初中数学抛物线与几何专题训练及答案

全国各地中考试题压轴题精选讲座

抛物线与几何问题

【知识纵横】

抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：2y ax bx c =++(a ≠0)；２、顶点式:y =a(x

—h ） ２+ｋ;3、交点式:y=a(x —x 1)(x —x 2 ) ,这里x 1、ｘ ２是方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的两个

实根。

解函数与几何的综合题,善于求点的坐标,进而求出函数解析式是解题的基础;而充分发挥形的因素，数形互动,把证明与计算相结合是解题的关键。

【典型例题】

【例１】 （浙江杭州）在直角坐标系x Ｏy 中,设点A(0,t ），点Q(ｔ,b ）。平移二 次函数2

tx y -=的图象,得到的抛物线F 满足两个条件:①顶点为Ｑ;②与ｘ轴相交于B,Ｃ两点（∣O Ｂ∣<∣OC ∣)，连结A ，B 。

（1）是否存在这样的抛物线Ｆ，

OC OB OA ⋅=2

?请你作出判断，并说明理由;

（2）如果AQ ∥ＢC,且t ａn ∠ＡBO=2

3

,求抛物线Ｆ 对应的二次函数的解析式。

【思路点拨】（1)由关系式OC OB OA ⋅=2

来构建关于t 、ｂ的方程；(2）讨论

t 的取值范围，来求抛物线F 对应的二次函数的解析式。

【例2】(江苏常州)如图，抛物线2

4y x x =+与ｘ轴分别相交于点Ｂ、O,它的顶点为

A,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P 是直线l 上一动点.

（1）求点A 的坐标；

(2）以点A 、B 、O 、Ｐ为顶点的四边形中,有菱形、等 腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;

（3）设以点A 、B 、O 、Ｐ为顶点的四边形的面积为S, 点P 的横坐标为ｘ,当462682S +≤≤+时,求x 的取值范围.

【思路点拨】(3)可求得直线l 的函数关系式是y=-2x ，所以应讨论①当点P 在第二象限时,x<0、 ②当点P 在第四象限是，x ＞0这二种情况。

【例３】(浙江丽水)如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（２,4），直线2=x 与x 轴相交于点B ,连结OA ，抛物线2

x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点

P ,顶点M 到A 点时停止移动.

(1)求线段OA 所在直线的函数解析式； （2)设抛物线顶点M 的横坐标为m ，

①用m 的代数式表示点P 的坐标； ②当m 为何值时，线段PB 最短；

(3）当线段PB 最短时,相应的抛物线上是否存在点Q ,使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐

标；若不存在，请说明理由.

【思路点拨】(２)构建关于PB 的二次函数，求此函数的最小值;（3）分当点Q 落在直线OA 的下方时、当点Q 落在直线OA 的上方时讨论。

【例4】（广东省深圳市)如图１，在平面直角坐标系中,二次函数

y

B

O

A P M

x 2x =

)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于Ｃ点,与ｘ轴交于A 、B 两点, A

点在原点的左侧,B 点的坐标为(3，0），OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝3

1

.

(１)求这个二次函数的表达式．

（2）经过C 、D 两点的直线,与x 轴交于点Ｅ，在该抛物线上是否存在这样的点F, 使以点A 、C 、Ｅ、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标;若不存在,请说明理由.

（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于Ｍ、N 两点，且以ＭN 为直径的圆与x 轴相切,求该圆半径的长度.

(4)如图２，若点G(2，ｙ）是该抛物线上一点,点P 是直线A Ｇ下方的抛物线上 一动点,当点Ｐ运动到什么位置时,△APG 的面积最大?求出此时P 点的坐标和△A ＰG 的最大面积．

【思路点拨】(2)可先以Ａ、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形时，求Ｆ点的坐标,再代入抛物线的表达式检验。(3）讨论①当直线MN 在ｘ轴上方时、②当直线ＭN 在x 轴下方时二种情况。（4)构建S 关于x 的二次函数，求它的最大值。

【例5】(山东济南)已知:抛物线2y ax bx c =++(a ≠0）,顶点C （１,3-),与x 轴交于A

、

B两点,(10)

A-，．

(1)求这条抛物线的解析式．

(2)如图，以ＡB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线对称轴交于点E,依次连接A、D、

B、E，点P为线段AＢ上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作ＰM⊥AＥ于Ｍ，

ＰN⊥DＢ于N,请判断PM PN

BE AD

+是否为定值？若是,请求出此定值；若不是,请说明理由.

（3）在(２)的条件下，若点Ｓ是线段EP上一点，过点Ｓ作ＦＧ⊥EＰ,ＦG分别与边．

ＡE、ＢE相交于点F、Ｇ(F与A、Ｅ不重合，Ｇ与E、B不重合），请判断PA EF

PB EG

=是否

成

立.若成立，请给出证明；若不成立,请说明理由.

【思路点拨】(2)证△APM∽△ABE，PM AP BE AB

=

同理：PN PB

AD AB

=(３)证PH＝BH且△AＰM∽△PBH 再证△ＭEP∽△EGF可得。

【学力训练】

1、(广东梅州）如图所示,在梯形ABCD中,已知ＡB∥ＣＤ,AD⊥DB,ＡＤ=ＤＣ＝CB,ＡB=4．以AＢ所在直线为x轴，过D且垂直于AＢ的直线为y轴建立平面直角坐标系．

(1)求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标;

（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴Ｌ.

（3）若P是抛物线的对称轴L上的点,那么使

C

O x A

D

P

M

E

B

N

y