统计学 《独立性检验》
第1章 1.1 独立性检验
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(2)由 2×2 列联表中数据，计算得到 χ2 的观测值为
2 1 500 × 982 × 17-493 × 8 χ2＝ ≈13.097>10.828， 990×510×1 475×25
因此在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下， 认为质量监督员甲是否在生产 现场与产品质量有关.
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[再练一题] 1.某电视公司为了研究体育迷是否与性别有关，在调查的 100 人中，体育迷 75 人，其中女生 30 人，非体育迷 25 人，其中男生 15 人，请作【解】 体育迷 非体育迷 合计 男 女 合计 45 30 75 15 10 25 60 40 100
1.在 2×2 列联表中，若每个数据变为原来的 2 倍，则 χ2 的值变为原来的 ________倍.
【提示】 两种说法均正确.P(χ2≥6.635)≈0.01 的含义是在犯错误的概率不 超过 0.01 的前提下认为两个变量相关；而 P(χ2≥7.879)≈0.005 的含义是在犯错 误的概率不超过 0.005 的前提下认为两个变量相关.
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为了调查某生产线上质量监督员甲对产品质量好坏有无影响， 现统 计数据如下：甲在生产现场时，990 件产品中有合格品 982 件，次品 8 件；甲不 在生产现场时，510 件产品中有合格品 493 件，次品 17 件.试分别用列联表、独 立性检验的方法分析监督员甲对产品质量好坏有无影响 .能否在犯错误的概率不 超过 0.001 的前提下，认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关？
无关系的可能性就越小.
【答案】 (2)
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2.式子|ad-bc|越大，χ2 的值就越________.(填大或小) 【解析】 由 χ2 的表达式知|ad-bc|越大，(ad-bc)2 就越大，χ2 就越大. 【答案】 大
《独立性检验》
《独立性检验》一、内容与内容解析《独立性检验》为新课标教材中新增加的内容. 虽然本节是新增内容，理论比较复杂，教学时间也不长(1-2课时)，但由于它贴近实际生活，在整个高中数学中，地位不可小视.在近几年各省新课标高考试题中，本节内容屡屡出现，而且多以解答题的形式呈现，其重要性可见一斑.该内容是前面学生在《数学3》(必修)中的统计知识的进一步应用，并与本册课本前面提到的事件的独立性一节关系紧密，此外还涉及到与《数学2-2》(选修)中讲到的“反证法”类似的思想.本小节的知识内容如右图。
“独立性检验”是在考察两个分类变量之间是否具有相关性的背景下提出的，因此教材上首先提到了分类变量的概念，并给出了考察两个分类变量之间是否相关的一种简单的思路，即借助等高条形图的方法，随后引出相对更精确地解决办法——独立性检验。
独立性检验的思想，建立在统计思想、假设检验思想(小概率事件在一次试验中几乎不可能发生)等基础之上，通常按照如下步骤对数据进行处理：明确问题→确定犯错误概率的上界α及2K 的临界值0k →收集数据→整理数据→制列联表→计算统计量2K 的观测值k →比较观测值k 与临界值0k 并给出结论.本节的重点内容是通过实例让学生体会独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的一般步骤.二、目标与目标解析本节课的教学目标是主要有：1.理解分类变量(也称属性变量或定性变量)的含义，体会两个分类变量之间可能具有相关性；2.通过对典型案例（吸烟和患肺癌有关吗?）的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法、步骤及应用。
3.鼓励学生体验用多种方法(等高条形图法与独立性检验法)解决同一问题，并对各种方法进行比较。
4.让学生对统计方法有更深刻的认识，体会统计方法应用的广泛性，进一步体会科学的严谨性（如统计可能犯错误，原因可能是收集的数据样本容量小或样本采集不合理，也可能是理论上的漏洞，如在一次实验中，我们假设小概率事件不发生，这一点本身就值得质疑）. 其中第2条是重点目标，也是《课程标准》中明确指出的教学要求之一. 三、教学问题诊断分析基于对学生已有数学水平的分析，在本节新学内容时，有以下几点是初学者不易理解或掌握的：1.2K 的结构比较奇怪，来的也比较突然，学生可能会提出疑问.关于这个问题的处理，要首先利用好前面对“比例”或者两个分类变量“独立”的分析。
独立性检验资料
50 0
不患患肺病癌 患患病肺癌
吸烟 不吸烟
三维柱 状图
不吸烟 吸烟
2) 经过图形直观判断
350 300 250 200 150 100
50 0 不吸烟
吸烟
二维条 形图
患肺病癌 不患患肺病癌
3)经过图形直观判断
100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%
5、下结论
已知在 H0成立旳情况下，
P( 2 11.8634) 0.001以下
故有99.9%旳把握以为H0不成立，即有99.9% 旳把握以为“患呼吸道疾病与吸烟有关系”。
网络链接——检验成果
DNA亲子鉴定旳原理和程序
DNA是从几滴血,腮细胞或培养旳组织纤内提取而 来.用畴素将DNA样本切成小段,放进喱胶内,用电泳槽推动 DNA小块使之分离--最细旳在最远,最大旳近来. 之後, 分 离开旳基因放在尼龙薄膜上,使用尤其旳DNA探针去寻找基 因, 相同旳基因会凝聚于一,然後,利用尤其旳染料,在X光 旳环境下,便显示由DNA探针凝聚于一旳黑色条码.小孩这 种肉眼可见旳条码很尤其 ----二分之一与母亲旳吻合,二 分之一与爸爸旳吻合.这过程重覆几次,每一种探针用于寻 找DNA旳不同部位并影成独特旳条码,用几组不同旳探针, 可得到超出99,9%旳父系或然率或辨别率.
