人教版初中数学教材梳理
初中数学人教版9年级上册教材全解
第二十一章一元二次方程【抛砖引玉】韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，常常也称作韦达定理，这是因为该定理是16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的.韦达的小传韦达1540年出生在法国东部的普瓦图的韦特奈.他早年学习法律，曾以律师身份在法国议会里工作，韦达不是专职数学爱，但他非常喜欢在政治生涯的间隙和工作余暇研究数学，并做出了很多重要贡献，成为那个时代最伟大的数学家.韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进.他在1591年所写的《分析术引论》是最早的符号代数著作.是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用.因此，他获得了“代数学之父”之称.他还写下了《数学典则》（1579年）、《应用于三角形的数学定律》（1579年）等不少数学论著.韦达的著作，以独特形式包含了文艺复兴时期的全部数学内容.只可惜韦达著作的文字比较晦涩难懂，在当时不能得到广泛传播.在他逝世后，才由别人汇集整理并编成《韦达文集》于1646年出版.韦达1603年卒于巴黎，享年63岁.下面是关于韦达的一则趣事：韦达的“魔法”在法国和西班牙的战争中，法国人对于西班牙的军事动态总是了如指掌，在军事上总能先发制人，因而不到两年功夫就打败了西班牙。
可怜西班牙的国王对法国人在战争中的“未卜先知”十分脑火又无法理解，认为是法国人使用了“魔法”.原来，是韦达利用自己精湛的数学方法，成功地破译了西班牙的军事密码，为他的祖国赢得了战争的主动权.另外，韦达还设计并改进了历法.所有这些都体现了韦达作为大数学家的深厚功底.【先睹为快】本章主要包括一元二次方程及其相关概念、一元二次方程的解法及一元二次方程的实际应用三个知识点.主要学习用配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，根的判别式以及根与系数的关系，用一元二次方程来解决实际问题.【众说纷纭】老师：怎样才能学好一元二次方程？学生1:我认为，一元二次方程与前面学过的一元一次方程、二元一次方程组很类似，几元就是指几个未知数，几次就是指未知数的次数是几.只要前面这两种方程学好了，学一元二次方程就简单了.学生2:你们知道什么是方程根吗?告诉大家，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根.一元二次方程的根就是使这个一元二次方程左右边相等的未知数的值.学生3:那一元二次方程根的情况是有时有两个根，有时没有实数根吧?老师：你们理解的对.但是我们要注意一点，一元二次方程必须满足三个条件：一是只含有一个未知数，二是未知数的最高次数是2，三是整式方程.学生1:知道怎么解一元二次方程吗？有三种方法哦，一是配方法、二是公式法，三是因式分解法.学生2:是啊，是啊，三种方法还适合不同的方程形式，有时运用因式分解法好，有时运用配方法好，这一章要学习的内容还挺有意思的，我们共同来期待吧!21.1 一元二次方程【解读课标】1.理解一元二次方程的概念及一般形式，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念.2.了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的根. 【洞悉课本】知识点1 一元二次方程（重点）一元二次方程的定义：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.友情所示：从一元二次方程的定义可知,一元二次方程需具备以下三个条件:(1)只含有一个未知数,即未知数有且只有一个.如果方程中未知数的个数多于1个,那么它就不是一元二次方程.(2)未知数的最高次数是2,即未知数的最高次数不能低于2,也不能高于2.但方程中是否存在一次项或常数项,并没有提出要求.因此,可将方程进行降幂排列,观察未知数的最高次数是否为2.(3)方程的两边是整式.整式是单项式和多项式的统称.说明分母不能含有未知数,被开数不能含有未知数.只要某个方程不符合以上三条中的一条,那它就不是一元二次方程.反之，是一元二次方程，那么它就一定满足以上三个条件.例1 下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）.A.2210x x +=B.20ax bx c ++= C.(1)(2)1x x -+=D.223250x xy y --=【解题思路】根据一元二次方程的定义, 把一个整式方程经化简后含一个未知数且未知数的最高次数为2就是一元二次方程.A 项分母中含有未知数；B 项中未强调a ≠0；D 项中含有两个未知数；把C 项展开整理为x 2-x-3=0，符合一元二次方程的概念.【答案】C. 【方法归纳】判断一个方程是否为一元二次方程，首先要将方程化简，使方程右边为0，然后观察它是否具备一元二次方程的三个条件：（1）只含有一个末知数，（2）末知数的最高次数是2，（3）整式方程，这三个条件缺一不可. 【举一反三】1.(★)下列方程中，关于x 的一元二次方程是( ). A.3(x +1)2=2(x +1) B.2112x x+-=0 C.（a -1）x 2+bx +c =0 D.x 2+2x =x 2-1 2. (★★) 方程(m +2)x |m |+3mx +1=0是关于x 的一元二次方程，则( ).A.m =±2B.m =2C.m =-2D.m ≠±2 知识点2 一元二次方程的一般形式（重点）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，可以化为ax 2+bx +c =0(a ≠0)，这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项. 【友情提示】一元二次方程的一般形式是将方程变形和整理后的一种很有规律的表达形式，它的左边是未知数的二次三项式，且其中a 通常写成大于0的形式，而右边是0.一元二次方程的一般形式是用配方法或公式法求一元二次方程根的基础.例2 把下列方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项.（1）x（x+6）=5；（2）（x+1）（x-4）=-4；（3）（2x+1）2=4x．【解题思路】首先对三个方程进行适当的整理，化为一般形式，再指出二次项系数、一次项系数和常数项.【解】（1）x（x+6）=5，去括号，得x2+6x=5，移项，得x2+6x-5=0．其中二次项系数为1，一次项系数6，常数项-5.（2）（x+1）（x-3）=-4，去括号，得x2-4x+x-4=-4，移项，合并同类项，得x2-3x=0.其中二次项系数为1，一次项系数-3，常数项0.（3）（2x+1）2=-7，去括号，得4x2+4x+1=4x，移项，合并同类项，得4x2+1=0．其中二次项系数为4，一次项系数0，常数项1.【方法归纳】一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b=0；若没有出现常数项c，则c=0.【举一反三】3.(★) 一元二次方程3x2+2x－5=0的一次项系数是．4.(★★)把方程5x（x+1）=2（x+5）2+x2-3化成一般形式，并指出二次项系数，一次项系数及常数项．小强的解题过程如下：解：去括号，得5x2+5x=2（x2+25）+x2-3，移项，得5x2+5x-2x2-50-x2+3=0，合并，得2x2+5x-47=0．所以二次项系数是2，一次项系数是5，常数项是-47．小强的解题过程有错误吗？若有，请指出错在什么地方，并给出正确的解题过程．知识点3 一元二次方程的解（根）（难点）一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.判定一个数是不是一元二次方程解的方法是：将此数代入这个一元二次方程，若能使等式成立，则这个数是一元二次方程的解；反之，它就不是一元二次方程的解.