高中新课程数学(新课标人教B版)必修一1.1.1《集合的概念》教案
人教版高中必修1(B版)第一章集合教学设计
人教版高中必修1(B版)第一章集合教学设计
一、教学目标
本章旨在让学生了解集合及其基本概念，掌握集合的表示方法、运算等基本内容，建立基本的数学思维和数学语言意识。
二、教学重点
1.集合及其基本概念的理解。
2.集合的比较、运算等基本内容的掌握。
3.基本数学语言和数学思维的建立。
三、教学难点
1.集合的基本概念及其理解。
2.集合的定义和各种运算的具体表达及其理解。
四、教学方法
本章教学主要采用教师讲授的方式，注重以图形表示为主，试图使抽象的数学概念形象化、具体化。
同时，也会引导学生通过讨论、实例等方式参与到教学过程中，提高学生的探究和思考能力。
五、教学内容及进度安排
1. 集合与元素
•集合的概念
•集合的元素
1。
人教B版数学高一版必修1学案集合的概念
数学人教B必修1第一章1.1.1 集合的概念1．了解集合的含义，会使用符号“∈”或“∉”表示元素与集合之间的关系．2．理解集合中元素的特性，重点理解其确定性与互异性．3．熟悉常用数集的符号，尤其要注意空集的含义及表示．1．集合的有关概念一般地，把一些能够____的____的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的____(或____)，常用英语大写字母A，B，C，…表示．构成集合的每个对象叫做这个集合的____(或____)，常用英语小写字母a，b，c，…表示．集合是现代数学中不加定义的基本概念，学习这个概念应注意以下两点：(1)集合是一个“整体”；(2)构成集合的对象必须是“确定”且“不同”的．【做一做1】下列各组对象不能构成集合的是()A．著名的中国数学家B．所有的负数C．清华大学招收的2011级新本科生D．2011年11月第十九届APEC(亚太经合组织)会议将在夏威夷檀香山举行，所有APEC 的成员国2．元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果____________，就说a属于A____a属于A不属于如果____________，就说a不属于A____a不属于A 元素与集合的联系与区别如下表：【做一做2】已知集合M只含有两个元素2 011a，2 013－a，且2 011∈M，求a的值．3．集合中元素的性质特征(1)______，(2)______，(3)______．在处理集合中有关元素的问题时，求得其中元素(或字母)的值以后，要充分考虑集合元素的互异性与分类讨论思想的应用，要进行代入检验，舍去不符合要求的值．【做一做3－1】若a，a，b，b，a2，b2构成集合M，则M中的元素最多有() A．6个B．5个C．4个D．3个【做一做3－2】方程x2－2x＋1＝0的解集中有__________个元素．4．集合的分类【做一做4】指出下列集合是有限集还是无限集．(1)满足2 011＜x＜2 013的整数构成的集合；(2)平面α内所有直线构成的集合．5．常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号________________ 【做一做5】下列关系表示正确的是()A．0∈N＋B．π∉R C．1∉Q D．0∈Z一、集合中元素的特性剖析：确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一，它是判断一组对象是否形成集合的标准．互异性：一个给定集合的元素中，任何两个元素都是不同的，因而在同一个集合中，不能重复出现同一个元素，这一点很容易被大家忽视，在解题中要切记这一性质．无序性：集合中的元素没有顺序，在表示集合时先写哪个元素都可以．二、特殊集合——空集剖析：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.空集是一个实实在在的集合，只不过此集合中无任何元素，故称之为空集．如“方程x2＋2＝0的实数根”组成的集合，因为没有适合该集合的元素，故它是空集．要谨防①0＝{0}，②{0}＝，③{}＝的错误，实际上，①0是集合{0}的一个元素，可记为0∈{0}；②表示空集，而{0}表示含一个元素0的集合；③{}表示含有一个元素的集合．三、教材中的“思考与讨论”1．你能否确定，你所在班级中，高个子同学构成的集合？并说明理由．剖析：不能构成集合．原因是对高个子同学高的程度没有确定的标准，所以无法判定哪些同学符合要求，因此不能构成集合．2．你能否确定，你所在班级中，最高的3位同学构成的集合？剖析：能构成集合．因为班里最高的3位同学是确定的(只要按身高从高到低取前三名即可)，将他们作为元素放在一起即构成所要求的集合．题型一集合中元素的确定性【例1】下列各组对象能构成集合吗？(1)你所在班级的男生；(2)参加2010年广州亚运会的高大运动员；(3)关于x 的方程ax 2＋1＝0的实数解；(4)从1988年到2012年举办奥运会的城市；(5)所有小的正数；(6)到两定点距离的和等于两定点间的距离的点．分析：“高大”和“小”没有确定的标准，因此(2)(5)的对象不能构成集合，(3)中的方程可能有实数解，也可能没有实数解，当a 给定后，其方程解的情况就是确定的．反思：看一组对象能否构成一个集合，只要看这组对象是否是确定的，即任何一个对象，要么在这一组对象中，要么不在这组对象之中，而没有第三种情况出现．题型二 集合中元素的互异性【例2】由元素3，x ，x 2－2x 构成集合M ，则x 应满足的条件是__________．反思：互异性是集合中元素的重要性质，在解决集合中有关元素的问题时，一定要注意利用互异性进行验证．题型三 元素与集合的关系【例3】已知集合P 中有三个元素a －3,2a －1，a 2＋4，且－3∈P ，求实数a 的值． 分析：利用－3是集合P 中的元素，可列方程求a 的值，最后需验证集合中元素的互异性．反思：在根据元素与集合的关系解题时，一定要注意最后代入检验，看是否符合题意及元素的互异性等性质．1下列各组对象，能构成集合的是( )A ．平面直角坐标系内x 轴上方的y 轴附近的点B ．平面内两边之和小于第三边的三角形C ．新华书店中有意义的小说D ．π(π＝3.141…)的近似值的全体2由a 2,2－a ,4组成一个集合A ，且集合A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( )A ．1B ．－2C ．6D ．23集合A 是由点(2 011,2 012)和点(2 012,2 011)构成的，则A 中有__________个元素． 4设L (A ，B )表示直线AB 上所有点组成的集合，“P 是直线AB 上的一个点”这句话就可以简单地写成P __________L (A ，B )．5判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，12这些数组成的集合有5个元素； (2)方程(x －3)(x －2)2＝0的解组成的集合有3个元素．答案：基础知识·梳理1．确定 不同 集合 集 元素 成员【做一做1】A 因为选项B ，C ，D 中所给的对象都是确定的，从而可以构成集合；而选项A 中所给对象不确定，原因是没有具体的标准来衡量一位数学家怎样才算著名，故不能构成集合．2．a 是集合A 的元素 a ∈A a 不是集合A 的元素 a ∉A【做一做2】解：∵2 011∈M ，∴2 011a ＝2 011或2 013－a ＝2 011.