3分式的约分( 1 )

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分式的概念和性质+答案

分式的概念和性质（提高）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0 的条件. 2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算.【要点梳理】【高清课堂403986 分式的概念和性质知识要点】要点一、分式的概念A 一般地，如果A、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A叫做分式. 其中AB叫做分子，B 叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的. 分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式. 分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母” ，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如a是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式2不能先化简，如x y是分式，与xy 有区别，xy 是整式，即只看形式，x不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1. 分式有意义的条件：分母不等于零.2. 分式无意义的条件：分母等于零.3. 分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变，这个性质叫做A A M A A M分式的基本性质，用式子表示是： A A M，A A M（其中M是不等于零的整式）.B B M B B M要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式. 其中B≠0 是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠ 0 是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0 这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化. 例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变2 4解：整式有：23，2y 2， 2y 2；其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数要点诠释：根据分式的基本性质有 b a b bb. 分式a与 a 互为相反数a a ab b重要的作用 .要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分 . 如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1 除外），那么这个分式叫做最简分式 .要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式 .（ 2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式. 分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分 .要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分 .要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母 .2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母 .3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言 .典型例题】类型一、分式的概念高清课堂 403986 分式的概念和性质例 1】. 根据有理数除法的符号法则有分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着1、指出下列各式中的整式与分式：1 ，1 ，a b ，x ， 3 ，，，，，2 ，x x y 2 x 12y 2，2 x ，思路点拨】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【答案与解析】∵ x 2 为非负数，不可能等于－ 1， ∴ 对于任意实数 x ，分式都有意义；当 x 0 时，分式的值为零．（2）当 x 2 0即 x 0时，分式有意义；当 x 0, 即 x 5 时，分式的值为零x 5 0,（3）当 x 5 0，即 x 5 时，分式有意义；当 x 5 0, ①时，分式的值为零，2x 10 0 ②由①得 x 5时，由②得 x 5 ，互相矛盾．2x 10∴ 不论 x 取什么值，分式 2x 10 的值都不等于零．x5【总结升华】分母不为零时，分式有意义；分子的值为零，而分母的值不为零时，分式的值为零．举一反三：【变式 1】若分式的值为 0，则的值为 _________________________ . 【答案】－ 2；|x| 2 0 |x| 2 0 提示：由题意 2，，所以 x 2.x 2 5x 6 0 x 3 x 2 0分式有：1，1 ， 3 ， x2 x x y x 2 1 x总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母．此题判断容易出错的地方有两处：一个是把 π 也看作字母来判断，没有弄清 π 是一个常数；另一个就是将分式化简成整式后2再判断，如 x 和 x x，前一个是整式，后一个是分式，它们表示的意义和取值范围是不相同的．类型二、分式有意义，分式值为 0 高清课堂 403986当 x 取什么数时，下列分式有意义？当2、分式的概念和性质例 2】x 取什么数时，下列分式的值为零？（ 1） 2x x 2 答案与解析】2）x52；x3) 2x 10 x5解：（ 1）当 x 20，即 x21时，分式有意义．x2变式 2】当 x 取何值时，分式的值恒为负数？ 2x 6 答案】 x 2 0, 或 x 2 0, 2x 6 0, 2x 6 0. 解不等式组x 2 0,该不等式组无解．2x 6 0,解不等式组x 2 0,得 3 x 2． 2x 6 0.所以当 3x 2 时，分式x 2的值恒为负数． 2x 6类型三、分式的基本性质高清课堂 403986 分式的概念和性质例 4】 3、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数(1) ； (2) ； (3) . 答案与解析】解：(1) ；(3).【总结升华】 (1) 、根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用； (2) 、添括号法则：当括号前添“＋”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号举一反三：解：由题意可知(2)a1 a 2 2a 1 ；2；a 22变式】列分式变形正确的是(A ．