友情所示：一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则m必然满足该方程，将m代入该方程，便有am2+bm+c＝0（a≠0）；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m能使am2+bm+c＝0（a≠0）成立，则m 一定是ax2+bx+c＝0的根.例3 已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）.A.1B.﹣1C.0D.无法确定【解题思路】根据一元二次方程根的定义，只要将方程中的未知数换成相应的根，就可以使问题得到解决.据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1.【答案】 B【方法归纳】在已知方程的根时，通常需要将方程的根代入原方程，根据要求的结果，进行转化，可通过分解因式，或者整体代入等方法实现要求解的问题. 【举一反三】5.(★) 已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是___________（只需写出一个方程）6.(★★) 已知a 是方程012=-+x x 的一个根，则aa a ---22112的值为（ ）. AB ．251±- C ．－1D ．1【走出误区】易错点1一元二次方程的概念理解不透彻例1方程（m +2）x |m |+3mx +1=0是关于x 的一元二次方程，则（ ）. A ．m =±2 B ．m =2 C ．m =-2 D ．m ≠±2【解题思路】因为方程（m +2）x |m |+3mx +1=0是关于x 的一元二次方程，所以220.m m ⎧=⎪⎨+≠⎪⎩，解得m =2．故选B ．【答案】B【误区分析】错解原因误认为未知数x 的次数是2就可以，忽视了二次项系数m +2≠0这一隐含条件．易错点2 不能准确确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项例2 写出方程3x 2+2x=5二次项系数、一次项系数及常数项. 【解题思路】求一元二次方程的项及各项的系数时，应先把方程化为一般形式后再确定，并注意要带上符号.【解】把3x 2+2x=5化为一般形式为3x 2+2x-5=0，其中二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是-5.【误区分析】错解的原因在于未将原方程化为一般形式，忽略了项的系数符号以及混淆了项与项的系数的概念. 【对接中考】【考点透视】中考对这部分内容的考查，主要以一元二次方程的判别、一元二次方程的根以及根的应用为主，试题难度不大，属于简单题，且试题的类型通常以选择题、填空题为主. 【中考典例】例 （2016·宜宾）已知2=x 是一元二次方程022=++mx x 的一个解，则m 的值是 ( ).A ．-3B ．3C ． 0D ．0或3【解题思路】把2=x 代入原方程可得到一个关于m 的一元一次方程，再求解，应选A. 【答案】A ．【方法归纳】本题考查了一元一次方程的解法及方程解的定义，解题时遇到方程的解可把解代入原方程，这是常用方法. 【真题演练】1．（2016•牡丹江★★）若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a ﹣b 的值是（ ）.A.2018B.2008C.2014D.20122．（2016贵州省黔西南州★★）已知x=1是一元二次方程x 2+ax+b=0的一个根，则代数式a 2+b 2+2ab 的值是 ． 【小试身手】1. (★)下列方程中，关于x 的一元二次方程的是（ ）. A.02112=-+x xB.()()12132+=+x x C.02=++c bx ax D.122-=+x x x2. (★★)已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a (a ≠0)，则a －b 的值为（ ）.A ．﹣1B ．0C ．1D ．23. (★)方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．4. (★)请你写出一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为-3，这个一元二次方程是 .5. (★★)已知x = 1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则222n mn m ++的值为 ．6. (★★)当m 为何值时，关于x 的方程22(9)(3)20m x m x m -+-+=（1）是一元一次方程？（2）是一元二次方程？7. (★★)教材或资料会出现这样的题目：把方程2122x x -=化为一元二次方程的一般形式，并写出他的二次项系数、一次项系数和常数项. 现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答. （1）下列式子中，有哪几个是方程2122x x -=所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号） . ①21202x x --= ②21202x x -++= ③224x x -= ④2240x x -++= 2323430x x --= （2）方程2122x x -=化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？【教材习题解答】P （4）1.（1）3x 2-6x+1=0，二次项系数为3，一次项系数为-6，常数项为1. 解析: 直接把一次项6x 移到左边即可.（2）4x 2+5x-81=0，二次项系数为4，一次项系数为5，常数项为-81. 解析:直接把常数项81移到左边即可.（3）x 2+5x=0，二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为0. 解析:直接把x(x+5)去括号即可.（4）2x 2-4x+2=0，二次项系数为2，一次项系数为-4，常数项为2. 解析:根据多项式乘以多项式的法则把左边展开：(2x-2)(x-1)=0，得2x 2-4x+2=0.（5）x 2+10=0，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为10. 解析:把左边去括号，同时右边的5x-10移到左边，合并同类项即可.（6）x 2+2x-2=0，二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-2. 解析:左、右两边分别去括号，再把右边的移到左边.(3x-2)(x+1)=x(2x-1)，去括号得3x 2+3x-2x-2=2x 2-x ，移项、合并同类项得x 2+2x-2=0.2.（1）设这个圆的半径为Rm ，由圆的面积公式得3.14R 2=6.28，所以3.14R 2-6.28=0 解析:根据圆的面积公式得到方程.（2）设这个直角三角形较长的直角边为xcm ，由三角形的面积公式得21x(x-3)=9，整理得21x 2-23x-9=0. 解析：直接根据三角形的面积公式构造方程. 3.-4，3 解析: 分别把-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4代入到方程x 2+x-12=0的左边，看是否与右边相等，如果相等，则是原方程的根；若不相等，则它不是原方程的根.4.解析：设长方形的宽为xcm ，则长方形的长是(x+1)cm ，由题意得x(x+1) =132，即x 2+x-132=0.5.解析：设长方形的长为xcm ，则长方形的宽是(0.5-x)cm ，由长方形的面积公式x(0.5-x)=0.06，整理得x 2-0.5x+0.06=0.6.解析:设有x 人参加聚会，根据题意可知(x-1)+(x-2)+…+2+1=10，即102)1(=-x x ，整理得010222=--xx . 