数学建模习题
数学建模习题
数学建模习题1．木材采购问题一个木材贮运公司，有很大的仓库，用于贮运出售木材。
由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分贮存起来以后出售。
已知：该公司仓库的最大贮藏量为20万立方米，贮藏费用为：（a+bu ）元/万立方米，其中：a=70,b=100,u 为贮存时间（季度数）。
已知每季度的买进、卖出价及预计的销售量为：由于木材不易久贮，所有库贮木材于每年秋季售完。
确定最优采购计划。
2．飞机投放炸弹问题某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。
已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目的。
为完成此项任务的汽油耗量限制为48000公升，重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚。
飞机携带重型炸弹时每公升汽油可飞行2公里，带轻型炸弹时每公汽油可飞行3公里。
又知每架飞机一次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程汽油消耗（空载时每公升汽油飞行4公里）外。
3．三级火箭发射问题建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。
（1） 设卫星绕地球作匀速圆周运动，证明其速度为v=r g R ;，R 为地球半径，r 为卫星与地心距离，g 为地球表面重力加速度。
要把卫星送上离地面600km 的轨道，火箭末速v 应为多少。
（2） 设火箭飞行中速度为v （t ），质量为m （t ），初速为零，初始质量0m ，火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u ，忽视重力和阻力对火箭的影响。
用动量守恒原理证明v （t ）=)(ln 0t m mu 。
由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措施。
（3） 火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）p m ；燃料f m ；结构（外壳、燃料仓等）s m ，其中s m 在f m +s m 中的比例记作λ，一般λ不小于10%。
证明若p m =0（即火箭不带卫星），则燃料用完时火箭达到的最大速度为m ν=-λln u .已知目前的u=3km/s ，取λ=10%，求m ν。
这个结果说明什么。
数学建模练习题
数学建模练习题数学建模是运用数学工具和方法来解决实际问题的一种综合能力。
它不仅培养了学生的逻辑思维能力，还提高了他们的问题解决能力和实践操作能力。
为了巩固数学建模的理论知识和应用能力，以下是一系列数学建模练习题，帮助大家提升数学建模水平。
题目一: 财务规划假设你是一家公司的财务经理，现需要为公司制定一份财务规划报告。
请根据以下信息，回答相应问题：1. 公司现有资金500万元，年利率为2%；2. 公司每月开支为30万元；3. 公司每季度向银行贷款100万元，年利率为3%；4. 公司每年收入为800万元。
请回答以下问题：1. 请计算公司一年的利润是多少？2. 如果公司每年的开支增加到40万元，一年的利润会有何变化？3. 如果公司每个季度向银行贷款300万元，一年的利润会有何变化？4. 请提出一些建议，如何优化财务规划，提高公司的利润。
题目二: 交通流量某城市的交通局需要对城市道路的交通流量进行研究和预测。
请根据以下信息，回答相应问题：1. 城市拥有5条主要道路，分别为A、B、C、D、E；2. 每条道路的通行能力为100辆/小时；3. 每条道路的通行时间为8小时/天；4. 城市每天的交通流量为3000辆。
请回答以下问题：1. 请计算城市每条道路的日平均通行量是多少？2. 如果城市每天的交通流量增加到5000辆，每条道路的通行能力是否足够？3. 如果城市每条道路的通行时间减少到6小时/天，每天的交通流量不变，城市每条道路的日平均通行量会有何变化？4. 请提出一些建议，如何应对城市交通流量的持续增加。
题目三: 人口预测某国家正进行人口统计和预测工作。
请根据以下信息，回答相应问题：1. 该国家近年来人口增长率为2%；2. 该国家现有人口为1亿；3. 该国家每年有200万人出生，80万人死亡；4. 该国家每年有30万人移民。
请回答以下问题：1. 请计算该国家5年后的预计人口数量是多少？2. 如果该国家每年有150万人出生，100万人死亡，预计人口增长率会有何变化？3. 如果该国家每年有50万人移民，预计人口增长率会有何变化？4. 请提出一些建议，如何应对人口增长带来的社会问题。
数学建模练习题
数学建模练习题一、基础数学知识类某企业生产两种产品，生产每吨产品A需耗用原料1吨、工时4小时，生产每吨产品B需耗用原料2吨、工时3小时。
若企业每月原料供应量为10吨，工时供应量为36小时，求该企业每月生产产品A和产品B的数量。
某湖泊污染问题，已知污染物的降解速度与污染物浓度成正比，求污染物浓度随时间的变化规律。
计算由曲线y=x^2和直线x=2、y=0所围成的图形的面积。
二、统计分析类2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20某地区居民消费水平（y）与收入（x）之间的关系，数据如下表所示，求出线性回归方程。
| 收入（x） | 消费水平（y） || | || 1000 | 800 || 1500 | 1200 || 2000 | 1600 || 2500 | 2000 || 3000 | 2400 |三、优化方法类某企业生产三种产品，产品A、B、C的单件利润分别为5元、4元、3元。
生产每吨产品A、B、C所需的原料分别为2吨、1吨、1吨。
若企业每月原料供应量为10吨，求该企业每月生产产品A、B、C的数量，使得总利润最大。
某企业生产两种产品，产品A、B的单件利润分别为10元、8元。
生产每吨产品A、B所需的工时分别为4小时、3小时。
若企业每月工时供应量为120小时，求该企业每月生产产品A、B的数量，使得总利润最大。
四、离散数学类关系矩阵为：| 1 0 1 0 || 0 1 0 1 || 1 0 1 0 || 0 1 0 1 |A (3)>B (4)> D\ |\ (2)\ /C (1)>五、实际问题建模类某城市交通拥堵问题，分析道路宽度、车辆数量、交通信号等因素对交通拥堵的影响，建立数学模型。
某地区水资源分配问题，考虑农业、工业、生活用水等因素，建立数学模型，并提出合理的水资源分配方案。
六、运筹学方法类一位背包客有最大负重为50公斤的背包，现有五种物品，每种物品的重量和价值如下表所示。
数学建模习题集及标准答案
3.动态模型:描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段；微分方程建模:模根据函数及其变化率之间的关系确定函数,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程。
4.按照你的观点应从那几个方面来建立传染病模型。
5.叙述Leslie人口模型的特点。并讨论稳定状况下种群的增长规律。
6.试比较连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型)和离散形式阻滞增长模型,并讨论离散形式阻滞增长模型平衡点及其稳定性。
第二部分
1.优点:短期预报比较准确;缺点:不适合中长期预报;原因:预报时假设人口增长率为常数,没有考虑环境对人口增长的制约作用。
（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
根据上述分析我们可以看出，该博弈比较明确可以预测的结果有这样几种情况：
（1） ，此时本博弈的结果是乙在第一阶段不愿意借给对方，结束博弈，双方得益
（1，0），不管这时候b的值是多少；（2） ，此时博弈的结果仍然是乙在第一阶段选择不借，结束博弈，双方得益（1，0）；（3） ，此时博弈的结果是乙在第一阶段选择借，甲在第二阶段选择不分，乙在第三阶段选择打，最后结果是双方得益
大学生数学建模练习题
大学生数学建模练习题一、线性规划问题假设你是一家制造公司的经理，公司生产两种产品A和B。
生产一个产品A需要3小时的机器时间和2小时的人工时间，产品B需要2小时的机器时间和4小时的人工时间。
公司每天有24小时的机器时间和40小时的人工时间可用。
如果产品A的销售价格是50元，产品B是80元，如何安排生产计划以最大化利润？二、排队论问题一家银行有3个服务窗口，平均每天接待200名顾客。
每名顾客的平均服务时间是5分钟。
假设顾客到达银行是随机的，服从泊松分布，服务时间服从指数分布。
请计算银行的平均排队长度和顾客的平均等待时间。
三、库存管理问题一家零售商销售一种季节性产品，该产品的需求量在一年中波动很大。
产品的成本是每个20元，存储成本是每个每年2元，缺货成本是每个10元。
如果零售商希望在一年内保持至少95%的服务水平，应该如何确定最优的订货量和订货频率？四、网络流问题在一个供水系统中，有四个水库和五个城市。
水库1和2可以向城市A 供水，水库2和3可以向城市B供水，水库3和4可以向城市C和D供水。
每个水库的供水能力不同，每个城市的需求也不同。
如果需要确保所有城市的需求都得到满足，如何确定最优的供水方案？五、预测问题给定一个公司过去5年的季度销售额数据，使用时间序列分析方法预测下个季度的销售额。
请考虑季节性因素和趋势，并给出预测的置信区间。
六、优化问题一个农场主有一块矩形土地，打算围成一个矩形的牧场。
如果围栏的总长度是固定的，比如400米，如何确定牧场的长和宽，使得牧场的面积最大？七、多目标决策问题一家公司需要在多个项目中做出选择，每个项目都有不同的预期收益、风险和实施时间。
如果公司需要在风险和收益之间做出权衡，并且希望项目尽快完成，如何使用多目标决策方法来选择最合适的项目组合？通过解决这些练习题，大学生可以加深对数学建模的理解，提高分析和解决实际问题的能力。
希望这些练习题能够帮助学生在数学建模的道路上更进一步。
数学建模习题及答案
第一部分课后习题1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。
学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）2.1节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。
你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。
将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。
