初中-数学-华东师大版-23.3 相似三角形
华东师大版九年级数学上册《23章 图形的相似 23.3 相似三角形 相似三角形的性质》公开课教案_3
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学生通过前面的学习已了解了三角形相似的概念,掌握了相似三角形的判定,这为探究三角形相似的性质,做好了知识上的准备.另外,学生也具备了识别三角形全等的知识,通过类比,使学生能主动参与本节课的操作、探究。以前有全等三角形性质的基础,故本节课采用小组合作的学习方式进行教学,教师适当的引导。
三、教学目标
六、教学流程设计(可加行)
教学环节
(如:导入、讲授、复习、训练、实验、研
信息技术支持(资源、方法、手段等)
导入:1、前面学过的相似三角形的基本性质有哪些?
2、除了这些基本性质外,还有什么性质呢?
鼓励学生大胆回答并类比全等三角形的性质猜想相似三角形的性质
问题1由学生集体回答或个别回答。
三、相似三角形面积之比等于相似比的平方
观察PPT中的图形,先猜想相似三角形的面积比等于相似比的平方,而后对这个命题进行证明
探究一:分析证明思路,并由学生写出证明步骤证明
探究二:类比对应高线的证明,学生自己完成其余三个性质的证明
探究三:先小组观察讨论进行初步猜想,而后再让学生进行证明
一、学生思考,小组交流探究2~3分钟。然后与老师共同完成解答过程,得出结论。
(1)组织学生训练,对重点问题进行强化、点拨方法、总结规律,对于共性问题,做好补救
学生独立完成练习后,集体交流,师生共同检查订正。
数码展台展示学生的解题步骤
巩固拓展:如图,三角形ABC是一块锐角三角形木料,要把它加工成正方形零件,使正方形一边在BC上,其余两个顶点在AB、AC上,若BC=120mm,高AD=80mm,求这个正方形零件的边长
这个题要着重分析解题思路,尤其是辅助线的添加,教师重在点评学生的方法与技巧
学生先独立思考,再进行小组合作,再找同学上黑板分析解题思路
华师大版-数学-九年级上册-23.3.3 相似三角形的性质 教案
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23.3.3相似三角形的性质教学目标:知识和技能目标:1.理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方,并能用来解决简单的问题.2.探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方,体验化归思想. 过程和方法目标:经历探索相似三角形性质“相似三角形周长的比等于相似比”、“面积比等于相似比的平方”的过程.情感、态度、价值观:在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观,体验解决实际问题策略的多样性.教学重点:理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方. 教学难点:探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方.教学过程:新课引入:1.回顾相似三角形的概念及判定方法.2.复习相似多边形的定义及相似多边形对应边、对应角的性质.提出问题:一个三角形内有三条主要线段;高、中线、角平分线.如果两个三角形相似,那么这些对应的线段有什么关系呢?我们先探索一下它们的对应高之间的关系.同学画出上述的两个三角形,作对应边AB 和A ′B ′边上的高,用刻度尺量一量CD 与C ′D ′的长,CD C ′D ′等于多少呢?与它们的相似比相等吗?得出结论: 相似三角形对应高的比等于相似比.我们能否用说理的方法来说明这个结论呢?同学们用上面类似方法,得出:相似三角形对应中线的比等于相似比;相似三角形对应角平分线的比等于相似比.探究:1.如果两个三角形相似,它们的周长之间什么关系?两个相似多边形呢?(学生小组讨论)∆ABC ∽∆A1B1C1,相似比为k ⇒111111AB BC CA k A B B C C A ===⇒AB=kA1B1,BC=kB1C1,CA=kC1A1⇒111111111111111111AB BC CA kA B kB C kC A k A B B C C A A B B C C A ++++==++++ 进而得到结论:相似三角形周长的比等于相似比 2.如图1(1),∆ABC ∽∆A1B1C1,相似比为k1,它们的面积比是多少?AB CD(1) 【答案】如图(1),分别作出∆ABC 和∆A1B1C1的高AD 和A1D1.∠ADB=∠A1D1B1=900又∠B=∠B1⇒∆ABD ∽∆A1B1D1⇒11111AD AB k A D A B ==⇒111ABC A B C SS =1111111111111111221122BC AD K B C K A D B C A D B C A D ==k12进而得到结论:相似三角形面积比等于相似比的平方3.如图(2),四边形ABCD 相似于四边形A1B1C1D1,相似比为k2,它们的面积比是多少?A 1B C 11(2)【答案】111ABCA B C SS =111ACD A C D S S =k22⇒1111ABCD A B C D S S =四边形四边形111111ABC ACDA B C A C D ++S S S S =k22⇒相似多边形面积比等于相似比的平方A B D应用新知:例:如图,在∆ABC 和∆DEF 中,AB=2DE ,AC=2DF ,∠A=∠D ,∆ABC 的周长是24,面积是48,求∆DEF 的周长和面积.【答案】∆ABC 和∆DEF 中,AB=2DE ,AC=2DF ⇒12DE DF AB AC ==又∠A=∠D⇒∆ABC ∽∆DEF ,相似比为12⇒∆DEF 的周长=12⨯24=12,面积=1()22⨯48=12.课堂小结:说说你在本节课的收获.B DE F A C。
华师大版九年级数学上23.3.3《相似三角形的性质》优秀教学案例
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3.问题情境:设计具有启发性的问题,引导学生运用已有的知识去解决问题,培养学生解决问题的能力。
(二)问题导向
1.设计层次化的问题:从简单到复杂,从具体到抽象,引导学生逐步深入探究相似三角形的性质。
2.结合实例,讲解相似三角形的性质在实际问题中的应用,让学生体会数学的实用性。
3.运用几何画板等软件,动态展示相似三角形的性质,增强学生对知识的理解。
(三)学生小组讨论
1.布置具有探究性的问题,让学生分组讨论、交流。
2.引导学生运用相似三角形的性质解决问题,培养学生的合作能力和解决问题的能力。
3.教师巡回指导,解答学生在讨论过程中遇到的问题。
本节课的主要内容是学习相似三角形的性质,包括相似三角形的对应边成比例、对应角相等等。这些性质的学习,不仅需要学生掌握理论知识,更需要学生通过实践操作,去发现、去验证这些性质。因此,在教学过程中,我将以学生的主体性为出发点,注重学生的实践操作,引导学生通过自主学习、合作交流的方式,去探索相似三角形的性质,从而提高他们的数学素养和解决问题的能力。
六、教学反思
在课后,教师应认真反思本节课的教学效果,针对学生的掌握情况,调整教学策略,以提高教学质量和学生的数学素养。同时,关注学生的个体差异,给予每个学生更多的关心和指导,使他们在数学学习过程中获得成功。
三、教学策略
(一)情景创设
1.生活情境:结合实际生活中的例子,如建筑设计、地图绘制等,创设与相似三角形相关的情境,激发学生的学习兴趣。
四、教学评价
1.过程性评价:关注学生在学习过程中的表现,如思考问题、解决问题等,评价学生的学习态度和能力。
华东师大版九年级数学上册23.3.3相似三角形的性质 课件
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为
2
(2)已知△ABC∽△A'B'C',对应中线之比 .且BC边上的高是6,则B'C' 边上的高为 9 .
3
应用:求三角形的边长、高、角平分线、高.
2. 解答题
(1)如图,在△ABC中,DE∥BC,且AD= 1 AB. 若△ABC的周长是15,求△ADE的周长. 3
A
解:∵DE∥BC
∴△ABC∽△A′B′C′
解:∵ △ABC∽△A′B′C′
∴ ∠B=∠B′
B
又∵∠ADB=∠A′D′B′=90°
∴ △ABD∽△A′B′D′
A A'
C B' D
C' D'
∴ AD AB k A'D' A'B'
结论:相似三角形对应边上的高之比等于相似比.
如图,如果△ABC∽△A'B'C',相似比为k.
(1)那么它们对应边上的高之比等于相似比.
C'
CABC AB BC AD k(A' B ' B 'C ' A'C ') k CA'B'C' A ' B ' B 'C ' A ' D ' A' B ' B 'C ' A'C '
结论:相似三角形的周长之比等于相似比.
三、典型习题,运用性质
1. 填空题
(1)两个三角形相似,如果它们的相似比 是 3:5 ,那么对应边上的高之比是3:5 ,对应 角的平分线之比是 3:5 ,对应边上的中线之比 为 3:5 ,周长之比是3:5 ,面积之比是 9:25 .
