圆的重要定理

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

以及与圆有关的比例线段

【课前测试】

1. PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（）

A. 20

B. 10

C. 5

D.

【知识点回顾】

1.切线长概念

切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

2.切线长定理

对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）

4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段

定理图形已知结论证法

相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交

于P.

PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：

△APC∽△DPB.

相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB

于P.

PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.

切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，

割线PB交⊙O于A

PT2＝PA·PB连结TA、TB，证：

△PTB∽△PAT

切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，

交⊙O于A、C

PA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用

两次切割线定理

圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于

A，CD为弦P'C·P'D＝r2－

OP'2

PA·PB＝OP2－r2

r为⊙O的半径

延长P'O交⊙O于M，延

长OP'交⊙O于N，用相交

弦定理证；过P作切线用

切割线定理勾股定理证

8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数|

|（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

【典型例题】

例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD 于E，求DE：AE的值。

图1 解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE

设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理

∴，，

例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。

图2

解：由相交弦定理，得

AE·BE＝CE·DE

∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，

，

∴，

即

∴CE＝3cm或CE＝4cm。

故应填3或4。

点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。

例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则________。

解：∵∠P＝∠P

∠PAC＝∠B，

∴△PAC∽△PBA，

∴，

∴。

又∵PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得

∴，

即，

故应填PC。

点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。

【课间谜语】

经典谜语1：生在娘家青之绿叶，生在婆家黄皮寡瘦。

不提便罢，一提泪水连连。

经典谜语2：溪壑分离，红尘游戏，真何趣？名利犹虚，后事终难继。

例4.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。

解：∵PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，且PA：PB＝1：4

∴PB＝4PA

又∵PC＝12cm

由切割线定理，得

∴

∴，

∴

∴PB＝4×6＝24（cm）

∴AB＝24－6＝18（cm）

设圆心O到AB距离为d cm，

由勾股定理，得

故应填。

例5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证：；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。

点悟：要证，即要证△CED∽△CBE。

证明：（1）连结BE

（2）

。

又∵，

∴厘米。

点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。

例6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。

图5

求证：

证明：连结BD，

∵AE切⊙O于A，

∴∠EAD＝∠ABD

∵AE⊥AB，又AB∥CD，

∴AE⊥CD

∵AB为⊙O的直径

∴∠ADB＝90°

∴∠E＝∠ADB＝90°

∴△ADE∽△BAD

∴

∴

∵CD∥AB

∴AD＝BC，∴

例7.如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。求证：AD·BC＝CD·AB

图6

点悟：由结论A D·BC＝CD·AB得，显然要证△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC

证明：∵PA切⊙O于A，

∴∠PAD＝∠PBA

又∠APD＝∠BPA，

∴△PAD∽△PBA

∴

同理可证△PCD∽△PBC

∴

∵PA、PC分别切⊙O于A、C

∴PA＝PC

∴

∴AD·BC＝DC·AB

例8.如图7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D点作⊙O的切线交