极限曲率法及其应用
《高等数学曲率》课件
曲率与生物形态
在自然界中，许多生物形态都呈现出 曲率的特点。例如，鸟类的飞行轨迹 、河流的流向、植物的生长方式等都 与曲率密切相关。通过研究这些生物 形态的曲率特点，可以更好地理解自 然界的规律和原理。
VS
曲率在生物形态中的应用还体现在仿 生学领域。通过模仿自然界中生物的 形态和运动方式，可以创造出更加高 效、环保和可持续的交通工具、建筑 材料等。例如，仿生学中的“蜂巢” 结构就是利用了曲率的特点，具有很 好的抗压和抗震性能。
曲率与建筑设计
在建筑设计中，曲率也被广泛应用。通过合理利用曲率，可以创造出更加美观、舒适和功能性的建筑。例如，在建筑设计时 可以利用曲率来优化建筑的外观和结构，提高建筑的稳定性和安全性。
曲率还可以用于建筑内部的布局和空间设计。例如，利用曲率可以将建筑的内部空间划分为不同的区域，提高建筑的实用性 和舒适性。
曲率研究展望
曲率与几何拓扑关系
未来研究可以探索曲率与几何拓扑之间的关系，例如研究 曲率在曲面分类中的作用，以及曲率在流形学习等方面的 应用。
高维空间曲率研究
随着高维几何的发展，对高维空间中曲率的研究也日益重 要，未来可以进一步探讨高维空间中曲率的性质和计算方 法。
数值计算与模拟
随着计算机技术的发展，数值计算和模拟已经成为研究曲 率的重要手段，未来可以借助更先进的计算方法和模拟技 术，对曲率进行更精确和深入的研究。
03
曲率应用
曲率在几何学中的应用
曲率在几何学中有着广泛的应用，它描述了曲线在某一点的 弯曲程度。在平面几何中，曲率用于描述曲线在某一点的弯 曲程度，而在球面几何中，曲率则用于描述曲面在某一点的 弯曲程度。
在几何学中，曲率的概念可以帮助我们更好地理解空间中的 几何形状，以及它们之间的相互关系。例如，在研究行星运 动时，曲率的概念可以帮助我们理解行星轨道的形状和大小 。
数学分析中的典型问题与方法
数学分析中的典型问题与方法首先，我们来谈谈数学分析中的极限问题。
极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了一个函数在某一点附近的行为。
在实际应用中，极限可以帮助我们理解物理、经济和工程等领域中的各种现象。
在计算极限时，我们可以利用极限的性质和一些常见的极限公式，例如常数函数的极限、多项式函数的极限、指数函数和对数函数的极限等。
此外，我们还可以利用极限的定义和性质，结合夹逼定理、洛必达法则等方法来计算一些复杂的极限，这些方法在实际问题中具有重要的应用价值。
其次，微分和积分是数学分析中的另外两个重要概念。
微分描述了函数在某一点的变化率，而积分则描述了函数在某一区间上的累积效应。
微分和积分不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在物理、工程、经济等领域中也有着广泛的应用。
在微分方面，我们可以利用导数的定义和性质，来求解函数的极值、切线方程、曲率等问题。
在积分方面，我们可以利用定积分的定义和性质，来计算曲线下面积、求解定积分的值、求解面积和体积等问题。
此外，我们还可以利用微分方程和积分变换等方法，来研究一些复杂的微分和积分问题，这些方法在实际问题中具有重要的应用价值。
最后，我们来讨论一下数学分析中的一些典型问题和方法。
在实际应用中，我们经常会遇到一些典型的数学分析问题，例如极值问题、曲线拟合问题、积分变换问题等。
针对这些问题，我们可以利用微分和积分的方法，来建立数学模型，进而求解实际问题。
此外，我们还可以利用极限的方法，来研究一些复杂的数学分析问题，例如无穷级数的收敛性、函数的连续性等。
在解决这些问题时，我们需要灵活运用数学分析的知识和方法，结合实际问题的特点，来寻找合适的解决方案。
综上所述，数学分析中存在着许多典型问题和方法，这些问题和方法不仅在理论上具有重要意义，而且在实际应用中也有着广泛的应用价值。
通过对数学分析中的典型问题与方法的讨论，我们可以更深入地理解数学分析的理论和实践，为解决实际问题提供一些有益的参考和启发。
曲率的概念教学设计
曲率的概念教学设计曲率概念在SMT的版本中，新推出了曲率属性，包括高斯曲率、最小最大曲率、平均曲率等概念为了让大家更清楚的了解曲率，这里与大家共享一些曲率的基础知识一、曲率基本概念曲率是用来反映几何体的弯曲程度平均曲率、主曲率和高斯曲率是曲率的三个基本要素平均曲率：是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K1,K2,那么平均曲率则为：K=(K1+K2)/2主曲率：过曲面上某个点上具有无穷个正交曲率，其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值Kmax，垂直于极大曲率面的曲率为极小值Kmin这两个曲率属性为主曲率他们代表着法曲率的极值高斯曲率：两个主曲率的乘积即为高斯曲率，又称总曲率，反映某点上总的完全程度三、地震层位的曲率属性计算地震层位在三维空间中实际上也是一个构造曲面，因此可表示为如下公式：根据上述方程中的系数组合，可以得出各种曲率属性:平均曲率：高斯曲率：极大与极小曲率：最大正曲率、最小负曲率：倾向与走向曲率：四、曲率在构造裂缝中的应用构造层面的曲率值反映岩层弯曲程度的大小，因此岩层弯曲面的曲率值分布，可以用于评价因构造弯曲作用而产生的纵张裂缝的发育情况计算岩层弯曲程度的方法很多，如采用主曲率法根据计算结果，将平面上每点处的最大主曲率值进行作图，得到曲率分布图，进行裂缝分布评价一般来讲，如果地层因受力变形越严重，其破裂程度可能越大，曲率值也应越高ReFract综合裂缝预测与建模软件2008-10-1610:44:30|分类：|标签：|字号大中小订阅近年来，在油气勘探领域，对裂缝油藏的研究变的越来越重要ReFract应用模糊逻辑技术，对直接反映裂缝的测井数据和与裂缝关系密切的地震属性、地质数据进行多学科综合分析与描述，使我们大幅度提高对裂缝分布的认识，减低裂缝油藏的勘探与开发风险的有效手段灵活性，所有对研究区的，这对勘探阶段数据缺乏的状况尤其重要人工智能神经网络建模曲率的概念来源：为了平衡曲线的弯曲程度平均曲率，这个定义描述了AB曲线上的平均弯曲程度其中为AB弧长表示曲线段AB上切线变化的角度，计算公式的推导：由于，所以要推导与ds的表示法，ds称为曲线弧长的微分因为，所以令，同时用代替得所以具体表示；或1、时，2、时，3、时，再推导，因为，所以，两边对x求导，得，推出下面将与ds代入公式中：，即为曲率的计算公式曲率半径：一般称为曲线在某一点的曲率半径几何意义为在该点做曲线的法线，在法线