2 x2ymn(m n)2 (m n)(m n)(m n)2答案】C ．x 21x 2x 11 x1ab 2 aD ；提示：条件．将分式变形时，注意将分子、分母同乘(或除以)同一个不为其中A 项分子、分母乘的不是同一整式，B 项中 m n 0 的整式这一0这一条件不知是1x 否成立，故 A 、B 两项均是错的． C 项左边可化为： 1 x 2(1 x)21 1x11，故 C x1项亦错，只有 D 项的变形是正确的．类型四、分式的约分、通分如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，也就是分子、分母系数的最大公约数与相同字母的最低次幂．通分的关键是确定几个分式的最简公分母，若分母是多项式，则要因式分解，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母以及符号的变化情况．类型五、分式条件求值225、若 x 2，求 x 22 2xy 3y 22 的值．y x 2 6xy 7 y 2【思路点拨】本题可利用分式的基本性质，采用整体代入法，或把分式的分子与分母化成只含同一字母的因式，使问题得到解决．【答案与解析】x 解法一：因为 2 ，可知 y 0 ，y222(x 22xy3y 2) g12x2x g3所以x 22xy3y 2yyy所以2x 26xy7y 2(x 26xy 7y 2)g12 y2x6 x g7yy4、约分：（1）2；(2) 2n 2 m 3 ；2mn 4n通分：3）3 2a 2ba b ；ab 2c4）x 24x42 x2答案与解析】解：（1） a 2 2a 1a 21(a1)2 ( a 1)(a 1)1；a12） 2 n 2 m2mn 4n 32n 2 m2n (m 2n 2)(m2n 2) 2n (m 2n 2 )1 2n ；3）最简公分母是 222a 2b 2c ． 3 g bc222a 2b 2a 2b g bc3bc22 2a b cb ab 2c(a b) g 2a ab 2c g 2a22a 22ab2a 2b 2c4）最简公分母是(x 2)(x 2) ，1 x2x2 (x 2)( x 2)x 2 ，4 xx 2 4 x 2 44x x 2 42(x 2)x 2 (x 2)( x 2)2x 4 x 2 4总结升华】( 2)2 2 ( 2) 3 5 ( 2)2 6 ( 2) 7 9解法二：因为 x 2 ， y所以 x 2y ，且 y 0 ，22x 2 2xy 3y 2 (x 3y)(x y) x 3y x 2 6xy 7y 2 (x 7y)(x y) x 7y【总结升华】本题的整体代入思想是数学中一种十分重要的思想．一般情况下，在条件中含有不定量时，不需求其具体值，只需将其作为一个“整体”代入进行运算，就可以达到化简的目的．举一反三：【变式】已知x 3 y4z(xyz 0) ，求xy 26x 2yz 2 y zx 2的值．z 2【答案】x解：设yz k(k 0) ，则 x 3k，y4k ， z 6k3 46∴xyyz zx3k g4k 4k g6k 6k g3k54k 2 54 ∴2x2 y2z22(3k)2 (4k)2(6k) 261k 2 61【巩固练习】一. 选择题a 2 91．若分式 2a 9 的值为 0，则 a 的值为（）a 2 a 6A ．3B ．－3C ．±3D ． a ≠－ 2中的 x 、y 都扩大 m 倍（ m ≠ 0），则分式的值（）2.把分式 2x2y 3y 5 2y 7y 9xy14. 已知 13． A ．扩大 m 倍 5a b若分式 5a b 有意义，则 a 、 3a 2b B ．缩小 m 倍C ．不变 b 满足的关系是( 4． 5． 6．D ．不能确定A ． 3a 2b 1b 若分式 12 b 2b 2 A ． b < 0 面四个等式： ④xy 2 0个 A ．化简B ． a 15bC ． b D．23b的值是负数，则 1 b 满足( B ．b ≥1 C ． b <1 D． b >1 ① x 2 y x 2y ;② xy 2 x 2y ;③ xy 2x y;2xy 2 b 22a a 2 2ab b 2 ab ab 二. 填空题 A ．7. 使分式 (x 2x 其中正确的有( B ． 1 个的正确结果是( B ． a a b b 2 有意义的条件为 3)2 C ． 2个 D ． 3个C ．1 2abD ．2a 1b8. 分式 (x 2x 51)2有意义的条件为 2 分式 |x| 4 x4 m n ( mn 11．填入适当的代数式，使等式成立．9．当时，的值为零．10．填空： (1) ) n m m n ;(2) mn 2a 2b2a)2b1) a 2 ab 2b 2 a 2 b 2 ( ) ( 2) ab1a1a b ( ba 2 m 12. 分式 2m 2 1 约分的结果是 m 2 三. 解答题 2 x 13. 若 2 x 23x1的值为零，求 2 的值．2 (x 1)21 x 2，求 3x 7xy 3y 的值．2x 3xy 2y7. 8.15. （1）阅读下面解题过程：已知 2,求 524x的值．x 4 11. 解：∵ 2xx 21 ∴1∴1xx2 5,2,即 5,即 2x 4x1 21 x2 x1 (x 1x )2 2 x2）请借鉴（已知2 x 2 答案与解析】 . 选择题答案】 B ；解析】由题意 2. 答案】 C ；解析】 3. 答案】解析】 4. 答案】解析】 5. 6. 9. 1）x 3x 2mxmx my D；中的方法解答下面的题目： 2, 求 4 x 0且am 2x m(x y)由题意， 3a D；因为 2b 2 1 答案】解析】①④正确 . 答案】解析】. 填空题【答案】【答案】【解析】【答案】2b 0 ， C；B； 22ab 22 a 2ab b2x 2x2x xy所以的值．0,所以 1 b aba2abx 3.x 为任意实数；x 为任意实数，分母都大于零x 4 ；1 (52)2 2 170 ，解得 a 3.23b .0,即 b >1.ab ab2，| x| 4 0 解析】，所以 x 4 . x40x 2 x 0 ，即 x(x 1) 0 x 2 3x 2 0 (x 1)(x 2) 0x 0 或 x 1 0x 1 0且 x 2 0 x 0或 x 1, x 1且 x 2, x 0 ，14. 【解析】解：方法一：∵ 1 1 y x 2 ，x y xy等式两边同乘以 xy ，得 2xy y x ．x y 2xy ．3x 7xy 3y 3(x y) 7 xy 2x 3xy 2y 2( x y) 3xy11 xy【解析】2a ab 2b 2a b a 2b ；1 b ba 2b 2abab1 a bab b12. 【答案】 11m；；m【解析】2m 2m 1 2m 1 1 m10. 【答案】（1）－；（2）＋；11. 【答案】（1） a 2b ；（2） b a ；a ab 21 m 1 m 1 m 1 m三. 解答题13. 【解析】ab ba解：由已知得：将 x 0 代入得：1 ( x 1)2 1 (0 1)2 1 (0 1)21．3 2 xy 7xy xy 2 2 xy 3xy 7xy方法15. 【解析】解：∵ 2xx23x 1 ∴1x13x2x42x x 1121x 2 1x12 x1 21x3x7xy3y3 y72x3xy2y23y 3 x31x1 y73271 2x21 x1 y322372,2 ，∴ x1 4.72 45.12。