华师大版九年级数学上 23.3.3《相似三角形的性质》教学设计
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23.3.3《相似三角形的性质》教学设计海口市三江中学文秋茹课标要求了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比;面积比等于相似比的平方.教学目标知识与技能:1.了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比;面积比等于相似比的平方;2.能够运用相似三角形的性质定理解决相关问题.过程与方法:通过操作、观察、猜想、类比等活动,进一步提高学生的思维能力和推理论证能力.情感、态度与价值观:通过对性质的发现和论证,提高学习热情,增强探究意识.教学重点相似三角形性质定理的理解与运用.教学难点探究相似三角形面积的性质,并运用相似三角形的性质定理解决问题.教学流程一、复习旧知:1、相似三角形有何特征?2、判定三角形相似的主要方法有那些?3、什么叫做相似多边形的相似比?二、情境引入有一块三角形的空地,现在为响应绿化工程的号召,开辟一块面积为120平方米的四边形ABCD的绿化地,经测量DE∥BC,BC=6米,CD=4米,你能求出去掉的三角形部分的面积吗?引出课题:要解决这个问题,我们必须在学习相似三角形的判定的基础上进一步研究相似三角形的性质三、探究归纳回顾:从相似三角形的定义出发,能够得到相似三角形的什么性质?相似三角形的对应角相等,对应边成比例.问题:相似三角形的其他几何量可能具有哪些性质?探究:如图1,△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少.图1图2问题1:如图2,△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比为k ,分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′.AD 和A ′D ′的比是多少?追问:对应高在哪两个三角形中,它们相似吗?如何证明? 解:∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∴∠B =∠B ′∵△ABD 和△A ′B ′D ′都是直角三角形 ∴△ABD ∽△A ′B ′D ′∴==''''AD ABk A D A B 问题2:它们的对应中线、角平分线的比是否也等于相似k ?结论:相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. 问题3:如果△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比为k ,对应线段的比呢? 推广:相似三角形对应线段的比等于相似比.问题4:如果△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比为k ,它们的周长有什么关系? 结论:相似三角形的周长比等于相似比. 思考:相似三角形面积比与相似比有什么关系?如图,△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比为k ,分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′.21212ABC A B C BC ADS BC ADk k k S B C A D B C A D ∆'''∆⋅==⋅=⋅=''''''''⋅结论:相似三角形面积比等于相似比的平方. 四、应用提高例:如图,在△ABC 和△DEF 中,AB =2DE ,AC =2DF ,∠A =∠D .若△ABC 的边 BC 上的高是6,面积为125,求△DEF 的边 EF 上的高和面积.解:在△ABC 和△DEF 中, ∵AB =2DE ,AC =2DF ,1.2DE DF AB AC ∴== ∵∠A =∠D ,∴△DEF ∽△ABC ,△DEF 与△ABC 的相似比为1.2∵△ABC 的边 BC 上的高是6,面积为125, ∴△DEF 的边 EF 上的高为163,2⨯= 面积为211253 5.2⨯=() 应用: 1.判断(1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍,这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍;( )(2)一个三角形的各边长扩大为原来的9倍,这个三角形的面积也扩大为原来的9倍.( )2.如图,△ABC 与△A ′B ′C ′相似,AD 、BE 是的△ABC 高,A ′D ′、B ′E ′是的△A ′B ′C ′高,求证.AD BEA DB E =''''3.在一张复印出来的纸上,一个三角形的一条边由原来的2cm变成了6cm,放缩比例是多少?这个三角形的面积发生了怎样的变化?五、体验收获说一说你的收获.相似三角形的性质:1.对应角相等,对应边成比例(对应边的比等于相似比)2.对应高线、对应中线、对应角平分线的比等于相似比3.对应周长比等于相似比4.对应面积比等于相似比的平方六、拓展提升1.两个相似三角形的周长之比是2:3,它们的面积之差是60cm2那么它们的面积之和是多少?2.如图,这是比例尺为1:1000的一块三角形草坪的图形,则草坪的实际面积是多少?3cm2cm3.如图,△ABC 的面积为100,周长为80,AB=20,点D 是AB 上一点,BD=12,过点D 作DE∥BC,交AC于点E.(1)求△ADE 的周长和面积;(2)过点E 作EF∥AB,EF 交BC 于点F,求△EFC 和四边形DBFE 的面积.七、课内检测1.用放大镜看一个三角形,一条边由原来的1cm变成5cm,那么看到的图案面积是原来的()A.5倍B.15倍C.25倍D.30倍2.两个等腰直角三角形的斜边比为1:2,则它们的周长比为()A.1:1 B.1:2 C.1:4 D.1:23.两个相似三角形最长边分别是20cm和16cm,它们的周长之和为90cm,则较大三角形的周长为()A.40cm B.50 cm C.60 cm D.70 cm4.两个相似三角的对应高分别为6cm和4cm,则这两个三角形的周长比为_____,面积比为_____.5.已知两个相似三角形面积之比为9:25,其中一个周长为36,则另一个的周长为_______.八、布置作业教材72页练习第1、2题.附:板书设计§ 27.2.2 相似三角形的性质一:相似三角形对应角相等,对应边成比例二:相似三角形的对应高线、对应中线、对应角平分线的比等于相似比三:相似三角形周长比等于相似比推广:相似三角形对应线段的比等于相例题板演区学生板演区。
最新华东师大版初中数学九年级上册精品课件23.3 相似三角形
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定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
已知:如图,在△ABC和△A/B/C/中, ∠A=∠A/,
AB A/ B /
AC A/C /
求证:△ABC∽△A/B/C/.
证明:在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A/B/,过
点D作BC的平行线,交AC于点E(如图),则∠B=∠ADE,
∠C=∠AED
BE C
相似三角形对应边上的中线比等于相似比
相似三角形对应高的比,对应中线的比、对应角平 分线的比都等于相似比.
填空: (1)若两个三角形的对应边的比为3:4,则这两个三角
形的对应角平分线的比为_____ ,对应边上的高的比为 ____,对应边上的中线的比为____
(2)若相似三角形对应角平分线的比为0.2:1,则相似 比为_________,对应中线的比等于______;
• 设法比较∠B 与∠B′的 大小,∠C与∠C′的大小.
• △ ABC与△A′B′C′相似 吗?说说你的理由.
• 改变k值的大小(如1∶3), 再试一试.
• 通过上面的活似的方法
• 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
A
A′
B′
B
C
C′
• 如图,在△ ABC与△A′B′C′中,如果
AB 8, AC 2 2; AB 4, AC 2;
AB AC 2. AB AC
A
B
C
A′
B′
C′
且∠A=∠A′=45°, ∴△ABC∽△A′B′C′ (两边对应成比例且夹角相等 的两个三角形相似.)
• 问题四:在Rt△ ABC与Rt△ A′B′C′中, ∠C= ∠C′=900,如果 有一直角边和斜边对应成比 例,那么它们一定相似吗?