解得a ＝1或a ＝2.∴a 的值为1或2.3．(1)确定性 (2)互异性 (3)无序性【做一做3－1】C 由集合元素的互异性，知集合M 中的元素最多为a ，b ，a 2，b 2，且4个元素互不相等．【做一做3－2】14． 有限集 无限集【做一做4】解：(1)满足2 011＜x ＜2 013的整数仅有2 012一个，故此集合是有限集．(2)无限集．5．N N ＋或N * Z Q R【做一做5】D典型例题·领悟【例1】解：(1)(3)(4)(6)可以构成集合；(2)(5)不能构成集合．【例2】x ≠3且x ≠0且x ≠－1 由集合中元素的互异性可得出3，x ，x 2－2x 互不相等，由此可求出x 应满足的条件．即由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠3，x 2－2x ≠3，x 2－2x ≠x ，解得x ≠3且x ≠0且x ≠－1.【例3】解：∵－3∈P ，a 2＋4≥4，∴a －3＝－3或2a －1＝－3，解得a ＝0或a ＝－1.经检验a ＝0时，P 中三个元素为－3，－1,4，满足集合中元素的互异性；a ＝－1时，P 中三个元素为－4，－3,5，也满足集合中元素的互异性．综上，a 的值为0或－1.随堂练习·巩固1．B 选项A ，C ，D 中的对象不具有确定性，故不能构成集合；而选项B 为，故能构成集合．2．C 代入验证如下：当a ＝1时，a 2＝2－a ；当a ＝－2时，a 2＝2－a ＝4；当a ＝2时，a 2＝4，所以1，－2,2均不能满足集合A 中元素的互异性，而a ＝6时，a 2＝36,2－a ＝－4，故选C.3．2 因为点的坐标是有顺序性的，所以集合A 中有2个点，即A 中有2个元素．4．∈5．解：(1)不正确．对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，而32与64相同，⎪⎪⎪⎪－12与12相同，故此集合是由3个元素组成的集合． (2)不正确．方程(x －3)(x －2)2＝0的解是x 1＝3，x 2＝x 3＝2，因此此集合只有3和2两个元素．。
高中数学 1.1.1 集合的含义与表示教案 新人教B版必修1
课题：§1.1 集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。
另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。
课型：新授课教学目标：〔1〕通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于〞关系；〔2〕能选择自然语言、图形语言、集合语言〔列举法或描述法〕描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定〔是高一而不是高二、高三〕对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合〔宣布课题〕，即是一些研究对象的总体。
阅读课本P2-P3内容二、新课教学〔一〕集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2.一般地，研究对象统称为元素〔element〕，一些元素组成的总体叫集合〔set〕，也简称集。
3.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4.关于集合的元素的特征〔1〕确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，那么或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
〔2〕互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体〔对象〕，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
〔3〕集合相等：构成两个集合的元素完全一样5.元素与集合的关系；〔1〕如果a是集合A的元素，就说a属于〔belong to〕A，记作a∈A〔2〕如果a不是集合A的元素，就说a不属于〔not belong to〕A，记作a∉A〔或a ∈A〕〔举例〕6.常用数集及其记法非负整数集〔或自然数集〕，记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R〔二〕集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。
人教B版数学高一版必修1教案1.1.1集合的概念
教师锦囊教学建议1.关于集合的概念及空集集合是现代数学思想中的原始概念,是不定义概念,但可以描述.对于描述的集合初学者不易领会到位,可以分门别类地举一些实例说明.教材中对集合的描述是“所研究对象的全体”,它不但可以是数,也可以是方程、不等式,一定范围内的人或物也可作为元素.教材中对集合作了很粗略的分类:有限集与无限集.显然这是按集合内元素的个数分的类.用不同的标准显然有不同的分类.数学上常见的还有其他一些类别,如实数集R,自然数集N,不等式构成的集合,函数构成的集合,多边形(图形)构成的集合等等.其中空集是很重要的集合.在不同的集合中,空集就像自然数中的0,它既是有限集(无任何元素),又是任何集合的子集,要举例说明空集与一般集合的这种关系.2.关于集合中元素的特性集合中元素具有以下三个特性:确定性、互异性、无序性.其元素具备这样特征的一类对象的全体才叫集合.生活中模棱两可的表达不能作为集合的元素.如好人构成一个集合,难题构成一个集合,很大的数构成一个集合都是错误的,为此可结合例3及变式强调元素特征的应用. 相同元素在集合内只能出现一次(元素的互异性),但是算式作为元素的集合可以有{x+y,y+x},有序实数对(点)为元素的集合可以有{(1,2),(2,1)}等.因为这是不同的两个元素.备用习题1.下列所给对象不能构成集合的是( )A.平面内的所有点B.直角坐标系中Ⅰ、Ⅲ象限的角平分线上的所有点C.清华大学附中高一年级全体女生D.所有高大的树解析:由于选项D 中的对象含糊不清,所谓“高大”没有明确的客观标准,也就难以判断某些对象是否属于这个范畴,因而不符合集合的确定性.故选D.答案:D2.含有三个实数的集合可以表示为{a,ab ,1},也可以表示为{a 2,a+b,0},则a 2006+b 2006的值为( )A.0B.1C.-1D.±1解析:由已知a≠0,得ab =0. ∴b=0.由集合相等,可知a 2=1,即a=±1.又由集合中元素的互异性,得a≠1.∴a=-1.∴a 2006+b 2006=1.∴选B.答案:B3.集合P={1,a},a 2是集合P 中的元素,则a 可取的值有________个.解析:因为a 2是集合P 中的元素,所以a 2=1或a 2=a,解得a=1或-1或0.又由元素互异性,知a≠1,∴a=-1或0,即a 可取的值有2个.答案:24.求集合{a,12 a }中a 的取值范围.解析:由⎪⎩⎪⎨⎧-≠≠,12,1a a a 得a≠1且a≠-1且a≠2.。
2021年高中数学1.1.1《集合的概念》学案 新人教B版必修1
，记作
，读作
，记作
，读作
，记作
。
。 。