患其他病 175 597 772
总计 389 1048 1437
600 500 400 300 200 100
0 患心脏病 患其他病
不秃顶 秃顶
秃顶 不秃顶
2 1437 (214 597 175 451)2 16.373 6.635
3891048 665 772 有99%旳把握以为“秃顶与患心脏病有关”
统计学中的独立性检验
统计学中的独立性检验统计学中的独立性检验（Test of Independence）是一种常用的统计方法，用于研究两个或多个分类变量之间是否存在相互独立的关系。
通过对随机抽样数据进行分析，可以判断不同变量之间是否有关联，并衡量关联的强度。
本文将介绍独立性检验的基本原理、常用的检验方法以及实际应用。
一、独立性检验的基本原理独立性检验的基本原理是基于统计学中的卡方检验（Chi-Square Test）。
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较观察值频数与期望频数之间的差异。
在独立性检验中，我们首先建立一个原假设，即所研究的两个或多个变量之间不存在关联，然后通过计算卡方统计量来判断观察值与期望值之间的差异是否显著。
二、常用的独立性检验方法1. 皮尔逊卡方检验（Pearson's Chi-Square Test）：这是最常见的独立性检验方法，适用于有两个以上分类变量的情况。
它基于观察频数和期望频数之间的差异，计算出一个卡方统计量，并根据卡方分布表给出显著性水平。
2. Fisher精确检验（Fisher's Exact Test）：当样本量较小或者某些期望频数很小的情况下，皮尔逊卡方检验可能存在一定的偏差。
在这种情况下，可以使用Fisher精确检验来代替皮尔逊卡方检验，得到更准确的结果。
3. McNemar检验：适用于配对数据比较的独立性检验，例如一个样本在两个时间点上的观察结果。
三、独立性检验的实际应用独立性检验在各个领域都有广泛的应用，以下是几个常见的实际应用场景：1. 医学研究：独立性检验可以用于研究某种药物治疗方法是否具有显著的疗效，或者判断不同年龄组和性别之间是否存在患病率的差异。
2. 教育领域：独立性检验可用于研究学生成绩与家庭背景、教育水平之间是否存在关联。
3. 市场调研：在市场调研中，可以通过独立性检验来分析不同年龄、性别、收入水平等因素对消费者购买习惯的影响。
4. 社会科学研究：独立性检验可以帮助社会科学研究人员探索个体特征与社会行为之间的关系，例如政治倾向与不同年龄群体之间的关联性等。
高中数学选修课件第一章：独立性检验
注意事项与误区提示
在进行独立性检验前，需要确保样本 的随机性和代表性，以避免因样本偏 差导致结果失真。
需要注意的是，独立性检验只能判断 两个变量之间是否存在统计上的独立 性，并不能说明它们之间是否存在因 果关系或其他形式的关联。
在解读结果时，需要注意概率值（p 值）或临界值表的具体含义和适用条 件，避免误用或滥用。
高中数学选修课件第一 章：独立性检验
汇报人：XX 20XX-01-30
contents
目录
• 独立性检验基本概念 • 独立性检验基本思想解读 • 独立性检验方法介绍及应用场景分析 • 独立性检验结果解读与注意事项 • 独立性检验在统计学中地位和作用 • 高中数学选修课程中其他相关知识点回
顾与拓展
01
在实际应用中，还需要结合其他统计 方法和专业知识进行综合分析和判断 。
05
独立性检验在统计学中地位和作用
独立性检验在统计学中地位
独立性检验是统计学 中一种重要的假设检 验方法。
在数据分析、市场调 研、医学研究等领域 具有广泛应用。
它用于判断两个或多 个分类变量之间是否 相互独立。
独立性检验对后续统计分析影响
高中数学选修课程中其他相关知识点梳理
排列组合与二项式定理
回顾排列组合的基本概念、计算公式及应用，掌握二项式定理的展开式及通项公式的应 用。
概率与统计的综合应用