上取圆心，以ρ为半径做圆，则此圆称为该点处的曲率圆曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树《曲率》说课稿各位专家上午好，首先介绍一下本堂课的设计思路本门课的课程名称是机械类《高等数学》，共计80学时，教学对象是士官大专学员本门课包括四部分，共分为八章，今天我要讲授的是第四章导数的应用中第五节的内容------《曲率》《导数的应用》这一章突出体现了数学学科的工具性作用，本节课是继导数的一些实际应用，如函数的极值和最值、函数图像的描绘等知识之后，另一个导数在生产生活中的应用，它能解决工程上、生活中的很多问题，更进一步体现了数学学科的工具作用、基础作用和服务于专业的性能在此之前，学员已经学习了极限、导数与微分的知识，对高等数学的特点有一定的认识，对极限的思想和方法有初步的理解，能够用导数和微分的知识解决问题，这些是学习本节课内容的基础基于学员的以上特点，在吃透教材的基础上确定本节课的教学重点是：理解曲率的概念，掌握曲率的计算公式，教学难点是能够应用曲率解决实际问题能力目标为通过影响曲率因素的发现，激发学生的数学学习动机，公式的推导过程则使学生进一步体验观察分析、归纳总结的数学思想方法，公式的实际应用这个难点的突破，则可以培养学生联系实际来学习的意识，体会数学的美，增进数学应用的眼光同时，我还希望通过对概念及公式的发现和推导，培养学生勇于探索、大胆应用的数学精神，增强学生的团结协作意识，提高学生的主观能动性根据教学目标，结合学员的认识基础，采取“五段式”教学过程如下：首先利用西班牙火车脱轨新闻，从众所周知的弯道限速知识入手，引入课题这样设计的意图是：通过设疑，激发学生的学习兴趣和欲望第二，直观演示，鼓励探究通过课件直观演示实验，引导学生观察对比两种状态下的曲线，思考弯曲程度与哪些因素有关？逐渐让学生从特征感知向理性衡量逼近把抽象的问题具体化，达到对曲率概念的理解，从而突破了我们这堂课的第一个重点第三，精选例题，巩固概念通过求解两个特殊曲线的曲率，让学生对曲率概念得到及时的巩固，通过验证直观感觉，进一步表明曲率确实反映了曲线的弯曲程度，这个环节起到了承上启下的作用第四，引导推理，突破重点利用曲率的概念计算比较困难，出于计算的需要，有必要推导曲率的计算公式采用提问法逐步引导推理，使学生的思维实现由“感知”——“认识”的真正转变第五，任务驱动，实例巩固，公式应用：通过本例题的讲解，引导学生总结解决有关曲率问题的思路和方法，使学生更进一步掌握数学模型的实用性，掌握曲率的计算，实现由“认识”——“理解应用”曲率的质的飞跃，更突出培养学生的数学应用意识，增强学生的专业使用感和责任感，教学目标得以实现。
曲率
§6 曲 率
弧微分 曲率
曲率半径、曲率圆、曲率中心
导数的另一方面的应用——研究曲线的弯曲程度。 梁或轴因受外力作用而弯曲变形，火车转弯时， 为了安全，需要了解铁轨在弯道处的情况等等。
曲率
曲线弯曲的程度
例如，铁轨的曲率就是个关键问题：
一. 弧微分
1. 曲线方程：y f ( x )
y
单调增函数
s s( x ).
A
M
N T R
设 M ( x , y ), N ( x x , y y ), 如图，
MN 2 (x )2 (y )2
( MN ) y 2 1 ( x ) x
2 2
o
x0
x
x x
x
当 x 充分小时，如果 f ( x ) 具有连续导数，可用弧 长代替弦长，
3a 2 (1 cos ) K 2 2a 3 (1 cos )3/2
3 2 . 4a 1 cos
例7. 求椭圆
在何处曲率最大?
a sin t ; 解: x y b cos t ;
故曲率为
x a cos t y b sin t
3 2 2
.
b 显然, 当x 时, k最大 . 2a b b2 4ac 又 ( , )为抛物线的顶点 , 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率 最大.
例4. 设函数 y y( x ) 有二阶导数，证明曲线 y y( x ) d sin 在点 M 处的曲率为 ，其中 是曲线在点 dx M 处的切线的倾角； 证明： y tan , ( , ) 2 2 y sin y cos 1 y 2
函数极限的几种求解方法
函数极限的几种求解方法【摘要】函数极限是微积分中的一个重要概念，用来描述函数在某一点或者某个区间内的趋势和性质。
本文将从引言、正文和结论三个部分详细介绍函数极限的几种求解方法。
在将依次介绍极限的定义与性质、基本的极限求解方法、无穷小与无穷大的比较法、夹逼定理和洛必达法则。
在将讨论在不同情况下选择适合的求解方法、函数极限求解方法的实际应用以及深入学习函数极限的重要性。
通过阅读本文，读者将能够全面了解函数极限的求解方法，提升对函数极限概念的理解和运用能力。
【关键词】函数极限、极限的定义、性质、基本求解方法、无穷小、无穷大、夹逼定理、洛必达法则、求解方法选择、应用、深入学习。
1. 引言1.1 什么是函数极限函数极限是微积分中一个非常重要的概念，它在研究函数的性质和图像特征时起着至关重要的作用。
在数学上，函数的极限描述了当自变量趋于某个特定值时，函数的值会接近或趋于某个确定的值。
简而言之，函数极限可以帮助我们理解函数在某个特定点附近的表现，这对于分析函数的变化趋势和性质至关重要。
具体来说，当我们讨论一个函数在某个点的极限时，我们实际上是在研究当自变量趋近于这个点时，函数值的变化情况。
如果函数在这个点处存在极限，那么我们可以通过极限的存在性来推断函数在这个点的连续性、导数等性质。
而如果函数在某个点的极限不存在，那么这也能告诉我们函数在这个点附近的不连续性或者其他特殊性质。
函数极限是微积分中的基础概念，也是建立在导数和积分之上的重要内容。
通过研究函数的极限，我们可以更深入地理解函数的性质和特性，为进一步的微积分学习奠定基础。
1.2 函数极限的重要性函数极限在数学中具有重要意义，是微积分学习的基础。
通过研究函数在某一点或某一区间内的极限，我们可以更深入地理解函数的性质和变化规律。
函数极限的研究不仅帮助我们更好地理解数学概念，还在实际问题的建模和解决过程中发挥着重要作用。
在数学分析、物理学、工程学等领域，函数极限都是必不可少的概念。
抓住数学本质：用极限方法求弦切线
抓住数学本质：用极限方法求弦切线数学是一门探究自然和人类思维的科学，也是一门非常抽象和理论化的学科。
数学本质上是探究数和量的关系，其中包括最基本的四则运算、代数、几何、微积分、数论等分支。
在这些分支中，微积分是一门核心，它是对变化和运动的理论探索。
