数学建模 模拟退火
中国数学建模-编程交流-模拟退火算法
中国数学建模-编程交流-模拟退火算法模拟退火算法模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。
根据Metropolis准则，粒子在温度T 时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann 常数。
用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。
退火过程由冷却进度表(CoolingSchedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。
3.5.1 模拟退火算法的模型模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
模拟退火的基本思想:(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)，每个T值的迭代次数L(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：(3) 产生新解S′(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。
算法对应动态演示图：模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
数学建模之模拟退火算法PPT文档共69页
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
数学建模之模拟退火算法
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
模拟退火算法应用实例
模拟退火算法应用实例一、什么是模拟退火算法模拟退火算法是一种优化算法，用于在搜索空间中寻找全局最优解。
它的基本思想是通过随机游走的方式，从一个初始解开始，在搜索过程中逐渐降低温度，使得概率性的接受更优解的能力逐渐减弱，最终达到全局最优解。
二、应用实例1. 旅行商问题旅行商问题是指给定一组城市和每对城市之间的距离，求解访问每个城市恰好一次并回到起始城市的最短路径。
这个问题是NP-hard问题，因此需要使用启发式算法来求解。
模拟退火算法可以用来求解旅行商问题。
首先随机生成一个初始路径，然后不断地进行交换两个节点位置，并计算新路径长度。
如果新路径比原路径短，则接受新路径；否则以一定概率接受新路径。
随着时间推移，温度逐渐降低，接受新路径的概率也逐渐降低。
最终得到全局最优解。
2. 图像处理模拟退火算法可以用于图像处理中的图像分割和图像匹配等问题。
例如，在图像分割中，我们可以将图像分成多个区域，使得同一区域内的像素具有相似的特征，不同区域之间的像素特征差异较大。
首先随机生成一个初始分割方案，然后不断地进行移动像素点到其他区域，并计算新分割方案的代价函数。
如果新方案比原方案更优，则接受新方案；否则以一定概率接受新方案。
随着时间推移，温度逐渐降低，接受新方案的概率也逐渐降低。
最终得到全局最优解。
3. 机器学习模拟退火算法可以用于机器学习中的参数优化问题。
例如，在神经网络中，我们需要找到最优的权重和偏置值来最小化损失函数。
首先随机生成一个初始权重和偏置值，然后不断地进行微小调整，并计算新损失函数值。
如果新损失函数比原损失函数更小，则接受新权重和偏置值；否则以一定概率接受新权重和偏置值。
随着时间推移，温度逐渐降低，接受新权重和偏置值的概率也逐渐降低。
最终得到全局最优解。
三、模拟退火算法的优点和缺点1. 优点（1）全局最优解：模拟退火算法可以找到全局最优解，而不是局部最优解。
（2）适用性广：模拟退火算法可以应用于各种问题，并且具有较好的鲁棒性。
模拟退火算法简单易懂的例子
模拟退火算法简单易懂的例子
模拟退火算法是一种基于概率的算法，来源于固体退火原理。
下面以一个简单的例子来说明模拟退火算法：
想象一个有十个元素的数组，代表一个能量状态，每个元素都有一个能量值。
开始时，所有元素都处于最高能量状态。
我们的目标是找到最低能量的状态，即最优解。
模拟退火算法的工作原理如下：
1. 从最高温度开始，逐渐降低温度。
在每个温度下，算法会尝试各种元素的组合方式，并计算其能量。
2. 在温度较高时，算法会尝试各种组合，并接受能量增加的“移动”，因为这些增加的能量对应于更高的温度，所以被接受的概率更大。
3. 随着温度的降低，算法开始更多地考虑能量的减少。
如果一个状态比前一个状态的能量更低，那么它一定会被接受。
但如果一个状态的能量比前一个状态的能量高，那么它会被以一定概率接受。
这个概率随着温度的降低而减小。
4. 重复上述过程，直到达到终止温度。
这时，算法已经找到了最低能量的状态。
模拟退火算法可以找到全局最优解，而不是局部最优解。
这是因为算法在搜索过程中会接受一些次优解（即能量增加的“移动”），以便跳出局部最优解，探索更广阔的解空间。
以上内容仅供参考，如果需要更多信息，建议查阅相关文献或咨询专业人士。
数学建模模拟退火算法
数学建模模拟退火算法
数学建模是一种将实际问题转化为数学问题，通过建立数学模型来分析和解决问题的方法。