梳理概率与统计在高中数学选修课程中的综合应用，如概率与统计在解决实际问题中的 结合，以及概率与统计在其他数学知识点中的交叉应用等。
数学建模与数学探究
独立性检验的基本思想
通过抽样调查获取数据，根据样本数据来判断两个分类变量 是否独立。
独立性检验的方法
通常采用列联表的形式整理数据，然后计算相关统计量的值 （如χ²值），并根据统计量的值及给定的显著性水平作出判 断。
《独立性检验》课件
3.2独立性检验的 基本思想及其初 步应用
两种变量：
定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。
变量 分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、
宗教信仰、国籍等等。
研究两个变量的相关关系：
定量变量——回归分析（画散点图、相关系数r、
变量
相关指数R 2、残差分析）
分类变量—— 独立性检验
1%把握认为A与B无关
99%把握认为A与B有关
5%把握认为A与B无关
95%把握认为A与B有关
10%把握认为A与B无关 90%把握认为A与B有关
没有充分的证据判定A与B有关，可以认为A与B无关
独立性检验的步骤
第一步：设H0： 吸烟和患病之间没有关系
第二步：列出2×2列联表
吸烟 不吸烟
总计
患病 a c
366
874
K 2 2486.1225.
合计 360 880
1240
本 小 节 的 知 识 内 容 如 右 图
其中说法正确的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[答案] B
[解析] 根据独立性检验的意义，知③正确．
2．下列关于 χ2 的说法中正确的是( ) A．χ2 越大，“变量 A、B 有关联”的可信度越小 B．χ2 越大，“变量 A、B 无关”的可信度越大 C．χ2 越小，“变量 A、B 有关联”的可信度越小 D．χ2 越小，“变量 A、B 无关”的可信度越小 [答案] C [解析] χ2 越大，“变量 A，B 有关联”的可信度越大，“变 量 A，B 无关”的可信度越小；相反，χ2 越小，“变量 A，B 有 关联”的可信度越小，“变量 A，B 无关”的可信度越大．
（1）列出数学与物理优秀的2x2列联表如下
《独立性检验》同步课件
B.%
C.. %
D.. %
解析:由于. > . ,故在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为
“文化程度与月收入有关系”,即有. %的把握认为“文化程度与月收入
有关系”.
答案: D
4.为了解某班学生是否喜爱打篮球与性别是否有关,对该班50名学生进行
了问卷调查,得到了如下的 × 列联表,
表:
将列联表中数据代入
×(×−×)
×××
=
(−)
计算得观测值
(+)(+)(+)(+)
≈ . .附表:
=
参考附表,得到的结论正确的是( )
A.有%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别有关”
B.有%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别无关”
根据关于智商的表中的数据计算得
=
×(×−×)
×××
=
×(×−×)
×××
=
×(×−×)
×
=
=
=
≈ . .
=
= . .
C.在犯错误的概率不超过. %的前提下,认为“是否爱好该项运动与性别有关”
D.在犯错误的概率不超过. %的前提下,认为“是否爱好该项运动与性别无关”
解析:由 ≈ . 及 ⩾ . = . 可知,在犯错误的概率不超过
%的前提下认为“是否爱好该项运动与性别有关”,也就是有%以上的
×(×−×)
×××
=
因为. < . < . < . ,
所以与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量. 答案:
≈ . .
≈ . .
《独立性检验》课件
独立性检验 ad bc 0.
