2.1.2 圆的参数方程
高二数学教案：圆的参数方程学案
高二数学教案：圆的参数方程学案
【摘要】欢迎来高二数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律, 培养学生自主学习习惯和能力。
因此小编在此为您编辑了此文：“高二数学教案：圆的参数方程学案”希望能为您的提供到帮助。
本文题目：高二数学教案：圆的参数方程学案
2.1.2 圆的参数方程
学习目标
1.通过求做匀速圆周运动的质点的参数方程，掌握求一般曲线的参数方程的基本步骤.
2.熟悉圆的参数方程，进一步体会参数的意义。
学习过程
一、学前准备
1.在直角坐标系中圆的标准方程和一般方程是什幺?
二、新课导学。
圆的参数方程2
圆的参数方程2
圆的参数方程2
一、概念
参数方程表示圆的几何特征，是由两个有理函数组成的系统，即：x=rcosθ
y=rsinθ
其中x和y是圆上的任意一点坐标，r是半径，θ（取值范围是0到2π）是极角，可用以定义从x轴正向转动到到该点的角度。
二、特点
1.圆的参数方程在直角坐标系中是一对互相交错的曲线，它由一组相同的点组成，这些点都在同一个圆内且离圆心恒定的距离。
2.圆的参数方程既有定义域的要求，又有值域的要求，定义域一般为0到2π，表示极角从0度（即X轴正向）逆时针增加至360°，值域范围为圆心到椭圆的最长半径之间的距离。
3.圆的参数方程可以用来求解圆上任意一点的坐标，只需知道极角θ即可，如果知道椭圆上的任意一点的坐标，可以很容易的求出极角。
4.圆的参数方程也扩展到椭圆和抛物线等其他几何图形，只要将上面参数的极角范围和曲线的最长半径改变即可。
三、参数方程
x = a cosθ
y = b sinθ
其中x和y是圆上任意一点的坐标，a和b是半径，θ（取值范围是0到2π）是极角。
用标准形式表示圆的参数方程是：
(x–h)2+(y–k)2=r2
其中h和k是圆心的坐标，r是半径。
当然，可以通过将圆心和圆上任意一点的坐标求出半径。
圆的方程参数方程
xyP0P rθx1O(,)P x y 111(,)P x yy圆的参数方程1．圆的参数方程的推导设圆O 的圆心在原点，半径是r ，圆O 与x 轴的正半轴的交点 是0P ，设点在圆O 上从0P 开始按逆时针方向运动到达点P ，0P OP θ∠=，则点P 的位置与旋转角θ有密切的关系：当θ确定时，点P 在圆上的位置也随着确定； 当θ变化时，点P 在圆上的位置也随着变化． 这说明，点P 的坐标随着θ的变化而变化． 设点P 的坐标是(,)x y ，你能否将x 、y 分别 表示成以θ为自变量的函数？ 根据三角函数的定义，c o ss i nx r y r θθ=⎧⎨=⎩， ① 显然，对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点(,)P x y 都在圆O 上。
我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为r 的圆的参数 方程，θ是参数．圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的 参数方程是怎样的？ 圆1O 可以看成由圆O 按向量(,)v a b =平移得到的（如图），由11O P OP = 可以得到圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程是cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）②2．参数方程的概念在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩ ③ 并且对于t 的每一个允许值，方程组③所确定的点(,)M x y 都 在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． 说明：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数， 也可以是没有明显意义的变数．3．参数方程和普通方程的互化相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标 x 、y 关系的方程，叫做曲线的普通方程．将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。
参数方程和普通方程可以互化．如：将圆的参数方程②的参数θ消去，就得到圆的普通方程222()()x a y b r -+-=．（三）例题分析：例1．把下列参数方程化为普通方程：（1）23cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数） （2）222121x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ （t 为参数）解：（1）2cos (1)33sin (2)2x y θθ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，，，由22(1)(2)+得22(2)(3)194x y --+=，这就是所求的普通方程． （2）由原方程组得y t x =，把yt x=代入221x t =+得y xθP221()x y x=+，化简得：2220x y x +-=（0x ≠）， 这就是所求的普通方程．说明：将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围 与x 、y 的取值范围之间的制约关系，保持等价性． 例2．如图，已知点P 是圆2216x y +=上的一个动点，定点A (12,0)，当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？解：设点M (,)x y ，∵圆2216x y +=的参 数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，∴设点P (4cos ,4sin )θθ，由线段中点坐标公式得4cos 1224sin 2x y θθ+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点M 轨迹的参数方程为2cos 62sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆． 【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？ 又解：设(,)M x y ，00(,)P x y ，∵点M 是线段PA 的中点，∴001222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴002122x x y y =-⎧⎨=⎩，∵点00(,)P x y 在圆上，∴220016x y +=，∴22(212)(2)16x y -+=， 即点M 的轨迹方程为22(6)4x y -+=，∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆． 例3．已知实数x 、y满足2220x y x ++-=， （1）求22x y +的最大值；（2）求x y +的最小值．解：原方程配方得：22(1)(4x y ++=，它表示以(-为圆心，2为半径的圆，用参数方程可表示为12cos 2sin x y θθ=-+⎧⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数，02θπ≤<）， （1）22x y+22(12cos )2sin )cos )8θθθθ=-++=-+8sin()86πθ=-+，∴当62ππθ-=，即23πθ=时，22max ()16x y +=． （2）2(sin cos )1)14x y πθθθ+=++=+，∴当342ππθ+=，即54πθ=时，m a x ()21x y +=．说明：本题也可数形结合解．五．小结：1．圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）；2．圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）；3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性．补充：已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数），(,)P x y 是曲线C 上任意一点，yt x=，求t 的取值范围．。
2.1曲线方程的概念和圆的参数方程
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。
但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了!2.1参数方程的概念和圆的参数方程学习目标1．理解曲线参数方程的有关概念． 2．掌握圆的参数方程．3．能够根据圆的参数方程解决最值问题． 知识梳理1．参数方程的概念(1)在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），(*)并且对于t 的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程(*)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．(2)参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．圆的参数方程(1)如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置M 0出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)． 这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．(2)圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的普通方程与参数方程每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。
但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了!例题讲解要点一 参数方程的概念例1 已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2，(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5，4)在该曲线上． (1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．跟踪演练1 设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60 rad/s.试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．要点二 圆的参数方程及其应用例2 已知圆的直径AB 上有两点C 、D ，且|AB |＝10，|AC |＝|BD |＝4，P 为圆上一点，求|PC |＋|PD |的最大值．跟踪演练2 已知实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2＝9，求x 2＋y 2的最大值和最小值．要点三 参数方程的实际应用每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。
2.1.2.圆的参数方程 课件(人教A选修4-4)
θ
消去 θ，
得 x2＋(y＋1)2＝1. ∴圆 C 的圆心为(0，－1)，半径为 1. |0－1＋a| ∴圆心到直线的距离 d＝ ≤1. 2 解得 1－ 2≤a≤1＋ 2.
返回
法二：将圆 C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a＝0， π 即 a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－ 2sin(θ＋ )． 4 π ∵－1≤sin(θ＋ )≤1，∴1－ 2≤a≤1＋ 2. 4
[解]
根据圆的特点，结合参数方程概念求解．
如图所示，
设圆心为 O′，连 O′M，∵O′为圆心， ∴∠MO′x＝2φ.
x＝r＋rcos ∴ y＝rsin 2φ.
2φ，
返回
(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件， 否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成
x＝r＋rcos y＝rsin φ.
