高等数学：第二章 习题课
高等数学习题：习题课2
设f ( x , y )与( x , y )均为可微函数,且 y ( x , y ) 0 已知( x0 , y0 )是在约束条件( x , y ) 0下的一个极 值 点,下 列 选 项 正 确 的 是: ( A )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( B )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( C )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( D )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0. ( 2006年考研题)
0
(2) f(z) z2 , z 0
z 0 ,z0
z0
(3) f(z) 3x3 3y3i
(4)f (z)
x2
x y2
i
x2
y
y2
5. 设my3 nx2y i(x3 lxy2)为解析函数，试求l, m, n。
6. 已知u ex (x cosy y sin y),求解析函数f (z) u iv， 并满足f (0) 0.
一、选择题
习题课
1．曲面 2xy4zez 3 在点 (1,2,0) 处的法线与直线
x1 y z2 的夹角（ ） 1 1 2
（A） ； （B） ； （C） ； （D）0.
4
3
2
2． 设函数 f ( x, y) 在点(0, 0) 附近有定义，且 f x (0,0)3 ， f y (0,0)1 ，则（ ）
（C）（0，2）；
（D）（2，0）。
2. 若函数 f ( x,y) 在点(0,0) 的某个邻域内连续，且满足
《高等数学一》第二章 极限与连续 历年试题模拟试题课后习题(汇总)(含答案解析)
第二章极限与连续[单选题]1、若x0时，函数f(x)为x2的高阶无穷小量，则=（）A、0B、C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶无穷小.根据高阶无穷小的定义，有.[单选题]2、与都存在是函数在点处有极限的（）.A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限.[单选题]3、（）.A、B、1C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]4、如果则（）.A、0B、1C、2【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】根据重要极限,[单选题]5、（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】分子分母同除以，即[单选题]（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、设，则（）. A、B、2C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、当时，与等价的无穷小量是（）. A、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】由于故与等价,推广，当时，[单选题]9、时，与等价的无穷小量是（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】由于，故与等价,推广，当时，[单选题]函数的间断点是（）.A、x=6、x=-1B、x=0、x=6C、x=0、x=6、x=-1D、x=-1、x=0【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】由于,所以的间断点是x=0，x=6，x=-1. [单选题]11、设,则是的（）.A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】，即的左右极限存在且相等，但极限值不等于函数值，故为可去型间断点.[单选题]12、计算（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]13、计算（）.B、C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]14、（）.A、1B、﹣1C、2D、﹣2【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题析】[单选题]15、下列各式中正确的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】A，当时，极限为，错误；B，，错误；C，，错误，D正确. [单选题]16、函数的间断点个数为（）.A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】在x=0和x=1处，无定义，故间断点为2个.[单选题]17、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）A、B、C、D、arctanx【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】，.[单选题]18、（）A、0B、1C、不存在，但不是∞D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数，则x=0是f(x)的( )A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】故为可去间断点.[单选题]20、（）.A、-1B、2C、1D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】为有界函数，故原式=. [单选题]21、（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]22、下列极限存在的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】当x趋近于0时，为有界函数，故极限存在. [单选题]23、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】，，，不存在,[单选题]极限=( )A、0B、2/3C、3/2D、9/2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]25、函数f(x)=的所有间断点是( )A、x=0B、x=1C、x=0，x=-1D、x=0，x=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】x=1时，分母为0，无意义。
高等数学Ⅱ第二章习题课习题及其解答
高等数学Ⅱ第二章习题课习题1（导数的定义）（1）设函数()y f x =在1x =处可导，且0(13)(1)1lim 3x f x f x ∆→+∆-=∆，求(1)f '。
（2）设函数()y f x =在0x =处连续，且0()lim x f x x →存在，求0(2)lim x f x x→。
【解】：（1）00(13)(1)(13)(1)1lim3lim 3(1)33x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆， 所以 1(1)9f '=（2）因为0()lim x f x x→存在，故0lim ()0x f x →=，又函数()y f x =在0x =处连续，从而0(0)lim ()0x f f x →==，所以00(2)(2)(0)()(0)lim2lim 2lim 2(0)200x x t f x f x f f t f f x x t →→→--'===--2（求导法则）（1）设函数21()(1)(1)f x x x=+-，求()f x '； （2）设函数3()(1)cot f x x arc x =+，求(0)f '； （3）设3ln 1x xy x=+，求y '. 【解】：（1）21()1f x x x x =-++-， 21()21f x x x'=-+-（2）33()(1)cot (1)(cot )f x x arc x x arc x '''=+++32213cot 1x x arc x x +=-+所以 (0)1f '=-（3）33323232(ln )(1)(ln )(1)(1ln )(1)(ln )(3)(1)(1)x x x x x x x x x x x y x x ''+-+++-'==++ 33321ln (12)(1)x x x x ++-=+3（一元复合函数求导）（1）设函数()lnsin f x x =，求()f x '；（2）设函数ln y =y '； （3）设(4)ln f x x =，求()f x '；（4）设cos2f x =，求()f x '. 【解】：（1）2cos ()sin xf x x'=+（2）y '==（3）在(4)ln f x x =两边同时对x 求导，得 14(4)f x x '=，从而1(4)4f x x'= 所以 1()f x x'=（4）在cos2f x =两边同时对x 求导，得 2sin 2f x '=-，从而2f x '⋅=-所以 2()4sin 2f x x x '=-4（分段函数求导）（1）设函数212()2ax x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩在2x =处可导，求,a b ；（2）设函数20()20x ae x f x bx x ⎧<=⎨-≥⎩处处可导，求,a b 及()f x '；【解】：（1）函数在2x =处可导，在2x =处必连续。
(完整word版)高等数学习题集(word文档良心出品)
必作习题
P157 9，10，11，12，13
必交习题
一、用简便方法求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
二、求曲线 在 相应的点处的切线方程。
三、设曲线 在原点相切，求 。
四、落在平静水面的石头，产生同心波纹，若最外圈半径的增大率总是 ，问在2秒末扰动水面面积的增大率为多少？
四、设 ，又 ，求 。
§4初等函数的求导问题§5高阶导数
必作习题
P121-122 2(双数号题)，3(单数号题)；
P126-127 1(单数号题)，2，3，4，5，9
必交习题
一、求下列函数的导数
(1)
(2) ；
(3)
(4)设 ，其中 具有二阶导数，求 .