而模拟退火算法则是一种基于概率的全局优化算法，常被用于求解复杂问题的最优解。
在数学建模中，模拟退火算法可以应用于各种领域，如图像处理、目标识别、路线规划等。
模拟退火算法的基本思想是从一个随机解开始，通过随机扰动和接受策略来探索可能解空间，并逐渐降温，使得随机扰动的程度逐渐减小，最终达到全局最优解。
在应用模拟退火算法时，需要确定初始温度、温度下降速度以及接受策略等参数。
在数学建模中，模拟退火算法可以应用于很多问题。
例如，在图像处理中，可以通过模拟退火算法对图像进行优化，如图像的平滑处理、边缘检测等。
在目标识别领域，模拟退火算法可以用于对目标进行跟踪和识别。
在路线规划问题中，模拟退火算法可以用于求解最优路径。
在应用模拟退火算法时，需要考虑算法的效率和精度。
为了提高效率，可以采用多种优化技巧，如快速随机数生成、启发式信息引导等。
为了提高精度，可以适当增加迭代次数和初始温度，以便探索更广泛的解空间。
总之，模拟退火算法是一种非常有用的全局优化算法，可以应用于很多数学建模问题中。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点和需求来选择算法参数和优化技巧，以达到最佳效果。
- 1 -。
模拟退火算法
模拟退火算法模拟退火算法(Simulated Annealing)是一种经典的优化算法，常用于解决复杂的优化问题。
它的灵感来自于金属退火的过程，通过降温使金属内部的不稳定原子重新排列，从而获得更优的结构。
在算法中，通过接受一定概率的差解，模拟退火算法能够逃离局部最优，并最终找到全局最优解。
在MATLAB中，我们可以使用以下步骤来实现模拟退火算法：1.初始化参数：设定初始温度T0、终止温度Tf、温度下降速率α、算法运行的迭代次数等参数，并设定当前温度为T0。
2.生成初始解：根据问题的要求，生成一个初始解x。
3. 迭代优化：在每个温度下，进行多次迭代。
每次迭代，随机生成一个新的解x_new，计算新解的目标函数值f_new。
4. 判断是否接受新解：根据Metropolis准则，判断是否接受新解。
如果新解比当前解更优，则直接接受；否则，以概率exp((f_current - f_new) / T)接受新解。
5.更新解和温度：根据前一步的判断结果，更新当前解和温度。
如果接受了新解，则将新解作为当前解；否则，保持当前解不变。
同时，根据设定的温度下降速率，更新当前温度为T=α*T。
6.重复步骤3-5，直到当前温度小于终止温度Tf。
7.返回最优解：记录整个迭代过程中的最优解，并返回最优解作为结果。
以下是一个简单的示例，演示如何使用MATLAB实现模拟退火算法解决旅行商问题(TSP)。
```matlabfunction [bestPath, bestDistance] =simulatedAnnealingTSP(cityCoordinates, T0, Tf, alpha, numIterations)numCities = size(cityCoordinates, 1);currentPath = randperm(numCities);bestPath = currentPath;currentDistance = calculateDistance(cityCoordinates, currentPath);bestDistance = currentDistance;T=T0;for iter = 1:numIterationsfor i = 1:numCitiesnextPath = getNextPath(currentPath);nextDistance = calculateDistance(cityCoordinates, nextPath);if nextDistance < currentDistancecurrentPath = nextPath;currentDistance = nextDistance;if nextDistance < bestDistancebestPath = nextPath;bestDistance = nextDistance;endelseacceptanceProb = exp((currentDistance - nextDistance) / T); if rand( < acceptanceProbcurrentPath = nextPath;currentDistance = nextDistance;endendendT = alpha * T;endendfunction nextPath = getNextPath(currentPath)numCities = length(currentPath);i = randi(numCities);j = randi(numCities);while i == jj = randi(numCities);endnextPath = currentPath;nextPath([i j]) = nextPath([j i]);endfunction distance = calculateDistance(cityCoordinates, path) numCities = length(path);distance = 0;for i = 1:numCities-1distance = distance + norm(cityCoordinates(path(i),:) - cityCoordinates(path(i+1),:));enddistance = distance + norm(cityCoordinates(path(numCities),:) - cityCoordinates(path(1),:)); % 加上回到起点的距离end```以上示例代码实现了使用模拟退火算法解决旅行商问题(TSP)。