这就是所求的轨迹方程． 1 它是以(1,0)为圆心，以 为半径的圆. 2
返回
[例2]
若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值． (x－1)2＋(y＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的
[思路点拨]
参数方程将求2x＋y的最值转化为求三角函数最值问题． [解] 令 x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ，则有
返回
点击下图进入
返回
x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2， 故 2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝2 5sin(θ＋φ)． ∴－2 5≤2x＋y≤2 5. 即 2x＋y 的最大值为 2 5，最小值为－2 5.
返回
圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆 上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角
初中数学圆的方程知识点
初中数学圆的方程知识点
1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的'标准方程是(xa)^2+(yb)^2=r^2。
特殊地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。
2、圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^24F)/4.故有：
(1)、当D^2+E^24F0时，方程表示以(D/2,E/2)为圆心，以(√D^2+E^24F)/2为半径的圆;
(2)、当D^2+E^24F=0时，方程表示一个点(D/2，E/2);
(3)、当D^2+E^24F0时，方程不表示任何图形。
3、圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数) 圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB 为直径的圆的方程为 (xa1)(xa2)+(yb1)(yb2)=0
圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆x^2+y^2=r^2上一点M(a0，b0)的切线方程为a0*x+b0*y=r^2
在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0*x+b0*y=r^2 圆的方程学问在学校数学逇学习中涉及到的并不是许多，同学们把握基础就好。
第1页。
第2章2.1~2.2 直线与圆的参数方程
§2 直线和圆锥曲线的参数方程2.1 直线的参数方程 2.2 圆的参数方程1.直线的参数方程(1)经过点P (x 0，y 0)、倾斜角是α的直线的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)① 其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是从点P 到M 的位移，可以用有向线段PM→的数量来表示. (2)经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ(λ为参数，λ≠－1). 其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是动点M 分有向线段QP →的数量比QM MP .当λ＞0时，M 为内分点；当λ＜0且λ≠－1时，M 为外分点； 当λ＝0时，点M 与Q 重合. 2.圆的参数方程(1)圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(α为参数).参数α的几何意义是OP 与x 轴正方向的夹角.(2)去掉圆与x 轴负半轴交点，圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r 1＋k 2，y ＝2kr 1＋k 2(k 为参数)参数k 的几何意义是直线AP 的斜率.【思维导图】【知能要点】 1.直线的参数方程. 2.直线的参数方程的应用. 3.圆的参数方程及应用.题型一 直线的参数方程直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α (α为参数)中，α，x 0，y 0都是常数，对于同一直线，选取的参数不同，会得到不同的参数方程.对于直线普通方程y ＝2x ＋1，如果令x ＝t ，可得到参数方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝2t ＋1 (t 为参数)；如果令x ＝t2，可得到参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t ＋1(t 为参数).这样的参数方程中的t 不具有一定的几何意义，但是在实际应用中有时能够简化某些运算.例如，动点M 做匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9和12，点M 从A 点(1，1)开始运动，求点M 的轨迹的参数方程.点M 的轨迹的参数方程可以直接写为⎩⎨⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t (t 为参数).【例1】 设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，点P 在直线上，且与点M 0(－4，0)的距离为2，若该直线的参数方程改写成⎩⎨⎧x ＝－4＋t ，y ＝t (t 为参数)，则在这个方程中点P 对应的t 值为________. 解析 由|PM 0|＝2知t ＝±2，代入第一个参数方程，得点P 的坐标分别为(－3，1)或(－5，－1)，再把点P 的坐标代入第二个参数方程可得t ＝1或t ＝－1. 答案 ±1【反思感悟】 直线参数方程的标准形式中的参数具有相应的几何意义，本题正是使用了其几何意义，简化了运算，这也正是直线参数方程标准式的优越性所在.1.已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1，1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5，4)和点N (－2，6)的距离.解 由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为34，设直线的倾斜角为α，则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45.又点P (1，1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t(t 为参数). 因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上. 由1＋45t ＝5，得t ＝5，即点P 到点M 的距离为5.因为点N 不在直线l 上，故根据两点之间的距离公式，可得|PN |＝（1＋2）2＋（1－6）2＝34.【例2】 已知直线l 经过点P (1，1)，倾斜角α＝π6， (1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积.解(1)直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t(t 是参数).(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 1，1＋12t 1，B ⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 2，1＋12t 2.以直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4， 整理得到t 2＋(3＋1)t －2＝0.①因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2. 所以|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.【反思感悟】 本题P 到A 、B 两点的距离就是参数方程中t 的两个值，可以充分利用参数的几何意义.2.已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数).(1)分别求t ＝0，2，－2时对应的点M (x ，y )； (2)求直线l 的倾斜角；(3)求直线l 上的点M (－33，0)对应的参数t ，并说明t 的几何意义.解(1)由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数)知当t ＝0，2，－2时，分别对应直线l 上的点(－3，2)，(0，3)，(－23，1).(2)法一 化直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数)为普通方程为y －2＝33(x ＋3)，其中k ＝tan α＝33，0≤α<π. ∴直线l 的倾斜角α＝π6.法二由于直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)，这是过点M 0(－3，2)，且倾斜角α＝π6的直线，故π6为所求. (3)由上述可知直线l 的单位方向向量 e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6，sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. ∵M 0(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12＝－4e ， ∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4， 且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方).题型二 直线参数方程的应用利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，特别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意义更为方便.【例3】 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫102，0作倾斜角为α的直线与曲线x 2＋12y 2＝1交于点M ，N ，求|PM |·|PN |的最小值及相应的α的值. 解设直线为⎩⎨⎧x ＝102＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入曲线并整理得(1＋11sin 2α)t 2＋(10cos α)t ＋32＝0. 则|PM |·|PN |＝|t 1t 2|＝321＋11sin 2 α.所以当sin 2 α＝1时，即α＝π2，|PM |·|PN |的最小值为18，此时α＝π2.【反思感悟】 利用直线的参数方程中参数的几何意义，将最值问题转化为三角函数的值域，利用三角函数的有界性解决.3.