用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。
比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。
试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。
解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应多大（如图）。
若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。
如果管道是其他形状呢。
数学建模习题
数学建模练习题1.1.线性规划题目问题1：毛坯切割问题用长度为500厘米的材料，分别截成长度为98厘米和78厘米的两种毛坯，要求截出长度98厘米的毛坯1000根，78厘米的毛坯2000根，问怎样去截，才能是所用的原材料最少，试建立数学模型。
问题2：进货收获问题某商店你制定某种商品7－12月的进货、售货计划，已知商品仓库最大容量为1500件，6月底已经库存300件，年底不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进和售出的价格如下表所示，若每件每月库存费为0.5元，问各月进货，售货多少件，才能是净收益最多。
试建立数学模型。
问题3：货船装货问题某货船的载重量为12000吨，总容积为45000立方米，冷藏容积为3000立方米，可燃性指数的总和不得超过7500，准备装6中货物，每种货物的单价、重量、体积和可燃性指数如下表：1.2.微分方程题目问题1. 什么时候开始下雪？早晨开始下雪，整天稳降不停。
正午一辆扫雪车开始扫雪，每小时扫雪量按体积计为一常数。
到下午2时它清扫了两公里，到下午4时又清扫了1公里，问雪是什么时候开始下的？问题2. 谁喝的咖啡热一些？总统与首相面前同时送上同温度的热咖啡。
总统在送到咖啡后立即加上一点冷奶油，等了10分钟才喝；首相则等了10分钟后添加等量的冷奶油开始喝，问谁喝的咖啡热一些？问题3. 需冷却多久？一位稀里糊涂的咖啡泡煮师，想让水达到185o F，可他几乎总是忘记这一点而把水煮开。
温度计又坏了，他要你计算一下，从212o F冷却到185o F要等多少时间，你能解决他的问题吗？问题4. 纽约的人口如果不考虑移民与高杀人率，纽约城的人口将满足方程，其中t 以年度量。
(1)事实上，每年有6000人从该城迁出，又有4000人被杀，试修正上面方程。
(2)已知1970年纽约城人口为800万，求未来任何时刻的人口，且求时的极限。
问题5.开火的最优距离A 方反坦克导弹与B 方坦克之间进行战斗。
简单数学建模100例
“学”以致用-----简单数学建模应用问题100例数学教学过程中学习了一个数学公式后，需要做大量的应用题，通过训练来加深理解所学公式。
但是在生活中又有多少实际问题是可以直接套用公式的呢？理想状态下的公式直接运用，在生产及生活中的实例是少之又少。
为此学生总感到学了数学没有什么实际用处，所以对学习数学少有兴趣。
数学建模的引入对培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径，让中职学生从中体会到数学是来源于生活并应用于生活的.数学建模是一种思维方式，它是一个动态的过程，通过此过程可以将一个实际的问题，经过模型准备、模型假设、模型构成、模型解析、模型检验与应用等五个具体步骤，转变为可以用数学方法（公式）来解决的，在理想状态下的数学问题，上述的整个流程统称为数学建模如果想解决某个实际问题（也许它和数学没有直接的关系），可以按下面流程对问题进行数学建模。
一．模型准备先了解该问题的实际背景和建模目的，尽量弄清要建模的问题属于哪一类学科的问题，可能需要用到哪些知识，然后学习或复习有关的知识，为接下来的数学建模做准备.由于人们所掌握的专业知识是有限的，而实际问题往往是多样和复杂的，模型准备对做好数学建模问题是非常重要的.二．模型假设有了模型准备的基础，要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必要合理的简化和假设.明确了建模目的又掌握了相关资料，再去除一些次要因素.以主要矛盾为主来对该实际问题进行适当的简化并提出一些合理的假设。
模型假设不太可能一蹴而就，可以在模型的不断修改中得到逐步完善.三．模型构成在模型假设的基础上，选择适当的数学工具并根据已知的知识和搜集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构（如数学公式、定理、算法等）.做模型构成时可以使用各种各样的数学理论和方法，但要注意的是在保证精度的条件下尽量用简单的数学方法是建模时要遵循的一个原则.四．模型解析在模型构成中建立的数学模型可以采用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明等各种传统的和现代的数学方法对其进行求解，其中有些可以借助于计算机软件来做这些工作。
精品《数学建模》练习题
《数学建模》作业一、计算题1. 求差分方程 ⎩⎨⎧===++++0)1(,1)0(0)(6)1(5)2(x x k x k x k x 的初值解。
2. 求差分方程 (2)3(1)2()0(0)1, (1)2x k x k x k x x ++++=⎧⎨==⎩的初值解。
二、1.某储蓄所每天的营业时间是上午9：00到下午5：00。
根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如下：储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。
全时服务员每天报酬100元，从上午9：00到下午5：00工作，但中午12：00到下午2：00之间必须安排1小时的午餐时间。
储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬40元。
问该储蓄所应如何雇佣全时和半时两类服务员？如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？2. 已知某人有债务25000元，月利率为1%，计划在未来12个月用分期付款的方式付清债务，每月要偿还多少元？（利息按照复利计算，即把利息加入本金后一起计算利息的算法）。
三．与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：xNn rx t x1)(= ，其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同。
设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为Ex h =。
讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*0x 。
四. 在鱼塘中投放0n 尾鱼苗。
随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量将增加。
（1）设尾数)(t n 的（相对）减少率为常数；由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比。
分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。
（2）用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T 才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量()n ϕ表示，记作E ，单位时间捕获量是)(t En 。
数学建模练习题
数学建模练习题
1. 某城市中心有一家商场，由于道路狭窄，经常造成交通堵塞，当地政府决定解决这个问题，经有关专家会商研究，制定出3个可行方案：
1A ：在商场附近修建一座环形天桥；
2A ：在商场附近修建地下人行通道；
3A ：搬迁商场。
根据当地实际情况，专家组拟定了4个评议准则：1u 通车能力，2u 基建费用，3u 方便群众，4u 市容美观。
专家组经过决策比较， 得到了1u ，2u ，3u ，4u 这四个方面的两两比较矩阵
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12/14/17/1212/13/14212/17321A ; 同时， 对于方案321,,A A A , 专家组也分别就4321,,,u u u u 四个准则进行了比较，得到了以下4个两两比较矩阵：
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12/13/1212/13211B ；⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=13/13/13113112B ；
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1313/11313/113B ；⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=12/132143/14/114B 。
（注：矩阵1B ，2B ，3B ，4B 全部元素的和分别为11.3,11.7,11.7,13.1）
试建立层次结构模型，对上述矩阵进行一致性检验，并通过已有的比较矩阵，对3个可行方案进行评估， 从而为当地政府提出改善城市中心交通环境的决策建议（精确到0.01）。
数学建模样题及答案
数学建模作业一学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。
学生们要组织一个10人的委员会，试用下列方法分配各宿舍的委员数：（1） 按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大的。
（2） Q 值方法：m 方席位分配方案：设第i 方人数为i p ，已经占有i n 个席位，i=1，2，…，m .当总席位增加1席时,计算2(1)i i i i p Q n n =+，i=1，2，…，m 把这一席分给Q 值大的一方。
（3） d ’Hondt 方法：将A ，B ，C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,…相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A,B,C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。
（试解释其道理。
）（4） 试提出其他的方法。
数学建模作业二假定人口的增长服从这样的规律:时刻t 的人口为)(t x ,t 到t+ t 时间内人口的增长与m x -)(t x 成正比例(其中m x 为最大容量).试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。