23.3.3 相似三角形的性质 华东师大版数学九年级上册教案1
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相似三角形的性质【教学目标】会说出相似三角形的性质:对应角相等,对应边成比例,对应中线、角平分线、高的比等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。
【教学重难点】1.相似三角形中对应线段比值的推导;2.相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导;3.运用相似三角形的性质解决实际问题。
4.相似三角形性质的灵活运用,相似三角形周长比、面积比与相似比关系的推导及运用。
【教学过程】一、复习1.识别两个三角形相似的简便方法有哪些?2.在△ABC与△A′B′C′中,AB=l0cm,AC=6cm,BC=8cm,A′B′=5cm,A′C′=3cm,B′C′=4cm,这两个三角形相似吗?说明理由。
如果相似,它们的相似比是多少?二、新课讲解1.两个三角形是相似的,它们对应边的比就是相似比,△ABC∽△A′B′C′,相似比为ACA′C′=2。
2.相似的两个三角形,它们的对应角相等,对应边会成比例,除此之外,还会得出什么结果呢?3.一个三角形内有三条主要线段;高、中线、角平分线。
如果两个三角形相似,那么这些对应的线段有什么关系呢?我们先探索一下它们的对应高之间的关系。
4.同学画出上述的两个三角形,作对应边AB和A′B′边上的高,用刻度尺量一量CD与C′D′的长,CDC′D′等于多少呢?与它们的相似比相等吗?得出结论:5.相似三角形对应高的比等于相似比。
我们能否用说理的方法来说明这个结论呢?同学们用上面类似方法,得出:相似三角形对应中线的比等于相似比;相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
两个相似三角形的周长比会等于相似比吗?两个相似三角形的面积之间有什么关系呢?6.假设三角形(2)的各边长分别是(1)的2倍,(3)的各边长分别是(1)的3倍,所以它们都是相似的,填空:(2)与(1)的相似比为( ),(2)与(1)的面积比为( );(3)与(1)的相似比为( ),(3)与(1)的面积比为( );(3)与(2)的相似比为( ),(3)与(2)的面积比为( )。
华东师大版数学九年级上册23.3.3相似三角形的性质优秀教学案例
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3.培养学生运用几何画图和逻辑推理等方法,自主发现和证明相似三角形的性质,提高他们的探究能力。
4.通过对例题的讲解和练习,帮助学生巩固和应用相似三角形的性质,提高他们的实践能力。
(三)情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情,激发他们的学习动力。
4.教师对学生的学习过程和成果进行总结性评价,给予肯定和鼓励,提高他们的学习动力。
四、教学内容与过程
(一)导入新课
1.利用实际问题情境,引发学生对相似三角形性质的思考,激发他们的学习兴趣。
例如,展示一幅地图,询问学生如何计算两个城市之间的实际距离,引导学生思考相似三角形的性质在实际问题中的应用。
2.利用多媒体课件,展示相似三角形的实例,让学生直观地感受相似三角形的性质。
例如,让学生设计自己的相似三角形问题情境,并解决相应的问题。
五、案例亮点
1.实际问题情境的创设:通过展示地图和实际距离的问题,引发学生对相似三角形性质的思考,使学生认识到数学与现实生活的紧密联系,提高他们运用数学知识解决实际问题的意识。
2.设计具有挑战性的问题,激发学生的思维,培养他们解决问题的能力。
3.引导学生运用相似三角形的性质,解决实际问题,提高他们的应用能力。
4.通过问题引导,使学生深入理解相似三角形性质的内在联系和应用价值。
(三)小组合作
1.组织学生进行小组合作探究,培养他们的团队协作能力和沟通能力。
2.分配适当的任务,引导小组成员共同探讨相似三角形性质的问题。
2.通过几何画图软件,展示相似三角形的实例,让学生直观地感受相似三角形的性质。
3.创设问题情境,引导学生发现和提出相似三角形性质的问题,激发他们的探究欲望。
23.3.3 相似三角形的性质(5) 华东师大版数学九年级上册教案
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23.3.3相似三角形的性质一、学情分析本班学生已经建立了学习小组,经历了很多合作学习的过程,所以学生参与有关性质探究活动的热情应该比较高,但是基于本班学生平常学习的状况,部分学生的逻辑推理能力和灵活运用所学知识解决实际问题的能力还有待提高,期待在小组学习中,通过互助学习解决这部分同学的困惑。
二、教案1、教材分析本节教学内容是本章的重要内容之一。
本节内容是在完成对相似三角形的判定条件进行研究的基础上,进一步探索研究相似三角形的性质,从而达到对相似三角形的定义、判定和性质的全面研究。
从知识的前后联系来看,相似三角形可看作是全等三角形的拓展,相似三角形的性质研究也可看成是对全等三角形性质的进一步拓展研究。
另外相似三角形的性质还是研究相似多边形性质的基础,也是研究圆中线段关系的有效工具。
2、教学目标1.经历“直观感觉――尝试猜想――合情推理――知识应用”的活动过程,探索相似三角形的性质,并会用相似三角形的性质解决相应的数学问题。
2.通过运用相似三角形的性质解决简单问题,进一步发展合情推理能力和初步的逻辑推理能力。
3.在探究中,开发、培养学生的逻辑推理能力,进一步发展学生的探究意识。
3、重点难点重点:探索并掌握相似三角形的性质,并进行简单运用难点:探索相似三角形性质的过程。
4、授课类型:新授课5、学法指导运用观察猜想、合作探究、总结归纳等方法来解决问题6、教学课时:1课时7、教学过程(详案)个人智慧展示一、知识引入相似三角形有何性质?想一想:在三角形中,除了边,角,还有哪些量?思考: 如果两个三角形相似,那么以上这些量之间有什么关系呢?设计意图:本环节采用开门见山,以旧知识引入本节课的当分猜想:当两三角形相似时,相应高、中线、角平分线的比与相似比有什么关系?设计意图:引导学生对全等三角形的对应边和对应线段的比的分析,通过分析发现规律,并由此猜想相似三角形的相应,相似比满足吗?相似三角形面积的比等于相似比的平方设计意图:对相似三角形面积之比的证明既需要运用三角形面积公式,又需要运用相似三角形对应高之比与对应边之比等于相似比的结论,使新旧知识有机地结合在一起,增强了学,分别等于多少?设计意图:提升运用的给出,作为课后思考,鼓励学生整合所学习的知识,也体现了分层教学,照顾学有余力的同学。
华东师大版数学九年级上册 23.3.3 相似三角形的性质教案
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23.3.3相似三角形的性质教学目标:知识与技能说出相似三角形的性质:对应角相等,对应边成比例,对应中线、角平分线、高的比等于相似比,周长的比等于相似比,面积比等于相似比的平方。
数学思考与问题解决培养由特殊到一般的思维方法,培养逻辑思维能力和应用能力。
情感态度经历探索相似三角形性质的过程,并在探索研究过程中发展积极的情感、态度、价值观,体验解决问题策略的多样性。
重点:相似三角形性质的应用。
难点:相似三角形的判定和性质的综合应用。
教学过程:一、复习引入1.三角形中的主要线段有哪些?2.全等三角形有哪些性质?类比全等三角形你能说说相似三角形的性质吗?二、自主探索1.根据相似三角形的定义我们可以知道哪些性质?对应角相等,对应边成比例。
2.相似三角形还有哪些性质呢?3.我们把相似三角形对应边的比值称为相似比4.猜想相似三角形对应高的比是否等于相似比性质定理1:相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.教师启发学生自己写出“已知、求证”,然后教师分析证题思路,这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时,是根据相似三角形的性质得到的,这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚,而证明过程可由学生自己完成.分析示意图:结论→∽(欠缺条件)→∽(已知)后两个定理的证明可以由学生独立完成。
5.相似三角形周长的比等于多少?(教师指导学生进行猜想、证明,让学生用类比的方法进行研究,培养推理能力。
)6.相似三角形面积的比等于多少?(指导学生猜想结论并加以证明)7.知识运用例:小王有一块三角形余料ABC,它的边BC=60cm,高线AD=40cm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上。
(1)△ASR与△ABC相似吗?为什么?(2)求正方形SPQR的面积。
三、巩固练习.如果两个三角形相似,相似比为3∶5,那么对应角的角平分线的比等于多少?2.相似三角形对应边的比为2:5,那么相似比为______,对应角的角平分线的比为______,周长的比为______,面积的比为______.3、若两个三角形面积之比为16:9,则它们的对高之比为_____,对应中线之比为_____四.小结这节课你有什么收获?五.布置作业课本习题23的6、7、8板书设计23.3.3相似三角形的性质1.相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。
23.3.3 相似三角形的性质(1) 华东师大版数学九年级上册教案
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课题:相似三角形的性质(一)一、教学目标1、理解相似三角形的有关性质:对应角相等,对应边成比例,对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比,周长比也等于相似比。
2、会灵活运用相似三角形的性质解决有关问题。
二、教学重、难点重点:掌握相似三角形的相关性质,了解相关性质的证明方法难点:掌握命题证明方法、步骤,灵活运用性质解决问题。
