,).X Y f x f y f x y ≠故X 和Y 不是相互独立的.17.设随机变量（X ，Y ）的分布律为-1 0 1-1 0 11/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X 与Y 显然不独立，由联合分布律易求得X ，Y 及XY 的分布律，其分布律如下表X -1 01 P38 28 38Y -11P38 28 38XY -11P28 48 28由期望定义易得E （X ）=E （Y ）=E （XY ）=0. 从而E (XY )=E (X )·E (Y ),再由相关系数性质知ρXY =0, 即X 与Y 的相关系数为0，从而X 和Y 是不相关的. 又331{1}{1}{1,1}888P X P Y P X Y =-=-=⨯≠==-=- 从而X 与Y 不是相互独立的.18.设二维随机变量（X ，Y ）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov （X ，Y ），ρXY . 【解】如图，S D =12，故（X ，Y ）的概率密度为题18图2,(,),(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨⎩其他. XY()(,)d d DE X xf x y x y =⎰⎰11001d 2d 3x x x y -==⎰⎰22()(,)d d DE X x f x y x y =⎰⎰11201d 2d 6xx x y -==⎰⎰从而222111()()[()].6318D XE X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭同理11(),().318E Y D Y == 而 1101()(,)d d 2d d d 2d .12xDDE XY xyf x y x y xy x y x xy y -====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=-⨯=- . 从而1Cov(,)1362()()111818XY X Y D X D Y ρ-===-⨯19.设（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=1ππsin(),0,0,2220.x y x y ,⎧+≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩其他求协方差Cov （X ，Y ）和相关系数ρXY . 【解】π/2π/21π()(,)d d d sin()d .24E X xf x y x y x x x y y +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰ππ2222201ππ()d sin()d 2.282E X x x x y y =+=+-⎰⎰从而222ππ()()[()] 2.162D XE X E X =-=+-同理 2πππ(),() 2.4162E Y D Y ==+- 又 π/2π/2π()d sin()d d 1,2E XY x xy x y x y =+=-⎰⎰故 2ππππ4C o v (,)()()()1.2444X Y E X Y E X E Y -⎛⎫⎛⎫=-=--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222π4Cov(,)(π4)π8π164.πππ8π32π8π32()()2162XY X Y D X D Y ρ-⎛⎫- ⎪--+⎝⎭===-=-+-+-+- 20.已知二维随机变量（X ，Y ）的协方差矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4111，试求Z 1=X -2Y 和Z 2=2X -Y 的相关系数.【解】由已知知：D (X )=1,D (Y )=4,Cov(X ,Y )=1.从而12()(2)()4()4Cov(,)1444113,()(2)4()()4Cov(,)414414,D Z D X Y D X D Y X Y D Z D X Y D X D Y X Y =-=+-=+⨯-⨯==-=+-=⨯+-⨯=12Cov(,)Cov(2,2)Z Z X Y X Y =--2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)2()5Cov(,)2()215124 5.X X Y X X Y Y Y D X X Y D Y =--+=-+=⨯-⨯+⨯=故121212Cov(,)5513.26()()134Z Z Z Z D Z D Z ρ===⨯21.对于两个随机变量V ，W ，若E （V 2），E （W 2）存在，证明：［E （VW ）］2≤E （V 2）E （W 2）.这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy -Schwarz ）不等式. 【证】令2(){[]},.g t E V tW t R =+∈显然22220()[()][2]g t E V tW E V tVW t W ≤=+=++222[]2[][],.E V t E VW t E W t R =++∀∈可见此关于t 的二次式非负，故其判别式Δ≤0， 即2220[2()]4()()E VW E W E V ≥∆=- 2224{[()]()()}.E VW E V E W =-故222[()]()()}.E VW E V E W ≤22.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F （y ）.【解】设Y 表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间X ~E (λ),E (X )=1λ=5.依题意Y =min(X ,2).对于y <0,f (y )=P {Y ≤y }=0. 对于y ≥2,F (y )=P (X ≤y )=1.对于0≤y <2,当x ≥0时，在(0,x )内无故障的概率分布为 P {X ≤x }=1 -e -λx ,所以F (y )=P {Y ≤y }=P {min(X ,2)≤y }=P {X ≤y }=1 -e -y/5.23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z 的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【解】（1） Z 的可能取值为0，1，2，3，Z 的概率分布为33336C C {}C k kP Z k -==, 0,1,2,3.k = Z =k 0 1 2 3P k120 920 920120因此，19913()0123.202020202E Z =⨯+⨯+⨯+⨯= (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有3(){}{|}k P A P Z k P A Z k ====∑191921310.202062062064=⨯+⨯+⨯+⨯= 24.假设由自动线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布N （μ,1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T （单位：元）与销售零件的内径X 有如下关系T =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤<-.12,5,1210,20,10,1X X X 若若若 问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？【解】(){10}20{1012}5{12}E T P X P X P X =-<+≤≤->{10}20{1012}5{12(10)20[(12)(10)]5[1(12)]25(12)21(10) 5.P X u u P u X u u P X u uu u u u u u =--<-+-≤-≤--->-=-Φ-+Φ--Φ---Φ-=Φ--Φ--故2/2d ()125(12)(1)21(10)(1)0(()e ),d 2x E T u u x u ϕϕϕπ-=-⨯---⨯-= 令这里得 22(12)/2(10)/225e 21eu u ----=两边取对数有2211ln 25(12)ln 21(10).22u u --=--解得 125111ln 11ln1.1910.91282212u =-=-≈(毫米)由此可得，当u =10.9毫米时，平均利润最大.25.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤.,0,0,2cos 21其他πx x 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于π/3的次数，求Y 2的数学期望.（2002研考）【解】令 π1,,3(1,2,3,4)π0,3i X Y i ⎧>⎪⎪==⎨⎪≤⎪⎩X .