6. 集 合的 分类 ：含 有有限 个 元素 的集 合叫 做
做
。
，含有无限个元素的集合叫
7.常用的数集及其记号： （1）自然数集： （2）正整数集： （3）整数集：
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，记作 ，记作 ，记作
。 。
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（4）有理数集： （5）实数集：
，记作 ，记作
。 。
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这些对象的全体构成的
（或
（或
）。
对象看成一个整体，就说这个整体是由 ）。构成集合的每个对象叫做这个集合的
2.集合中元素的性质：
、
、
。
3.集合与元素的表示：集合通常用 通常用
来表示。
来表示，它们的元素
4.元素与集合的关系： 如果 a 是集合 A 的元素，就说 如果 a 不是集合 A 的元素，就说
5.空集：
2021 年高中数学 1.1.1《集合的概念》学案 2 新人教 B 版必修 1
学科 数学 编制人
教学案编号
1
课型
新授 课
课题
1.1.1 集合的概念
课标要求 初步理解集合的含义，了解属于关系的意义，知道常用数集及其记法。
重点难点
集合的概念与集合中元素的性质 教学过程设计
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一、 知识要点 1. 集合：一般地，把一些能够
二、 典例解析 例1. 你能否确定，你所在班级中，高个子同学构成的集合？并说明理由。
你能否确定，你所在班级中，最高的 3 位同学构成的集合？
变式训练பைடு நூலகம்教材第 4 页练习 A 第 1 题
例 2. （1） -3 N； （2）3.14 Q； （3） Q； （4）0 （5） Q； （6） R； （7）1 N+； （8） R。
高中数学最新资料 1.1.1 集合的概念1教案 新人教B版必修1
1.1.1集合的概念新课讲授请同学们举一个例子，要求是我们熟悉的与日常生活相关的“整体”、“一类”、“一群”。
例如：“xx 中学高一全体学生”、“xx 中学高一、二班全体学生”、“数学书的全体”、“英语字母的全体”。
1.“集合”与前面的“整体”、“一类”、“一群”的意义相近，那如何给集合下一个标准的定义？见课本。
一般地，把一些能够确定不同地对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素。
【例】语言描述：“小于10的自然数”。
列举对象：“0，1，2，3，4，5，6，7，8，9”2.集合的表示形式课本上怎样描述的？集合表示用大写字母：,,,A B C D ，元素表示用小写字母：,,,a b c d【例】集合符号：{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =3.每一个集合都有一个明确的限制条件，用限制条件限制哪一些元素属于这一个集合，限制条件模糊可以吗？“我们班体重超过75公斤的学生的全体”与“我们班性格开朗的女生的全体”哪一个明确？不明确的还能构成一个整体吗？还能算是一个集合吗？通过此例对集合的构成有什么要求？【例】下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤的全体；其中能构成集合的组数是（ 2 ）分析：“接近于0的数”、“ 比较小的正整数”标准不明确，同样“的近似值”也不明确到什么程度，很难判定一个数（比如2）是不是它的近似值，所以答案为2。
一些对象要构成一个集合必须具有一下两个特点：一是确定性，二是互异性。
其中“确定的不同的对象”一语，说明集合中的元素是确定的，而且是不同的互异的，一个对象要么是集合中的元素，要么不是集合中的元素，两者必具其一，这是集合条件的确定性，集合的限制条件不能含糊不清，必须明确，容易判断这个整体内到底有哪一些元素。
4.一个元素属于一个集合如何用数学符号表示？“a 属于A ”记作“a A ∈”，“a 不属于A ”记作“a A ∉”【例】结合确定性用符号∈和∉填空① 设集合A 是正整数的集合，则0______A A ，0(1)-______A② 设集合B 的所有实数的集合，B ，1B ③ 设集合C 是满足方程21x n =+（其中n 为正整数）的实数x 的则3______C ，5______C④ 设集合D 是满足2y x =的有序实数对(,)x y 的集合，则1-______D ，(1,1)-______D分析：①依次填∉、∉、∈②22312311=>=+，1∴∉、∈③由于n 是正整数，213n ∴+≠，而2n =时，215n +=，依次填∉、∈④由于集合D 的元素是有序实数对(,)x y ，而1-是实数，又2(1)1-=，所以依次填∉、∈5.集合的分类：同学们有谁能举几个例子，要求符合条件的元素有限个和无限个？ ①所有的实数的集合(无限)②平面内所有直线的集合(无限)③满足36x -<<的所有的整数的集合（8个）④方程2230x x -+=的所有的解的集合（无判别式小于零） 如果按照集合元素个数分类为？6.常见的数集见课本教学小结：本节课主要是集合的概念及性质，能正确判断一组对象能否组成集合，理解元素与集合间的关系。
高中数学 111 集合的概念教案一 新人教B版必修1 教案
1.1.1集合的概念教学目标：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法（2）使学生初步了解“属于”关系的意义（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义教学重点：集合的基本概念教学过程：1．引入（1）章头导言（2）集合论与集合论的创始者-----康托尔（有关介绍可引用附录中的内容）2．讲授新课阅读教材，并思考下列问题：（1）有那些概念？（2）有那些符号？（3）集合中元素的特性是什么？（4）如何给集合分类?（一）有关概念:1、集合的概念（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈Aa∉（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.3、集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.4、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集{Φ，}0{，0等符号的含义注：应区分Φ，}5、常用数集及其表示方法NN*或N+ZQR注：（1）自然数集包括数0.N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*课堂练习：教材第5页练习A、B小结：本节课我们了解集合论的发展，学习了集合的概念及有关性质课后作业：第十页习题1-1B第3题附录：集合论的诞生韩雪涛“集合”的概念.他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.康托尔的不朽功绩前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”.因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来.