三、教学方法类比、归纳教学环节教师活动学生活动设计意图提出问题引入课题(1~2分钟)提出问题:1、全等三角形和相似三角形的关系是什么?全等三角形的对应边上的高、角平分线、中线有什么关系?2、前面学过的相似三角形的基本性质有哪些?3、相似三角形的判定有哪些?4、除了这些基本性质外,还有什么性质呢?问题1由学生集体回答或个别回答。
问题4以设问方式提出设问置疑,引出课题新授一探究相似三角形对应高之比等于相似比(6~8分钟)【问题1】图24.3.9中,△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形,相似比为k,其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高,那么AD、A′D′之间有什么关系?解:∵△ABC∽△A′B′C′∴∠B=∠B′又∵AD、A′D′是高,∴∠ADB=∠A′D′B′= 900∴△ADB∽△A′D′B′∴【结论】相似三角形对应高的比等于相似比.学生思考,小组交流探究2~3分钟。
然后与老师共同完成解答过程,得出结论。
安排学生先自行思考与交流,培养学生分析概括数学材料的能力与数学语言表达能力。
证明的过程通过老师书写出来,培养学生规范书写证明过程的习惯。
思考探索归纳其它性质(3~5分钟)自主思考---类似结论【问题2】,.△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,其中AE、A′E′分别为BC、B′C′边上的中线,那么?结论:相似三角形对应中线的比等于相似比.△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,其中AE、A′E′分别为BC、B′C′边上的角平分线,那么?结论:相似三角形对应角的角平分线的比等于相似比.【思考】1、相似三角形的对应角平分线之比等于什么?2、相似三角形的对应中线之比等于什么?3、相似三角形的周长之比等于什么?(说明:详细证明过程留待学生课后通过作业形式完成)思考题学生口头回答、听教师简单分析,或个别提问学生。
华东师大版数学九年级上册23.3.3相似三角形的性质教学设计
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(5)小组合作:组织学生进行小组合作,共同解决实际问题,培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
(6)总结提升:对本节课所学内容进行总结,强调相似三角形性质的重要性,激发学生学习兴趣。
3.教学评价:
(1)课堂问答:通过提问,了解学生对相似三角形性质的理解程度,及时发现问题并进行针对性指导。
1.导入新课:通过复习相似三角形的判定方法,引出相似三角形的性质,激发学生的好奇心。
2.自主探究:让学生观察、分析、归纳相似三角形的性质,引导学生发现并理解相似三角形的性质。
3.例题讲解:结合实际例题,讲解相似三角形性质的应用,帮助学生掌握解题方法。
4.小组合作:组织学生进行小组合作,共同解决实际问题,培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
1.培养学生对几何学的兴趣,激发学生学习数学的热情,使其树立正确的数学观念。
2.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度,使其在解决问题的过程中,体验到数学的乐趣和成就感。
3.通过相似三角形性质的学习,使学生认识到几何图形之间的内在联系,培养学生的审美观念和审美情趣。
在教学过程中,教师应注重引导学生主动参与,发挥学生的主体作用,使学生在探索、发现、应用相似三角形性质的过程中,不断提高自己的数学素养。以下是根据上述教学目标制定的教学设计:
3.对学生练习情况进行评价,及时反馈,纠正错误。
(五)总结归纳,500字
1.对本节课所学内容进行总结,强调相似三角形的性质及其应用。
2.引导学生回顾学习过程,总结学习相似三角形性质的方法和技巧。
3.提醒学生关注相似三角形在实际生活中的应用,激发学生学习兴趣。
4.鼓励学生在课后继续探索相似三角形的性质,为今后的数学学习打下坚实基础。
华师大版九年级数学上第23章图形的相似23.3.2(第二节)相似三角形的判定公开课优秀教学案例
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2.利用多媒体技术和实物模型,为学生提供丰富的直观资源,提高学生的直观表达能力。
3.组织小组合作学习,培养学生的问题解决能力和团队合作精神。
4.注重过程性评价与终结性评价相结合,全面评价学生的学习过程和结果。
五、教学过程
1.导入:通过复习相似图形的概念,引导学生自然过渡到相似三角形的学习。
2.新课导入:介绍相似三角形的定义和性质,引导学生理解和掌握。
2.设计具有层次性的问题,引导学生自主探究相似三角形的判定方法。
3.组织小组合作学习,培养学生的问题解决能力和团队合作精神。
4.利用多媒体技术,展示相似三角形的动态变化过程,提高学生的直观表达能力。
5.在教学过程中,关注学生的个体差异,给予不同的学生不同的指导和鼓励。
6.引导学生对自己的学习过程进行反思,发现自己的优点和不足,及时调整学习策略。
3.通过本节课的学习,使学生认识到数学在生活中的重要性,培养学生的数学素养。
三、教学重点与难点
1.教学重点:相似三角形的定义和性质,相似三角形的判定方法。
2.教学难点:相似三角形的判定方法的灵活运用,相似三角形在实际问题中的解决。
四、教学策略
1.采用问题驱动的教学模式,引导学生自主探究相似三角形的判定方法。
3.判定方法探索:设计一系列具有层次性的问题,引导学生自主探究相似三角形的判定方法。
4.实例讲解与应用:运用多媒体技术和实物模型,讲解相似三角形的判定过程,并引导学生运用所学知识解决实际问题。
华东师大版数学九年级上册23.3.2相似三角形的判定优秀教学案例
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2.学生在解决实际问题的过程中,体验到数学的乐趣,增强他们的自信心,培养他们克服困难的意志。
3.学生能够认识到数学与生活密切相关,增强他们的数学应用意识,提高他们的数学素养。
4.学生能够尊重事实,遵循逻辑规律,培养他们严谨的学习态度和良好的学习习惯。
三、教学策略
(一)情景创设
1.生活情境:通过展示实际生活中的图片,如建筑物的平面图、电路图等,引导学生发现相似三角形的应用,激发学生的学习兴趣,让学生认识到数学与生活的紧密联系。
2.问题情境:设计具有挑战性和探究性的问题,如“判断两个三角形是否相似?”、“为什么相似三角形的对应边成比例?”等,激发学生的好奇心,引发学生的思考。
(二)过程与方法
1.学生通过自主学习、合作交流、探讨研究等方法,掌握相似三角形的判定方法和性质。
2.学生通过观察、分析、归纳等思维活动,发现相似三角形的判定规律,培养他们的逻辑思维能力和解决问题能力。
3.学生能够在解决实际问题的过程中,运用相似三角形的知识,提高他们的实践操作能力。
(三)情感态度与价值观
3.鼓励学生提出问题,培养他们的批判性思维和创新能力。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(三)小组合作
1.组织学生进行小组讨论,鼓励他们分享自己的观点和思考,培养学生的沟通能力和团队协作能力。
2.设计具有挑战性和探究性的小组活动,如探究相似三角形的判定方法、相似三角形的性质等,让学生在合作中思考,在思考中合作。
3.教师在小组合作过程中给予及时的指导和反馈,帮助学生建立正确的数学观念,提高他们的数学素养。
3.知识情境:通过回顾全等三角形的知识,引导学生发现全等三角形与相似三角形的联系和区别,为学习相似三角形奠定基础。
九年级数学上册-23.3.3-相似三角形的性质课件华东师大版
![九年级数学上册-23.3.3-相似三角形的性质课件华东师大版](https://img.taocdn.com/s3/m/70b6438469eae009591bec7b.png)
所以∠B=∠B′( 相似三角形的对应角相等)
又 A D A D B 9 .0 所以 ABD∽ABD.
( 两角对应相等,两三角形相似图1)8.3.9
图18.3.9
问题 1:如图 ,ABC∽ ABC,相似比k为 ,
其中AD、AD分别为 BC、BC边上的, 高 由ABD∽ ABD能否得A到D等于什?么
复习回顾
(1)什么叫相似三角形? 对应角相等、对应边成比例的三角形, 叫做相似三角形.
(2)如何判定两个三角形相似?
①平行得相似; ②两个角对应相等; ③两边对应成比例, 夹角相等; ④三边对应成比例.
(3)相似三角形有何性质? A´
A
B
C
B/
C/
①相似三角形的对应角___________ ②相似三角形的对应边___________
AD
因为 ABD∽ ABD,
所以 AD AB (相似三角形的对应边成比例)
AD 相似比. 图18.3.9
图18.3
问题2: 如图,ABC∽ ABC,相似比k为,
其中AD、AD分别为 BC、BC边上的中, 线
则 AD_k__._ A
AD
A'
B
D
B' C
D' C'
课堂小结
通过本节课的学习,对本章的知识 你有哪些新的认识和体会?
课后作业
1.从教材习题中选取, 2.完成练习册本课时的习题.
伟大的成绩和辛勤劳动是成正比例的,有 一分劳动就有一分收获,日积月累,从少到 多,奇迹就可以创造出来。——鲁迅
当堂训练
1.已知△ABC∽△DEF,BG、EH分别是△ABC和 △DEF的 角平分线,BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长。
23.3 第2课时 相似三角形的判定(数学华师大版九年级上册)
![23.3 第2课时 相似三角形的判定(数学华师大版九年级上册)](https://img.taocdn.com/s3/m/2fa2562000f69e3143323968011ca300a6c3f6a6.png)
A
D
O EG
B
F
C
感谢观看
AD
FC
AB BC
DE=FC
DE//BC,DF//AC
四边形DFCE是□
平行于三角形一边的直线,和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。
已知DE∥BC,并分别交AB、AC延长线于点D、E. 试问:△ADE和△ABC相似吗?