解：=r(x m -x),r 为比例系数，x(0)=x 0 解为：x(t)= x m -( x m - x 0),如下图粗线，当t →∞时，它与Logistic 模型相似。
数学建模作业三一容器内盛入盐水100L，含盐50g .然后将含有2g/L的盐水流如容器内，流量为3L/min.设流入盐水与原盐水搅拌而成均匀的混合物。
同时，此混合物又以2L/min的流量流出，试求在30min时，容器内所含的盐量。
若以同样流量放进的是淡水，则30min时，容器内还剩下多少盐？要求写出分析过程。
解：设x(t)为t时刻容器内剩余的盐的质量①x(t)=2(100+t)-1.5(100+t)-2X(t=30)=171.24② x(t)=(100+t)-2 X(t=30)=29.59数学建模作业四商业集团公司在123,,A A A 三地设有仓库，它们分别库存40，20，40个单位质量的货物，而其零售商店分布在地区,1,,5i B i ，它们需要的货物量分别是25，10，20，30，15个单位质量。
数学建模例题及解析
.例1差分方程——资金(de)时间价值问题1:抵押贷款买房——从一则广告谈起每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己(de)住房,但又没有足够(de)资金一次买下,这就产生了贷款买房(de)问题.先看一下下面(de)广告(这是1991年1月1日某大城市晚报上登(de)一则广告),任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心(de)是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢银行贷款(de)利息是多少呢为什么每个月要付1200元呢是怎样算出来(de)因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房(de)价格),如果自己只能支付一部分款,那就要把其余(de)款项通过借贷方式来解决,只要知道利息,就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说(de)房子作出决策了.现在我们来进行数学建模.由于本问题比较简单无需太多(de)抽象和简化.a.明确变量、参数,显然下面(de)量是要考虑(de)：需要借多少钱,用记；月利率(贷款通常按复利计)用R记；每月还多少钱用x记；借期记为N个月.b．建立变量之间(de)明确(de)数学关系.若用记第k个月时尚欠(de) 款数,则一个月后(加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总(de)欠款为k=0,1,2,3,而一开始(de)借款为.所以我们(de)数学模型可表述如下(1)c. (1)(de)求解.由(2)这就是之间(de)显式关系.d．针对广告中(de)情形我们来看(1)和(2)中哪些量是已知(de).N=5年＝60个月,已知；每月还款x＝1200元,已知 A.即一次性付款购买价减去70000元后剩下(de)要另外去借(de)款,并没有告诉你,此外银行贷款利率R也没告诉你,这造成了我们决策(de)困难.然而,由(2)可知60个月后还清,即,从而得(3)A和x之间(de)关系式,如果我们已经知(3)表示N＝60,x＝1200给定时0A.例如,若R ＝0．01,则由(3)可算得道银行(de)贷款利息R,就可以算出053946元.如果该房地产公司说一次性付款(de)房价大于70000十53946＝123946元(de)话,你就应自己去银行借款.事实上,利用图形计算器或Mathematica这样(de)数学软件可把(3)(de)图形画出来,从而可以进行估算决策.以下我们进一步考虑下面两个问题.注1问题1标题中“抵押贷款”(de)意思无非是银行伯你借了钱不还,因而要你用某种不动产(包括房子(de)产权)作抵押,即万一你还不出钱了,就没收你(de)不动产.例题1某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款60000元,月利率0．01,贷款期25年＝300月,这对夫妇希望知道每月要还多少钱,25年就可还清.假设这对夫妇每月可有节余900元,是否可以去买房呢解：现在(de)问题就是要求使 (de)x,由(2)式知现＝60000,R＝0．01,k＝300,算得x=632元,这说明这对夫妇有能力买房.例题2 恰在此时这对夫妇看到某借贷公司(de)一则广告：“若借款60000元,22年还清,只要；(i)每半个月还316元；(ii)由于文书工作多了(de)关系要你预付三个月(de)款,即316×6＝1896元.这对夫妇想：提前三年还清当然是好事,每半个月还316元,那一个月不正好是还632元,只不过多跑一趟去交款罢了；要预付18％元,当然使人不高兴,但提前三年还清省下来(de)钱可是22752元哟,是1896元(de)十几倍哪这家公司是慈善机构呢还是仍然要赚我们(de)钱呢这对夫妇请教你给他们一个满意(de)回答.具体解法略.问题2：养老基金今后,当年青人参加工作后就要从其每月工资中扣除一部分作为个人 (de)养老基金,所在单位（若经济效益好(de)话）每月再投入一定数量(de)钱,再存入某种利息较高而又安全(de)“银行”(也可称为货币市场)到60岁退休时可以动用.也就是说,若退休金不足以维持一定(de)生活水平时,就可以动用自己(de)养老基金,每月取出一定(de)款项来补贴不足部分.假设月利率及＝0．01不变,还允许在建立养老基金时自己可以一次性地存入A(不论多少),每月存入y元(个人和单位投入(de)总和)；通常从一笔钱0三十一岁开始到六十岁就可以动用.这当然是一种简化(de)假设,但作为估算仍可作为一种考虑(de)出发点.本问题实际上有两个阶段,即退休前和退休后,其数学模型为其中x为每月要从养老基金中提出(de)款项.习题1 某大学年青教师小李从31岁开始建立自己(de)养老基金,他把已有(de)积蓄1万元也一次性地存入,已知月利率为0．01 (以复利计),每月存入300元,试问当小李60岁退休时,他(de)退休基金有多少又若,他退休后每月要从银行提取l000元,试问多少年后他(de)退休基金将用完你能否根据你了解(de)实际情况建立一个较好(de)养老基金(de)数学模型及相应(de)算法和程取软件).习题2 渔业(林业)管理问题设某养鱼池(或某海域)一开始有某种鱼条,鱼(de)平均年净繁殖率为R,每年捕捞x条,记第N年有鱼条,则池内鱼数按年(de)变化规律为注意,在实际渔业经营中并不按条数计算而是以吨记数(de).若对某海域(de)渔业作业中＝100000吨,R＝0．02,x＝1000吨,试问会不会使得若干年后就没有鱼可捕捞了（资源枯竭了）例2比例分析法——席位分配问题：某学校有三个系联合成立学生会,（1）试确定学生会席位分配方案.（2）若甲系有100名,乙系60名,丙系40名.学生会设20个席位,分配方案如何(3)若丙系有3名学生转入甲系,3名学生转入乙系,分配方案有何变化（4）因为有20个席位(de)代表会议在表决提案时有可能出现10： 10(de)平局,会议决定下一届增加1席,若在第（3）问中将学生会席位增加一席呢（5）试确定一数量指标衡量席位分配(de)公平性,并以此检查（1）—（4）.公平而又简单(de)席位分配办法是按人数(de)比例分配,若甲系有100名,乙系60名,丙系40名.学生会设20个席位,三个系分别应有10,6,4个席位.如果丙系有6名学生转入其他两系学习,各系人数如表所示系别学生人数所占比例（%）按比例分配(de)席位按惯例分配(de)席位甲10310乙636第二列所示,按比例分配席位时,出现了小数(见表中第四列)．在将取得整数(de)19席分配完毕后,剩下(de)1席按照惯例分给余数最大(de)丙系,于是三个系仍分别占有10、6、4个席位．因为有20个席位(de)代表会议在表决提案时有可能出现10：10(de)平局,会议决定下一届增加1席,于是他们按照上述惯例重新分配席位,计算(de)结果令人吃惊：总席位增加1席,丙系反而减少1席,见下表．看来,要解决这个矛盾,必须重新研究所谓惯例分配方法,提出更加“公平”(de)办法．下面就介绍这样一个席位分配模型．设A、B两方人数分别是p1 和p2,分别占有n1 和n2 个席位,则两方每个席位所代表(de)人数分别是p1 ／n12和p2／n2．很明显,仅当这两个数值相等时,席位(de)分配才是公平(de)．但是,通常它们不会相等,这时席位分配得不公平.不公平(de)程度可以用数值来表示,它衡量(de)是“绝对不公平”．从下表所举(de)例子来看,A、B之间(de)“绝对不公平”与C、D之间是一样(de).但是从常识(de)角度看,A、B之间显然比C、D之间存在着更加严重(de)不公平．所以“绝对不公平”不是一个好(de)衡量标准．p n p/n p1/n1-p2/n2 A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100为了改进绝对标准,我们自然想到用相对标准．因为p／n越大,每个席位代表(de)人数越多,或者说,总人数一定时分配(de)席位越少.所以,如果p1／n13＞p2/n2,则A方是吃亏(de),或者说,对A是不公平(de),由此,我们这样定义“相对不公平”：若p1／n1＞p2／n2,则称为对A(de)相对不公平值,记做若p1／n1＜p2／n2,则称为对B(de)相对不公平值,记做假设A、B两方已分别占有n1和n2个席位,我们利用相对不公平(de)城念来讨论,当总席位再增加1席时,应该给且A方还是B方不失一般性,可设p1／n1＞p2/n2,即此时对A方不公平, ,有定义．当再分配1个席位时,关于p／n(de)不等式有以下三种可能：1)p1／(n1十1)＞p2／n2,这说明即使A方增加1席,仍然对A不公平,所以这1席当然应给A方；2)p1／(n1十1)＜p2／n2,说明当A方增加1席位,将对B不公平,此时应参照式,计算对B(de)相对不公平值3）说明当B方增加1席时,将对A方不公平,此时计算得对A (de)相对不公平值是（注意：在p1/n1p2/n2(de)假设下,不可能出现p1／n1＜p2／(n2+1)(de)情况因为公平(de)席位分配方法应该使得相对不公平(de)数值尽量地小,所以如果则这1席应给A方；反之应给B方．根据(3)、（4）两式,(5)式等价于并且不难证明1从上述第1)种情况(de)p1／(n1十1)＞p2／p2也可推出. 于是我们(de)结论是：当(6)式成立时,增加(de)1席应分配A方；反之,应分配给B方．若记,则增加(de)1席位应分配给Q值较大(de)一方．将上述方法可以推广到有m方分配席位(de)情况．下面用这个方法,重新讨论本节开始时提出(de),三个系分配21个席位(de)问题．