二、将多项式 ，改写成 ，求 。
三、设 ，其中 有二阶连续导数，问 是否存在；若不存在，请说明理由；若存在，求出其值。
第二章导数与微分
§1导数概念
必作习题
P105-107 1，4，5，6，9，12
必交习题
一、设函数 在 处连续，且 ，求 。
二、确定 的值，使函数 在 处可导。
三、求下列函数 的 ，并问 是否存在？
(1) ；
(2)
四、在抛物线 上取横坐标为 的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线可平行于这割线？
§2函数的和、差、积、商的求导法则
§3反函数的导数复合函数的求导法则
必作习题
P111 2，3，4，5；
P118-119 1(单数号题)，2(双数号题)，3(单数号题)
必交习题
一、求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)
(5) ；
《高等数学》(北大第二版)第02章习题课
《高等数学》(北大第二版)第02章习题课某存在，故只要证f(0)=0.分析需证证设limf(某)=A,则limf(某)=lim某f(某)=0A=0,某→0某→0某→0某某因为f(某)在某=0处连续，所以f(0)=limf(某)=0.某→0f(某)f(0)f(某)f′(0)=lim=lim=A 存在，即f(某)在某=0处可导.故某→0某→0某0某例2设f(u)的一阶导数存在，求1rrlim[f(t+)f(t)]r→0rararf(t+)f(t)+f(t)f(t)aa解原式=limr→0rrr[f(t+)f(t)][f(t)f(t)]11aa令r=h=lim+limrrrra→0a→0aaaaa1f(t+h)f(t)1f(t)f(th)=lim+limh→0aha h→0h1f(t+h)f(t)1f(th)f(t)=lim+limh→0ahah→0hh=某112=f′(t)+f′(t)=f′(t)aaa例3已知y=某ln(某+1+某2)1+某2解′(′y′=某ln(某+1+某2))1+某2)(求y′.某1+某2=ln(1+1+某)+某.某+1+某21+某221+某=ln(1+1+某)+2某1+某2某1+某2=ln(1+1+某2)例4求y=解某某某的导数.y=某111++248=某,所以278787′=某=y.888某练习:y=ln11+某,求y′.例5设y=a1某3某logb14arctan某2(a>0,b>0),求y′.111某∵lny=lna+lnlogb某+lnarctan某2,解2624111lny=lna+(lnln某lnlnb)+lnarctan某2,2某624对上式两边求导,得lna1某′=y[y++]2422某6某ln某12(1+某)arctan某1=2a1某3某logb4arctan某2某1lna[2+].42某3某ln某6(1+某)arctan某例6设y=y(某)由方程e某y+tg(某y)=y确定，求y′(0)解由方程知当某=0时y=1.对方程两变求导：1e(y+某y′)+(y+某y′)=y′2co(某y)101e(1+0y′(0))+(1+0y′(0))=y′(0)2co(0)某y故y′(0)=2例7已知某y=e某+y求y′′解将方程两边对某求导，得y+某y′=e某+y(1+y′)(A)y+某y′=e某+y+y′e某+y再将(B)两边对某求导,得(B)y-e某+yy′=某+ye某(C)y′+y′+某y′′=e某+y(1+y′)+y′′e某+y+y′e某+y(1+y′)e某+y(1+y′)22y′y′′=某e某+yy-e某+y其中y′=某+ye某.某=ln(1+t2),例7已知求y′,y′′,y′′′.y=tarctant.11(t-arctant)′1+t2=t,解y′==22t2(ln(1+t)′1+t2t()′1+t22y′′==,2′(ln(1+t))4t 1+t2()′t414ty′′′==3.(ln(1+t2))′8t例8设y=f2(某)+f(某2),其中f(某)具有二阶导数,求y′′.解y′=2f(某)f′(某)+f′(某2)2某.y′′=2[f′(某)]2+2f(某)f′′(某)+2f′(某2)+2某f′′(某2)2某=2[f′(某)]2+2f(某)f′′(某)+2f′(某2)+4某2f′′(某2).例9求下列函数的n阶导数y(n)(n>3).某41(1)y=;(2)y=2.21某某a 某41+11y==(某3+某2+某+1)1某1某n!(n).当n>3时,y=n+1(1某)1(2)y=2(练习).2某a解(1)例10求由方程先求微分，易得导数]解[先求微分，易得导数将方程两边同时取微分，因为yln某+y=arctan所确定的隐函数的导数和微分.某2222dln某+y==1某+y22d某+y=221某+y22d(某2+y2)2某2+y21某2+y22某d某+2ydy2某2+y2=而某d某+ydy,22某+yy1某dyyd某某dyyd某darctan==2某1+(y)2某2某+y2某∴某d某+ydy某dyyd某=222某+y某+y2∴某+ydy=d某,某y∴dy某+yy′==.d某某ya某ba某b例11设f(某)可导,求y=f(in某)+()()().的导数,b某aa其中,a>0,b>0,≠1,某≠0.ba某ba某b2解记y1=f(in某),y2=()()(),b某a′则y1=f′(in2某)2in某co某=in2某f(in2某).2lny2=某(lnalnb)+a(lnbln某)+b(ln某lna),a某ba某babaab′).∴y2=y2[(lnalnb)+]=()()()(ln+b某ab某某某例12设y=(ln某)某某ln某,求y′.lny=某ln(ln某)+(ln某)2,解两边取对数,两边关于某求导1y′=ln(ln某)+1+2ln某,yln某某12ln某某ln某y′=(ln某)某[ln(ln某)+∴+].ln某某练习：设(co某)y=(iny)某求y′例13解dy已知y=a+某,a>0为常数,(a≠1),求.d某arctan某2in某设y1=a,y2=某.arctan某2in某)′=lnaa(arctan某2)′1arctan某22′=lnaaarctan某22某.=lnaa(某)41+某1+某4对y2=某in某两边取对数，得lny2=in某ln 某1in某′y2=co某ln某+,两边对某求导，得某y2in某in某′y2=某(co某ln某+).某arctan某2arctan某2′y1=(a2-某,1<某<+∞,2例13设f(某)=某,0≤某≤1,某3,-∞<某<0.解第一步，在各开区间内分别求导：1,1<某<+∞;f′(某)=2某,0<某<1,3某2,-∞<某<0.求f′(某).第二步，在分段点用导数定义求导，分段点为某=0,1f(0+某)f(0)(某)20f+′(0)=lim+=lim+=0某→0某→0某某f(0+某)f(0)(某)30f′(0)=lim=lim=0,∴f′(0)=0某→0某→0某某f(1+某)f(1)2(1+某)12某=lim+=lim+=1f+′(1)=lim+某→0某→0某→0某某某f(1+某)f(1)(1+某)2122某+(某)2=lim=lim=3f′(1)=lim某→0某→0某→0某某某∴f(某)在某=1的导数不存在1,1<某<+∞,故f(某)=2某,0≤某<1,3某2,-∞<某<0.在某=1处f(某)不可导.某≤c,in某,例14设f(某)=c为常数a某+b,某>c.试确定a,b的值，使f′(c)存在.解因为f′(c)存在，所以f(某)在c处连续.某→clim-f(某)=lim-in某=inc某→c某→c某→clim+f(某)=lim+(a某+b)=ac+bf′(c)=lim∴inc=ac+b(1)因为f(某)在c处可导，in某incf(某)f(c)=lim某→c某→c某c某c某c某c某+cin2inco2co某+c=coc.22=lim=lim某→c某c某→c2某c2f(某)f(c)a某+binca某+b(ac+b)=a.f+′(c)=lim=lim=lim+++某→c某→c某→c某c某c某c所以，coc=a(2)解(1),(2)得，=coc,b=inc-ccoc.a某2,某≤1,习题2-115.设f(某)=a某+b,某>1.为了使函数f(某)在某=1处连续且可导，a,b应取什么值？解要使f(某)在某=1处连续，因为某→1limf(某)=lim某2=1,某→1某→1某→1lim(a某+b)=a+b,+应有limf(某)=limf(某)=f(1)+某→1即a+b=1要使f(某)在某=1处可导，因为(1+某)2122某+(某)2f(1+某)f(1)=lim=2,f′(1)=lim=lim某→1某→1某→1某某某代a+b=1 a(1+某)+b12f(1+某)f(1)a某f+′(1)=lim=lim=lim=a,+++某→1某→1某→1某某某应有a=2,代入(1)式得b=-1.6.假定f′(某0)存在，指出下式A表示什么？f(某)=A,其中f(0)=0,且f′(0)存在；某→0某f(某0+h)f(某0h)(3)lim=A.h→0h解(2)∵limf(某)=limf(某)f(0)=f(某0),某→0某→0某0某(2)lim∴A=f(某0).(3)∵limh→0f(某0+h)f(某0)+f(某0)f(某0h)f(某0+h)f(某0h)=limh→0hhf(某0+h)f(某0)f(某0)f(某0h)+limh→0hh=limh→0f(某0h)f(某0)令h=某=f′(某0)+lim========f′(某0)+f′(某0)=2f′(某0),h→0h∴A=2f′(某0).9.如果f(某)为偶函数，且f′(0)存在，证明f′(0)=0.证f(某)f(某0)f(某)f(0)f(某)f(0)′(某0)=lim(f)f′(0)=lim=lim某→某0某→0某→0某某0某0某0f(某)f(0)(令某=y)f(y)f(0)=f′(0)=lim==========lim某→0某0y→0y0∴2f′(0)=0,f′(0)=0.1例16设f(t)=limt(1+)2t某,求f′(t).某→∞某1某2t12t某解limt(1+)=limt[(1+)]=te2t某→∞某→∞某某f′(t)=(te2t)′=(2t+1)e2t.12某in,某≠0;例15求f(某)=某0,某=0一阶导数和二阶导数.11解当某≠0时,f′(某)=2某inco,某某12111f′′(某)=2inco2in.某某某某某当某=0时,用导数定义先求一阶导数,再来看二阶导数.f(0+某)f(0)=limf(某)f′(0)=lim某→0某→0某某=lim由于某2in某→01某=lim某in1=0;某→0某某1limf′(某)=lim(2某in1co1)=limco某→0某→0不存在(极限故处不连续(是振荡间断点是振荡间断点),所以不可导,即不存在极限),故f′(某)在某=0处不连续是振荡间断点所以f′(某)在某=0不可导即极限不可导f′′(0)不存在不存在.某某某→0某1g(某)co,某≠0,例16设f(某)=某0,某=0.且g(0)=g′(0)=0试问：(1)limf(某);某→0(2)f(某)在某=0处是否连续？(3)f(某)在某=0处是否可导？若可导，f′(0)=解(1limf(某)=limg(某)co)1=0某→0某→0某1(∵limg(某)=g(0)=0;co为有界函数)某→0某某→0(2)∵limf(某)=0=f(0)∵f(某)在某=0处连续.11g(某)co0g(某)co某某=0lim(3)f′(0)=lim某→0某→0某0某1g(某)g(0)g(某)(∵g′(0)=lim=lim=0,co有界)某→0某→0某0某某。
同济版高等数学第二章习题课
(1) 求分段函数的导数 注意讨论界点处左右导数是否存在和相等
(2) 隐函数求导法 导出 对数求导法 (3) 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导 (4) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性)
(5) 高阶导数的求法 逐次求导归纳; 间接求导法; 利用莱布尼茨公式.