A
D
E
D
E
A
F
G
B
C
B
C
平行于三角形一边的直线,和其他两边的延 长线相交所构成的三角形与原三角形相似。
A
ED
A
D
O
B
C
O
B
C
E
A
F
D
O
B
C
1.如图,AB//CD//EF,请你找出图中的相似三角形。
F
经
B
典
D
习
AC
E
题
例 2 在△ABC中,点D是AB的三等分点,DE∥BC,DE=5.
(1)求BC的长;
(2)连结DC、BE交于点O,求OE:OB的值。
A
A
D
E
D
E
O
F
G
B
C
B
C
拓展:如图,D、F是AB的三等分点,DE//FG//BC.
平行于三角形一边的直线,和其他两边(或两边的 延长线)相交所构成的三角形和原三角形相似。
A DE
DE
∵ DE//BC
A
∴ △ADE∽△ABC
B “A”型C
B “X”型C
这是我们以后经常研究的两种基本图形。
23.3 相似三角形 华东师大版数学九年级上册教案
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23.3 相似三角形1.相似三角形※教学目标※【知识与技能】能够熟练地找出相似三角形的对应角和对应边.【过程与方法】能够运用三角形相似的条件解决简单的问题,进一步培养合情推理能力和初步的逻辑推理意识.【情感态度】在探索活动中,增强发现问题、解决问题的意识和养成合作交流的习惯.【教学重点】相似三角形的概念.【教学难点】相似三角形概念的应用.※教学过程※一、复习引入什么是相似图形?识别两个多边形是否相似的标准是什么?二、探索新知1.相似三角形的有关概念(1)相似三角形的定义:如果在△ABC与△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,那么△ABC与△A′B′C′相似,记作△ABC∽△A′B′C′.“∽”是表示相似的符号,读作“相似于”.如△ABC∽△A′B′C′读作△ABC相似于△ABC.(2)相似比.如果记=k,那么这个比值k就表示这两个相似三角形的相似比.相似比就是它们的对应边的比,它有顺序关系.如△ABC∽△A′B′C′,它们的相似比为k,即指=k,那么△ABC与△A′B′C′的相似比应是,就不是k了,应为.(3)当相似比k=1时,两个相似三角形是全等三角形.2.相似三角形与全等三角形的关系全等三角形是相似三角形的特例;但相似三角形不一定是全等三角形,只有当相似比k=1时,两个相似三角形才是全等三角形.3.探索一:如图,在△ABC中,D为边AB上的任一点,作DE∥BC,交边AC于点E,求证:△ADE∽△ABC.证明:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,(平行线分线段成比例).过点D作AC的平行线交BC于点F,(平行线分线段成比例),∵DE∥BC,DF∥AC,∴四边形DFCE是平行四边形,∴DE=FC.又∵∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC(相似三角形的定义).探索二:如图,DE∥BC,△AED与△ABC还相似吗?(教师引导,学生自主完成证明).结论:平行于三角形一边的直线,和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.【例】如图,在△ABC中,点D是边AB的三等分点,DE∥BC,DE=5,求BC的长.分析:先判断△ADE∽△ABC,再由D是AB边的三等分点得到相似比为,进而求BC的长.解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC(平行于三角形一边的直线,和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似),∴BC=3DE=15.三、巩固练习1.如图,正方形ABCD的边长为1,点O为对角线的交点,试指出图中的相似三角形.第1题图第3题图2.如果一个三角形的三边长分别是5、12和13,与其相似的三角形的最长边长是39,那么较大三角形的周长是多少?较小三角形与较大三角形周长的比是多少?3.如图,在△ABC中,点D是边AB的四等分点,DE∥AC,DF∥BC,AC=8,BC=12.求四边形DECF的周长.答案:1.△OAB∽△OBC∽△OCD∽△ODA∽△BAC∽△DAC∽△ABD∽△CBD.2.较大三角形的周长是90,较小三角形与较大三角形周长的比是.3.∵点D是边AB的四等分点,∵DF∥BC,∴△ADF∽△ABC.∴DF=3,CF=6.又∵DE∥AC,∴四边形DECF是平行四边形.∴四边形DECF的周长是18.四、归纳小结1.书写相似三角形时,通常把对应顶点写在对应位置上,以便比较容易地找到相似三角形中的对应角、对应边.2.相似比有顺序性.3.相似三角形中,对应角所对的边是对应边,对应边所对的角是对应角.4.最大(小)的边(角)与最大(小)的边(角)是对应边(角).※课后作业※教材第75页习题23.3第1、2题.2.相似三角形的判定第1课时利用两角对应相等判定※教学目标※【知识与技能】1.会说出识别两个三角形相似的方法:两角分别相等的两个三角形相似.2.能依据条件,正确判断两个三角形相似.【过程与方法】能够运用三角形相似的条件解决简单的问题,进一步培养学生的推理能力和初步的逻辑推理意识.【情感态度】经历两个三角形相似条件的探索过程,进一步提高探究、交流能力,养成动手、动脑、手脑和谐一致的习惯.【教学重点】用相似的判定定理判定两个三角形相似.【教学难点】综合应用相似三角形的判定定理解决有关相似的问题.※教学过程※一、复习引入复习全等三角形的判定方法:将边和角分类考察了几种不同情况,如:两边一角,两角一边,三角,三边.从而得到了一些重要的判定三角形全等的方法.那么,对于相似三角形的判定,是否也存在类似的分类与判定方法呢?二、探索新知观察猜想:观察老师和同学们所用的三角尺,从直观上看,一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等,它们好像就会“相似”.探索:①画两个三角形,使它们的三个角分别相等.实际画图中,只画两个角相等,则第三个角一定会相等,这是根据三角形内角和为180°所确定的.②用刻度尺量一量各边长,它们的对应边是否会成比例?③结论:如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等,那么这两个三角形相似.上述结论,你能不能使条件再简单些?相似三角形的判定定理1:两角分别相等的两个三角形相似.【例1】如图,在Rt△ABC和Rt△ABC中,∠C与∠C′都是直角,∠A=∠A′.求证:△ABC∽△A′B′C′.证明:∵∠C=∠C′=90°,∠A=∠A′,∴△ABC∽△A′B′C′(两角分别相等的两个三角形相似).此例告诉我们,两个直角三角形,若有一对锐角对应相等,则它们一定相似.【例2】如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB.求证:△ADE∽△EFC.证明:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.又∵EF∥AB,∴∠EFC=∠B,∴∠ADE=∠EFC,∴△ADE∽△EFC(两角分别相等的两个三角形相似).三、巩固练习1.如图,DG∥EH∥FI∥BC,找出图中所有的相似三角形.第1题图第2题图2.找出图中所有的相似三角形,并说明理由.答案:1.△ABC∽△AFI∽△AEH∽△ADG.2.△ABC∽△ACD∽△CBD.理由如下:∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠CDB=90°.3.又∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠ADC=∠CDB.又∵∠A=∠A,∠B=∠B,4.∴△ABC∽△ACD,△ABC∽△CBD.∴△ABC∽△ACD∽△CBD.四、应用拓展教材第66页“想一想”.在【例2】中,如果点D恰好是边AB的中点,则点E也是边AC的中点.此时,DE为△ABC的中位线,所以DE=.同理可得F也是边BC的中点.所以FC=易证△ADE≌△EFC.五、归纳小结全等三角形是相似比为1的相似三角形,但相似三角形不一定全等,二者的区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例.※课后作业※教材第75页习题23.3的第3、5题.第2课时利用两边成比例且夹角相等或三边成比例判定※教学目标※【知识与技能】1.会说出识别两个三角形相似的方法:两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;三条边对应成比例的两个三角形相似.2.能依据条件,灵活运用三种识别方法,正确判断两个三角形相似.【过程与方法】能够运用三角形相似的条件解决简单问题,进一步培养学生的推理能力和初步的逻辑推理意识.【情感态度】经历两个三角形相似条件的探索过程,进一步提高探究、交流能力,养成动手、动脑、手脑和谐一致的习惯.【教学重点】用相似的判定定理判定两个三角形相似.【教学难点】综合应用相似三角形的判定定理解决有关相似的问题.※教学过程※一、复习引入如图,AF∥CD,∠1=∠2,∠B=∠D.你能找出图中有几对相似三角形?相似的理由是什么?答:共有4对相似三角形,它们是△AEF∽△DEC,△AFB∽△ACD,△AEB∽△CED,△AEF∽△BEA.相似的理由一种是定义,一种是判定定理1.那么,除此之外,是否还有其他的办法来判定两个三角形相似呢?二、探索新知1.两边成比例,且夹角相等的两个三角形相似.(1)探索:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形一定相似吗?(2)做一做:利用刻度尺和量角器画两个三角形△ABC和△A′B′C′,使∠A=∠A′,都等于给定的值k.比较∠B与∠B′(或∠C与∠C′)的大小,你能得出什么结论?(3)如果改变k值的大小,再试一试△ABC与△A′B′C′还相似吗?(4)结论:相似三角形的判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2.