首先每系分配1席,然后计算：甲系n1＝1,乙系, n2=1,丙系,n3=1,因为最大,所以第4席应分配给甲系,继续计算：甲系n1＝2,将与上面(de)相比,最大,第5席应分给乙系,继续计算.如此继续,直到第21席分配给某个系为止（详见列表）．n甲系乙系丙系1（4）（5）578（9）2（6）（8）（15）3（7）（12）（21）4（10）（14）5（11）（18）6（13）7（16）8（17）9（19）10（20）11可以看出,用Q值法,丙系保住了它险些丧失(de)1席.你觉得这个方法公平吗习题：学校共1000名学生,235入住在A宿合,333人住在B宿合,432人住在C宿合．学生们要组织一个10人(de)委员会,试用下列办法分配各宿舍(de)委员数．1）惯例(de)方法,印按比例分配完整数名额后,剩下名额给余数最大者. 2）Q值方法.如果委员会从10人增至15人,分配名额将发生什么变化 ,例3 状态转移问题——常染色体遗传模型随着人类(de)进化,人们为了揭示生命(de)奥秘,越来越注重遗传学(de)研究,特别是遗传特征(de)逐代传播,引起人们(de)注意.无论是人,还是动植物都会将本身(de)特征遗传给下一代,这主要是因为后代继承了双亲(de)基因,形成自己(de)基因对,基因对将确定后代所表现(de)特征.下面,我们来研究两种类型(de)遗传：常染色体遗传和x—链遗传.根据亲体基因遗传给后代(de)方式,建立模型,利用这些模型可以逐代研究一个总体基因型(de)分布.在常染色体遗传中,后代从每个亲体(de)基因对中各继承一个基因,形成自己(de)基因对,基因对也称基因型.如果我们所考虑(de)遗传特征是有两个基因A和控制(de),那么就有三种基因对,记为AA,A,.例如,金草鱼由两个遗传基因决定花(de)颜色,基因型是AA(de)金鱼草开红花,型(de)开粉红色花,而型(de)开白花.又如人类(de)眼睛(de)颜色也是提高通过常染色体遗传控制(de).基因型是(de)人,眼睛是棕色,基因型是(de)人,眼睛是兰色.这里因为都表示了同一外部特征,我们认为基因A 支配基因,也可以认为基因对于A 来说是隐性(de)农场(de)植物园中某种植物(de)基因型为AA,A 和.农场计划采用AA 型(de)植物与每种基因型植物相结合(de)方案培育植物后代.那么经过若干年后,这种植物(de)任一代(de)三种基因型分布如何 第一步：假设：令 ,2,1,0=n .（1） 设n n b a ,和n c 分别表示第n 代植物中,基因型为AA,Aa 和aa(de)植物占植物总数(de)百分率.令)(n x 为第n 代植物(de)基因型分布:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n c b a x )(当n=0时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000)0(c b a x表示植物基因型(de)初始分布（即培育开始时(de)分布）,显然有1000=++c b a（2） 第n 代(de)分布与第n-1代(de)分布之间(de)关系是通过上表确定(de).第二步：建模根据假设（2）,先考虑第n 代中(de)AA 型.由于第n-1代(de)AA 型与AA 型结合,后代全部是AA 型；第n-1代(de)Aa 型与AA 型结合,后代是AA 型(de)可能性为1/2,第n-1代(de)aa 型与AA 型结合,后代不可能是AA 型.因此,当 ,2,1,0=n 时11102/1---•++•=n n n n c b a a即2/11--+=n n n b a a 类似可推出2/11--+=n n n b c a 0=n c将式相加,得111---++=++n n n n n n c b a c b a根据假设（1）,有1000=++=++c b a c b a n n n对于式、式和式,我们采用矩阵形式简记为,2,1,)1()(==-n Mx x n n其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00012/1002/11M ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n c b a x )(式递推,得)0()2(2)1()(x M x M Mx x n n n n ====--式给出第代基因型(de)分布与初始分布(de)关系.为了计算出n M ,我们将M 对角化,即求出可逆矩阵P 和对角阵D,使1-=PDP M因而有,2,1,1==-n P PD M n n其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n nnn D 321321000000000λλλλλλ这里321,,λλλ是矩阵M(de)三个特征值.对于式中(de)M,易求得它(de)特征值和特征向量:0,2/1,1321===λλλ因此⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00002/10001D ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0112 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1213 所以[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==100210111321P通过计算1-=P P ,因此有)0(1)0()(x P PD x M x n n n -==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=0001002101110000)21(0010100210111c b a n 即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--00011)(000)2/1()2/1(0)2/1(1)2/1(11c b a c b a x n n n n n n n n ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++=--0)2/1()2/1()2/1()2/1(010010000c b c b c b a n n n n所以有⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=--0)2/1()2/1()2/1()2/1(1010010n n n n n n n c c b b c b a当∞→n 时0)2/1(→n,所以从式得到0,1→→n n b a 和n c =0即在极限(de)情况下,培育(de)植物都是AA 型. 第三步：模型讨论若在上述问题中,不选用基因AA 型(de)植物与每一植物结合,而是将具有相同基因型植物相结合,那么后代具有三代基因型(de)概率如下表：并且)0()(x M xn n =,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=14/1002/1004/11M M(de)特征值为2/1,1,1321===λλλ通过计算,可以解出与21,λλ相对应(de)两个线性无关(de)特征向量1 和2 ,及与3λ相对应(de)特征向量3 ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1002 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1213 因此[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==111200101321P⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-02/1011102/111P)0(1)0()(x P PD x M x n n n -==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=00002/1011102/11)2/1(0001001111200101c b a n n所以有⎪⎩⎪⎨⎧-+==++=++010000100)2/1()2/1()2/1()2/1()2/1(bb c c b b b b a a n nn n n n当∞→n 时0)2/1(→n,所以从式得到0,)2/1(00→+→n n b b a a 和00)2/1(b c c n +→因此,如果用基因型相同(de)植物培育后代,在极限情况下,后代仅具有基因AA 和aa. 例4 合作对策模型在经济或社会活动中,几个社会实体（个人、公司、党派、国家）相互合作或结成联盟,常能获得比他们单独行动更多(de)经济或社会效益.这样合理地分配这些效益是合作对策要研究(de)问题.请看下面(de)例子.问题一：经商问题甲、乙、丙三人经商,若单干,每人仅能获利1元；甲乙合作可获利7元；甲丙合作可获利5元；乙丙合作可获利4元；三人合作可获利10元,问三人合作时如何分配10元(de)收入.甲(de)收入应按照甲对各种形式(de)合作(de)贡献来确定．对于某一合作(de)贡献定义为：有甲参加时这个合作(de)收入与无甲参加时这个合作(de)收入之差．例如甲对甲乙二人合作(de)贡献是7—1＝6 (因为甲乙合作获利7元,而乙单干仅获利1元)．甲可以参加(de),合作有四个：甲自己(单干视为合作(de)特例)、甲乙、甲丙、甲乙丙．甲对这些合作(de)贡献分别是甲：1一0＝1元；甲乙：7—1＝6元；甲内：5—1＝4元；甲乙丙：10—4＝6元,甲应分得(de)收入是这四个贡献(de)加权平均值,加权因子将由下面(de)一般模型给出．这个问题叫做3人合作对策,是对策论(de)一部分,这里介绍它(de)一种解法.一般(de)n人合作对策模型可以叙述如下：记n人集合为I=,如果对于I中 (de)任一子集,都对应一个实值函数v（s）,满足则称为定义在I上(de)特征函数．所谓合作对策是指定义了特征函数(de)I中n个人(de)合作结果,用向量值函数来表示．在实际问题中．常可把I中各种组合(de)合作获得(de)利益定义为特征函数,上式表示合作规模扩大时,获利不会减少.不难看出,如将三人经商问题中合作(de)获利定义为特征函数v,v是满足(1)、(2)(de)．为了确定,Shapley在1953年首先制定了一组应该满足(de)公理,然后证明了满足这组公理(de)(de)唯一解是其中是I中包含{i}(de)所有子集,是集合s中(de)人数,是加权因子,由确定．(3)式中可看作成员{i}对合作s(de)贡献；表示对所有包含{i}(de)集合求和．称为由v定义(de)合作(de)Shapley值．我们用(3)、(4)计算三人经商问题中各个人应得到(de)收入．