第2章 刚体的定轴转动

第2章 刚体的定轴转动

习题 2.1 一个做匀变速转动的飞轮在10s 内转过16圈（r ），其末速度为

151-⋅s rad ，求角加速度的大小。

解：根据at -=ωω0和2021at t +=ωθ，有 ()2

2t t a θω-=

式中 ππθ322==n ，代入数据得

299.0-⋅=s rad a

习题 2.2 一转速为1800 r/min 的飞轮因受制动而均匀地减速，经过20s 停止转

动。求：（1）角加速度；（2）从制动开始到停止转动飞轮转过的圈

数；（3）制动开始后10s 时飞轮的角速度；（4）设飞轮半径为0.5m ，

求t = 10s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。

解：（1）s t s rad n 20.0,606018002210==⋅=⎪⎭⎫

⎝⎛⨯==-ωπππω，所以 20

320

60-⋅-=-=-=s rad t a ππωω （2） 从制动开始转过的角位移θ及圈数N 为

rad at t πππωθ6002032

1206021220=⨯⨯-⨯=+=

30026002===π

ππθN （3） t = 10 s 时飞轮边缘上一点的线速度为

103010360-⋅=⨯-=+=s rad at πππωω

（4）t = 10 s 时飞轮边缘上一点的线速度为 11.47305.0-⋅=⨯==s m r v πω

相应的相切及法向加速度为

2171.45.15.03-⋅-=-=⨯-==s m ar a ππ

()2322221044.44505.030-⋅⨯==⨯==s m r a ππω

习题 2.3 在边长为a 的正方形的顶点上，分别有质量为m 的4个质点，求此

系统绕下列转轴的转动惯量: (1)通过其中一质点A ，平行于对角线BD

的转轴，如题图2.3所示；（2）通过A 垂直于质点所在平面的转轴。

解：由转动惯量定义，可求得

（1）()22232222ma a

m a m J =+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛= （2）()222422ma a m ma J =+=

习题 2.4 在题图2.4所示的系统中，1m = 50kg ，kg m 402=，圆盘形滑轮质量m

= 16kg ，半径 r = 0.1m ，若斜面是光滑的，倾角为030，绳与滑轮间无相

对滑动，不计滑轮轴上的摩擦，求：（1）绳中的张力；（2）运动开始

时，2m 距地面高度为1m 时，需多少时间2m 到达地面？

解：（1）对滑轮及1m 、2m 受力分析可知，1m 受重力1m g 及绳的拉力

习题2.6 在题图2.6所示的装置中，物体的质量为21m m ，定滑轮的质量为'1m 、'2m ，

半径为1R 、2R ,设绳长度不变，质量不计。滑轮为匀质分布，忽略轴处

摩擦。求物体的加速度及绳中张力。

解： 设2m 的加速度大小为a 方向向上，则1m 的加速度向下，大小也是a ，二滑轮角加速度分别为11R a a =和2

2R a a =，列方程： a m F g m 111=- （1）

a m g m F 222=- （2）

121'1111322

1)(a R m a J R F F ==- （3）

1

1R a a = (4)

()222'2222232

1a R m a J R F F ==- （5） 2

2R a a = (6) (1)到（6）式联立解得

()()()

()()

()()

()()

g m m m m m m m m m m F g m m m m m m m m m F g m m m m m m m m m F g m m m m m m a '2'121'12'21213'2'121'2'12212'2'121'2'11211'2'12121242)(42)(422+++++=+++++=+++++=+++-=

习题2.7如图2.7所示，质量分别为m 和2m 、半径分别为r 和2r 的两个均匀圆

盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直于盘面的水平光滑固定轴

转动，对转轴的转动惯量为2/92mr ，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下

端都挂有一质量为m 的重物。求盘的角加速度的大小。

解：受力分析如图2.7（b ）

，根据牛顿第二定律、刚体转动定理以及运动学关

系可得方程组 ()12

2121

12

222

92a ra a ra a mr r F r F ma mg F ma F mg ===-=-=-

联立上述5个方程，解得 r

g a 192= 习题 2.8 一蒸汽机的圆盘形飞轮质量为200kg ，半径为1m ，当飞轮转速为

1201min -⋅rad 时关闭蒸汽阀门，若飞轮在5min 内停下来，求在此期间飞轮

轴上的平均摩擦力矩及此力矩所做的功。

解： 10460

2120-⋅=⨯=s rad ππω t t a at 0

0,ωωωωω-=-==-

由定轴转动定理

m N m N t mR Ja M ⋅-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯⨯-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-==19.4605412002121202πω 力矩的功为

()J J mR J A 32220220109.74120021212121210⨯-=⨯⨯⨯⨯-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-=πωω 习题2.9 如图2.9所示，A 、B 两飞轮的轴杆在同一中心线上，两轮转动惯量分

别为222010m kg J m kg J B A ⋅=⋅=和,开始时，A 轮转速600 1min -⋅rad ，B

轮静止；当二轮齿合时，B 轮得到加速而A 轮减速，直到二轮转速相

等。求：（1）两轮齿合后的转速：（2）齿合过程中损失的机械能。