数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第20章 曲线积分
华东师范大学数学分析第四版
(b1
?
a1 ).
将上述过程无限进行下去 , 可得一列闭区间 [an , bn ]
满足下列三个性质 :
(i) [a n?1 , bn?1 ] ? [a n , bn ], n ? 1, 2, L ;
(ii)
bn
?
an
?
1 2n
(b ?
a) ?
0,
n?
?;
(iii) 对每一个闭区间 [an, bn], 都不能被 H 中有限个
n? ?
xn
?
?
称为 S的一个聚点
.
下面简单叙述一下这三个定义的等价性 .
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定义2 ? 定义2? 由定义直接得到 .
定义2?? 定义2? 因为 ? ? ? 0, U ?(? ;? ) I S ? 0,
那么
取?1 ? 1, ? x1 ? U o(? ;1) I S;
? ? 取?2 ? min 1/ 2, x1 ? ? , ? x2 ? U o(? ; ?2 ) I S;
,
n
?
1,
2,
L
,
2.
lim
n??
? ??
1 n
?
0
? ??
?
0.
但是定理1中的? 是不存在的 , 这是因为
I?
n?
1
???0,
1 n
? ??
?
?
.
例1.用区间套定理证明 连续函数根的存在性定理
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二、聚点定理与有限覆盖定理
定义2 设 S 为数轴上的非空点集 , ? 为直线上的
一个定点 (当然可以属于 S, 也可以不属于 S). 若对
高教版数学分析第4版课件20-2
加即可得到所求之曲线积分.
数学分析 第二十章 曲线积分
高等教育出版社
§2 第二型曲线积分 第二型曲线积分的定义 第二型曲线积分的计算
两类曲线积分的联系
由于沿直线 AD : x x, y 1(1 x 2) 的线积分为
xydx ( y x)dy xydx 2 xdx 3
AD
AD
1
2
沿直线 DB : x 2, y y(1 y 3) 的线积分为
3
xydx ( y x)dy ( y x)dy ( y 2)dy 0.
DB
DB
1
沿直线 BA 的线积分可由(i)及公式(5)得到
xydx ( y x)dy = xydx ( y x)dy 25 .
AB
AB
为书写简洁起见, (1)式常简写成
Pdx Qdy 或 Pdx Qdy.
L
AB
数学分析 第二十章 曲线积分
高等教育出版社
§2 第二型曲线积分 第二型曲线积分的定义 第二型曲线积分的计算
两类曲线积分的联系
若L为封闭的有向曲线, 则记为
L Pdx Qdy.
(2)
若记 F( x, y) (P( x, y),Q( x, y)), ds (dx, dy), 则(1)
数学分析 第二十章 曲线积分
§2 第二型曲线积分
第二型曲线积分与第 一型曲线积分不同的是在 有方向的曲线上定义的积 分, 这是由于第二型曲线积 分的物理背景是求变力沿 曲线作的功,而这类问题显 然与曲线的方向有关.
一、第二型曲线积分的定义 二、第二型曲线积分的计算 三、两类曲线积分的联系
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数学分析20.2第二型曲线积分(含习题及参考答案)
第二十章 曲线积分 2第二型曲线积分一、第二型曲线积分的定义引例：如图，一质点受力F(x,y)的作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ，求力F(x,y)所作的功.在曲线⌒AB 内插入n-1个分点M 1, M 2, …, M n-1， 与A=M 0, B=M n 一起把有向曲线⌒AB分成 n 个有向小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n).若记小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ，则分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max .设力F(x,y)在x 轴和y 轴方面的投影分别为P(x,y)与Q(x,y)，则 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)). 又设小弧段⌒M i-1M i 在x 轴与y 轴上的投影分别为 △x i =x i -x i-1与△y i =y i -y i-1，(x i ,y i )与(x i-1,y i-1)分别为分点M i 与M i-1的坐标. 记ii M ML 1-=(△x i ,△y i )，于是力F(x,y)在小弧段⌒M i-1M i 上所作的功为W i ≈F(ξi ,ηi )·ii M ML 1-=P(ξi ,ηi )△x i +Q(ξi ,ηi )△y i ，其中(ξi ,ηi )是⌒M i-1M i 上任一点.因而力F(x,y)沿曲线⌒AB所作的功近似地等于 W=∑=n i i W 1≈∑=∆n i i i i x P 1),(ηξ+∑=∆ni i i i y Q 1),(ηξ.定义1：设函数P(x,y)与Q(x,y)定义在平面有向可求长度曲线L ：⌒AB 上.对L 的任一分割T 把L 分成n 个小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n), A=M 0, B=M n . 记各小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ，分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max .又设T 的分点M i 的坐标为(x i ,y i )，并记△x i =x i -x i-1,△y i =y i -y i-1(i=1,2,…,n). 