“无限”这一数学上的潘多拉盒子.下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么.“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示.”学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生.但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作.在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释.无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在.这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.十八世纪数学王子高斯就持这种观点.用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的.所谓无穷，只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想.由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷.他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论.这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界. ――例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系――“全体大于部分”相矛盾.而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集.又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集.但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成.”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已.这是何等令人震惊的结果！然而，事情并未终结.魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次.他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次.他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”.他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”.作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的.当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧.公理化集合论的建立集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃.然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦.在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了.今天，我们可以说绝对的严格已经达到了.”然而这种自得的情绪并没能持续多久.不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界.这就是1902年罗素得出的罗素悖论.罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R.现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R.这样，不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中.这就是数学史上的第三次数学危机.危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去.1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统.原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现.这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论.与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论.公理化集合论是对朴素集合论的严格处理.它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机.公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去.从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等.而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的.因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结. 它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一. 超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的X畴中人类活动的最美的表现之一. 这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作. 康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一.2π是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世.。
高中数学《集合的概念》教案11 新人教B版必修1
第一课时集合－集合的概念教学目的：〔1〕使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法〔2〕使学生初步了解“属于〞关系的意义〔3〕使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义教学重点：集合的基本概念及表示方法教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时罗华的手稿1831年1月伽罗华在教具：多媒体个结论，他写成论文提交给法国科、实物投影仪内容分析：1．集合是中学数已证明的一个结果可以说明伽罗华学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初议科学院否定它1832年5月30日中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶集等；在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对造福人类1832年5月31日离开了逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识，他死后14年，法国数学家X维问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是于X维尔主编的《数学杂志》上本章学习的基础把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集〞这句话，只是对集合概念的描述性说明教学过程：一、复习引入：1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；2．教材中的章头引言；3．集合论的创始人——康托尔〔德国数学家〕〔见附录〕；4．“物以类聚〞，“人以群分〞；5．教材中例子〔P4〕二、讲解新课：阅读教材第一部分，问题如下：〔1〕有那些概念？是如何定义的？〔2〕有那些符号？是如何表示的？〔3〕集合中元素的特性是什么？〔一〕集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．1、集合的概念〔1〕集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合〔简称集〕〔2〕元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素〔3〕元素对于集合的隶属关系〔4〕集合中元素的特性确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可在时称属于，即a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……“∈〞的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写不在时称，不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉互异性：集合中的元素没有重复无序性：集合中的元素没有一定的顺序〔通常用正常的顺序写出〕2、集合的表示方法：〔1〕列举法：在大括号内将集合中的元素一个个列举出来，元素之间用逗号隔开，具体又分以下三种情况：①元素个数少且有限时，全部列举；如{1，2，3}②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，列举几个元素，取决于能否普遍看出其规律，称中间省略列举。
人教版高中必修1(B版)1.1.1集合的概念教学设计
人教版高中必修1(B版)1.1.1集合的概念教学设计一、教学目标1.理解集合的概念、元素和符号表示方法。
2.能够根据集合的定义和运算规则解决简单的集合问题。
3.培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。
二、教学重点和难点1.集合的概念、元素和符号表示方法。
2.集合的包含关系和运算规则。
三、教学内容1. 集合的引入教师用故事引入集合的概念，如小明家有3个苹果，4个橘子和2个葡萄，这些水果可以构成一个集合，集合的元素就是这些水果。
然后教师引领学生发现集合可以用花括号{}表示，如集合{苹果，橘子，葡萄}。
2. 集合的定义教师引导学生从实际中发现集合的概念，如一所学校所有学生构成一个集合，或者全国所有男生和女生分别构成两个集合。
然后教师引导学生发现集合的定义：将一些确定的对象组成的整体叫做集合，其中的每一个对象都叫做集合的元素。
例如，{1，2，3，4}是一个集合，1，2，3，4是集合的元素。
3. 集合的符号表示法教师在黑板上写出集合的符号表示法，如集合A={1，2，3}，集合B={x|x是小于5的偶数}。
然后教师引导学生理解符号表示法的意义和用途。
4. 集合的包含关系教师引导学生发现集合的包含关系，如一个集合A包含另一个集合B，当且仅当A中所有的元素都属于B。
例如，{1，2，3}包含{1，2}和{}，但不包含{1，2，3，4}。
然后教师引导学生理解子集和真子集的概念。
5. 集合的运算规则教师引导学生发现集合的运算规则，包括集合的并、交、差和补等。
然后教师提供简单的例题，让学生应用集合的定义和运算规则解决问题。
四、教学方法1.演示法：用故事、图示等形式演示集合的概念和运算规则。
2.体验法：让学生通过实际操作，感受集合的定义和运算规则。
3.对话法：通过对话，引导学生理解集合的概念和运算规则。
4.问题导向法：提出问题，让学生应用集合的知识解决问题。
五、教学评价1.在教学过程中，教师要注意观察学生的学习情况，及时调整教学策略。
人教B版高中数学必修1教学案设计：1.1.1集合的概念(学生版)
第一章集合§1.1集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念【学习要求】1.初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法．2.初步了解“属于”关系的意义．3.初步了解有限集、无限集、空集的意义．【学法指导】通过实际生活中经常用到的集合思想，抽象概括出集合的定义，感知集合的含义，进一步理解分类的思想；通过由自然语言描述集合到用抽象的符号语言描述集合的过程，体会集合语言的精确性和简洁性.填一填：知识要点、记下疑难点1.集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)．2.集合中元素的性质：确定性、互异性、无序性．3.集合与元素的表示：集合通常用英语大写字母A，B，C，…来表示，它们的元素通常用英语小写字母a，b，c，…来表示．4.元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说 a属于A，记作a∈A，读作“a属于A ”；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A，读作“a不属于A”；空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅ .5.集合的分类：含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集.6.常用数集的记号：自然数集记作N；正整数集记作N＋或N*，整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R . 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]军训前学校通知：今天上午八点高一年级在体育场集合进行军训动员；那么这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生呢？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合．探究点一集合概念的形成过程问题1 在初中，我们学过哪些集合？用集合描述过什么？问题2 对集合的概念我们并不陌生，那么你能给集合下个定义吗？探究点二集合中元素的特征问题1 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？