已知曲线的参数方程⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，求曲线上一点P 到直线⎩⎨⎧x ＝2－3t ，y ＝2＋2t(t 为参数)的最短距离. 解 P (3cos θ，2sin θ)直线：2x ＋3y －10＝0 d ＝|6cos θ＋6sin θ－10|13＝|62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－10|1362sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－10∈[－62－10，62－10]∴|62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－10|13∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－6213，10＋6213 ∴d min ＝10－6213.【例4】 如图所示，过不在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任一点P 作两条直线l 1，l 2分别交椭圆于A ，B 和C ，D 四点，若l 1，l 2的倾斜角为α，β且满足α＋β＝π.求证：A ，B ，C ，D 四点共圆. 证明 设P (x 0，y 0)，直线l 1：⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α (t 为参数)，直线l 2：⎩⎨⎧x ＝x 0＋p cos β，y ＝y 0＋p sin β (p 为参数)，分别代入椭圆方程得(b 2cos 2 α＋a 2sin 2 α)t 2＋2(b 2x 0cos α＋a 2y 0sin α)t ＋b 2x 20＋a 2y 20－a 2b 2＝0； (b 2cos 2 β＋a 2sin 2 β)p 2＋2(b 2x 0cos β＋a 2y 0sin β)p ＋b 2x 20＋a 2y 20－a 2b 2＝0.∵α＋β＝π，∴cos 2 α＝cos 2 β，sin 2 α＝sin 2 β，∴t 1t 2＝p 1p 2，即|P A |·|PB |＝|PC |·|PD |.由平面几何知识知，A ，B ，C ，D 四点共圆. 【反思感悟】 本题利用平面几何知识，要证四点A ，B ，C ，D 共圆，只需证|P A |·|PB |＝|PC |·|PD |，又转化为距离问题，利用参数的几何意义计算即可.4.直线l 通过P 0(－4，0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A ，B 两点. (1)求弦长|AB |；(2)过P 0作圆的切线，求切线长； (3)求|P 0A |和|P 0B |的长； (4)求交点A ，B 的坐标.解 ∵直线l 通过P 0(－4，0)，倾斜角α＝π6， 所以可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2，代入圆方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 2＝7，整理得t 2－43t ＋9＝0.(1)设A ，B 对应的参数分别为t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9， ∴|AB |＝|t 2－t 1|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2 3. (2)设过P 0的切线为P 0T ，切点为T ， 则|P 0T |2＝|P 0A |·|P 0B |＝|t 1t 2|＝9， ∴切线长|P 0T |＝3.(3)解方程t 2－43t ＋9＝0，得t 1＝33，t 2＝3， ∴|P 0A |＝33，|P 0B |＝ 3.(4)将t 1＝33，t 2＝3代入直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2，得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，332，B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32. 题型三 圆的参数方程及其应用如果取半径绕原点O 逆时针旋转的转过的角度θ为参数，圆x 2＋y 2＝r 2对应的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ.同理，圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2对应的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数).圆的参数方程对于需要将圆上点的两个坐标分别表示，代入计算的问题比较方便. 【例5】 圆的直径AB 上有两点C 、D ，且|AB |＝10，|AC |＝|BD |＝4，P 为圆上一点，求|PC |＋|PD |的最大值.分析 本题应考虑数形结合的方法，因此需要先建立平面直角坐标系.将P 点坐标用圆的参数方程的形式表示出来，θ为参数，那么|PC |＋|PD |就可以用只含有θ的式子来表示，再利用三角函数等相关知识计算出最大值.解 以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中点为原点建立平面直角坐标系.因为|AB |＝10，所以圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数).因为|AC |＝|BD |＝4，所以C ，D 两点的坐标为C (－1，0)，D (1，0).因为点P 在圆上，所以可设点P 的坐标为(5cos θ，5sin θ). 所以|PC |＋|PD |＝（5cos θ＋1）2＋（5sin θ）2 ＋（5cos θ－1）2＋（5sin θ）2 ＝26＋10cos θ＋26－10cos θ ＝（26＋10cos θ＋26－10cos θ）2 ＝52＋2262－100cos 2 θ.当cos θ＝0时，(|PC |＋|PD |)max ＝52＋52＝226. ∴|PC |＋|PD |的最大值为226.【反思感悟】 解题时将所求式子和图形联系起来，利用圆的参数方程表示P 点坐标，结合三角函数的值域进行计算.5.已知实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2＝9，求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 由已知，可把点(x ，y )视为圆(x －1)2＋(y －1)2＝9上的点，设⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数).则x 2＋y 2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2 ＝11＋6(sin θ＋cos θ)＝11＋62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，∴11－62≤x 2＋y 2≤11＋6 2. ∴x 2＋y 2的最大值为11＋62， 最小值为11－6 2.1.求直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－5＋3t (t 为参数)和直线l 2：x －y －23＝0的交点P 的坐标，及点P 与Q (1，－5)的距离.解 将⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－5＋3t 代入x －y －23＝0，得t ＝23，∴P (1＋23，1)，而Q (1，－5)， 得|PQ |＝（23）2＋62＝4 3.2.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.解 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.3.已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝m ＋2t (t 为参数).当m 为何值时，直线l 被椭圆截得的弦长为6？解 椭圆方程为y 24＋x 2＝1，化直线参数方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝m ＋2t 为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝55t ′，y ＝m ＋255t ′ (t ′为参数). 代入椭圆方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋255t ′2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫55t ′2＝4 ⇔8t ′2＋45mt ′＋5m 2－20＝0.当Δ＝80m 2－160m 2＋640＝640－80m 2>0， 即－22<m <22， 方程有两不等实根t ′1、t ′2，则弦长为|t ′1－t ′2|＝（t ′1＋t ′2）2－4t ′1t ′2＝640－80m 28，依题意知640－80m 28＝6，解得m ＝±455.[P 30思考交流]1.经过两点Q (1，1)，P (4，3)的直线的参数方程.如果应用共线向量的充要条件来求，方程及参数的含义分别是什么？答 在直线PQ 上任取一点M (x ，y )，PM→＝(x －1，y －1)，QM →＝(x －4，y －3)，∵P 、Q 、M 三点共线，∴PM→∥QM →，∴PM →＝tQM →，⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t （x －4），y －1＝t （y －3），化简为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－4t 1－t，y ＝1－3t 1－t，此即为过P 、Q 两点的直线的参数方程.参数t 的含义是有向线段PM→、QM →的比值.2.比较直线的参数方程与普通方程体会各自的优势.答 直线的普通方程直观地反映了变量x、y 之间的关系，方程是唯一的. 直线的参数方程中反映了变量x 、y 分别随参数的变化而变化的规律.方程是不唯一的，随参数的选取而有所不同.[P 33思考交流]给定参数方程⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α其中a 、b 是常数. 讨论下列问题：(1)如果r 是常数，α是参数，那么参数方程表示的曲线是什么？(2)如果α是常数，r 是参数，那么参数方程表示的曲线是什么？答 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝r cos α，y －b ＝r sin α=====消掉参数α>(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 其中r 为常数，表示以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝r cos α，y －b ＝r sin α=====消掉参数t >x －a y －b ＝tan α.整理得x －tan α·y ＋b ·tan α－a ＝0，其中a 、b 、tan α为常数.方程为过点(a ，b )，斜率为1tan α的直线.【规律方法总结】1.