在每个小弧段⌒M i-1M i 上任取一点(ξi ,ηi )，若存在极限∑=→∆ni iiiT xP 1),(limηξ+∑=→∆ni i i i T y Q 1),(lim ηξ且与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为函数P(x,y), Q(x,y)沿有向曲线L 上的第二型曲线积分， 记作：⎰L dx y x P ),(+Q(x,y)dy 或⎰AB dx y x P ),(+Q(x,y)dy ，也可简写为⎰LPdx +Qdy 或⎰ABPdx +Qdy ，若L 为封闭的有向曲线，则记为⎰LPdx +Qdy.若记F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))，ds=(dx,dy)，则有向量形式：⎰⋅L ds F 或⎰⋅AB ds F . 若L 为空间有向可求长度曲线，P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)为定义在L 的函数，可类似地定义沿空间有向曲线L 上的第二型曲线积分，并记为：⎰Ldx z y x P ),,(+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz 或⎰ABdx z y x P ),,(+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz ，也可简写为⎰L Pdx +Qdy+Rdz 或⎰AB Pdx +Qdy+Rdz.当把F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y),R(x,y))与ds=(dx,dy,dz)看作三维向量时，有 向量形式⎰⋅L ds F 或⎰⋅AB ds F .注：第二型曲线积分与曲线L 的方向有关，对同一曲线，当方向由A 到B 改变由B 到A 时，每一小曲线段的方向都改变，从而所得△x i ,△y i 也随之变号，故有⎰AB Pdx +Qdy= -⎰BA Pdx +Qdy.性质：1、若⎰L i dx P +Q i dy 存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则dx P c L k i i i ⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛=1+dy Q c k i i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=1也存在，且 dx P c L k i i i ⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛=1+dy Q c k i i i ⎪⎭⎫⎝⎛∑=1=()dy Q dx P c iLiki i +⎰∑=1.2、若有向曲线L 是由有向曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且⎰iL Pdx +Qdy(i=1,2,…,k)存在，则⎰LPdx +Qdy 也存在，且⎰LPdx +Qdy =∑⎰=ki L iPdx 1+Qdy.二、第二型曲线积分的计算 设平面曲线L:⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ, t ∈[α,β]，其中φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导函数，且 点A 与B 的坐标分别为(φ(α),ψ(α))与(φ(β),ψ(β)). 又设P(x,y)与Q(x,y)为定义在L 上的连续函数，则 沿L 从A 到B 的第二型曲线积分⎰Ldx y x P ),(+Q(x,y)dy=⎰'+'βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P )]())(),(()())(),(([.注：1、对沿封闭曲线L 的第二型曲线积分的计算，可在L 上任取一点作为起点，沿L 所指定的方向前进，最后回到这一点.2、设空间有向光滑曲线L 的参量方程为x=x(t), y=y(t), z=z(t), t ∈[α,β]， 起点为(x(α),y(α),z(α))，终点为(x(β),y(β),z(β))，则Rdz Qdy Pdx L ++⎰=⎰'+'+'βαdt t z t z t y t x R t y t z t y t x P t x t z t y t x P )]())(),(),(()())(),(),(()())(),(),(([.例1：计算⎰L xydx +(y-x)dy ，其中L 分别沿如图中路线： (1)直线AB ；(2)ACB(抛物线：y=2(x-1)2+1)； (3)ADBA(三角形周界).解：(1)方法一：L:⎩⎨⎧+=+=ty tx 211, t ∈[0,1]，∴⎰L xydx +(y-x)dy=⎰+++10]2)21)(1[(dt t t t =625. 方法二：L: y=2x-1, x ∈[1,2]，∴⎰L xydx +(y-x)dy=⎰-+-21)]1(2)12([dx x x x =625. (2)⎰L xydx +(y-x)dy=⎰+--++-2122)]352)(44()342([dx x x x x x x=⎰-+-2123)12353210(dx x x x =610.(3)⎰L xydx +(y-x)dy=⎰AD xydx +(y-x)dy+⎰DB xydx +(y-x)dy+⎰BA xydx +(y-x)dy. 又⎰AD xydx +(y-x)dy=⎰21xdx =23;⎰DBxydx +(y-x)dy=⎰-31)2(dy y =0;⎰BAxydx +(y-x)dy=-625；∴⎰L xydx +(y-x)dy=23+0-625=-38.