圆锥曲线十大题型总结
圆锥曲线【定点定值】12 大题型(原卷版)
圆锥曲线中的定点、定值问题1、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量—函数—定值”,具体操作程序如下:(1)变量----选择适当的量为变量.(2)函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数.(3)定值----化简得到的函数解析式,消去变量得到定值.2、求定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊情况入手,求出定值,再证明该定值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在计算推理过程中消去变量,从而得到定值.常用消参方法:①等式带用消参:找到两个参数之间的等式关系(,)0F k m =,用一个参数表示另外一个参数()k f m =,即可带用其他式子,消去参数k .②分式相除消参:两个含参数的式子相除,消掉分子和分母所含参数,从而得到定值.③因式相减消参:两个含参数的因式相减,把两个因式所含参数消掉.④参数无关消参:当与参数相关的因式为0时,此时与参数的取值没什么关系,比如:2()0y kg x -+=,只要因式()0g x =,就和参数k 没什么关系了,或者说参数k 不起作用.3、求解直线过定点问题常用方法如下:(1)“特殊探路,一般证明”:即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明;(2)“一般推理,特殊求解”:即设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线的方程,再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点;(3)求证直线过定点()00,x y ,常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.一般解题步骤:①斜截式设直线方程:y kx m =+,此时引入了两个参数,需要消掉一个.②找关系:找到k 和m 的关系:m =()f k ,等式带入消参,消掉m .③参数无关找定点:找到和k 没有关系的点.题型一:面积定值【典例1-1】如图所示,已知椭圆22:14x C y +=,A ,B 是四条直线2x =±,1y =±所围成的矩形的两个顶点.若M ,N 是椭圆C 上的两个动点,且直线OM ,ON 的斜率之积等于直线OA ,OB 的斜率之积,试探求OM N V 的面积是否为定值,并说明理由.【典例1-2】(2024·湖北荆州·三模)从抛物线28y x =上各点向x 轴作垂线段,垂线段中点的轨迹为Γ.(1)求Γ的轨迹方程;(2),,A B C 是Γ上的三点,过三点的三条切线分别两两交于点,,D E F ,①若//AC DF ,求BDBF的值;②证明:三角形ABC 与三角形DEF 的面积之比为定值.【变式1-1】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ,M 在椭圆E 上,且12MF F △(1)求椭圆E 的方程;(2)直线:l y kx m =+与椭圆E 相交于P ,Q 两点,且22434k m +=,求证:OPQ △(O 为坐标原点)的面积为定值.【变式1-2】(2024·重庆·三模)已知()2,0F ,曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程;(2)已知曲线C 的左顶点为A ,直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ,N 两点,直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ,H 两点,Q 为PH 的中点.(i )证明:QF MN ^;(ii )记PMQ V ,HNQ V ,MNQ V 的面积分别为1S ,2S ,3S ,则123S S S +是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.【变式1-3】(2024·广东广州·模拟预测)已知()1,0A -,()10B ,,平面上有动点P ,且直线AP 的斜率与直线BP 的斜率之积为1.(1)求动点P 的轨迹Ω的方程.(2)过点A 的直线与Ω交于点M (M 在第一象限),过点B 的直线与Ω交于点N (N 在第三象限),记直线AM ,BN 的斜率分别为1k ,2k ,且124k k =.试判断AMN V 与BMN V 的面积之比是否为定值,若为定值,请求出该定值;若不为定值,请说明理由.题型二:向量数量积定值【典例2-1】(2024·高三·江苏盐城·开学考试)已知椭圆C :22142x y +=,()0,1A ,过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点.(1)求线段PQ 的中点M 的轨迹方程;(2)是否存在常数,使得AP AQ OP OQ l ×+×uuu r uuu r uuu r uuu r为定值?若存在,求出l 的值;若不存在,说明理由.