高等数学：第二章 习题课

3
单侧导数
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim
x x0
x0
f (x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim
x x0
x0
f (x0 x) x
f ( x0 ) ;
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右
7、 微分的求法
dy f ( x)dx 求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.
11
基本初等函数的微分公式
d(C) 0
d ( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
d(cos x) sin xdx
d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
d(sec x) sec x tan xdx d(csc x) csc x cot xdx
解 f (0) lim f ( x) f (0) x0 x 0
lim(x 1)(x 2)(x 100) x0
100!
14
例2 设f ( x0 )存在，求
lim f (x0 x ( x)2 ) f (x0 ) .
x0
x
解：
原
式
lim
x0
f
( x0
x
x
(x)2)
(x)2
在点x0可微,并且称A x为函数y
f
(
x
)在点x
相应
0
于自变量增量x的微分, 记作dy x x0 或df ( x0 ),即
dy x x0 A x.
微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质)
10
6、导数与微分的关系
定理 函数 f (x)在点x0可微的充要条件是函数 f (x) 在点x0处可导, 且 A f (x0 ).
一、主要内容
关 系
dy dx
y
dy
ydx
y
dy
o(x)
导数
y lim x0 x
基本公式 高阶导数 高阶微分
微分
dy yx
求导法则
2
1、导数的定义
y f (x)
f
(
x0
)
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 ) ;
lim f ( x) f ( x0 ) ;
x x0
x x0
导 数 的 几 何 意 义 ：切 线 的 斜 率
dt dx
(t); (t )
dt
d2y dx 2
d dt
( (t)) (t)
dx
.
dt
8
4、高阶导数 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
二阶导数 ( f ( x)) lim f ( x x) f ( x) ,
x0
x
记作
f
( x),
y,
d2y dx 2
或
d
2 f (x) dx2 .
二阶导数的导数称为三阶导数,
f
( x0 )
x
( x)2
x
f ( x0 )
15
思考: 下列做法是否正确?
设 f (x0 ) 存在 , 则令 tBaidu Nhomakorabea x0 h , 有
lim f (x0 h) f (x0 h)
h0
2h
lim f (t 2h) f (t)
h0
2h
如何求 ?
lim f (t) h0
( t 与 h有关 )
函数和、差、积、商的微分法则
d(u v) du dv d (uv) vdu udv 微分形式的不变性
d (Cu) Cdu
d (u) vdu udv
v
v2
无论x是自变量还是中间变量,函数y f ( x) 的微分形式总是 dy f ( x)dx
13
二、典型例题
例1 设 f ( x) x( x 1)(x 2)( x 100), 求 f (0).
导数 f( x0 )都存在且相等.
4
2、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）
(C ) 0
( x ) x 1
(sin x) cos x
(cos x) sin x
(tan x) sec2 x
(cot x) csc2 x
(secx) sec x tan x (csc x) csc x cot x
f (x0)
16
例3 设f ( x)在x 2处连续，且 lim f (x) 3,
x2 x 2
求f (2) .
f ( x),
y,
d3 dx
y
3
.
一般地,函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数,记作
f
(n) ( x),
y(n) ,
dny dx n
或d
n f( dx n
x
)
.
9
5、微分的定义
定义 设函数y f ( x)在某区间内有定义, x0及x0 x 在这区间内, 如果
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数),则称函数y f ( x)
(a x ) a x ln a
(e x ) e x
(loga
x)
1 x ln a
(ln x) 1 x
(arcsin x) 1
(arccos x) 1
1 x2
1 x2
(
arctan
x
)
1
1 x
2
(arc
cot
x)
1
1 x
2
5
3、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x),v v( x)可导，则
d(a x ) a x ln adx
d(e x ) e xdx
d (loga
x)
1 dx x lna
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d(ln x) 1 dx x
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
d
(arc
cot
x)
1
1 x2
dx
12
8、 微分的基本法则
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu (c 是常数),
（3）(uv) uv uv,
（4）( u )
v
uv v2
uv
(v
0) .
(2) 反函数的求导法则
如果函数x ( y)的反函数为y f ( x),则有
f ( x) 1 .
( y)
6
(3) 复合函数的求导法则
设y f (u),而u ( x)则复合函数y f [( x)]的导数为 dy dy du 或 y( x) f (u) ( x). dx du dx
(4) 对数求导法 先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 适用范围: 多个函数相乘和幂指函数u( x)v( x)的情形.
7
(5) 隐函数求导法则
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
(6) 参变量函数的求导法则
若参数方程
x y
(t )确定y与x间的函数关系, (t)
dy
dy dx