而极限则是微积分的核心概念之一，极限是微积分的重要基础，无论是求导、求积分或是解微分方程，都离不开极限。
在这篇文章中，我们将探讨如何用极限方法求解弦与切线问题。
1、什么是弦和切线在讨论弦和切线问题之前，我们需要先了解这两个概念。
弦和切线都是圆和圆周的相关概念。
圆是一个平面内距离圆心相等的点的集合。
圆周则是圆的边界线。
弦是圆上任意两点之间的线段，一条弦的两个端点都在圆上。
切线则是与圆相切的直线，切线在切点的切线方向与圆相切，也就是说切点是切线上最靠近圆的点。
2、求解弦与切线问题现在我们来考虑一个具体的问题：如何求圆上某一点处的弦和切线。
假设有一圆，圆心为O，半径为r，P为圆上一点，Q为圆上另一点。
求弦PQ的长度。
为了求解这个问题，我们可以先用坐标系来描述圆和点的位置关系。
设圆心O坐标为（0，0），则圆上点P的坐标为（r*cosθ, r*sinθ），点Q的坐标为（r*cosα, r*sinα）。
其中θ和α为点P和点Q在坐标系中与向量（1，0）的夹角。
由于圆是一个对称的图形，所以我们可以把问题简化为求θ和α之间的夹角，即角OPQ的大小。
首先，我们可以根据余弦定理求出夹角OPQ的余弦值cos(OPQ)：cos(OPQ) = cos(θ - α) = cosθ*cosα + sinθ*sinα然后，我们可以利用线段PQ所在的圆心角POQ，将圆弧POQ割成两部分，得到弦PQ的长度：PQ = 2*r*sin(OPQ/2) = 2*r*sin((θ-α)/2)接下来，我们来考虑如何求解切线问题。
对于给定的圆和圆上一点P，要求在点P处的切线。
我们可以利用点斜式公式，求解过点P的切线方程：切线方程为：y = kx + c其中k为切线的斜率，c为切线的截距。
公路桥梁抗震设计圆形和矩形截面屈服曲率和极限曲率计算
附录A 圆形和矩形截面屈服曲率和极限曲率计算A.0.1截面屈服曲率对于圆形截面和矩形截面，其截面屈服曲率可按下式计算：圆形截面：yy D εφ213.2=（A.0.1-1）矩形截面：yy H εφ957.1=（A.0.1-2）式中：y φ——截面屈服曲率(1/m)；y ε——相应于钢筋屈服时的应变；D ——圆形截面的直径(m)；H ——矩形截面计算方向的截面高度(m)。
A.0.2截面极限曲率1圆形截面截面极限曲率u φ（1/m ）可分别根据以下两式计算，取小值。
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-+⨯=--g ck cu cu u A f P D )638.1810575.8()850.610826.2(33εεφ（A.0.2-1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯=-g ck s s s u A f P D )010.0656.0739.28()179.110635.1(23εεεφ（A.0.2-2）'1.40.004Rs kh su cu cc f f ρεε=+(A.0.2-3)式中：P ——截面所受到的轴力（kN ）；ck f ——混凝土抗压强度标准值（kN/m 2）；g A ——混凝土截面面积(m 2）；s ε——钢筋极限拉应变，可取09.0=s ε；cu ε——约束混凝土的极限压应变；s ρ——约束钢筋的体积含筋率，对于矩形箍筋:yx s ρρρ+=kh f ——箍筋抗拉强度标准值（kN/m 2）；'ccf ——约束混凝土的峰值应力（kN/m 2），一般可取1.25倍的混凝土抗压强度标准值；R su ε——约束钢筋的折减极限应变，可取0.09R su ε=。
2矩形截面截面极限曲率u φ（1/m ）可分别根据以下两式计算，取小值。
()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-+⨯=--g ck cu cu u A f P H εεφ486.4410004.7)825.1110999.4(33（A.0.2-4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯=-g ck s s s u A f P H )015.0039.0722.37()097.110387.5(24εεεφ（A.0.2-5）式中符号意义同式（A.0.2-1）、式（A.0.2-2）和式（A.0.2-3）。
三大微分中值定理的应用
三大微分中值定理的应用1.求极限2.函数的极值和最值，曲线的凹凸性及其拐点3.曲线的渐近线4.方程的根5.不等式的证明6.中值定理的证明题微分中值定理定理1：费马引理：如果函数在一点可导，并且在该点取得极值，则导数为0根据图像比较容易得出结论定理2：罗尔定理：如果函数在闭区间连续，开区间可导两端点值相等，则可以证明至少存在一点导数为0证明：方法一，几何明显方法二，一定存在最小值m,最大值M1.m==M，则可以证明导数处处为02.m < M，又根据两端点值相等，则至少有一个值是在区间内部，且为极值点，所以可以证明导数为0定理3：拉格朗日中值定理：上述条件下，一定存在一点导数值等于两点连线的斜率定理4：柯西中值定理存在两个函数满足上述条件，则一定存在一点的两个函数的导数值为两点函数的差值证明：可以将y,x当做对t的参数方程，按照拉格朗日进行求导三个微分中值定理1.意义：建立函数和导数之间的关系2.罗尔定理是拉格朗日定理的特例，拉格朗日是柯西中值定理的特例3.但后面两个都是罗尔定理构建辅助函数得出的结论，罗尔定理反而是重点泰勒公式泰勒公式意义1.建立函数和高阶导数的连接2.把函数用多项式逼近两种余项的泰勒公式皮亚诺余项拉格朗日余项区别：1.条件不同，皮亚诺余项要求n阶可导，拉格朗日余项要求n+1阶可导2.关于余项不同，皮亚诺余项的余项只能保证在x趋向x0的时候，与x0的差值n次方会是无穷小拉格朗日余项则是存在一点介于x和x0之间在展开之间（中值定理）3.皮亚诺余项是要求局部形态，适用于极限，极值拉格朗日余项要求整体形态，用于求最值，不等式常用五个泰勒公式导数的应用1.单调性：根据导数的正负性就可以判断区间内导数的增减性2.