则41~(4,)i i Y Y B p ==∑.因为ππ{}1{}33p P X P X =>=-≤及π/30π11{}cos d 3222x P X x ≤==⎰,所以111(),(),()42,242i i E Y D Y E Y ===⨯=2211()41()()22D YE Y EY =⨯⨯==-,从而222()()[()]12 5.E Y D Y E Y =+=+=26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间T i (i =1,2)服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T =T 1+T 2的概率密度f T (t )，数学期望E （T ）及方差D （T ）. 【解】由题意知：55e ,0,()0,0t i t f t t -⎧≥=⎨<⎩. 因T 1,T 2独立，所以f T (t )=f 1(t )*f 2(t ).当t <0时，f T (t )=0;当t ≥0时，利用卷积公式得55()5120()()()d 5e 5e d 25e tx t x t T f t f x f t x x x t +∞-----∞=-==⎰⎰故得525e ,0,()0,0.t T t t f t t -⎧≥=⎨<⎩ 由于T i ~E (5),故知E (T i )=15,D (T i )=125 (i =1,2) 因此，有E (T )=E (T 1+T 2)=25.又因T 1,T 2独立，所以D （T ）=D （T 1+T 2）=225.27.设两个随机变量X ，Y 相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X -Y |的方差.【解】设Z =X -Y ，由于2211~0,,~0,,22X N Y N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭且X 和Y 相互独立，故Z ~N （0，1）.因22()()(||)[(||)]D X Y D Z E Z E Z -==-22()[()],E Z E Z =-而22/21()()1,(||)||e d 2πz E Z D Z E Z z z +∞--∞===⎰ 2/2022e d π2πz z z +∞-==⎰， 所以 2(||)1πD X Y -=-. 28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p (0<p <1)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X ，求E （X ）和D （X ）.【解】记q =1 -p ,X 的概率分布为P {X =i }=q i -1p ,i =1,2,…，故12111()().1(1)i ii i q p E X iq p p q p q q p ∞∞-=='⎛⎫'===== ⎪--⎝⎭∑∑ 又221211121()()i i i i i i E X i qp i i q p iq p ∞∞∞---=====-+∑∑∑2232211()12112.(1)ii q pq q pq p q p pq q p q p p p∞=''⎛⎫''=+=+⎪-⎝⎭+-=+==-∑所以 22222211()()[()].p pD XE X E X p p p--=-=-=题29图29.设随机变量X 和Y 的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布.（如图），试求随机变量U =X +Y 的方差. 【解】D (U )=D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2Cov(X ,Y )=D (X )+D (Y )+2[E (XY ) -E (X )·E (Y )]. 由条件知X 和Y 的联合密度为2,(,),(,)0,0.x y G f x y t ∈⎧=⎨<⎩ {(,)|01,01,G x y x y x y =≤≤≤≤+≥从而11()(,)d 2d 2.X xf x f x y y y x +∞-∞-===⎰⎰因此11122300031()()d 2d ,()2d ,22X E X xf x x x x E X x x =====⎰⎰⎰22141()()[()].2918D XE X E X =-=-=同理可得 31(),().218E Y D Y ==1115()2d d 2d d ,12xGE XY xy x y x x y y -===⎰⎰⎰⎰541Cov(,)()()(),12936X Y E XY E X E Y =-=-=- 于是 1121()().18183618D U D X Y =+=+-= 30.设随机变量U 在区间[ -2,2]上服从均匀分布，随机变量X =⎩⎨⎧->-≤-，U ，U 1,11,1若若 Y =⎩⎨⎧>≤-.1,11,1U ，U 若若试求（1）X 和Y 的联合概率分布；（2）D （X +Y ）.【解】（1） 为求X 和Y 的联合概率分布，就要计算（X ，Y ）的4个可能取值( -1, -1),( -1,1),(1, -1)及(1,1)的概率.P {x = -1,Y = -1}=P {U ≤ -1,U ≤1} 112d d 1{1}444x x P U ---∞-=≤-===⎰⎰P {X = -1,Y =1}=P {U ≤ -1,U >1}=P {∅}=0, P {X =1,Y = -1}=P {U > -1,U ≤1}11d 1{11}44x P U -=-<≤==⎰21d 1{1,1}{1,1}{1}44x P X Y P U U P U ===>->=>=⎰. 故得X 与Y 的联合概率分布为(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(,)~1110424X Y ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (2) 因22()[()][()]D X Y E X Y E X Y +=+-+,而X +Y 及（X +Y ）2的概率分布相应为202~111424X Y -⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦, 24()~1122X Y ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 从而11()(2)20,44E X Y +=-⨯+⨯= 211[()]042,22E X Y +=⨯+⨯=所以22()[()][()] 2.D X Y E X Y E X Y +=+-+= 31.设随机变量X 的概率密度为f (x )=x-e21，（ -∞<x <+∞）(1) 求E （X ）及D （X ）；（2） 求Cov(X ,|X |),并问X 与|X |是否不相关？ （3） 问X 与|X |是否相互独立，为什么？【解】(1)||1()e d 0.2x E X x x +∞--∞==⎰ 2||201()(0)e d 0e d 2.2x xD X x x x x +∞+∞---∞=-==⎰⎰(2) Cov(,|)(||)()(||)(||)X X E X X E X E X E X X =-=||1||e d 0,2x x x x +∞--∞==⎰所以X 与|X |互不相关.(3) 为判断|X |与X 的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域-∞<x <+∞中的子区间（0,+∞）上给出任意点x 0，则有0000{}{||}{}.x X x X x X x -<<=<⊂<所以000{||}{} 1.P X x P X x <<<<<故由00000{,||}{||}{||}{}P X x X x P X x P X x P X x <<=<><<得出X 与|X |不相互独立.32.已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （1，32）和N （0，42），且X 与Y 的相关系数ρXY = -1/2，设Z =23YX +. （1） 求Z 的数学期望E （Z ）和方差D （Z ）； （2） 求X 与Z 的相关系数ρXZ ；（3） 问X 与Z 是否相互独立，为什么？ 【解】(1) 1().323X Y E Z E ⎛⎫=+=⎪⎝⎭ ()2Cov ,3232XY X Y D Z D D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11119162Cov(,),9432X Y =⨯+⨯+⨯⨯ 而1Cov(,)()()3462XY X Y D X D Y ρ⎛⎫==-⨯⨯=- ⎪⎝⎭所以 1()146 3.3D Z =+-⨯= (2) 因()()11Cov(,)Cov ,Cov ,Cov ,3232X Y X Z X X X X Y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 119()(6)3=0,323D X =+⨯-=- 所以Cov(,)0.