甲、乙、丙分别记作{1},{2},{3},包含{1}(de)集合有{1}、{1,2}、{1,3}、{1,2,3},计算结果列入下表．S{1}{1,2}{1,3}{1,2,3}V(s)17510V(s-{1})0114V(s)- V(s-{1})1 6 4 612 23 W()1/31/61/61/3W()[V(s)-V(s-{1})]1/31 2/3 2.同样可以算出乙、丙应得收入为＝3．5元,＝元.问题二：三城镇(de)污水处理方案沿河有三城镇1、2和3,地理位置如图4；6所示．污水需处理后才能排入河中．三城镇或者单独建立污水处理厂,或者联合建厂,用管道将污水集中处理(污水应于河流(de)上游城镇向下游城镇输送).以Q 表示污水量(吨／秒),工表示管道长度(公里).按照经验公式,建立处理厂(de)费用为712.0173Q P =,铺设管道(de)费用为LQ P 51.0266.0=．今已知三城镇(de)污水量分别为5,3,5321===Q Q Q ．L(de)数值38,202312==L L ．试从节约总投资(de)角度为三城镇制定污水处理方案；包括是单独还是联合建厂；如果联合,如何分担投资额等．三城镇或单干或不同形式(de)联合,共有五种方案.下面一一计算所需(de)投资．方案一 三城镇都单干.投资分别为总投资：方案二城1、2合作.这时城1、2将从节约投资(de)角度对联合还是分别建厂作出决策,所以城1、2(de)投资为：=3500C（3）=2300总投资：方案三城2、3合作.C（1）=2300总投资：方案四城1、3合作.C（2）=1600总投资：方案五三城镇合作=5560总投资：比较五个方案可知,应该选择三城合作,联合建厂(de)方案． 下面(de)问题是如何分担总额为5560(de)费用．城3(de)负责人提出,联合建厂(de)费用按三城(de)污水量之比5：3：5分担,铺设管道费应由城1、2担负．城2(de)负责人同意,并提出从城2到城3(de)管道费由城1、2按污水量之比5：3分担；从城1到城2(de)管道费理应由城1自己担负．城1(de)负责人觉得他们(de)提议似乎是合理(de),但因事关重大,他没有马上表示同意；而是先算了一笔账．联合建厂(de)费用是4530)535(73712.0=++,城2到城3(de)管道费是730,城1到城2(de)管道费是300,按上述办法分配时,城3负担(de)费用为1740,城2(de)费用为1320,域1(de)费用为2500．结果出乎意料之外,城3和城2(de)费用都比单独建厂时少,而城1(de)费用却比单独建厂时(de)C(1)还要多.城1(de)负责人当然不能同意这个方法,但是一时他又找不出公平合理(de)解决办法．为了促成联合(de)实现,你能为他们提供一个满意(de)分担费用(de)方案吗首先,应当指出,城3和城2负责人提出(de)办法是不合理(de)：从前面(de)计算我们知道,三城联合,才能使总投资节约了640(de)效益应该分配给三城,使三城分配(de)费用都比他们单干时要少,这是为促成联合所必须制定(de)一条原则．至于如何分配,则是下面要进一步研究(de)问题． 把分担费用转化为分配效益,就不会出现城1联合建厂分担(de)费用反比单独建厂费用高(de)情况.将三城镇记为I={1,2,3},联合建厂比单独建厂节约(de)投资定义为特征函数.于是有v(φ)=0,v({1})=v({2})=v({3})=0,v({1,2})=c(1)+c(2)-c(1,2)=2300+1600-3500=400,v({2,3})=c(2)+c(3)-c(2,3)=1600+2300-3650=250,v({1,3})=0,v(I)=c(1)+c(2)+c(3)-c(1,2,3)=640.S {1} {1,2} {1,3} {1,2,3} V(s) 0 400 0 640 V(s-{1}) 0 0 0 250 V(s)- V(s-{1})0 400 0 39012 23 W()1/31/61/61/3W()[V(s)-V(s-{1})] 0 67 0 130即197)(1=v ϕ同理得321)(2=v ϕ,122)(3=v ϕ那么, 城1分担(de)费用为2300-197=2103, 城2分担(de)费用为1600-321=1279, 城3分担(de)费用为2300-122=2178,合计5560. 习题：某甲（农民）有一块土地.如果从事农业生产可年收入100元；如果将土地租给某企业家用于工业生产,可年收入200元；如果租给某旅店老板开发旅游业,可年收入300元；当旅店老板请企业家参与经营时,年收入可达400元.为实现最高收入,试问如何分配各人(de)所得才能达成协议例5动态规划模型有不少动态过程可抽象成状态转移问题,特别是多阶段决策过程(de)最优化如最短路径问题,最优分配,设备更新问题,排序、生产计划和存储等问题．动态规划是一种将复杂问题转化为一种比较简单问题(de)最优化方法,它(de)基本特征是包含多个阶段(de)决策．1951年,美国数学家贝尔曼(R．Bellman)等人,提出了解决多阶段决策问题(de)“最优化原理”,并研究了许多实际问题,从而创建了动态规划·动态规划方法(de)基本思想是：将一个复杂问题分解成若干个阶段,每一个阶段作为一个小问题进行处理,从而决定整个过程(de)决策,阶段往往可以用时间划分这就具有“动态”(de)含义,然而,一些与时间无关(de)静态规划中(de)最优化问题,也可人为地把问题分成若干阶段,作为一个多阶段决策问题来处理,计算过程单一化,便于应用计算机．求解过程分为两大步骤,①先按整体最优化思想递序地求出各个可能状态(de)最优化决策；②再顺序地求出整个题(de)最优策略和最优路线．下面,结合一个求最短路径(de)例子,来说明动态规划(de)一些基本概念．最短路径问题如图所示(de)交通网络,节点连接线路上(de)数字表示两地距离,计算从A 到E(de)最短路径及长度.1．阶段．把所要处理(de)问题,合理地划分成若干个相互联系(de)阶段,通常用k 表示阶段变量.如例中,可将问题分为4个阶段,k=1,2,3,4. 2．状态和状态变量．每一个阶段(de)起点,称为该阶段(de)状态,描述过程状态(de)变量,称为状态变量,它可以用一个数、一组数或一个向量来描述,常用k x 来表示第k 阶段(de)某一状态．如果状态为非数量表示,则可以给各个阶段(de)可能状态编号,i x i k =)(()(i k x 表示第k 个阶段(de)第i 状态).第k 阶段状态(de)集合为},,,,,{)()()2()1(T k i k k k k x x x x X =如例6中,第3阶段集合可记为}3,2,1{},,{},,{321)3(3)2(3)1(33===C C C x x x X3．决策和决策变量．决策就是在某一阶段给定初始状态(de)情况下,从该状态演变到下一阶段某状态(de)选择.即确定系统过程发展(de)方案．用一个变量来描述决策,称这个变量为决策变量.设)(k k x u 表示第k 个阶段初始状态为k x (de)决策变量．)(k k x D 表示初始状态为k x (de)允许决 策集合,有)(k k x u ∈)(k k x D ={k u }如例6中},,{)(3211B B B A D =,若先取2B ,则21)(B A u =. 4．策略和子策略．由每段(de)决策)(k k x u 组成(de)整个过程(de)决策变量序列称为策略,记为n P ,1,即n P ,1=)}(,),(),({2211n n x u x u x u从阶段k 到阶段n 依次进行(de)阶段决策构成(de)决策序列称为k 子策略,记为n k P ,即)(1,x P n k =)}(,),(),({11n n k k k k x u x u x u ++显然,k=1时(de)k 子策略就是策略.如例6,选取路径E D C B A →→→→221就是一个子策略．从允许策略集中选出(de)具有最佳效果(de)策略称为最优策略. 5．状态转移方程．系统在阶段k 处于状态k x ,执行决策)(k k x u (de)结果是系统状态(de)转移,即由阶段K(de)状态k x 转移到阶段K 十1(de)状态1+k x 适用于动态规划方法求解(de)是一类具有无后效性(de)多阶段决策过程．无后效性又称马尔科夫性,指系统从某个阶段往后(de)发展,完全由本阶段所处(de)状态以及其往后(de)决策决定,与系统以前(de)状态及决策无关,对于具有无后效性(de)多阶段过程,系统由阶段k 向阶段k+1(de)状态转移方程为))(,(1k k k k k x u x T x =+意即1+k x 只与k x ,)(k k x u 有关,而与前面状态无关．))(,(k k k k x u x T 称为变换函数或算子．分确定型和随机型,由此形成确定型动态规划和随机型动态规划． 6．指标函数和最优指标函数．在多阶段决策中,可用一个数量指标来衡量每一个阶段决策(de)效果,这个数量指标就是指标函数,为该阶段状态变量及其以后各阶段(de)决策变量(de)函数,设为n k V ,即n k x x u x V V n k k k n k n k ,,2,1),,,,(1,, ==+指标(de)含义在不同(de)问题中各不相同,可以是距离、成本、产品产 量、资源消耗等．例6中,指标(de)含义就是距离,指标函数为A 到E(de)距离,为各阶段路程(de)和．最常见(de)指标函数取各阶段效果之和(de)形式,即∑==nk j j j j n k u x V V ),(,指标函数nk V ,(de)最优值,称为相应(de)最优指标函数,记为)(k k x fnk k k optV x f ,)(=式中opt 是最优化之意,根据问题要求取max 或min ． 7．动态规划最优化原理．贝尔曼指出“作为整个过程(de)最优策略具有这样(de)性质：即无论过去(de)状态和决策如何,对前面(de)决策所形成(de)状态而言,余下(de)诸决策必须构成最优策略”基于这个原理,可有如下定理：定理 若策略*,1n P 是最优策略,则对于任意(de)k(1<k<n),它(de)子策略*,n k P 对于以),(*1*11*---=k k k k u x T x 为起点(de)k 到n 子过程来说,必是最优策略． 实质上,动态规划(de)方法是从终点逐段向始点方向寻找最短路径(de)一种方法．8．动态规划(de)数学模型．利用最优化原理,可以得到动态规划(de)数学模型)}(),({)(11+++=k k k k k k k x f u x V opt x f ))(1,,1,(k k k x D u n n k ∈-=0)(11=++n n x f这是一个由后向前(de)递推方程．下面以例6(de)最短路径问题说明这种递序解法．