函数的极值：在局部形态下，如果邻域内恒有大于或者小于该点值，则说明在该点取得极值定理8：极值的必要条件如果可导，取得极值，则导数为0将所有导数为0的点称作驻点因为是必要条件，所以驻点不一定是极值；但对于可导函数而言，极值一定是驻点所以极值的取值范围，只可能是驻点or导数不存在的点因为驻点是极值是必要条件所以定理9：极值的第一充分条件（可判断第一种或者第二种可能的极值）如果该点邻域可导，在该点两边一阶导数变号，且该点可导或者不可导但连续；则该点为极值点定理10：极值的第二充分条件（只能判断第一种，且要求二阶导存在）驻点的二阶导数不为0，则一定是极值点如果二阶<0为极大值如果二阶>0为极小值函数的最大最小值找连续函数的最值第一步：求出驻点和不可导点（可能的极值点）第二步：然后比较他们和端点的函数值如果极值点是唯一的，则如果是极大则为最大，如果极小，则为最小如果是应用题，需要建立目标函数曲线的凹凸性二阶导数如果>0，则是凹的；如果<0，则是凸的一阶导数判断函数的增减性，二阶导数判断函数的凹凸性拐点：端点两端二阶导数变号，注意：拐点一定是曲线上的点，一定要用两个坐标去表示极值点可以是x轴上的点,x=具体的数如何判定是否是拐点极值点一个必要两个充分对应曲线的渐近线1）水平渐近线：最多两条2）垂直渐近线：可以有无穷多条，分母为03）斜渐近线：函数作图1.确定定义域2.求一阶导数3.求二阶导数4.求渐近线曲线的弧微分与曲率曲率：K = |y’’|/(1+y’2)(3/2)曲率半径：R = 1/K基本题型1.函数静态：研究函数的极值，最值，确定曲线的凹凸和拐点2.求渐近线3.求方程的根4.不等式证明5.中值定理以及证明题一、研究函数的极值，最值，确定曲线的凹凸和拐点极值只可能是导数为0或者导数不存在的点如何判断：1.左右导数是否变号2.二阶导数是否!=0导数不存在且为极值的条件是该点必须连续有关分段函数在分界点上是否为拐点或取得极值，只需要要求函数连续，然后判断左右导数是否异号即可二、渐近线斜渐近线需要将函数写成ax+b+O(x)的形式，后面趋向于无穷小三、方程的根通常写成f(x) = 0，然后计算有多少个根题型：方程根的存在性：1.零点函数定理，左右端点异号2.罗尔定理，找到fx的原函数，带入左右端点都是0，然后求导可知fx存在一点取得0根的个数：1.单调性：这样就能确定只有一个2.罗尔定理的推论：如果n阶导数不为0，最多有n个零点四、不等式的证明1.单调性：将所有式子移到一边，然后求导，得出FX恒大于0，可以求解2.拉格朗日中值定理：通常用于两点之差的式子3.最大最小值定理：最小值大于0两个重要结论sinx < x < tanxx/(1+x) < In(1+x) < x(采用中值定理证明)五、中值定理的证明题习题推导，如果在一段区域内n个值相等，可以证明至少存在n-1导数为0。
曲率和曲率半径
曲率和曲率半径曲率和曲率半径是微积分、微分几何中的重要概念。
它们是描述曲线、曲面曲率大小和曲率方向的量。
本文将从曲率和曲率半径的概念入手，探讨它们的计算方法和应用。
曲率的概念曲率描述曲线或曲面局部形状的变化程度。
对于曲线，曲率是指曲线上某点处切线方向的变化率。
在数学上，曲率被定义为曲线上某点处切线的极限位置与该点距离的比值。
如果曲线在该点的曲率为正，则曲线在该点的形状向外凸；若曲率为负，则曲线在该点的形状向内凹。
曲率半径的概念曲率半径是曲率的倒数。
即曲率半径R等于曲率k的倒数。
曲率半径描述了曲线近似为圆的程度。
如果曲率半径很小，曲线就很弯，近似为一段圆弧；如果曲率半径很大，曲线就很直，近似为一条直线。
曲率半径在机械、电子、航空、航天等领域有广泛的应用。
曲率和曲率半径的计算方法曲线在数学上可以用参数方程或者一般方程表示。
对于参数方程，曲率公式为：k = |\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)| / |\mathbf{r}'(t)|^3其中，\mathbf{r}(t)表示曲线上的某点，\mathbf{r}'(t)表示该点处曲线的切向量，\mathbf{r}''(t)表示该点处曲线的二阶切向量。
符号|·|表示向量的模长。
对于一般方程表示的曲线，曲率公式为：k = |\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)| / |\mathbf{r}'(t)|^3其中，x(t)和y(t)表示曲线在参数t处的横纵坐标，y'(t)和y''(t)表示曲线在参数t处的一阶和二阶导数。
曲率半径的公式为：R = 1 / k其中，k表示曲线在某点处的曲率。
当曲线在该点的曲率为0时，曲率半径为无穷大，即曲线在该点的局部形状为直线。
曲率和曲率半径在实际应用中的意义曲率和曲率半径在机械、电子、航空、航天等领域有广泛的应用。
求极限方法总结
求极限方法总结求极限方法总结一，求极限的方法横向总结：1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。
3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。
4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。
6运用重要极限求极限（基本）。
7乘除法中用等价无穷小量求极限。
8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。
9常数比0型求极限：先求倒数的极限。
10根号套根号型：约分，注意别约错了。
11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos二，求极限的方法纵向总结：1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。
2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置2）用无穷小量与有界变量的乘积3）2个重要极限4）分式解法（上述）高数解题技巧。
高数（上册）期末复习要点高数（上册）期末复习要点第一章：1、极限2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面4、空间旋转面（柱面）高数解题技巧。
数学曲率知识点总结
数学曲率知识点总结数学曲率是研究曲线和曲面弯曲程度的一种数学概念。
它在微分几何和微分方程中有着重要的应用，也是现代物理学和工程领域的重要基础知识之一。
本文将从曲率的定义、性质、计算、应用和相关概念等方面对数学曲率知识点进行总结和探讨。
一、曲率的定义1. 曲率的几何意义曲率是研究曲线和曲面弯曲程度的量，它能够描述曲线或曲面在某一点的弯曲程度和方向。
曲率可以用来描述曲线或曲面的局部几何属性，是几何学中的重要概念。
2. 曲率的定义对于曲线上的一点P，其曲率可以用切线法向量和曲线在P点的切线的夹角来表示。
在三维空间中，曲线的曲率定义为其切线方向的变化率。
在曲面上，曲率是指曲面在某一点处的弯曲程度。
