圆的重要定理

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几何中的圆相关定理

几何中的圆相关定理圆是几何中的一个基本形状，而圆相关的定理在数学中有着重要的地位。

本文将对几何中的圆相关定理进行论述和解释，以帮助读者更好地理解和应用这些定理。

一、圆的定义和性质圆是一个平面上所有点到中心点的距离都相等的闭合曲线。

圆的性质包括以下几个方面：1. 圆心：圆的中心点称为圆心，通常用字母O表示。

2. 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段称为半径，通常用字母r 表示。

3. 直径：通过圆心，并且两端点都在圆上的线段称为直径，直径的长度等于半径的两倍。

4. 弧长：圆周上任意两点之间的弧长等于圆心角所对的弧长。

5. 弦：圆上任意两点之间的线段称为弦。

二、圆的相关定理在几何中，与圆相关的定理有很多，下面将介绍几个常见的定理。

1. 切线定理：如果一条直线与圆相切，那么切线的斜率等于圆心到切点的半径的斜率的负倒数。

2. 切点定理：如果两条切线分别与圆相交于A、B两点，那么这两条切线的交点与圆心之间的连线AB必然经过切点。

3. 弧长定理：圆周上的弧长等于圆心角所对的弧长等于半径所对的圆心角的弧长的一半。

4. 切角定理：两条切线相交的角等于两条切线所对的弧所对的圆心角的一半。

5. 正弦定理：在任意三角形中，三边的长度与其对应的正弦值成比例。

6. 弦切角定理：一个角的顶点位于圆上，且该角的两条边分别为半径和切线时，这两条边之间的夹角等于其对应的弧所对的圆心角的一半。

7. 弦弧定理：圆上的弦所对的弧与其它与这条弦相交的弦所对的弧的乘积等于它们所对的圆心角的乘积。

8. 切弦定理：一条切线和与之相交的弦所对的弧长的乘积等于切点到切弦上一定点的线段的长度的平方。

三、应用举例下面通过具体的例子来展示圆相关定理的应用。

例题1：一条切线与圆相交于点A，切点为B。

已知AB的长度为3cm，圆的半径为5cm，求切线与圆心的距离。

解析：根据切弦定理可得，AB的长度乘以切点到切弦上一定点的线段的长度等于切线和与之相交的弦所对的弧长的乘积。

圆的公式定理

圆的公式定理
圆是一个平面上的几何图形，它是由所有到圆心距离相等的点组成的。

圆的公式和定理是研究圆的重要内容，下面将介绍一些常见的圆的公式和定理。

1. 圆的周长公式：圆的周长是指圆形边界的长度，它等于圆的直径乘以π（圆周率）。

即：C=πd，其中C为圆的周长，d为圆的直径。

2. 圆的面积公式：圆的面积是指圆形内部的面积，它等于圆的半径的平方乘以π。

即：S=πr²，其中S为圆的面积，r为圆的半径。

3. 弧长公式：弧是圆周上的一段弯曲部分，弧长是指弧的长度。

弧长公式是指计算弧长的公式，它等于圆的半径乘以圆心角的弧度数。

即：L=rθ，其中L为弧长，r为圆的半径，θ为圆心角的弧度数。

4. 圆心角公式：圆心角是指圆心所在的角，它的顶点在圆周上。

圆心角公式是指计算圆心角的公式，它等于弧长除以圆的半径。

即：θ=L/r，其中θ为圆心角的弧度数，L为弧长，r为圆的半径。

5. 正弦定理：正弦定理是指在一个圆周上，任意两条弦所对应的两个圆心角的正弦值相等。

即：a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c为弦的长度，A、B、C为对应的圆心角的度数。

6. 余弦定理：余弦定理是指在一个圆周上，任意两条弦所对应的两个圆心角的余弦值相等。

即：a²=b²+c²-2bc*cosA，其中a为弦的长度，b、c为另外两条弦的长度，A为对应的圆心角的度数。

这些公式和定理是研究圆的基础，它们在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

圆的垂径定理

圆的垂径定理定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。

一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理。

证明定理是数学的中心活动。

圆作为数学中常用的图像，有十八个基本定理。

圆的十八个定理1、圆心角定理：在同圆或等圆中，成正比的圆心角所对弧成正比，面元的弦成正比，面元的弦的弦心距成正比。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中存有一组量成正比那么它们所对应的其余各组量都成正比2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推断1：同弧或等弧所对的圆周角成正比;同圆或等圆中，成正比的圆周角面元的弧也成正比推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所推断3：如果三角形一边上的中线等同于这边的一半，那么这个三角形就是直角三角形3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