()()XZ X Z D X D Z ρ==(3) 由0XZ ρ==，得X 与Z 不相关.又因1~,3,~(1,9)3Z N X N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以X 与Z 也相互独立.33.将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 表示正面向上和反面向上的次数.试求X 和Y 的相关系数XY ρ.【解】由条件知X +Y =n ，则有D （X +Y ）=D （n ）=0.再由X ~B (n ,p ),Y ~B (n ,q )，且p =q =12, 从而有 ()()4nD X npq D Y ===所以 0()()()2()()XY D X Y D X D Y D X D Y ρ=+=++ 2,24XY n nρ=+ 故XY ρ= -1. 34.设随机变量X 和Y 的联合概率分布为-1 0 10 10.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20试求X 和Y 的相关系数ρ.【解】由已知知E (X )=0.6,E (Y )=0.2，而XY 的概率分布为YX -1 0 1 P 0.080.720.2所以E （XY ）= -0.08+0.2=0.12Cov(X ,Y )=E (XY ) -E (X )·E (Y )=0.12 -0.6×0.2=0 从而XY ρ=035.对于任意两事件A 和B ，0<P (A )<1，0<P (B )<1,则称ρ=())()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P ⋅-为事件A 和B 的相关系数.试证：（1） 事件A 和B 独立的充分必要条件是ρ=0；（2） |ρ|≤1. 【证】（1）由ρ的定义知，ρ=0当且仅当P (AB ) -P (A )·P (B )=0.而这恰好是两事件A 、B 独立的定义，即ρ=0是A 和B 独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量X 与Y 为1,,0,A X A ⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生;1,,0,B Y B ⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生.由条件知，X 和Y 都服从0 -1分布，即01~1()()X P A P A ⎧⎨-⎩ 01~1()()Y P B P B ⎧⎨-⎩从而有E (X )=P (A ),E (Y )=P (B ),D (X )=P (A )·P (A ),D (Y )=P (B )·P (B ),Cov(X ,Y )=P (AB ) -P (A )·P (B )所以，事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1. 36. 设随机变量X 的概率密度为YXf X (x )=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-.,0,20,41,01,21其他x x令Y =X 2，F （x ,y ）为二维随机变量（X ，Y ）的分布函数，求：(1) Y 的概率密度f Y (y )； (2) Cov(X ,Y ); (3)1(,4)2F -. 解： (1) Y 的分布函数为2(){}{}Y F y P Y y P X y =≤=≤.当y ≤0时， ()0Y F y =，()0Y f y =； 当0＜y ＜1时，3(){}{0}{0}4Y F y P y X y P y X P X y y =-≤≤=-≤<+≤≤=， 3()8Y f y y=；当1≤y <4时， 11(){10}{0}24Y F y P X P X y y =-≤<+≤≤=+ 1()8Y f y y=；当y ≥4时，()1Y F y =，()0Y f y =. 故Y 的概率密度为3,01,81()0,14,80,.Y y y f y y y ⎧<<⎪⎪⎪=⎨≤<⎪⎪⎪⎩其他(2) 0210111()()d d d 244+X E X =xf x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--, 02222210115()()()d d d )246+X E Y =E X =x f x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--, 02233310117()()()d d d 248+X E XY =E Y =x f x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--, 故 Cov(X,Y ) =2()()()3E XY E X E Y =⋅-.(3) 2111(,4){,4}{,4}222F P X Y P X X -=≤-≤=≤-≤ 11{,22}{2}22P X X P X =≤--≤≤=-≤≤-11{1}24P X =-≤≤-=.习题五1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10<X <18}. 【解】设i X 表每次掷的点数，则41ii X X==∑22222221111117()123456,666666211111191()123456,6666666i i E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=从而 22291735()()[()].6212i ii D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭又X 1,X 2,X 3,X 4独立同分布.从而44117()()()414,2i ii i E X E X E X =====⨯=∑∑ 44113535()()()4.123i i i i D X D X D X =====⨯=∑∑ 所以 235/3{1018}{|14|4}10.271,4P X P X <<=-<≥-≈ 2. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？【解】令1,,0,i i X ⎧⎨⎩若第个产品是合格品其他情形.而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=0.8. 现要求n ,使得1{0.760.84}0.9.nii XP n=≤≤≥∑即10.80.760.80.840.8{}0.90.80.20.80.20.80.2ni i X n n n n nP n n n =---≤≤≥⨯⨯⨯⨯⨯⨯∑由中心极限定理得0.840.80.760.80.9,0.160.16n n n n n n --⎛⎫⎛⎫Φ-Φ≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得0.95,10n ⎛⎫Φ≥⎪ ⎪⎝⎭查表 1.64,10n ≥ n ≥268.96, 故取n =269.3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,于是我们只要供应15m 单位电能就可满足要求.令X 表同时开动机床数目，则X ~B （200，0.7）,()140,()42,E X D X ==1400.95{0}().42m P X m P X m -⎛⎫=≤≤=≤=Φ⎪⎝⎭查表知1401.64,42m -= ,m =151. 所以供电能151×15=2265（单位）.4. 一加法器同时收到20个噪声电压V k （k =1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V =∑=201k kV，求P {V ＞105}的近似值.【解】易知:E (V k )=5,D (V k )=10012,k =1,2,…,20 由中心极限定理知，随机变量201205205~(0,1).10010020201212kk VV Z N =-⨯-⨯==⨯⨯∑近似的于是205105205{105}1010020201212V P V P ⎧⎫⎪⎪-⨯-⨯⎪⎪>=>⎨⎬⎪⎪⨯⨯⎪⎪⎩⎭1000.3871(0.387)0.348,102012V P ⎧⎫⎪⎪-⎪⎪=>≈-Φ=⎨⎬⎪⎪⨯⎪⎪⎩⎭即有 P {V >105}≈0.3485. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少？【解】设100根中有X 根短于3m ，则X ~B （100，0.2）从而301000.2{30}1{30}11000.20.8P X P X -⨯⎛⎫≥=-<≈-Φ ⎪⨯⨯⎝⎭1(2.5)10.99380.0062.=-Φ=-=6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.（1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？ （2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？ 【解】1,,1,2,,100.0,.i i X i ⎧==⎨⎩ 第人治愈其他令1001.ii X X ==∑(1) X ~B (100,0.8)，1001751000.8{75}1{75}11000.80.2i i P X P X =-⨯⎛⎫>=-≤≈-Φ ⎪⨯⨯⎝⎭∑ 1( 1.25)(1.25)0.8944.=-Φ-=Φ=(2) X ~B (100,0.7)，1001751000.7{75}1{75}11000.70.3i i P X P X =-⨯⎛⎫>=-≤≈-Φ ⎪⨯⨯⎝⎭∑ 51()1(1.09)0.1379.21=-Φ=-Φ= 7. 用Laplace 中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率.【解】令1000件中废品数X ，则p =0.05,n =1000,X ~B (1000,0.05)，E (X )=50，D (X )=47.5.故12050130{20} 6.895 6.89547.547.5P X ϕϕ-⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 6130 4.510.6.895 6.895ϕ-⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭8. 设有30个电子器件.它们的使用寿命T 1，…，T 30服从参数λ=0.1[单位：（小时）-1]的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T 为30个器件使用的总计时间，求T 超过350小时的概率. 【解】11()10,0.1i E T λ=== 21()100,i D T λ== ()1030300,E T =⨯= ()3000.D T = 故3503005{350}111(0.913)0.1814.300030P T -⎛⎫⎛⎫>≈-Φ=-Φ=-Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9. 上题中的电子器件若每件为a 元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）. 【解】设至少需n 件才够用.则E (T i )=10，D (T i )=100，E (T )=10n ，D (T )=100n .从而1{3068}0.95,ni i P T =≥⨯=∑即3068100.05.10n n ⨯-⎛⎫≈Φ ⎪⎝⎭故102448244.80.95,1.64,272.10n n n n n--⎛⎫=Φ=≈ ⎪⎝⎭所以需272a 元.10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布. （1） 求参加会议的家长数X 超过450的概率？（2） 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 【解】（1） 以X i (i =1,2,…,400)记第i 个学生来参加会议的家长数.则X i 的分布律为 X i 0 1 2 P0.05 0.80.15易知E （X i =1.1）,D (X i )=0.19,i =1,2,…,400. 而400iiX X=∑,由中心极限定理得400400 1.1400 1.1~(0,1).4000.19419iiXX N -⨯-⨯=⨯⨯∑近似地于是450400 1.1{450}1{450}1419P X P X -⨯⎛⎫>=-≤≈-Φ⎪⨯⎝⎭1(1.147)0.13=-Φ= (2) 以Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则Y ~B (400,0.8) 由拉普拉斯中心极限定理得3404000.8{340(2.5)0.9938.4000.80.2P Y -⨯⎛⎫≤≈Φ=Φ= ⎪⨯⨯⎝⎭11. 设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】用X 表10000个婴儿中男孩的个数，则X ~B （10000，0.515） 要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求P {X ≤5000}. 由中心极限定理有5000100000.515{5000}(3)1(3)0.00135.100000.5150.485P X -⨯⎛⎫≤≈Φ=Φ-=-Φ= ⎪⨯⨯⎝⎭12. 设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以95%概率估计，在一次行动中：（1）至少有多少个人能够进入？ （2）至多有多少人能够进入？【解】用X i 表第i 个人能够按时进入掩蔽体（i =1,2,…,1000）.令 S n =X 1+X 2+…+X 1000.(1) 设至少有m 人能够进入掩蔽体，要求P {m ≤S n ≤1000}≥0.95，事件90010000.9{}.10000.90.190nn S m m S --⨯⎛⎫≤=≤ ⎪⨯⨯⎝⎭ 由中心极限定理知：10000.9{}1{}10.95.10000.90.1n n m P m S P S m -⨯⎛⎫≤=-<≈-Φ≥ ⎪⨯⨯⎝⎭从而 9000.05,90m -⎛⎫Φ≤⎪⎝⎭ 故9001.65,90m -=- 所以 m =900-15.65=884.35≈884人 (2) 设至多有M 人能进入掩蔽体，要求P {0≤S n ≤M }≥0.95.900{}0.95.90n M P S M -⎛⎫≤≈Φ= ⎪⎝⎭查表知90090M -=1.65,M =900+15.65=915.65≈916人. 13. 在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求： （1） 保险公司没有利润的概率为多大；（2） 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？【解】设X 为在一年中参加保险者的死亡人数，则X ~B （10000，0.006）.(1) 公司没有利润当且仅当“1000X =10000×12”即“X =120”. 于是所求概率为1120100000.006{120}100000.0060.994100000.0060.994P X ϕ-⨯⎛⎫=≈⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭21(60/59.64)230.181116011e 59.6459.64259.640.0517e 0ϕπ--⎛⎫== ⎪⎝⎭=⨯≈(2) 因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X ≤60” 于是所求概率为60100000.0060100000.006{060}100000.0060.994100000.0060.994P X -⨯-⨯⎛⎫⎛⎫≤≤≈Φ-Φ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭60(0)0.5.59.64⎛⎫=Φ-Φ-≈ ⎪⎝⎭14. 设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P {|X -Y |≥6}的估计. （2001研考） 【解】令Z =X -Y ，有()0,()()()()2()() 3.XP E Z D Z D X Y D X D Y D X D Y ρ==-=+-=所以2()31{|()|6}{||6}.63612D X Y P ZE Z P X Y --≥=-≥≤==15. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数. （1） 写出X 的概率分布；（2） 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值.（1988研考）【解】（1） X 可看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是0.2，因此，X ~B (100,0.2)，故X 的概率分布是100100{}C 0.20.8,1,2,,100.kk k P X k k -===(2) 被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件{14≤X≤30}的概率.由中心极限定理，得301000.2141000.2{1430}1000.20.81000.20.8P X -⨯-⨯⎛⎫⎛⎫≤≤≈Φ-Φ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭(2.5)( 1.5)0.994[9.33]0.927.=Φ-Φ-=--=16. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.