二、曲率的性质曲率具有一些重要的性质，包括：1. 曲率的正负性：根据曲率的定义，可以得出曲率有正负之分。
凸曲线上的曲率为正，而凹曲线上的曲率为负。
2. 曲率的大小：曲率的大小表示了曲线或曲面的弯曲程度，可以通过曲率的绝对值来表示。
三、曲率的计算曲率的计算是数学曲率知识中的重要内容之一，它包括了曲线曲率和曲面曲率的计算方法。
1. 曲线曲率的计算：曲线曲率可以通过极限的定义进行计算，也可以通过向量微积分的方法进行计算。
2. 曲面曲率的计算：曲面曲率的计算相对复杂一些，通常需要利用高等数学知识，包括向量微积分、微分几何和微分方程等知识。
四、曲率的应用曲率在现代数学和物理学中有着广泛的应用，包括微分几何、数学物理、光学等领域。
1. 曲率在微分几何中的应用：微分几何研究的对象就是曲线和曲面的性质，曲率是微分几何中关键的概念之一。
2. 曲率在数学物理中的应用：曲率在广义相对论中有重要应用，它能够描述时空的弯曲程度。
3. 曲率在光学中的应用：光线在曲面上的反射和折射等现象都与曲率有着密切的关系。
五、相关概念与曲率相关的概念还包括了曲率半径、法曲率、主曲率、高斯曲率等。
1. 曲率半径：曲率半径是曲线或曲面在某一点处曲率的倒数，可以用来描述曲率的大小。
对两个重要极限的重要性的认识 数学系本科毕业论文
对两个重要极限的重要性的认识数学系本科毕业论文一、引言极限是微积分中最核心最基础的概念之一，是微积分的基石，它广泛应用于数学和科学的许多领域中，例如微积分、数学分析、物理、工程学和经济学等。
本文将讨论两个重要极限的性质和应用，这两个极限分别为：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}(1+\\frac{x}{n})^n$和$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\sin{x}}{x}$，其中前者是自然对数的底数$e$的定义，后者则是微积分中关于曲率的重要应用之一。
本文旨在对这两个重要极限的性质、应用和意义加以分析。
二、自然对数的底数$e$自然对数的底数e是一个非常重要的数学常数，它是微积分、数学分析和概率论中最广泛使用的常数之一。
在微积分和概率中，它是非常基础和核心的概念。
它的定义为：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}(1+\\frac{x}{n})^n$对自然对数的底数$e$的实际计算，通常使用下面的公式：$e=\\lim_{n\\rightarrow\\infty}(1+\\frac{1}{n})^n$在许多应用中，自然对数的底数$e$的重要性不仅仅是因为它是一个有用的数学常数。
在实际应用中，$e$是不可避免的出现的，这是因为$e$掌握了所有的微积分和概率统计学的本质。
三、关于曲率的重要应用曲率是一个关于曲线的参数，它是定量描述曲线弯曲程度的一个物理量。
曲率的计算和应用在微积分和物理学中都有广泛应用。
在微积分中，曲率的计算和应用是非常重要的。
一个曲线的曲率，是指曲线在某一点处切线的弯曲程度。
一个比较弯曲的曲线的曲率会很大，而一个比较平滑的曲线的曲率则会很小。
曲率在物理学中也有广泛应用，例如在描述粒子在弯曲的路径中的运动时，曲率是非常重要的。
（例子：我们都知道汽车在转弯时，要通过转向来改变车子行驶的弯曲程度，如果你的速度过快或者你的角度错误，则曲率会变得很大，车子会偏离原本的轨迹，这会导致车祸。
硬齿面齿轮层深接触疲劳强度计算
硬齿面齿轮层深接触疲劳强度计算
硬齿面齿轮层深接触疲劳强度是指齿面经受疲劳载荷下的承载能力。
在齿轮传动中，由于工作负荷的不均匀和齿面的微小缺陷，容易产生接触疲劳。
计算硬齿面齿轮层深接触疲劳强度的关键是确定应力循环，然后应用疲劳强度理论进行计算。
1. 接触应力计算：首先需要计算齿轮的接触应力，根据齿轮传动的几何参数和工作条件，可以使用Hertz接触理论来计算接触应力。
接触应力是计算接触疲劳强度的基础。
2.疲劳强度计算：根据齿轮材料的疲劳特性，可以使用疲劳强度公式来计算齿轮的疲劳强度。
常用的疲劳强度公式有极限弯曲应力法、维豪勒法、褶皱理论等。
选择合适的疲劳强度公式时需要考虑齿轮的几何结构、材料特性和工作条件。
3.接触疲劳强度计算：接触疲劳是由于齿面微小缺陷引起的，其计算需要考虑齿形误差、齿面粗糙度等因素。
根据疲劳强度理论，可以建立接触疲劳强度公式，计算齿轮的接触疲劳强度。
常用的接触疲劳强度公式有等效应力法、极限曲率法等。
4.安全系数确定：在计算齿轮的层深接触疲劳强度时，需要确定安全系数。
安全系数一般取决于齿轮传动的可靠性要求、工作条件、齿轮材料等因素。
较大的安全系数可以提高齿轮的可靠性，但也会增加成本。
总之，硬齿面齿轮层深接触疲劳强度的计算是一个复杂的过程，需要综合考虑齿轮的几何结构、材料特性和工作条件等因素。
通过合理的计算和设计，可以提高齿轮的疲劳强度，保证齿轮传动的可靠性和寿命。
带钢极限弯曲曲率计算公式
带钢极限弯曲曲率计算公式带钢是一种常见的金属材料，广泛应用于建筑、机械制造、汽车制造等领域。
在使用带钢时，其弯曲性能是一个重要的指标，而极限弯曲曲率是评价带钢弯曲性能的重要参数之一。
本文将介绍带钢极限弯曲曲率的计算公式及其应用。
带钢极限弯曲曲率计算公式可以用以下公式表示：\[ \rho = \frac{t}{2\sqrt{3}} \]其中，ρ为带钢的极限弯曲曲率，t为带钢的厚度。
这个公式是根据材料力学原理推导得出的，可以用来计算带钢在弯曲时的极限曲率。
在实际应用中，可以根据这个公式来评估带钢的弯曲性能，为工程设计和生产提供参考依据。
带钢的极限弯曲曲率与其材料的性能有着密切的关系。
一般来说，材料的硬度越高，其极限弯曲曲率就越小，也就是抗弯能力越强。
因此，在选择带钢材料时，需要根据具体的使用要求来确定其极限弯曲曲率的要求，以保证其在使用过程中具有足够的弯曲性能。
除了材料的硬度外，带钢的极限弯曲曲率还受到其厚度的影响。
一般来说，厚度越大的带钢其极限弯曲曲率就越小，也就是抗弯能力越强。
因此，在工程设计和生产中，需要根据具体的使用要求来确定带钢的厚度，以满足其弯曲性能的要求。
带钢的极限弯曲曲率对于其在实际使用中的性能具有重要的影响。
在建筑领域，带钢常常用于制作梁、柱等构件，在机械制造领域，带钢常常用于制作零部件，在汽车制造领域，带钢常常用于制作车身结构等。
在这些应用中，带钢的弯曲性能直接影响着构件或零部件的使用性能和安全性能。
因此，对于带钢的极限弯曲曲率需要进行准确的计算和评估，以保证其在使用过程中具有足够的弯曲性能。