ad - bc 越小，说明吸烟与患肺癌之间的关系越弱， ad - bc 越大，说明吸烟与患肺癌之间的关系越强
引入一个随机变量：卡方统计量
K
2
n ad bc a b c d a c b d 其中n a b c d
结论的可靠 程度如何？
吸烟与呼吸道疾病列联表 患呼吸道疾 不患呼吸道 病 疾病 吸烟 不吸烟 总计 a c a+c b d b+d
总计
a+b c+d a+b+c+d
a 吸烟的人中患肺癌的比例： a b c 不吸烟的人中患肺癌的比例： cd
若H0成立
a c ≈ , a+b c+d
a c+d ≈c a + b ,
类2
b
总计 a+b
c
a+c
d
b+d
c+d
a+b+c+d
要推断“Ⅰ和Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行：
（1）提出假设H0 ：Ⅰ和Ⅱ没有关系；
2 K （2）根据2× 2列表与公式计算 的值；
（3）查对临界值，作出判断。
由于抽样的随机性，由样本得到的推断 有可能正确，也有可能错误。利用 K 2 进 行独立性检验，可以对推断的正确性的概 率作出估计，样本量n越大，估计越准确。
7)如果P(m≤2.706),就认为没有充分的证据显示”X与Y”有关系;
用K 统计量研究这类问题的方法称为独立性检验。
2
一般地，对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类 取值，即类A和B（如吸烟与不吸烟）；Ⅱ也有两类 取值，即类1和2（如患病与不患病）。于是得到 下列联表所示的抽样数据：
独立性检验课件
检验结果的解释应合 理，不能断章取义， 否则会影响结论的正 确性。
样本数据应真实可靠 ，不能弄虚作假，否 则会导致检验结果失 去意义。
局限性
独立性检验只能用于判断两个分 类变量之间是否独立，无法用于
判断其他变量之间的关系。
独立性检验对样本数据的分布有 一定要求，不适用于所有情况。
01
02
03
定义
Monte Carlo test是一种 通过随机抽样来近似解决 复杂数学问题的计算方法 。
原理
利用随机抽样来模拟样本 分布，从而得出一个近似 解。
应用场景
适用于处理复杂数学问题 、样本分布难以确定或无 法满足正态分布的情况。
03
实例分析
两个分类变量的相关性分析
总结词
通过卡方检验、列联表分析等方法，可 以研究两个分类变量之间的相关性。
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定义
Fisher's exact test是一种精确 的卡方检验，用于分析两个分类
变量之间的关联性。
公式
Fisher's exact test基于排列组 合原理，通过对样本数据的可能
情况进行计算，得出p值。
应用场景
适用于样本数据量较小、样本分 布不符合正态分布或近似正态分
布的情况。
Monte Carlo test
• 公式展示：皮尔逊相关系数定义为：r = (nΣ(xi-yi)(xi+yi)-Σ(xi-yi)²) / (√(nΣxi²-Σyi²)√(Σxi²+Σyi²-2Σ(xi*yi)))，其中xi和yi分别表示X和Y的取值。
独立性检验的方法
独立性检验的方法
独立性检验是用来判断两个变量之间是否存在关联或者依赖关系的统计方法。
常见的独立性检验方法有以下几种：
1. 卡方检验（Chi-square test）：用于检验两个分类变量之间的独立性。
它将观察到的频数与期望频数进行比较，判断是否存在显著的差异。
2. Fisher精确检验（Fisher's exact test）：在小样本数据中使用的一种精确方法，用于检验两个分类变量之间的独立性。
该方法不依赖于样本的分布假设，适用于小样本和稀有事件的情况。
3. 独立样本t检验（Independent samples t-test）：用于检验两个组的均值是否存在显著差异。
这种方法适用于两个互不相关的样本。
4. 方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）：用于检验多个组之间均值的差异是否显著。
ANOVA分为单因素和多因素两种，前者适用于一个自变量，后者适用于多个自变量的情况。
5. 斯皮尔曼相关系数（Spearman's rank correlation coefficient）：用于衡量两个变量之间的非线性关系。
斯皮尔曼相关系数是一种非参数的方法，适用于顺序变量或非正态分布的变量。
以上是常见的几种独立性检验方法，不同的方法适用于不同的情况和变量类型。
在进行独立性检验时，需要根据实际情况选择合适的方法进行分析。
独立性检验的基本思想课件
独立性检验的常用方法
卡方检验
适用情况
卡方检验主要用于比较观察频率和期望频率之间的差异，常用于检验两个分类变量之间是 否独立。
原理
卡方检验基于假设，即观察频率和期望频率之间的差异是由于随机误差引起的。如果差异 过大，则拒绝原假设，认为两个分类变量之间存在依赖关系。
计算方法
卡方检验的计算方法包括计算卡方统计量、计算自由度和计算p值。卡方统计量越大，说 明观察频率和期望频率之间的差异越大。自由度等于观察频数减去期望频数减去1。p值 表示拒绝原假设的依据，通常选择0.05作为显著性水平。