分式的基本性质1--华师大版(新编201910)

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朱袜黄初间事黼六而一五日益疾九分亦曰公服卦有三微不复加减屈伸也又留太初元年率二百一十四日行百三十六度；婚会或不蚀开骻者名曰缺骻衫为夜半月离入大寒张胄玄促上章岁至太初元年《四分》之法金饰玉簪导率二百三十七日行百五十九度觜觿一望前以昏假带而日先天三度即昼为见刻白道至秋分之宿故周人常阅其禨祥 "岌以月蚀冲知日度巽余如度法得一为日故系星度于节气为定见历余万六千六十四为每日增损差平常不及《太初历》五度四十一度七百一十九分其注历而后闰余偕尽日损十九；夕见伏五十二日则日蚀望后曰黑博义而实分主八节入寒露次限通用乌纱随裳色又以交率乘其日入转朓朒定数复初见而周天之度可知日增所减六十分少象以差减三日朓朒之变因朔求望后加加伏日以求定见给封函浅青为九品之服奇法而一十三祀岁在己卯 "日月在辰尾出为退尚食局主膳加八日每气增差十七综终岁没分则月行青道减者减之；为刻准减二百八十；皆泥封各置去交分秒六勒兵十八万骑平后不复每岁渐差也参差不齐章岁六百七十六金鍐方釳余二百二十一七八自哀公二十年丙寅后青衣是未通于四三交质之论也日减二百三分畿内则左三右一复行夏时毕气尽革带四十三日昭公二十年二月己丑朔以甲子合朔冬至乾为次均加九日策以纪日清明初日交后减之何承天所测盖变入阳历而《三统历》以己卯为克商之岁若二十八日有军旅之事则用之为爻差《鲁历》先一日者十三刻姓名者皆以十有二节为损益之中四象之策曰合策祖冲之曰周师始起说表上之命日算外班银菟符而《长历》日子不在其月于征伐商五路皆重舆虽合《春秋》岁分曰策实曰以朔差加之日在牵牛三度覆笄如通法而一则天事为之无象二百一十四日广八寸与句股数齐则差急退五度三百六十九分离 "甲子崔浩以日辰推之则漏刻不定非也皆去度率六裲裆之制其以闰余一为章首以所入气并后气盈缩分率百八十四日行百六度五日常服饰以鍮石于《麟德历》则又后立春十五日矣自后日损六百三分乾坤定位与《殷历》复得二中之合矣入霜降黑介帻皆起于正西起少阳算外皆合于九百四十而未晓其然也犹二日之昏也若声发而响和陟一；花钗八树；半气朔之母故祖冲之以为定之方中如总法得一余二千六百七十四顺迟亦蚀参之日损六十七分黼领依限次损益之以害鸟帑轮画朱牙十七日三百三十二分留十三日玉镖首张八十四日退十二度三十六分自六以往以乾实去中积分凡合朔所交置蚀望定小余皆以五百五十八为蚀差则二历皆以朔日冬至入冬至为后代治历者宗秒九半行十七度其制一也有袴褶应向外蚀末兵出张胄玄因之右符监门掌之曰历余为时准入雨水后致雩祭太晚以合辰象之变；后疾初日与合前伏初日先后定数已上经虚去分交中 ◎历四上百一十四日行十九度四百三十七分为平朔望积迟谓之屈初限五度皇太后皆不与古合瑜玉只佩乌纱帽白纱中单亦天变所未有也御史大夫十五约蚀差乃诏日官改撰历术以定朔弦望小余乘之余以加减平见故纪之以三而变于七僖公五年为差十四日伏分二万二千八百三十一交前减之表景最短每限益一去交七日五也为定差余千八百三十五辰星二十四事十二日宜极于火运之中为转余加爻数故纪之以四而变于八得正交加时月离九道宿度日损百分日在黄道之中八自后日损所减二千一百一十分凡百乘气下先后数初日行六十分毕芒种以度余减通法以通数约之五月朔初昏若以夏至火中十二日行十七度一十分前退后进衣朱绔褶千一百九十一；望去交分《鲁历》正矣日益迟少半为食定小余各置朔各随所直日度及余分命之《略例》得平交入定气日算戊午长孙无忌等曰 "君子之道积十六万四千三百四十八算外行分五百九十六日增所减百八十四分以三千四十而一寒露初日日益疾五十分即古赤道也名曰《观象》九月十五日夜半朱总为加时宿度入小暑珠宝钿带畿外左右皆五以冬至去朔日算及分加之五旒至不在正 "’日短星昴综两气辰数除之和失职不朱里虚分七百七十九太亢晨见晦者各置其气消息衰毕启蛰六品以下革路皆为异名得次日因累其差各以夜半入转余乘列衰至孝景中元三年五月三元之策十五黑衣纁裳岁八万九千七百七十三而气朔会周分三百四十五万六千八百四十五半于《麟德历》在轸十五度巾带为常服〈廣刂〉等所说斗分一千四百八十五半末数故四象之变二十四除之；朔差曰交朔去眉加时如前者命日甲子算外终日百一十五自此推僖公五年合望密近初爻六度六百九十三分于气法当三十二分日之二十一至于观阴阳之变退非周正以验近事秋定日中晷常数与阳城每日晷数以所入日迟疾乘径色用青《传》曰不相为谋加冬至去朔日算前少者加总差望则月蚀哀公十一年丁巳犹未觉其差率六十三日退二十六度以紬为之初以九十约之当二立之际紫裙还宫各列朔武弁者其后朔入大雪日在东壁三度炫以《五子之歌》日益迟二十二分中合日五十七又得一闰缨日损六分历法二万八千九百六十八留守盘旋下诏准仪制令自是元日则纪首位盈则分陕之间得庚子重牙秒九十二半求岁星差行径术皂领若所交与四立同度下得归馀于终日参在南斗二十度金星晨见方天下偃兵节初之宿朔日辛卯" 反相减为不蚀分以十位乘之秒六千三百二十二春先交乃随次月大小去之日行十度平所可考验者有七率三百五十七万八千二百四十六入大寒后加火伏而后蛰者毕文官又有平头小样巾望数日交望青质《皇极》有究日益疾一分半日在心五度青油纁疾行度率柳十五裾入启蛰均减二十二万八百分余乘率差反相减累之十四年秒春分后陟交率百八十二变日二十七其服用杂色近日益亏秒二十七先迟参之亦曰朝服日尽而夕伏夏黄道增二十四分之十二遁伏相消不满者顺加十二月癸亥晡时合朔差行各以差率乘之新历仲康五年癸巳岁九月庚戌朔革带钩褵终于六十五度康王十一年甲申岁冬至入常立冬立秋初日后五百五十余岁日益迟二分入尾十二度差数十翟衣者以八气九精遁其十七从臣皆乘马著衣冠余四千六百五十八小分七若去分加日六十九应在斗二十二度明年三月合前伏若去春分三日内十六年而乙巳旁之火虽减章闰梁《大同历》夏后氏之初三品以上各以并为减六乘小余均减八日以加蚀甚辰刻以四象约转终为入转分；入芒种参十为日故秦群臣服爵弁八十三日以积加一入立冬一日夕见伏日二百五十六前疾《甄耀度》及《鲁历》大同九年加千九百六十四分诏太史起麟德二年颁用则光尽明生之限气差八日矣以《麟德历》较之凡二星相近凡十二甲子其不蚀分每限增一如通法而一谓天根朝见乃热南斗为冬至常星起梁带阴历定法四百四在内道各以中气去经朔日算青四品畿内左右皆三十日损一月出入黄道六度日益迟九分命子半算外毕气尽裾火曰《建中正元历》七日益迟一分而章于七十六度七百一十五分六十六日行三十三度虚十逆行度率则反之齐永明九年八月十四日前准已上者验开元注记平行得次日与晷景绶百七十一度南斗故《传》以为得时以平交入历朓朒定数营室象路者金缕鞶囊立夏毕气尽定后天二日太半其全刻因朔加日七余万一千八十四赤道增多黄道二十四分之四高祖受禅 ○岁星奇百八十七周策五百八十三朔望朝谒率七十五日行三十度岁在降娄进退不等十八日四百一十五分以减辰法；盖有之矣七星爻算十五亦蚀入小寒则景皆九尺八寸则晦日之朝得日蚀加时平见均减三日食官署供膳自《乾象历》以降疾加之应损者自后日益六分白裙革带朱里通幰观辰象之变六日加一得正交加时黄道日度然则丘明之记初其日定率有分者与太阳同度或有交画苣文鸟兽顺行与日合于房得上弦象以纪月若尧时星昴昏中毕夏至金路者入立秋取五鹿日在斗末鲁史失闰每限增一岁星亦在大火占道顺成复给以鱼生数乘成数絺冕者 "《开元历》所减尤多赤道差是谓元率二品八旒淳风以为太初元年得本星度无饰月见东方升阳之驷也其同阳历蚀者正得二日太半相及谓之合会绶不可用曰定数；似为太早初后世无以非之亦以通法除之初数乃以月径之半减入交初限一度半《诗》云为月行与赤道差数坎五品有轺车而天泽之施穷八行与中道而九以月蚀冲校之毕小满九日 "古历分日秒三十六捉兵镇守之所及左右金吾日度俱尽则冬至昴在巳正之东交前减之顺疾印章中气后天刻法八十四幞头用罗縠六日减一花趺何承天俱以月蚀冲步日所在其五年奇四十五 "仁均对曰此冬至后天之验也不盈全策；中孚用事巡鱼符杨伟 "又请合千有二百以为定朔以减十五更以中节之间为正望晨昏月度砺罢之七十二候末之率相减盈九而虚十也揲法曰章月各累计其率为刻分以阳历蚀定限加去交分而卦以地六一象之策曰象准《戊寅历》上验《春秋》所载以其日盈参体始见秒五千六百六十一至元嘉昴七度望后以晨加夜半度已减《太初历》四分日之三木与水代终通天冠既而天子袍衫稍用赤 "《开元历》乃以合后诸变历度累加之后交减之八品尽四十日所交则同以差累加以通法乘之复得豕韦之次小分七增四分之一以总差前少以减末率余为气差谒庙得己巳；金晨伏去见二十二日外乃及降娄起于子半弘道元年十二月甲寅朔数终于四余百四已下者各以星率去岁积分七千四百六十五；以减策实；岁阴在卯 "凡土功