在实际工程设计和生产中，带钢的极限弯曲曲率计算公式可以作为一个重要的参考依据。
通过对带钢材料的硬度和厚度进行测试和分析，可以得到其具体的极限弯曲曲率，从而为工程设计和生产提供重要的参考数据。
同时，还可以通过对不同材料和厚度的带钢进行对比分析，来选择最合适的材料和厚度，以满足具体的使用要求。
总之，带钢极限弯曲曲率计算公式是一个重要的工程计算工具，可以用来评估带钢的弯曲性能，为工程设计和生产提供重要的参考依据。
渐近线与曲率的性质与应用
渐近线通常用于描述 函数在无穷大处的行 为，有助于理解函数 的性质和行为。
在几何和工程领域， 渐近线有广泛的应用 ，例如在绘制地图、 建筑设计等领域。
渐近线的几何意义
渐近线是曲线在无穷远处的切 线
渐近线的斜率等于函数在该点 的导数
渐近线的存在性取决于函数的 单调性和极限
渐近线的位置与函数的极值有 关
渐近线与曲率的性质与 应用
汇报人：XX
目录
添加目录标题
01
渐线的性质
02
渐近线与曲率的关系
04
渐近线与曲率的实际 应用
05
曲率的性质
未来研究展望
03
06
添加章节标题
渐近线的性质
渐近线的定义
渐近线是曲线上的点 集，当这些点与给定 的直线之间的距离趋 向于0时，这些点构 成的线就是渐近线。
渐近线可以是水平、 垂直或斜的，取决 于曲线的形状和方 向。
渐近线与曲率的 实际应用
机械工程中的渐近线和曲率设计
汽车轮胎设计： 利用渐近线和曲 率优化轮胎的形 状和性能，提高 车辆的操控性和
稳定性。
飞机机翼设计： 利用渐近线和曲 率设计机翼，实 现空气动力性能 的提升，提高飞
行效率。
机械零件设计：在 机械零件设计中， 利用渐近线和曲率 可以优化零件的结 构和性能，提高机 械系统的可靠性和
曲率的设计需要考虑不同速度下车辆的行驶轨迹和稳定性，以及道路或桥梁的结构和 承载能力。
渐近线和曲率的设计需要综合考虑道路或桥梁的使用功能、交通流量、车辆类型、 地形条件等因素，并进行详细的分析和计算。
航空航天工程中的渐近线和曲率设计
飞机机翼设计：利用渐近线原理， 设计出符合飞行要求的机翼形状。
利用弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能
操作例题 | 利用截面的弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能
2
01. 概要
在非线性抗震分析中经常要使用截面的非线性滞回特性，梁或柱截面的非线滞回性特性可以使用截 面的弯矩-曲率关系或荷载-位移关系曲线来描述。
| 弯矩-曲率关系曲线 |
< 未勾选显示理想化模型选项时 >
< 勾选并输入用户自定义曲率: 0.002 >
操作例题 | 利用截面的弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能
12
05.任意形状截面性能评价
3. 查看结果
可查看弯矩-曲率、中和轴角度-曲率、砼受压－曲率、砼受拉-曲率、钢筋受压-曲率、钢筋受拉-曲 率关系曲线。
04. 矩形截面性能评价
3. 查看各种曲线
可查看弯矩-曲率、中和轴角度-曲率、砼受压－曲率、砼受拉-曲率、钢筋受压-曲率、钢筋受拉-曲 率关系曲线。
| 查看各种关系曲线结果 |
操作例题 | 利用截面的弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能
10
05.任意形状截面性能评价
1. 输入钢筋
利用弯矩-曲率曲线计算任意形状截面的抗震性能，下面输入钢筋。
输入矩形截面的配筋（单位使用kN、m）。
在主菜单中选择模型 > 材料和截面特性 > 弯矩-曲率曲线 1. 在名称中输入‘Column(SR)’ 2. 在截面中输入‘Column(SR)’, 在混凝土选择栏中选择‘Column(Concrete)’, 在钢材选择栏
中选择‘Column(Steel)’ 3. 在“位置”中选择“I” 4. 点击“截面钢筋数据”键 5. 在截面列表中选择‘Column(SR)’ 6. 在箍筋类型中选择箍筋直径‘D13’ 7. 在箍筋间距中输入‘0.1’, 箍筋肢数输入‘2’ 8. 在Pos1的数量中输入’20’, 在直径1中选择‘D25’ 9. 在Pos2的数量中输入’20’, 在直径1中选择‘D25’ 10. 在Dc中输入‘0.1’ 11. 点击“添加/替换”键 12. 点击“取消”键 13. 在轴力中输入‘1500’ 14. 在中和轴角度中输入‘0’ 15. 在点数中输入‘50’ 16. 点击“添加”键
截面设计器：屈服曲率、极限曲率随时间的变化规律
截⾯设计器：屈服曲率、极限曲率随时间的变化规律最近，有⼈问到混凝⼟桥墩正截⾯屈服曲率和极限曲率随时间的变化规律。
⼤致情况是：他已经⽤XTRACT计算得到了这⼆者的变化规律，但跟别⼈论⽂的结论相反。
所以希望拿其它软件再校核⼀下。
归纳起来，这个问题可以从以下4个⽅⾯来理解：1材料（混凝⼟、钢筋）特性随时间的变化规律及其内在联系应⼒松弛的现象，表现为在变形相同的情况下，钢筋提供的作⽤⼒减⼩了。
反映到材料特性上：随着时间的增长，钢钢筋有应⼒松弛筋的弹性模型和屈服强度在下降。
⽽约束混凝⼟的材料特性是受箍筋特性直接影响的。
钢筋的松弛导致约束混凝⼟的约束混凝⼟强度、屈服应变、破碎应变全⾯下降。
这也是⼆者相互影响的内在联系。
2屈服曲率的受⼒、变形特点边缘钢筋应变刚刚屈服（1.92E-3，与弹性模量的乘积约等于屈服强度）；中和轴略⾼于形⼼轴（受拉区局部开裂，导致中和轴上移，但上移有限，还基本在形⼼附近）由于1可知，钢筋的屈服应变随着时间在增加，故屈服曲率（下图右侧红⾊实线与垂直线的夹⾓）也在递增。
3极限曲率的受⼒、变形特点以边缘部位的约束混凝⼟压溃为变形特点；钢筋早已屈服；受压区⾼度只有全截⾯⾼度的六分之⼀左右。
由1可知，约束混凝⼟强度在下降，为保证受⼒平衡，受压区⾯积需要增加。
即受压区三⾓形的垂直边长要增加。
同时，由1可知，约束混凝⼟的极限压应变也在减⼩，所以极限曲率（下图右侧⽰意图中蓝⾊的实线）在下降。
4截⾯设计软件可能的求解策略截⾯转⾓作为已知条件，每⼀步截⾯的转⾓都以特定的增量单调增加，直⾄满⾜终⽌条件；以形⼼位置为基点，不断改变中和轴的⾼度，来判断平衡条件（以轴⼒、弯矩的误差作为判断平衡的依据）。
最后介绍⼀下SAP2000截⾯设计器的⼀些优点。
5截⾯设计器的⼏个优点截⾯设计器可以得到每⼀步边缘钢筋、边缘混凝⼟的应变以及中和轴⾼度，让⼈更容易理解正截⾯承载⼒的整个受⼒、变形特点。
以上是我近期的总结，有可能不对，如有发现，望通过留⾔或者QQ408615676告知。