模拟退火算法介绍
模拟退火算法介绍模拟退火算法（Simulated Annealing，SA）是一种基于蒙特卡洛方法的优化算法，由Kirkpatrick等人于1983年提出。
它模拟了固体物体从高温到低温时退火的过程，通过模拟这一过程来寻找问题的最优解。
首先，模拟退火算法需要生成一个初始解。
初始解是随机生成的，它代表了问题的一个可能解。
初始解的生成可以采用随机数生成方法，或者使用其他启发式算法生成。
然后，算法需要定义一个邻域结构来解空间。
邻域结构定义了问题的解的相邻解之间的关系。
在退火算法中，邻域结构是动态变化的，随着算法的进行，邻域结构会不断调整以适应的需求。
在退火准则方面，模拟退火算法使用了一个“接受准则”来决定是否接受一个邻域解。
接受准则基于Metropolis准则，它比较了当前解和邻域解之间的差异以及温度参数。
如果邻域解的质量更好，那么就接受它；否则，以一定的概率接受较差的解。
这个概率与温度成正比，随着温度降低，接受较差解的概率逐渐减小。
在算法的每个迭代中，温度参数会随着迭代次数逐渐降低，这意味着算法逐渐从随机转变为局部。
温度参数的降低速率决定了算法的接受较差解的概率的减小速率。
温度参数的决定是关键，它通常是一个退火函数的参数，根据经验选择。
总的来说，模拟退火算法是一种随机化的优化算法，通过模拟物理退火过程，在解空间时能够克服局部最优解，从而寻找全局最优解。
它的应用范围广泛，涵盖了诸多领域，如组合优化、图像处理、网络设计等。
但是，模拟退火算法的收敛速度相对较慢，需要很多次迭代才能找到最优解，因此在实际应用中需要根据具体问题进行合适的调整和优化。
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36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·
数学建模优秀方法-模拟退火算法简介
模拟退火算法算法简介模拟退火算法得益于材料的统计力学的研究成果。
统计力学表明材料中粒子的不同结构对应于粒子的不同能量水平。
在高温条件下，粒子的能量较高，可以自由运动和重新排列。
在低温条件下，粒子能量较低。
如果从高温开始，非常缓慢地降温（这个过程被称为退火），粒子就可以在每个温度下达到热平衡。
当系统完全被冷却时，最终形成处于低能状态的晶体。
如果用粒子的能量定义材料的状态，Metropolis 算法用一个简单的数学模型描述了退火过程。
假设材料在状态i 之下的能量为)(i E ，那么材料在温度T 时从状态i 进入状态j 就遵循如下规律：（1）如果)()(i E j E ≤，接受该状态被转换。
（2）如果)()(i E j E >，则状态转换以如下概率被接受：其中K 是物理学中的波尔兹曼常数，T 是材料温度。
在某一个特定温度下，进行了充分的转换之后，材料将达到热平衡。
这时材料处于状态i 的概率满足波尔兹曼分布：∑∈--==Sj KTj E KT i E T eei x P )()()(其中x 表示材料当前状态的随机变量，S 表示状态空间集合。
显然||1lim )()(S eeSj KTj E KT i E T =∑∈--∞→ 其中||S 表示集合S 中状态的数量。
这表明所有状态在高温下具有相同的概率。
而当温度下降时，∑∑∑∉--∈----→∈----→+=minminminminminminmin)()()(0)()(0limlimS j KTE j E S j KTE j E KTE i E T Sj KTE j E KT E i E T eeeee⎪⎩⎪⎨⎧∈==∑∈----→其它若 0 ||1limmin min )()(0minminminS i S eeS j KTE j E KT E i E T 其中)(min min j E E Sj ∈=且})(|{min min E i E i S ==。
数学建模——模拟退火
e
f
Tk
0.9632 0.3413
i j i j
f 26
k
③ j 4 3 2 1 f j 119 e T 0.8825 0.9286 i i 注释： 1. ①有条件转移； 2. ②为无条件转移； 3. 在③中，停在4-3-1-2状态，目标值仍为109；
1 1 1
3 4 2
1 3 1 4 1 4
32
五.SA的收敛性分析 （4）
t时刻处在各状态的概率向量 t 1 t , 2 t ,, n t 是行向量，假设系统在t+1时达到稳态，则
t 1 t T t
扩大
11
二.退火过程和Bolzman方程（5）
② 当 Tk 0 时， i E
Tk
E i与 E j 的小差别带来 Pi Tk 和 Pj Tk 的巨大差别
例如： E i=90， j =100， E
12
二.退火过程和Bolzman方程（6）
I.
