数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第20章 曲线积分

f ( x, y)ds
f ((t), (t))
2(t) 2(t)dt. (3)
L
证 由弧长公式知道, L上由 t ti1 到 t ti 的弧长
si
i i 1
2(t) 2(t)dt.
由 2(t) 2(t) 的连续性与积分中值定理, 有
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si 2 ( i ) 2 ( i )ti (ti1 i ti ).
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0 z f ( x, y)的部分的面积就是L f ( x, y)ds.
z
z f (x, y)
O
y
x
L
图20 1
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二． 第一型曲线积分的计算
定理20.1
设有光滑曲线
L
:
x y
(t), (t),
t
[ ,
],
f ( x, y) 为定义在 L 上的连续函数, 则
的质量.
现在研究当 是平面或空间中某一可求长度的曲线
段时物体的质量的计算问题.
(1) 分割：把 分成 n 个可求长度的小曲线段 i
(i 1, 2, , n).
(2) 近似求和：在每一个 i 上任取一点 Pi . 由于
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f (P) 为 上的连续函数, 故当 i的弧长都很小时,
每一小段 i的质量可近似地等于f (Pi )i , 其中i
都有
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| f ((t), (t)) | M .
再由 2(t) 2(t) 在 [ , ]上连续, 所以它在
[ , ]上一致连续, 即对任给的 0, 必存在 0, 使当 t 时,
2( i) 2( i)
2
(
i
)
2
(
i
)
,
从而
n
| | M ti M (b a), i 1
1i n
一点 (i ,i ) (i 1, 2, , n). 若有极限
n
lim
||T ||0 i 1
f (i , i )si
J,
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且J 的值与分割 T 与点 (i , i ) 的取法无关, 则称此
极限为 f ( x, y) 在 L 上的第一型曲线积分, 记作
L f ( x, y)ds.
为小曲线段 i 的长度.
于是在整个上的质量就近似地等于和式
n
f (Pi )i .
i 1
(3)
当对
的分割越来越细密(即 d
max
1i n
i
0)
时, 上述和式的极限就应是该物体的质量.
由上面看到, 求物质曲线段的质量, 与求直线段的质
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量一样, 也是通过“分割、近似求和、取极限”来得
1. 若 L fi ( x, y)ds(i 1, 2, , k) 在ci (i 1, 2, , k)为
k
常数, 则 L
ci fi ( x, y)ds 也存在, 且
i 1
k
k
L ci fi ( x, y)ds ci L fi ( x, y)ds.
i 1
i 1
2. 若曲线段 L 由曲线 L1, L2 , , Lk 首尾相接而成,
i 1
n
f ( ( i), ( i))
2 ( i)
2
(
i
)ti
.
(4)
i 1
令 t max{t1,t2, , tn}, 则当 T 0 时, 必有
t 0. 现在证明 lim 0. t 0
因为复合函数 f ((t), (t)) 关于 t 连续, 所以在闭区
间 [ , ] 上有界, 即存在常数M , 使对一切 t [ , ]
若L为空间可求长曲线段 , f ( x, y, z) 为定义在 L上 的函数, 则可类似地定义 f ( x, y, z)在空间曲线 L 上 的第一型曲线积分, 并且记作
L f ( x, y, z)ds.
于是前面讲到的质量分布在曲线段 L 上的物体的质
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量可由第一型曲线积分(1)或(2)求得.
L f ( x, y)ds L g( x, y)ds. 4．若 L f ( x, y)ds 存在,则 L |L f ( x, y)|ds 也存在,
且
| L f ( x, y)ds | L| f ( x, y) | ds.
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5．若 L f ( x, y)ds 存在, L的弧长为s, 则存在常数
到的. 下面给出这类积分的定义.
定义1 设 L 为平面上可求长度的曲线段, f ( x, y) 为
定义在 L 上的函数. 对曲线 L 做分割 T ,它把 L分成
n个可求长度的小曲线段 Li (i 1, 2, , n), Li 的弧长
记为si , 分割 T 的细度为 || T || max si , 在 Li上任取
§1 第一型曲线积分
本节将研究定义在平面或空间曲线 段上的第一型曲线积分.此类积分的典 型物理背景是求非均匀分布的曲线状 物体的质量.
一．第一型曲线积分的定义 二．第一型曲线积分的计算
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一． 第一型曲线积分的定义
设某物体的密度函数 f (P) 是定义在 上的连续函 数当 是直线段时, 应用定积分就能计算得该物体
c, 使得
L f ( x, y)ds cs,
这里 inf f ( x, y) c sup f ( x, y).
L
L
6. 第一型曲线积分的几何意义
若L为坐标平面Oxy上的分段光滑曲线, f ( x, y)为L
上定义的连续非负函数. 由第一型曲线的定义, 易见 以 L为准线, 母线平行于z 轴的柱面上截取
f ( x, y)ds(i 1,2, ,k) 都存在, 则 f ( x, y)ds
Li
L
也存在, 且
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k
f ( x, y)ds
f ( x, y)ds.
L
i 1 Li
3．若 L f ( x, y)ds 与 L g( x, y)ds都存在, 且在 L 上
f ( x, y) g( x, y),则
所以
n
f (i , i )si
i 1
n
f ( ( i), ( i)) 2 ( i) 2 ( i)ti , i 1
这里
t i 1
i,
i
ti
.
设
n
f ( ( i), ( i))[ 2( i) 2( i) 2( i) 2( i)]ti , i 1
则有
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n
f (i , i )si
所以 lim 0. t 0
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再由定积分定义
n
lim
t0 i1
f ( ( i), ( i))
2( i) 2( i)ti
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b
f ((t), (t))
2(t) 2(t)dt.