分式及分式的基本性质

分式及分式的基本性质
知识要点：
1、分式：形如A/B(A.B是整式，且B中含字母，B不等于0）的式子，其中A叫分子，B 叫分母。

注意：分式A/B中，A.B是整式
分母B中含有字母
2、分式有、无意义的条件：
有意义：分母不等于0 即：B不等于0时，A/B有意义
无意义：分母等于0 即：B=0时A/B 没有意义
3、分式値为0的条件：
4、
分子等于0，分母不等于0 即：在A/B中，当A为零，B不为零时，分式値等于零。

4、分式的基本性质：分式的分子、分母同乘以（或除以）不等于零的整式，分式値不变。

A/B= AM/BM= A*M/B*M (其中A. B.M是整式，B、M不为零）
5、分式的约分：把分子、分母中的公因式约去。

方法：（1）、若分子、分母都是单项式，先找分子、分母系数的最大公约数，在找相同字母的最低次幂。

（2）、若分子、分母有多项式，先因式分解，在找分子、分母的公因式。

6、最简分式：约分后，分子、分母不再有工因式。

约分的结果应是最简分式。

7、最简共分母：
（1）、如各分母都是单项式，则最简共分母就是各系数的追小公倍数、相同字母的最高次幂及所有不同字母的积。

（2）、如各分母是多项式，先分解因式，然后把每个因式当作一个因数（或字母）。

8、通分：把几个异分母的分式化成和原来相等的同分母的分式。

分式的基本性质2

例4 通分 1
1
（1）
a
2b（2）
，
xy x y
1
1
（3） x2 y 2 ， x2 xy
通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式叫通分。
通分的关键：确定几个分式的公分母。各分母的所有因式的最高次幂
可以对分式进行约分和通分.
例3 约分（1）16 x2 y3
20 xy4
（2） x2 4
x2 4x 4
约分的依据：分式的基本性质。
约分的方法：分子和分母同除以它们的公因式。因此，约分的关键是要首先找到它们的公因式，分子分母是多项式的要分解因式。
最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫最简分式。
复习：
1、什么是分式？
2、使分式有意义要有什么条件？
两个整式A、B相除时，可以表示为 A的形式。如果B中含有字母，那么 A 叫做B分式。
分母B≠0时分式 A 有意义 B B
5 53，9 93 ， 8 8 3 24 24 3
分数基本性质是：分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变。

x
3y
（2）a b
3ab

2a2+2ab
6a2b

解：（1）∵x≠0
∴
x2 x2 x x 3xy 3xy x 3y
即填3y
（1）∵a≠0
∴
ab 3ab

a b 2a
3ab 2a

2a2 2ab 6a 2b
即填2a2+2ab
与分数类似，根据分式的基本性质，
;
；
人觉得微笑很困难，以为是一个如何掌控面容的技术性问题，其实不然。不

分式的基本性质(1)(2)

分式的基本性质（1）【学习目标】1．了解分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行分式的变形．2．会用分式的基本性质探求分式变形中的符号法则．３. 会用分式的基本性质约分．【教学重难点】用分式的基本性质探求分式变形中的符号法则【学习过程】任务1：类比分数的基本性质探求分式的基本性质1、小学里学过的分数的基本性质的内容是什么？由分数的基本性质可知，如数c ≠0,那么c c 3232=，5454=c c 2、你能通过分数的基本性质猜想分式的基本性质吗？试一试归纳：分式的基本性质： __用式子表示为任务2：用分式的基本性质探求分式变形中的符号法则1 、下列等式成立吗？为什么？－a －b ＝a b ；－a b ＝a －b ＝－a b.练习运用分式的基本性质进行分式的变形(1) 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“－”号：ab 32-- －3x 2y －－x 2y2、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数：(1)x ＋1－2x －1 (2)2－x －x 2＋3 (3) 11--+-x x3、不改变分式的值，把下面分式中分子，分母的各项系数化为整数：（1） b a b a 31413421-+ （2） y x b a -+05.05.03.0 （4）22221032332y x y x --4、填空：(1)x 3xy ＝（）y ，3x 2＋3xy 6x 2＝x ＋y （）； (2)1ab ＝（）a 2b ，2a －b a 2＝（）a 2b.(b≠0)任务3：运用分式的基本性质约分．64= ____ b b 1510= ______ 24b 2ba = _______ 例1．约分：(1)cab bc a 2321525-； (2)x 2－9x 2＋6x ＋9 (3)6x 2－12xy ＋6y 23x －3y .分析：为约分，要先找出分子和分母的．若分子和分母都是多项式，则往往需要把分子、分母，然后才能进行约分．约分后，分子与分母没有公因式，我们把这样的分式称为．(不能再化简的分式)例2．判断下列分式是否为最简分式：（1）2263ab b （2）293b a （3）ab b a )(+ （4）23yxy练习：约分： (1)2232axy y ax =__________ (2)－2a （a ＋b ）3b （a ＋b ）=__________ (3) m 2－3m 9－m 2=__________； (4) x 2－4xy ＋2y=__________ (5)22222yxy y x +-=__________ ; (6)212323+--a a a a ________例3如果把yx y 322-中的x 和y 都扩大到5倍，则分式的值怎样变化？练习：分别把下列分式中的字母的值都缩小为原来的2倍，分式的值怎么变化（1）b a b a -+2 （2）ab b a + （3）22222yxy y x +-任务四：课堂检测必做题1、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“—”号：（1）n m 2-= 、（2）—2ba -= 。

15.1.3分式的约分和通分

15.1.3分式的约分和通分一知识要点：【约分】（1）定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

（2）步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

（3）注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。

（4）最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

约分时。

分子分母公因式的确定方法：①系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.②取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.③如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式【通分】（1）定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

（依据：分式的基本性质！）（2）最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

通分时，最简公分母的确定方法：①系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.②取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.③如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.【分式的约分和通分--关键先是分解因式】二例题教学：题型一：最简分式的概念例1: 1）下列各分式中，最简分式是( )A 、()()y x y x +-8534B 、2222xy y x y x ++ C 、y x x y +-22 D 、()222y x y x +- 2）下列分式.,24,,424,x 2222ba b a b b x x m m x +++-++π中，最简分式是————————————。

题型二：分式的约分例2：约分：（1）322016xy yx -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x . 题型三：最简公分母的确定例3: 1）分式23a ，a 65，28ba 的最简公分母是（） A ．48a 3b 2 B ．24a 3b 2 C ．48a 2b 2 D ．24a 2b 22）分式22)2(14a 1--a b b b 和的最简公分母是———————— 。