利用直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(α为参数)中参数的几何意义，在解决直线与曲线交点问题时，可以方便地求出相应的距离.2.直线的参数方程有不同的形式，可以允许参数t 没有明显的几何意义，在直线与圆锥曲线的问题中，利用参数方程有时可以简化计算.一、选择题1.若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t(t 为参数)，则直线的斜率为( ) A.23 B.－23C.32D.－32 解析 k ＝y －2x －1＝－3t 2t ＝－32. 答案 D2.曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( ) A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上解析 消去参数θ，将参数方程化为普通方程.曲线可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其对称中心为圆心(－1，2)，该点在直线y ＝－2x 上，故选B.答案 B3.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A.(3，－3)B.(－3，3)C.(3，－3)D.(3，－3)解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16， 得t 2－8t ＋12＝0，t 1＋t 2＝8，t 1＋t 22＝4， 中点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32×4，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－ 3. 答案 D4.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( ) A.14B.214C. 2D.2 2解析 直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －4，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0.圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －4＝0的距离为d ＝22＝ 2.又圆C 的半径r ＝2，因此直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝2 2. 故选D.答案 D5.直线⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α (t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)相切，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6B.π4或5π6C.π3或2π3D.－π6或－5π6 解析 直线方程为y ＝tan α·x ，圆为：(x －4)2＋y 2＝4，利用图形可知直线的倾斜角为π6或56π.答案 A二、填空题6.在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)的普通方程为________. 解析 ∵x ＝2＋22t ，∴22t ＝x －2，代入y ＝1＋22t ，得y ＝x －1，即x －y －1＝0.答案 x －y －1＝07.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________. 解析 直线为x ＋y －1＝0，圆心到直线的距离d ＝12＝22，弦长d ＝2 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝14. 答案 148.经过点P (1，0)，斜率为34的直线和抛物线y 2＝x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点为M ，则M 的坐标为________.解析直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝35t (t 是参数)，代入抛物线方程得9t 2－20t －25＝0.∴中点M 的相应参数为t ＝12×209＝109.∴点M 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫179，23. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫179，23 9.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t (t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析 化极坐标方程为直角坐标方程，化参数方程为普通方程，联立直线l 和曲线C 的方程，求出交点A ，B 的坐标，利用两点间的距离公式求解.由ρ(sin θ－3cos θ)＝0，得ρsin θ＝3ρcos θ，则y ＝3x .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t ，得y 2－x 2＝4. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y 2－x 2＝4，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝322或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－322，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－322， 故|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－3222＝2 5. 答案 2 5三、解答题10.直线过点A (1，3)，且与向量(2，－4)共线.(1)写出该直线的参数方程；(2)求点P (－2，－1)到此直线的距离.解 (1)设直线上任意一点坐标为(x ，y )，则(x ，y )＝(1，3)＋t (2，－4). ∴直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝3－4t . (2)将参数方程化为普通方程为2x ＋y －5＝0，则|－4－1－5|5＝25， ∴点P (－2，－1)到此直线的距离是2 5.11.经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32，倾斜角为α的直线l 与圆x 2＋y 2＝25相交于B ，C 两点. (1)求弦BC 的长；(2)当A 恰为BC 的中点时，求直线BC 的方程；(3)当|BC |＝8时，求直线BC 的方程；(4)当α变化时，求动弦BC 的中点M 的轨迹方程.解 取AP ＝t 为参数(P 为l 上的动点)，则l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos α，y ＝－32＋t sin α，代入x 2＋y 2＝25，整理，得t 2－3(2cos α＋sin α)t －554＝0.∵Δ＝9(2cos α＋sin α)2＋55>0恒成立.∴方程必有相异两实根t 1，t 2，且t 1＋t 2＝3(2cos α＋sin α)，t 1·t 2＝－554.(1)|BC |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝9（2cos α＋sin α）2＋55.(2)∵A 为BC 中点，∴t 1＋t 2＝0，即2cos α＋sin α＝0，∴tan α＝－2.故直线BC 的方程为y ＋32＝－2(x ＋3)，即4x ＋2y ＋15＝0.(3)∵|BC |＝9（2cos α＋sin α）2＋55＝8， ∴(2cos α＋sin α)2＝1，∴cos α＝0或tan α＝－34.∴直线BC 的方程是x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0.(4)∵BC 的中点M 对应的参数是t ＝t 1＋t 22＝32(2cos α＋sin α)，∴点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32cos α（2cos α＋sin α），y ＝－32＋32sin α（2cos α＋sin α）(0≤α<π)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α＋12sin 2α，y ＋34＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α－12cos 2α.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋342＝4516.即点M 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－34为圆心，以354为半径的圆.。
高中数学选修4-4：圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化
2．1.2 圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化 ►知识梳理1.圆的参数方程．点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos t ，y ＝r sin t (t 为参数)．我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程． 圆的圆心为O 1(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos t ，y ＝b ＋r sin t (t 为参数)． ►预习思考1．圆x 2＋y 2＝16的参数方程为：____________． 2．圆(x －6)2＋y 2＝4的参数方程为：______________．, 一层练习1．圆(x －1)2＋y 2＝4上的点可以表示为( )A ．(－1＋cos θ，sin θ)B ．(1＋sin θ，cos θ)C ．(－1＋2cos θ，2sin θ)D ．(1＋2cos θ，2sin θ)2．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π，θ是参数)上的动点，则yx的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－333．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)的普通方程为________．如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，那么a 的取值范围是________．4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数，0＜θ＜π)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)相切，则θ＝________． 5．