例2：计算ydx xdy L +⎰，这里L(如图) (1)沿抛物线y=2x 2, 从O 到B 的一段； (2)沿直线段OB ：y=2x ； (3)沿封闭曲线OABO.解：(1)ydx xdy L +⎰=⎰+1022)24(dx x x =2. (2)ydx xdy L +⎰=⎰+10)22(dx x x =2. (3)ydx xdy OA +⎰=⎰100dx =0;ydx xdy AB+⎰=⎰2dy =2;ydx xdy BO+⎰=-2；∴⎰+L ydx xdy =ydx xdy OA +⎰+ydx xdy AB +⎰+ydx xdy BO +⎰=0+2-2=0.例3：计算第二型曲线积分⎰+-+L dz x dy y x xydx 2)(，L 是螺旋线：x=acost, y=asint, z=bt 从t=0到t=π上的一段. 解：⎰+-+L dzx dy y x xydx 2)(=dt t b a t t t a t t a ⎰+-+-π022223]cos )sin (cos cos cos sin [=⎰⎰⎰-++-πππ222223cos sin cos )1(cos sin tdtt a atdt b a tdt t a=⎰+π022cos )1(tdt b a =21a 2(1+b)π.例4：(如图)求在力F(y,-x,x+y+z)作用下， (1)质点由A 沿螺旋线L 1到B 所作的功. 其中L 1: x=acost, y=asint, z=bt, 0≤t ≤2π； (2)质点由A 沿直线L 2到B 所作的功. 解：(1)W=⎰+++-L dzz y x xdy ydx )(=dt bt t a t a b t a t a ⎰+++--π202222)]sin cos (cos sin [=dt t b t ab t ab a ⎰+++-π2022)sin cos (=-2πa 2+2π2b 2=2π(πb 2-a 2).(2)∵L 2: x=a,y=0,z=bt ，0≤t ≤2π；∴W=⎰+++-L dz z y x xdy ydx )(=dt bt a b ⎰+π20)(=2πb(a+πb)三、两类曲线积分的联系设L 为从A 到B 的有向光滑曲线，它以弧长s 为参数，于是L: ⎩⎨⎧==)()(s y y s x x , 0≤s ≤l ，其中l 为曲线L 的全长，且点A,B 的坐标分别为(x(0),y(0))与(x(l),y(l)). 曲线L 上每一点的切线方向指向弧长增加的一方.现以(),()分别表示切线方向t 与x 轴与y 轴的夹角，则在曲线上的每一点的切线方向余弦为dsdx=cos(),dsdy=cos().若P(x,y), Q(x,y)为曲线L 上的连续函数，则由⎰Ldx y x P ),(+Q(x,y)dy=⎰'+'lds s y s y s x Q s x s y s x P 0)]())(),(()())(),(([得⎰LPdx +Qdy=⎰ls y s x P 0))(),(([cos()+))(),((s y s x Q cos()]ds=⎰L y x P ),([cos()+),(y x Q cos()]ds.最后得到一个根据第一型曲线积分化为定积分的等式. 即两类曲线积分之间的转换公式.注：当⎰L Pdx +Qdy 的方向改变时，⎰Ly x P ),([cos()+),(y x Q cos()]ds 中的夹角与原夹角相差弧度π，从而cos()和cos()也随之变号.因此，一旦方向确定，两类曲线积分之间的转换公式总是成立.习题1、计算第二型曲线积分：(1)⎰-L ydx xdy , 其中L (如图)(i)沿抛物线y=2x 2, 从O 到B 的一段； (ii)沿直线段OB ：y=2x ； (iii)沿封闭曲线OABO.(2)⎰+-L dy dx y a )2(, 其中L 为摆线a(t-sint),y=a(1-cost) (0≤t ≤2π)，沿t 增加方向的一段； (3)⎰++-Lyx ydy xdx 22, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2依逆时针方向； (4)⎰+L xdy ydx sin , 其中L 为y=sinx(0≤x ≤π)与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向；(5)⎰++L zdz ydy xdx , 其中L 为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段. 解：(1)(i)ydx xdy L -⎰=⎰-1022)24(dx x x =32. (ii)⎰-L ydx xdy =⎰-10)22(dx x x =0.(iii)ydx xdy OA -⎰=⎰100dx =0;ydx xdy AB -⎰=⎰20dy =2;ydx xdy BO -⎰=-32； ∴⎰-L ydx xdy =ydx xdy OA -⎰+ydx xdy AB -⎰+ydx xdy BO -⎰=0+2-32=34.(2)⎰+-L dy dx y a )2(=⎰+---π20}sin )cos 1)](cos 1(2[{dt t a t t a a a =dt t a dt t a ⎰⎰+-ππ202022sin )cos 1(=πa 2.(3)由圆的参数方程：x=acost, y=asint, (0≤t ≤2π)得⎰++-L y x ydyxdx 22=⎰+π20222)cos sin sin cos (adt t t a t t a =0. (4)记点A(π,0)则⎰+Lxdy ydx sin =⎰⎰⋂+++OAAOxdyydx xdy ydx sin sin=⎰⎰++000)cos sin (sin ππdx dx x x x =-cosx π0=2.(5)L 的参数方程为：x=t, y=2t-1, z=3t-2, (1≤t ≤2)， ∴⎰++L zdz ydy xdx =⎰-+-+21)6924(dt t t t =⎰-21)814(dt t =13.2、设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比. 