推断1：①平分弦(不是直径)的直径旋转轴弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推断2 ：圆的两条平行弦所缠的弧成正比4、切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。

5、切线短定理：从铅直一点引圆的两条切线，他们的切线短成正比，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。

6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。

如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。

7、平行弦定理：圆内两条弦平行，被交点分为的两条线段长的乘积成正比。

8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。

9、割线短定理：从铅直一点向圆引两条割线，这一点至每条割线与圆的交点的两条线段长的积成正比。

10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推断1 ：经过圆心且旋转轴切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心11、弦切角定理：弦切角等同于它所缠的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等12、定理：平行两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦13、定理：把圆分成n(n≥3):⑴依次联结各分点税金的多边形就是这个圆的内arccosn边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形14、定理：任何正多边形都存有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆就是同心圆15、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆16、定理：正n边形的半径和边心距把也已n边形分为2n个全等的直角三角形17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

数学圆的知识点总结

数学圆的知识点总结圆是几何中的一种基本图形，具有许多独特的性质和特征。

在数学中，圆是一个非常重要的概念，它涉及到许多不同的数学领域，包括几何、代数和微积分。

本文将从各个方面总结圆的知识点，希望能够帮助读者更好地理解和应用圆的相关知识。

一、圆的定义圆是一个平面图形，其上所有点到一个固定点的距离相等。

这个固定点叫做圆心，而相等的距离叫做半径。

圆通常用大写字母“O”表示圆心，用小写字母“r”表示半径。

通常情况下，圆可以用圆心O和半径r来表示。

二、圆的基本性质1. 圆的直径圆的直径等于半径的两倍，即d = 2r。

2. 圆的周长圆的周长等于直径乘以π，即C = πd或者C = 2πr。

3. 圆的面积圆的面积等于半径的平方乘以π，即A = πr²。

4. 圆的圆周角圆的圆周角是指圆心所包含的角度，它s等于一定方向下两个相邻半径的夹角。

5. 圆的弧长圆的弧长等于半径乘以圆周角的弧度值，即L = rθ。

6. 圆心角圆心角是指圆心所包含的角度，它等于弧长所对应的弧度数。

圆心角的角度大小等于圆周角的角度大小。

7. 圆的内切角和外切角圆的内切角是指在圆的内部，通过切线和相交弧所形成的角；圆的外切角是指在圆的外部，通过切线和相交弧所形成的角。

9. 圆锥、圆台和圆柱圆锥、圆台和圆柱是由圆所产生的几何体形状，在工程和实际生活中都有重要应用。

三、圆的相关定理1. 圆的切线定理圆上的切线与半径的平行线平方和等于切线与圆心的连线的平方。

2. 圆的切线与圆之间的位置关系直径是圆的切线，而且直径等于两条相交切线的和。

3. 圆的切线和切点的性质切线与切线的切点之间的夹角等于切线与圆心之间的夹角。

4. 圆的切线和弦的性质切线与圆内的弦之间的夹角等于这条弦所对应的圆心角的一半。

5. 圆的两条交叉弦的性质两条交叉的弦所对应的弧是线段所在圆所包含的圆心角的一半。

6. 圆的内切接着角圆的内切角是指一条切线和它的两个相交半径形成的角，它等于所对应的弧的一半。

圆的相关定理

圆幂定理定义圆幂=PO^2-R^2（该结论为欧拉公式）所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。

统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。

相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）相交弦说明几何语言：若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的例中项几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）切割线定理定义从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

是圆幂定理的一种。

几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）由上可知:PT∧2（平方）=PA·PB=PC·PD证明切割线定理证明:设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB证明：连接AT, BT∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)∠P=∠P(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT^2=PB·PA割线定理定义从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

