万有引力与航天重点知识归纳及经典例题练习

第五讲 万有引力定律重点归纳讲练知识梳理考点一、万有引力定律 1. 开普勒行星运动定律 （1） 第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

（2） 第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。

（3） 第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式：k Ta =23。

其中k 值与太阳有关，与行星无关。

（4） 推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转。

当卫星绕行星旋转时，k Ta =23，但k 值不同，k 与行星有关，与卫星无关。

（5） 中学阶段对天体运动的处理办法：①把椭圆近似为园，太阳在圆心；②认为v 与ω不变，行星或卫星做匀速圆周运动； ③k TR =23，R ——轨道半径。

2. 万有引力定律（1） 内容：万有引力F 与m 1m 2成正比，与r 2成反比。

（2） 公式：221rm m G F =，G 叫万有引力常量，2211/1067.6kg m N G ⋅⨯=-。

（3） 适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体，r 指两球心间的距离；③一个均匀球体和球外一个质点，r 指质点到球心间的距离。

（4） 两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。

3. 万有引力与重力的关系(1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg ，另一个是物体随地球自转所需的向心力f ，如图所示。

①在赤道上，F=F 向+mg ，即R m R Mm G mg 22ω-=；②在两极F=mg ，即mg R Mm G =2；故纬度越大，重力加速度越大。

由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。

(2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。

在地面上，22R GM g mg R Mm G =⇒=；在地球表面高度为h 处：22)()(h R GM g mg h R Mm Gh h +=⇒=+，所以g h R R g h 22)(+=，随高度的增加，重力加速度减小。

考点二、万有引力定律的应用——求天体质量及密度1．T 、r 法：232224)2(GTr M T mr r Mm G ππ=⇒=，再根据32333,34R GT r V M R Vπρρπ=⇒==，当r=R 时，23GT πρ=2．g 、R 法：GgR Mmg RMm G 22=⇒=，再根据GRg VM R V πρρπ43,343=⇒==3．v 、r 法：Grv M r v m r Mm G 222=⇒=4．v 、T 法：G T v M T mr r Mm G r v m r Mm G ππ2)2(,32222=⇒==考点三、星体表面及某高度处的重力加速度1、 星球表面处的重力加速度：在忽略星球自转时，万有引力近似等于重力，则22R GM g mg R Mm G =⇒=。

注意：R 指星球半径。

2、 距星球表面某高度处的重力加速度：22)()(h R GM g mg h R Mm Gh h +=⇒=+，或g h R R g h 22)(+=。

注意：卫星绕星球做匀速圆周运动，此时的向心加速度2)(h R GM a n+=，即向心加速度与重力加速度相等。

考点四、天体或卫星的运动参数我们把卫星（天体）绕同一中心天体所做的运动看成匀速圆周运动，所需要的向心力由万有引力提供，)4(22222Tmr mr r v m ma r Mm G n πω====，就可以求出卫星（天体）圆周运动的有关参数：1、 线速度：r r GM v r v m r Mm G 122∝=⇒= 2、角速度：33221rr GM mr r Mm G ∝=⇒=ωω3周期：33222)2(r GMr T T mr r Mm G ∝=⇒=ππ 4、向心加速度：22rGM a ma rMm G n n =⇒=规律：当r 变大时，“三小”（v 变小,ω变小,a n 变小）“一大”（T 变大）。

考点五、地球同步卫星对于地球同步卫星，要理解其特点，记住一些重要数据。

总结同步卫星的以下“七个一定”。

1、 轨道平面一定：与赤道共面。

2、 周期一定：T=24h ，与地球自转周期相同。

3、 角速度一定：与地球自转角速度相同。

4、 绕行方向一定：与地球自转方向一致。

5、 高度一定：由27322222226106.34,4)()(R m R T gR h gR GM T h R m h R Mm G≈⨯=-=⇒=+=+ππ。

6、 线速度大小一定：s m hR gR hR GMv gR GM h R vm h R Mm G/101.3,)()(32222⨯=+=+=⇒=+=+。

7、 向心加速度一定：222222/23.0)()(,)(s m h R gR h R GM a gR GM ma h R Mm Gn n =+=+=⇒==+。

考点六、宇宙速度1、 对三种宇宙速度的认识：⑴第一宇宙速度——人造卫星近地环绕速度。

大小v 1=7.9km/s 。

第一宇宙速度的算法： 法一：由rGM v rvm r Mm G =⇒=22，r=R+h ，而近地卫星h=0，r=R ，则RGM v R v m R Mm G =⇒=22，代入数据可算得：v 1=7.9km/s 。

法二：忽略地球自转时，万有引力近似等于重力，则gr v rv m mg =⇒=2，同理r=R+h ，而近地卫星h=0，r=R ，gR v Rvmmg =⇒=2，代入数据可算得：v 1=7.9km/s 。