7.解析:由题意可知，22-c=0，所以c=4，所以原方程x 2-4=0，所以x=±2，即这个方程的另一个根是-2.21.2 降次----解一元二次方程【解读课标】1.理解并掌握一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、因式分解法，会选择适当的方法解一元二次方程；2.会用b 2-4ac 判断一元二次方程根的情况； 3.理解一元二次方程的根与系数的关系；4.通过对一元二次方程解法的探索，体会“降次”的基本思想. 【洞悉课本】知识点1 配方法解一元二次方程（难点）配方法就是通过将原方程配成完全平方式来解一元二次方程的方法.配方法的理论依据是完全平方公式.配方法的步骤是：1. 移项：使含未知数的项在左边，常数项在右边；2. 化二次项系数为1：两边同除以二次项系数；3.配方：方程两边都加上一次项系数的一半，写成2()x m n +=的形式；4.求解：利用平方根定义直接开平方（n ＜0无解）.友情所示：（1）配方法是一种很重要的数学方法，但使用起来较复杂，故没有特别说明，一般不使用.但此方法非常重要，以后有着广泛的应用，必须掌握它.（2）运用上面的步骤时，一定要注意先化二次项系数为1，配方时，要注意方程两边都加上一次项系数的一半，不能只加一边.例1 解方程 ：22520x x -+=．【解题思路】根据配方法解题的一般步骤，按照解题步骤一步步来，就可以顺利解出来.【解】移项，得2x 2-5x=2， 二次项系数化为1，得2512x x -=-， 配方，得2225551244x x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即259()416x -=，5344x -=±．解得12122x x ==，．【方法归纳】配方法是一种重要的解题方法，在应用它时主要是依据一般步骤，只要注意一次项的符号，选准和（或差）的平方，就可以得到正确答案. 【举一反三】1.(★) 用配方法解一元二次方程245x x -=时，此方程可变形为（ ）. A.()221x += B.()221x -= C.()229x += D.()229x -= 2. (★★) 配方法解方程x 2－4x ＋1=0知识点2 一元二次方程根的判别式（难点）一般地，式子b 2-4ac 叫做方程20ax bx c ++=(a ≠0)根的判别式，通常用希腊字母△来表示，即△=b 2-4ac.用根的判别式可不用解方程直接判断一元二次方程的根的情况.一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的情况可由b 2－4ac 的符号来判定：（1）当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b 2－4ac =0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根.友情所示：①应用根的判别式要准确确定a 、b 、c 的值；②根的判别式只适用于一元二次方程.例2 不解方程，判断下列方程根的情况.（1）3x 2+8x=3 （2）x 2+4=4x （3）t 2-t+2=0【解题思路】确定各方程中a 、b 、c 的值，将它们代入△=b 2-4ac.由△的符号确定方程根的情况.【解】(1)原方程可化为3x 2+8x-3=0.∵△=b 2-4ac=82-4×3×（-3）=100＞0，∴原方程有两个不相等的实数根.（2）原方程可化为x 2-4x+4=0.∵△=b 2-4ac=（-4）2-4×1×4=0，∴原方程有两个相等的实数根.（3）∵△=b 2-4ac=（-1）2-4×1×2=-7＜0，∴原方程没有实数根. 【方法归纳】根的判别式是用来判断一元二次方程根的情况的，再应用它来解题时要把方程化为一般形式，再确定a 、b 、c 的值，最后计算出b 2－4ac 的值. 【举一反三】3.(★)一元二次方程0412=++x x 的根的情况是（ ）. A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定4. (★★)已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是( ).A.a ＜2B.a ＞2C.a ＜2且a ≠1D.a ＜－2 5.(★★)若方程2x kx 9=0++有两个相等的实数根，则k= .知识点3 公式法解一元二次方程（难点）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b-4ac ≥0时，方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的实数根可以写为方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）推导过程如下：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a+（2b a ）2 即（x+2b a）2=2244b aca -∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0直接开平方，得：x+2b a =±2a ，即x=2b a-∴x 1=2b a -，x 2=2b a-【友情提示】公式法是在配方法的基础上推理得到的方法，公式法使解方程的过程简单化，体现了优化思想.公式法可以称为“解一元二次方程的万能公式”. 例3 用公式法解方程：2314x x -=．【解题思路】将方程整理成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，将它们代入△=b 2-4ac 计算出数值，当b 2-4ac ≥0时，直接代入公式求解.【解】原方程可化为23410x x --=． 因为341a b c ==-=-，，．241612280b ac -=+=>，所以x ==12x x ==．【方法归纳】公式法是解一元二次方程最常用的方法，它的一般步骤是：（1）把方程化成一元二次方程的一般形式，（2）写出方程各项的系数，（3）计算出b 2-4ac 的值，看b 2-4ac 的值与0的关系，若b 2-4ac ＜0，则此方程没有实数根， 当b 2-4ac ≥0时， 代入求根公式计算出方程的根.【举一反三】6.(★) 方程2x 2＋5x －3＝0的解是 .7.(★★)解下列方程:（1）x 2+2x-35=0 （2）2x 2-4x-1=0 （3）2314x x -=．知识点4 因式分解法解一元二次方程（重点）通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.友情所示：分解因式法是解一元二次方程较简洁的方法，关键是化方程右边为0，左边能分解因式.但使用起来有一定的局限性，一般方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) ，当c=0时用因式分解法比较简单.例4 解方程：（1）x 2-12x=-36 （2）)32(4)32(2+=+x x【解题思路】 (1)移项后用完全平方公式分解因式；（2）先把方程右边的代数式移到左边，使右边为0，再把左边进行因式分解.【解】（1）移项，得x 2-12x+36=0，所以（x-6）2=0，即x 1=x 2=6. （2）移项，得0)32(4)32(2=+-+x x ，因式分解，得 0)432)(32(=-++x x . 于是0)432(0)32(=-+=+x x 或，所以21,2321=-x x 【方法归纳】因式分解法是最简单的解一元二次方程的方法，它的一般步骤是：（1）移项，使方程的右边为0；（2）利用提取公因式法，平方差公式，完全平方公式等对左边进行因式分解；（3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.【举一反三】8.(★) 方程x （x-2）+x-2=0的解是（ ）. A.2 B.-2，1 C.－1 D.2，－19.(★★) 我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个．．