当 Tk =100时
Pi Tk Ck e
三.SA的算法构造及步骤（4）
③ 若 f 0, 令 i j 转步④
(j比i好无条件转
k
移) ；否则产生 U 0,1 , 若 exp f , T
则令 i j (j比i好，有条件转移)。
注：Tk 高时，广域搜索； Tk低时，局域搜索
④ 若达到热平衡(内循环次数大于 nTk )转步⑤，
可见青蛙是跳到第三块石头上的机会多一些
34
五.SA的收敛性分析 （6）
2. SA的收敛性分析 ① 问题：
min f x ，x S，S是有限集，设 S N (S集中的 元素个数是N) 将状态按目标值进行升序编号，
mathematica 模拟退火算法
mathematica 模拟退火算法摘要：一、模拟退火算法概述1.1 模拟退火算法的定义1.2 模拟退火算法的发展历史1.3 模拟退火算法的应用领域二、模拟退火算法的原理与过程2.1 模拟退火算法的基本思想2.2 模拟退火算法的运算步骤2.3 模拟退火算法的算法参数三、Mathematica 与模拟退火算法3.1 Mathematica 简介3.2 使用Mathematica 实现模拟退火算法3.3 Mathematica 在模拟退火算法中的优势与局限四、模拟退火算法的优缺点及发展前景4.1 模拟退火算法的优点4.2 模拟退火算法的缺点4.3 模拟退火算法的发展前景正文：一、模拟退火算法概述1.1 模拟退火算法的定义模拟退火算法（Simulated Annealing Algorithm，SAA）是一种求解大规模组合优化问题的随机性方法。
它最早是由Metropolis 等人于1953 年提出，旨在解决物理学中的固态退火过程问题。
1.2 模拟退火算法的发展历史模拟退火算法起初用于解决物理学中的退火问题，后来被广泛应用于组合优化、信号处理、机器学习等领域。
在过去的几十年里，模拟退火算法得到了不断的发展和完善，出现了许多变种和改进算法。
1.3 模拟退火算法的应用领域模拟退火算法广泛应用于组合优化、信号处理、机器学习、量子计算等领域。
在这些领域中，模拟退火算法可以帮助人们解决复杂的优化问题，提高算法的效率和准确性。
二、模拟退火算法的原理与过程2.1 模拟退火算法的基本思想模拟退火算法的基本思想是通过模拟物理中的退火过程来寻找优化问题的解。
它从随机解开始，在解空间中随机游走，逐步降低温度，并以一定概率接受更差的解，避免陷入局部最优解。
2.2 模拟退火算法的运算步骤模拟退火算法的运算步骤主要包括初始化、升温、降温和停止四个阶段。
在初始化阶段，算法随机生成一个初始解。
在升温阶段，算法以较高的温度进行搜索，接受较差的解。
模拟退火算法讲义
模拟退火算法讲义1.基本思想2.算法流程（1）初始化初始解，设为当前解；（2）设置初温T和下降速度参数α；（3）在当前温度下进行随机邻域，寻找更好的解；（4）每次得到新解后，计算其目标函数值与当前解的目标函数值之差ΔE；（5）若ΔE小于等于0，或满足一定的概率条件P(ΔE,T)，则接受新解作为当前解；（6）降低温度，即T=T*α；（7）若满足停止条件，则算法终止，否则回到步骤（3）；（8）输出当前解作为最优解。
3.关键问题（1）初始温度的选择：初始温度过高可能导致无法跳出局部最优解，而初始温度过低可能导致无法找到全局最优解。
一种常用的方法是通过多次试验来确定初始温度，使其能够在相对较短的时间内找到一个较优解。
（2）温度下降速度的选择：温度下降速度决定了算法的收敛速度，过快的下降速度会导致陷入局部最优解，而过慢的下降速度则会使算法收敛速度过慢。
通常可以通过实验来确定一个适合的下降速度参数α。
（3）邻域算子的选择：邻域算子是指在当前解的邻域内进行，从而寻找更好的解。
常见的邻域算子有随机扰动法、交换相邻解法等。
具体选择哪种算子需要根据具体问题的特点来确定。