圆的十大定理

圆的十大定理一、圆上三点确定一个圆的定理一个圆的确定需要三个不共线的点。

这三个点可以用来确定圆心和半径，从而确定一个唯一的圆。

二、垂径定理如果一条直线通过圆心，则该直线将圆分成两个相等的部分，且该直线与圆的两部分都垂直。

这个定理是圆的几何性质中的基本定理之一。

三、圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，反之亦然。

这个定理是圆的基本性质之一，是几何学中重要的定理之一。

四、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

这个定理在几何学中非常重要，是解决许多与圆相关的问题的基础。

五、直径所对的圆周角为直角定理直径所对的圆周角是直角。

这个定理是基本的几何性质之一，也是解决许多问题的基础。

六、圆内接四边形的对角互补定理圆内接四边形的对角互补，即一个内角等于它的对角的补角。

这个定理是解决与圆相关的四边形问题的关键之一。

七、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

这个定理在解决与圆相关的比例问题中非常有用。

八、相交弦定理若两弦交替相交于圆内，则这两弦与圆的交点所形成的线段长度的乘积等于这两弦长的乘积的一半。

这个定理在解决与弦和交点相关的问题中非常有用。

九、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的一半。

这个定理在研究弦、切线和角度之间的关系时非常有用。

十、两圆连心线段垂直平分两圆公共弦定理两个相交圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

这个定理是解决与两个相交圆的公共部分相关的问题的基础。

圆数学知识点总结

圆数学知识点总结一、圆的定义首先，让我们来了解一下圆的定义。

在几何学中，圆是一个平面上所有与一个固定点的距离相等的点的集合。

这个固定点被称为圆心，而这个固定距离被称为圆的半径。

换句话说，圆可以由一个给定的圆心和半径来确定。

圆的符号通常用字母"O"表示圆心，用字母"r"表示半径。

例如，用"O"表示圆心，"r"表示半径的圆可以用符号"O(r)"表示。

二、圆的性质圆有许多重要的性质，下面我们将总结一些常见的圆的性质。

1. 圆的周长和面积圆的周长通常用字母"C"表示，可以用公式C=2πr来计算，其中r表示圆的半径。

圆的面积通常用字母"A"表示，可以用公式A=πr^2来计算，其中r表示圆的半径。

这两个公式是计算圆的周长和面积的常用公式。

2. 圆的直径和周长的关系圆的直径是圆上任意两点之间经过圆心的线段的长度，圆的直径等于圆的半径的两倍，即d=2r。

根据这个性质，我们可以得出一个结论：圆的周长等于圆周率π乘以直径，即C=πd。

3. 圆的弧长和扇形面积圆的弧长是圆的一部分弧的长度，可以用公式L=πrθ/180来计算，其中θ表示弧的角度。

圆的扇形面积是由圆心和圆上两条弦所围成的面积，可以用公式A=πr^2(θ/360)来计算。

4. 圆周角和圆心角圆周角是圆周上的两个点所确定的角，它的度数是圆心角度数的一半。

圆心角是由圆心和圆周上的两个点所确定的角，它的度数就是圆形上这两个点所切出的圆弧的度数。

两者的关系是：圆周角＝2×圆心角。

5. 切线、焦点和切点切线是与圆相切的直线，它与圆相切于圆的一点。

焦点是与圆相切的线段的端点，切点是切线与圆相切的点。

切线与圆的关系很重要，在很多几何问题中都需要利用切线的性质来解决问题。

以上是一些圆的常见性质，这些性质对于理解圆的概念和解决与圆相关的问题非常重要。

圆知识点总结公式

圆知识点总结公式圆的性质及公式1. 圆的周长C= 2πr，其中r是半径。

2. 圆的面积A= πr^2。

3. 圆的直径d= 2r。

4. 圆心角的弧度表示= 圆心角度数* π / 180。

5. 圆心角的弧长L = 圆心角度数* π / 180 * r。

6. 切线长度t = √(rs)，其中s是切线和切点的距离。

7. 弧长L= θ/360 * 2πr，其中θ 是圆心角的度数。

