高考总复习 物理4-4

答案：B
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高分通道
杆连物体在竖直平面内做圆周运动到达最高点的最小 速度为0，而绳的最小速度则为，应用时要分清条件．
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►变式2：绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周 运动，水的质量m＝0.5 kg，绳长L＝60 cm，求：
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由于铁轨建成后h、L、R各量是确定的，故火车转弯 时的车速应是一个定值，否则将对铁轨有不利影响，如：
情况 合力 F 与 F 向的关系 不利影响 结果 v 车> F<F 向 火车挤压外轨 外轨对车轮的弹 力 补充向心力 ghR L v 车< F>F 向 火车挤压内轨 内轨对车轮的弹力 抵消合力 ghR L
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过最高 点的临 界条件
轻绳模型 v2 由 mg＝m 得 r v 临＝ gr (1)过最高点时 v≥ gr，FN＋mg＝ v2 m ，绳、轨道对球产 r 生弹力 FN≥0， 方向指 向圆心 (2)不能过最高点 v< gr，在到达最高点 前小球已经脱离了圆 轨道
轻杆模型 小球能运动即可，v 临＝0 (1)当 v＝0 时，FN＝mg，FN 为支持力，沿半径背离圆心 (2)当 0<v< gr时，－FN＋mg v2 ＝m ，FN 背向圆心，随 v r 的增大而减小 (3)当 v＝ gr时，FN＝0 (4)当 v> gr时，FN＋mg＝ v2 m ，FN 指向圆心并随 v 的 r 增大而增大
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设车轨间距为 L，两轨高度差为 h，车转弯半径为 R， 质量为 M 的火车运行时应当有多大的速度？ h 根据三角形边角关系知 sinθ＝L，对火车的受力情况分 F 析得 tanθ＝Mg. h F 因为 θ 角很小，所以 sinθ≈tanθ，故L＝Mg，所以向心 h ghR 2 力 F＝LMg.又因为 F＝Mv /R，所以车速 v＝ L .
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当ω继续增大时，M受到的静摩擦力方向反向，与拉 力方向相同，静摩擦力与拉力的合力提供做圆周运动的向
心力．
当ω最大时有mg＋Ffm＝Mωr 代入数据得ω2＝6.25 rad/s 因此ω的取值范围为 2．80 rad/s≤ω≤6.25 rad/s. 答案：2.80 rad/s≤ω≤6.25 rad/s
做圆周运动的物体的方程中，联立求解．
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►变式3：如图5所示，质量M＝0.64 kg的物体置于可 绕竖直轴匀速转动的平台上，M用细绳通过光滑的定滑轮
与质量为m＝0.3 kg的物体相连．假定M与轴O的距离r＝
0.2 m，与平台的最大静摩擦力为2 N．为使m保持静止状 态，水平转台做圆周运动的角速度ω应在什么范围？(g＝ 10 m/s2)
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(
)
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解析：设小球以速率 v0 通过最高点时，球对杆的作用 2 v0 力恰好为零，即 mg＝m L ，得 v0＝ gL＝ 10×0.50 m/s＝ 5 m/s
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由于 v＝2.0 m/s< 5 m/s，可知过最高点时，球对细杆 产生压力．如图 3 所示为小球的受力情况图． v2 由牛顿第二定律 mg－FN＝m L ，得 v2 2.02 FN＝mg－m L ＝3.0×(10－ )N 0.50 ＝6.0 N.
答案：刹车较好
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【例2】
长度为L＝0.50 m的轻质细杆OA，A端有一
质量为m＝3.0 kg的小球，如图2所示，小球以O点为圆心
在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0 m/s，g取10 m/s2，则此时细杆OA受到 A．6.0 N的拉力 B．6.0 N的压力 C．24 N的拉力 D．24 N的压力
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2.静摩擦力作用下的圆周运动 静摩擦力的特点是根据物体运动改变大小，变换方
向．有人把静摩擦力的这一特点称为“适应性”．由于静
摩擦力这一特点的存在导致在许多问题中出现了临界问 题． 处理这类问题的关键是分析出静摩擦力的变化，从而 结合其他力分析出向心力的变化，以确定圆周运动的其他 物理量的变化范围．
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高分通道 火车转弯时，如果内外轨一样高，只能由外轨对轮缘
的侧压力提供火车转弯所需的向心力．实际修建铁路时一
般将弯道建在倾斜的路基上，使火车的内外轨有一定的高 度差，利用重力和铁轨对物体的支持力的合力提供部分向 心力，以避免铁轨的损坏．
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(1)最高点水不流出的最小速率(保留3位有效数字)；
(2)水在最高点速率v＝3 m/s时，水对桶底的压力． 解析：对于水桶中的水做圆周运动，在最高点时其受力 为本身的重力和桶底对它的弹力，从而提供向心力，水在最 高点的最小合外力是 mg，所以，最高点的速度至少为 gL. (1)在最高点水不流出的临界条件是桶底对水的压力为 零，即 mg＝mv2/L 解得最小速率 v0＝ gL＝ 9.8×0.6 m/s＝2.42 m/s.