三条边对应成比例的两个三角形相似.(1)探索:如果两个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似吗?(2)做一做:完成教材第69页“做一做”.(3)如果改变k值的大小,再试一试两个三角形还相似吗?(4)结论:相似三角形的判定定理3:三边成比例的两个三角形相似.【例1】证明图中的△AEB和△FEC相似.证明:(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).【例2】在△ABC和△A′B′C′中,AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,A′B′=18cm,B′C′=24cm,A′C′=30cm.试证明△ABC与△A′B′C′相似.证明:∴△ABC∽△A′B′C′(三边成比例的两个三角形相似).三、巩固练习依据下列各组条件,说明△ABC和△A′B′C′是否相似:(1)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,A′B′=16cm,B′C′=12.8cm,A′C′=25.6cm;(2)∠A=80°,∠C=60°,∠A′=80°,∠B′=40°;(3)∠A=40°,AB=8,AC=15,∠A′=40°,A′B′=16,A′C′=30.答案:(1)相似(2)相似(3)相似四、应用拓展【例3】如图,在△ABC中,点D、E分别在AC、BC边上,且=AD·AC,DE∥AB,试说明△BCD∽△BDE.证明:∵=AD·AC,又∵∠A=∠A,∴△ABC∽△ADB(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).∴∠C=∠ABD(相似三角形的对应角相等).又∵DE∥AB,∴∠ABD=∠BDE.∴∠C=∠BDE.又∵∠DBC=∠EBD.∴△BCD∽△BDE(两角分别相等的两个三角形相似).五、归纳小结相似三角形4种判定方法的综合应用.(1)先看题目是否有平行条件,如果有平行,就去找“A”型或“X”型相似.(2)找是否有两角对应相等.(3)若没有一组角对应相等,就看三边是否对应成比例.(4)识别和掌握常见的基本图形是寻找和发现相似的有效途径.※课后作业※教材第75页习题23.3的第4题.3.相似三角形的性质※教学目标※【知识与技能】说出相似三角形的性质:对应角相等,对应边成比例,对应中线、角平分线、高的比等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.【过程与方法】培养由特殊到一般的思维方法,培养逻辑思维能力和应用能力.【情感态度】经历探索相似三角形性质的过程,并在探索研究过程中发展积极的情感、态度、价值观,体验解决问题策略的多样性.【教学重点】相似三角形性质的应用.【教学难点】相似三角形的判定和性质的综合应用.※教学过程※一、复习引入1.相似三角形的判定方法有哪些?2.相似三角形有哪些性质?3.三角形中的主要线段有哪些?二、探索新知如图,△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形,相似比为k,其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高,那么AD、A′D′之间有什么关系?1.相似三角形对应高的比等于相似比.证明:∵AD⊥BC,A′D′⊥B′C′,∴∠ADB=∠A′D′B′.又∵∠B=∠B′,∴△ABD∽△A′B′D′.=k.2.若将上图中的高改为中线、角平分线,那么它们对应中线的比,对应角平分线的比等于多少?(学生用类比法进行研究,独立完成证明)结论:相似三角形对应角的平分线之比等于相似比.相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.3.相似三角形的周长比等于相似比.已知:△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,即求证:证明:=k4.如图中(1)、(2)、(3)分别是边长是1、2、3的等边三角形,所以它们都是相似的,填空:(2)与(1)的相似比为,(2)与(1)的面积比为;(3)与(1)的相似比为,(3)与(1)的面积比为;(3)与(2)的相似比为,(3)与(2)的面积比为.从上面可以看出当相似比为k时,面积比为.数学上可以说明,对于一般的相似三角形也具有这种关系.由此可以得出结论:相似三角形的面积比等于相似比的平方.三、巩固练习1.相似三角形对应边的比为0.4,那么相似比为,对应边上的中线的比为,周长的比为,面积的比为.2.如果两个三角形相似,相似比为3:5,那么对应角的平分线的比等于多少?3.若两个相似三角形的最大边长分别为35cm和14cm,它们的周长差为60cm,则较大三角形的周长是多少?4.在△ABC中,已知点D在AB上,点E在AC上,且DE∥BC,AB=30m,BD=18m,△ABC的周长为80m,面积为100m,求△ADE的周长和面积.答案:1.0.4 0.4 0.4 0.16 2.3:53.设较大三角形的周长是x cm,则较小三角形的周长是(x-60)cm.根据题意,得.解得x=100.∴较大三角形的周长是100cm.∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∵AB=30m,BD=18m,∴AD=12m.∴△ADE的周长=32m,△ADE的面积=16m.四、归纳小结利用相似三角形的性质解题时,应特别注意“对应”,切忌混淆对应边的比与相似比中的前、后项的位置.※课后作业※1.教材第72页练习第3题.2.如图,PN∥BC,AD⊥BC交PN于点E,交BC于点D.(1)若(2)若的值.4.相似三角形的应用※教学目标※【知识与技能】掌握利用三角形相似测量物体的高度或宽度的方法.【过程与方法】通过具体的实践活动体会相似三角形的应用.【情感态度】1.通过著名科学家的名句和如何测量神秘金字塔的高度来激发学生学数学的兴趣,使全体学生积极参与探索,体验成功的喜悦.2.力求培养学生科学、正确的数学观,体现探索精神.【教学重点】构建相似三角形解决实际问题.【教学难点】利用相似三角形解决实际问题.※教学过程※一、情境导入给我一个支点我可以撬起整个地球.——阿基米德二、探索新知1.数学建模(1)如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高多少米?(2)小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落点恰好在离网6米的位置上,则球拍击球的高度h为多少米?思考:利用三角形的相似,如何解决一些不能直接测量的物体长度的问题?概括:解决此类实际问题时,可构建相似三角形的模型,再利用对应边成比例建立等式,已知三个量去求第四个量.主要构建的两个基本图形是“X”型和“A”型.2.利用相似三角形测量物体的高度或宽度【例1】古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法:如图,为了测量金字塔的高度OB,先竖一根已知长度的木棒O′B′,比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB,即可近似算出金字塔的高度OB.如果O′B′=1米,A′B′=2米,AB=274米,求金字塔的高度OB.解:∵太阳光是平行光线,∴∠OAB=∠O′A′B′.∵∠ABO=∠A′B′O′=90°,∴△OAB∽△O′A′B′(两角分别相等的两个三角形相似),【例2】如图,为了估算河的宽度,我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选定点B和C,使AB⊥BC,然后,再选定点E,使EC⊥BC,用视线确定BC和AE 的交点D.此时如果测得BD=118米,DC=61米,EC=50米,求河的宽度AB.(精确到0.1米)解:∵∠ADB=∠EDC,∠ABD=∠ECD=90°,∴△ABD∽△ECD(两角分别相等的两个三角形相似),解得AB=≈96.7(米)答:河的宽度AB约为96.7米.3.利用相似三角形证明几条线段之间的乘积关系【例3】如图,已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点,且∠ADE=∠C.求证:AD·AB=AE·AC.证明:∵∠ADE=∠C,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB(两角分别相等的两个三角形相似),∴AD·AB=AE·AC.三、巩固练习1.在同一时刻,物体的高度与它在阳光下的影长成正比.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么这幢高楼的高度是多少米?2.如图,在△ABC中,DE∥BC,BC=6,梯形DBCE的面积是△ADE面积的3倍.求DE的长.3.如图,停车场的栏杆的短臂长为1.25m,长臂长为16.5m,当短臂端点下降0.85m时,长臂端点升高多少?(栏杆的宽度忽略不计)答案:1.设高楼的高度为x米,则解得x=36.故这幢高楼的高度是36米.2.∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.又∵梯形DBCE的面积是△ADE面积的3倍,∵BC=6,∴DE=3.3.设长臂端点升高x m,则解得x=11.22.故长臂端点升高11.22m.四、归纳小结1.本节课重点是把实际问题转化为数学问题,即构建出相似三角形的模型,再利用相似三角形的性质来解决实际问题.2.让学生在解决实际问题的过程中学会建立数学模型,通过建模培养学生的归纳能力.※课后作业※教材第75页习题23.3第6、7题.教材第95页复习题B组第17题.。
华师大版九年级数学上23.3.3《相似三角形的性质》教学设计
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(二)讲授新知
1.性质一:相似三角形的对应角相等,对应边成比例。