指标函数为两点之间(de)距离,记为),(k k u x d ,例中共分4个阶段． (倒推) 第4阶段2)(),()(5114=+=E f E D d D f 3)(),()(5224=+=E f E D d D f 5)(),()(5334=+=E f E D d D f 0)(5=E f第3阶段6835)(),(624)(),(min )(2421141113=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f},,{11*4,3E D C P =4431)(),(826)(),(min )(2422141223=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f},,{22*4,3E D C P =6651)(),(1239)(),(min )(3433243333=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f},,{33*4,3E D C P =第2阶段7734)(),(1367)(),(min )(2321131112=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f},,,{221*4,2E D C B P =7734)(),(826)(),(min )(2322131222=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f},,,{222*4,2E D C B P =91468)(),(945)(),(min )(3333232332=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f},,,{223*4,2E D C B P =第1阶段10111192)(),(74)(),(1073)(),(min )(323221211=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+=+=+=+=B f B A d B f B A d B f B A d A f},,,,{221*4,1E D C B A P =故最短路径为E D C B A →→→→221,从A 到E(de)最短距离为10. 上述步骤可归纳为下述递推公式)}(),(m in{)(11+++=k k k k k k x f u x d x f 1,2,3,4(=k ）0)(55=x f此递推关系叫做动态方程,即最短路径问题(de)动态规划模型,应用动态规划方法解决问题(de)关键是根据所给问题建立具体(de)动态规划模型,建立动态规划模型时(de)主要困难在于：如何将所遇到(de)最优化解释为合适(de)多段决策过程问题．从例6看出,划分I 阶段、定义状态、确定指标函数,是动态规划模型化时(de)主要工作,其合适性决定应用动态规划(de)成败．建模时,除将实际问题根据时间和空间恰当地划分若干阶段外,还须明确下列几点： (1)正确选择状态变量,使它既能描述过程(de)状态,又。
数学建模习题
数学建模习题景德镇陶瓷学院信息工程学院习题一1.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余不变。
试构造模型并求解。
2.模仿1.4节商过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。
3.利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型：（1）分段的指数增长模型。
将时间分为若干段，分别确定增长率r 。
（2）阻滞增长模型。
换一种方法确定固有增长率r 和最大容量m x 。
4.说明1.5节中Logistic 模型(9)可以表为)(01)(t t r m ex t x --+=,其中0t 是人口增长出现拐点的时刻,并说明0t 与r, m x 的关系.5.假定人口的增长服从这样的规律:时刻t 的人口为)(t x ,t 到t+∆t 时间内人口的增长与m x -)(t x 成正比例(其中m x 为最大容量).试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。
6.某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿。
次日早8：00沿同一条路径下山，下午5：00回旅店。
某乙说，甲必在二天中的同一时刻经过路径中的同一地点。
为什么？7.37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。
问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛。
如果是n支球队比赛呢？8.甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。
甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。
问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。
数学建模练习题
5.一个身高为153cm，下肢92cm的女士穿高跟鞋，她的鞋跟高度为_______cm看起来最美。
6．某女士身高为165cm，下肢100cm的女士穿高跟鞋，她的鞋跟高度为_______cm看起来最美。
7某人的身高为175cm，他的下肢长度应该_________cm身材比例才协调。
8.欧拉在建立七桥问题数学模型时把桥假设为________,把岛与岸假设为_____9．欧拉通过巧妙的假设，把原来的七桥问题能否不重复走遍问题转化为一个图能否_______问题。
nchester战争数学模型判断战争的结局主要根据双方的_________.11．根据混合战争模型分析美国与越南战争的结局，美国最后失败是因为________________。
12. 商人过河数学模型中用状态变量表示某岸________情况；用决策变量表示_______情况；最后找出状态变量随________变化的规律。
13．兔子出生以后两个月就能生小兔子，假设每次不多不少恰好生一对〔一雌一雄〕。
某人买了初生的小兔子一对，那么一年后共有______对兔子。
〔假设生下来的小兔子都正常活着〕14．拳击冠军的争夺赛中共有63人参加,每轮比赛中出场的两人中的胜者及轮空者进入下一轮,直至比赛完毕,问共需要进展______场比赛，共需要_____轮比赛。
15．在个人围棋冠军的争夺赛中共有67人参加，,每轮比赛中出场的两人中的胜者及轮空者进入下一轮,直至比赛完毕,问共需要进展______场比赛，共需要____ 轮比赛。
16在层次分析法中，当一致性比率小于_______时，通过一致性检验。
17决策按照方案与条件可分为确定型决策、不确定型决策与_______。
18在层次分析法中，当一致性比率大于_______时，认为没有通过一致性检验。
20线性规划问题中根本可行解与可行解域的________等价。
21．在线性规划问题中，根本可行解的非基变量取值应该是_______。
数学建模练习题汇编
数学建模习题题目11.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。
比如洁银牙膏50g装的每支1.5元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1.试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。
解答：（1）分析：生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其他成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都包含有与w,s均无关的成本。
故商品的价格可表示α，β，γ为大于0的常数）。
（2）显然c是w的减函数。
说明大包装比小包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。
函数图像如下图所示：题目22.在考虑最优定价问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，β为价格)。
T解答：由题意得：总利润为在此约束条件下的最大值点为题目33.某商店要订购一批商品零售，订购费c(与数量无关)，随机需求量r的概率密度为p(r)，与时间无关)。
问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。
为使这个平均加什么限制？利润为正值，需要对订购费c解答：设订购量为u，则平均利润为u为使这个利润为正值，应有题目44.雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。
解答：雨滴质量m，体积V，表面积S与某特征尺寸lv降落，题目55.某银行经理计划啊用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如表1所示。
按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有以下限制：1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？解答：（1）设投资证券A,B,C,D,E，按照规定、限制和1000万元资金约束，列出模型用LINGO求解得到：证券A,C,E分别投资2.182百万元，7.364百万元，0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元。
数学建模练习题
数学建模练习题数学建模习题题⽬11. 在超市购物时你注意到⼤包装商品⽐⼩包装商品便宜这种现象了吗。
⽐如洁银⽛膏50g装的每⽀元，120g装的每⽀元，⼆者单位重量的价格⽐是：1.试⽤⽐例⽅法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由⽣产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正⽐，有的与表⾯积成正⽐，还有与w⽆关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越⼤c越⼩，但是随着w的增加c减⼩的程度变⼩，解释实际意义是什么。
解答：（1）分析：⽣产成本主要与重量w成正⽐，包装成本主要与表⾯积s成正⽐，其他成本也包含与w和s成正⽐的部分，上述三种成本中都包含有与w,s 均⽆关的成本。
⼜因为形状⼀定时⼀般有3事/ ,故商品的价格可表⽰为1 ⼀.⼀⼀ | ⼀： :（a，B，丫为⼤于0的常数）。
（2）单位重量价格',显然c是w的减函数。
说明⼤包装⽐⼩包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变⼤是逐渐降低的，不要追求太⼤包装的商品。