问题2 集合中的元素不能相同，这就是元素的互异性，那么如何理解这一性质？问题3 “中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：北京、上海、天津、重庆；乙同学说：上海、北京、重庆、天津，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？例1考查下列每组对象能否构成一个集合．(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某校2018年在校的所有高个子同学；(4)3的近似值的全体．跟踪训练1下列给出的对象中，能构成集合的是( )A．著名数学家B．很大的数C．聪明的人D．小于3的实数探究点三集合与集合中的元素的关系及表达问题1 集合及集合中的元素用怎样的字母来表示？问题2 集合与元素之间的关系如何表示？例2已知－3∈A，A中含有的元素有a－3,2a－1，a2＋1，求a的值．跟踪训练2 已知由1，x，x2三个实数构成一个集合，求x应满足的条件．探究点四集合的分类及常用数集问题1 根据集合所含元素的多少，怎样对集合进行分类？问题2 常用的数集有哪些？如何表示？例3 下面有四个命题，正确命题的个数为 ( )①集合N中最小的数是1；②若－a不属于N，则a属于N；③若a∈N，b∈N*，则a＋b的最小值为2；④x2＋1＝2x的解可表示为{1,1}．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个跟踪训练3用符号“∈”或“”填空：－3___N； 3.14____Q；3___Q； 1___N＋；π____R.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.下列各条件中能构成集合的是( )A．世界著名科学家B．在数轴上与原点非常近的点C．所有等腰三角形D．全班成绩好的同学2.给出下列几个关系，正确的个数为 ( )①3∈R；②0.5∉Q；③0∈N；④－3∈Z；⑤0∈N＋.3.一个小书架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有________个元素．4.方程x2－2x＋1＝0的解集中，有________个元素．课堂小结：1.考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2.集合中元素的三个性质(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系.。
人教新课标高中数学B版必修1《1.1.1 集合的概念》教学设计(表格式)
1.1.1 集合的概念一、教材分析1.知识来源：集合的概念选自人民教育出版社B版必修一第一章第一节集合与集合的表示方法的第一小节.2.知识背景：作为现代数学基础的集合论，集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学中一些冗长的文字语言，高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，作为一种数学简单符号来探究.通过本节课的学习，是阶段性的要求，学生将领悟集合的抽象性及其具体性，学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，逐渐发展运用数学语言进行交流的能力.3.知识外延：集合相关知识的学习对于接下来函数的学习至关重要，高中函数的概念将建立在集合间关系的基础上的.二、学情分析1.学生心理特征分析：集合为高一上学期开学后的第一次授课知识，是学生从初中到高中的过度知识，存在部分同学还沉浸在暑假的懒散中，从而增加了授课的难度.再者，与初中直观、具体、易懂的数学知识相比，集合尤其是无限集合就显得抽象、不易理解，这会给学生产生一定的心理负担，对高中数学知识的学习产生排斥心理.因此本节授课方法就显得十分重要.2.学生知识结构分析：对于高一的新生来说，能够顺利进入高中知识的学习，基本功还是较扎实的，有良好的学习态度，也有一定的自主学习能力和探究能力.对集合概念的知识接纳和理解打下了良好的基础，在教学过程中，充分调动学生已掌握的知识，增强学生的学习兴趣.三、教学目标：1、知识与技能（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法.（2）初步了解“属于”、“不属于”关系的意义.（3）初步了解有限集、无限集、空集的意义.2、过程与方法（1）通过实例，初步体会元素与集合之间的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确的理解集合.（2）观察关于集合的几组实例，并通过自己思考举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义.（3）学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性）.3、情感、态度与价值观（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.（2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力.初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度.四、教学重难点重点：使学生了解集合的含义以及具体的表示方法.难点：区别较多的新概念和相应的新符号.五、课时分配：集合的学习约为6课时1、集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念 1课时1.1.2集合的表示方法 1课时1、2集合之间的关系和运算1.2.1集合之间的关系 1课时1.2.2集合的运算 2课时小结与复习 1课时六、教学建议集合是一个不加定义的概念，教学中应结合学生的生活经验和已有的数学知识，通过列举丰富的实例，是学生理解集合的含义.学习集合语言最好的方法是运用，在教学中要创设学生运用集合语言进行表达和交流的情景和机会，以使学生在实际运用中逐渐熟悉自然语言、集合语言、图形语言各自的特点，进行相互转换并掌握集合语言.在关于集合之间的关系和运算的教学中，使用Venn图是重要的，Venn图有助于学生学习、掌握、运用集合语言和其他数学语言.七、教学过程。
12-13学年高一数学1.1.1《集合的概念》教案4(人教B版必修1)
1.1.1集合的概念教学目标：使学生初步理解集合的基本概念，了解“属于”关系的意义、常用数集的记法和集合中元素的特性. 了解有限集、无限集、空集概念，教学重点：集合概念、性质；“∈”，“∉”的使用教学难点：集合概念的理解；课型：新授课教学手段：教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论，它不仅是数学的一个基本分支，在数学中占据一个极其独特的地位，如果把数学比作一座宏伟大厦，那么集合论就是这座宏伟大厦的基石。
集合理论创始者是由德国数学家康托尔，他创造的集合论是近代许多数学分支的基础。
（参看阅教材中读材料P17）。
下面几节课中，我们共同学习有关集合的一些基础知识，为以后数学的学习打下基础。
二、新课教学“物以类聚,人以群分”数学中也有类似的分类。