若由质点与(a,0)沿椭圆移动到(0,b)，求力所作的功. 解：椭圆的参数方程为x=acost, y=bsint, 0≤t ≤2π.F=k ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+222222,y x y y x x y x =(-kx,-ky), k>0. ∴力所作的功W=⎰L Pdx +Qdy=⎰+-L ydy xdx k )(=-k ⎰+-2022)cos sin sin cos (πdt t t b t t a =2k(a 2-b 2).3、设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到xy 平面的距离成反比. 若质点沿直线x=at, y=bt, z=ct(c ≠0)从M(a,b,c)移动到N(2a,2b,2c)，求力所作的功.解：F=zk , k ≠0. 由力的方向指向原点，故其方向余弦为：cos α=r x -, cos β=r y -, cos γ=r z-, 其中r=222z y x ++F 的三个分力为P=-r x z k , Q=-r y z k , P=-rz z k =-r k, ∴力所作的功为W=-dz r kdy rz ky dx rz kx L ++⎰=-k ⎰++++21222222)(dt tc b a ct t c b a =c c b a k 222++'ln2.4、证明曲线积分的估计公式：⎰+ABQdy Pdx ≤LM, 其中L 为AB 的弧长，M=22),(maxQ P ABy x +∈.利用上述不等式估计积分I R =⎰=+++-222222)(R yx y xy x xdyydx ，并证明+∞→R lim I R =0. 证：(1)∵⎰+AB Qdy Pdx =⎰⎪⎭⎫⎝⎛+AB ds dy Q dsdx Pds 且 ds dy Q ds dx P +≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222)(ds dy ds dx Q P ≤22Q P +，从而 ⎰+ABQdy Pdx ≤⎰+ABdsdyQ ds dx Pds ≤⎰+AB Q P 22ds ≤⎰AB M ds=LM. (2)42222)(max222y xy x y x R y x +++=+=4222)21(R R R -=34R ; 由(1)知222)(y xy x xdyydx ++-≤2πR·34R =28R π.∵|I R |≤28R π→0 (R →+∞), ∴+∞→R lim I R =0.5、计算沿空间曲线的第二型积分：(1)⎰L xyzdz , 其中L 为x 2+y 2+z 2=1与y=z 相交的圆，其方向按曲线依次经过1,2,7,8封限；(2)⎰-+-+-L dz y x dy x z dx z y )()()(222222, 其中L 为球面x 2+y 2+z 2=1在第一卦限部分的边界线，其方向按曲线依次经过xy 平面部分，yz 平面部分和zz 平面部分.解：(1)曲线L 的参数方程为：x=cost, y=z=t sin 22, 0≤t ≤2π， 当t 从0增加到2π时，点(x,y,z)依次经过1,2,7,8卦限，于是⎰Lxyzdz =⎰π20224sin cos 2tdt t =162π.(2)(如图)设I=⎰-+-+-L dz y x dy x z dx z y )()()(222222=⎰1L +⎰2L +⎰3L ,其中L 1: ⎪⎩⎪⎨⎧===0sin cos z y x θθ(0≤θ≤2π); L 2: ⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕsin cos 0z y x (0≤φ≤2π); L 3: ⎪⎩⎪⎨⎧===ψψcos 0sin z y x (0≤ψ≤2π); 则⎰-+-+-1)()()(222222L dz y x dy x z dx z y =⎰--2033)cos sin (πθθθd =-32-32=-34.同理⎰2L =⎰3L =-34，∴I=-34-34-34=-4.。
《数学分析》课件
函数与极限
函数
函数是数学分析中的基本概念之一，它是一个从定义域到值域的映射。根据定义域和值域的不同，函数可以分为 不同的类型，如连续函数、可微函数等。
极限
极限是数学分析中描述函数在某一点的行为的工具。极限的定义包括数列的极限和函数的极限，它们都是描述函 数在某一点附近的行为。极限的概念是数学分析中最重要的概念之一，它是研究函数的连续性、可导性、可积性 等性质的基础。
复合函数的导数
复合函数的导数是通过对原函数进行 求导，再乘以中间变量的导数得到的 。
微分及其应用
微分的定义
微分是函数在某一点附近的小变化量 ，可以理解为函数值的近似值。
微分的应用
微分在近似计算、误差估计、求切线 、求极值等方面有着广泛的应用。例 如，在求极值时，可以通过比较一阶 导数在极值点两侧的正负性来确定极 值点。
数列的极限
总结词
数列极限的定义与性质
详细描述
数列极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了数列随 着项数的增加而趋近于某个固定值的趋势。极限具有一些 重要的性质，如唯一性、四则运算性质、夹逼定理等。
总结词
数列极限的证明方法
详细描述
证明数列极限的方法有多种，包括定义法、四则运算性质 、夹逼定理、单调有界定理等。这些方法可以帮助我们证 明数列的极限并理解其性质。
含参变量积分的概念与性质
含参变量积分的概念
含参变量积分是指在积分过程中包含一个或多个参数的积分。这种积分在处理一些具有参数的物理问题时非常有 用。
含参变量积分的性质
含参变量积分具有一些重要的性质，如参数可分离性、参数连续性、参数积分区间可变性等。这些性质使得含参 变量积分在解决实际问题时更加灵活和方便。
反常积分与含参变量积分的计算方法