8. 圆的扇形的面积= θ/360 * πr^2，其中θ 是圆心角的度数。

9. 圆环的面积A= π(R^2-r^2)，其中R是外圆半径，r是内圆半径。

10. 圆锥的表面积S= πr(r+√(r^2+h^2))，其中r是底圆的半径，h是斜高。

11. 圆锥的体积V= 1/3* πr^2h，其中r是底圆的半径，h是高。

圆的相关定理1. 直径定理：在同一个圆内，如果两条弦之一经过圆心，则这条弦的长度等于另一条弦和直径的长度之和。

2. 弧长定理：圆心角的弧长等于半径与这个圆心角所对应的圆周的比例关系。

3. 切线定理：切线和半径的关系，切线的平方等于切点到圆心的距离和直径的乘积。

4. 同切圆定理：同一直线上的两个同切圆的半径的平方之于面积的比例也是相同的。

5. 切割角定理：圆周上的两个弧所对应的圆心角之和等于180°。

6. 弧角公式：圆的周长等于2πr，圆心角是360°时所对应的弧长也是2πr。

圆的应用：1. 圆形结构设计：在建筑、机械工程、制造业和其他领域，圆形结构的设计和制造应用广泛。

2. 圆形运动：在物理学中，圆形运动和转动是非常重要的研究领域，例如，行星围绕太阳的运转。

3. 圆形信号：在电子、通信、数学、物理等领域，圆形波形和信号的应用非常广泛。

4. 圆形统计：在统计学和概率论中，圆形统计和随机过程在分析数据和预测趋势方面非常重要。

总的来说，圆是几何学中的基本图形之一，圆的性质及公式、相关定理和应用非常广泛。

对圆的深入理解和应用可以帮助我们更好地理解和处理与圆有关的问题和情况。

关于圆的几个定理

关于圆的几个定理1. 四点共圆1.1定义：若四边形ABCD 的四点同时共于一圆上，则称A ，B ，C ，D 四点共圆基本性质：若凸四边形ABCD 是圆内接四边形，则其对角互补1.2定义：若存在一点O 使OA=OB=OC=OD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆2.若干定理圆幂定理是圆的相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理的统一形式。

相交弦定理：P 是圆内任一点，过P 作圆的两弦AB ，CD ，则PA PB PC PD •=•（切）割线定理：P 是圆外任意一点，过P 任作圆的两割（切）线PAB ，PCD ，则PA PB PC PD •=•圆幂定理：P 是圆O 所在平面上任意一点（可以在圆内，圆上，圆外），过点P 任作一直线交圆O 于A ，B 两点（A ，B 两点可以重合，也可以之一和P 重合），圆O 半径为r ，则有：22||PA PB PO r •=-圆内接四边形判定方法相交弦定理逆定理：如果四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点P ，且满足 PA PC PB PD •=•，则四边形ABCD 有一外接圆切割线定理逆定理：如果凸四边形ABCD 一双对边AB 与DC 交于点P且满足PA PC PB PD •=•，则四边形ABCD 有一外接圆射影定理：RTΔABC 中，BC 是斜边，AD 是斜边上的高,则222(1)(2)(3)AD BD CDAB BD BCAC CD BC =•=•=•Miquel 定理：ΔABC 中，X ，Y ，Z 分别是直线AB ，BC ，AC 上的点，则 ,,共于一点AXZ BXY CYZ O这样的点O 称为X ，Y ，Z 对于ΔABC 的Miquel 点Simson 定理P是ΔABC外接圆上一点，过点P作PD垂直BC，PE垂直于AB，同理PF则D，E，F是共线的三点直线DEF称为点P关于ΔABC的Simson线Carnot定理：通过ΔABC外接圆上的一点P，引与三边BC，CA，AB分别成同向等角（即∠=∠=∠PDB PEC PFB）的直线PD，PE，PF与三边或其所在直线的交点分别为D，E，F则D，E，F是共线的三点AB CD AD BC AC BD Ptolemy定理:若四边形ABCD是圆内接四边形，则•+•=•Chapple 定理：设R 是ΔABC 的外接圆半径，r 是内切圆半径,d 是这两圆的圆心距，则222=-d R Rr（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