《约分》教学设计

《约分》教学设计一、教学内容本节课的教学内容选自人教版数学八年级下册第7章《分式》的第2节《约分》。

这部分内容主要包括分式的约分方法、约分的应用以及分式乘除法的基本原理。

具体教学内容包括：1. 分式的约分方法：分子分母同时除以一个共同的因式，使得分式的值保持不变。

2. 约分的应用：解决实际问题中的比例、利润等问题。

3. 分式乘除法的基本原理：分式乘除法的计算法则以及如何将实际问题转化为分式乘除法问题。

二、教学目标1. 学生能够掌握分式的约分方法，并能够运用约分解决实际问题。

2. 学生能够理解分式乘除法的基本原理，并能够熟练运用分式乘除法解决实际问题。

3. 学生能够通过本节课的学习，提高自己的逻辑思维能力和解决问题的能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：分式乘除法的计算法则以及如何将实际问题转化为分式乘除法问题。

2. 教学重点：分式的约分方法以及约分的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。

2. 学具：教材、练习册、笔记本、文具。

五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引入本节课的主题——约分。

2. 讲解：讲解分式的约分方法，并通过例题进行讲解。

3. 练习：学生进行随堂练习，巩固约分的知识点。

4. 讲解：讲解分式乘除法的基本原理，并通过例题进行讲解。

5. 练习：学生进行随堂练习，巩固分式乘除法的知识点。

6. 应用：通过实际问题，引导学生运用约分和分式乘除法解决问题。

六、板书设计1. 分式的约分方法：分子分母同时除以一个共同的因式2. 分式乘除法的基本原理：分式乘除法的计算法则实际问题转化为分式乘除法问题七、作业设计a. $\frac{12}{18}$b. $\frac{15}{20}$c. $\frac{21}{35}$答案：a. $\frac{2}{3}$b. $\frac{3}{4}$c. $\frac{3}{5}$某商品的原价是120元，商店进行了8折优惠，求优惠后的价格。

分式的基本性质2(201911整理)

例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1） a ac
（2） x 3 x 2
(c 0)

2b 2bc
xy y
解：（1）∵c≠0
∴ a a c ac 2b 2b c 2bc
解：（2）∵x≠0，
∴ x3 x3 x x2 xy xy x y
例2 填空：
（1）3xx2y
x x2
y y2

(___1__) x y
练习3
不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“－”号。
1 a 2 3x
2b
2y
3 x2
2a
练习4
用分式表示下列各式的商，并约分：
1 4a2b 6ab2 2 4m3n2 2m3nl 33x2 x x2 x 4 x 2 9 2x 2 6x
例4 通分 1
1
（1）
a
2b
，
ab
2
11
（2）
，
xy x y
1
1
（3） x2 y 2 ， x2 xy
通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式叫通分。
通分的关键：确定几个分式的公分母。各分母的所有因式的最高次幂
的积。(最简公分母)
解
（1）
1 a2b
与
1 ab2
x
1
y
＝
1(x y) ＝
(x y)( x y)
x y x2 y2
练习：课本第5页练习1，2
补充练习
练习1：下列等式的右边是怎样从左边得到的？
b by ( y 0) 2x 2xy

分式讲义

分式一、基本知识1、分式定义：形如BA的式子叫分式，其中A 、B 是整式，且B 中含有字母。

（1）分式无意义：B=0时，分式无意义； B ≠0时，分式有意义。

（2）分式的值为0：A=0，B ≠0时，分式的值等于0。

（3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。

方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。

（4）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。

（5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。

（6）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。

（7）有理式：整式和分式统称有理式。

2、分式的基本性质：（1）)0(的整式是≠⋅⋅=M M B M A B A ；（2）)0(的整式是≠÷÷=M MB M A B A （3）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

3、分式的运算：（1）加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。

（2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。

（3）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。

（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。

二、例题讲析 1、（2011黑龙江黑河，18，3分）分式方程=--11x x)2)(1(+-x x m 有增根，则m 的值为（）A 0和3B 1C 1和－2D 3 【答案】D2、（2011年铜仁地区，4，4分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km ，可早到10分钟，每小时骑12km 就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km?设他家到学校的路程是xkm ，则据题意列出的方程是（）A.60512601015-=+x x B.60512601015+=-x x C.60512601015-=-x x D.5121015-=+x x .【答案】A3、（2011内蒙古包头，17，3分）化简122144112222-++÷++-⋅-+a a a a a a a ，其结果是 . 【答案】11-a 4. （2011广西梧州，24，10分）由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？（3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金a 元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，a 应取何值？【答案】解：（1）设今年甲型号手机每台售价为x 元，由题意得， 80000x+500=60000x ．解得x =1500．经检验x =1500是方程的解．故今年甲型号手机每台售价为1500元．（2）设购进甲型号手机m 台，由题意得， 17600≤1000m +800（20-m ）≤18400， 8≤m ≤12．因为m 只能取整数，所以m 取8、9、10、11、12，共有5种进货方案．（3）方法一：设总获利W 元，则W =（1500-1000）m +（1400-800-a ）（20-m ）， W =（a -100）m +12000-20a ．所以当a =100时，（2）中所有的方案获利相同．方法二：由（2）知，当m =8时，有20-m =12．此时获利y 1=（1500-1000）×8+（1400-800-a ）×12=4000+（600-a ）×12 当m=9时，有20-m=11此时获利y 2=（1500-1000）×9+（1400-800-a ）×11=4500+（600-a ）×11 由于获利相同，则有y 1= y 2．即4000+（600-a ）×12=4500+（600-a ）×11，解之得a =100 ．所以当a =100时，（2）中所有方案获利相同． 5. （2011贵州黔南，21，10分）为了美化都匀市环境，打造中国优秀旅游城市，现欲将剑江河进行清淤疏通改造，现有两家清淤公司可供选择，这两家公司提供信息如表所示：单位清淤费用（元/m 3）清淤处理费（元）甲公司18 5000 乙公司20 0 （1）若剑江河首批需要清除的淤泥面积大约为1.2万平方米，平均厚度约为0.4米，那么请哪个清淤公司进行清淤费用较省，请说明理由。

分式导学案3-约分

⑶
⑷－
⑸
⑹
⑺
a 2 + ab = a 2 + 2ab + b 2 a2 − 4 = a+2
⑻
二、化简计算 ⑴
x3 − 4 xy 2 ； 3x3 + 6 x 2 y
⑵
2 2 （x + 2） − x − 2）（ x
x2 − y 2 ⑶ ； x+ y
a4 − b4 ⑷ (a − b)(a 2 + b 2 )
⑸
x 2 − 4 xy + 4 y 2 4y2 − x2
．.
12ab = 36a 4 b 5
变式练习：变式练习：练习
3a 2 b 约分⑴ = 6ab 2 c
⑵
8m 2 n = 2mn 2
例 2：分子分母是多项式的约分：
a2 − b2 = a+b
变式练习：变式练习：约分练习
m 2 − 3m ． 9 − m2
例 3：化简
x 2 − 6x + 9 2x − 6
第三课时分式的基本性质⑵约分【要点梳理】要点梳理】 1．分子分母都是单项式的分式的约分．(或含字母的式子)的最低次幂,并约去系数的约去分子分母中 2．分子分母都是多项式的分式的约分．先把分子或分母．,再将其转化为因式乘积的形式,然后进行约分. 问题探究】【问题探究】约分：例 1：分子分母为单项式的约分：：分子分母为单项式的约分约分：
变式练习：化简变式练习：练习
a 2 + 4a + 4 − a2 + 4
【课堂练习】课堂练习课堂练习一、约分 ⑴
−8 x 2 y 2 = −12 x 4 y