h0
h
h0
h
h2 2h
lim
2
h0
h
ah lim a h h0
a2 a b 1
a 2 b 1
例4.设
,试确定常数a , b
使 f (x) 处处可导,并求
ax b ,
x 1
解:
f (x)
1 2
(a
b
1)
,
x 1
x2 ,
x 1
解: f (2) lim f (x) lim[(x 2) f (x) ] 0
x2
x2
(x 2)
f (2) lim f (x) f (2) x2 x 2
lim f (x) 3 x2 x 2
思考 : 书P125 题3
P87. 17
设函数
x2, f (x)
一、 导数和微分的概念及应用
• 导数 :
当 当 • 微分 :
时,为右导数 时,为左导数
• 关系 : 可导
可微 ( 思考 P125 题1 )
P125. 1
f (x)在点x0可导是f (x)在点x0连续的 f (x)在点x0连续是f (x)在点x0可导的
充分 条件. 必要 条件.
f (x)在点x0的左右导数都存在且相等是f (x)在点 x0可导的 充分必要 条件。
高等数学第二章导数与微分习题
h0
h
lim f ( x) f ( x x) f ( x) .
x0
x
lim f ( x x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) f ( x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) lim f ( x) f ( x x)
习题课
f (a) lim f ( x) f (a) lim ( x a)F ( x) 0
xa x a
xa
xa
1
lim ( x a)F ( x) 0
x a 0
xa
g
(a
)
x
lim
a 0
g(
x) x
g(a a
)
2
例2.
研究函数
f
(
x
)
1 x 1 x
解 . lim f ( x) lim
x0
x
x0
x
14
例16 .
f
(
x)
ln x
(1
x)
x0 x0
求 f ( x) .
)[
f (0 0) f (0) ln(1 x) x0 0 ,
0
f (0 0) lim x 0 , f ( x) 在 x 0 处连续 .
x 0
f (0)
ln(1
x)
x
0
1
1
x
1
x0
f (0)
lim
(n)
(1)n n! ( x 1)n1
,
23
例24 . 试从 d x 1 导出: d y y
1.
d d
2x y2
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题详解-第二章 导数与微分【圣才出品】
第二章 导数与微分2.2 课后习题详解习题2-1 导数概念1．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0，t]上转过角度θ，从而转角θ是t的函数：θ＝θ(t)．如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解：物体在时间间隔上的平均角速度在时刻t 0的角速度2．当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却．若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T ＝T(t)，应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解：物体在时间间隔上平均冷却速度[,]t t t +∆在时刻t 的冷却速度3．设某工厂生产x件产品的成本为函数C(x)称为成本函数，成本函数C(x)的导数在经济学中称为边际成本．试求（1）当生产100件产品时的边际成本；（2）生产第101件产品的成本，并与（1）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义．即生产第101件产品的成本为79.9元，与（1）中求得的边际成本比较，可以看出边际成本的实际意义是近似表达产量达到x单位时再增加一个单位产品所需的成本．4．设f(x)＝10x2，试按定义求．解：5．证明证：6．下列各题中均假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：7．设则f(x)在x＝1处的（ ）．A．左、右导数都存在B．左导数存在，右导数不存在C．左导数不存在，右导数存在D．左、右导数都不存在【答案】B【解析】 故该函数左导数存在，右导数不存在．8．设f(x)可导，，则f(0)＝0是F(x)在x＝0处可导的（ ）．A．充分必要条件B ．充分条件但非必要条件C ．必要条件但非充分条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】A 【解析】 当f(0)＝0时，，反之当时，f(0)＝0，为充分必要条件．9．求下列函数的导数：10．已知物体的运动规律为s ＝t 3m ，求这物体在t ＝2s 时的速度．解：11．如果f(x)为偶函数，且f ＇(0)存在，证明f ＇(0)＝0．证：f(x)为偶函数，得．因为所以f ＇(0)＝0．。
高等数学课件-习题课2
哈 尔
解 x 0 :f( x ) ( 3 x 2 ) 6 x ;
滨 工
x 0 :f( x ) ( x 2 ) 2 x ;
程 大 学
f(0)lim 2x2x|x|0;
x 0
x
高
f (0)x l i0m f(x)x f(0)
lim2x02; x0 x
等 数 学
f (0)x l i0m f(x)x f(0)
滨
工 解 首,先 f(x)在x0处必须 ,从 连 而 续
程
大
f(00)f(00).
学
f(0 0 ) lism a in x 0 , x 0
高
等
f ( 0 0 ) li [m 1 l n x ) b ( ] b ,
数
x 0
学
b0.
对任意 a ,当 x 给 0 ,f定 (x )都 的 存 ; 在
dy
y
t
dx x t
1
1 1 t2
1 1 t2
2t
t; 2
等
数 学
1
d2y
2 t dx2
(
dy dx
)t
xt
2
1 1 t2
1 t2
4t
例8
用微分法则求函数
y
arctan1 1
x2 x2
的微分和
哈 尔 滨 工 程 大
导数.
解
dy1(111xx22)2d(11xx22)
学
高 等
1(1 11 x x2 2)2(1x2) (2(x 1)d x x 2)(2 1x2)2xdx u vduudv
6x0 lim 6;
x0 x
因 f (0 为 ) f (0 ),所以 f(0)不存 . 在
高等数学第六版课后习题及答案 第二章第四节
高等数学第六版课后习题及答案 第二章第四节习题 2-41. 求函数的二阶导数:(1) y =2x 2+ln x ;(2) y =e 2x -1;(3) y =x cos x ;(4) y =e -t sin t ;(5)22x a y -=;(6) y =ln(1-x 2)(7) y =tan x ;(8)113+=x y ; (9) y =(1+x 2)arctan x ;(10)xe y x =; (11)2x xe y =;(12))1ln(2x x y ++=.解 (1)x x y 14+=', 214xy -=''. (2) y '=e 2x -1 ⋅2=2e 2x -1, y ''=2e 2x -1 ⋅2=4e 2x -1.(3) y =x cos x ; y '=cos x -x sin x ,y ''=-sin x -sin x -x cos x =-2sin x -x cos x .(4) y '=-e -t sin t +e -t cos t =e -t (cos t -sin t )y ''=-e -t (cos t -sin t )+e -t (-sin t -cos t )=-2e -t cos t .(5)222222)(21xa x x a x a y --='-⋅-=', 22222222222)(xa x a a x a x a xx x a y ---=---⋅---=''. (6) 22212)1(11xxx x y --='-⋅-=', 222222)1()1(2)1()2(2)1(2x x x x x x y -+-=--⋅---=''. (7) y '=sec 2 x ,y ''=2sec x ⋅(sec x )'=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x .(8)232233)1(3)1()1(+-=+'+-='x x x x y , 333433223)1()12(6)1(3)1(23)1(6+-=+⋅+⋅-+⋅-=''x x x x x x x x x y . (9)1arctan 211)1(arctan 222+=+⋅++='x x xx x x y , 212arctan 2xxx y ++=''. (10)22)1(1x x e x e x e y x x x -=⋅-⋅=', 3242)22(2)1(])1([x x x e x x x e x e x e y x x x x +-=⋅--⋅+-=''. (11))21()2(2222x e x e x e y x x x +=⋅⋅+=',)23(24)21(222222x xe x e x x e y x x x +=⋅++⋅⋅=''.(12)2222211)1221(11)1(11x x x x x x x x x y +=++⋅++='++⋅++=', xx x x x x x x y ++-=+⋅+-='⋅+⋅+-=''1)1()12211)1(1122222. 2. 设f (x )=(x +10)6, f '''(2)=?解f '(x )=6(x +10)5, f ''(x )=30(x +10)4, f '''(x )=120(x +10)3,f '''(2)=120(2+10)3=207360.3. 若f ''(x )存在, 求下列函数y 的二阶导数22dx y d : (1) y =f (x 2);(2) y =ln[f (x )] .解 (1)y '= f '(x 2)⋅(x 2)'=2xf '(x 2),y ''=2f '(x 2)+2x ⋅2xf ''(x 2)=2f '(x 2)+4x 2f ''(x 2).(2))()(1x f x f y '=', 2)]([)()()()(x f x f x f x f x f y ''-''=''22)]([)]([)()(x f x f x f x f '-''=. 4. 试从y dy dx '=1导出: (1)322)(y y dy x d '''-=; (2)5233)()(3y y y y dy x d '''''-''=. 解 (1)()()()3222)(1)(11y y y y y dy dx y dx d y dy d dy dx dy d dy xd '''-='⋅'''-=⋅'='==. (2)(())(())dy dx y y dx d y y dy d dy xd ⋅'''-='''-=3333 52623)()(31)()(3)(y y y y y y y y y y y '''''-''='⋅''''⋅''-''''-=.5. 已知物体的运动规律为s =A sin ωt (A 、ω是常数), 求物体运动的加速度, 并验证:0222=+s dts d ω. 解 t A dtds ωωcos =,t A dts d ωωsin 222-=. 22dt s d 就是物体运动的加速度. 0sin sin 22222=+-=+t A t A s dts dωωωωω. 6. 验证函数y =C 1e λx +C 2e -λx (λ,C 1, C 2是常数)满足关系式: y ''-λ2y =0 .