六年级圆的知识点总结预习

六年级圆的知识点总结预习在六年级的数学学习中，圆是一个非常重要的几何形状。

通过学习圆的知识，我们可以了解圆的性质、圆的元素以及一些与圆相关的重要定理。

下面就是对六年级圆的知识点进行的总结预习。

一、圆的定义和性质1. 定义：圆是平面上与一个确定点距离相等的所有点的集合。

2. 圆中心：圆心是确定圆的位置的点，通常用字母O表示。

3. 半径：半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。

4. 直径：直径是圆上任意两点之间的距离，直径等于半径的两倍。

5. 弧：圆上的一段弧是圆的一部分，可以通过两个端点确定。

二、圆的元素1. 圆心角：圆心角是以圆心为顶点的角，其两条边分别是半径，用字母∠A表示。

2. 圆周角：圆周角是角的顶点在圆周上的角，其两条边分别是两条切线或弦，用字母∠B表示。

3. 弧长：弧长指圆上一段弧的长度，用字母L表示。

三、重要定理1. 圆心角定理：在同一个圆或等圆上的圆心角相等。

2. 弧长定理：在同一个圆或等圆上，圆心角相等的两个弧所对应的弧长也相等。

3. 圆周角定理：圆周角等于其所对应的弧所对应的圆心角。

四、圆的计算1. 圆的面积：圆的面积可以用公式A=πr²表示，其中r代表圆的半径，π是一个无理数，近似于3.14。

2. 弧长的计算：弧长可以用公式L=2πr×(θ/360°)来计算，其中θ表示圆心角的度数。

通过六年级圆的知识点总结预习，我们可以加深对圆形以及圆内角、圆周角等重要概念的理解。

掌握了这些基础知识后，我们就能够更好地进行圆的计算和问题解决，并且为将来学习更复杂的几何形状奠定坚实的基础。

希望大家在接下来的学习中能够认真复习，做好准备，取得优异的成绩。

通过本次的预习，希望能够为六年级圆的学习打下坚实的基础。

在接下来的学习中，我们需要通过大量的练习来加深对圆的理解，并能够灵活运用所学的知识解决各种问题。

相信通过努力，我们一定能够在六年级的数学学习中取得优异成绩。

初三数学圆的性质定理

初三数学圆的性质定理1、圆的对称性：圆是轴对称图形，任一条直径所在的直线都是它的对称轴.2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.3、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.4、垂径定理的应用：①用直尺和圆规平分一条弧.作法是过圆心作弧所对弦的垂线，理由是垂径定理；②在利用垂径定理计算或证明时，我们通常将其化为一个直角三角形的边和角，这个特殊直角三角形的三边分别是半径、弦的一半和圆心到弦的垂线段.例1、如图，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AD交小圆于B、C.(1)求证：AB=CD(2)如果AD=6cm，BC=4cm，求圆环的面积.1.圆周角定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.3.推论：①同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧一定相等.②半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.③如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.4．圆的内接四边形：①定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.②圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.例2、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D.若BC=8，ED=2，求⊙O的半径.1、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP∶PB=1∶5，那么⊙O的半径是（）2、圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm3、如下图所示，AB是⊙O的一条固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．平分D．随点C的移动而移动4、如上中图，BD是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，则下列结论不成立的是（）A．∠ABD=∠ACD B．C．∠BAE=∠BDC D．∠ABD=∠BDC5、如上右图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于（）A．80°B．50°C．40°D．20°6、如下图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB=40°，则∠ABO等于__________度．7、如上左二图，△ABC的顶点都在⊙O上，∠C=30°，AB=2cm，则⊙O的半径为__________cm．8、如上左三图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、A 、B不重合），则∠OAB=__________，∠OPB=__________．9、如右上图，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，则AC=__________cm．10、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC=__________．11、如图，⊙O中的弦AB、CD互相垂直于E，AE=5cm，BE=13cm，O到AB的距离为．求⊙O的半径及O到CD的距离．12、如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．13、如图，AB为⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长到C，使BD＝DC，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合．（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．一、确定圆的条件(1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径，圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．过不在同一条直线上的三点确定一个圆2、经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆．3、利用尺规过不在同一条直线上的三个点作圆的方法作法图示1．连结AB、BC2．分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O3．以O为圆心，OA为半径作圆⊙O就是所要求作的圆例1、已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？（1）（2）（3）例3、如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．1、下列关于外心的说法正确的是（）A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点2、下列条件中不能确定一个圆的是（）A．圆心和半径B．直径 C．三角形的三个顶点D．平面上的三个已知点3、三角形的外心具有的性质是（）A．到三边的距离相等B．到三个顶点的距离相等 C．外心在三角形外D．外心在三角形内4、等腰三角形底边上的中线所在的直线与一腰的垂直平分线的交点是（）A．重心B．垂心 C．外心D．无法确定5、如图所示，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M6、如图，是△ABC的外接圆，∠BAC=30°，BC=2 cm ，则△OBC的面积是_______.7、直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是_______．8、如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观，为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎么样找到圆心和半径？。

圆的性质定理九年级(圆的性质定理)