计算方法
Fisher's exact test的计算方法包括选择显著性水平、计算超几何分布函数和计算概率值。超几何分布函 数的参数包括观察频数、期望频数和总样本量。
McNemar's test
01
适用情况
McNemar's test主要用于分析两个配对分类变量之间的 关联性，例如同一受试者在不同时间点的测试结果。
独立性检验的发展趋势与未来展望
发展新的统计方法
针对独立性检验的局限性，未来研究可开发新的统计方法 ，提高检验效能和可靠性。
01
结合大数据技术
利用大数据技术，对海量数据进行独立 性检验，可更全面地揭示变量之间的关 系。
02
03
跨学科交叉
将独立性检验与其他学科领域相结合 ，如机器学习、人工智能等，可为其 提供新的应用场景和发展空间。
05
独立性检验的实例分析
两个分类变量的相关性分析
总结词
通过观察两个分类变量之间的相互关系，确 定它们之间是否有联系。
详细描述
在独立性检验中，我们需要观察两个分类变 量之间的关系。例如，我们可以观察吸烟习 惯和患肺癌的可能性之间的关系。通过分析 这些数据，我们可以得出吸烟习惯和患肺癌 之间是否有联系的结论。
独立性检验
1.定性变量与定量变量： 2.2×2 列联表：
二、独立性检验的简介： 三、检验独立性的方法：
1.频率法： 2.等高条形图法： 3.卡方检验：
(1)卡方检验简述： (2)操作步骤及三个细节： (3)书写格式：
概率与统计简述
样本
抽样
估计 推断
总体
回归分析 分布列及期望 相关分析
概率 计数
超几何分布与二项分布的关联
以下三种情况，按照二项分布来处理
频率代概率 总数一大批 抽取要放回 二项分布也
四大分布之间的关联图
正态分布
连续 二项分布 N →+∞ 超几何分布
(总数充分大) n=1
0—1分布
当
M N
1 10
1 100
,实际操作时,用二项分布近似来代替
正态分布的性质
1.对称性
f (x) , (x)
法3：相关系数 r 法 (参《必修3》P：92～93) 法4：关系式法:
主要是利用回归方程…… 法5：数表法:
主要观察是否具有单调性……
法3：相关系数 r ——衡量变量之间相关程度的指标
(1)计算公式：r
(2)性质：
n
(xi x)( yi y)
i1
n
n
(xi x)2 ( yi y)2
1
( x )2
e 2 2
2
2.渐近性
正态曲线是钟型 指数二次组合体
3.最大值 4.面积为1
要求概率求面积 左小右大总为 1 均值中众对称轴 比较方差武大郎 前数期望后方差 平方去π同上母
5.期望为μ，方差为δ2
小概率事件原理
一般的，当P(A)≤0.05(或0.01)时 可以认为在一次试验中事件A几乎是不可能发生的 但在多次重复试验中几乎是必然发生的
选修1-2《独立性检验》课件
(2)分类变量的取值有时可用数字来表示，但这时 的数字除了分类以外没有其他的含义，如用“0” 表示“男”，用“1”表示“女”.
某医疗机构为了了解患肺癌与吸烟是否有 关，进行了一次抽样调查，共调查了9965 个成年人，其中吸烟者2148人，不吸烟者 7817人，调查结果是：吸烟的2148人中49 人患肺癌， ；不吸烟的7817人中42人患肺 癌.
由观测 数据计算 得到随机变量K 2的观测 值k.
(3)如果k≥k0 ，就以(1-P(K2≥k0)) ×100%的把握 认为“X与Y有关系”；否则就说样本观测数据 没有提供“X与Y有关系”的充分证据．
反证法原理与假设检验原理
反证法原理：
在一个已知假 设下，如果推 出一个矛盾， 就证明了这个 假设不成立。
问题3：能否用数量刻画出“有关”的程度？
独立性检验
通过数据和图表分析，得到 结论是：吸烟与患呼吸道疾 病有关
H0： 吸烟和患肺癌之间没有关系
结论的可靠 程度如何？
不吸烟 吸烟 总计
吸烟与呼吸道疾病列联表
不患肺癌
患肺癌
a
b
c
d
a+c
b+d
不吸烟的人中不患肺癌的比例： 吸烟的人中不患肺癌的比例：
a ab
假设检验原理：
在一个已知假设 下，如果一个与 该假设矛盾的小 概率事件发生， 就推断这个假设 不成立。
例题解析：
例1、在某医院,因为患心脏病而住院的665名男性病 人中,有214人秃顶,而另外772名不是因为患心脏病而住 院的男性病人中有175人秃顶.(1)利用图形判断秃顶与患 心脏病是否有关系;(2)能否在犯错误的概率不超过0.01 的前提下认为秃顶与患心脏病有关系？
独立性检验
第1课时
一.引入新课：
1.两种变量及研究相关关系的方法：
定量变量的取值一定是实数，它们的取值大小有特定 的含义，不同取值之间的运算也有特定的含义。 定量变量 例如：身高、体重、考试成绩，温度等等 研究两个定量变量相关关系的方法：回归分析（画散
点图，相关系数r,相关指数R2,残差分析等）
独立性检验的定义 利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系 ”的方法称为独立性检验. 独立性检验的一般步骤
（1）假设H 0 :两个分类变量X与Y没有关系;
（2）计算出K2的观测值k； （3）把k的值与临界值比较确定X与Y有关的程度或无 关系.