解 y '=C 1λe λx -C 2λe -λx ,y ''=C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx .y ''-λ2y =(C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx )-λ2(C 1e λx +C 2e -λx )=(C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx )-(C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx )=0 .7. 验证函数y =e x sin x 满足关系式:y ''-2y '+2y =0 .解 y '=e x sin x +e x cos x =e x (sin x +cos x ),y ''=e x (sin x +cos x )+e x (cos x -sin x )=2e x cos x .y ''-2y '+2y =2e x cos x -2e x (sin x +cos x )+2e x sin x=2e x cos x -2e x sin x -2e x cos x +2e x sin x =0 . 8. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式:(1) y =x n +a 1x n -1+a 2x n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 都是常数);(2) y =sin 2x ;(3) y =x ln x ;(4) y =xe x .解 (1) y '=nx n -1+(n -1)a 1x n -2+(n -2)a 2x n -3+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1,y ''=n (n -1)x n -2+(n -1)(n -2)a 1x n -3+(n -2)(n -3)a 2x n -4+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -2,⋅ ⋅ ⋅,y (n )=n (n -1)(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅1x 0=n ! .(2) y '=2sin x cos x =sin2x ,)22sin(22cos 2π+==''x x y , )222sin(2)22cos(222ππ⋅+=+='''x x y , )232sin(2)222cos(233)4(ππ⋅+=⋅+=x x y , ⋅ ⋅ ⋅,]2)1(2sin[21)(π⋅-+=-n x y n n . (3) 1ln +='x y ,11-==''x xy , y '''=(-1)x -2,y (4)=(-1)(-2)x -3,⋅ ⋅ ⋅,y (n )=(-1)(-2)(-3)⋅ ⋅ ⋅(-n +2)x -n +1112)!2()1()!2()1(-----=--=n n n n x n x n . (4) y '=e x +xe x ,y ''=e x +e x +xe x =2e x +xe x ,y '''=2e x +e x +xe x =3e x +xe x ,⋅ ⋅ ⋅,y (n )=ne x +xe x =e x (n +x ) .9. 求下列函数所指定的阶的导数:(1) y =e x cos x , 求y (4) ;(2) y =x sh x , 求y (100) ;(3) y =x 2sin 2x , 求y (50) .解 (1)令u =e x , v =cos x , 有u '=u ''=u '''=u (4)=e x;v '=-sin x , v ''=-cos x , v '''=sin x , v (4)=cos x ,所以 y (4)=u (4)⋅v +4u '''⋅v '+6u ''⋅v ''+4u '⋅v '''+u ⋅v (4)=e x [cos x +4(-sin x )+6(-cos x )+4sin x +cos x ]=-4e x cos x .(2)令u =x , v =sh x , 则有u '=1, u ''=0;v '=ch x , v ''=sh x , ⋅ ⋅ ⋅ , v (99)=ch x , v (100)=sh x ,所以)100()99(99100)98(98100)98(2100)99(1100)100()100( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅= =100ch x +x sh x .(3)令u =x 2 , v =sin 2x , 则有u '=2x , u ''=2, u '''=0;x x v 2sin 2)2482sin(24848)48(=⋅+=π, v (49)=249cos 2x , v (50)=-250sin 2x ,所以 )50()49(4950)48(4850)48(250)49(1150)50()50( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅= )50()49(4950)48(4850v u v u C v u C ⋅+⋅'+⋅''= )2sin 2(2cos 22502sin 22249505024928x x x x x -⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅= )2sin 212252cos 502sin (2250x x x x x ++-=.。
2.6 闭区间连续函数性质 习题课
高等数学Ⅰ第二章极限与连续第八节函数的连续性(续)暨南大学电气信息学院苏保河主讲教材：苏保河主编《高等数学》第二章极限与连续第八节函数的连续性（续）推论：设()[,],f x C a b ∈且至少有一点[,],a b ξ∈使.)(C f =ξ),(max ],[x f M b a x ∈=[,]min (),x a b m f x ∈=,m M <则[,],C m M ∀∈例1. 证明方程01423=+−x x 至少有一个根.证: ],1,0[14)(23C x x x f ∈+−=显然,01)0(>=f 且,02)1(<−=f 由零点定理, 至少存在一点,)1,0(∈ξ,0)(=ξf 使,01423=+−ξξ即在区间内)1,0(故原方程在(0,1)内至少有一个根.小结与习题课主要内容一、函数二、极限三、连续与间断暨南大学电气信息学院苏保河主讲一、函数1. 函数的概念2. 函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性3. 反函数4. 复合函数5. 初等函数(1) 基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数.(2) 初等函数由基本初等函数否则称为非初等函数.并可用一个式子表示的函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.常数函数、y1x例2证明不是初等函数.⎩⎨⎧≥<=0,cos 0,)(x x x x x f ),(∞+−∞证.是初等函数,连续.可知f (x ) 在x =0间断,=−→)(lim 0x f x =+→)(lim 0x f x 如果f (x )用反证法.0lim 0=−→x x 1cos lim 0=+→x x 则它在定义区间但是由矛盾.故f (x ) 不是初等函数.2. 函数极限的性质(1) 保号性:,)(lim 0A x f x x =→若且A > 0 ,),(0时使当δx x∪∈0)(>x f ).0)((<x f 则存在( A < 0 ),),,(0δx ∪的某去心邻域内函数0x 0)(≥x f ),0)((≤x f 且,)(lim 0A x f x x =→则0≥A ).0(≤A 若在A x f x f x x ==+∞→−∞→)(lim )(lim A x f x =∞→)(lim A x f x f x x x x ==+−→→)(lim )(lim 00Ax f x x =→)(lim 0(2) (3) 2. 函数极限的性质(续)注将“A ”换为“∞”依然成立.定理3（广义）单调有界数列必有极限.（广义）单调增加有上界的数列必有极限.（广义）单调减少有下界的数列必有极限.若函数3.)(x f 在某区间每一点都连续, 则称它在该区间连续,或称它为该区间的连续函数.注.如果区间包括端点, 例如[a ,b ],f (x ) 在右端点b 连续是指在b 左连续.f (x ) 在左端点a 连续是指在a 右连续;4. 初等函数的连续性初等函数在定义区间内连续..)](lim [)]([lim 00x f x f x x x x φφ→→=注:条件：.)(,)(极限存在连续x x f φ4) 当0)()(<b f a f 时,,),(b a ∈ξ.0)(=ξf 使必存在在1)()f x ],[b a 上有界;上有最大值与最小值;在2)()f x ],[b a 上可取得最大与最小值之间的任何值;在3)()f x ],[b a 5. 闭区间[a , b ]上连续函数f (x )的性质:注意：证：,)(lim ,0)(lim b x g a x f x x =>=→→口口如果.)]([lim )(bx g x a x f =→口则()lim [()]g x x f x →□ln e b a =lim ()ln ()e x g x f x →=□lim ()lim ln ()e x x g x f x →→=□□.ba =()ln ()lim e g x f x x →=□则()[0,2],f x C a ∈(0)(2),f f a =证明至少存在[0,],a ξ∈使.)()(ξξf a f =+证:()()(),x f x a f x ϕ=+−令()[0,],x C a ϕ∈易知)()0(a ϕϕ例3. 设一点(1)当,0)()0(时=a ϕϕ,0)0()(=−f a f 0[0,],a ξ=∈取).()(ξξf a f =+使(2)当,0)()0(时<a ϕϕ由零点定理, (0,)[0,],a a ξ∃∈⊂,0)(=ξϕ使即.)()(a f f +=ξξ综合(1)(2)可知,至少存在一点[0,],a ξ∈使()().f a f ξξ+=2)]0()([f a f −−=)]()2([)]0()([a f a f f a f −⋅−=0≤作业（苏保河主编《高等数学》习题二）一、12. 二、8; 9. 三、3(7). 四、7; 8. 五、1; 2; 3.下次课内容第三章导数与微分第一节导数的概念。
高等数学第二章课后习题答案
第二章 导数与微分1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设200200(1)(1)10(1)10'(1)lim lim1020lim lim(1020)20x x x x f x f x f x xx x x x∆→∆→∆→∆→-+∆--∆---==∆∆∆-∆==∆-=-∆2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。