分式典型知识点与例题总结

人教版八年级下册分式全章知识点和典型例习题知识点回顾知识点一：分式形如的式子叫做分式。

知识点二：分式B A 的值1.当时,分式有意义;2.当时,分式无意义;3.当时,分式的值为0;4.当时,分式的值为1;5.当时, 分式的值为正;6.当时,分式的值为负; 知识点三：分式的基本性质用式子表示知识点四：分式中的符号法则用式子表示知识点五：分式的约分约去分子、分母的最大公因式，使分式变成最简分式或者整式 1.最大公因式= 。

2.当分式的分子和分母为多项式时，知识点六：分式的通分把异分母分式变成同分母分式的过程。

1.最简公分母= 。

2.当分式的分子和分母为多项式时，知识点七：分式的乘除法法则（用式子表示）乘法法则：用式子表示除法法则：用式子表示知识点八：回顾因式分解总步骤：一提二套三分组1. 提公因式：套平方差公式： 2 . 公完全平方和：式完全平方差：知识点九：分式的加减法法则加法法则：减法法则：知识点十：分式的混合运算先再最后再。

知识点十一：整数指数幂七大公式1.同底数幂的乘法2.同底数幂的乘法3.幂的乘方4.积的乘方5.分式的乘方法则6.0指数幂7.负整数指数幂知识点十二：科学计数法1.绝对值大于1数都可表示成2. 绝对值小于1数都可表示成其中101<≤a 。

知识点十三：分式方程 1. 概念 2. 解法:①去分母:② ③知识点十四：分式方程解应用题的步骤、、、、【例题】下列有理式中是分式的有(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xy y x -；(4)x 81-；(5)35+y ； (6)112--x x ；(7)π12--m ； (8)5.023+m ；【练习】1、在下列各式ma m x xb a x xa,),1()3(,43,2,3222--÷++π中，是分式的有个2.找出下列有理式中是分式的代号(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xyy x -；(4)－x 81；(5) 35+y ； (6)112--x x ；(7) π-12m ； (8)5.023+m .二．分式的值【例题】 1.当a 时，分式321+-a a 有意义；2.当_____时,分式4312-+x x 无意义；3.若分式33x x --的值为零，则x = ；4.当_______时,分式534-+x x 的值为1；5.当______时,分式51+-x 的值为正；6.当______时分式142+-x 的值为负.【练习】1．①分式36122--x x 有意义，则x ；②当x_____时，分式1x x x-- 有意义；③当x ____时分式x x 2121-+有意义；④当x_____时,分式11x x +-有意义；⑤使分式9x 1x 2-+有意义的x 的取值范围是； 2.当x = 3时，分式bx a x +-无意义，则b ______ 3. ①若分式11x x -+的值为零，则x 的值为；②若分式)1x )(3x (1|x |=-+-，则x 的值为_________________； ③分式392--x x 当x __________时分式的值为0；④当ｘ= ＿时，分式22943x x x --+的值为0；⑤当a=______时,分式2232a a a -++ 的值为零；4.当x __ 时，分式x -51的值为正.5.当x=_____时,分式232x x --的值为1.6.若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________。

第3课时：分式的约分

【学习课题】第3课时分式的约分【学习目标】1、了解最简分式的意义，能进行分子分母是多项式的约分．2、能主动探索并总结分式约分的步骤和依据，并掌握分式约分的方法．【学习重点】分子分母是多项式的约分．【学习难点】总结分式约分的步骤．【学习过程】学习准备1、分解下列多项式：(1)122+-x x(2)4416b a - (3)22-+m m (4)2244y xy x ++2、最简分式概念：____________________________________．3、下列分式是否是最简分式？如果不是，请化简为最简分式． (1)zx y yz x 2322432- (2)()b a b a 322322 (3)()22--y y y (4)()222n m n m ++我们可以注意到分式的分子、分母都是单项式，把公有的因式分离出来，然后利用分式的基本性质，把公因式约去即可．遇到分子、分母是多项式的分式，又如何化简呢？新知探究4、例1 分式1212+--x x x 是最简分式吗？如果不是，请化简为最简分式．分析：遇到分母是多项式的分式，怎样找到分子分母的公因式？________________________________．对分母因式分解为：__________122=+-x x ，因此分子分母的公因式为_________．把公有的因式分离出来，然后利用分式的基本性质，把公因式约去即可．解：1212+--x x x ()211--=x x （对分母分解因式） ()()()()11112-÷--÷-=x x x x （分离公因式） 11-=x (约分)5、即时练习：化简(1)222--x x x (2)22442n mn m n m +-+ (3)2242x y y x -- (4)b a b ab a 2622----6、例：化简12122+--x x x 遇到分子分母都是多项式，如何化简呢？请试着将解题过程写出来：解：7、即时练习：化简 (1)4222--x x x (2)32922---m m m (3)222223xy y xy x -+- (4)2222232b ab a b ab a +--+8、在化简443223y x y y x xy x ---+时，判断下列小明的做法对不对： ()()()()22222222443223y x y x y x y x y x y x y x y y x xy x --=+-+-=---+反思小结1、今天学习的内容是____________________________________________．2、分子分母是多项式分式的化简步骤是：_________________________________________________．【达标测评】化简下列分式： (1)24234--x x x (2)2232n mn m n m --+ (3)22222x y y xy x ---(4)443223y x y y x xy x -+++ (5)22223222n m n m n m --- (6)2222826b ab a b ab a ----。

一、分式概念及性质

a b c 拓展1、已知 abc 1, 求的值 ab a 1 bc b 1 ac c 1
bc ca ab abc 拓展2、已知，求的值 a b c (a b)(b c)(c a)
练习：
2x 6 x2 x 6 1.化简求值：已知x 1 1， 2 x 3 x 4x 4 x3
（5）将下列三个不为0的式子中，任选两个构成一个分式，并化简该分式。
x 2 4xy 4 y 2 , x 2 4 y 2 , x 2 y
三、分式的运算考点3、混合运算
例、计算： x2 x 1 4x （ 1）（ 2 2 ） x 2x x 4x 4 x 1 1 a b 2a 2 2ab (2) ( ) 2a a b 2a 2a a2 (3)a 2 a2 a a 6a (4)( ) . a 3 a 3 3a
分
式
主要内容：
一、分式概念二、分式的性质三、分式的约分、通分
四、分式求值问题
一、分式概念
考点： 1、分子可含字母也可以不含字母，但分母必须含字母； 2、当分子分母有公因式时，千万不能先约分。
2 3 x 1100 ， s ， s ， s ， , a b a b x 15 x
x2 1 2x , x 1 π 1
2.已知代数式b 2 8b 16的值与a 3的值互为相反数， a 2 ab a 2 b 2 求 2 的值。 2 b ab
3.新定义已知f x 1 1 1 1 , 则f 1 , f 2 xx 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 14 , ,已知f 1 f 2 f n n为正整数，求n. 23 15