指出下列参数方程表示什么曲线：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数，π≤t ≤2π)； (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋15cos θ，y ＝2＋15sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)．二层练习6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则（x －5）2＋（y ＋42）的最大值为______7．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为：C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2，C 2：⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t为参数)，它们的交点坐标为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为：C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ()t 为参数和C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，它们的交点坐标为________．9．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为_________________10．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为____________．三层练习11．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝5＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最大值为________．12.(2015·广州一模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋sin θ，y ＝cos θ－sin θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝t (t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C 1与C 2的交点的极坐标为________．13．如下图所示，已知定点A (2，0)，点Q 是圆C ：x 2＋y 2＝1上的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于点M ，当Q 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程．14．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos ty ＝－2＋3sin t (t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin(θ－π4)＝m ，(m ∈R)．(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．1．利用参数求曲线的轨迹方程．(1)利用参数求曲线的轨迹方程的基本步骤是：①确定参数；②求出参数方程；③消参；④得到轨迹的普通方程(注意轨迹范围)．(2)参数的选取应根据具体条件来考虑，例如可以是时间，旋转角，动直线的斜率、截距、动点的坐标等．2．参数方程与普通方程的等价性．把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使两种方程表示的曲线不一致 ，因此，在相互转化中，要注意两种方程的等价性．例如，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ消去参数θ后的x ＋y ＝1，它表示一条直线对吗？这是不对的．因为在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ中，x ，y 的取值范围是[0，1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ表示的是一条线段x ＋y ＝1(0≤x ≤1)，而不是直线x ＋y ＝1.3．关于求x 、y 的代数式的取值范围问题，常把普通方程化为参数方程，利用三角函数的值域求解．【习题2.1】1．解析：取投放点为原点，飞机飞行航线所在的直线为x 轴，过原点和地心的直线为y 轴建立平面直角坐标系，得到被投放的物资的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝100t ，y ＝－12gt2(t是参数，表示时间)，令x ＝1000，解得t ＝10.当t ＝10时，由方程得到y ＝－12×g ×102≈－12×9.8×102＝－490，即飞机投放救灾物资时的飞行高度约为490 m.2．解析：解法一 设经过时间t ，动点的位置是M (x ，y )，那么有x－2＝3t ，y －1＝4t ，于是点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝1＋4t(以时间t为参数)．解法二 设M (x ，y )是直线上任意一点，它与M 0(2，1)的有向距离为t ，根据已知条件，由速度合成的知识可知x －2＝35t ，y －1＝45t ，于是点M的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝1＋45t (以位移t 为参数)．3．证明：不妨设△ABC 的外接圆的半径为1，建立如下图所示的平面平面直角坐标系，使点B ，C 关于x 轴对称，那么外接圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)，A ，B ，C 的坐标分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.设点M (cos θ，sin θ)，则|MA |2＋|MB |2＋|MC |2＝[(cos θ－1)2＋sin θ]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫cos θ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－322＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋322＝6.4．解析：(1)消去t 得y ＝2x －7，即普通方程为y ＝2x －7，表示直线． (2)y ＝cos 2θ＋1＝2cos 2θ－1＋1＝2x 2，∵x ＝cos θ，∴－1≤x ≤1.∴普通方程为y ＝2x 2(－1≤x ≤1)，表示以(－1，2)，(1，2)为端点的一段抛物线弧．(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t (t 为参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝t 2＋1t 2＋2，y 2＝t 2＋1t 2－2，两式相减得x 2－y 2＝4，即普通方程为x 2－y 2－4＝0，表示双曲线．(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，∴cos φ＝x 5，sin φ＝y 3，cos 2φ＋sin 2φ＝1，∴普通方程为x 225＋y 29＝1，表示椭圆．2．1.2 圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化 ►预习梳理1.圆的参数方程．点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos t ，y ＝r sin t(t 为参数)． 我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程． 圆的圆心为O 1(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos t ，y ＝b ＋r sin t (t 为参数)． ►预习思考1．圆x 2＋y 2＝16的参数方程为：____________． 2．圆(x －6)2＋y 2＝4的参数方程为：______________．,预习思考1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos t ，y ＝4sin t(t 为参数) 2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数) 圆的参数方程与普通方程互化一层练习1．圆(x －1)2＋y 2＝4上的点可以表示为( ) A ．(－1＋cos θ，sin θ) B ．(1＋sin θ，cos θ) C ．(－1＋2cos θ，2sin θ) D ．(1＋2cos θ，2sin θ) 1．D2．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π，θ是参数)上的动点，则yx的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－332.A3．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)的普通方程为________．如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，那么a 的取值范围是________．3．x 2＋(y ＋1)2＝1 [1－2，1＋2]4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数，0＜θ＜π)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)相切，则θ＝________．4.π6或5π65．指出下列参数方程表示什么曲线：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数，π≤t ≤2π)； (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋15cos θ，y ＝2＋15sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)． 5．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)得x 2＋y 2＝9.又由0＜θ＜π2，得0＜x ＜3，0＜y ＜3，所以所求方程为x 2＋y 2＝9(0＜x ＜3且0＜y ＜3)． 这是一段圆弧(圆x 2＋y 2＝9位于第一象限的部分)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)得x 2＋y 2＝4. 由π≤t ≤2π，得－2≤x ≤2，－2≤y ≤0.所求圆方程为x 2＋y 2＝4(－2≤x ≤2，－2≤y ≤0)．这是一段半圆弧(圆x 2＋y 2＝4位于y 轴下方的部分，包括端点)．(3)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋15cos θ，y ＝2＋15sin θ(θ为参数)得(x －3)2＋(y －2)2＝152，由0≤θ＜2π知这是一个整圆弧． 