【典例2-2】(2024·上海闵行·二模)已知点12F F 、分别为椭圆22:12x y G +=的左、右焦点,直线:l y kx t =+与椭圆G 有且仅有一个公共点,直线12,F M l F N l ^^,垂足分别为点M N 、.(1)求证:2221t k =+;(2)求证:12F M F N ×uuuu r uuuu r为定值,并求出该定值;【变式2-1】(2024·陕西宝鸡·一模)椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点P æççè,且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形.(1)求椭圆C 的方程;(2)设5,04M æöç÷èø,过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交C 于A 、B 两点,试问:MA MB ×uuu r uuu r 是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.【变式2-2】(2024·高三·河南南阳·期末)P 为平面直角坐标系内一点,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,交直线b y x a =-(0a b >>)于Q ,过P 作y 轴的垂线,垂足为N ,交直线by x a=-于R ,若△OMQ ,V ONR 的面积之和为2ab.(1)求点P 的轨迹C 的方程;(2)若2a =,1b =,()4,0A -,(),0G n ,过点G 的直线l 交C 于D ,E 两点,是否存在常数n ,对任意直线l ,使AD AE ×uuu r uuu r为定值?若存在,求出n 的值及该定值,若不存在,请说明理由.【变式2-3】(2024·高三·天津河北·期末)设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ,短轴的两个端点为,A B ,且四边形12F AF B 是边长为2的正方形.,C D 分别是椭圆的左右顶点,动点M 满足MD CD ^,连接CM ,交椭圆E 于点P .(1)求椭圆E 的方程;(2)求证:OM OP ×uuuu r uuu r为定值.【变式2-4】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为,A B ,右焦点为F ,且3AF =uuu r ,以F为圆心,OF 为半径的圆F 经过点B .(1)求C 的方程;(2)过点A 且斜率为()0k k ¹的直线l 交椭圆C 于P ,(ⅰ)设点P 在第一象限,且直线l 与y x =-交于HHAO Ð,求k 的值;(ⅱ)连接PF 交圆F 于点T ,射线AP 上存在一点Q ,且QT BT ×为定值,已知点Q 在定直线上,求Q 所在定直线方程.题型三:斜率和定值【典例3-1】已知椭圆()222:11x M y a a +=>与双曲线222:1y N x a-=的离心率的平方和为234.(1)求a 的值;(2)过点1,02Q æöç÷èø的直线l 与椭圆M 和双曲线N 分别交于点A ,B ,C ,D ,在x 轴上是否存在一点T ,直线TA ,TB ,TC ,TD 的斜率分别为TA k ,TB k ,TC k ,TD k ,使得1111TA TB TC TDk k k k +++为定值?若存在,请求出点T 的坐标;若不存在,请说明理由.【典例3-2】(2024·河南·二模)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2,两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设()3,P t ,过点P 的两条直线1l 和2l 分别交椭圆C 于点,D E 和点,M N (1l 和2l .不重合),直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k .若PM PN PD PE =,判断12k k +是否为定值,若是,求出该值;若否,说明理由.【变式3-1】椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点为(),且椭圆C 经过点()0,1P ,直线21y kx k =+-(0k ¹)与C 交于A ,B 两点(异于点P ).(1)求椭圆C 的方程;(2)证明:直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值,并求出这个定值.【变式3-2】(2024·宁夏银川·一模)已知1F ,2F 分别是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点,左顶点为A ,则上顶点为1B ,且1AB 20y -+=.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若P 是直线3x =上一点,过点P 的两条不同直线分别交C 于点D ,E 和点M ,N ,且PD PMPN PE=,求证:直线DE 的斜率与直线MN 的斜率之和为定值.题型四:斜率积定值【典例4-1】(2024·高三·陕西·开学考试)已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ,左顶点为E ,虚轴的上端点为P ,且3PF =,PE =(1)求双曲线C 的标准方程;(2)设M N 、是双曲线C 上不同的两点,Q 是线段MN 的中点,O 是原点,直线MN OQ 、的斜率分别为12k k 、,证明:12k k ×为定值.