，并选择你认为适当的方法解这个方程． ①2310x x -+=；②2(1)3x -=；③230x x -=；④224x x -=．知识点5 一元二次方程根与系数的关系（选学） 探索一元二次方程根与系数的关系我们知道方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，b 2-4ac ≥0）的两根是：x 1=，x 2=2b a-则x 1+x 2=2b a -+2b a-=-22bb a a =-，x 1·x 2=2b a -·2b a-22244b b ac ca a -+==. 规律：x 1+x 2=b a -，x 1·x 2=ca称为一元二次方程根与系数. 有关根与系数的关系的两个重要推论：（1）以x 1、x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）的是x 2-（x 1+x 2）x+x 1·x 2=0.（2）如果方程x 2-px+q=0的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2=-p ，x 1·x 2=q. 友情所示：只有在方程有根即△= b 2-4ac ≥0的前提下，才有x 1+x 2=b a -，x 1·x 2=c a. 例5已知关于x 的一元二次方程x 2﹣bx+c=0的两根分别为x 1=1，x 2=﹣2，则b 与c 的值分别为（ ）.A.b=﹣1，c=2B.b=1，c=﹣2C.b=1，c=2D.b=﹣1，c=﹣2【解题思路】根据根与系数的关系，由方程的两根分别为x 1=1，x 2=﹣2，即可求得b 与c 的值．【解】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣bx+c=0的两根分别为x 1=1，x 2=﹣2，∴x 1+x 2=b=1+（﹣2）=﹣1，x 1•x 2=c=1×（﹣2）=﹣2，∴b=﹣1，c=﹣2．故选D ．【方法归纳】若x 1，x 2是方程x 2+px+q=0的两根时，则x 1+x 2=-p ，x 1·x 2=q ；本题也可以利用根的定义，把x 1，x 2分别代入方程，得到b 、c 的方程组进行求解. 【举一反三】 10.(★) 若x 1，x 2是一元二次方程2x 2-7x +4=0的两根，则x 1+x 2与x 1·x 2的值分别是（ ）. A ．-72，-2 B ． -72，2 C ．72，2 D ．72，-2 11.(★★) 已知1x 、2x 是方程2630x x ++=的两个实数根，则2112x x x x +的值等于（ ）. A ． 6 B ．－6 C ．10 D ． －1012.(★★)（1）新人教版初中数学教材中我们学习了：若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，则1212,b cx x x x a a+=-⋅=．根据这一性质，我们可以求出已知方程关于12,x x 的代数式的值．例如：已知12,x x 为方程2210x x --=的两根，则12x x += ，12x x ⋅= ．那么()2221212122x x x x x x +=+-= ．请你完成以上的填空．．．．．．．．．． （2）阅读材料：已知2210,10m m n n --=+-=，且1mn ≠．求1mn n+的值． 解：由210n n +-=可知0n ≠．∴21110n n +-=．∴21110n n--= 又210,m m --=且1mn ≠，即1m n≠．∴1,m n是方程210x x --=的两根．∴11m n +=．∴1mn n+=1． （3）根据阅读材料所提供的的方法及（1）的方法完成下题的解答．已知222310,320m m n n --=+-=，且1mn ≠．求221m n +的值．【走出误区】易错点1 配方法时出错例1用配方法解方程x 2-2x-8=0【解题思路】配方法通常将一元二次方程ax 2+bx+c=0，化为02=++acx a b x 后，再进行配方．要注意是方程的两边．．．．．同时加上一次项系数一半的平方，最后化成n m x =+2)(的形式，求出解即可.【答案】移项，得x 2-2x=8，x 2-2x+1=8+1 即(x-1)2=9,两边开平方，得x-1=±3 ∴x 1=4，x 2=-2．【误区分析】错解的原因在于只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而方程的右边忘了加.易错点2 用公式法时出错例2用公式法解方程4722=+x x ．【解题思路】运用公式法解一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式，计算出“△”的值，最后代入公式即可.【答案】移项，得：04722=-+x x ，因为a=2,b=7,c=-4 所以b 2-4ac=49-4×2×(-4)=81，所以794x -±==． 即12142x x =-=，．【误区分析】错解的原因在于没有将方程化成一般形式，造成系数中常数项c 的错误．易错点3 解方程时约分造成失根致错例3 解方程（2x-3）2=3（2x-3）.【解题思路】本题方程的两边都含有（2x-3）这个相同的因式，两边不能直接除以（2x-3），要通过移项，借助因式分解来解决.【答案】移项，得：（2x-3）2-3（2x-3）=0，因式分解，得：（2x-3）（2x-3-3）=0，所以2x-3=0或2x-6=0，即12332x x ==，． 【误区分析】错误的原因是变形不属于同解变形，方程两边都除以)32(-x 时，没有考虑)32(-x 也可以为0，从而丢掉了23=x 这个根． 易错点4 忽视根的情况致错例4 当a 取何值时，关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211？【解题思路】求关于方程两根的问题时，借助于根与系数的关系，并要考虑二次项的系数不等于零，且根的判别式大于或等于零.本题是有两个不相等的实根1x 、2x ，故△＞0，同时注意二次项系数不能为0.【答案】因为方程有两个不等的实根，所以a ≠0，且)1(24)]13([2+⨯⨯-+-=∆a a a =2)1(-a ≥0，所以a ≠1，因为两实根为1x 、2x ，所以aa x x a a x x )1(2,132121+=⋅+=+，所以a aa a a -=+-+1)1(213，解得1±=a ，因为a ≠1，所以1-=a ． 【误区分析】忽视题目中的两个不相等实根的条件，其实1-=a 时方程有两个相等的实数根．【对接中考】 【考点透视】中考对这部分内容的考查，主要以一元二次方程的解法、一元二次方程根的情况以及根的判别式的应用为主，同时有根与系数的关系的简单应用，试题难度中等，属于中等难度题，且试题的类型通常以选择题、填空题、解答题为主. 【中考典例】例1（2013白银）现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a★b=a 2﹣3a+b ，如：3★5=32-3×3+5，若x★2=6，则实数x 的值是 ．【解题思路】根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到x 的值.根据题中的新定义将x ★2=6变形得：x 2﹣3x+2=6，即x 2-3x-4=0，因式分解得：（x-4）（x+1）=0，解得：x 1=4，x 2=-1，则实数x 的值是-1或4． 【答案】-1或4．【方法归纳】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边变为积的形式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．例2(2013贵州省六盘水）已知关于x的一元二次方程（k -1）x 2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）.A.k ＜﹣2B.k ＜2C.k ＞2D.k ＜2且k≠1【解题思路】根据题意得：△=b 2-4ac=4-4（k-1）=8-4k ＞0，且k-1≠0，解得：k ＜2，且k≠1． 