函数图像如下图所⽰：题⽬22. 在考虑最优定价问题时设销售期为T,由于商品的损耗，成本q随时间增长, 设q = * 0 t, B为增长率。
⼜设单位时间的销售量为x = a - bp（p为价格）今将销售期分为⼀⼆，?⼀和?⼕-⼁两段，每段的价格固定，记为/ .求的最优值，使销售期内的总利润最⼤。
如果要求销售期T内的总销售量为丁 ,再求'的最优值解答：由题意得：总利润为 ||| ：；◎,「.=' ⼚「I ⼗、^.7 -⼗+ '' ■■''■' ■■- l ，J以⼧⼈hPt -(舸 + @ ■ bp$ - b[p2 - (go 3p T/4)]由⼀=0, — -「，可得最优价格设总销量为丁 ,〔a - bpp dt + J'/a - bp^dt - aT - —(pf +在此约束条件下U的最⼤值点为$bT~ bT a题⽬33. 某商店要订购⼀批商品零售，设购进价 G ,售出6,订购费C o （与数量⽆关），随机需求量r 的概率密度为p （r ），每件商品的贮存费为（与时间⽆关）。
数学建模经典习题
(5)
其中 A ( H L) / C B( H / L 1), B L / C
2.4：节水洗衣机
分析与求解
第k轮的洗净效果为
I. 最少洗衣轮数
xk 1 Qvk 1 Qvk xk Avk B 0 vk 1 k 0,1, 2,, n 1
uk L vk 为离散的变量！ H L
f1 ( x) c1B(t2 ), f 2 ( x) c2 x(t2 t1 ) c3 x
C( x) f1 ( x) f 2 ( x)
目标函数——总费用
模型建立
2
目标函数——总费用
2 2
c1 t1 c1 t1 c2 t1 x C ( x) c3 x 2 2(x ) x
5 6
6 8
8 10
10 14
104
2.4：节水洗衣机
分析与求解
II. 算法
选用一种非线性规划算法，
对 n N0 , N0 1, N0 2,, N 分别求解;
N 0 是满足(6)式或(7)式的最小整数.
选出最好的结果.
凭常识洗衣的 轮数不应太多 比如可取N 10
注意不必使用混合整数非线性规划算法， 那将使问题复杂化。
面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.
模型建立
b b t1 , t 2 t1 x
b
假设1）
dB dt
假设2）
t 2 t1
B(t2 )
假设3）4）
t2
x
t1
0
x
t1
t2 t
0
bt2 t12 2t12 B(t )dt 2 2 2(x )
数学建模习题及答案
5.设圆盘半径为单位1，矩形板材长a，宽b；可以精确加工，即圆盘之间及圆盘与板材之间均可相切。
若 ,则 , 是平衡点; 的平衡点为 . 的平衡点为 ,其中 ,此时的差分方程变为
.
由 可得平衡点 .
在平衡点 处,由于 ,因此, 不稳定.
在在平衡点 处,因 ,所以
(i) 当 时,平衡点 不稳定;
(ii) 当 时,平衡点 不稳定.
第
1.判断下列数学模型是否为线性规划模型。（a,b,c为常数，x,y为变量）
（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）单位重量价格 ，其简图如下：
显然c是w的减函数，说明大包装比小包装的商品便宜，；曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。
3.对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w与身长 的立方成正比，即 ， 为比例系数。
常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待。如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是 ， 为比例系数。
数学建模复习题
1、一房地产公司有50套公寓要出租。
当租金为每月180元时，公寓会全部租出去。
当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费。
试问房租定为多少可获得最大收入？解：设月租金定为180+10x 元，那么有x 套公寓租不出去，则收入为 （180+10x ）（50-x ）-（50-x ）*20 =9000+320x-10x^2-1000+20x =8000+340x-10x^2 =-10（x^2-34x-800）=-10（x^2-34x+289-1089） =-10（x-17）^2+10890即x=17时，收入为最高为 10890元 180+10x=350 元答：当月租定为350元时，收入最高，最高为10890元2、设某种新产品要推向市场，t 时刻产品销售增长率与销售量x （t ）成正比，设市场容量为N ，试确定产品销售增长曲线。
设有某种新产品要推向市场，t 时刻的销量为x(t),由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，因此，t 时刻产品销售的增长率txd d 与x(t)成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N ，统计表明txd d 与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N=x(t)也成正比，于是有txd d =kx(N=x)， (1043)其中k 为比例系数，分离变量积分，可以解得x(t)=kNtC N-+e1 (1044) 方程(1043)也称为逻辑斯谛模型，通解表达式(1044)也称为逻辑斯谛曲线．由t x d d =()221kNt kNtC k CN --+ee以及22t x d d =()3231)1(kNt kNt kNt C C k CN ---+-ee e ， 当x(t*)＜N 时，则有txd d ＞0，即销量x(t)单调增加．当x(t*)2N时，22t x d d 0;当x(t*)＞2N 时，22t x d d ＜0；当x(t*)＜2N时，22t x d d ＞0．即当销量达到最大需求量N 的一半时，产品最为畅销，当销量不足N 一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减小．国内外许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线与公式(1044)的曲线十分接近，根据对曲线性状的分析，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到20%到80%期间，产品应大批量生产，在产品用户超过80%时，应适时转产，可以达到最大的经济效益．3、一个人为了积累养老金，他每月按时到银行存A 元，银行的年利率为r ，且可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累多少养老金？ 解：（1）设月利率为r ，按月按复利进行计算， 第一个月存款所得的复利终值为1F =60)1(100r +; 第二个月存款所得的复利终值为2F =59)1(100r +； 第三个月存款所得的复利终值为3F =58)1(100r +； ·第五年的最后一个月存款所得的复利终值为60F =)1(100r +。
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数学建模习题景德镇陶瓷学院信息工程学院习题一1.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余不变。
试构造模型并求解。
2.模仿1.4节商过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。
3.利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型：（1）分段的指数增长模型。
将时间分为若干段，分别确定增长率r 。
（2）阻滞增长模型。
换一种方法确定固有增长率r 和最大容量m x 。
4.说明1.5节中Logistic 模型(9)可以表为)(01)(t t r m ex t x --+=,其中0t 是人口增长出现拐点的时刻,并说明0t 与r, m x 的关系.5.假定人口的增长服从这样的规律:时刻t 的人口为)(t x ,t 到t+∆t 时间内人口的增长与m x -)(t x 成正比例(其中m x 为最大容量).试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。
6.某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿。
次日早8：00沿同一条路径下山，下午5：00回旅店。
某乙说，甲必在二天中的同一时刻经过路径中的同一地点。
为什么？7.37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。
问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛。
如果是n支球队比赛呢？8.甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。
甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。
问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。
9.某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家，一旦他提前下班搭早一班火车于5：30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前了10分钟。
问他步行了多长时间？10.一男孩和一女孩分别在离家2公里和1公里且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4公里和2公里每小时的速度步行回家。
一小狗以6公里/小时速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。
