人教版高中数学必修一教材备课用书

1．1集__合

1．1.1 集合的含义与表示 第一课时 集合的含义

集合的概念

[提出问题] 观察下列实例： (1)某公司的所有员工；

(2)平面内到定点O 的距离等于定长d 的所有的点；

(3)不等式组⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋1≥3，

x 2≤9的整数解；

(4)方程x 2－5x ＋6＝0的实数根； (5)某中学所有较胖的同学．

问题1：上述实例中的研究对象各是什么？ 提示：员工、点、整数解、实数根、较胖的同学． 问题2：你能确定上述实例的研究对象吗？ 提示：(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定．

问题3：上述哪些实例的研究对象不能确定？为什么？

提示：(5)的研究对象不能确定，因为“较胖”这个标准不明确，故无法确定． [导入新知] 元素与集合的概念 定义

表示

元素 一般地，我们把研究对象统称为元素 通常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示 集合

把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)

通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示

[化解疑难]

准确认识集合的含义

(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．

(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素.

元素的特性及集合相等

[提出问题]

问题1：“知识点一”中的实例(3)组成的集合的元素是什么？

提示：2,3.

问题2：“知识点一”中的实例(4)组成的集合的元素是什么？

提示：2,3.

问题3：“知识点一”中的实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系？

提示：相等．

[导入新知]

1．集合相等

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等．

2．集合元素的特性

集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．

[化解疑难]

对集合中元素特性的理解

(1)确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．

(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．

(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与3,2,1构成的集合是同一个集合.

元素与集合的关系及常用数集的记法[提出问题]

某中学2017年高一年级20个班构成一个集合．

问题1：高一(6)班、高一(16)班是这个集合中的元素吗？

提示：是这个集合的元素．

问题2：高二(3)班是这个集合中的元素吗？为什么？ 提示：不是．高一年级这个集合中没有高二(3)班这个元素． [导入新知]

1．元素与集合的关系

(1)如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A . (2)如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A . 2．常用的数集及其记法

常用的数集 自然数集

正整数集 整数集 有理数集

实数集 记法

N

N *或N ＋

Z

Q

R

[化解疑难]

1．对“∈”和“∉”的理解

(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种结果．

(2)“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R ∈0是错误的． 2．常用数集关系网

集合的基本概念

[例1] (1)上到点A 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数是( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

(2)判断下列说法是否正确，并说明理由． ①某个公司里所有的年轻人组成一个集合； ②由1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，1

2

组成的集合有五个元素；

③由a ，b ，c 组成的集合与由b ，a ，c 组成的集合是同一个集合．

[解] (1)选A “接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“2的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合．

(2)①不正确．因为“年轻人”没有确定的标准，对象不具有确定性，所以不能组成集合． ②不正确．由于32＝64，⎪⎪⎪⎪－12＝12，由集合中元素的互异性知，这个集合是由1，32，1

2这三个元素组成的．

③正确．集合中的元素相同，只是次序不同，但它们仍表示同一个集合． [类题通法]

判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点

(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．

(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性．

[活学活用]

判断下列每组对象能否构成一个集合． (1)著名的数学家；

(2)某校2017年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；

(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解； (5)平面直角坐标系内第一象限的一些点．

解：(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合．(2)与(1)类似，也不能构成集合．(3)任给一个实数x ，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x ＞20或x ＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)类似于(3)，也能构成集合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合.