【解】设X i （i =1,2,…,n ）是装运i 箱的重量（单位：千克），n 为所求的箱数，由条件知，可把X 1，X 2，…，X n 视为独立同分布的随机变量，而n 箱的总重量T n =X 1+X 2+…+X n 是独立同分布随机变量之和，由条件知： ()50,i E X = ()5,i D X = ()50,n E T n = ()5.n D T n = 依中心极限定理，当n 较大时，50~(0,1)5n T n N n-近似地,故箱数n 取决于条件 50500050{5000}55n n T n n P T P nn --⎧⎫≤=≤⎨⎬⎩⎭1000100.977(2).n n -⎛⎫≈Φ>=Φ⎪⎝⎭因此可从1000102nn->解出n <98.0199, 即最多可装98箱.习题六1.设总体X ~N （60，152），从总体X 中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率. 【解】μ=60,σ2=152,n =100~(0,1)/X Z N nμσ-=即 60~(0,1)15/10X Z N -=(|60|3)(||30/15)1(||2)P X P Z P Z ->=>=-<2[1(2)]2(10.9772)0.0456.=-Φ=-=2.从正态总体N （4.2，52）中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于0.95，则样本容量n 至少取多大？ 【解】4~(0,1)5/X Z N n-=2.2 4.2 6.2 4.2(2.2 6.2)()55P X P n Z n --<<=<<2(0.4)10.95,n =Φ-=则Φ(0.4n )=0.975，故0.4n >1.96,即n >24.01，所以n 至少应取253.设某厂生产的灯泡的使用寿命X ~N （1000，σ2）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S 2=1002，试求P （X ＞1062）. 【解】μ=1000,n =9，S 2=10021000~(8)100/3/X X t t S nμ--==10621000(1062)()( 1.86)0.05100/3P X P t P t ->=>=>=4.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差. 【解】~(0,1)/X Z N nμσ-=，由P (|X -μ|>4)=0.02得P |Z |>4(σ/n )=0.02,故410210.02σ⎡⎤⎛⎫-Φ=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即4100.99.σ⎛⎫Φ=⎪ ⎪⎝⎭ 查表得4102.33,σ=所以 4105.43.2.33σ== 5.设总体X ~N （μ，16），X 1，X 2，…，X 10是来自总体X 的一个容量为10的简单随机样本，S 2为其样本方差，且P （S 2＞a ）=0.1，求a 之值.【解】2222299~(9),()0.1.1616S a P S a P χχχ⎛⎫=>=>= ⎪⎝⎭查表得914.684,16a= 所以 14.6841626.105.9a ⨯== 6.设总体X 服从标准正态分布，X 1，X 2，…，X n 是来自总体X 的一个简单随机样本，试问统计量Y =∑∑==-ni ii i XX n 62512)15(，n ＞5服从何种分布？ 【解】2522222211~(5),~(5)i nii i i XX X n χχχ====-∑∑且12χ与22χ相互独立. 所以2122/5~(5,5)/5X Y F n X n =--7.求总体X ~N （20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于0.3的概率. 【解】令X 的容量为10的样本均值，Y 为容量为15的样本均值,则X ~N (20,310),Y ~N (20,315)，且X 与Y 相互独立. 则33~0,(0,0.5),1015X Y N N ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭那么~(0,1),0.5X YZ N -= 所以0.3(||0.3)||2[1(0.424)]0.5P X Y P Z Φ⎛⎫->=>=- ⎪⎝⎭2(10.6628)0.6744.=-=8.设总体X ~N （0，σ2）,X 1,…,X 10,…,X 15为总体的一个样本.则Y =()21521221121022212X X X X X X ++++++ 服从 分布,参数为 .【解】~(0,1),iX N σi =1,2, (15)那么122210152222111~(10),~(5)i i i i X X χχχχσσ==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑且12χ与22χ相互独立,所以222110122211152/10~(10,5)2()/5X X X Y F X X X ++==++ 所以Y ~F 分布，参数为（10,5）.9.设总体X ~N （μ1,σ2）,总体Y ~N (μ2,σ2),X 1,X 2,…,1n X 和Y 1，Y 2，…，2n X 分别来自总体X 和Y 的简单随机样本，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==2)()(21121221n n Y Y X X E n j j n i i = . 【解】令 1222212111211(),(),11n n i i i j S X X S Y Y n n ===-=---∑∑ 则122222112211()(1),()(1),n n ij i j XX n S y y n S ==-=--=-∑∑又2222221122112222(1)(1)~(1),~(1),n S n S n n χχχχσσ--=-=-那么1222112222121212()()1()22n n i j i j X X Y Y E E n n n n σχσχ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑2221212221212[()()]2[(1)(1)]2E E n n n n n n σχχσσ=++-=-+-=+-10.设总体X ~N （μ,σ2），X 1，X 2，…，X 2n （n ≥2）是总体X 的一个样本，∑==ni i X n X 2121，令Y =∑=+-+ni i n iX X X12)2(，求EY .【解】令Z i =X i +X n +i , i =1,2,…,n .则Z i ~N (2μ,2σ2)(1≤i ≤n ),且Z 1,Z 2,…,Z n 相互独立.令 2211, ()/1,nni i i i Z Z S Z Z n n ====--∑∑则 21111,222nn i ii i X X Z Z nn =====∑∑ 故 2Z X = 那么22211(2)()(1),n ni n i i i i Y X X X Z Z n S +===+-=-=-∑∑所以22()(1)2(1).E Y n ES n σ=-=-11. 设总体X 的概率密度为f (x )=x-e 21 (-∞<x <+∞),X 1，X 2，…，X n 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为S 2，求E (S 2).解： 由题意，得1e , 0,2()1e ,0,2xx x f x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩于是 22222220()()()()1()()d e d 021()()d e d e d 2,2xx x E S D X E X E X E X xf x x x x E X x f x x x x x x +∞+∞--∞-∞+∞+∞+∞---∞-∞==-=======⎰⎰⎰⎰⎰所以2()2E S =.习题七1.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p的矩法估计.【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np =X。
概率论与数理统计复旦大学出版社第二章习题谜底
35
2
C12C123 C135
12 . 35
5
0.6
2
1
35
1
(3)
34
当 1≤x<2 时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=
35
当 x≥2 时，F（x）=P（X≤x）=1 故 X 的分布函数
P( X 1) F (1) 22 , 2 2 35
F
(
x)
P(1 X 3) F ( 3) F (1) 34 34 0
[键入文字]
习题二
1.一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以 X 表示取出的 3
【解】
只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律.