4.算法优缺点（1）算法具有较好的全局能力，能够跳出局部最优解，具有一定的随机性；（2）算法易于实现，并且没有太多的问题依赖，适用于各种类型的问题；（3）由于算法采用随机策略，所以有一定的概率陷入局部最优解，需要调节参数来平衡全局和局部的能力。
总结起来，模拟退火算法是一种基于随机的启发式算法，通过温度的不断降低来达到在解空间中全局最优解的目的。
虽然算法具有较好的全局能力，但在实际应用中还需要根据具体问题的特点来选择合适的参数和邻域算子，以取得较好的效果。
数学建模模拟退火算法
数学建模模拟退火算法数学建模是一项重要的研究方法，在各个学科领域都有广泛应用。
而退火算法是一种常见的优化算法，它通过模拟物质的退火过程来寻找问题的最优解。
下面本文将为大家介绍数学建模模拟退火算法的步骤。
首先，数学建模的第一步是选择问题及建立模型。
在这里，我们以旅行商问题为例进行讲解。
旅行商问题是指一个旅行商要走遍n个城市，并回到起点，问他应该按照怎样的顺序走才能使路程最短。
构建旅行商问题的数学模型，需要确定城市的坐标、距离矩阵等相关数据。
其次，建立目标函数，描述问题的优化目标。
在旅行商问题中，我们的目标是使路程最短。
因此，目标函数可以表示成：$${ \min \sum_{i,j=1}^{n} d_{i,j} x_{i}x_{j}}$$ 其中，dij表示城市i和城市j之间的距离，xi和xj则代表城市i 和城市j是否构成了回路。
接下来，我们需要确定退火算法的参数。
其中包括：初始温度T，降温速度a，迭代次数N和状态转移概率函数p。
其中，初始温度设置越高，容错率将越高；降温速度越慢，计算时间越长；迭代次数越多，则搜索的区域将越大；状态转移概率函数可以采用“metropolis准则”，即：$$ p=\begin{cases} 1\quad \Delta f\le 0 \\ e^{-\Delta f/T}\quad \Delta f>0 \end{cases} $$ 其中，△f代表目标函数的变化量，T表示当前温度，e为自然常数，越小则接受非最优解的概率也就越小。
最后，进行模拟退火算法的求解过程。
具体步骤包括：初始化，生成初始解；计算目标函数；降温，进行状态转移；重复上述过程，去掉个别的极值，直到收敛。
综上所述，数学建模模拟退火算法是一种有效的优化算法，和其他算法相比，模拟退火算法不需要求目标函数的导数，适用于非线性、非凸优化问题。
同时，该算法分类简单，容易实现，因此在实际应用中得到了广泛的推广和应用。
模拟退火算法讲义(数学建模)
第二章模拟退火算法（Simulated Annealing）搜索问题描述搜索问题描述搜索算法盲目搜索还是启发式搜索？按照预定的控制策略实行搜索，在搜索过程中获取的中间信息不用来改进控制策略，称为盲目搜索，反之，称为启发式搜索。
关于“启发式”，可有两种看法：1)任何有助于找到问题的解，但不能保证找到解的方法均是启发式方法；2)有助于加速求解过程和找到较优解的方法是启发式方法。
搜索算法盲目搜索深度优先、广度优先、代价优先、向前、向后、双向。
启发式搜索爬山法、模拟退火算法、遗传算法、粒子群算法、蚁群算法。
贪心算法1.随机选定一个初始解x 0；2.Do while （中止条件不满足）1.在某个邻域函数所定义的邻域范围内，按照某个（随机）扰动Δ产生策略，得到一个新解x i ’；2.对新解进行评估，得f (x i ’)；3.如果f (x i ’) > f (x i )（或者f (x i ’) < f (x i )），即新解比老解好，则令x i ＋1＝x i ’；4.否则，x i ＋1＝x i 。
