圆锥曲线大习题习题型归纳

圆锥曲线大题题型归纳

基本方法:

1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数,求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、p 等等; 2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题;

3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立,交点坐标设而不求,用韦达定理写出转化完成。要注意:如果方程的根很容易求出,就不必用韦达定理,而直接计算出两个根;

4． 点差法:弦中点问题，端点坐标设而不求．也叫五条等式法:点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式;

5． 距离转化法:将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题;

基本思想:

１．“常规求值”问题需要找等式，“求范围"问题需要找不等式； ２.“是否存在”问题当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解；

3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；

4．证明不等式，或者求最值时,若不能用几何观察法,则必须用函数思想将对象表示为变量的函数,再解决;

5.有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验；

6.大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 题型一:求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题

例1、 已知F 1,F 2为椭圆2100x +2

64

y =1的两个焦点,P 在椭圆上,且∠F 1 ＰF 2=６0°,则△F 1 P Ｆ2的面积为多少?

点评：常规求值问题的方法：待定系数法,先设后求,关键在于找等式。

变式1、 已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点,P 是双曲线右支上的一点，且

12F PF ∠=120︒,求12F PF ∆的面积。

变式2、 已知F 1,F 2为椭圆 22

2

1100x y b += (０

（1）求|PF 1｜?|P Ｆ２|的最大值;ﻭ（2)若∠F 1PF 2＝60°且△F １ＰＦ2的面积为643

3

,求ｂ的值

题型二 过定点、定值问题

例２.(淄博市2017届高三3月模拟考试)已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b +=>>经过点3(1,)2,离心率为

3

2

,点A 为椭圆C 的右顶点,直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点1122(,),(,)P x y Q x y 。 (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;

(Ⅱ）当0AP AQ •=时，求OPQ ∆面积的最大值;

（Ⅲ）若直线l 的斜率为2,求证:OPQ ∆的外接圆恒过一个异于点A 的定点.

处理定点问题的方法:⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零，求出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明。

例3、（聊城市2０1７届高三高考模拟(一)）已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的离心率为32，一个

顶点在抛物线24x y =的准线上。 （Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ）设O 为坐标原点，,M N 为椭圆上的两个不同的动点,直线,OM ON 的斜率分别为1k 和2k ,是否存在常数p ,当12k k p =时MON ∆的面积为定值?若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由.

变式1、已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的焦距为1223,A A ，点为椭圆的左右顶点,点M 为椭圆

上不同于12,A A 的任意一点,且满足121

4

A M A M k k ⋅=-．

(Ｉ)求椭圆C 的方程:

(2)已知直线l 与椭圆C 相交于P ，Q （非顶点）两点,且有11A P A Q ⊥． （i ）直线l 是否恒过一定点？若过,求出该定点；若不过,请说明理由. (ii ）求2PA Q ∆面积S 的最大值．

点评:证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明

变式２、已知椭圆 22

221x y a b

+= (ａ＞b>0)的离心率为

焦距为2．

(1）求椭圆的方程；ﻭ(２)过椭圆右焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于P,Q 两点,C ，D 为椭圆上位

于直线PQ 异侧的两个动点,满足

∠CPQ ＝∠ＤP Ｑ,求证：直线CD 的斜率为定值，并求出此定值．

变式3、（临沂市20１7届高三2月份教学质量检测(一模)）如图,椭圆Ｃ：()22

2210x y a b a b

+=>>的

离心率为

32

,以椭圆Ｃ的上顶点T 为圆心作圆Ｔ: ()()2

2210x y r r +-=>，圆T 与椭圆C 在第一象限交于点A ，在第二象限交于点B. （I)求椭圆C 的方程;

（II ）求TA TB ⋅的最小值,并求出此时圆Ｔ的方程;

(II Ｉ)设点P 是椭圆C 上异于A,B 的一点,且直线P Ａ，PB 分别与Y 轴交于点M ，N ，O 为坐标原点,求证：OM ON ⋅为定值.

例4、 设椭圆Ｃ： 22

221x y a b

+=(a>b>0）的一个顶点与抛物线C:x 2=43y 的焦点重合,F １,Ｆ2分别是

椭圆的左、右焦点,且离心率e=

1

2

且过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点.ﻭ（１）求椭圆Ｃ的方程;ﻭ(2）是否存在直线ｌ,使得 若存在，求出直线l 的方程;若不存在,

说明理由

（３)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN ∥AB,求证： 为定值．

变式1、(烟台市201７届高三3月高考诊断性测试（一模)）如图，已知椭圆22

22:1(0)

x y C a b a b

+=>>的左焦点F 为抛物线24y x =-的焦点,过点F 做x 轴的垂线交椭圆于,A B 两点，且3AB =。 (1）求椭圆C 的标准方程；

(2)若,M N 为椭圆上异于点A 的两点,且满足||||

AM AF AN AF

AM AN ••=

,问直线MN 的斜率是否为定值？若是,求出这个定值；若不是,请说明理由. 题型三 “是否存在”问题

例5、(泰安市2０17届高三第一轮复习质量检测（一模))已知椭圆()22

2210x y C a b a b

+=>>：经过点

)

2,1，过点Ａ(０，1)的动直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,当直线ｌ过椭圆Ｃ的左焦点时,直线l

的斜率为

2

2

. (I ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）是否存在与点A 不同的定点Ｂ，使得ABM ABN ∠=∠恒成立?若存在，求出点B 的坐标;若不