故所求分布律为
X
P
X 3, 4,5
P( X 3) 1 0.1 C35
P( X
4)
P( X 5) C24 0.6 C35
3
0.1
3 C35
0.3
4
0.3
2.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样，
以 X 表示取出的次品个数，求：
（1） X 的分布律；
（2） X 的分布函数并作图；
【解】
(3)
故 X 的分布律为
X
P
P{X 1}, P{1 X 3}, P{1 X 3}, P{1 X 2} .
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
概率论和数理统计_复旦大学_课后题答案8
8习题八1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为4.28 4.40 4.42 4.35 4.37问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（α=0.05）?【解】0010/20.0250.025: 4.55;: 4.55.5,0.05, 1.96,0.1084.364,(4.364 4.55)3.851,0.108.H Hn Z ZxxZZZαμμμμασ==≠=======-===->所以拒绝H0，认为总体平均值有显著性变化.2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：3.24 3.26 3.24 3.27 3.25设含镍量服从正态分布，问在α=0.01下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为3.25.【解】设0010/20.0050.005: 3.25;: 3.25.5,0.01,(1)(4) 4.60413.252,0.013,(3.252 3.25)0.344,0.013(4).H Hn t n tx sxtttαμμμμα==≠===-====-===<所以接受H0，认为这批矿砂的含镍量为3.25.3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差s2=0.1(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=0.05）.【解】设0010/20.02520.025: 1.1;: 1.1.36,0.05,(1)(35) 2.0301,36,1.008,0.1,6 1.7456,1.7456(35)2.0301.H Hn t n t nx sxtttαμμμμα==≠===-=========<=所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为21.5小时，标准差为2.9小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短？设电池寿命近似地服从正态分布（取α=0.05）. 【解】0100.050.05:21.5;:21.5.21.5,6,0.05, 1.65, 2.9,20,(2021.5)1.267,2.91.65.H Hn z xxzz zμμμασ≥<======-===->-=-所以接受H0，认为电池的寿命不比该公司宣称的短.5.测量某种溶液中的水分，从它的10个测定值得出x=0.452(%),s=0.037(%).设测定值总体为正态，μ为总体均值，σ为总体标准差，试在水平α=0.05下检验.（1）H0：μ=0.5(%)；H1：μ＜0.5(%).（2）:Hσ'=0.04(%)；1:Hσ'＜0.04(%).【解】(1)00.050.050.5;10,0.05,(1)(9) 1.8331,0.452,0.037,(0.4520.5)4.10241,0.037(9) 1.8331.n t n tx sxtt tαμα===-====-===-<-=-所以拒绝H0，接受H1.(2)2222010.9522222220.95(0.04),10,0.05,(9) 3.325,0.452,0.037,(1)90.0377.7006,0.04(9).nx sn sασαχχχσχχ-=======-⨯===>所以接受H0，拒绝H1.6.某种导线的电阻服从正态分布N（μ，0.00522）.今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得s=0.008欧.对于α=0.05，能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?【解】00102222/20.0251/20.975222220.02522:0.005;:0.005.9,0.05,0.008,(8)(8)17.535,(8)(8) 2.088,(1)80.00820.48,(8).(0.005)H Hn sn sαασσσσαχχχχχχχσ-===≠=======-⨯===>故应拒绝H0，不能认为这批导线的电阻标准差仍为0.005.7.有两批棉纱，为比较其断裂强度，从中各取一个样本，测试得到：第一批棉纱样本：n1=200，x=0.532kg, s1=0.218kg；第二批棉纱样本：n2=200，y=0.57kg, s2=0.176kg.设两强度总体服从正态分布，方差未知但相等，两批强度均值有无显著差异？(α=0.05)【解】01211212/2120.0250.0250.025:;:.200,0.05,(2)(398) 1.96,0.1981,1.918;(398).w H H n n t n n t z s x y t t t αμμμμα=≠===+-=≈=======-< 所以接受H 0，认为两批强度均值无显著差别.8.两位化验员A ，B 对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析，得到样本方差分别为0.4322(%2)与0.5006(%2).若A ，B 所得的测定值的总体都是正态分布，其方差分别为σA 2，σB 2，试在水平α=0.05下检验方差齐性的假设222201:;:.A B A B H H σσσσ=≠【解】221212/2120.0250.9750.02521225,0.05,0.4322,0.5006,(1,1)(4,4)9.6,11(4,4)0.1042,(4.4)9.60.43220.8634.0.5006n n s s F n n F F F s F s αα=====--========那么0.9750.025(4,4)(4,4).F F F <<所以接受H 0，拒绝H 1.9~12. 略。
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习 题 一1.设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算式表示下列事件： （1） A 发生而B 与C 都不发生； （2） A ，B ，C 至少有一个事件发生； （3） A ，B ，C 至少有两个事件发生； （4） A ，B ，C 恰好有两个事件发生； （5） A ，B 至少有一个发生而C 不发生； （6） A ，B ，C 都不发生. 解：（1）A C B 或A -B -C 或A -（B ∪C ）. （2）A ∪B ∪C . （3）（AB ）∪（AC ）∪（BC ）. （4）（AB C ）∪（AC B ）∪（BC A ）. （5）（A ∪B ）C . （6）C B A 或C B A .2.对于任意事件A ，B ，C ，证明下列关系式： （1）(A +B ) (A +B )(A + B )(A +B )= ∅； （2）AB +A B +A B +A B AB -= AB ；（3）A -(B +C )= (A-B )-C . 证明：略.3.设A ，B 为两事件，P （A ）=0.5,P (B )=0.3,P (AB )=0.1，求： （1） A 发生但B 不发生的概率； （2） A ，B 都不发生的概率；（3） 至少有一个事件不发生的概率.解（1） P （A B ）=P （A -B ）=P （A -AB ）=P （A ）-P （AB ）=0.4； (2) P (B A )=P (B A )=1-P (A ∪B )=1-0.7=0.3； (3) P (A ∪B ）=P (AB ）=1-P (AB )=1-0.1=0.9.4.调查某单位得知。