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高分通道
此类问题的求解思路为： (1)先以圆周运动的物体为研究对象，分析并列出向心 力方程．特别要关注哪个力是要求的那个物体提供的． (2)分析连接体的状态需要、受力特点、力的大小、方 向是否可变，变化的范围是什么？变化的临界值是多少 等．
(3)根据牛顿第三定律，将连接体的这些临界值代入到
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对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速
曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”、 “最小”、“刚好”等词语，常分析两种模型——轻绳模型 和轻杆模型，分析比较如下：
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轻绳模型
轻杆模型
常见 类型
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►变式1：在一宽阔的马路上，司机驾驶着汽车匀速行 驶，突然发现前方有一条很宽很长的河，试分析说明他是
紧急刹车好还是转弯好？(设汽车转弯时做匀速圆周运动，
最大静摩擦力与滑动摩擦力相等)．
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解析：本题中最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，故最大 静摩擦力等于 μmg，转弯时，最大静摩擦力提供向心力，故 mv2 μmg＝ R .刹车时汽车水平方向所受合力就等于滑动摩擦 力，汽车做减速运动，故 μmg＝ma.比较刹车距离 x 和转弯 半径 R 的大小即可．
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随堂检测 1．在实际修筑铁路时，要根据弯道半径和规定的行 驶速度，适当选择内外轨的高度差，如果火车按规定的速 率转弯，内、外轨与车轮之间没有侧压力，那么火车以小
答案：(1)2.42 m/s
(2)2.6 N，方向竖直向上
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【例3】
如图4所示，质量为m的小球在半径为R、
质量为M的竖直光滑圆轨道内做圆周运动．要使M不离开
地面，m在最高点的速度不能超过多大？
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解析：对 m 分析可知，当它运动到最高点时受重力和 mv2 轨道向下的压力，根据圆周运动的条件得 mg＋FN＝ R 对 M 分析：M 受重力、小球对 M 向上的弹力 F′N， 地面的支持力 F 地． Mg＝F 地＋F′N 要使 M 不离开地面，则 F 地≥0.即 F′N≤Mg 由牛顿第三定律可知 FN＝F′N (M＋m)gR 所以 v≤ . m
匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径400 m. (1)试计算铁轨受到的侧压力的大小． (2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧 压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度 θ的大小．(用反三角函数表示)
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解析： 第(1)问中，外轨对车轮的侧压力提供了火车转弯 所需的向心力；第(2)中， 重力和铁轨对火车的支持力的合力 提供了火车转弯所需的向心力． (1)外轨对车轮的侧压力提供火车转弯所需向心力， 所以 有 v2 105×202 FN＝m r ＝ N＝105 N， 400 由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于 105 N.
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来自百度文库
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设汽车的质量为 m，车轮与地面的动摩擦因数为 μ，刹 车时汽车的速度为 v，刹车距离为 x. 若汽车刹车，则有 μmg＝ma,0－v2＝－2ax. v2 所以 x＝ ； 2μg mv2 若汽车转弯，则有 μmg＝ R . v2 所以 R＝μg. 可见 R＝2x，司机还是采取刹车较好．
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解析：m保持静止状态时，M做圆周运动的半径不变， M的向心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供，由于静摩
擦力的大小、方向不定，所以存在临界问题．
当ω最小时，M受到的最大静摩擦力的方向与拉力的 方向相反，则有mg－Ffm＝Mωr 代入数据得ω1＝2.80 rad/s 当ω增大时，静摩擦力减小，当ω′＝4.84 rad/s时，静 摩擦力为零．
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第四单元
圆周运动在实际问题中 的应用
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考点梳理
由于火车的质量比较大，火车拐弯时所需的向心力就
很大．如果铁轨内外侧一样高，则外侧所受的压力很大，
容易损坏；实用中使 重力 和 外轨 略高于 内轨 ，从而 铁轨支持力
的合力提供火车拐弯时
所需的向心力．
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v2 物 体在竖 直平面 内做圆 周运动 时，在 最高点 ： m R v2 F－mg ＝ mg±F ，在最低点：m R ＝ ，F 是除重力外其 它物体给运动物体的作用力．
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要点精析
在平直轨道上匀速行驶的火车，所受合外力为零，在 火车转弯时，什么力提供向心力呢？在火车转弯处，让外 轨高于内轨，如图1所示，转弯时所需向心力由重力和弹 力的合力提供．若轨道水平，转弯时所需向心力应由外轨 对车轮的挤压力提供，而这样对车轨会造成损坏．车速大 时，容易出事故．
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由列表比较可知， 汽车在凹形桥上行驶对桥面及轮胎损 害大，但在凸形桥上，最高点速率不能越过 gr.在半径为 r 的半圆柱形桥面上最高点，汽车以 v＝ gr的速率行驶将不 再落到桥面上．
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典例剖析
【例1】
有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率
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(2)当水在最高点的速率大于 v0 时，重力已不能提供足 够的向心力，此时水桶底对水有一向下的压力，设为 FN， v2 由牛顿第二定律有：FN＋mg＝m L v2 FN＝m L －mg＝2.6 N 由牛顿第三定律知，水对桶底的作用力 FN′＝FN＝2.6 N，方向竖直向上．
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(2)火车过弯道， 重力和铁轨对火车的支持力的合力正好 提供向心力，即 v2 mgtanθ＝m r ， v2 202 由此可得 θ＝arctanrg＝arctan ＝arctan0.1. 400×10
答案：(1)105 N (2)arctan0.1
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讨论 分析
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汽车过桥问题 当汽车以相同的速率分别行驶在凸形桥的最高点和凹
形桥的最低点时，汽车对桥的压力的区别如下表所示.
内容 凸形桥 项目 受力分 析图 凹形桥
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内容 项目
凸形桥
凹形桥
v2 v2 以 a 方向为正方向根 mg－FN1＝m FN2－mg＝m r r 据牛顿第二定律列方 2 v v2 FN1＝mg－m FN2＝mg＋m 程 r r FN1′＝FN1 FN2′＝FN2 牛顿第三定律 v2 v2 ＝mg－m ＝mg＋m r r v 增大，FN1′ 减小； 当 v 增 v 增大，FN2′增大， 讨论 大到 gr时， 只要 v≠0，FN1<FN2 FN1′＝0