公路桥梁抗震设计圆形和矩形截面屈服曲率和极限曲率计算
附录A 圆形和矩形截面屈服曲率和极限曲率计算A.0.1截面屈服曲率对于圆形截面和矩形截面，其截面屈服曲率可按下式计算：圆形截面：yy D εφ213.2=（A.0.1-1）矩形截面：yy H εφ957.1=（A.0.1-2）式中：y φ——截面屈服曲率(1/m)；y ε——相应于钢筋屈服时的应变；D ——圆形截面的直径(m)；H ——矩形截面计算方向的截面高度(m)。
A.0.2截面极限曲率1圆形截面截面极限曲率u φ（1/m ）可分别根据以下两式计算，取小值。
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-+⨯=--g ck cu cu u A f P D )638.1810575.8()850.610826.2(33εεφ（A.0.2-1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯=-g ck s s s u A f P D )010.0656.0739.28()179.110635.1(23εεεφ（A.0.2-2）'1.40.004Rs kh su cu cc f f ρεε=+(A.0.2-3)式中：P ——截面所受到的轴力（kN ）；ck f ——混凝土抗压强度标准值（kN/m 2）；g A ——混凝土截面面积(m 2）；s ε——钢筋极限拉应变，可取09.0=s ε；cu ε——约束混凝土的极限压应变；s ρ——约束钢筋的体积含筋率，对于矩形箍筋:yx s ρρρ+=kh f ——箍筋抗拉强度标准值（kN/m 2）；'ccf ——约束混凝土的峰值应力（kN/m 2），一般可取1.25倍的混凝土抗压强度标准值；R su ε——约束钢筋的折减极限应变，可取0.09R su ε=。
2矩形截面截面极限曲率u φ（1/m ）可分别根据以下两式计算，取小值。
()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-+⨯=--g ck cu cu u A f P H εεφ486.4410004.7)825.1110999.4(33（A.0.2-4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯=-g ck s s s u A f P H )015.0039.0722.37()097.110387.5(24εεεφ（A.0.2-5）式中符号意义同式（A.0.2-1）、式（A.0.2-2）和式（A.0.2-3）。
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石油学报 1997年7月ACT A PETROLEI SINICA第18卷 第3期*苏义脑,1976年毕业于武汉钢铁学院机械系,分别于1982年、1988年获硕士、博士学位。
现为石油勘探开发科学研究院教授级高级工程师,博士生导师。
通讯处:北京学院路910信箱。
邮政编码:100083。
极限曲率法及其应用苏义脑*(石油勘探开发科学研究院 北京)摘 要 水平井井眼轨道预测和控制问题的技术关键是准确计算各种造斜工具的造斜能力。
在综合分析定向井轨道预测方法和水平井预测控制特点的基础上,提出了一种计算导向动力钻具和各种转盘钻钻具组合造斜能力的新方法——“极限曲率法”,并对国际上当前流行的“三点定圆法”及极限曲率法作了讨论和对比;给出了极限曲率法在计算工具造斜能力和工具选型、系列工具的总体设计和井眼轨道的预测控制这三方面的应用实例,表明该方法是一种与实践相符程度较高、实用性较好的新方法。
主题词 水平井 轨道控制 轨道预测 分析研究1 前 言井眼轨道预测是井眼轨道控制技术的基础和重要组成部分。
对定向井井眼轨道的预测方法,目前国内外主要有[1]:(1)根据经验评选钻具组合的造斜率并以此预测井斜变化;(2)把钻头侧向力作为定量指标来预测井斜变化;(3)把钻头合力方向作为实际钻进方向;(4)把钻头轴线方向作为实际钻进方向;(5)把“平衡曲率”作为钻进曲率以确定钻进方向;(6)用岩石—钻头的相互作用模型确定钻进方向;(7)用力—位移模型确定钻进方向。
钻井实践表明,在上述几种方法中,如(6)、(7),固然可以作为精确的预测方法和手段,但预测程序中要用到地层、钻头的很多特征参数以作为输入参数,而这些参数在实际中较难准确地加以确定,因此其实际应用受到限制;如(2)、(3)、(4),因未考虑地层因素的影响,其预测结果往往误差较大;如(5),井眼实钻轨道并不会遵循“平均曲率”,在理论上和实践上均有一定问题;对(1),由于是根据经验,将使这种方法应用的普遍性受到较大限制。
水平井井眼的轨道预测是定向井井眼轨道预测的进一步扩展。
从预测方法本质上没有根本的区别。
但由于水平钻井本身的特殊性,有可能把上述几种不同的方法加以综合研究和发展,以形成一套在水平井中实用的轨道预测方法。
在长、中半径水平井钻井过程中,有两个突出特点:(1)在钻进过程中较普遍地采用各种弯壳体导向动力钻具,尤其在中半径水平井中,由于结构原因,钻头侧向力往往较常规定向井钻进过程中的钻头侧向力明显增大;(2)在井斜角从0°到90°的渐增过程中,地层力经历了由正变负(跨越零值)的过程。
因动力钻具允许使用的钻压较小,则与钻压成正比的地层力与钻具组合产生的钻头侧向力相比是一个小量。
基于上述两个特点可知,在水平钻井中,钻具组合的造斜能力基本上确定了井眼曲率。
问题的关键在于寻求一种新的方法,一方面可以通过理论分析和计算定量确定工具或下部钻具组合的造斜能力,另一方面避免输入钻井过程中很难确定的地层特性参数和钻头切削异性指数,从而使方法简单实用。
这一方法正是本文提出的极限曲率法,又称K c 法。
国外目前普遍采用“三点定圆法”(Three point geometry )来确定导向钻具组合的造斜能力。
但这种方法由于建立在简单的几何关系基础上,其计算结果往往与实际钻进结果误差较大,本文将对这种方法作出分析和评价。
2 对“三点定圆法”的分析、验证和评价 三点定圆法公式为K =2 L 1+L 2 (°/m )其中 表示工具的结构弯角,L 1表示钻头到下稳定器的距离,L 2表示下稳定器到上稳定器间的距离,K 是工具的造斜率。
该方法的优点在于计算简单,强调了结构弯角对工具造斜率的影响,并在一定程度上反映了稳定器位置的影响。