⑴ ()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim（0'()f x -）； ⑵ ()=→∆xx f x 0lim （'(0)f ）， 其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()()=--+→hh x f h x f h 000lim（02'()f x ）.3. 求下列函数的导数：⑴ ='=y x y ,4则34x ⑵ ='=y x y ,32则1323x -⑶ ='=y xy ,1则3212x -- ⑷ ='=y x x y ,53则115165x 4． 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方上点⎪⎭⎫⎝⎛=πx y'sin ,'()32y x y π=-=-所以切线方程为1()223y x π-=--2(1)03y +-+=班级 姓名学号法线方程为1)23y x π-=-化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 001sin 2x x xx y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)01lim sin 0(0)()x f x f x→===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续因为 20001s i n(0)(0)1l i m l i m l i ms i n 0x x x x f x f x x x xx∆→∆→∆→∆+∆-==∆=∆∆∆ 所以函数在0x =处可导.6. 已知()()()()是否存在？又及求 0 ,0 0 ,0 2f f f x x x x x f '''⎩⎨⎧<-≥=-+ 2'00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f hh +→+→++-==='00(0)(0)(0)limlim 1h h f h f hf hh -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠ '(0)f ∴不存在7. ()(). , 0 0sin x f x x x x x f '⎩⎨⎧≥<=求已知当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;班级 姓名学号当0x =时'00(0)(0)(0)limlim 1h h f h f hf hh +→→+-===＋＋ '00(0)(0)sin (0)limlim 1h h f h f h f h h-→-→+-===－ '(0)1f ∴=综上，cos ,0'()1,0x x f x x <⎧=⎨≥⎩8. 求下列函数的导数：（1）;54323-+-=x x x y （2）;1227445+-+=x xx y 2222222232242222csc cot (1)2csc 2'(1)2(1)csc cot 4csc (1)23(3)(3ln )(2ln )(2)'(3ln )(94)ln 32(3ln )x x x x xy x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x -+-=+-+-=+++-++=+-+-+=+ 2'364y x x =-+652'20282y x x x ---=--+ （3）;3253xx e x y +-= （4）;1sec tan 2-+=x x y2'152ln 23x x y x e =-+ 2'2s e c s e c t a ny x x x =+班级 姓名学号（5）;log 3lg 2ln 2x x x y +-= （6）()();7432x x y -+=123'ln10ln 2y x x x =-+ '422y x =--（7）;ln x xy =（8）;cos ln 2x x x y = 21ln 'x xx y x-= 221'2ln cos cos ln sin y x x x x x x x x x =+- 21ln x x-= 22l n c o s c o s l n s i n x x x x x x x x =+- （9）;1csc 22xxy +=2222csc cot (1)2csc 2'(1)x x x x xy x -+-=+ 2222(1)csc cot 4csc (1)x x x x xx -+-=+ （10）.ln 3ln 223x x x x y ++=2232223(3)(3ln )(2ln )(2)'(3ln )x x x x x x x x y x x ++-++=+ 4222(94)ln 32(3ln )x x x x x xx x -+-+=+ 9. 已知. ,cos 21sin 4πϕϕρϕϕϕρ=+=d d 求因为1s i n c o s s i n2d d ρϕϕϕϕϕ=+-班级 姓名学号所以4222422284d d πϕρπϕ==+-=+10. .1轴交点处的切线方程与写出曲线x xx y -= 令0y =，得11x x ==-或 因为2'1y x -=+， 所以 11'2,'2x x y y ==-==曲线在(1,0)处的切线方程为2(1)y x =-，即220x y --=； 曲线在(1,0)-处的切线方程为2(1)y x =+，即220x y -+=。
高等数学_第二章导数与微分习题课讲解
解：因为 f ( x)在x 1处可导，所以 f ( x) 在x 1处连续；
lim f ( x) lim f ( x) f (1)
x1
x1
即 lim 2 1＝ lim ax b a b
x1 1 x 2
x 1
b 1 a.
f(1)
lim
1处可导，
ax
b,当x
1
试确定 a, b的值。
分析 此题要求两个待定常数。通常需要寻找两个只以 a ,b 为未知量的方程。由已知条件 f ( x) 在分段点 x 1 处可导， 得一个方程 f(1) f(1)；又由函数在一点可导必要条件: f ( x)在 x 1处连续，得第二个方程 f (1 0) f (1 0) 。 解此联立方程组，可求出 a ,b 。
e
1 x 1 x
1
2
1 x (1 x) (1 x)
1 x
(1 x)2
1
1 x
e 1 x
(1 x)(1 x)3
【例7】求星形线
x
y
a a
cos 3 sin3
t在
t
t
3
4
处的导数
dy dx
|
t
3
4
。
解：
dx dt
|
t
3
4
解：方程两边对 x 求导得
3x2 3 y2 y 3cos x 6 y 0
将 x 0 代入上方程，得 3 y 2 (0) y(0) 3 6 y(0) 0 （1）
将 x 0代入原方程，得 y(0) 0
同济大学版高等数学课后习题答案第2章
同济大学版高等数学课后习题答案第2章习题2-11. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t]内转过的角度为θ, 从而转角θ是t 的函数: θ=θ(t). 如果旋转是匀速的, 那么称tθω=为该物体旋转的角速度, 如果旋转是非匀速的, 应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解在时间间隔[t 0, t 0+?t]内的平均角速度ω为 tt t t t-?+=??=)()(00θθθω,故t 0时刻的角速度为)()()(lim lim lim 000000t tt t t tt t t θθθθωω'=?-?+=??==→?→?→?. 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T =T(t), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解物体在时间间隔[t 0, t 0+?t]内, 温度的改变量为 ?T =T(t +?t)-T(t), 平均冷却速度为tt T t t T t T ?-?+=??)()(,故物体在时刻t 的冷却速度为)()()(lim lim 00t T tt T t t T t T t t '=?-?+=??→?→?. 3. 设某工厂生产x 单位产品所花费的成本是f(x)元, 此函数f(x)称为成本函数, 成本函数f(x)的导数f '(x)在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f '(x)的实际意义.解 f(x +?x)-f(x)表示当产量由x 改变到x +?x 时成本的改变量.xx f x x f ?-?+)()(表示当产量由x 改变到x +?x 时单位产量的成本. xx f x x f x f x ?-?+='→?)()(lim)(0表示当产量为x 时单位产量的成本.4. 设f(x)=10x 2, 试按定义, 求f '(-1). 解 xx x f x f f x x ?--?+-=?--?+-=-'→?→?2200)1(10)1(10lim )1()1(lim)1(20)2(lim 102lim 10020-=?+-=??+?-=→?→?x xx x x x . 5. 证明(cos x)'=-sin x .解 xxx x x x ?-?+='→?cos )cos(lim )(cos 0xxx x x +-=→?2sin )2sin(2limx x xx x x sin ]22sin )2sin([lim 0-=+-=→?. 6. 下列各题中均假定f '(x 0)存在, 按照导数定义观察下列极限, 指出A 表示什么:(1)A xx f x x f x =?-?-→?)()(lim 000;解xx f x x f A x ?-?-=→?)()(lim000)()()(lim 0000x f xx f x x f x '-=?--?--=→?-. (2)A xx f x =→)(lim 0, 其中f(0)=0, 且f '(0)存在; 解)0()0()0(lim )(lim00f x f x f x x f A x x '=-+==→→. (3)A h h x f h x f h =--+→)()(lim 000. 解hh x f h x f A h )()(lim000--+=→hx f h x f x f h x f h )]()([)]()([lim00000----+=→ hx f h x f hx f h x f h h )()(lim)()(lim 000000----+=→→ =f '(x 0)-[-f '(x 0)]=2f '(x 0). 7. 求下列函数的导数: (1)y =x 4; (2)32x y =; (3)y =x 1. 6; (4)xy 1=;(5)21xy =;(6)53x x y =;(7)5322x x x y =;解 (1)y '=(x 4)'=4x 4-1=4x 3 .(2)3113232323232)()(--=='='='x x x xy . (3)y '=(x 1. 6)'=1.6x 1. 6-1=1.6x 0. 6.(4)23121212121)()1(-----=-='='='x x x xy .(5)3222)()1(---='='='x x xy .(6)511151651653516516)()(x x x x xy =='='='-.(7)651616153226161)()(--=='='='x x x x x x y .8. 已知物体的运动规律为s =t 3(m). 求这物体在t =2秒(s)时的速度.解v =(s)'=3t 2, v|t =2=12(米/秒).9. 如果f(x)为偶函数, 且f(0)存在, 证明f(0)=0. 证明当f(x)为偶函数时, f(-x)=f(x), 所以)0(0)0()(lim 0)0()(lim 0)0()(lim)0(000f x f x f x f x f x f x f f x x x '-=-----=---=--='→-→→, 从而有2f '(0)=0, 即f '(0)=0.10. 