二层练习6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则（x －5）2＋（y ＋42）的最大值为________．6．67．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为：C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2， C 2：⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)， 它们的交点坐标为________．7．(2，1)8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为：C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ()t 为参数和C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，它们的交点坐标为________．8．(1，1)9．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为____________________________________．9.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数) 10．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为____________．10．ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2 三层练习11．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝5＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最大值为________．11．512.(2015·广州一模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋sin θ，y ＝cos θ－sin θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝t (t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C 1与C 2的交点的极坐标为________．12.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 13．如下图所示，已知定点A (2，0)，点Q 是圆C ：x 2＋y 2＝1上的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于点M ，当Q 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程．13．解析：设点O 到AQ 的距离为d ，则12|AM |·d ＝12|OA |·|OM |·sin ∠AOM ， 12|QM |·d ＝12|OQ |·|OM |·sin ∠QOM . 又∠AOM ＝∠QOM ， 所以|AM ||QM |＝|OA ||OQ |＝21.所以AM →＝23AQ →. 因为点Q 是圆x 2＋y 2＝1上的点，所以设点Q 坐标为(cos θ，sin θ)，M (x ，y )，得(x －2，y －0)＝23(cos θ－2，sin θ－0)， 即x －23＝23cos θ，y ＝23sin θ， 两式平方相加，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝49， 故点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝49.14．(2015·福建卷，数学理)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t y ＝－2＋3sin t (t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin(θ－π4)＝m ，(m ∈R)． (1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；(2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．14．分析：(1)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，利用x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)利用点到直线距离公式求解．解析：(1)消去参数t，得到圆的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，由2ρsin(θ－π4)＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0，所以直线l的直角坐标方程为x－y－m＝0.(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即|1－（－2）＋m|2＝2，解得m＝－3±2 2.1．利用参数求曲线的轨迹方程．(1)利用参数求曲线的轨迹方程的基本步骤是：①确定参数；②求出参数方程；③消参；④得到轨迹的普通方程(注意轨迹范围)．(2)参数的选取应根据具体条件来考虑，例如可以是时间，旋转角，动直线的斜率、截距、动点的坐标等．2．参数方程与普通方程的等价性．把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使两种方程表示的曲线不一致 ，因此，在相互转化中，要注意两种方程的等价性．例如，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ消去参数θ后的x ＋y ＝1，它表示一条直线对吗？这是不对的．因为在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ中，x ，y 的取值范围是[0，1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ表示的是一条线段x ＋y ＝1(0≤x ≤1)，而不是直线x ＋y ＝1.3．关于求x 、y 的代数式的取值范围问题，常把普通方程化为参数方程，利用三角函数的值域求解．【习题2.1】1．解析：取投放点为原点，飞机飞行航线所在的直线为x 轴，过原点和地心的直线为y 轴建立平面直角坐标系，得到被投放的物资的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝100t ，y ＝－12gt2(t 是参数，表示时间)，令x ＝1000，解得t ＝10.当t ＝10时，由方程得到y ＝－12×g ×102≈－12×9.8×102＝－490，即飞机投放救灾物资时的飞行高度约为490 m.2．解析：解法一 设经过时间t ，动点的位置是M (x ，y )，那么有x－2＝3t ，y －1＝4t ，于是点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝1＋4t (以时间t 为参数)．解法二 设M (x ，y )是直线上任意一点，它与M 0(2，1)的有向距离为t ，根据已知条件，由速度合成的知识可知x －2＝35t ，y －1＝45t ，于是点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝1＋45t(以位移t 为参数)． 3．证明：不妨设△ABC 的外接圆的半径为1，建立如下图所示的平面平面直角坐标系，使点B ，C 关于x 轴对称，那么外接圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)，A ，B ，C 的坐标分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.设点M (cos θ，sin θ)，则|MA |2＋|MB |2＋|MC |2＝[(cos θ－1)2＋sin θ]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫cos θ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－322＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋322＝6. 4．解析：(1)消去t 得y ＝2x －7，即普通方程为y ＝2x －7，表示直线．(2)y ＝cos 2θ＋1＝2cos 2θ－1＋1＝2x 2，∵x ＝cos θ，∴－1≤x ≤1.∴普通方程为y ＝2x 2(－1≤x ≤1)，表示以(－1，2)，(1，2)为端点的一段抛物线弧．(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝t 2＋1t 2＋2，y 2＝t 2＋1t 2－2，两式相减得x 2－y 2＝4，即普通方程为x 2－y 2－4＝0，表示双曲线．(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，∴cos φ＝x 5，sin φ＝y 3，cos 2φ＋sin 2φ＝1，∴普通方程为x 225＋y 29＝1，表示椭圆．。
圆参数方程
圆参数方程1 圆参数方程圆参数方程是描述圆的数学方程，它与直角坐标系统的坐标位置有关。
圆的参数方程的形式为：$x = r\cos \theta$,️$y = r\sin\theta$ 它可以用来描述任意圆，r表示圆的半径，而θ是阶次参数，定义它指向原点（O）和点（x，y）之间的夹角，当θ=0 时，点（x，y）即位于x正轴上，θ + 2π时，会回到原点。
2 三种方程形式圆的参数方程有三种不同的表示形式，分别是间接参数形式、角参数形式和极参数形式。
（1）间接参数形式圆的间接参数形式是圆的参数表示形式中最常用的形式，它的形式如下：$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$，其中，$(x_0,y_0)$是圆心的坐标，$r^2$是给定的圆半径的平方。
（2）角参数形式圆的角参数形式是以圆心为原点，以圆周上一点和圆心夹角θ来表示圆的参数形式，它的形式如下：$x = r\cos \theta$,️$y = r\sin \theta$（3）极参数形式圆的极参数形式是把圆心的坐标$(x_0,y_0)$,圆半径$r$分别代入圆的方程 $ (x-x _0)^2+(y-y _0)^2=r^2，用三角函数式变换，极参数形式为：$x=r_0 \cos \theta$,$y=r_0 \sin \theta+r_0$3 实际应用圆参数方程拥有广泛的应用。
由于它具有旋转对称性，可以用来描述基本的图形，例如椭圆形、圆形等。
借助圆参数方程，可以很容易地在屏幕上绘制各种图形。
此外，它还可用于分析复杂的函数关系，进一步深入探索数学中的有趣知识。
因此，圆参数方程的广泛应用受到科学家和数学家的欢迎与推崇，它将持续成为数学学习中不可或缺的部分，为我们带来更多令人惊叹的数学发现与奇妙探险。
圆的参数方程表达式
圆的参数方程表达式