如：自然数的集合 0，1，2，3，……如：2x-1>3，即x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。
如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A，B，C，D，…集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a，b，c，d，…2、元素与集合的关系a是集合A的元素，就说a属于集合A ，记作 a∈A ，a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作 a∉A思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
例1：判断下列一组对象是否属于一个集合呢？（1）小于10的质数（2）著名数学家（3）中国的直辖市（4）maths中的字母（5）book中的字母（6）所有的偶数（7）所有直角三角形（8）满足3x-2>x+3的全体实数（9）方程210++=的实数解x x评注：判断集合要注意有三点：范围是否确定；元素是否明确；能不能指出它的属性。
高一数学：1.1.1《集合的概念》教案3(人教B版必修1)
1.1.1集合的概念教学目的：1、了解现实生活中集合的含义；2、了解集合和元素的概念，一些特殊的集合的表示；3、掌握集合的三个性质：确定性、元素的互异性和无序性。
教学重点：集合的含义，掌握能构成集合的条件，集合中元素的互异性、无序性。
教学过程：一、学习主编寄语1、数学是有用的；2、学数学能提高能力；3、数学是自然的、清楚的；4、学数学要摸索自己的学习方法；5、学数学要趁年轻。
二、新课1、小学和初中学过的集合自然数 {0,1，2,3，···}，-1，-2是不是自然数？有理数 {-1，-2,0，2,3，21，···}，2是不是有理数？ 不等式x-7<3的解集到一定点等于定长的点的集合(圆)到一条线段的两个端点距离相等的点的集体(线段的垂直平分线)2、集合的定义一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，把一些元素组成的总体叫集合 (set)，简称集。
P2 (1)、(2)、(3)、···、(8)的例题3、集合的确定性给定的集合，它的元素必须是确定的，即给定一个集合，任何一个元素在不在这 个集体中就确定了。
如：“亚洲国家的首都”构成的集合中，北京、东京、新德里在这个集合中，但是纽约、巴黎、伦敦就不在这个集合中。
身材较高的人，不能构成集合。
漂亮的人，不能构成集合。
世界体育明星，不能构成集合。
4、集合的互异性一个给定的集合元素是互不相同的，集合的元素是不能重复出现的。
课本某一页的文字、符号能不能构成集合？(有重复，所以不能)5、集合的无序性只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
例如，{0，1}与{1,0}是相等的。
6、练习：P37、作业：预习P3—P5，集合的表示法。
附注：质数：除了1和它本身外，没有其它约数的大于1的自然数。
补充练习：集合A＝{a，b，c，d}的四个元素代表四边形的四条边，则这个四边形可能是（）（A）平行四边形（B）矩形（C）菱形（D）梯形答案：（D）。
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1.1.1集合的概念教学目标：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法（2）使学生初步了解“属于”关系的意义（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义教学重点：集合的基本概念教学过程：1．引入（1）章头导言（2）集合论与集合论的创始者-----康托尔（有关介绍可引用附录中的内容）2．讲授新课阅读教材，并思考下列问题：（1）有那些概念？（2）有那些符号？（3）集合中元素的特性是什么？（4）如何给集合分类?（一）有关概念:1、集合的概念（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈Aa∉（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.3、集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.4、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集{Φ，}0{，0等符号的含义注：应区分Φ，}5、常用数集及其表示方法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合.记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q（5）实数集：全体实数的集合.记作R注：（1）自然数集包括数0.（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*课堂练习：教材第5页练习A、B小结：本节课我们了解集合论的发展，学习了集合的概念及有关性质课后作业：第十页习题1-1B第3题附录：集合论的诞生韩雪涛集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分.在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果.其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动.正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端.到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念.他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.康托尔的不朽功绩前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”.因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来.数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱.因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念.但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路.他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界.对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子.下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么.“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示.”学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生.