购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD 的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD 占10%，购买电脑和DVD 占5％，三种电器都购买占2％。
求下列事件的概率。
（1）至少购买一种电器的； （2）至多购买一种电器的； （3）三种电器都没购买的.解：（1） 0.28, （2）0.83, （3） 0.725.10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。
解：8/156.任意将10本书放在书架上。
其中有两套书，一套3本，另一套4本。
求下列事件的概率。
（1）3本一套放在一起； （2）两套各自放在一起；（3）两套中至少有一套放在一起.解： （1）1/15， （2）1/210， （3）2/217. 12名新生中有3名优秀生，将他们随机地平均分配到三个班中去，试求：（1） 每班各分配到一名优秀生的概率； （2） 3名优秀生分配到同一个班的概率.解 12名新生平均分配到三个班的可能分法总数为34448412)!4(!12C C C =（1） 设A 表示“每班各分配到一名优秀生”3名优秀生每一个班分配一名共有3！种分法，而其他9名学生平均分配到3个班共有3)!3(!9种分法，由乘法原理，A 包含基本事件数为 3！·3)!3(!9=2)!3(!9 故有P （A ）=2)!3(!9/3)!4(!12=16/55 （2） 设B 表示“3名优秀生分到同一班”，故3名优秀生分到同一班共有3种分法，其他9名学生分法总数为!4!4!1!9C C C 444819=，故由乘法原理，B 包含样本总数为3·!4!4!1!9.故有 P （B ）=()2！4!9·3/()3！4!12=3/558.箱中装有a 只白球，b 只黑球，现作不放回抽取，每次一只.（1） 任取m +n 只，恰有m 只白球，n 只黑球的概率（m ≤a ,n ≤b ）; (2) 第k 次才取到白球的概率（k ≤b +1）; （3） 第k 次恰取到白球的概率.解 （1）可看作一次取出m +n 只球，与次序无关，是组合问题.从a +b 只球中任取m +n 只，所有可能的取法共有nm b a ++C 种，每一种取法为一基本事件且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.从a 只白球中取m 只，共有ma C 种不同的取法，从b 只黑球中取n 只，共有n b C 种不同的取法.由乘法原理知，取到m 只白球，n 只黑球的取法共有m a C nb C 种，于是所求概率为p 1=n m ba nbm a ++C C C .(2) 抽取与次序有关.每次取一只，取后不放回，一共取k 次，每种取法即是从a+b 个不同元素中任取k 个不同元素的一个排列，每种取法是一个基本事件，共有kb a +P 个基本事件，且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.前k -1次都取到黑球，从b 只黑球中任取k -1只的排法种数，有1P -k b种，第k 次抽取的白球可为a 只白球中任一只，有1P a 种不同的取法.由乘法原理，前k -1次都取到黑球，第k 次取到白球的取法共有11P P a k b -种，于是所求概率为p 2=k ba a kb +-P P P 11.(3) 基本事件总数仍为kb a +P .第k 次必取到白球，可为a 只白球中任一只，有1P a 种不同的取法，其余被取的k -1只球可以是其余a+b -1只球中的任意k -1只，共有11P --+k b a 种不同的取法，由乘法原理，第k 次恰取到白球的取法有111k a a b P P -+-种，故所求概率为p 3=111k a a b k a b P P aP a b-+-+=+.9.在区间（0，1）内任取两个数，求这两个数的乘积小于1/4的概率.解 设在（0，1）内任取两个数为x ,y ，则0＜x ＜1,0＜y ＜1图1-7即样本空间是由点（x ，y ）构成的边长为1的正方形Ω，其面积为1.令A 表示“两个数乘积小于1/4”，则A ={（x ,y ）｜0＜xy ＜1/4,0＜x ＜1,0＜y ＜1}事件A 所围成的区域见图1-7，则所求概率P (A ) =2ln 2141d 414311d )411(11d d 114/114/111/411/4+=+-=--=-⎰⎰⎰⎰x x xx yx x.10.两人相约在某天下午5∶00~6∶00在预定地方见面，先到者要等候20分钟，过时则离去.如果每人在这指定的一小时内任一时刻到达是等可能的，求约会的两人能会到面的概率. 解 设x ,y 为两人到达预定地点的时刻，那么，两人到达时间的一切可能结果落在边长为60的正方形内，这个正方形就是样本空间Ω,而两人能会面的充要条件是｜x -y ｜≤20，即x-y ≤20且y-x ≤20.令事件A 表示“两人能会到面”，这区域如图1-8中的A .则P (A ) =.95604060)()(222=-=Ωm A m11.一盒中装有5只产品，其中有3只正品，2只次品，从中取产品两次，每次取一只，作不放回抽样，求在第一次取到正品条件下，第二次取到的也是正品的概率.解 设A 表示“第一次取到正品”的事件，B 表示“第二次取到正品”的事件 由条件得P （A ）=(3×4)/(5×4)= 3/5， P (AB )= (3×2)/(5×4)= 3/10，故有 P （B ｜A ）=P （AB ）/P （A ）=(3/10)/( 3/5)= 1/2.此题也可按产品编号来做，设1，2，3号为正品，4，5号为次品，则样本空间为Ω={1，2，3，4，5}，若A 已发生，即在1，2，3中抽走一个，于是第二次抽取所有可能结果的集合中共有4只产品，其中有2只正品，故得P （B ｜A ）=2/4=1/2. 12.设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ). 解 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B AB P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-13.设盒中有m 只红球，n 只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入k 只与所取颜色相同的球.若在盒中连取四次，试求第一次，第二次取到红球，第三次，第四次取到白球的概率.解 设R i (i =1,2,3,4)表示第i 次取到红球的事件，i R (i =1,2,3,4)表示第i 次取到白球的事件.则有.32)()()()()(32142131214321kn m kn k n m n k n m k m n m m R R R R P R R R P R R P R P R R R R P +++⋅++⋅+++⋅+==14.仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得正品的概率。