求曲线y =sin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率:π32=x , x =π.解因为y '=cos x , 所以斜率分别为 2132cos 1-==πk , 1cos 2-==πk .11. 求曲线y =cos x 上点)21 ,3(π处的切线方程和法线方程式.解y '=-sin x ,233sin3-=-='=ππx y ,故在点)21 ,3(π处, 切线方程为)3(2321π--=-x y ,法线方程为)3(3221π--=-x y .12. 求曲线y =e x 在点(0,1)处的切线方程. 解y '=e x , y '|x =0=1, 故在(0, 1)处的切线方程为 y -1=1?(x -0), 即y =x +1.13. 在抛物线y =x 2上取横坐标为x 1=1及x 2=3的两点, 作过这两点的割线, 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解 y '=2x , 割线斜率为421913)1()3(=-=--=y y k .令2x =4, 得x =2.因此抛物线y =x 2上点(2, 4)处的切线平行于这条割线. 14. 讨论下列函数在x =0处的连续性与可导性: (1)y =|sin x|;(2)=≠=0001sin 2x x xx y . 解 (1)因为 y(0)=0,0)sin (lim |sin |lim lim 00=-==---→→→x x y x x x ,0sin lim |sin |lim lim 00===+++→→→x x y x x x ,所以函数在x =0处连续. 又因为 1sin lim 0|0sin ||sin |lim 0)0()(lim )0(000-=-=--=--='---→→→-x x x x x y x y y x x x ,1sin lim 0|0sin ||sin |lim 0)0()(lim )0(000==--=--='+++→→→+xx x x x y x y y x x x , 而y '-(0)≠y '+(0), 所以函数在x =0处不可导.解因为01sin lim )(lim 200==→→xx x y x x , 又y(0)=0, 所以函数在x =0处连续. 又因为01sin lim 01sin lim0)0()(lim 0200==-=--→→→xx x x x x y x y x x x , 所以函数在点x =0处可导, 且y '(0)=0.15. 设函数>+≤=1 1)(2x b ax x x x f 为了使函数f(x)在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？解因为1lim )(lim 211==--→→x x f x x , b a b ax x f x x +=+=++→→)(lim )(lim 11, f(1)=a +b ,所以要使函数在x =1处连续, 必须a +b =1 . 又因为当a +b =1时211lim )1(21=--='-→-x x f x ,a x x a xb a x a x b ax f x x x =--=--++-=--+='+++→→→+1)1(lim 11)1(lim 11lim )1(111, 所以要使函数在x =1处可导, 必须a =2, 此时b =-1. 16. 已知?<-≥=0 0)(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？解因为 f -'(0)=10lim )0()(lim00-=--=---→→xx x f x f x x , f +'(0)=00lim )0()(lim 200=-=-++→→xx x f x f x x , 而f -'(0)≠f +'(0), 所以f '(0)不存在.17. 已知f(x)=?≥<0 0sin x x x x , 求f '(x) .解当x<0时, f(x)=sin x , f '(x)=cos x ; 当x>0时, f(x)=x , f '(x)=1; 因为 f -'(0)=10sin lim )0()(lim00=-=---→→x x x f x f x x , f +'(0)=10lim )0()(lim 00=-=-++→→xx x f x f x x , 所以f '(0)=1, 从而f '(x)=?≥<0 10cos x x x .18. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 .解由xy =a 2得xa y 2=, 22xa y k -='=.设(x 0, y 0)为曲线上任一点, 则过该点的切线方程为)(02020x x x a y y --=-. 令y =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得0022002x x ax y x =+=, 为切线在x轴上的距.令x =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得00022y y x a y =+=, 为切线在y 轴上的距.此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为 200002||2|2||2|21a y x y x S ===.习题 2-21. 推导余切函数及余割函数的导数公式: (cot x)'=-csc 2x ; (csc x)'=-csc xcot x .解 xx x x x xx x 2sin cos cos sin sin )sin cos ()(cot ?-?-='=' x xx x x 22222csc sin 1sin cos sin-=-=+-=. x x xx x x cot csc sin cos )sin 1()(csc 2?-=-='='. 2. 求下列函数的导数: (1)1227445+-+=xxxy ;(2) y =5x 3-2x +3e x ;(3) y =2tan x +sec x -1; (4) y =sin x ?cos x ; (5) y =x 2ln x ; (6) y =3e x cos x ; (7)xx y ln =;(8)3ln 2+=xe y x;(9) y =x 2ln x cos x ; (10)tt s cos 1sin 1++=;解 (1))12274()12274(14545'+-+='+-+='---x x x xxxy2562562282022820xxxx x x +--=+--=---. (2) y '=(5x 3-2x +3e x )'=15x 2-2x ln2+3ex .(3) y '=(2tan x +sec x -1)'=2sec 2x +sec x ?tan x =sec x(2sec x +tan x).(4) y '=(sin x ?cos x)'=(sin x)'?cos x +sin x ?(cos x)' =cos x ?cos x +sin x ?(-sin x)=cos 2x . (5) y '=(x 2ln x)'=2x ?ln x +x 2?x 1=x(2ln x +1) . (6) y '=(3e x cos x)'=3e x ?cos x +3e x ?(-sin x)=3e x (cos x -sin x).(7)22ln1ln 1)ln (x x x xx x x x y -=-?='='.(8)3422)2(2)3ln (x x e x x e x e x e y x x x x -=?-?='+='. (9) y '=(x 2ln x cos x)'=2x ?ln x cos x +x 2?x1?cos x +x 2 lnx ?(-sin x)2x ln x cos x +x cos x -x 2 ln x sin x .(10)22)cos 1(cos sin 1)cos 1()sin )(sin 1()cos 1(cos )cos 1sin 1(t tt t t t t t tt s +++=+-+-+='++='.3. 求下列函数在给定点处的导数: (1) y =sin x -cos x , 求6π='x y 和4π='x y .(2)θθθρcos 21sin +=,求4πθθρ=dd .(3)553)(2x x x f +-=, 求f '(0)和f '(2) .解 (1)y '=cos x +sin x , 21321236sin 6cos 6+=+=+='=πππx y ,222224sin 4cos 4=+=+='=πππx y . (2)θθθθθθθθρcos sin 21sin 21cos sin +=-+=d d ,)21(4222422214cos 44sin 214πππππθρπθ+=?+?=+==d d . (3)x x x f 52)5(3)(2+-=', 253)0(='f , 1517)2(='f . 4. 以初速v 0竖直上抛的物体, 其上升高度s 与时间t 的关系是2021gt t v s -=. 求:(1)该物体的速度v(t); (2)该物体达到最高点的时刻. 解(1)v(t)=s '(t)=v 0-gt .(2)令v(t)=0, 即v 0-gt =0, 得gv t 0=, 这就是物体达到最高点的时刻.5. 求曲线y =2sin x +x 2上横坐标为x =0的点处的切线方程和法线方程.解因为y '=2cos x +2x , y '|x =0=2, 又当x =0时, y =0, 所以所求的切线方程为 y =2x , 所求的法线方程为x y 21-=, 即x +2y =0.6. 求下列函数的导数: (1) y =(2x +5)4 (2) y =cos(4-3x); (3)23x e y -=;(4) y =ln(1+x 2); (5) y =sin 2x ; (6)22x a y -=;(7) y =tan(x 2); (8) y =arctan(e x ); (9) y =(arcsin x)2; (10) y =lncos x .解 (1) y '=4(2x +5)4-1?(2x +5)'=4(2x +5)3?2=8(2x +5)3. (2) y '=-sin(4-3x)?(4-3x)'=-sin(4-3x)?(-3)=3sin(4-3x). (3)22233236)6()3(xx x xe x e x e y ----=-?='-?='.(4)222212211)1(11x x x x x x y +=?+='+?+='. (5) y '=2sin x ?(sin x)'=2sin x ?cos x =sin 2x . (6))()(21])[(22121222122'-?-='-='-x a x a x a y2122)2()(21x a x x x a --=-?-=-.(7) y '=sec 2(x 2)?(x 2)'=2xsec 2(x 2).(8)xx xx e e e e y 221)()(11+='?+='. (9) y '21arcsin2)(arcsin arcsin 2xx x x -='?=. (10)x x xx x y tan )sin (cos 1)(cos cos 1-=-='?='. 7. 求下列函数的导数: (1) y =arcsin(1-2x);(2)211x y -=;(3)x e y x 3cos 2-=;(4)xy 1arccos =;(5)x x y ln 1ln 1+-=;(6)xx y 2sin =; (7)x y arcsin =;(8))ln(22x a x y ++=;(9) y =ln(sec x +tan x); (10) y =ln(csc x -cot x). 解 (1)2 221)21(12)21()21(11x x x x x y --=---='-?