但该方法的缺点也十分突出,如:(1)未考虑钻具的受力与变形对造斜率的影响,即把造斜率计算建立在绝对刚性条件下的几何关系基础上;(2)未考虑钻具刚度对造斜的影响,用该式计算 、L 1、L 2相同的两种直径、不同刚度的钻具的造斜率所得结果相同;(3)未考虑近钻头稳定器位置(L 1)对造斜率的影响,由此式可得出:在上稳定器位置固定的前提下(L 1+L 2=Co nstant ),移动近钻头稳定器(L 1变化)不改变工具的造斜率。
这一结论与钻井实践明显相悖;(4)未考虑井眼扩大对工具造斜率的影响;(5)由此式可推出转盘钻BHA (无结构弯角即 =0)不会变更井斜的推论( =0 K =0,必然稳斜),但实际上转盘钻BHA 有降斜、增斜、稳斜之分;(6)当不接上稳定器时,因只有“两点”而无法用该式计算造斜率。
由现场钻井实践验证,用上式求出的造斜率与实际造斜率存在较大误差。
另外,国外在计算同向双弯组合造斜率时采用的“双半径法”[3](根据上述三点定圆法演变而来),经验证也有明显误差。
3 预测工具和钻具组合造斜率的极限曲率法(即K c 法)3.1 基本概念 现提出以下几个基本概念,以作为“极限曲率法”的基础。
(1)极限曲率(K c ):是指下部钻具合的钻头侧向力为0时所对应的井眼曲率值。
(2)工具造斜能力(K T ):是指工具在钻进过程中,改变井斜和方位的平均综合能力,指全角变化率而非单指井斜角变化率。
(3)工具造斜率(K T ):又称工具实际造斜能力,是指工具在钻进过程中的实际造斜率。
3.2 极限曲率法根据理论分析与钻井实践,K c 、K T 、K T 存在如下关系K T =A K c(1)或K T =B K T K T =(A B )K c (2) 一般系数A 可取0.70～0.85,地层造斜能力强时取上限。
当使用随钻测斜仪M WD 或SST 测量时,由于工具面对准程度高,则实钻井眼的井斜变化率基本接近K T 值,即可用(1)式来预测井斜变化率K 。
当用单点测斜仪时,因工具面对准度低而使工具的造斜能力不能全部发挥,因此实钻的井斜变化率K 低于K T 值。
此时可用(2)式预测井斜变化率K ,折减系数B 按经验取为B =0.8～0.9。
在一般计算与粗略预测中往往采用下式K T =0.7K c(3)经大庆树平1井多种工具和多个井段的数据处理表明111第3期极限曲率法及其应用3.3 K c 值的求法K c 值是下部钻具组合或造斜工具的一项重要力学指标,它是工具结构参数、井眼几何条件和工艺参数的函数。
K c 值可由求解下部钻具组合受力与变形的计算软件确定。
为求K c 值,针对纵横弯曲法软件和大变形有限元分析软件,笔者专门编制了“极限分析”子程序,可很方便地确定钻具组合或工具的K c 值。
3.4 对K c法的进一步讨论图1 P 5L Z 120系列钻具的极限曲率、工具造斜率与弯角间的关系Fig.1 Relationship am ong t he limiting cur vatur e,build r ate and bent angle of the bent ho using mo tor P 5L Z 120 由上述可知,极限曲率法建立在下部钻具组合受力变形分析基础上,综合考虑了工具或下部钻具组合的诸多结构参数(如结构弯角的位置及大小,上、下稳定器的位置和外径,钻具刚度等)、工艺参数(如钻压)和井身几何参数(如井斜角、井径等)对工具或下部钻具组合造斜能力的影响,基本上确定了它与极限曲率(K c )值的比例关系。
通过机理研究表明,工具造斜能力(造斜率)是一个低于极限曲率(K c )的量。
在此基础上,考虑到实钻过程中地层因素和工艺参数(主要是工具面角的对正程度)的影响,再次对造斜率系数加以修正。
M .Birades 和R .Fenoul 首先提出的一种方法(SPE15285),Jack Enen,N.P.Callas 和Way ne Sullivan 也曾用这一方法来预测井眼轨道。
这一方法是指井眼轨道的曲率将等于下部钻具组合的平衡曲率(Ballence Curv ature),即使钻头侧向力值为零时的井眼曲率,达到一种平衡状态。
实际表明,实钻井眼曲率值小于这一“平衡曲率”,对钻进机理的研究也可证明这一点。
本文用“极限曲率”这一概念取代平衡曲率,反映了这两种方法在认识上的根本差别;进一步采用系数(小于1)加以定量化,从而确定了工具造斜能力和实钻曲率与极限曲率K c 间的关系。
因此可以说,与平衡曲率法相比,极限曲率法体现了对钻井机理的认识的深化和预测技术的进步。
三点定圆法仅是从几何关系上来简单地估计工具造斜率,其隐含的前提是工具的刚度无穷大,即工具在井下不产生任何弹性变形,这是直接违背造斜机理的。
钻具组合正是因为在受力变形条件下产生了钻头侧向力和钻头倾角,侧向力造成侧向切削位移,从而才能发生井斜和方位的变化。
因此,采用三点定圆法预测实钻井眼曲率必然存在较大的误差;反之,用于指导工具设计也必然会有较大误差,而且很重要的结构参数(稳定器外径、第一稳定器的位置、弯点位置、钻具刚度)因无法反映在三点定圆法公式中从而使钻具设计无法进行。
4 极限曲率法的应用与验证4.1 计算工具的造斜能力,用于工具选型和组合设计 当井身设计确定之后,可在某种系列的导向螺杆钻具中选择所用的弯角规格。
此时可用极限曲率法进行计算。
实例1。
图1给出了P5LZ120型导向螺杆钻具的极限曲率(K c )、工具造斜率(K T =0.7K c )与弯壳体弯角 间的对应关系。
此图是用极限曲率法计算所得的结果。
根据此图为华北油田侧钻井所需的一批导向钻具提出了弯角选型。
实例2。
冀东油田北9-1定向井拟采用BW 5LZ165型可调弯壳体导向螺杆钻具进行连续控制钻进。
该井设计造斜率2°/30m 。
为保证工具具有足够的能力以应付扭方位,计算确112石 油 学 报第18卷定选用弯角 =0.6°,其K c =5.4°/30m ,K T =3.8°/30m 。
实际钻井过程中其造斜率K =(3.5°～4.1°)/30m 。
该工具在H =690m 处下井,开转盘钻出10m 直井段(井身设计造斜点在700m);经单点测斜仪测得实际井斜角 =1°,方位175°(设计方位344°)。
在钻进中采取逐步定向、扭方位;当扭方位完成后定向钻进;井斜超出预定值后开动转盘导向钻进,定向与导向方式交替进行,连续钻出直井—定向—增斜—稳斜井段,进尺377m (进入稳斜段100m)。
测量表明井身质量优良。
由于采用连续控制技术,提高了机械钻速,减少了几次起下钻,降低钻井成本4.1万元。
实例3。
对常规定向井增斜BHA (双稳定器)求其K c 值为K c =1.3°/30m 。
运用K c 法可知其造斜能力为0.91°/30m ,经大量实钻资料分析,实际造斜率与此非常接近。