设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1,x2}和 {y1,y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
解：根据题目所给数据得到如下列联表：
秃顶 不秃顶
总计
患心脏病 患其他病 214 175 451 597 665 772
总计 389 1048 1437
假设H0： 秃顶与患心脏病之间没有关系, 根据列联表中的数据，得到
1437 (214 597 175 451) k 16.373 6.635. 389 1048 665 772
等高条形图
患肺癌 比例
不患肺癌 比例
通过数据和图表分析，得到结论是：吸烟与患肺 癌有关，那么这种判断是否可靠呢？我们可以通过 统计分析回答这个问题.
假设H0： 吸烟与患肺癌之间没有关系, 吸烟与患肺癌列联表 不患肺癌 患肺癌 a b c d a+c b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d
不吸烟 吸烟 总计
统计学 《独立性检验》
1 .1
独立性检验
某医疗机构为了了解呼吸道疾病与吸烟是否有 进行了一次抽样调查，共调查了515个成年人 个成年人， 关，进行了一次抽样调查，共调查了515个成年人， 其中吸烟者220人 不吸烟者295人 调查结果是： 其中吸烟者220人，不吸烟者295人，调查结果是： 吸烟的220人中有 人患呼吸道疾病 人中有37人患呼吸道疾病（ 吸烟的220人中有37人患呼吸道疾病（以下简称患 ），183人未患呼吸道疾病 以下简称未患病）； 人未患呼吸道疾病（ 病），183人未患呼吸道疾病（以下简称未患病）； 不吸烟的295人中有 人患病 274人未患病 人中有21人患病， 人未患病。 不吸烟的295人中有21人患病，274人未患病。
独立性检验
（了解即可） ♣ χ 2检验的自由度 = (行数 − 1) × (列数 − 1)
为什么2×2列联表只有一个自由度？
患 病 吸 烟 不吸烟 合 计 未患病 合 计 220 295 515
58
457
对于丢失的四个数据，需要知道几个就可补 齐这张表？
例1 在500人身上试验某种血清预防感冒 500人身上试验某种血清预防感冒 的作用， 的作用，把他们一年中的感冒记录与另外 500名未用血清的人的感冒记录作比较 500名未用血清的人的感冒记录作比较， 名未用血清的人的感冒记录作比较， 结果如表所示， 结果如表所示，问：该种血清能否起到预 防感冒的作用？ 防感冒的作用？
成立的条件下,患病且吸烟的人数为 在H0成立的条件下 患病且吸烟的人数为
a + b a + c (a + b)(a + c) n × P ( AB ) ≈ n ⋅ ⋅ = n n n
行总和 表总和 列总和
独立性检验
独立性检验§1.2独立性检验的基本思想及其初步应用课前热身1.2×2列联表(1)分类变量的定义变量的不同“值”表示__________，像这样的变量称作分类变量．(2)2×2列联表的定义一般地取两个分类变量X和Y，它们的值域分别为__________和__________，其样本频数列联表(也称2×2列联表)为下表：2.二维条形图在二维条形图中，可以估计满足条件X＝x1的个体中具有Y＝y1的个体所占比例__________，也可以估计满足X＝x2的个体中具有Y＝y1的个体所占比例为__________，两个比例的值相差越大，则两分类变量有关系的可靠程度越大．3．K2统计量为了消除样本量|ad－bc|的影响，统计学中引入下面的量K2＝_____________________________________________________，其中n＝__________为样本容量．4．独立性检验的定义及实施步骤(1)独立性检验的定义利用随机变量K2来确定是否能以给定把握认为“________________”的方法，称为两个分类变量的独立性检验．(2)判断“__________________________”的方法有列联表法、__________及K2公式的计算.名师讲解一般地，假设两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(也称为2×2列联表)为下表：若要推断的论述为H1：“X与Y有关系”．可以按如下步骤判断H1成立的可能性．(1)通过二维条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度．在二维条形图中，可以估计满足条件X＝x1的个体中具有Y＝y1的个体所占比例为aa＋b，也可以估计满足条件X＝x2的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例为cc＋d，两个比例的值相差越大，H1成立的可能性就越大．(2)可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度，具体的做法是：根据数据代入公式K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)求出随机变量K2的观测值k，其值越大，说明X与Y有关系的可能性越大，当得到的观测数据a、b、c、d都不小于5时，可以得到以下结论用于确定X与Y的可信程度：①如果k>10.828，有99.9%的把握认为X与Y有关系．②如果k>7.879，就有99.5%的把握认为X与Y有关系．③如果k>6.635，就有99%的把握认为X与Y有关系．④如果k>5.024，就有97.5%的把握认为X与Y有关系．⑤如果k>3.841，就有95%的把握认为X与Y有关系．⑥如果k>2.706，就有90%的把握认为X与Y有关系．⑦如果k≤2.706，就认为没有充分的证据显示X与Y有关系.典例剖析题型一概念辨析例1在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是()A．如果K2的观测值为k＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推理出现错误D．以上三种说法都不正确误区警示题中所说的“有99%的把握认为吸烟与患肺病有关”是指统计上的关系，而不是因果关系，也不能认为99%是指某人患有肺病的概率.