数学分析课件华东师大版
数学分析课件华东师大版
汇报人：
目录
• 引言 • 数学分析基础 • 导数与微分 • 积分学 • 无穷级数 • 多元函数微积分
01
引言
课程简介
01
数学分析是数学专业的一门基础 课程，主要研究实数、函数、极 限、连续性、可微性和积分等概 念及其性质。
02
通过学习数学分析，学生可以掌 握数学的基本原理和方法，培养 逻辑思维能力、抽象思维能力和 解决问题的能力。
总结词
理解无穷级数的定义和性质是掌握无穷级数的基础。
详细描述
无穷级数是数学分析中的一个重要概念，它是由无穷多个数按照一定的规则排列组成的数列。无穷级数具有一些 重要的性质，如线性性质、可加性、可乘性和收敛性等。这些性质在无穷级数的运算和证明中有着广泛的应用。
无穷级数的收敛性判别法
总结词
掌握无穷级数的收敛性判别法是判断无穷级数收敛性的关键。
定积分的计算
牛顿-莱布尼兹公式
分部积分法
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的常 用方法，它通过求不定积分的原函数 （即不定积分），然后利用原函数计 算定积分。
分部积分法是另一种计算定积分的方 法，通过将两个函数的乘积进行求导 ，将定积分转化为容易计算的积分。
换元法
换元法是一种常用的计算定积分的方 法，通过改变定积分的积分变量或积 分区间，将复杂的积分转化为容易计 算的积分。
极限的性质
极限具有唯一性、局部有界 性、局部保序性、迫近性等 性质。
连续函数的性质
连续函数具有局部有界性、 局部保序性、迫近性等性质 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
如果一个函数在某个点的某个 自变量的偏导数存在，则称该 函数在该点关于该自变量可偏
华东师大第四版数学分析上册课件
数学分析的发展历程
总结词
数学分析的发展经历了初创期、经典时期和现代发展阶段。
详细描述
数学分析的初创期可以追溯到17世纪，当时的数学家开始系统地研究微积分。经典时期则是在18世纪 和19世纪，数学分析得到了全面的发展和完善，产生了许多重要的定理和公式。进入20世纪后，数学 分析继续发展并逐渐与其他数学分支相互融合，形成了现代数学分析的体系。
换元积分法的应用
主要用于处理被积函数为复合函数或具有特定形式的情况，通过换元将问题转化为更易 于处理的形式。
06
定积分
Chapter
定积分的定义与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的 极限。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分中值 定理等性质。
定积分的计算方法
华东师大第四版数学分析上册课件
目录
• 绪论 • 极限论 • 连续性 • 导数与微分 • 不定积分 • 定积分
01
绪论
Chapter
数学分析的起源和定义
总结词
数学分析起源于古希腊，是研究实数、极限、连续性和可微 性的科学。
详细描述
数学分析的起源可以追溯到公元前7世纪古希腊的数学家，他 们开始研究连续性和无穷小的问题。经过几个世纪的探索和 发展，数学分析逐渐形成了以实数、极限、连续性和可微性 为核心的理论体系。
数学分析的特性与重要性
总结词
数学分析具有严密性、连续性和广泛应用性的特点，是数学和自然科学的重要基础。
详细描述
数学分析的特性表现在其严密的逻辑推理和证明上，它强调对概念和定理的精确表述。此外，数学分析还具有连 续性的特点，它研究的是实数域上的连续函数。最后，由于数学分析是许多学科的基础，如物理、工程、经济等 ，它具有广泛的应用价值。
《曲线积分》课件
换元法
总结词
换元法是通过引入新的变量替换原变量，将曲线积分转化为更容易计算的定积分的方法。
详细描述
换元法的基本思想是通过引入新的变量替换原变量，将曲线积分转化为定积分。通过选择合适的换元函数，可以 将曲线积分的积分路径转化为直线或简单的几何形状，从而简化计算过程。这种方法在处理复杂的曲线积分时非 常有效。
经济学中的应用
在经济学中，曲线积分可以用于研究商品价格变动对需求量 的影响，以及投资回报率等问题。
曲线积分的分类
第一型曲线积分
第一型曲线积分是计算函数在曲线上 的定积分，用于计算曲线下的面积和 长度等。
第二型曲线积分
第二型曲线积分是计算函数关于某个 变量的变差，用于计算速度和加速度 等物理量。
02
曲线积分背景
曲线积分是微积分学中的重要概 念，它与定积分、重积分等概念 有密切联系，是解决许多实际问 题的重要工具。
曲线积分的应用
1 2
3
物理学中的应用
曲线积分在物理学中有广泛的应用，如计算曲线运动的轨迹 长度、速度和加速度等。
工程学中的应用
在工程学中，曲线积分被广泛应用于计算各种曲线形状的物 体在运动过程中的物理量，如管道流速、机械零件的振动等 。
电场线的积分与电荷量
电场线的积分
电场线是描述电场分布的几何图形，电 场线的积分可以用来计算电场中的电荷 量。通过曲线积分的方法，可以计算出 电场线上各点的电场强度，从而得到整 个电场的电荷量分布。
VS
电荷量
电荷量是描述电场中电荷数量的物理量， 它表示电场中电荷的多少。在物理学中， 电荷量可以通过电场线的积分来计算，并 用于研究电场的性质和行为。
06
曲线积分的综合应用
《数学分析》课件 (完整版)
第十章 数项级数
§5 无穷级数与代数运
小结
第十一章 广义积分
§1 无穷限广义积分
§2 瑕积分
第十二章 函数项级数
第十三章 幂级数
§1 幂级数的收敛半径与收敛区域 §2 幂级数的性质
§3 函数的幂级数展开
小结
第十四章 傅立叶级数
§1 三角级数与傅立叶级数
§2 傅立叶级数的收敛性
§3 任意区间上的傅立叶级数
排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。
定理 10.19
若级数
u n 绝对收敛，其和为 S ，设
n 1
u n k
为
un
的任意重排，则
u nk
k 1
n 1
k 1
亦绝对收敛，且和仍为 S .