圆的参数方程表达式是描述圆的轨迹的数学公式。
一个圆可以由以下参数方程表示：
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
其中，r是圆的半径，θ是圆上任一点相对于圆心的极角。
这种参数方程的优点是可以简洁地描述圆的性质。
通过改变θ的取值范围，可以轻松地绘制出完整的圆形。
除了上述常见的参数方程，还可以使用其他参数方程来表示圆。
例如，使用极坐标系的参数方程：
r = a + b * cos(θ)
其中，a是圆心到圆的极径的距离，b是圆的半径。
圆的参数方程也可以用于描述圆的运动轨迹。
如果圆的半径r或极角θ随时间变化，可以将其作为参数方程的一部分。
这样，在不同的时间点上，圆的位置和形状会有所变化。
参数方程在数学和物理领域有广泛的应用。
它们可以用于描述复杂曲线的轨迹，计算曲线的长度、曲率和其他几何性质。
此外，参数方程也可以用于解决动力学问题，例如描述物体在空间中的运动轨迹。
总之，圆的参数方程是一种简洁且灵活的数学表示方法，可用于描述圆形的性质和运动轨迹。
通过改变参数的取值范围，可以绘制出各种不同大小和位置的圆形。
参数方程参数方程的概念与圆的参数方程
参数方程参数方程的概念与圆的参数方程参数方程概念：圆的参数方程：圆是一个平面上距离中心点相等的一组点的集合，通常用半径来定义。
圆的参数方程是一种描述圆上各点位置的方程。
通常，圆的参数方程是根据圆心的坐标和半径的大小来确定的。
以坐标系的原点为圆心，半径为r的圆的参数方程可表示为：x = r * cosθy = r * sinθ其中，θ是参数，表示从x轴正半轴逆时针旋转的角度。
圆的参数方程的主要优点是，以参数形式给出圆上各点的坐标，可以方便地对圆进行求导和积分操作，从而进行更复杂的几何分析。
圆的参数方程可用于描述其他几何图形，如椭圆、双曲线等，通过调整参数可以得到不同形状的图形。
例如，调整θ的取值范围可以得到一个圆弧，调整半径r的大小可以得到不同大小的圆。
参数方程的应用：参数方程广泛应用于物理学、计算机图形学、计算机辅助设计等领域。
在物理学中，参数方程经常用于描述物体的运动轨迹，如自由落体、圆周运动等。
在计算机图形学中，参数方程可以用于绘制各种曲线、曲面和图形，如贝塞尔曲线、球面、立方体等。
在计算机辅助设计中，参数方程可以用于描述复杂曲线或曲面的形状，方便进行设计和分析。
总结：参数方程是描述一个曲线、曲面或空间中其中一点在不同参数取值下的坐标的方程。
圆的参数方程是根据圆心的坐标和半径的大小来确定的。
参数方程的优点是可以方便地进行几何分析和操作。
参数方程在物理学、计算机图形学、计算机辅助设计等领域有广泛的应用。
参数方程是一种重要的数学工具，对于深入理解和研究曲线、曲面等几何对象非常有帮助。
圆的参数方程及其应用
圆的参数方程及其应用
一、圆的参数方程
(x-a)²+(y-b)²=r²
其中(a，b)为圆心坐标，r为圆的半径。
二、圆的参数方程的应用
1、圆的位置参数确定
2、求解圆的两点距离
通过圆的参数方程可以用来求解圆上两点之间的距离。
以圆心为（a,b），半径为r的圆为例，圆上任意两点（x1，y1）、（x2，y2），他们之间的距离为d，由于圆上的点都满足参数方程，因此他们之间的距离就可以由下面的方程求解：
d=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]
3、求解圆上任一点的坐标
通过圆的参数方程可以求解圆上任一点的坐标，具体的做法是，首先假设圆上任一点的极坐标为（r，θ），然后由以下参数方程求解对应的笛卡尔坐标：
x=a+rcosθ
y=b+rsinθ
4、画出圆
5、求解圆交线。
2.1.2 圆的参数方程 导学案
学习目标:1、理解圆的参数方程，熟练求出圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程；2、理解θ的意义；3、理解圆心不在原点的圆的参数方程，能据圆心坐标和半径熟练求出圆的参数方 程，并能把它化成普通方程。
学习重点：圆的参数方程与普通方程的互化学习难点：圆的参数方程的灵活应用一、课前自主预习1、圆的标准方程：2、圆的一般方程：3、如图所示：由三角函数定义，可得二、合作探究：1、★怎样刻画匀速圆周运动中点的位置？2、★圆的参数方程：3、圆心在（a ，b ），半径为r 呢？4、圆的参数方程与普通方程的互化？三、圆的参数方程的应用例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它化为参数方程。
变式练习1、填空：已知圆O 的参数方程是 ⑴如果圆上点P 所对应的参数 ，则点P 的坐标是变式练习o y r θx P(x,y) ==θθcos sin =y =x ⎩⎨⎧==θθsin 5cos 5y x (0≤ ＜2 ) θ35πθ=()5532,,22Q Q θ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭如果圆上点所对应的坐标是则点对应的参数等于()2co s 2.()2sin .,2.,2..x y A B C D θθθ=-⎧⎨=⎩选择题：参数方程为参数表示的曲线是圆心在原点半径为的圆圆心不在原点但半径为的圆不是圆以上都有可能变式练习（2）把圆方程x 2+y 2+2x - 4y+1=0化为参数方程为四、求轨迹方程问题例2.、如图,已知点P 是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A 是x 轴上的定点,坐标为(12,0).当 点P 在圆上运动时,线段PA 中点M 的轨迹是什么?五、普通方程与参数方程互化五、小结：1、圆的参数方程2、参数方程与普通方程的概念3、圆的参数方程与普通方程的互化4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点点问题（代入法）； ⑵参数法；⑶定义法5、求最值六、作业：成才之路：P32 12、14半径为表示圆心为参数方程、填空题,sin 2cos 2)1(:3⎩⎨⎧+-=+=θθy x ⎩⎨⎧=+=θθsin 3cos 32y x (1) ⎩⎨⎧==θθ2cos sin y x (2) x=t+1/t y=t 2+1/t 2。
数学公式知识：圆的参数方程及其性质
数学公式知识：圆的参数方程及其性质圆是数学中重要的几何图形之一，圆的参数方程及其性质是圆的基本知识点之一，对于学习圆的相关知识具有重要的意义。
本文将对圆的参数方程及其性质进行详细的讲解。
一、圆的参数方程圆的参数方程可以用参数方程表示，参数方程是由一些变量表示的函数方程。
对于圆而言，其参数方程一般表示为：x=r*cos(t) y=r*sin(t)其中，x和y分别表示圆上一点的坐标，r表示圆的半径，t为参数，可以取遍(0,2π)的任意值。
利用这个参数方程我们可以方便地计算圆上任意一点的坐标。
由于t可以取遍(0,2π)的任意值，所以我们可以通过调节参数t的取值，来得出圆上不同位置的点的坐标。
同时，圆的参数方程还可以表示为：x=a+r*cos(t)y=b+r*sin(t)其中，a和b分别是圆心的坐标。
二、圆的参数方程的性质1.圆的对称性对于任意一个圆，其参数方程的基本形式是x = rcos(t)，y = rsin(t)，这个参数方程描述了圆上所有的点，通过任意传统的平移和几何反演操作都能够得到。
因此，我们可以发现，圆的参数方程具有对称性。
2.圆的直径和半径的表示由于圆上任意两点之间的距离都相等，因此圆的直径和半径的长度可以用参数方程来表示。
圆的直径的长度为2r，因此，圆的直径的参数方程为：x=r*cos(t) y=r*sin(t)x=-r*cos(t) y=-r*sin(t)圆的半径的长度为r，因此，圆的半径的参数方程为：x=r*cos(t) y=r*sin(t)圆的切线和法线在圆上的位置是固定的，在某个点切线垂直于半径，并且在该点的切线与法线相交。
圆的参数方程可以很方便地表示切线和法线的位置。
圆的切线的参数方程为：x=r*cos(t) y=r*sin(t)x=-r*sin(t) y=r*cos(t)圆的法线的参数方程为：x=-r*sin(t) y=r*cos(t)x=-r*cos(t) y=-r*sin(t)4.圆的极坐标方程圆还可以用极坐标方程来表示，圆可以被描述为一组方程，如r = a(cos(t) + i sin(t))，其中a为半径，t为参数。
2.1.2 圆的参数方程
[悟一法]
(1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点的坐标， 并正确确定参数的取值范围． (2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是 利用正、余弦函数的有界性．
[通一类]
x＝1＋cos θ 3．设方程 y＝ 3＋sin θ
(θ 为参数)表示的曲线为 C，求在曲线 C
x＝ 4t 2 1＋t 答案： 4t2 y＝ 1＋t2
[研一题] [例 2] 已知点 P(2,0)，点 Q
x＝cos θ 是圆 y＝sin θ
(θ 为参数)上一
动点，求 PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？
[精讲详析]
本题主要考查圆的参数方程的应用及轨迹的求
义是：OM0(M0 为 t＝0 时的位置)绕点 O 逆 时针旋转到 OM 的位 置时，OM0 转过的角度．
[小问题· 大思维]
x＝Rcos θ 1．方程 y＝Rsin θ
(θ 为参数，0≤θ<2π)是以坐标原点为圆心，
以 R 为半径的圆的参数方程，能否直接由圆的普通方程转化 得出？
提示：以坐标原点为圆心，以 R 为半径的圆的标准方程为 x2 x 2 y 2 ＋y ＝R ，即(R) ＋(R) ＝1，令
②当 M 在 x 轴下方时，∠MO′x＝－2φ，
x＝r＋rcos －2φ， ∴ y＝－rsin －2φ. x＝r＋rcos 2φ， 即 y＝rsin 2φ.
π ③当 M 在 x 轴上时，对应 φ＝0 或 φ＝± . 2 综上得圆的参数方程为
x＝r＋rcos y＝rsin 2φ
[读教材· 填要点] 如图，设圆 O 的半径是 r，点 M 从初始位置 M0(t＝0 时的位 置)出发，按逆时针方向在圆 O 上作匀速圆周运动， 点 M 绕点 O 转动的角速度为 ω，以圆心 O 为原点，OM0 所在的直线为 x 轴，建立直角坐标系． (1)在 t 时刻，M 转过的角度是 θ，点 M 的坐标是(x，y)，那 么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角函数定义，有 cos y x ωt＝ r ，sin ωt＝ r ，即圆心在原点 O，半径为 r 的圆的参数方程
选修4-4 2.1.2 圆的参数方程
1. 圆的参数方程概念
圆周运动是生活中常见的.当物体绕定轴作 匀速转动时,物体中各个点都作匀速圆周运动. 那么,怎样刻画运动中点的位置呢？
yrMo NhomakorabeaM0
x
1. 圆的参数方程概念
如果在时刻t,点M转过的角度是,坐标是M(x,y), 那么＝t.设|OM|＝r, 那么由三角函数定义有
x y cos t ,sin t , r r x r cos t 即 (t为参数) y r sin t
y
r
M
o
M0
x
这就是圆心在原点O,半径为r的 圆的参数方程.其中参数t有明确的物 理意义(质点作匀速圆周运动的时刻).
圆的参数方程中参数的几何意义 考虑到＝t,也可以取为参数,于 是有 x r cos y ( 为参数) y r sin M
这也是圆心在原点O, 半径为r的圆的参数方程.其 中参数的几何意义是OM0 绕点O旋转到OM的位置时, OM0转过的角度.
r
o
M0
x