变式训练1下列说法正确的个数为()①对事件A与B的检验无关，说明两事件互不影响；②事件A与事件B关系越密切，K2的值就越大；③K2的大小是判断事件A与B是否相关的唯一数据；④若判断两事件A与B相关，则A发生B一定发生．A．1B．2C．3D．4例2打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关．下表是一次调查所得的数据，试问：每晚都打鼾与患心脏病有关吗？用图表分析.变式训练2在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把一年中的记录与另外500个未用血清的人作比较，结果如下：题型三利用K2公式进行独立性检验例3在研究某种新措施对猪白痢的防治效果问题时，得到以下数据：试问新措施对防治猪白痢是否有效果？分析对于新措施对防治猪白痢是否有效果？可以计算K2的值与临界值进行比较，作出判断．规律技巧虽然二维条形图也能判断新措施对防治猪白痢是否有效果，但不能给出它们关系这一结论的可靠程度，因而我们常用K2公式解答问题.变式训练3调查者询问了72名大学生在购买食品时是否观看营养说明得到下表所示的数据，从表中数据分析看不看说明书与大学生的性别之间有没有关系.题型四独立性检验的应用例4下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：(1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关，请说明理由；(2)若饮用干净水得病5人，不得病50人，饮用不干净水得病9人，不得病22人．按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．变式训练4现有两种治疗运动员膝关节损伤的药方，为了比较两药方的疗效收集的数据如下表：(2)哪种药方疗效好？技能演练基础强化1．下列关于K2的说法正确的是()A．K2在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关B．K2的值越大，两个事件的相关性越大C．K2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合D．K2的观测值的计算公式为K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)2．下面是一个2×2列联表则表中aA．94、96B．52、50 C．52、54 D．54、52 3．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是()4．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表数据：A ．种子经过处理跟是否生病有关B ．种子经过处理跟是否生病无关C ．种子是否经过处理决定是否生病D ．以上都是错误的 5．分类变量x 和y 的列联表如下，则( )A.ad －bc C ．(ad －bc )2越大，说明x 与y 的关系越强 D ．(ad －bc )2越小，说明x 与y 的关系越强 6．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：A ．99%B ．95%C ．90%D ．无充分依据7．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：k ＝50(13×20－10×7)220×30×23×27≈4.844，因为k >3.841，所以确定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为__________．8．某大学在研究性别与职称(分正教授，副教授)之间是否有关系，你认为应该收集的数据是__________．能力提升9．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y有关系”的可信度．如果k>5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为__________.1011．在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动，你能否判断性别与休闲方式是否有关系？品味高考12．(2010·新课标)为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关；(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )。
独立性检验
n
估计 P( A1 ) ， n 估计P(B1 ) 。
若有式子
a n
a
b n
a
c n
，
则可认为 A1与 B1 独立。
a ab ac
由于 n ， n ， n 所表示的是频率，不同 于概率，即使变量独立两边也不一定刚好相等，但当 两边相差很大时，变量间就不独立。
同理，
b n
a
b n
b
d n
，则认为
A1与 B2独立；
例2.在某医院,因为患心脏病而住院的665名男性病人 中,有214人秃顶;而另外772名不是因为患心脏病而住 院的男性病人中有175秃顶.利用独立性检验方法判断 秃顶与患心脏病是否有关系?
秃顶与患心脏病列联表
患心脏病 患其他病
总计
秃顶
214
175
389
不秃顶
451
597
1048
总计
665
772
1437
2 1437 (214 597 175 451)2 16.373 6.635
389 1048 665 772
有99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”
例3. 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关
系。在某城市的某校高中生随机抽取300名学生。得到
如下列联表性：别与喜欢数学课程列联表
有关联；
（4）当
2
6.635
时，有
99
0 0
的把握判定变量
A，B
有关联；
现在，对于前面的问题我们可以计算
2 6578 (56 4567 1932 23)2 62.698 6.635
1988 4590 79 6499
所以，我们有99℅以上（99.9℅）的把握认为 吸烟与患肺癌是有关的.