【答案】D【方法归纳】求一元二次方程方程中字母的取值范围内，要根据方程根的情况，借助根的判别式的值，列出关于所求字母的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的字母的取值范围．例3 （2013湖北省鄂州市）已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2-3x+a=0的两个解，若（m-1）（n-1）=-6，则a 的值为（ ）. A.-10 B.4 C.-4 D.10【解题思路】利用根与系数的关系表示出m+n 与mn ，已知等式左边利用多项式乘多项式法则变形，将m+n 与mn 的值代入即可求出a 的值.根据题意得：m+n=3，mn=a ，∵（m-1）（n-1）=mn-（m+n ）+1=-6，∴a-3+1=-6，解得：a=-4． 【答案】C.【方法归纳】此类题目需先求出两根之和，两根之积，然后代入所给式子求出字母的值.熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键.例4（2013四川省乐山）已知关于x 的一元二次方程x 2-（2k+1）x+k 2+k=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根．第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值． 【解题思路】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k ，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k ，AC=k+1，当AB=BC 或AC=BC 时△ABC 为等腰三角形，然后求出k 的值.（1）【证明】∵△=（2k+1）2﹣4（k 2+k ）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根；（2）【解】一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+k=0的解为x=2112k +±，即x 1=k ，x 2=k+1， 当AB=k ，AC=k+1，且AB=BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k=5；当AB=k ，AC=k+1，且AC=BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k 的值为5或4．【方法归纳】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．【真题演练】1．（2013四川省成都★）一元二次方程220x x +-=的根的情况是（ ）.A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根 2．（2013湖北天门、潜江★）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x ﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ）. A.-1 B.9 C.23 D.27 3．（2013•四川绵阳★★）已知整数k ＜5，若△ABC 的边长均满足关于x 的方程280x -+=，则△ABC 的周长是 .【小试身手】1. (★) 一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（ ）.。
人教版初中数学教材分析
人教版初中数学教材分析引言人教版初中数学教材是国内中学数学教材的一种，在初中三年的研究中呈现出较为统一的风格和总体设计。
本文主要从教材的编排、内容设计、教学策略等方面进行分析，旨在评估该教材的优缺点，为教学实践提供参考。
教材编排人教版初中数学教材共三册，分别为七年级、八年级、九年级。
每册教材均由若干章节组成，按照数学学科的不同分为代数、几何、统计与概率等单元。
每章的开篇都明确标出了本章要点，使学生对研究内容有了大致的认识和预期。
对于难度较大的概念和重要定理，教材会在正文中重点突出，配以尽可能多的例题、题和解析，以此提供学生自我研究和巩固知识的途径。
另外，教材还根据研究进度设置了一些自测题和复题，以检测学生的研究成果和掌握情况。
内容设计人教版初中数学教材的内容设计以生活实践为基础，突出数学的应用性和实用性。
例如，在初中数学代数单元中，学生不仅研究了解方程、一元二次方程、比例与相似等基本概念和算法，还引入了实际问题的分析和求解。
在每章末尾，教材都会提供一两个与学生日常生活相似的案例，让学生能够通过数学知识解决实际问题，切身感受数学的实用性。
此外，教材还注重学生的综合素质培养，如思考能力、创新能力、沟通能力和团队协作能力等，通过一些探究题和思考题的设置和组合，鼓励学生在课堂上进行多种形式的交流与协作，提高他们的思维水平和综合素质。
教学策略人教版初中数学教材在教学策略上也有一些创新点。
首先，教材在内容设置上力求通俗易懂，突出重点和难点，对学生容易误解的知识点进行了详细的讲解和分析。
其次，教材在例题和题的设计上也非常注重思维启发和能力培养。
通过一些常见问题的演示和推导，让学生对数学知识和应用场景有了更深入的理解。
在题方面，除了基本的计算和应用题，教材还设置了很多需要综合思考和创新思维的综合题和探究题，以此增强学生的实际解决问题的能力和创新意识。
结论综合以上分析，人教版初中数学教材在内容编排、内部设计和教学策略等方面，都具有较高的质量和实用性。
新人教版初中数学教材解读
新人教版初中数学教材解读标题：新人教版初中数学教材解读新人教版初中数学教材在2021年秋季正式启动使用，旨在为学生提供更加优质的教育资源，全面提升学生的数学素养。
本文将对新人教版初中数学教材进行解读，探讨其特点、内容、教学方法等方面。
一、教材特点1、注重基础：新人教版初中数学教材强调学生对数学基础知识的掌握，注重培养学生的数学基本能力，如计算、推理、归纳等。
2、实践性强：教材注重数学与实际生活的联系，通过具有实践性的例题和习题，帮助学生理解数学的应用价值，提高解决实际问题的能力。
3、突出思维：教材在内容设计上注重培养学生的数学思维能力，通过具有启发性的问题，引导学生自主思考，提高学生的数学思维能力。
二、教材内容1、数与代数：教材从学生的认知特点出发，系统介绍了整数、分数、小数等数的基本概念和计算方法，同时介绍了代数的基本概念和运算法则。
2、几何与图形：教材通过丰富的几何图形和图形性质的内容，帮助学生建立几何感，提高学生的空间想象能力。
3、统计与概率：教材介绍了统计的基本方法和概率的基本概念，帮助学生理解数据的重要性，提高分析数据的能力。
三、教学方法1、多样化教学：教材通过丰富的例题、习题和实践活动，使教学形式多样化，提高学生的兴趣和学习效果。
2、探究式教学：教材通过具有启发性的问题，引导学生自主探究，让学生在探究过程中掌握知识，提高解决问题的能力。
3、个性化学习：教材注重学生的个性化学习需求，通过多样化的学习资源，满足不同学生的学习需求，提高学生的学习积极性。
四、总结新人教版初中数学教材在内容设计上注重基础知识的掌握和实践能力的培养，同时突出数学思维的重要性。
教材的多样化教学、探究式教学和个性化学习等特点，为教师提供了更多的教学选择和发挥空间，同时也为学生提供了更加丰富的学习资源。
教师需要根据学生的实际情况，灵活运用教材，不断提高教学质量，全面提升学生的数学素养。
人教版初中数学教材大纲人教版初中数学教材大纲一、前言人教版初中数学教材大纲是为了确保初中数学教育的质量和连贯性而制定的。
初中数学人教版教材目录教学大纲最新版