--='.(2))1()1(21])1[(21212212'-?--='-='---x x x y 2321)1()2()1(21x x x x x --=-?--=-.(3))3)(3sin (3cos )2()3(cos 3cos )(2222'-+'-='+'='----x x e x x e x e x e y xx x x)3sin 63(cos 213sin 33cos 21222x x e x e x e xxx+-=--=---. (4)1||)1()1(11)1()1(1122222-=---='--='x x x x x x x y . (5)22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x xy +-=+--+-='.(6)222sin 2cos 212sin 22cos xx x x xx x x y -=?-??='.(7)2222121)(11)()(11x x x x x x y -=?-='?-='.(8)])(211[1)(12222222222'+++?++='++?++='x a x a x a x x a x x a x y 2222221)]2(211[1x a x x a x a x +=++?++=.(9)x x x x x x x x y sec tan sec sec tan sec )tan (sec tan sec 12 =++='+?+='. (10) x xx x x x x x x x y csc cot csc csc cot csc )cot (csc cot csc 12 =-+-='-?-='.8. 求下列函数的导数: (1)2)2(arcsin x y =;(2)2tan ln x y =;(3)x y 2ln 1+=;(4)x e y arctan =; (5)y =sin n xcos nx ; (6)11arctan -+=x x y ;(7)xx y arccos arcsin =;(8) y=ln[ln(ln x)] ; (9)xx x x y-++--+1111; (10)xx y +-=11arcsin.解 (1)'?=')2(arcsin )2(arcsin 2x x y )2()2(11)2(arcsin 22'?-?=x x x21)2(11(arcsin 22-?=x x . 242arcsin 2x x-=(2))2(2sec 2tan 1)2(tan 2tan 12'??='?='x x x x x yx x x csc 212sec 2tan 12=??=.(3))ln 1(ln 121ln 1222'+?+=+='x xx y )(ln ln 2ln 1212'??+=x x x x x x 1ln 2ln 1212??+=xx x2ln 1ln +=.(4))(arctan arctan '?='x e y x)()(112arctan'?+?=x x e x)1(221)(11arctan 2arctanx x e x x e x x+=?+?=.(5) y '=n sin n -1x ?(sin x)'?cos nx +sin n x ?(-sin nx)?(nx)' =n sin n -1x ?cos x ?cos nx +sin n x ?(-sin nx)?n =n sin n -1x ?(cosx ?cos nx -sin x ?sin nx)= n sin n -1xcos(n +1)x . (6)222 211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x x x x x x x y +-=-+--?-++='-+?-++= '.(7)222)(arccos arcsin 11arccos 11x x x x x y -+-='22)(arccos arcsin arccos 11x x x x +?-=22)(arccos 12x x -=π.(8))(ln ln 1)ln(ln 1])[ln(ln )ln(ln 1'??='?='x x x x x y)ln(ln ln 11ln 1)ln(ln 1x x x x x x ?=??=. (9)2)11()121121)(11()11)(121121(x x x x x x x x xx y -++--+--+--++-++=' 22111x x -+-=.(10)2)1()1()1(1111)11(1111x x x xx x x x x y +--+-?+--='+-?+--=')1(2)1(1x x x -+-=.9. 设函数f(x)和g(x)可导, 且f 2(x)+g 2(x)≠0, 试求函数)()(22x g x f y +=的导数.解])()([)()(212222'+?+='x g x f x g x f y )]()(2)()(2[)()(2122x g x g x f x f x g x f '+'?+=)()()()()()(22x g x f x g x g x f x f +'+'=.10. 设f(x)可导, 求下列函数y 的导数dxdy :(1) y =f(x 2);(2) y =f(sin 2x)+f(cos 2x).解 (1) y '=f '(x 2)?(x 2)'= f '(x 2)?2x =2x ?f '(x 2). (2) y '=f '(sin 2x)?(sin 2x)'+f '(cos 2x)?(cos 2x)'= f '(sin 2x)?2sin x ?cos x +f '(cos 2x)?2cosx ?(-sin x) =sin 2x[f '(sin 2x)- f '(cos 2x)]. 11. 求下列函数的导数: (1) y =ch(sh x ); (2) y =sh x ?e ch x ; (3) y =th(ln x); (4) y =sh 3x +ch 2x ; (5) y =th(1-x 2); (6) y =arch(x 2+1); (7) y =arch(e 2x ); (8) y =arctan(th x);(9)xx y 2ch 21ch ln +=; (10))11(ch 2+-=x x y解 (1) y '=sh(sh x)?(sh x)'=sh(sh x)?ch x . (2) y '=ch x ?e ch x +sh x ?e ch x ?sh x =e ch x (ch x +sh 2x) . (3))(ln ch 1)(ln )(ln ch 122x x x x y ?='?='.(4) y '=3sh 2x ?ch x +2ch x ?sh x =sh x ?ch x ?(3sh x +2) .(5))1(ch 2)1()1(ch 122222x x x x y --=-?-='. (6)222)1()1(112422++='+?++='x x x x x y .(7)12)(1)(142222-='?-='x xx x e e e e y . (8)xxx x x x x y 222222ch 1ch sh 11ch 1th 11)th ()th (11?+=?+='?+=' x x x 222sh 211sh ch 1+=+=. (9))ch (ch 21)ch (ch 124'?-'?='x x x x y x x xx x sh ch 2ch 21ch sh 4??-= xx x x x x x x 323ch sh ch sh ch sh ch sh -?=-=x xx x x x 33332th ch sh ch )1ch (sh ==-?=. (10)'+-?+-?+-='+-?+-=')11()11(sh )11(ch 2])11(ch [)11(ch 2x x x x x x x x x x y)112(sh )1(2)1()1()1()112(sh 22+-?+=+--+?+-?=x x x x x x x x .12. 求下列函数的导数: (1) y =e -x (x 2-2x +3); (2) y =sin 2x ?sin(x 2); (3)2)2(arctan x y =;(4)n xx y ln =;(5)t t t t ee e e y --+-=;(6)xy 1cos ln =;(7)x ey 1sin 2-=; (8)xx y +=;(9)242arcsin x x x y -+=;(10)212arcsint t y +=.解 (1) y '=-e -x (x 2-2x +3)+e -x (2x -2) =e -x (-x 2+4x -5).(2) y '=2sin x ?cos x ?sin(x 2)+sin 2x ?cos(x 2)?2x =sin2x ?sin(x 2)+2x ?sin 2x ?cos(x 2). (3)2arctan 44214112arctan 222x x x x y +=?+?='. (4)121ln 1ln 1+--=?-?='n n n n x x n x nx x x xy . (5)2222)1(4)())(())((+=+---++='-----t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e y .。
高等数学第三版上册课后习题答案
高等数学第三版上册课后习题答案高等数学是大学数学的一门重要课程，它为学生提供了丰富的数学知识和解决问题的能力。
而课后习题作为巩固和拓展知识的重要方式，对于学生来说是非常重要的。
然而，由于高等数学的复杂性和抽象性，许多学生在解题过程中会遇到困难。
因此，本文将为大家提供高等数学第三版上册课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这门课程。
第一章：极限与连续1. 习题1：设函数f(x) = x^2 + 3x - 2，求f(x)在x = 2处的极限。
解答：将x = 2代入f(x)，得到f(2) = 2^2 + 3*2 - 2 = 10。
因此，f(x)在x = 2处的极限为10。
2. 习题2：求函数f(x) = (x - 1) / (x + 1)在x = -1处的极限。
解答：将x = -1代入f(x)，得到f(-1) = (-1 - 1) / (-1 + 1) = 0/0。
由于0/0是一个不确定形式，我们需要进行进一步的计算。
通过分子有理化，可以得到f(x) = (x - 1) / (x + 1) = (x + 1 - 2) / (x + 1) = 1 - 2 / (x + 1)。
当x趋近于-1时，2 / (x + 1)趋近于无穷大，因此f(x)在x = -1处的极限为负无穷大。
第二章：导数与微分1. 习题1：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的导数。
解答：对f(x)进行求导，得到f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
2. 习题2：求函数f(x) = e^x在x = 0处的导数。
解答：e^x的导数等于其本身，因此f'(x) = e^x。
将x = 0代入f'(x)，得到f'(0) = e^0 = 1。
因此，函数f(x) = e^x在x = 0处的导数为1。
第三章：微分中值定理与导数的应用1. 习题1：证明函数f(x) = x^3 - 3x在[-1, 1]上满足罗尔定理的条件，并找出满足罗尔定理的点。
高等数学课件第二章导数的计算 习题课ppt
lim
3a
x1 x 1
f (1)
lim
x1
f ( x) f (1)
3 x 1 1
lim
Hale Waihona Puke x1x1 x 1 3
3a 1 , 3
f (1) 1
3
a 1, b 8.