1、有关圆的基本性质与定理⑴圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆。

2、圆与直线相切圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

3、圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

5、逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

6、⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

7、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

8、直径所对的圆周角是直角。

9、90度的圆周角所对的弦是直径。

10、如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

11、⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。

12、外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

13、③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

14、（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。

15、（5）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

16、（6）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

17、（7）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

18、（8）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

19、（9）圆外角的度数等于这个等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

20、〖有关切线的性质和定理〗圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

圆的性质知识点总结

圆的性质知识点总结圆是我们日常生活中常见的一种几何形状。

它具有一些独特的性质，我们通过下面的总结来了解圆的性质。

一、圆的定义和要素圆可以定义为平面上任意点到固定点的距离保持不变的集合。

这个固定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。

圆中的任意一条线段，它的两个端点都在圆上，称为弦。

经过圆心的弦称为直径，直径是弦中最大的一段。

二、圆的基本性质1. 圆的半径相等性质：圆上任意两点到圆心的距离相等。

2. 弧的定义：在圆上，由两个点所确定的部分称为弧。

圆上一段既非弦也非整个圆的弧称为弧段。

3. 圆心角：圆上以圆心为顶点的角。

圆心角所对的弧长是该角度的两倍。

4. 弦的性质：等长的弦所对的圆心角相等，且直径是圆上最长的弦。

5. 弧长的比例：相等弧所对的圆心角相等，弧长和圆周长之间存在比例关系。

三、圆的周长和面积公式1. 周长：圆的周长等于圆周上一整条弧的长度。

周长的计算公式为C=2πr，其中C表示周长，r表示半径，π是一个常数，约等于3.14159。

2. 面积：圆的面积是指圆内部的所有点组成的部分所占据的平面面积。

面积的计算公式为S=πr^2，其中S表示面积，r表示半径。

四、圆的判定定理1. 弦切定理：如果一个弦和它所对的圆心角相等，那么这个弦被平分。

2. 弦心定理：如果两个弦的两个端点分别在另一个弦上，那么这两个弦的长度乘积等于它们所决定的弧的长度乘积。

3. 切线性质：从一个点外切圆上的切线和这条切线上这个点到圆心的线段垂直。

五、圆的相关定理1. 相交弦定理：如果两个弦相交，那么它们所对的圆心角相等。

2. 弦切角定理：相交的两条弦所对的弧所决定的角相等。

3. 弦切切定理：切线和弦的交角等于它所对的弧所决定的角。

六、圆的应用1. 圆的运动：物体在圆周上做匀速圆周运动时，物体的速度大小恒定，但方向不断改变。

2. 圆锥曲线：圆可以通过用直线旋转一条线段得到，例如圆锥曲线中的椭圆、抛物线和双曲线。

3. 圆的几何画法：使用圆规、尺子等几何工具可以进行圆的画法，如确定一个圆的圆心、半径等。

圆的所有公式定理

圆的所有公式定理圆，这可是数学世界里超级有趣的一部分！咱们从小学到高中，跟圆相关的公式定理那可不少。

先来说说圆的周长公式C = 2πr 或者C = πd 。

这里的 C 表示圆的周长，r 是半径，d 是直径，π呢，就是那个约等于 3.14159 的神奇常数。

就像我之前去买自行车，车轮就是个圆呀。

我在选车的时候就在想，这车轮转一圈能走多远，这不就得用周长公式来算嘛。

圆的面积公式S = πr² 也很重要。

有一次我去帮朋友规划花园，他想要一个圆形的花坛，我就得用这个公式算出多大面积能种多少花。

还有圆的弧长公式L = nπr/180 ，其中 L 是弧长，n 是圆心角度数。

我记得有一次参加数学兴趣小组活动，老师出了一道题，是关于一个扇形窗户的弧长计算，大家都绞尽脑汁，最后用这个公式轻松搞定。

圆的扇形面积公式S = nπr²/360 ，这个在解决实际问题中也经常用到。

比如说设计一个圆形的舞台，上面有扇形的装饰区域，要计算装饰区域的面积就得靠它。

另外，圆的切线定理也很有意思。

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

这个定理在解决一些几何证明题的时候可管用了。

还有垂径定理，垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧。

我记得有一次在辅导一个小朋友做作业，就碰到了这样的题目，一开始他怎么都不明白，我就给他画了个大大的圆，一点点给他解释，最后他终于搞懂了，那开心的样子我到现在都记得。

在学习圆的这些公式定理的过程中，我发现其实它们就像是打开数学世界里一个个神秘宝箱的钥匙。

每次用这些公式定理解决一个问题，就好像找到了宝箱里的宝贝一样，那种成就感真的让人特别满足。

而且，这些公式定理不仅仅在数学课本里有用，在我们的日常生活中也随处可见。

比如建筑设计中的圆形拱门、公园里的圆形喷泉，甚至是我们吃的披萨，切成扇形的时候也能用到相关的知识。

所以啊，别小看这一个个关于圆的公式定理，它们的用处可大着呢！只要我们认真去学，去用，就能发现数学的乐趣和魅力。

数学定理【圆,三角形】

数学定理【圆,三角形】圆的数学定理是数学中一些重要的基本定理，它们对于研究圆和三角形的性质以及运用到实际问题都具有重要意义。

本文将介绍几个与圆和三角形相关的数学定理，包括圆的周长和面积计算、圆内接正多边形的性质、余弦定理和正弦定理。

通过深入理解和应用这些定理，我们可以更好地解决与圆和三角形相关的问题。

1. 圆的周长和面积计算定理：圆的周长和面积是我们最早接触到的圆相关的概念。

根据数学定理，圆的周长等于直径与π的乘积，即C = πd，其中C表示圆的周长，d表示圆的直径。

而圆的面积则等于半径的平方与π的乘积，即A = πr²，其中A表示圆的面积，r表示圆的半径。

2. 圆内接正多边形的性质定理：在圆内接正多边形的性质中，我们需要了解一个重要的数学定理：圆内接正多边形的每个内角都相等，且每个内角的度数等于360度除以多边形的边数。