2021/6/18
5
定理 10.21（Riemann)
若级数
u n 条件收敛，则经适当重排
n 1
后，可使其和为任意的实数 ，或
若级数
un
收敛，其和为 S ，
0 p 0 p n1 1 p 2 p k p k 1 为自然数列，
则
p k 1
u j
亦收敛于
S.
k 0 j pk 1
2021/6/18
4
2. 交换律
仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重
a
a
（2）若 B0，当 xB时，f(x)(x)0,
则
a
(
x)d
x发散
a
f (x)dx发散。
2021/6/18
14
比较判别法II（用极限比较）
设函数 f (x) 在 [a,)有定义，在任意有限区间
数学分析(华东师范版)PPT
这种间断点称为 震荡间断点。
y
1
y sin
1 x
●
x
●
x x
●●
1
●：Hi, 小蓝点，你停不住， 我也停不住啊。还想连上， 你可真逗！
●：Hi, 小红点，你能不能停 住？我怎么也停不住，那可 怎么连上啊？
1 例8 讨论函数 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性 . x 解 在x 0处没有定义,
第四章 函数的连续性
4.1 连续性概念
4.2 连续函数的性质
4.3 初等函数的连续性
4.1连续性概念
一、函数在一点的连续性 1.函数的增量
设函数 f ( x )在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于x的增量.
解 f (0 0) 0,
f (0 0) ,
o x
x 1为函数的第二类间断点.
第一类间断点
•可去间断点 •跳跃间断点
第二类间断点
•无穷间断点 •震荡间断点
第一类间断点
可去间断点 无定义、值太高、值太低 跳跃间断点
第二类间断点
无穷间断点 震荡间断点
情形1.1 ：f ( x)在x0处无定义 .
y sin( x x ) sin x 2 sin
x cos( x ) 1, 2
对任意的, 当 0时,
x 当x 0时, y 0. 故 y 2 sin x , 2 即 函数 y sin x对任意 x ( ,)都是连续的.
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
《数学分析》课件 (完整版)
§1 无穷限广义积分
定积分的两个限制
积分区间的有界性 被积函数的有界性 实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的 函数；量子运动；‥‥‥
无穷限积分的定义
设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积。若 存在，则称之为 在 上的广义积分，记为 此时亦称积分 收敛；若 不存在，则称积分 发散。
P.S. 为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。
1. 2. 当 ， 均收敛时，定义 显然， 的值与 的选取无关。
类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义：
特别地，我们若可利用Taylor公式，求得
则
时 收敛， 时 发散， 时,只能于 时推得 收敛。
Question
我们将参照物取为幂函数 ，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数 ，结果又如何呢？ 无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？
1. 结合律
对于收敛级数，可任意加括号，即
2. 交换律
仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。
定理 10.19 若级数 绝对收敛，其和为 ，设 为 的任意重排，则 亦绝对收敛，且和仍为
第十章 数项级数
§5 无穷级数与代数运算 有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。
数学分析ppt课件
有限覆盖定理
总结词
有限覆盖定理是实数完备性定理中的另一个 重要结论，它涉及到实数集的覆盖问题。
详细描述
有限覆盖定理说明，任意一个开覆盖${(a_n, b_n)}$的实数集都可以被有限个开区间覆盖 。换句话说，对于任意一个实数集$S$，都 存在有限的开区间${(a_1, b_1), (a_2, b_2), ldots, (a_n, b_n)}$，使得$S subseteq cup_{i=1}^{n} (a_i, b_i)$。这个定理在证 明紧空间的性质和实数完备性中起到了关键 作用。
3
实数系中的基本运算
实数系中可以进行加法、减法、乘法和 除法等基本运算，这些运算具有交换律 、结合律、分配律等性质。此外，实数 系中还可以定义绝对值、最大值、最小 值等概念。
极限理论
01
极限的定义
极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了当自变量趋向某一值时，
函数值的变化趋势。极限的定义包括数列极限和函数极限两种形式。
详细描述
介绍向量值函数和空间曲线的定义，通过实例说明向量值函 数和空间曲线的性质，并解释其在数学分析中的重要性和应 用。
06
实数完备性定理
区间套定理
总结词
区间套定理是实数完备性定理中的一个 重要组成部分，它描述了闭区间套的性 质。
VS
详细描述
区间套定理指出，如果存在一个闭区间套 ，即一列闭区间${[a_n, b_n]}$，满足 $a_n < b_n$且$a_n < a_{n+1} < b_{n+1} < b_n$（对任意$n$），则该区 间套中至少存在一个实数。这个定理在数 学分析中有着广泛的应用，例如在证明连 续函数的性质和极限理论中。
高等数学 曲线积分PPT课件
P( x, y)dx
L
2 f ( x, y)dx L 关于x轴对称，f ( x, y)为y的奇函数
L1
0
L 关于y轴对称，f ( x, y)为x的偶函数
Q(x, y)dy
L
2 Q( x, y)dy L 关于y轴对称，f ( x, y)为x的奇函数
L1
第6页/共41页
三、对坐标的曲线积分的计算方法
y x
du Pdx Qdy, (x, y)G —单连域.