3.End Do爬山法1.随机选定一个初始解x 0；2.Do while （中止条件不满足）1.在某个邻域函数所定义的邻域范围内，按照某个（随机）扰动Δ产生策略，得到多个新解X new ={x i 1, x i2,…, x i k }；2.对这组新解进行评估，得{f (x i 1), f (x i 2), …, f (x i k )}；3.x i ＋1＝x i ’,x i ’∈X new ,∀x i j , (i =1,2,…,n; j =1,2,…,k ), f (x i ’) > f (x i )且f(x i ’) > f (x i j )（或者f (x i ’) < f (x i )且f (x i ’) < f (x i j )），即新的当前解比老解好，并且是所有新解中最好的一个；4.如果，∀x i j , (i =1,2,…,n; j =1,2,…,k ), f(x i ) > f (x i j )（或者f (x i ) <f (x i j )），则x i ＋1＝x i 。
数学建模之模拟退火
退火是将金属和合金加热到适当温度，保持一 定时间，然后缓慢冷却的热处理工艺。退火后 组织亚共析钢是铁素体加片状珠光体；共析钢 或过共析钢则是粒状珠光体。总之退火组织是 接近平衡状态的组织。 退火的目的: ①降低钢的硬度，提高塑性，以利于切削加工 及冷变形加工。 ②细化晶粒，消除因铸、锻、焊引起的组织缺 陷，均匀钢的组织和成分，改善钢的性能或为 以后的热处理作组织准备。 ③消除钢中的内应力，以防止变形和开裂
1
假设所求解的问题是目标函数最小化问题f f ( X ') f (x) ，
若 f 0 ，则透过机率函数接受 f ( X ') 为新解。
2 接着判断是否满足降温条件，若是，则透过冷却机制降
温，T T ， [0,1] 。
反之，维持目前温度。之后判断是否达到终止条件， 3 例如达到设定的迭代次数或是连续几次迭代目前解都
A A0 B5 C9 D9 E 10ຫໍສະໝຸດ BC 59 08 80 96 99
DE 9 10 99 69 07 70
先算出A到E之间的距离，最后加上E到A之间的距离，即为环路距离
扰动步骤
（A B C D E）
扰动后
（A D C B E）
temp1 = ceil(n*rand); temp2 = ceil(n*rand); tem1 = min(temp1,temp2); tem2 = max(temp1,temp2); route_temp = fliplr(route(tem1:tem2)); route_new = [route(1:(tem1-1)) route_temp route((tem2+1):n)]; long_new = route_long(route_new,d);
模拟退火算法实现步骤
模拟退火算法实现步骤模拟退火算法是一种被广泛应用的全局寻优算法，它的应用范围涉及到很多领域，例如物理、化学、计算机科学等。
本文将从基本原理、实现步骤和应用实例三个方面进行介绍。
一、基本原理模拟退火算法是一种基于物理学的思想，它模拟了固体物质从高温状态到低温状态的过程，通过温度的不断降低，使系统中的粒子处于低能量状态。
这一思想被应用到求解优化问题中，将搜寻过程中粒子的漫步过程视为热力学系统的运动，通过控制系统温度和粒子漫步范围等参数，使系统能够跳出局部极小值，最终找到全局最优解。
二、实现步骤（一）初始化在开始求解之前，需要进行初始化。
即对于问题所涉及到的变量进行随机初始化。
在实际应用中，通常会对每个变量的取值范围进行规定，以保证求解的有效性。
（二）计算能量值通过对问题中各个决策变量进行随机初始化，形成一个可能的解，计算该解的能量值。
通常，能量值越小，表示解越优。
（三）漫步过程接下来，进行漫步过程以尝试寻找更优解。
漫步范围和步长通常初始时选择较大的值，随着温度的降低而不断减小，直到漫步范围和步长都十分小。
（四）接受策略对于每次得到的新解，需要通过接受策略决定是否接受该解。
根据温度和能量值的变化，通常有如下三种策略：1. 总是接受更优解，即使该解比当前解优劣相差不大。
2. 以一定的概率接受劣解，以避免陷入局部最优解。
3. 总是接受当前解，以避免拒绝全局最优解。
（五）温度调整模拟退火算法通过多次迭代寻找更优解，需要随着迭代次数的增加不断降低温度，降低漫步范围和步长以加快收敛速度。