这个定理对于解决一些和正多边形相关的计算问题非常有用，如寻找多边形内角的度数等。

3. 余弦定理：余弦定理是解决与三角形边长和夹角之间关系的定理之一。

根据余弦定理，对于一个三角形ABC，设边长分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C，其中C为对应边c所对的角，那么有以下等式成立：c² = a² + b² - 2ab·cosC通过余弦定理，我们可以计算出三角形的边长或夹角，从而解决与三角形相关的计算问题。

4. 正弦定理：正弦定理是另一个与三角形边长和夹角之间关系的定理。

根据正弦定理，对于一个三角形ABC，设边长分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C，有以下等式成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC通过正弦定理，我们可以计算出三角形的边长或夹角，进一步解决与三角形相关的计算问题。

总结：数学定理在圆和三角形的研究中扮演着重要的角色，它们帮助我们理解和运用与圆、三角形相关的性质和概念。

本文简要介绍了圆的周长和面积计算定理、圆内接正多边形的性质定理、余弦定理和正弦定理。

圆的性质与定理

圆的性质与定理在数学中，圆是一种基本的几何形状。

它具有一些独特的性质和定理，这些性质和定理对于我们理解和应用圆形至关重要。

本文将介绍圆的性质和一些与圆相关的重要定理。

一、圆的性质1. 定义：圆是由平面上距离一个固定点（圆心）相等的所有点构成的集合。

圆心由大写字母O表示，半径由小写字母r表示。

2. 圆的直径：任意通过圆心并且两端点在圆上的线段称为圆的直径。

直径的长度等于半径的2倍。

3. 圆的弦：圆上任意两点连线段称为圆的弦。

4. 圆的弧：圆上的两点之间的部分称为圆的弧。

5. 圆的切线：与圆仅有一个交点且与切点垂直的直线称为圆的切线。

二、圆的定理1. 圆心角与弧度：圆心角是以圆心为顶点的角，弧度是以半径为半径的圆弧包含的圆心角所对的弧长所对应的角度。

圆心角的大小等于其对应的圆弧的弧度。

2. 弧长公式：已知圆的半径r和圆心角θ的弧长L计算公式为L = r * θ。

3. 正弦定理：在圆上的两条弦所夹的圆心角θ和这两条弦的长度a、b之间存在如下关系：a/sin(θ/2) = b/sin(θ/2) = c/sin(θ/2)，其中c为弦的长度。