对于其他星球的第一宇宙速度可参照以上两法计算。

计算重力加速度时一般与以下运动结合：①自由落体运动；②竖直上抛运动；③平抛运动；④单摆 （2）第二宇宙速度——脱离速度。

大小v 2=11.2km/s ，是使物体脱离地球吸引，成为绕太阳运行的行星的最小发射速度。

（3）第三宇宙速度——逃逸速度。

大小v 3=16.7km/s ，是使物体脱离逃逸引力吸引束缚的最小发射速度。

2、 环绕（运行）速度与发射速度的区别：三种宇宙速度都是发射速度，环绕速度是指卫星绕地球做匀速圆周运动时的线速度大小；轨道越高，环绕速度越小，所需的发射速度越大，所以第一宇宙速度时指最大环绕速度，最小发射速度。

考点七 卫星变轨问题 人造卫星发射过程要经过多次变轨，如图所示，我们从以下几个方面讨论：一、变轨原理及过程 1、为了节约能量，卫星在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆形轨道1上。

2、在A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供轨道上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入轨道2。

3、在B 点（远地点）再次点火进入轨道3。

二、一些物理量的定性分析 1、速度：设卫星在园轨道1和3运行时速率为v 1、v 3，在A 点、B 点速率为v A 、v B 。

在A 点加速，则v A ＞v 1，在B 点加速，则v 3＞v B ，又因v 1＞v 3，故有v A ＞v 1＞v 3＞v B 。

2、加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道1还是轨道2经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过B 点加速度也相同。

3、周期：设卫星在1、2、3轨道上运行周期分别为T 1、T 2、T 3。

轨道半径分别为r 1、r 2（半长轴）、r 3，由开普勒第三定律k T r =23可知，T 1＜T 2＜T 3。

三、从能量角度分析变轨问题的方法把椭圆轨道按平均半径考虑，根据轨道半径越大，卫星的机械能越大，卫星在各轨道之间变轨的话，若从低轨道进入高轨道，则能量增加，需要加速；若从高轨道进入低轨道，则能量减少，需要减速。

四、从向心力的角度分析变轨问题的方法当万有引力恰好提供卫星所需向心力时，即22Rv m RMm G =时，卫星做匀速圆周运动。

若速度突然增大时，22Rv m RMm G ，万有引力小于向心力，做离心运动，则卫星轨道半径变大。

若速度突然减小时，22Rv m R Mm G ，万有引力大于向心力，做近心运动，则卫星轨道半径变小。

考点八 双星问题被相互引力系在一起，互相绕转的两颗星就叫物理双星。

双星是绕公共重心转动的一对恒星。

如图所示双星系统具有以下三个特点：1、各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即：1211221r m Lm Gm ω=，2222221r m Lm Gm ω=； 2、两颗星的周期及角速度都相同，即：T 1=T 2，ω1=ω2； 3、两颗星的半径与它们之间距离关系为：r 1+r 2=L 。

补充一些需要用到的知识： 1、卫星的分类：卫星根据轨道平面分类可分为：①赤道平面轨道（轨道在赤道平面内）；②极地轨道（卫星运行时每圈都经过南北两极）；③任意轨道（与赤道平面的夹角在0º~90º之间）。

但轨道平面都经过地心。

卫星根据离地高度分类可分为：①近地卫星（在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星，可认为h=0，r=R ）；②任意高度卫星（离开地面一定高度运行的卫星，轨道半径r=R+h ，R 指地球半径，h 指卫星离地高度，其中同步卫星是一个它的一个特例）。

轨道平面都经过地心。

2、人造卫星的机械能：E=E K +E P （机械能为动能和引力势能之和），动能221mv E K =，由运行速度决定；引力势能由轨道半径（离地高度）决定，r 增大，动能减小，引力势能增大，但K P E E ∆∆ ，所以卫星的机械能随着轨道半径（离地高度）增大而增大。

3、人造卫星的两个速度：①发射速度：在地球表面将人造卫星送入预定轨道运行所必须具有的速度，发射时所具有的动能要包括送入预定轨道的动能和引力势能之和，即机械能，所以r 增大，发射速度增大；②环绕（运行）速度：卫星在轨道上绕地球做匀速圆周运动所具有的速度，RGM v R v m R Mm G =⇒=22，r 增大时，环绕速度减小。

4、推导并记住近地卫星的几个物理量的公式和数值:近地卫星指在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，可认为h=0，r=R 。

①运行速度：skm gR RGMv Rv m RMm G /9.722===⇒=，它是所有卫星的最大运行速度（因为h=0，无需增大引力势能，故发射速度等于运行速度，所以这个速度又是所有卫星的最小发射速度）；②角速度：322rGM mr rMm G =⇒=ωω，r=R ，3RGM =ω，r 最小，它的角速度在所有卫星中最大。

（无需记数值）③周期：GMr T T mr r Mm G 3222)2(ππ=⇒=，r=R ，min 8523==GMR T π=5100s ，r 最小，它的周期在所有卫星中最小。

④向心加速度：22rGM a ma rMm G n n =⇒=，r=R ，22/8.9s m g RGM a n ===，r 最小，它的向心加速度在所有卫星中最大。