温度的调整可以使用多种方法，例如线性降温、对数降温等。
（六）收敛判定模拟退火算法是一种随机算法，通常需要设置迭代次数和收敛误差来保证算法最终能够收敛到最优解附近。
当算法达到迭代次数或收敛误差时，算法停止。
三、应用实例模拟退火算法被广泛应用于组合优化问题、函数优化问题、图像处理等众多领域。
此处以一个工厂车间布局问题为例，介绍应用实例。
pyomo 模拟退火解方程
pyomo 模拟退火解方程
Pyomo是一个用于建模和求解数学优化问题的Python库，而模
拟退火是一种全局优化算法，通常用于求解复杂的非线性、非凸优
化问题。
要使用Pyomo进行模拟退火来解方程，你可以按照以下步
骤进行：
1. 定义优化模型，首先，你需要使用Pyomo来定义你的优化模型。
这包括定义决策变量、约束条件和优化目标函数。
在这个步骤中，你需要考虑如何将你的方程转化为数学模型的形式。
2. 配置模拟退火算法，Pyomo提供了一些优化算法的接口，包
括模拟退火算法。
你需要配置模拟退火算法的参数，比如初始温度、降温速度等。
这些参数的选择对算法的收敛性和效率有很大影响。
3. 求解优化问题，一旦你的模型和算法都配置好了，你可以使
用Pyomo来求解优化问题。
Pyomo会调用模拟退火算法来尝试找到
方程的最优解。
需要注意的是，将方程转化为优化模型的过程可能会比较复杂，特别是对于非线性方程。
你需要仔细考虑如何将方程的约束条件和
目标函数转化为优化模型的约束条件和目标函数。
此外，模拟退火算法通常用于全局优化，对于特定的方程可能存在更适合的优化算法，你需要权衡选择合适的算法。
总之，使用Pyomo的模拟退火算法来解方程是可行的，但需要仔细思考如何建立数学模型，并对算法的参数进行合适的调整。
希望这些信息能够帮助你开始使用Pyomo进行模拟退火来解方程。
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例已知敌方100个目标的经度、纬度如下：
我方有一个基地，经度和纬度为（70,40）。
假设我方飞机的速度为1000公里/小时。
我方派一架飞机从基地出发，侦察完敌方所有目标，再返回原来的基地。
在敌方每一目标点的侦察时间不计，求该架飞机所花费的时间（假设我方飞机巡航时间可以充分长）。
这是一个旅行商问题。
我们依次给基地编号为1，敌方目标依次编号为2，3，…，101，最后我方基地再重复编号为102（这样便于程序中计算）。
距离矩阵102102)(⨯=ij d D ，其中ij d 表示表示j i ,两点的距离，102,,2,1, =j i ，这里D 为实对称矩阵。
则问题是求一个从点1出发，走遍所有中间点，到达点102的一个最短路径。
上面问题中给定的是地理坐标（经度和纬度），我们必须求两点间的实际距离。
设B A ,两点的地理坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，过B A ,两点的大圆的劣弧长即为两点的实际距离。
以地心为坐标原点O ，以赤道平面为XOY 平面，以0度经线圈所在的平面为XOZ 平面建立三维直角坐标系。
则B A ,两点的直角坐标分别为：
)s i n ,c o s s i n ,c o s c o s
(11111y R y x R y x R A )s i n ,c o s s i n ,c o s c o s
(22222y R y x R y x R B 其中6370=R 为地球半径。
B A ,两点的实际距离
⎫⎛
=R d arccos ， 化简得
]s i n s i n c o s c o s )(a r c c o s [c
o s 212121y y y y x x R d +-=。
求解的模拟退火算法描述如下：
（1）解空间
解空间S 可表为{102,101,,2,1 }的所有固定起点和终点的循环排列集合，即