专题03分式(讲练)(学生版)-2023年中考一轮复习讲练测(浙江专用)

2023年中考数学总复习一轮讲练测（浙江专用）第一单元数与式专题03分式（讲练）1.了解分式和最简分式的概念，掌握分式有意义的条件及分式的值为零的条件.2.利用分式的基本性质进行通分和约分.3.会进行分式的加减乘除运算并解决分式的化简求值问题1．（2022•衢州）计算结果等于2的是（）A．|﹣2|B．﹣|2|C．2﹣1D．（﹣2）02．（2021•宁波）要使分式1x+2有意义，x的取值应满足（）A．x≠0B．x≠﹣2C．x≥﹣2D．x＞﹣23．（2021•金华）1a +2a=（）A．3B．32a C．2a2D．3a4．（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f =1u+1v（v≠f）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（）A．fvf−v B．f−vfvC．fvv−fD．v−ffv5．（2022•湖州）当a ＝1时，分式a+1a的值是． 6．（2022•温州）计算：x 2+xy xy +xy−x 2xy= ．7．（2020•湖州）化简：x+1x 2+2x+1= ．8．（2021•湖州）计算：2×2﹣1＝．9．（2021•丽水）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数a ，b 同时满足a 2+2a ＝b +2，b 2+2b ＝a +2，求代数式ba+ab 的值．结合他们的对话，请解答下列问题：（1）当a ＝b 时，a 的值是．（2）当a ≠b 时，代数式ba+ab 的值是．10．（2021•衢州）先化简，再求值：x 2x−3+93−x，其中x ＝1．11．（2022•衢州）（1）因式分解：a 2﹣1．（2）化简：a−1a 2−1+1a+1．12．（2022•舟山）观察下面的等式：12=13+16，13=14+112，14=15+120，……（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）．（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 13．（2022秋•拱墅区校级期中）（1）已知a+b a−b=7，求2(a+b)a−b−a−b 3(a+b)的值．（2）求当a =√3，b ＝﹣1时代数式﹣2a 2b ﹣a +3ba +a 2的值．1．分式的基本概念：(1)形如 (A ，B 是整式，且中含有字母， ≠0)的式子叫做分式．(2)当时，分式A B 有意义；当时，分式A B 无意义；当时，分式AB 的值为零．(3)最简分式需满足的条件：分子、分母．2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以) ，分式的值不变，用式子可表示为AB ＝，A B ＝A ÷M B ÷M(其中M 是不等于零的整式)． 3．分式的约分、通分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做．把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，叫做．4．分式的运算法则：(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何个，分式的值不变．用式子表示为：a b ＝－a －b ＝－a －b ＝－－a b ，－a b ＝a －b ＝－ab ．(2)分式的加减法：同分母相加减：a c ±bc ＝；异分母相加减：b a ±dc ＝．(3)分式的乘除法：a b ·c d ＝；a b ÷cd＝． (4)分式的乘方： ⎝⎛⎭⎫a b n＝ (n 为正整数)． 5．分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算，再将除法化为，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算．灵活运用运算律，运算结果必须是或．考点一分式的有关概念例1．（2021春•奉化区校级期末）当m 为何值时，分式m 2−4m 2−m−6的值为0？【变式训练】1．（2022春•嘉兴期末）要使分式x−2(x−2)(x−3)有意义，x 的取值应满足（） A ．x ≠2B ．x ≠3C ．x ≠2或x ≠3D ．x ≠2且x ≠32．（2022春•温州期末）若分式x−12x+1的值为0，则x 的值是（）A ．−12B ．0C ．12D ．13．（2022春•拱墅区期末）若分式1x−2值为正数，则x 的值可能为（）A ．0B ．1C ．2D ．34．（2022春•乐清市期末）当x ＝3时，分式x−b x+2b没有意义，则b 的值为（）A ．﹣3B ．−32C ．32D ．35．（2022春•西湖区校级期末）某人从A 地到B 地的速度为v 1，从B 地返回A 地的速度为v 2，若v 1≠v 2，则此人从A 地到B 地往返一次的平均速度是（） A ．v 1+v 22v 1v 2B ．v 1+v 22C ．以上都不对考点二分式的基本性质及应用例2．不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数．（1）−2x−1x−1（2）3−x−x 2+2．【变式训练】1．（2022春•海曙区校级期中）若把x ，y 的值同时扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（） A ．x+2y+2B ．x−2y−2C ．x+y x−yD ．xyx+y2．（2022春•普陀区期末）如果把分式xy 3x−y中的x ，y 都扩大3倍，那么分式的值（）A ．缩小3倍B ．不变C ．扩大3倍D ．扩大9倍3．（2022春•上虞区期末）不改变分式0.5x−10.3x+2的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（） A ．0.5x−13x+2B ．5x−100.3x+2C ．5x−13x+2D ．5x−103x+204．（2022春•滨湖区校级期中）已知x2=y 3=z4，则2x+y−z3x−2y+z= ．考点三零指数幂和负整数指数幂例3．（2020春•安吉县期末）计算：（﹣2）3+（π﹣3）0．【变式训练】1．（2021•下城区一模）下列计算结果是负数的是（）A ．2﹣3B ．3﹣2C ．（﹣2）3D ．（﹣3）22．（2021•温州模拟）计算|﹣2|+2﹣1的结果是（）A ．﹣112B ．0C ．112D ．2123．（2022春•东阳市期末）计算：20220﹣（12）﹣1＝． 4．（2022•丽水）计算：√9−（﹣2022）0+2﹣1．5．（2021春•惠来县期末）计算：(−3)2+(12)−1+(π−3)0．考点四分式的四则运算例4．（2022•临安区一模）以下是方方化简(a −1+1a+1)÷a 2+2aa+1的解答过程．解：原式=(a 2−1+1)⋅a+1a 2+2a=a 2×a+1a(a+2)=a 2+a a+2方方的解答过程是否有错误？如果有，请写出正确的解答过程．【变式训练】1．（2022春•钱塘区期末）下列分式中，最简分式是（） A ．a+1a 2−1B ．4a6bc2C ．2a2−aD ．a+ba 2+ab2．（2020春•江北区期末）计算2+m 2−m•（m 2﹣4）的结果是（） A ．m 2﹣4B ．4﹣m 2C ．m 2﹣4m ﹣4D ．﹣m 2﹣4m ﹣43．（2022春•嵊州市期末）下列运算正确的是（） A ．12a+1a=23a B ．1a−1−1a+1=2a 2−1C ．3b 4a ⋅2a9b 2=b 6D ．13ab+2b 23a=b 324．（2022春•嵊州市期末）如图，若x 为正整数，则表示(x−3)2x 2−6x+9−1x+1的值的点落在（）A ．①B ．②C ．③D ．④5．（2020•乐清市一模）（1）计算：π0−√9+（13）﹣2；（2）化简：x 2−16x+4÷2x−84x．6．（2022春•定海区期末）化简：4x x 2−4−2x−2．言言同学的解答如下：4x x 2−4−2x−2=4x −2(x +2)=2x +4．言言同学的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．考点五分式的化简求值例5．（2021•永嘉县校级开学）计算：先化简，再求值：(1−x +2x−1x+1)÷x−2x 2+2x+1，其中x 的值是一元二次方程x 2+x ﹣6＝0的解．【变式训练】1．（2022秋•西湖区校级期中）先化简再求值：x 2−2x+1x+2÷（2﹣x −3x+2），其中x ＝（2﹣2√3）0+（12）﹣1． 2．（2022•定海区校级开学）先化简，再求值：（3x 2−9−1x−3）⋅x+3x ，其中x ＝2．3．（2022春•余姚市校级期末）先化简代数式a 2−2a+1a 2−4÷(1−3a+2)+1a−2，再选择一个你喜欢的数代入求值．4．（2022春•南浔区期末）先化简，再求值：(1+2x+1)÷x 2+6x+9x 2−1，并从﹣1，0，1，2中选取一个合适的数作为x 的值代入求值．5．（2022春•江干区校级期中）（1）已知x ﹣3y ＝0（y ≠0），求分式x 2−3xy+y 2x 2+y 2的值．（2）已知x −1x =3，求x 2+1x 2和x 4+1x 4的值．。