问小狗奔波了多少路程？习题二1.学校共1000名学生,235人住在A宿舍,333人住在B宿舍,432人住在C宿舍,学生们要组织一个10人的委员会,试用下列办法分配各宿舍的委员数:（1）按比例分配取整数的名额后,乘下的名额按惯例分给小数部分较大者.（2）2.1节中的Q值方法.（3）d‘Hondt方法:将A,B,C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,…相除,其商数如下表:将所得商数从大到小取前10(10为席位数),在数字下标以横线,表中A,B,C行有横线的数分别为2,3,5,这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗?如果委员会从10人增至15人,用以上3种方法再分配名额,将3种方法两次分配的结果列表比较.（4）你能提出其它的方法吗.用你的方法分配上面的名额.2.用微积分的方法导出2.2节的公式(2)3.在2.5节中考虑8人艇分重量级组(桨手体重不超过86kg和轻量级组(桨手体重不超过73kg,建立模型说明重量级组的成绩比轻量级组大约好5%.4.用2.7节实物交换模型中介绍的无差别曲线的概念,讨论以下雇员和雇主之间的协议关系:(1)以雇员一天的工作时间t和工资w分别为横坐标和纵坐标,画出雇员无差别曲线族的示意图.解释曲线为什么是你画的那种形状.(2)如果雇主付计时工资,对不同的工资率(单位时间的工资)画出雇员计时工资线族,根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族,讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议.(3)雇员和雇主已经达成了一个协议(工作时间t1和工资w1).如果雇主想使雇员的工作时间增加到t2,他有两种办法:一是提高计时工资率,在协议线中另一点(t2,w2)达成新的协议;二是实行超时工资制,即对工时t1仍付原计时工资,对工时t2-t1付给更高的超时工资.试用作图方法分析哪种办法对雇主更有利,指出这个结果的条件.5.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗.比如洁银牙膏50g装的每支1.50元,120g装的每支3.00元,二者单位重量的价格比是1.2:1,试用比例方法构造模型解释这个现象. （1）分析商品价格C与商品重量w的关系.价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格Ｃ与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。
6.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生,打算按照放生的鱼重量给予奖励,俱乐部只准备了一把软尺用于测量,请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法.假定鱼池中只有一种鲈鱼,并且得到8条鱼的如下数据(胸围指鱼身的最大周长):先用机理分析建立模型,再用数据确定参数.7.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道,要求布条不重叠,问布条与管道轴线的夹角a应多大.如知道管道长度,需要多长布条(可考虑两端的影响).如果管道是其它形状呢.8.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘,给出几种简便、有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
练习三1.在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量.证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样,而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减小.2.建立不允许缺货的生产销售存贮模型.设生产速率为常数k,销售速率为常数r,k>r.在每个生产周期T内,开始的一段时间(0<t<T0)一边生产一边销售,后来的一段时间(T0<t<T)只销售不生产,画出贮存量q(t)的图形.设每次生产准备费为C1,单位时间每件产品贮存费为C2,以总费用最小为目标确定最优生产周期.讨论k>>r和k ≈r的情况.3.在3.3节森林救火模型中,如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b有关,试假设一个合理的函数关系,重新求解模型.4.在3.4节最优价格模型中,如果考虑到成本q随产量x增加而降低,试做出合理的假设,重新求解4.在考虑最优价格问题时设销售期为T,由于商品的损耗,成本q随时间增长,设q=q0+βt, β为增长率,又设单位时间的销售量为x=a-bp(p为价格).今将销售期分为0<t<T/2和T/2<t<T两段,每段的价格固定,记作p1,p2.求p1,p2的最优值,使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T内的总售量为Q0,再求p1,p2的最优值.5.在3.6节消费者的选择模型中，(1)证明若条件B成立,则条件A成立；(2)验证(3),(5),(7)式给出的效用函数是否满足条件B和A；(3)若消费者的效用函数为(7)式,求最优化比例p1q1/p2q2,并分析参数a,b的意义；(4)若商品甲的价格p1增加,其余条件不变,讨论消费者均衡状态的变化；(5)若消费者购买商品的钱s增加,其余条件不变,讨论消费者均衡状态的变化；(6)推广到消费者购买m(m>2)种商品的情况.练习四1.某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资,可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。
按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按５０％的税率纳税。
此外还有以下限制：(1)政府及代办机构的证券总共至少要购４００万元；(2)所购证券的平均信用等级不超过 1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；(3)所购证券的平均到期年限不超过５年。
(1)若该经理有１０００万元资金，应如何投资？(2)如果能够以２.７５％的利率借到不超过100万元资金,该经理应如何操作?(3)在1000万元资金情况下,若证券A的税前收益增加为4.5%,投资应否改变?若证券C的税前收益减少为4.8%,投资应否改变?2.一家出版社准备在某市建立两个销售代理点,向7个区的大学生售书每一个区的大学生(单位:千人)已经表示在图上.每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书,这两个销售代理点应该建在何处,才能使所能供应的大学生的数量最大?建立该问题的整数母性规划模型并求解.3.某储蓄所每天有营业时间是上午9:00到下午5:00根据经验,每天不同时间段所需要的服务员数量如下:储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员.全时服务员每天报酬100元,从上午9:00到下午5:00工作,但中午12:00到下午2:00之间必须安排1小时的午餐时间.储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员,每个半时服务员必须连续工作4小时,报酬40元.问该储蓄所应如何雇佣半时服务员的数量没有限制,每天可以减少多少费用?4.一家保姆服务公司专门向顾主提供保姆服务.根据估计,下一年的需求是:春季6000人日,夏季7500人日,秋季5500人日,冬季9000人日.公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗,每个保姆每季度工作(新保姆包括培训)65天.保姆从该公司而不是从顾主那里得到报酬,每人每月工资800元.春季开始时公司拥有120名保姆,在每个季度结束后,将有15%的保姆自动离职.(1)如果公司不允许解雇保姆,请你为公司制定下一年的招聘计划;哪些季度需求的增加不影响招聘计划?可以增加多少?(2)如果公司在每个季度结束后允许解雇保姆,请为公司制定下一年的招聘计划.5.在甲乙双方的一场战争中,一部分甲方部队被乙方部队包围长达4个月.由于乙方封锁了所有水陆交通通道,被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给.运送4个月的供给分别需要2次,3次,3次,4次飞行,每次飞行编队由50架飞机组成(每架飞机需要3名飞行员),可以运送10万吨物资.每架飞机每个月只能飞行一次,每名飞行员每个月也只能飞行一次.在执行完运输任务后的返回途中有20%的飞机会被乙方部队击落,相应的飞行员也因此牺牲或失踪.在第1个月开始时,甲方拥有110架飞机和330名熟练的飞行员.在第个月开始时,甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机,新飞机必须经过一个月的检查后才可以投入使用,新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能投入飞行.每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导20名飞行员(包括他自己在内)进行了训练.每名飞行在完成一个月的飞行任务后,必须有一个月的带薪假期,假期结束后才能再投入飞行.已知各项费用(单位略去)如下表所示,请你为甲方安排一个飞行计划.如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过20名飞行员(包括他自己在内)进行训练,模型和结果有哪些改变?6.某公司将4种不同含硫量的液体原料(分别记为甲,乙,丙,丁)混合生产两种产品(分别记为A,B).按照生产工艺的要求,原料甲,乙,丁必须首先倒入混合池中混合,混合后的液体再分别与原料丙混合生产A,B.已知原料甲,乙,丙,丁的含硫量分别是3,1,2,1(%),进货价格分别为6,16,10,15(千元/吨)；产品A，B的含硫量分别不能超过2.5，１.５（％）,售价分别为9,15(千元/吨).根据市场信息,原料甲,乙丙的供应没有限制,原料丁的供应量最多为50吨;产品A,B的市场需求量分别为100吨,200吨.问应如何安排生产?7.某钢管零售商从钢管厂进货,将钢管按照顾客的要求切割后售出.从钢管厂进货时得到的原料钢管长度是1850mm.现有一客户需要15根290mm,28根315mm,21根350mm,30根455mm的钢管.为了简化生产过程,规定所使用的切割模式的种类不能超过4种,使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用,使用频率次之的切割按照一根原料钢管价值的2/10增加费用,依次类推,且每种切割模式下的切割次数不能太多(一根原料钢管最多生产5根产品).此外,为了减少余料浪费,每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm.为了使总费用最小,应如何下料?练习五1.对于5.1节传染病的SIR模型，证明：(1)若s>1/σ,则i(t)先增加，在s=1/σ处最大,然后减少并趋于零；s(t)单调减少至s。