2. 参数法求轨迹方程
例2.如图,圆O的半径为2,P是圆上的动点,Q(6,0)是x轴 上的定点,M是PQ的中点.当点P绕O作匀速圆周运动时,求 点M的轨迹的参数方程.
解：设点M 的坐标是( x, y )，xOP , 则点P的坐标是(2 cos , 2 sin ), 由中点坐标公式得： 2 cos 6 x cos 3, 2 2 sin y sin 2 所以，点M 的轨迹的参数方程是 x cos 3 ( 为参数) y sin
圆的参数方程
圆的参数方程
在极坐标系中，圆的参数方程可以表示为：
x = r * cosθ
y = r * sinθ
其中，r为圆的半径，θ为参数，可以是弧长或角度。
当使用弧长作为参数时，通常假设圆的圆心为原点(0,0)，参数θ表示起始点P与圆心O之间的弧长。
弧长的取值范围为0到2π，即一个完整的圆。
根据弧度的定义，当弧长等于半径r时，角度θ为1弧度(约57.3°)。
所以弧长s与角度θ之间的关系为：
θ=s/r
当使用角度作为参数时，参数θ表示起始点与正方向x轴之间的夹角，取值范围为0到2π。
以弧度制表示时，角度θ等于弧长s除以半径r。
所以弧长s与角度θ之间的关系为：
s=rθ
根据参数方程可以求解圆上的任意点坐标。
例如:
当使用弧长作为参数时，如果给定圆的半径r和起始点P的弧长s，可以通过参数方程求解P的坐标：
x = r * cos(s / r)
y = r * sin(s / r)
当使用角度作为参数时，如果给定圆的半径r和起始点P的角度θ，可以通过参数方程求解P的坐标：
x = r * cosθ
y = r * sinθ
在计算中，通常选用弧长作为参数，因为它更容易和弧度制的角度转换。
同时，参数方程还可以表示圆的其他性质，如圆的切线方程、圆的面
积等。
参数方程的概念圆的参数方程
参数方程的概念圆的参数方程参数方程是一种用参数表示自变量和因变量关系的方程。
在参数方程中，自变量和因变量都用参数表示，而不直接用变量表示。
通过改变参数的取值，可以获得方程所代表的曲线或图形上的每个点的坐标。
圆的参数方程可以通过使用正弦和余弦函数来表示。
在平面直角坐标系中，圆的参数方程为：x = r * cos(t)y = r * sin(t)其中，x和y分别代表圆上任一点的坐标，r代表圆的半径，t是参数。
当我们改变参数t的取值范围时，可以得到圆的不同部分，从而形成完整的圆。
通常，t的取值范围是0到2π，即一个完整的圆周。
例如，当t=0时，x=r，y=0，即圆上的点位于圆的最右侧的点。
当t=π/2时，x=0，y=r，即圆上的点位于圆的最上方的点。
当t=π时，x=-r，y=0，即圆上的点位于圆的最左侧的点。
当t=3π/2时，x=0，y=-r，即圆上的点位于圆的最下方的点。
从这些例子可以看出，改变参数t的取值范围可以得到圆的不同部分。
使用参数方程表示圆的好处是可以更灵活地描述和绘制圆。
参数方程不仅可以表示平凡的圆形，还可以表示椭圆、抛物线、双曲线等多种曲线。
通过调整参数的取值范围和改变参数方程中的函数，可以绘制出各种几何图形。
此外，参数方程可以方便地处理极坐标下的曲线。
在极坐标系中，圆的参数方程可以表示为：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，θ代表极坐标的角度，r代表极坐标的半径。
通过改变参数θ的取值范围，可以得到极坐标系中的圆的不同部分。
总之，参数方程是一种灵活和方便的方式来描述和绘制曲线。
圆的参数方程是其中的一个重要应用，通过改变参数的取值范围和调整函数，可以得到圆的不同部分。
参数方程还可以应用于其他几何图形的描述和绘制中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
θ
(θ 为参数)上的动点，
(1)求 3x＋y 的取值范围； (2)若 x＋y＋a≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
[精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法及不等式的恒成 立问题，解决本题需要正确求出圆 x2＋y2＝2y 的参数方程，然后 利用参数方程求解问题(1)、(2)． (1)∵P
x＝cos θ 在圆 y＝1＋sin
θ
上，
π ∴ 3x＋y＝ 3cos θ＋sin θ＋1＝2sin (θ＋3)＋1
∴－2＋1≤ 3x＋y≤2＋1. 即 3x＋y 的取值范围为[－1,3]． (2)∵x＋y＋a＝cos θ＋sin θ＋1＋a≥0， ∴a≥－(cos θ＋sin θ)－1. π 又－(cos θ＋sin θ)－1＝－ 2sin (θ＋4)－1≤ 2－1， ∴a≥ 2－1 即 a 的取值范围为[ 2－1，＋∞)．
由直线l的极坐标方程可知直线l的方程为y＝1，则根据图象可 知直线l和圆C的交点为(－1,1)，(1,1)． [答案] (－1,1)，(1,1)
点击进入 创新演练大冲关
x＝ 4t 2 1＋t 答案： 4t2 y＝ 1＋t2
[研一题] [例 2] 已知点 P(2,0)，点 Q
x＝cos θ 是圆 y＝sin θ
(θ 为参数)上一
动点，求 PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？
[精讲详析]
本题主要考查圆的参数方程的应用及轨迹的求
[读教材· 填要点] 如图，设圆 O 的半径是 r，点 M 从初始位置 M0(t＝0 时的位 置)出发，按逆时针方向在圆 O 上作匀速圆周运动， 点 M 绕点 O 转动的角速度为 ω，以圆心 O 为原点，OM0 所在的直线为 x 轴，建立直角坐标系． (1)在 t 时刻，M 转过的角度是 θ，点 M 的坐标是(x，y)，那 么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角函数定义，有 cos y x ωt＝ r ，sin ωt＝ r ，即圆心在原点 O，半径为 r 的圆的参数方程
x＝r＋rcos 出现错误， 如本题如果把参数方程写成 y＝rsin φ.
φ，
φ 的意义
就改变了．
[通一类] 1． y＝tx(t 为参数)， 设 则圆 x2＋y2－4y＝0 的参数方程是________．
解析：把 y＝tx 代入 x2＋y2－4y＝0 4t 4t2 得 x＝ ，y＝ ， 1＋t2 1＋t2 x＝ 4t 2， 1＋t ∴参数方程为 4t2 y＝ 1＋t2.
上到原点 O 距离最小的点 P 的坐标．
解：∵OP2＝(1＋cos θ)2＋( 3＋sin θ)2＝5＋2 3sin θ＋2cos θ＝ π 4 5＋4sin (θ＋6)．当 θ＝2kπ＋3π，k∈Z 时，OP 最小，此时点 P 1 3 的坐标为(2， 2 )．
高考模拟中常利用圆的参数方程考查直线与圆、 圆与圆的位 置关系.2012 年汕头模拟将直线的极坐标方程与圆的参数方程相 结合，考查直线与圆的交点问题，属低档题． [考题印证] (2012· 汕头模拟)已知圆 C
正半轴绕原点旋转到OM形成的角为φ，以φ为参数．求圆的参
数方程． [精讲详析] 解：本题考查圆的参数方程的求法，解答此
题需要借助图形分析圆上点M(x，y)的坐标与φ之间的关系，然 后写出参数方程． 如图所示，设圆心为O′，连接O′M
①当M在x轴上方时，
∠MO′x＝2φ.
x＝r＋rcos 2φ， ∴ y＝rsin 2φ.
2 2
x R＝cos θ， y ＝sin θ， R
x＝Rcos θ， 则 y＝Rsin θ.
2．若圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 R，则圆的参数方程是什么？
x＝x0＋Rcos θ 提示：圆的参数方程为 y＝y0＋Rsin θ
(0≤θ<2π)
[研一题] [例1] 点M在圆(x－r)2＋y2＝r2(r>0)上，O为原点，x轴的
为
x＝rcos ωt )．其中参数 t 的物理意义是： ．
质点做匀速圆周运动的时刻
(2)若取 θ 为参数，因为 θ＝ωt，于是圆心在原点 O，半径为
x＝rcos θ y＝rsin θ
r 的圆的参数方程为
(θ 为参数)． 其中参数 θ 的几何意
x＝cos α 的参数方程为 y＝1＋sin
α
(α 为
参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ＝1， 则直线 l 和圆 C 的交点的直角坐标为 ________．
[命题立意]
方程．
本题主要考查圆的参数方程与直线的极坐标
[解析]
由圆的参数方程知圆心的坐标为(0,1)，半径r＝1，
[悟一法]
(1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点的坐标， 并正确确定参数的取值范围． (2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是 利用正、余弦函数的有界性．
[通一类]
x＝1＋cos θ 3．设方程 y＝ 3＋sin θ
(θ 为参数)表示的曲线为 C，求在曲线 C
义是：OM0(M0 为 t＝0 时的位置)绕点 O 逆 时针旋转到 OM 的位 置时，OM0 转过的角度．
[小问题· 大思维]
x＝Rcos θ 1．方程 y＝Rsin θ
(θ 为参数，0≤θ<2π)是以坐标原点为圆心，
以 R 为半径的圆的参数方程，能否直接由圆的普通方程转化 得出？
提示：以坐标原点为圆心，以 R 为半径的圆的标准方程为 x2 x 2 y 2 ＋y ＝R ，即(R) ＋(R) ＝1，令
2φ
π π (φ 为参数且－ 2≤φ≤2)
[悟一法] (1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．一般地，同 一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也 可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线却可 以是相同的，另外在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数 的取值范围． (2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会
②当 M 在 x 轴下方时，∠MO′x＝－2φ，
x＝r＋rcos －2φ， ∴ y＝－rsin －2φ. x＝r＋rcos 2φ， 即 y＝rsin 2φ.
π ③当 M 在 x 轴上时，对应 φ＝0 或 φ＝± . 2 综上得圆的参数方程为
x＝r＋rcos y＝rsin 2φ
1 它是圆的参数方程，表示以(1,0)为圆心，以2为半径的圆．
[悟一法] 解决此类问题的关键是利用已知圆的参数方程中所含的 参数表示出所求点的坐标，求得参数方程，然后根据参数方
程说明轨迹所表示的曲线．
[通一类] 2. 设点 M(x，y)在圆 x2＋y2＝1 上移动，求点 Q(x(x＋y)，y(x＋y)) 的轨迹的参数方程．
法．解答本题需设出 PQ 的中点 M 的坐标为(x，y)，然后利用已 知条件中的参数分别表示 x，y，从而求出轨迹方程，根据方程说 明轨迹的形状．
x＝2＋cos θ， 2 设中点为 M(x， y)， 0＋sin θ y＝ 2 ，
1 x＝1＋2cos θ， 即 y＝1sin θ. 2
解：设 M(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点 Q(x1，y1)，
x1＝cos θcos θ＋sin θ， 则 y1＝sin θcos θ＋sin θ，
(θ 为参数)
即为所求的参数方程．
[例 3]
已知点
x＝cos θ P(x， y)是圆 y＝1＋sin