-通过几何画板动态展示相似三角形的性质一,让学生直观感知。
-设想一:设计具有启发性的问题,如“相似三角形的对应角有什么关系?”“对应边长是否成比例?”等,引导学生进行探究。
-设想二:组织学生分组讨论,鼓励他们提出自己的猜想,并运用已有知识进行验证。
3.创设互动式课堂,让学生在合作交流中掌握知识,提高解决问题的能力。
-设想一:开展小组合作学习,让学生在讨论、分享中加深对相似三角形性质的理解。
-提高题:结合其他知识点,综合运用相似三角形的性质解决问题。
2.学生独立完成练习题,教师巡回指导,解答学生的疑问。
(五)总结归纳
1.让学生回顾本节课所学的内容,总结相似三角形的性质。
-性质一:相似三角形的对应角相等,对应边成比例。
-性质二:相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。
2.教师点评,强调重点,解答学生的疑问。
2.实践应用题:设计一道实际生活中的相似三角形问题,要求学生运用所学性质进行分析和解答。
-例如,测量学校旗杆的高度,通过测量旗杆影子的长度和角度,利用相似三角形的性质求解。
-学生需要将问题解决过程详细记录,包括思路分析、步骤实施和结果验证。
3.拓展思考题:提供一道综合性的相似三角形问题,鼓励学有余力的学生挑战。
华师大版九年级数学上23.3.3《相似三角形的性质》教学设计
一、教学目标
(一)知识与技能
1.让学生掌握相似三角形的基本性质,理解并运用这些性质解决实际问题。
23-3-3相似三角形的性质(课件)-华东师大版数学九年级上学期
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3.(营口中考)如图,在△ABC 中,DE∥BC,AD =2 ,则 S△ADE 的
AB 3
S 四边形 DBCE
值是( A
)
A.4 5
B.1 C.2 3
D.4 9
第3题图
第2题图 12
练习2
4.如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,
△ABC的周长是24,面积是48,求△DEF的周长和面积.
原四边形S1 边扩大9倍四边形S2
=
1 9
2
边长扩大9倍四边形=81倍原四边形的的面积
14
当堂练习
1.如图,在平行四边形ABCD中,点E是边BC上一点,且BE=EC,BD,AE相交于点F (1)求△BEF与△DAF的周长之比 (2)若S△BEF =6cm2,求S△DAF
15
当堂练习
2.如图,PN∥BC,AD⊥BC交PN于点E,交BC于点D.
(1)若AP:PB=1:2,S△ABC 18, 求S△APN
(2)若S△APN
: S四边形PBCN
1: 2, 求
AE 的值 AD
16
当堂练习
3.如图,Rt△ABC∽Rt△DFE,CM,EN分别是斜边AB,DF上的中线,已知AC=9cm, CB=12cm,DE=3cm,求CM 和EN的长
17
当堂练习
13
当堂练习
1.判断 (1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍,这个三角形的周长也 扩大为原来的5倍; 一个三角形各边扩大为原来5倍,相似比为1:5
原周长 =1 扩大5倍周长 5
扩大5倍周长=5×原周长
(2)一个四边形的各边长扩大为原来的9倍,这个四边形的面积也扩大
为原来的9倍. 一个三角形各边扩大为原来9倍,相似比为1:9
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23.3 相似三角形一、选择题1、已知两个直角三角形的三边长分别为3,4,m和6,8,n,且这两个直角三角形不相似,则m+n的值为()A. B. 15 C. D.2、如图,在▱ABCD中,AB=10,AD=15,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE于点G,若BG=8,则△CEF的周长为()A. 16B. 17C. 24D. 253、如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,点E、F在AD边上,BF和CE交于点G,若EF=12AD,则图中阴影部分的面积为()A. 25B. 30C. 35D. 404、如图,在△ABC中,EF∥BC,23AEEB,四边形BCFE的面积为21,则△ABC的面积是()A. 913B. 25C. 35D. 635、如图所示,某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度,已知标杆BE高1.5m,测得AB=1.2m,BC=12.8m,则建筑物CD的高是()A. 17.5mB. 17mC. 16.5mD. 18m6、如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点E在AC边上,过点E作EF∥BC,交AD于点F,过点E作EG∥AB,交BC于点G,则下列式子一定正确的是()A. AE EFEC CD= B.EF EGCD AB= C.AF BGFD GC= D.CG AFBC AD=7、已知△FHB∽△EAD,它们的周长分别为30和15,且FH=6,则EA的长为()A. 3B. 2C. 4D. 58、如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE:EC=3:1,连接AE交BD 于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为()A. 3:4B. 9:16C. 9:1D. 3:19、如图,点E是▱ABCD的边AD上的一点,且12DEAE=,连接BE并延长交CD的延长线于点F,若DE=3,DF=4,则▱ABCD的周长为()A. 21B. 28C. 34D. 4210、如图,在正方形ABCD中,点P是AB上一动点(不与A、B重合),对角线AC、BD相交于点O,过点P分别作AC、BD的垂线,分别交AC、BD于点E、F,交AD、BC于点M、N.下列结论:①△APE≌△AME;②PM+PN=AC;③PE2+PF2=PO2;④△POF∽△BNF;⑤点O在M、N两点的连线上.其中正确的是()A. ①②③④B. ①②③⑤C. ①②③④⑤D. ③④⑤二、填空题11、如图,在△ABC中,D是AB中点,DE∥BC,若△ADE的周长为6,则△ABC的周长为______.12、如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点E在边AD上,CE与BD相交于点F.设DE=x,BF=y,当0≤x≤8时,y关于x的函数解析式为______.13、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CD⊥AB,垂足为D,E为BC的中点,AE与CD交于点F,则DF的长为______.14、如图,P为平行四边形ABCD边BC上一点,E、F分别为P A、PD上的点,且P A =3PE,PD=3PF,△PEF、△PDC、△P AB的面积分别记为S、S1、S2.若S=2,则S1+S2=______.三、解答题15、如图,一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120 mm,高AD=80 mm,把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少?16、如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,DF⊥AE,垂足为F.(1)求证:△ABE∽△DF A;(2)若AB=6,BC=4,求DF的长.参考答案1、【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的性质,正确分类讨论是解题关键.直接利用相似三角形的性质结合勾股定理分别得出符合题意的答案.【解答】当3,4为直角边,6,8也为直角边时,此时两三角形相似,不合题意;当三边分别为3,46,8,当3,4为直角边,m=5;则8故m+n=;当6,8为直角边,n=10;则4,故m+n=;选A.2、【答案】A【分析】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查,相似三角形的周长比等于相似比,难度较大.先计算出△ABE的周长,然后根据相似比的知识进行解答即可.【解答】∵在▱ABCD中,CD=AB=10,BC=AD=15,∠BAD的平分线交BC于点E,∴AB∥DC,∠BAF=∠DAF,∴∠BAF=∠F,∴∠DAF=∠F,∴DF=AD=15,同理BE=AB=10,∴CF=DF﹣CD=15﹣10=5;∴在△ABG中,BG⊥AE,AB=10,BG=8,在Rt△ABG中,AG6 ==,∴AE=2AG=12,∴△ABE的周长等于10+10+12=32,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CF,∴△CEF∽△BEA,相似比为5:10=1:2,答案第1页,共10页∴△CEF的周长为16.选A.3、【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的性质,求出阴影部分的面积可以转化为几个规则图形的面积的和或差的关系.过点G作GN⊥AD于N,延长NG交BC于M,通过证明△EFG∽△CBG,可得GN:GM=EF:BC=1:2,可求GN,GM的长,由面积的和差关系可求解.【解答】如图,过点G作GN⊥AD于N,延长NG交BC于M,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AD∥BC,∵EF=12 AD,∴EF=12 BC,∵AD∥BC,NG⊥AD,∴△EFG∽△CBG,GM⊥BC,∴GN:GM=EF:BC=1:2,又∵MN=AB=6,∴GN=2,GM=4,∴S△BCG=12×10×4=20,∴S△EFG=12×5×2=5,S矩形ABCD=6×10=60,∴S阴影=60﹣20﹣5=35.