第9页/共41页
四、两类曲线积分之间的联系
L Pdx Qdy L (P cos Q cos )ds.
其中, 为有向曲线弧 L 在点( x, y) 处的切向量的方向角.
五、对坐标的曲线积分的解题方法
第10页/共41页
解题方法流程图
1．直接计算法：（化为定积分计算） “描述代入”法 （1）参数方程：
设 L : x (t), y (t); t 从 变到 ; 则
P( x, y)dx Q( x, y)dy
{P[(t), (t)](t) Q[(t), (t)] (t)}dt
L
设 : x (t), y (t), z (t) ; t 从 变到 ; 则
L
1
第3页/共41页
（4）参数方程：若 : x (t), y (t), z (t) ( t ); 则
f ( x, y, z)ds
f [(t), (t),
(t)]
2(t) 2(t) 2(t) dt
注： 被积函数可用积分曲线方程化简！
四、对弧长的曲线积分的应用
1．几何应用 求曲线的弧长 s ds.
43
而被积函数 2xy 3x2 4 y2中又含有3x2 4 y2 ,故可将 3x2 4 y2 12
数学分析华东师大第四版章曲线积分资料
f (x, y)ds
d
f [( y), y]
1 ['( y)]2 dy.
L
c
此时求曲线积分的积分值,
转化为求等号右边的定积分.
例子
计算第一型曲线积分
L (x y)ds,
其中L是以O(0,0), A(1,0), B(0,1) 为顶点的三角形.
解答
将曲线积分分成3段, 分别求出每一段的曲线积分
s ti
i
ti1
[x'(t)]2 [ y'(t)]2 dt.
证明
在Li上任取一点(i ,i ), 假设i x(ui ),i y(ui ),
则由积分中值定理可知, 和式
n
n
f (i ,i ) si f (x(ui ), y(ui )) [x'(ui*)]2 [ y'(ui*)]2 ti
i 1
i 1
n
f (x(ui ), y(ui )) [x'(ui )]2 [ y'(ui )]2 ti i 1
[ ] n f (x(ui ), y(ui )) [x'(ui*)]2 [ y'(ui*)]2 [x'(ui )]2 [ y'(ui )]2 ti.
的第一型曲线积分存在,
则 f (x, y)ds f (x, y)ds.
AB
BA
第一型曲线积分的计算
设有光滑曲线L, 其参数方程为
x x(t), y y(t),(a t b)
如果二元函数f (x, y)在L上连续,
则f (x, y)在L上的第一型曲线积分一定存在,且
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第20章-曲线积分
[ , ]上一致连续, 即对任给的 0, 必存在 0, 使当 t 时,
2( i) 2( i)
2
(iΒιβλιοθήκη )2(i
)
,
从而
n
| | M ti M (b a), i 1
所以 lim 0. t 0
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再由定积分定义
例1 设 L是半圆周
L
:
x y
a a
cos t, sin t,
0
t
π,
试计算第一型曲线积分
( x2 y2 )ds. L
解
( x2 y2 )ds π a2 a2(cos2 t sin2 t )dt a3π.
L
0
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例2 设 L 是 y2 4x 从 O(0,0) 到 A(1,2) 一段(图20-2),
轴的 0 z a2 x2 的那部分柱面. 由第一型曲面
积分的几何意义可知它的面积为
A0 a2 x2 ds.
L
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L的参数方程为:
x a cos t, y a sin t, 0 t . 2
A0 L
a2 x2 ds= 2 a 0
a2 0
2 sin tdt
a2 .
这里 ti1 i, i ti . 设
n
f (( i), ( i))[ 2( i) 2( i) 2( i) 2( i)]ti , i 1
则有
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n
f (i , i )si
i 1 n
f ( ( i), ( i)) 2 ( i) 2 ( i )ti . (4) i 1
n
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| f ((t), (t)) | M .
再由 2(t) 2(t) 在 [ , ]上连续, 所以它在
[ , ]上一致连续, 即对任给的 0, 必存在 0, 使当 t 时,
2( i) 2( i)
2
(
i
)
2
(
i
)
,
从而
n
| | M ti M (b a), i 1
L f ( x, y)ds L g( x, y)ds. 4．若 L f ( x, y)ds 存在,则 L |L f ( x, y)|ds 也存在,
且
| L f ( x, y)ds | L| f ( x, y) | ds.