初中数学人教版教材目录教学大纲最新版一、教材目录初一数学人教版教材目录：第一章整数第二章分数第三章小数第四章代数式第五章方程与不等式第六章几何图形初步第七章相似与相等第八章计量与几何变换初步第九章数据的统计初二数学人教版教材目录：第一章相似第二章平面向量第三章等比数列第四章三角比与三角函数第五章平面几何初步第六章立体几何初步第七章解析几何初步第八章数据及图形初步初三数学人教版教材目录：第一章函数的初步第二章不等式组与线性规划第三章数据的分析第四章概率初步第五章数学素材与拓展二、教学大纲初中数学教学大纲，是为了直接指导教学工作而制定的，具有权威性和指导性。
其作用在于规定必要的教学内容、时间分配、学情反馈等，并阐明思想方法和教学要点，使教师能够全面了解教学任务，并合理把握教学进度。
初一数学教学大纲：第一章整数要求学生掌握正负整数的概念、大小比较、运算及应用。
要求培养学生应用整数来研究实际问题的能力。
第二章分数要求学生掌握分数表示及大小比较，加减、乘除及应用。
要求培养学生用分数来研究实际问题的能力。
第三章小数要求学生掌握小数的概念及加减乘除运算。
要求培养学生运用小数来研究实际问题的能力。
第四章代数式要求学生掌握代数式及其展开、合并、因式分解和简化。
要求培养学生分析、解决实际问题的能力。
第五章方程与不等式要求学生掌握一元一次和一元二次方程的解法及其在实际问题中的应用，掌握一元一次和一元二次不等式及其解法和应用。
要求培养学生运用代数式解决实际问题的能力。
第六章几何图形初步要求学生掌握几何图形的形状、位置及基本性质。
要求培养学生观察、分析、抽象、推理和应用几何知识的能力。
第七章相似与相等要求学生掌握相似和相等概念以及相似三角形和相等三角形的判别方法和性质。
要求培养学生运用相似和相等来解决实际问题的能力。
第八章计量与几何变换初步要求学生掌握长度、面积、体积等计量单位及其换算和计算，了解平移、翻转、旋转等基本几何变换。
(完整版)初中数学教材章节-人教版
七年级上册（人教版）第一章有理数1、正数和负数2、有理数（有理数、数轴、相反数、绝对值）3、有理数的加减法（加法法则、交换律、结合律）4、有理数的乘除（倒数、交换律、结合律、分配律）5、有理数的乘方（幂、近似数）第二章整式的加减1、整式（单项式、多项式）2、整式的加减（同类项、合并同类项）第三章一元一次方程1、从算式到方程（一元一次方程、等式的性质）2、解一元一次方程-合并同类项与移项3、解一元一次方程-去括号去分母4、实际问题与一元一次方程第四章几何图形的初步1、几何图形（立体图形、平面图形、三视图、点线面体）2、直线、射线、线段（相交）3、角（度、分、秒、角的比较与运算、角平分线、余角、补角）4、课题设计-设计制作长方形形状的包装纸盒七年级下册第五章相交线与平行线1、相交线（邻补角、对顶角、垂线、同位角、内错角、同旁内角）2、平行线及其判定（3个判定）3、平行线的性质（3个性质、命题、定理、证明）4、平移第六章实数1、平方根（算术平方根）；2、立方根；3、实数（无理数）第七章平面直角坐标系1、平面直角坐标系（有序数对、坐标系、原点、横轴、纵轴）2、坐标方法的简单应用（位置、平移）第八章二元一次方程组1、二元一次方程组2、消元-解二元一次方程组3、实际问题与二元一次方程组4、三元一次方程组的解法第九章不等式1、不等式（解集、不等式的性质3个）2、一元一次不等式3、一元一次不等式组第十章数据的收集、整理与描述1、统计调查（全面调查、抽样调查、简单随机抽样）2、直方图（组距、频数）；3、课题学习-从数据谈节水八年级上册第十一章 三角形1、与三角形有关的线段（三边关系、高、中线、角平分线、重心、稳定性）2、与三角形有关的角（内角和、外角）3、多边形及其内角和（多边形、内角和、外角和360°）第十二章 全等三角形1、全等三角形（全等形、性质、）2、三角形全等的判定（SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL ）3、角的平分线的性质第十三章 轴对称1、轴对称（对称点、垂直平分线、对称轴、垂直平分线的性质）2、画轴对称图形3、等腰三角形（性质、等边三角形、30°的直角三角形）4、课题学习-最短路径的问题第十四章 整式的乘法与因式分解1、整式的乘法（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、单项式/多项式×单项式/多项式）2、乘法公式（平方差、完全平方公式）3、因式分解（分解因式、提公因式法、公式法）第十五章 分式1、分式（分数-分式、性质、约分、最简分式、通分、最简公分母）2、分式的运算（乘除法则、加减法则、整数指数幂）3、分式的方程（检验）八年级下册第十六章 二次根式1、二次根式（()的区别与22a a 、代数式）2、二次根式的乘除（最简二次根式）3、二次根式的加减（同类二次根式）第十七章 勾股定理1、勾股定理2、勾股定理的逆定理第十八章 平行四边形1、平行四边形（性质、判定、三角形中位线）2、特殊的平行四边形（矩形、直角三角形的中线、菱形、正方形） 第十九章 一次函数1、函数（变量、函数、解析式、图像）2、一次函数（正比例函数、一次函数、待定系数法、一次函数与方程/不等式）3、课题学习-选择方案第二十章 数据的分析1、数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）2、数据的波动程度（方差）3、课题学习-体质健康测试中的数据分析九年级上册第二十一章一元一次方程1、一元一次方程（定义、根）2、解一元一次方程（配方法、公式法、判别式、因式分解法、根与系数的关系）3、实际问题与一元二次方程第二十二章二次函数1、二次函数的图象和性质2、二次函数与一元一次方程3、实际问题与二次函数第二十三章旋转1、图形的旋转2、中心对称（关于原点对称的点的坐标）3、课题学习-图形设计第二十四章圆1、圆的有关性质（圆心、半径、弦、等圆、垂直弦的直径、圆心角、圆周角）2、点和圆、直线和圆的位置关系3、正多边形和圆4、弧形和扇形面积第二十五章概率初步1、随机事件与概率2、用列举法求概率3、用频率估计概率九年级下册第二十六章反比例函数1、反比例函数（图像、性质）2、实际问题与反比例函数第二十七章相似1、图形的相似（相似比）2、相似三角形（判定、性质、应用）3、位似（位似图形、位似中心）第二十八章锐角三角函数1、锐角三角函数2、解直角三角形及其应用第二十九章投影与视图1、投影（平行投影、中心投影、正投影）2、三视图3、课题学习-制作立体模型。
最新人教版初中数学教材目录
第1章有理数正数和负数有理数有理数数轴相反数绝对值有理数的加减法有理数的加法有理数的减法有理数的乘除法有理数的乘法有理数的除法有理数的乘方乘方科学记数法近似数第2章整式的加减整式整式的加减第3章一元一次方程从算式到方程一元一次方程 3 . 等式的性质解一元一次方程（一）——移项与合并解一元一次方程（二）——去括号与去分母实际问题与一元一次方程第4章几何图形初步几何图形立体图形与平面图形点、线、面、体直线、射线、线段角角角的比较与运算余角和补角课题学习制作长方体形状的包装盒第5章相交线与平行线相交线相交线垂线同位角、内错角、同旁内角平行线及其判定平行线平行线的判定平行线的性质平行线的性质命题、定理、证明第6章实数平方根立方根实数第7章平面直角坐标系平面直角坐标系有序数对平面直角坐标系坐标方法的简单应用用坐标表示地理位置用坐标表示平移第8章二元一次方程组二元一次方程组消元——解二元一次方程组实际问题与二元一次方程组三元一次方程组解法第9章不等式与不等式组不等式不等式及其解集不等式的性质一元一次不等式一元一次不等式组第10章数据的收集、整理与描述统计调查直方图八年级（上）第11章三角形与三角形有关的线段三角形的边三角形的高、中线与角平分线三角形的稳定性与三角形有关的角三角形的内角三角形的外角多边形及其内角和第12章全等三角形全等三角形三角形全等的判定角的平分线的性质第13章轴对称轴对称轴对称线段的垂直平分线的性质画轴对称图形等腰三角形等腰三角形等边三角形第14章整式的乘法与因式分解整式的乘法同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方整式的乘法乘法公式平方差公式完全平方公式因式分解提公因式法公式法第15章分式分式从分数到分式分式的基本性质分式的运算分式的乘除分式的加减整数指数幂分式方程（3）八年级下第16章二次根式二次根式二次