9
9
当x 1时,
f
( x)
1 (
x3
8 )
1
x2;
9 93
当x 1时, f ( x) (3 x ) 1 .
33 x2
又 f 0 e ，证明 f x在 , 内处处可导．
解： 取 x y 0 代入恒等式，得 f 0 2 f 0 ，
因此 f 0 0 ．
f x lim f x x f x
x 0
x
lim e x f x ex f x f x
x0
x
ex f
lim
0
x
f
0
f
x ex
1
x0
例3.
解:
1
x
2 3
3
所以 y x0 , 即在原点处有垂直切线.
令 1 1 1, 3 3 x2 3
得 x 1, 对应 y 1,
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与已知直线平行. 平行的切线方程分别为
y
x 31y
20 y3
x
1
x
3
y
2
0O 1
y
1 1
x
x 1
3
例4.
f
二
阶
可
导, 求
u v
uv uv v2
(v
0) ．
复合函数的导数: 设函数 y f (u),均u 可导( ,x)
高数 第二章 习题课二
(定数)
10
可见对任意 x (a , b) , f ( x) K , 即得所证 .
例6
(a , b) 可导，且a 0, 设 f ( x) 在 [a , b] 连续，
代入上式
1 原式＝－ 6
12
四、 导数应用
1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率
2. 解决最值问题
• 目标函数的建立与简化 • 最值的判别问题 3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ;
证明不等式 ; 研究方程实根等.
13
1、利用函数的单调性证明不等式 例1. 证明
有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
5
2x 2 arctan x , 例1：证明 arcsin 2 1 x 2x 证： 令 f x arcsin 2 arctan x 2 1 x , f x 0 f x c
0
e
1 e
在 [ 1 , ) 只有唯一的极大点 x e , 因此在
处
又因 中的最大项 .
也取最大值 .
22
例9 求曲线 x y 2 上点 A(1,1) 处的曲率半径。 解 方程两边对 x 求导
4
4
4 x 4 y y 0
方程两边再对 x 求导
3
3
x y y 0
5、利用泰勒公式证明不等式 例7. 设函数 f ( x) 在 [0 ,1] 上具有三阶连续导数 ,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
关 系
dy dx
y
dy
ydx
y
dy
o(x)
导数
y lim x0 x
基本公式 高阶导数 高阶微分
微分
dy yx
求导法则
2
1、导数的定义
y f (x)
f
(
x0
)
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 ) ;
lim f ( x) f ( x0 ) ;
x x0
x x0
导 数 的 几 何 意 义 ：切 线 的 斜 率
dt dx
(t); (t )
dt
d2y dx 2
d dt
( (t)) (t)
dx
.
dt
8
4、高阶导数 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
二阶导数 ( f ( x)) lim f ( x x) f ( x) ,
x0
x
记作
f
( x),
y,
d2y dx 2
或
d
2 f (x) dx2 .
二阶导数的导数称为三阶导数,
在点x0可微,并且称A x为函数y
f
(
x
)在点x
相应
0
于自变量增量x的微分, 记作dy x x0 或df ( x0 ),即
dy x x0 A x.
微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质)
10
6、导数与微分的关系
定理 函数 f (x)在点x0可微的充要条件是函数 f (x) 在点x0处可导, 且 A f (x0 ).
7、 微分的求法
dy f ( x)dx 求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.
11
基本初等函数的微分公式
d(C) 0
d ( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
d(cos x) sin xdx
d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
d(sec x) sec x tan xdx d(csc x) csc x cot xdx
(a x ) a x ln a
(e x ) e x
(loga
x)
1 x ln a
(ln x) 1 x
(arcsin x) 1
(arccos x) 1
1 x2
1 x2
(
arctan
x
)
1
1 x
2
(arc
cot
x)
1
1 x
2
5
3、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x),v v( x)可导，则
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu (c 是常数),
（3）(uv) uv uv,
（4）( u )
v
uv v2
uv
(v
0) .
(2) 反函数的求导法则
如果函数x ( y)的反函数为y f ( x),则有
f ( x) 1 .(来自y)6(3) 复合函数的求导法则
设y f (u),而u ( x)则复合函数y f [( x)]的导数为 dy dy du 或 y( x) f (u) ( x). dx du dx
f ( x),
y,
d3 dx
y
3
.
一般地,函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数,记作
f
(n) ( x),
y(n) ,
dny dx n
或d
n f( dx n
x
)
.
9
5、微分的定义
定义 设函数y f ( x)在某区间内有定义, x0及x0 x 在这区间内, 如果
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数),则称函数y f ( x)
函数和、差、积、商的微分法则
d(u v) du dv d (uv) vdu udv 微分形式的不变性
d (Cu) Cdu
d (u) vdu udv
v
v2
无论x是自变量还是中间变量,函数y f ( x) 的微分形式总是 dy f ( x)dx
13
二、典型例题
例1 设 f ( x) x( x 1)(x 2)( x 100), 求 f (0).
(4) 对数求导法 先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 适用范围: 多个函数相乘和幂指函数u( x)v( x)的情形.
7
(5) 隐函数求导法则
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
(6) 参变量函数的求导法则
若参数方程
x y
(t )确定y与x间的函数关系, (t)
dy
dy dx
3
单侧导数
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim
x x0
x0
f (x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim
x x0
x0
f (x0 x) x
f ( x0 ) ;
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右
d(a x ) a x ln adx
d(e x ) e xdx
d (loga
x)
1 dx x lna
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d(ln x) 1 dx x
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
d
(arc
cot
x)
1
1 x2
dx
12
8、 微分的基本法则
导数 f( x0 )都存在且相等.
4
2、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）
(C ) 0
( x ) x 1
(sin x) cos x
(cos x) sin x
(tan x) sec2 x
(cot x) csc2 x
(secx) sec x tan x (csc x) csc x cot x
f (x0)
16
例3 设f ( x)在x 2处连续，且 lim f (x) 3,
x2 x 2
求f (2) .
解 f (0) lim f ( x) f (0) x0 x 0
lim(x 1)(x 2)(x 100) x0
100!
14
例2 设f ( x0 )存在，求
lim f (x0 x ( x)2 ) f (x0 ) .
x0
x
解：
原
式
lim
x0
f
( x0
x
x
(x)2)
(x)2
f
( x0 )
x
( x)2
x
f ( x0 )
15
思考: 下列做法是否正确?
设 f (x0 ) 存在 , 则令 t x0 h , 有
lim f (x0 h) f (x0 h)
h0
2h
lim f (t 2h) f (t)
h0
2h
如何求 ?
lim f (t) h0
( t 与 h有关 )