解：0.9215.有两箱同类零件，第一箱有50个，其中10个一等品，第二箱有30个，其中18个一等品。
现任取一箱，从中任取零件两次，每次取一个，取后不放回。
求：（1）第二次取到的零件是一等品的概率；（2）在第一次取到一等品的条件下，第二次取到一等品的条件概率；（3）两次取到的都不是一等品的概率。
解：设 表示取到第一箱零件， ：表示第ｉ次取到一等品， 由全概率公式知：4856.0)6.02.0(5.0)(5.0)()()()()()()()()()()(23021825021011212112112=++=++==C C C C A P A B P A P A B P A P A B B P A P A B B P B P B B P B B P16.设有甲乙两袋，甲袋中有n 只白球、m 只红球；乙袋中有N 只白球、M 只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球.问从乙袋中取到白球的概率是多少？ 解：记 1A ：甲袋中取得白球；2A ：甲袋中取得红球；B ：从乙袋中取得白球； 由全概率公式12121122()[()]()(|)()(|)()1 11P B P A A B P A B A B P B A P A P B A P A N n N mM N m n M N m n===++=+++++++17.一箱产品，A ，B 两厂生产分别个占60％，40％，其次品率分别为1％，2％。
现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？ 解：取出产品是B 厂生产的可能性大。
18.由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率为0.95；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为0.95现对自然人群进行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为0.005，求：已知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率.A )2,1(=i B i 4.0)(5.0)()()()()()()()()(230112118230218250140110250210122112212=+++=+++=A C C C C A C C C C A B B P A P A B B P A P A B B P A P A B B P A P B P 3942.0)(5.0)()()()()(230212250240212121=+=+=C C C C A B B P A P A B B P A P B B P解 设A 表示“患有癌症”，A 表示“没有癌症”，B 表示“试验反应为阳性”，则由条件得P （A ）=0.005,P (A )=0.995， P (B ｜A )=0.95, P (B ｜A ）=0.95由此 P （B ｜A ）=1-0.95=0.05由贝叶斯公式得P （A ｜B ）=)()()()()()(A B P A P A B P A P A B P A P +=0.087.19.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?解 设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击.20.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为1/5， 1/3， 1/4，求将此密码破译出的概率.解 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯=21.设在N 件产品中有M 件次品，现进行n 次有放回的检查抽样，试求抽得k 件次品的概 率.解 由条件，这是有放回抽样，可知每次试验是在相同条件下重复进行，故本题符合n 重贝努里试验的条件，令A 表示“抽到一件次品”的事件.则P （A ）=p =M /N,以P n (k )表示n 次有放回抽样中，有k 次出现次品的概率，由贝努里概型计算公式，可知P n (k )=k n k n NMN M --)1()(C k, k =0,1,2,…，n .22.将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.解 掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-习 题 二1.从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分布律： （1）放回；（2）不放回. 解 （1）1{}(3/13)(10/13)k P X K -==（22.设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k akλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . 解 由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑故 ea λ-=3.某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛.校队的实力较系队为强，当一个校队运动员与一个系队运动员比赛时，校队运动员获胜的概率为0.6.现在校、系双方商量对抗赛的方式，提了三种方案： （1）双方各出3人；（2）双方各出5人；（3）双方各出7人.三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利.问：对系队来说，哪一种方案有利？解 设系队得胜人数为X ，则在上述三种方案中，系队胜利的概率为（1） P {X ≥2}=k kk k -=∑3323)6.0()4.0(C ≈0.352；(2) P {X ≥3}=k kk k -=∑5535)6.0()4.0(C ≈0.317；(3) P {X ≥4}=k kk k -=∑7747)6.0()4.0(C ≈0.290.因此第一种方案对系队最为有利.这在直觉上是容易理解的，因为参赛人数越少，系队侥幸获胜的可能性也就越大.4.一篮球运动员的投篮命准率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 解：随机变量X 所有可能的取值为:1,2,,,n ，分布律为：1()(10.45)0.451,2,,,k P X k k n -==-=,1{}{2}k X X k ∞===取偶数：一列互不相容的事件的和，所以21111{}[{2}]{2}0.550.4511/31k i i k P X P X k P X k ∞∞∞-=========∑∑取偶数.5.某十字路口有大量汽车通过，假设每辆汽车在这里发生交通事故的概率为0.001，如果每天有5000辆汽车通过这个十字路口，求发生交通事故的汽车数不少于2的概率.解 设X 表示发生交通事故的汽车数，则X ~b (n,p ),此处n =5000，p =0.001，令λ=np =5，P {X ≥2}=1-P {X ＜2}=1-{}∑==1k k X P=1-(0.999)5000-5(0.999)4999≈1!e 50!e 51550----. 查表可得P {X ≥2}=1-0.00674-0.03369=0.95957.6.设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于0.9。