选C.4、【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质,利用相似三角形的性质,找出S四边形BCFE=2125S△ABC是解题的关键.由EF∥BC可得出△AEF∽△ABC,利用相似三角形的性质可得出S△AEF=425S△ABC,结合S四边形BCFE=21即可得出关于S△ABC的一元一次方程,解之即可得出结论.【解答】∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴22425 AEFABCS AE AES AB AE EB⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭△△,∴S△AEF=425S△ABC.∵S四边形BCFE=S△ABC﹣S△AEF=21,即2125S△ABC=21,∴S△ABC=25.选B.5、【答案】A【分析】本题考查相似三角形的应用,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.根据题意和图形,利用三角形相似,可以计算出CD的长,从而可以解答本题.【解答】∵EB⊥AC,DC⊥AC,∴EB∥DC,∴△ABE∽△ACD,∴AB BE AC CD=,∵BE=1.5m,AB=1.2m,BC=12.8m,∴AC=AB+BC=14m,∴1.2 1.514DC=,解得DC=17.5,即建筑物CD的高是17.5m,选A.6、【答案】C【分析】本题考查了平行线分线段成比例性质,关键是熟记定理,找准对应线段.根据平行线分线段成比例性质进行解答便可.【解答】∵EF∥BC,∴AF AEFD EC=,∵EG∥AB,∴AE BGEC GC=,∴AF BGFD GC=,选C.7、【答案】A【分析】本题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键.根据相似三角形的周长比等于相似比解答.【解答】∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15,∴△FHB和△EAD的周长比为2:1,∵△FHB∽△EAD,∴FHEA=2,即6EA=2,解得EA=3,选A.答案第3页,共10页8、【答案】B【分析】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质,注:相似三角形的面积之比等于相似比的平方.可证明△DFE∽△BF A,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案.【解答】∵四边形ABCD为平行四边形,∴DC∥AB,∴△DFE∽△BF A,∵DE:EC=3:1,∴DE:DC=3:4,∴DE:AB=3:4,∴S△DFE:S△BF A=9:16.选B.9、【答案】C【分析】本题考查相似三角形的判定和性质,关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答.根据平行四边形的性质得AB∥CD,再由平行线得相似三角形,根据相似三角形求得AB,AE,进而根据平行四边形的周长公式求得结果.【解答】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CF,AB=CD,∴△ABE∽△DFE,∴12 DE FDAE AB==,∵DE=3,DF=4,∴AE=6,AB=8,∴AD=AE+DE=6+3=9,∴平行四边形ABCD的周长为(8+9)×2=34.选C.10、【答案】B【分析】本题考查正方形的性质、矩形的判定、勾股定理等知识,认识△APM和△BPN 以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形,四边形PEOF是矩形是关键.依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形,四边形PEOF是矩形,从而作出判断.答案第5页,共10页【解答】∵四边形ABCD 是正方形,∴∠BAC =∠DAC =45°.∵在△APE 和△AME 中,,,,PAE MAE AE AE AEP AEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APE ≌△AME (SAS ),故①正确;∴PE =EM =12PM , 同理,FP =FN =12NP . ∵正方形ABCD 中AC ⊥BD ,又∵PE ⊥AC ,PF ⊥BD ,∴∠PEO =∠EOF =∠PFO =90°,且△APE 中AE =PE ,∴四边形PEOF 是矩形.∴PF =OE ,∴PE +PF =OA ,又∵PE =EM =12PM ,FP =FN =12NP ,OA =12AC , ∴PM +PN =AC ,故②正确;∵四边形PEOF 是矩形,∴PE =OF ,在直角△OPF 中,OF 2+PF 2=PO 2,∴PE 2+PF 2=PO 2,故③正确.∵△BNF 是等腰直角三角形,而△POF 不一定是等腰直角三角形,故④错误; 连接OM ,ON ,∵OA 垂直平分线段PM .OB 垂直平分线段PN ,∴OM =OP ,ON =OP ,∴OM =OP =ON ,∴点O 是△PMN 的外接圆的圆心,∵∠MPN =90°,∴MN 是直径,∴M ,O ,N 共线,故⑤正确.选B .11、【答案】12【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键.由平行可知△ADE∽△ABC,且12ADAB=,再利用三角形的周长比等于相似比求得△ABC的周长.【解答】∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∵D是AB的中点,∴12 ADAB=,∴12 ADEABC=△的周长△的周长.∵△ADE的周长为6,∴△ABC的周长为12,故答案为12.12、【答案】808 yx=+【分析】本题考查了的是相似三角形的判定与性质定理,难度不大,熟练掌握性质和判定定理是解得本题的关键,注意掌握数形结合思想与函数思想的应用.根据题干条件可证得△DEF∽△BCF,从而得到DE DFBC BF=,由线段比例关系即可求出函数解析式.【解答】在矩形中,AD∥BC,∴△DEF∽△BCF,∴DE DF BC BF=,∵BD10=,BF=y,DE=x,∴DF=10﹣y,∴108x yy-=,化简得808yx=+,∴y关于x的函数解析式为808yx=+,故答案为808yx=+.13、【答案】54 85【分析】本题考查解直角三角形,平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.如图,过点F作FH⊥AC于H.首先证明FH:AH=2:3,设FH=2k,AH=3k,根据tan∠FCH=FH ADCH CD=,构建方程求解即可.【解答】如图,过点F作FH⊥AC于H.在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,∴AB5 ==,∵CD⊥AB,∴S△ABC=12•AC•BC=12•AB•CD,∴CD=125,AD95==,∵FH∥EC,∴FH AH EC AC=,∵EC=EB=2,∴23FHAH=,设FH=2k,AH=3k,CH=3﹣3k,∵tan∠FCH=FH AD CH CD=,∴92512 335kk=-,∴k=9 17,∴FH=1817,CH=272431717-=,∴CF3017==,∴DF=123054 51785-=,故答案为54 85.14、【答案】18答案第7页,共10页【分析】本题考查相似三角形的判定和性质,平行四边形的性质,三角形的面积等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.利用相似三角形的性质求出△P AD的面积即可解决问题.【解答】∵P A=3PE,PD=3PF,∴13 PE PFPA PD==,∴EF∥AD,∴△PEF∽△P AD,∴213PEFPADSS⎛⎫= ⎪⎝⎭△△,∵S△PEF=2,∴S△P AD=18,∵四边形ABCD是平行四边形,∴S△P AD=12S平行四边形ABCD,∴S1+S2=S△P AD=18,故答案为18.15、【答案】48 mm.【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的应用,注意数形结合的运用是解题关键.根据正方形的对边平行得到BC∥EF,利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线,得到的三角形与原三角形相似”,设正方形零件的边长为x mm,则KD=EF=x,AK=80﹣x,根据相似三角形的性质得到比例式,解方程即可得到结果.【解答】∵四边形EGFH为正方形,∴BC∥EF,∴△AEF∽△ABC;设正方形零件的边长为x mm,则KD=EF=x mm,AK=(80﹣x) mm,∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∵AD⊥BC,∴EF AK BC AD=,∴8012080x x-=,解得x=48.答:正方形零件的边长为48 mm.16、【答案】(1)见解答;(2【分析】本题考查了矩形的性质,相似三角形的性质与判定,勾股定理,关键是证明三角形相似.(1)由矩形性质得AD∥BC,进而由平行线的性质得∠AEB=∠DAF,再根据两角对应相等的两个三角形相似;(2)由E是BC的中点,求得BE,再由勾股定理求得AE,再由相似三角形的比例线段求得DF.【解答】(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠B=90°,∴∠DAF=∠AEB,∵DF⊥AE,∴∠AFD=∠B=90°,∴△ABE∽△DF A;(2)∵E是BC的中点,BC=4,∴BE=2,∵AB=6,∴AE==∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=4,∵△ABE∽△DF A,∴AB AE DF AD=,∴AB ADDFAE⋅===答案第9页,共10页。