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5．若 L f ( x, y)ds 存在, L的弧长为s, 则存在常数
若L为空间可求长曲线段 , f ( x, y, z) 为定义在 L上 的函数, 则可类似地定义 f ( x, y, z)在空间曲线 L 上 的第一型曲线积分, 并且记作
L f ( x, y, z)ds.
于是前面讲到的质量分布在曲线段 L 上的物体的质
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量可由第一型曲线积分(1)或(2)求得.
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0 z f ( x, y)的部分的面积就是L f ( x, y)ds.
z
z f (x, y)
O
y
x
L
图20 1
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二． 第一型曲线积分的计算
定理20.1
设有光滑曲线
L
:
x y
(t), (t),
t
[ ,
],
f ( x, y) 为定义在 L 上的连续函数, 则
所以
n
f (i , i )si
i 1
n
f ( ( i), ( i)) 2 ( i) 2 ( i)ti , i 1
这里
t i 1
i,
i
ti
.
设
n
f ( ( i), ( i))[ 2( i) 2( i) 2( i) 2( i)]ti , i 1
则有
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n
f (i , i )si
c, 使得
L f ( x, y)ds cs,
这里 inf f ( x, y) c sup f ( x, y).
L
L
6. 第一型曲线积分的几何意义
若L为坐标平面Oxy上的分段光滑曲线, f ( x, y)为L
上定义的连续非负函数. 由第一型曲线的定义, 易见 以 L为准线, 母线平行于z 轴的柱面上截取
§1 第一型曲线积分
本节将研究定义在平面或空间曲线 段上的第一型曲线积分.此类积分的典 型物理背景是求非均匀分布的曲线状 物体的质量.
一．第一型曲线积分的定义 二．第一型曲线积分的计算
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一． 第一型曲线积分的定义
设某物体的密度函数 f (P) 是定义在 上的连续函 数当 是直线段时, 应用定积分就能计算得该物体
的质量.
现在研究当 是平面或空间中某一可求长度的曲线
段时物体的质量的计算问题.
(1) 分割：把 分成 n 个可求长度的小曲线段 i
(i 1, 2, , n).
(2) 近似求和：在每一个 i 上任取一点 Pi . 由于
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f (P) 为 上的连续函数, 故当 i的弧长都很小时,
每一小段 i的质量可近似地等于f (Pi )i , 其中i
所以 lim 0. t 0
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再由定积分定义
n
lim
t0 i1
f ( ( i), ( i))
2( i) 2( i)ti
b
f ((t), (t))
2(t) 2(t)dt.
到的. 下面给出这类积分的定义.
定义1 设 L 为平面上可求长度的曲线段, f ( x, y) 为
定义在 L 上的函数. 对曲线 L 做分割 T ,它把 L分成
n个可求长度的小曲线段 Li (i 1, 2, , n), Li 的弧长
记为si , 分割 T 的细度为 || T || max si , 在 Li上任取
1. 若 L fi ( x, y)ds(i 1, 2, , k) 在ci (i 1, 2, , k)为
k
常数, 则 L
ci fi ( x, y)ds 也存在, 且
i 1
k
k
L ci fi ( x, y)ds ci L fi ( x, y)ds.
i 1
i 1
2. 若曲线段 L 由曲线 L1, L2 , , Lk 首尾相接而成,
i 1
n
Байду номын сангаас
f ( ( i), ( i))
2 ( i)
2
(
i
)ti
.
(4)
i 1
令 t max{t1,t2, , tn}, 则当 T 0 时, 必有
t 0. 现在证明 lim 0. t 0
因为复合函数 f ((t), (t)) 关于 t 连续, 所以在闭区
间 [ , ] 上有界, 即存在常数M , 使对一切 t [ , ]
1i n
一点 (i ,i ) (i 1, 2, , n). 若有极限
n
lim
||T ||0 i 1
f (i , i )si
J,
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且J 的值与分割 T 与点 (i , i ) 的取法无关, 则称此
极限为 f ( x, y) 在 L 上的第一型曲线积分, 记作
L f ( x, y)ds.
为小曲线段 i 的长度.
于是在整个上的质量就近似地等于和式
n
f (Pi )i .
i 1
(3)
当对
的分割越来越细密(即 d
max
1i n
i
0)
时, 上述和式的极限就应是该物体的质量.
由上面看到, 求物质曲线段的质量, 与求直线段的质
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量一样, 也是通过“分割、近似求和、取极限”来得
f ( x, y)ds
f ((t), (t))
2(t) 2(t)dt. (3)
L
证 由弧长公式知道, L上由 t ti1 到 t ti 的弧长
si
i i 1
2(t) 2(t)dt.
由 2(t) 2(t) 的连续性与积分中值定理, 有
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si 2 ( i ) 2 ( i )ti (ti1 i ti ).
f ( x, y)ds(i 1,2, ,k) 都存在, 则 f ( x, y)ds
Li
L
也存在, 且
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k
f ( x, y)ds
f ( x, y)ds.
L
i 1 Li
3．若 L f ( x, y)ds 与 L g( x, y)ds都存在, 且在 L 上
f ( x, y) g( x, y),则