但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作.在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释.无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在.这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.十八世纪数学王子高斯就持这种观点.用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的.所谓无穷，只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想.由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷.他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论.这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界.最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究.他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数.他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势.由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应――例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系――也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数.这与传统观念“全体大于部分”相矛盾.而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集.又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数[注]集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集.但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成.”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已.这是何等令人震惊的结果！然而，事情并未终结.魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次.他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次.他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”.他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系它可以无限延长下去.就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景.可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了.毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣.他们大叫大喊地反对他的理论.有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”.作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的.当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧.公理化集合论的建立集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃.然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦.在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了.今天，我们可以说绝对的严格已经达到了.”然而这种自得的情绪并没能持续多久.不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界.这就是1902年罗素得出的罗素悖论.罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R.现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R 属于R.这样，不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中.这就是数学史上的第三次数学危机.危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去.1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统.原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现.这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论.与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论.公理化集合论是对朴素集合论的严格处理.它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机.公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去.从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等.而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的.因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结.它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一.超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一.这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一.注：整系数一元n次方程的根，叫代数数.如一切有理数是代数数.大量无理数也是代数数.如根号2.因为它是方程x2-2=0的根.实数中不是代数数的数称为超越数.相比之下，超越数很难得到.第一个超越数是刘维尔于1844年给出的.关于π是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世.。