}102,}101,,3,2{),,(,1|),,{(102101211021===ππππππ的循环排列为 S
其中每一个循环排列表示侦察100个目标的一个回路，j i =π表示在第i 次侦察j 点，初始解可选为)102,,2,1( ，本文中我们使用Monte Carlo 方法求得一个较好的初始解。
（2）目标函数
此时的目标函数为侦察所有目标的路径长度或称代价函数。
我们要求
∑=+=
101
1
211
102),,,(min i i i d f π
ππππ
而一次迭代由下列三步构成：
（3）新解的产生 ① 2变换法
任选序号 v u ,（v u <）交换u 与v 之间的顺序，此时的新路径为：
10211111ππππππππ +++-v u u v v u
② 3变换法
任选序号v u ,和w ，将u 和v 之间的路径插到w 之后，对应的新路径为（设w v u <<） 1021111ππππππππ ++-w v u w v u （4）代价函数差
对于2变换法，路径差可表示为
)()(1111+-+-+-+=∆v v u u v u v u d d d d f ππππππππ
（5）接受准则
⎩⎨
⎧≥∆∆-<∆=0
)
/exp(0 1f T f f P
如果0<∆f ，则接受新的路径。
否则，以概率)/exp(T f ∆- 接受新的路径，即若
)/exp(T f ∆-大于0到1之间的随机数则接受。
（6）降温
利用选定的降温系数α进行降温即：T T α←，得到新的温度，这里我们取9999.0=α。
（7）结束条件
用选定的终止温度30
10
-=e ，判断退火过程是否结束。
若e T <，算法结束，输出当前
状态。
我们编写如下的matlab 程序如下： clc,clear
load sj.txt %加载敌方100个目标的数据，数据按照表格中的位置保存在纯文本文件sj.txt 中
x=sj(:,1:2:8);x=x(:); y=sj(:,2:2:8);y=y(:); sj=[x y]; d1=[70,40]; sj=[d1;sj;d1]; sj=sj*pi/180; %距离矩阵d d=zeros(102); for i=1:101
for j=i+1:102
temp=cos(sj(i,1)-sj(j,1))*cos(sj(i,2))*cos(sj(j,2))+sin(sj(i,2))*sin(sj(j,2));
d(i,j)=6370*acos(temp);
end
end
d=d+d';
S0=[];Sum=inf;
rand('state',sum(clock));
for j=1:1000
S=[1 1+randperm(100),102];
temp=0;
for i=1:101
temp=temp+d(S(i),S(i+1));
end
if temp<Sum
S0=S;Sum=temp;
end
end
e=0.1^30;L=20000;at=0.999;T=1;
%退火过程
for k=1:L
%产生新解
c=2+floor(100*rand(1,2));
c=sort(c);
c1=c(1);c2=c(2);
%计算代价函数值
df=d(S0(c1-1),S0(c2))+d(S0(c1),S0(c2+1))-d(S0(c1-1),S0(c1))-d(S0(c2),S0(c2+1));
%接受准则
if df<0
S0=[S0(1:c1-1),S0(c2:-1:c1),S0(c2+1:102)];
Sum=Sum+df;
elseif exp(-df/T)>rand(1)
S0=[S0(1:c1-1),S0(c2:-1:c1),S0(c2+1:102)];
Sum=Sum+df;
end
T=T*at;
if T<e
break;
end
end
% 输出巡航路径及路径长度
S0,Sum
计算结果为44小时左右。
其中的一个巡航路径如下图所示：。