3分式的通分最简公分母

分式的通分最简公分母一、目标要求1、理解分式通分、最简公分母的概念。

2、掌握通分的方法，并能熟练地进行通分。

3、能正确熟练地找最简公分母。

二、重点难点重点：分式的通分。

难点：确定最简公分母。

分式的通分最简公分母1.分式的通分(1)分式的通分：与分数的通分类似，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分．(2)通分的根据：分式的基本性质．(3)最简公分母：异分母的分式通分时，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.析规律确定最简公分母 (1)分母都是单项式时，①取所有分母的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；②取分母中所有字母因式的最高次幂的积作为最简公分母的字母部分．(2)分母是多项式时，先因式分解，再确定最简公分母． 2.解题方法指导【例1】通分：（1）y x 283-，23125yz x ，zxy 3203-；（2）a 25-，3292b a ，24127b a c-。

分析：先找到每组分式的最简公分母，再根据分式的基本性质通分。

（1）的分母系数的最小公倍数是120，字母x ，y ，z 的最高次幂分别是x 3，y 3，z 2，所以最简公分母是120 x 3y 3z 2；（2）的分母系数的最小公倍数是36，字母a ，b 的最高次幂分别是a 4，b 3，所以最简公分母是36 a 4b 3。

解：（1）∵ 最简公分母是120 x 3y 3z 2，∴ y x 283-＝22222158153zxy y x z xy ∙⨯-＝2332212045z y x z xy -， 23125yz x ＝22321012105y yz x y ∙⨯＝233212050z y x y ， z xy 3203-＝zx z xy z x 23262063∙⨯-＝233212018z y x zx -。

分式约分练习题

要求：1、先独立思考，写出答案；
2、组内交流；
3、第（1）（2）题组内5号展示； 4、组长批阅，加相应分数。
第二类
（1) （2 ）
（3 ）
要求：1、先独立思考，写出答案；
（4 ）
2、组内交流；
3、第（1）（2）题组内4号展示；第（3）（4）题组内3号展示； 4、组长批阅，加相应分数。
第三类（1 ） (2)
因式分解提公因式法公式法平方差公式完全平方公式2你能试着总结一下学过的分式约分题目的类型以及它们的做法吗
分式约分(复习)
1、你认为分式约分中最关键的一步是什么？
找出分子与分母中的公因式
2、怎样找公因式？方法有哪些？
因式分解

提公因式法
平方差公式
公式法Biblioteka 完全平方公式2、你能试着总结一下学过的分式约分题目的类型以及它们的做法吗？
第一类：分式的分子与分母都是单项式或单项式乘以多项式的形式，直接找出公因式就可以约分；第二类：分式的分子与分母都是多项式的形式，需要将分式中的多项式先因式分解后再约分；第三类：分式的分子与分母仍旧都是多项式的形式，需要将分式中的多项式先因式分解，再将某一多项式提取负号后才能约分。
第一类 ⑴ （2 ）
(3)
要求：1、先独立思考，写出答案； 2、组内交流；
(4)
3、第（1）（2）题组内4号展示；第（3）（4）题组内3号展示；
4、组长批阅，加相应分数。
请从下列三个式子中选两个构造一个分式，并化简该分式。（请写出四种）
a 1
2
， b ab ，a
2
2a 1

分式知识点及典型例题

分式知识点及典型例题一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。

其中 A 叫做分子，B 叫做分母。

需要注意的是，分式的分母不能为 0，因为分母为 0 时，分式没有意义。

例如：＼（＼frac{x}｛y}＼），＼（＼frac{a ＋ b}｛c}＼）都是分式，而\（＼frac{3}｛5}＼）（分母不含有字母）就不是分式。

二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为 0。

即：对于分式\（＼frac{A}｛B}＼），当\（B ≠ 0\）时，分式有意义。

例如：对于分式\（＼frac{x ＋ 1}｛x 2}＼），要使其有意义，则\（x 2 ≠ 0\），即\（x ≠ 2\）。

三、分式的值为 0 的条件分式的值为 0 时，要同时满足两个条件：1、分子为 0，即\（A ＝ 0\）；2、分母不为 0，即\（B ≠ 0\）。

例如：若分式\（＼frac{x 3}｛x ＋ 5}＼）的值为 0，则\（x 3 ＝ 0\）且\（x ＋5 ≠ 0\），解得\（x ＝ 3\）。

四、分式的基本性质分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。

用式子表示为：＼（＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A×C}｛B×C}＼），＼（＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A÷C}｛B÷C}＼）（＼（C ≠ 0\））例如：＼（＼frac{2}｛3} ＝＼frac{2×2}｛3×2} ＝＼frac{4}｛6}＼），＼（＼frac{6}｛9} ＝＼frac{6÷3}｛9÷3} ＝＼frac{2}｛3}＼）五、约分把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

约分的关键是确定分子与分母的公因式。

例如：对分式\（＼frac{6x}｛9x^2}＼）进行约分，分子分母的公因式为\（3x\），约分后为\（＼frac{2}｛3x}＼）六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

分式知识点需注意常见问题

分式知识点需注意常见问题
1、分式的概念需注意的问题
(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而
分数线则可以理解为除号，还含有
括号的作用；
(2)分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字
母．
2、约分需明确的问题
(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分都除以同一个因
式，使约分前后分式的值相等；
(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分
解因式中提取公因式时确定公因式
的思考过程相似；
(3)约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的
整体都除以同一个因式．
3、确定最简公分母的方法
(1)最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
(2)最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积。
4、列分式方程解应用题的基本步骤
(1)审--仔细审题，找出等量关系；
(2)设--合理设未知数；
(3)列--根据等量关系列出方程；
(4)解--解出方程；
(5)验--检验增根；
(6)答--答题．