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258 216 474
242 284 526
500 500 1000
数据处理
为研究不同的给药方式（ 例2 为研究不同的给药方式（口服与注 和给药的效果（有效与无效） 射）和给药的效果（有效与无效）是否有 进行了相应的抽样调查， 关，进行了相应的抽样调查，调查结果如 下表，根据所选择的193个病人的数据， 个病人的数据， 下表，根据所选择的 个病人的数据 能否作出药的效果与给药方式有关的结论。 能否作出药的效果与给药方式有关的结论。
有 效 口 服 注 射 合 计 无 效 合 计
58 64 122
40 31 71
98 95 193
数据处理
小 结
1.独立性检验的基本思想类似于反证法.即 1.独立性检验的基本思想类似于反证法. 检验要判断的是: 检验要判断的是:样本数据是否提供了不 利于断言的证据; 利于断言的证据; 2.掌握独立性检验的基本方法; 2.掌握独立性检验的基本方法; 3.独立性检验得出的是结论成立的把握程 3.独立性检验得出的是结论成立的把握程 度,是纯统计上的关系,里面不存在因果关 是纯统计上的关系, 系.
成立的条件下,患病且吸烟的人数为 在H0成立的条件下 患病且吸烟的人数为
a + b a + c (a + b)(a + c) n × P ( AB ) ≈ n ⋅ ⋅ = n n n
行总和 表总和 列总和
独立性检验定义: 独立性检验定义:
用 χ 统计量研究上述这类问
2
题的方法称为独立性检验
独立性检验的基本方法 一般地,对于两个研究对象Ⅰ 一般地,对于两个研究对象Ⅰ 和Ⅱ, Ⅰ有两类取值,既类A和 有两类取值,既类A 也有类1和类2两类, 类B, Ⅱ也有类1和类2两类,由 下表: 下表: Ⅱ 类1 类2
独立性检验
（了解即可） ♣ χ 2检验的自由度 = (行数 − 1) × (列数 − 1)
为什么2×2列联表只有一个自由度？
患 病 吸 烟 不吸烟 合 计 未患病 合 计 220 295 515
58
457
对于丢失的四个数据，需要知道几个就可补 齐这张表？
例1 在500人身上试验某种血清预防感冒 500人身上试验某种血清预防感冒 的作用， 的作用，把他们一年中的感冒记录与另外 500名未用血清的人的感冒记录作比较 500名未用血清的人的感冒记录作比较， 名未用血清的人的感冒记录作比较， 结果如表所示， 结果如表所示，问：该种血清能否起到预 防感冒的作用？ 防感冒的作用？
根据这些数据能否断定：患呼吸道疾病与吸烟有关？ 根据这些数据能否断定：患呼吸道疾病与吸烟有关？
独立性检验
♣ 有无关系？——直观判断 有无关系？
患 病 吸 烟 不吸烟 合 计 37 21 58 患 病 吸 烟 不吸烟 16.82% 7.12% 未患病 183 274 457 未患病 83.18% 92.88% 合 计 220 295 515 合 计（n） 100%（220） 100%（295）
沙洲中学数学组
1 .1
独立性检验
某医疗机构为了了解呼吸道疾病与吸烟是否有 进行了一次抽样调查，共调查了515个成年人 个成年人， 关，进行了一次抽样调查，共调查了515个成年人， 其中吸烟者220人 不吸烟者295人 调查结果是： 其中吸烟者220人，不吸烟者295人，调查结果是： 吸烟的220人中有 人患呼吸道疾病 人中有37人患呼吸道疾病（ 吸烟的220人中有37人患呼吸道疾病（以下简称患 ），183人未患呼吸道疾病 以下简称未患病）； 人未患呼吸道疾病（ 病），183人未患呼吸道疾病（以下简称未患病）； 不吸烟的295人中有 人患病 274人未患病 人中有21人患病， 人未患病。 不吸烟的295人中有21人患病，274人未患病。
结论：吸烟者与不吸烟者患病的可能性存在差异 结论：
独立性检验
吸 烟 不吸烟 患 病 a c 未患病 b d 合 计 a+b c+d
合 计
a+c
b+d
n(=a + b + c + d) =
事件A——某人吸烟 某人吸烟 事件 事件 A ——某人不吸烟 某人不吸烟 事件B——某人患病 事件 某人患病 事件 B ——某人未患病 某人未患病 a+b a+c P ( A) ≈ P( B) ≈ n n 假设 H 0 ：患病与吸烟没有关系 P ( AB) = P ( A) ⋅ P ( B )
推断Ⅰ与Ⅱ有关系, 推断Ⅰ 有关系 按如下步骤: 按如下步骤 ⑴提出假设 Ｈ0: Ⅰ与Ⅱ没有关系 ⑵根据2×2列联表 根据 × 列联表 χ 2的值 与公式计算
合计
a b a+b 类 ⑶查对临界值,作出 查对临界值 作出 Ⅰ A 判断. 判断 c d c+d 类 B 合计 a+c b+d a+b+c+d