根式的乘除二次根式的加减第17章勾股定理勾股定理勾股定理的逆定理第18章平行四边形平行四边形平行四边形的性质平行四边形的判定特殊的平行四边形矩形菱形正方形第19章一次函数变量与函数变量与函数函数的图象一次函数正比例函数一次函数一次函数与方程、不等式第20章数据的分析数据的集中趋势平均数中位数和众数数据的波动程度九年级上第21章一元二次方程一元二次方程降次——一元二次方程的解法配方法公式法因式分解法一元二次方程的根与系数的关系实际问题与一元二次方程第22章二次函数二次函数的图象和性质二次函数二次函数y＝ax2的图象和性质二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质用函数观点看一元二次方程实际问题与二次函数第23章旋转图形的旋转中心对称中心对称中心对称图形关于原点对称的点的坐标第24章圆圆圆垂直于弦的直径弧、弦、圆心角圆周角点和圆、直线和圆的位置关系点和圆的位置关系直线和圆的位置关系正多边形和圆弧长和扇形面积第25章概率初步随机事件与概率随机事件概率用列举法求概率用频率估计概率九年级下第26章反比例函数反比例函数反比例函数反比例函数的图象和性质实际问题与反比例函数第27章相似图形的相似相似三角形相似三角形的判定相似三角形的性质相似三角形应用举例位似第28章锐角三角函数锐角三角函数解直角三角形及其应用第29章投影与视图投影三视图。
初中数学人教版教材目录
人教版初中数学教学大纲目录
七年级上册（62）
第1章有理数（19）
第2章整式的加减（8）
第3章一元一次方程（19）第4章几何图形初步（16）七年级下册（62）
第5章相交线与平行线（14）
第6章实数（8）
第7章平面直角坐标系（7）
第8章二元一次方程组（12）
第9章不等式与不等式组（11）
第10章数据的收集整理与描述（10）
八年级上册（62）
第11章三角形（8）
第12章全等三角形（11）
第13章轴对称（14）
第14章整式的乘法与因式分解（14）第15章分式（15）八年级下册（62）
第16章二次根式（9）
第17章勾股定理（9）
第18章平行四边形（15）第19章一次函数（17）
第20章数据的分析（12）
九年级上册（62）
第21章一元二次方程（13）第22章二次函数（12）
第23章旋转（9）
第24章圆（16）
第25章概率初步（12）九年级下册（48）
第26章反比例函数（8）
第27章相似（14）
第28章锐角三角函数（12）第29章投影与视图（10）。
人教版初中数学教材重难点总结
2018人教版初中数学教材重难点分析(名师总结教材重点，绝对精品，建议大家下载学习)一、构建完整的知识框架——夯实基础1、构建完整的知识框架是我们解决问题的基础，想要学好数学必须重视基础概念，必须加深对知识点的理解，然后会运用知识点解决问题，遇到问题自己学会反思及多维度的思考，最后形成自己的思路和方法。
但有很多初中学生不重视书本的概念，对某些概念一知半解，对知识点没有吃透，知识体系不完整，就会出现成绩飘忽不定的现象。
2、正确理解和掌握数学的一些基本概念、法则、公式、定理，把握他们之间的内在联系。
由于数学是一门知识的连贯性和逻辑性都很强的学科，正确掌握学过的每一个概念、法则、公式、定理可以为以后的学习打下良好的基础，如果在学习某一内容或解某一题时碰到了困难，那么很有可能就是因为与其有关的、以前的一些基本知识没有掌握好所造成的，因此要经常查缺补漏，找到问题并及时解决之，努力做到发现一个问题及时解决一个问题。
只有基础扎实，解决问题才能得心应手，成绩才会提高。
二、初中数学中考知识重难点分析1、函数（一次函数、反比例函数、二次函数）中考占总分的15%左右。
函数对于学生来说是一个新的知识点，不同于以往的知识，它比较抽象，刚接受起来会有一定的困惑，很多学生学过之后也没理解函数到底是什么。
特别是二次函数是中考的重点，也是中考的难点，在填空、选择、解答题中均会出现，且知识点多，题型多变。
而且一道解答题一般会在试卷最后两题中出现，一般二次函数的应用和二次函数的图像、性质及三角形、四边形综合题难度较大。
有一定难度。
如果学生在这一环节掌握不好，将会直接影响代数的基础，会对中考的分数会造成很大的影响。
2、整式、分式、二次根式的化简运算整式的运算、因式分解、二次根式、科学计数法及分式化简等都是初中学习的重点，它贯穿于整个初中数学的知识，是我们进行数学运算的基础，其中因式分解及理解因式分解和整式乘法运算的关系、分式的运算是难点。
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目录第一章有理数 (7)1.1正数和负数 (7)1.2有理数 (7)1.2.1有理数 (7)1.2.2数轴 (7)1.2.3相反数 (7)1.2.4绝对值 (7)1.3有理数的加减法 (7)1.3.1有理数的加法 (7)1.3.1有理数的减法 (8)1.4有理数的乘除法 (8)1.4.1有理数的乘法 (8)1.4.1有理数的除法 (8)1.5有理数的乘方 (8)1.5.1乘方 (9)1.5.2科学记数法 (9)1.5.3近似数 (9)第二章整式的加减 (9)2.1整式 (9)2.2整式的加减 (10)第三章一元一次方程 (10)3.1从算式到方程 (10)3.1.1一元一次方程 (10)3.1.2等式的性质 (10)3.2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 (10)3.3解一元一次方程（二）——去括号与去分母 (10)3.4实际问题与一元一次方程 (10)第四章几何图形初步 (11)4.1几何图形 (11)4.1.1立体图形与平面图形 (11)4.1.2立体图形与平面图形 (11)4.1.3点，线，面，体 (11)4.2直线、线段、射线 (11)4.3角 (12)4.3.1角 (12)4.3.2角的比较与运算 (12)4.3.3余角和补角 (12)第五章相交线与平行线 (13)5.1相交线 (13)5.1.1相交线 (13)5.1.2垂线 (13)5.1.3同位角、内错角、同旁内角 (13)5.2平行线及其判定 (14)5.2.1平行线 (14)5.2.2平行线的判定 (14)5.3平行线的性质 (14)5.3.1平行线的性质 (14)5.3.2命题、定理、证明 (15)5.4平移 (15)第六章实数 (15)6.1平方根 (15)6.2立方根 (16)6.3实数 (16)第七章平面直角坐标系 (17)7.1平面直角坐标系 (17)7.1.1有序数对 (17)7.2坐标方法的简单应用 (17)7.2.1用坐标表示地理位置 (17)7.2.2用坐标表示平移 (17)第八章二元一次方程组 (17)8.1二元一次方程组 (17)8.2消元——解二元一次方程组 (18)8.3实际问题与二元一次方程组 (19)8.4三元一次方程组的解法 (19)第九章不等式与不等式组 (19)9.1不等式 (19)9.1.1不等式及其解集 (19)9.1.2不等式的性质 (19)9.2一元一次不等式 (20)9.3一元一次不等式组 (20)第十章数据的收集、整理与描述 (20)10.1统计调查 (20)10.2直方图 (21)第十一章三角形 (21)11.1与三角形有关的线段 (21)11.1.1三角形的边 (22)11.1.2三角形的高、中线与角平分线 (22)11.1.3三角形的稳定性 (22)11.2与三角形有关的角 (23)11.2.1三角形的内角 (23)11.2.2三角形的外角 (23)11.3多边形及其内角和 (23)11.3.1多边形 (23)11.3.2多边形的内角和 (24)3、n边形的对角线条数等于1/2.n（n-3） (24)第十二章全等三角形 (24)12.1全等三角形 (24)12.2三角形全等的判定 (24)12.3角的平分线的性质 (25)第十三章轴对称 (25)13.1轴对称 (25)13.1.1轴对称 (25)13.1.2线段垂直平分线的性质 (25)13.2画轴对称图形 (25)13.3等腰三角形 (25)13.3.1等腰三角形 (25)13.3.2等边三角形 (26)13.4课题学习最短路径问题 (26)第十四章整式的乘法与因式分解 (26)14.1整式的乘法 (26)14.1.1同底数幂的乘法 (26)14.1.2幂的乘方 (26)14.1.3积的乘方 (26)14.1.4整式的乘法 (26)14.2乘法公式 (27)14.2.1平方差公式 (27)14.2.2完全平方公式 (27)14.3因式分解 (27)14.3.1提公因式法 (28)14.3.2公式法 (28)第十五章分式 (28)15.1分式 (28)15.1.1从分数到分式 (28)15.1.2分式的基本性质 (28)15.2分式的运算 (28)15.2.1分式的乘除 (28)15.2.2分式的加减 (29)15.2.2整数指数幂 (29)15.3分式方程 (29)第十六章二次根式 (29)16.1二次根式 (29)16.2二次根式的乘除 (30)16.3二次根式的加减 (31)第十七章勾股定理 (31)17.1勾股定理 (31)17.2勾股定理的逆定理 (32)第十八章平行四边形 (32)18.1平行四边形 (32)18.1.1平行四边形的性质 (32)18.1.2平行四边形的判定 (32)18.2特殊的平行四边形 (32)18.2.1矩形 (32)18.2.2菱形 (32)18.2.3正方形 (33)第十九章一次函数 (33)19.1函数 (33)19.1.1变量与函数 (33)19.1.2函数的图象 (33)19.2一次函数 (33)19.2.1正比例函数 (34)一次函数图形与性质 (35)19.3课题学习选择方案 (39)第二十章数据的分析 (39)20.1数据的集中趋势 (39)20.1.1平均数 (39)20.1.2中位数和众数 (39)20.2数据的波动程度 (39)20.3课题学习体质健康测试中的数据分析 (40)第二十一章一元二次方程 (40)21.1一元二次方程 (40)21.2解一元二次方程 (40)21.2.1配方法 (40)21.2.1公式法 (41)21.2.3因式分解法 (42)21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 (42)21.3实际问题与一元二次方程 (43)1.列一元二次方程解应用题的一般步骤： (43)2.列一元二次方程解应用题的几种常见类型 (43)第二十二章二次函数 (44)22.1二次函数的图像和性质 (44)22.1.1二次函数 (44)22.2二次函数与一元二次方程 (45)22.3实际问题与二次函数 (47)第二十三章旋转 (47)23.1图形的旋转 (47)23.2中心对称 (48)23.3课程学习图案设计 (49)第二十四章圆 (49)24.1圆的有关性质 (49)24.1.1圆 (49)24.1.2垂直于弦的直径 (50)24.1.3弧、弦、圆心角 (50)24.1.4圆周角 (50)24.2点和圆、直线和圆的位置关系 (51)24.2.1点和圆的位置关系 (51)24.2.1直线和圆的位置关系 (52)24.3正多边形和圆 (53)24.4弧长和扇形面积 (54)第二十五章概率初步 (54)25.1随机事件与概率 (55)25.1.1随机事件 (55)25.1.2概率 (55)25.2用列举法求概率 (55)25.3用频率估计概率 (56)第二十六章反比例函数 (56)26.1反比例函数 (56)26.1.1反比例函数 (56)26.1.2反比例函数的图像和性质 (56)26.2实际问题与反比例函数 (56)第二十七章相似 (57)27.1图形的相似 (57)27.2相似三角形 (57)27.3位似 (57)第二十八章锐角三角函数 (58)28.1锐角三角函数 (58)28.2解直角三角形及其应用 (59)28.2.1解直角三角形 (59)第二十九章投影与视图 (59)29.1投影 (59)29.2三视图 (60)人教版初中数学知识梳理第一章有理数1.1正数和负数常见名词：零和正数统称为非负数。
零和负数统称为非正数。
1.2有理数1.2.1有理数整数和分数统称为有理数。
★小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数。
1.2.2数轴在数学中,可以用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴。
在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点。
0是正数和负数的分界点；原点是数轴的“基准点”。
1.2.3相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
★0的相反数是0。
1.2.4绝对值一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
★（1）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的相反数是它的相反数；0的绝对值是0；（2）一般地，正数＞0＞负数，两个负数，绝对值大的反而小。
1.3有理数的加减法1.3.1有理数的加法有理数加法法则：（1）同号相加，到相同符号，并把绝对值相加。
（2）异号相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得0。
（3）一个数同0相加减，仍得这个数。
加法交换律：a+b=b+a即：两个数相加，交换加数的位置，和不变。
加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）即：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
1.3.1有理数的减法有理数减法法则：a−b=a+（−b）即：减去一个数，等于加这个数的相反数。
1.4有理数的乘除法1.4.1有理数的乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数同0相乘，都得0。
乘法交换律：ab=b a乘法结合律：（ab）c=a（b c）乘法分配律：a（b+c）=a b+ac★乘积是1的两个数互为倒数。
因此0没有倒数。
1.4.1有理数的除法有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0。
★先将有理数除法化成乘法，然后定符号，最后求结果。
1.5有理数的乘方1.5.1乘方求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，写作na 。
（乘方的结果叫幂，a 叫底数，n 叫指数。
）根据有理数乘法法则得出：负数的奇数次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
★同底数幂相乘，底不变，指数相加；同底数幂相除，底不变，指数相减。
有理数的混合运算：（1）先乘方，再乘除，最后加减。
（2）同级运算，从左到右进行。
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
1.5.2科学记数法科学记数法：把一个大于10的数表示成n 10a 的形式（a 要大于等于1且小于10，n 为正整数）。
1.5.3近似数第二章整式的加减2.1整式1．整式：单项式和多项式的统称叫整式。
2．单项式：数与字母的乘积组成的式子叫单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
3．系数；一个单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数。
4.次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
5．多项式：几个单项式的和叫做多项式。
6．项：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项。
7．常数项：不含字母的项叫做常数项。
8．多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。