4. 余弦定理：在圆上的两条弦之间的夹角θ和这两条弦的长度a、b之间存在如下关系：c² = a² + b² - 2ab*cos(θ/2)。

5. 切线定理：圆上与切点相连的两条切线的交点与圆心的连线垂直。

6. 切割线定理：若直线与圆相交，割线与切线的乘积等于割线与割线的乘积。

7. 相切定理：两个圆相切于一点，切点到圆心的连线垂直于两个切线。

8. 切圆定理：过圆外一点可以作两条切线，两条切线夹角等于切点到该点的连线与圆的半径的夹角的一半。

9. 切割圆定理：若两个相交的圆互为切割，则切点到圆心的连线垂直于相应切线。

三、应用举例1. 圆的计算：对于已知半径r的圆，可以根据公式计算圆的周长和面积。

圆的周长C为2πr，圆的面积S为πr²。

2. 弧长和扇形面积：已知圆心角θ和半径r，可以通过公式计算弧长L和扇形面积A。

圆的性质与判定

圆的性质与判定圆是几何中的基本图形之一，具有独特的性质和判定方法。

本文将详细介绍圆的性质和判定方法，以及与圆相关的几个重要定理。

一、圆的性质1. 圆的定义：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。

2. 圆的元素：圆心、半径。

圆心是离圆上任意一点距离相等的点；半径是圆心到圆上任意一点的距离。

3. 圆的直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段称为圆的直径，直径是圆的最长线段。

4. 圆的弦：圆上任意两点之间的线段称为圆的弦。

5. 圆的弧：圆上两个弦所夹的部分称为圆的弧，弧可以看做圆的一部分。

6. 圆的周长：圆的周长是圆上任意一条弧的长度，用C表示，C=2πr，其中r为圆的半径，π为圆周率，约等于3.14159。

7. 圆的面积：圆的面积是圆内部所有点的集合，用S表示，S=πr²。

二、圆的判定方法1. 判定一个点是否在圆上：如果一个点到圆心的距离等于圆的半径，则该点在圆上。

2. 判定一个点是否在圆内部：如果一个点到圆心的距离小于圆的半径，则该点在圆内部。

3. 判定一个点是否在圆外部：如果一个点到圆心的距离大于圆的半径，则该点在圆外部。

4. 判定两个圆是否相交：如果两个圆的圆心距离小于两个圆的半径之和，则两个圆相交。

5. 判定一个点与圆的关系：如果一个点到圆心的距离等于圆的半径，该点在圆上；如果距离小于圆的半径，该点在圆内部；如果距离大于圆的半径，该点在圆外部。

三、重要定理1. 弧长定理：在同一个圆或等圆上，圆心角相等的弧相等；圆心角相等的弧所对的弦相等。

2. 弦切定理：如果一条弦与另一条弦或弧交于圆上的同一点，那么它们的弧所对应的圆心角相等。

3. 切线定理：如果一条直线与圆相切于圆上的一点，那么该直线与半径所构成的夹角等于90度。

4. 正弦定理：在一个圆内三角形中，三条边的长度之间满足正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C 为对应的角。

总结：本文介绍了圆的性质和判定方法，包括圆的定义、元素、直径、弦、弧、周长、面积等。

圆的三大切线定理

圆的三大切线定理
圆的三大切线定理：
第一个定理，就是切线的性质定理，这个定理是很简单的，而且理解不困难，只要记住：”过圆心“，”过切点“和”互相垂直“这三条谁知二推一就够了。

第二个定理，是切线的判定定理，切线的判定是中考中常经常考的内容，切线判定主要有三种方式：定义法、距离法及定理法。

其中最常用的是定理法，其次是距离法，定义法就很少用到了。

这里面，在进行切线判定时，其实只需要记住："有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂直，正半径"就可以了。

也就是说，切线的判定主要就这两种题型，即题目中告诉直线与圆有交点和直线与圆无交点。

第三个定理，是切线长定理。

在这个定理中，同一交点所形成的两条切线长时相等的，并且此交点与圆心的连线是两条切线长的夹角的角平分线，所以说是有一对相等的角的。

在做相应的练习时，同学们要条件反射式的看到切线长，就要知道有两组相等，即线相等及角相等。

圆的三大基本定理

圆的三大基本定理
哎呀呀，同学们，你们知道圆吗？圆可是个超级神奇的图形呢！今天我就来给大家讲讲圆的三大基本定理，保证让你们大开眼界！
先来说说第一个定理——圆心角定理。

这就好比我们玩的击鼓传花游戏，圆心就是那个敲鼓的人，而从圆心出发的那些角，就像是传到不同人手里的花。

假如在同一个圆中，有两个圆心角，一个大，一个小，那它们所对的弧长是不是也不一样呀？那肯定不一样嘛！就像跑得快的同学和跑得慢的同学，跑同样的时间，跑的距离能一样吗？圆心角越大，所对的弧就越长，这是不是很有趣？
再讲讲圆周角定理。

想象一下，圆就像一个大蛋糕，圆周上的角就像是切蛋糕的刀痕。

如果一个角的顶点在圆周上，那它和圆心角之间可有着神秘的关系呢！同弧所对的圆周角是圆心角的一半，这就好像是一个大蛋糕被平均分成了两份，其中一份就是圆周角能吃到的，另一份是圆心角能吃到的。

这难道不神奇吗？
最后说说圆内接四边形定理。

圆内接四边形，就像是在圆这个大家庭里住的四个小伙伴。

它们的对角互补，这就好像是这四个小伙伴，有的喜欢白天活动，有的喜欢晚上活动，刚好互补，多和谐呀！要是不互补，那不就乱套啦？
同学们，圆的这三大基本定理是不是超级有意思？它们就像是打开圆这个神秘世界的三把钥匙。

我们通过它们能更深入地了解圆，发现圆的美妙之处。

以后我们在做数学题的时候，遇到和圆有关的问题，就可以用这三个定理来解决啦！
所以呀，大家一定要把这三个定理牢牢记住，它们可是我们探索圆的世界的好帮手！。