【典例4-2】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>,过点,A ,B 分别是E 的左顶点和下顶点,F 是E右焦点,π3AFB Ð=.(1)求E 的方程;(2)过点F 的直线与椭圆E 交于点P ,Q ,直线AP ,AQ 分别与直线4x =交于不同的两点M ,N .设直线FM ,FN 的斜率分别为1k ,2k ,求证:12k k 为定值.【变式4-1】已知椭圆22122:1(0)22x y C a b a b +=>>左右焦点12,F F 分别为椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点,过点1F 且斜率不为零的直线与椭圆1C 相交于,A B 两点,交椭圆2C 于点M ,且2ABF △与12BF F △的周长之差为4-(1)求椭圆1C 与椭圆2C 的方程;(2)若直线2MF 与椭圆1C 相交于,D E 两点,记直线1MF 的斜率为1k ,直线2MF 的斜率为2k ,求证:12k k 为定值.【变式4-2】(2024·湖南长沙·二模)如图,双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点1F ,2F 分别为双曲线22222:144x y C a b -=的左、右顶点,过点1F 的直线分别交双曲线1C 的左、右两支于,A B 两点,交双曲线2C 的右支于点M (与点2F 不重合),且12BF F △与2ABF △的周长之差为2.(1)求双曲线1C 的方程;(2)若直线2MF 交双曲线1C 的右支于,D E 两点.①记直线AB 的斜率为1k ,直线DE 的斜率为2k ,求12k k 的值;②试探究:DE AB -是否为定值?并说明理由.【变式4-3】已知双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1(a >0,b >0)过点((1)求双曲线C 的标准方程;(2)设过点()2,0P 且斜率不为0的直线l 与双曲线C 的左右两支交于A ,B 两点.问:在x 轴上是否存在定点Q ,使直线QA 的斜率1k 与QB 的斜率2k 的积为定值?若存在,求出该定点坐标;若不存在,请说明理由.题型五:斜率比定值【典例5-1】设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点(),0M p ,过点F 且斜率存在的直线交C 于不同的,A B 两点,当直线AM 垂直于x 轴时,3AF =.(1)求C 的方程;(2)设直线,AM BM 与C 的另一个交点分别为,D E ,设直线,AB DE 的斜率分别为12,k k ,证明:(ⅰ)12k k 为定值;(ⅱ)直线DE 恒过定点.【典例5-2】如图所示,已知点()1,0K ,F 是椭圆22195x y+=的左焦点,过F 的直线与椭圆交于,A B 两点,直线,AK BK 分别与椭圆交于,P Q 两点.(1)证明:直线PQ 过定点.(2)证明:直线PQ 和直线AB的斜率之比为定值.【变式5-1】(2024·重庆·模拟预测)如图,DM x ^轴,垂足为D ,点P 在线段DM 上,且||1||2DP DM =.(1)点M 在圆224x y +=上运动时,求点P 的轨迹方程;(2)记(1)中所求点P 的轨迹为,(0,1)A G ,过点10,2æöç÷èø作一条直线与G 相交于,B C 两点,与直线2y =交于点Q .记,,AB AC AQ 的斜率分别为123,,k k k ,证明:123k k k +是定值.【变式5-2】(2024·云南·二模)已知椭圆EO ,焦点在x 轴上,右焦点为F ,A 、B 分别是E 的上、下顶点.E 的短半轴长是圆O 的半径,点M 是圆O 上的动点,且点M 不在y 轴上,延长BM 与E 交于点,N AM AN ×uuuu r uuu r的取值范围为(0,4).(1)求椭圆E 、圆O 的方程;(2)当直线BM 经过点F 时,求AFN V 的面积;(3)记直线AM 、AN 的斜率分别为12k k 、,证明:21k k 为定值.【变式5-3】(2024·河南·三模)已知点())A B ,,动点V 满足直线VA 与直线VB 的斜率之积为13,动点V 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程:(2)直线PQ 与曲线C 交于,P Q 两点,且BP BQ BM PQ ^^,交PQ 于点M ,求定点N 的坐标,使MN 为定值;(3)过(2)中的点N 作直线交曲线C 于,G H 两点,且两点均在y 轴的右侧,直线,AG BH 的斜率分别为12,k k ,求12k k 的值.题型六:斜率差定值【典例6-1】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()122,0,2,0F F -,D 为椭圆C 的右顶点,且124DF DF ×=uuu u r uuuu r.(1)求椭圆C 的方程;(2)设()4,2M -,过点()4,0Q -的直线与椭圆C 交于A ,B 两点(A 点在B 点左侧),直线AM 与直线2x =-交于点N ,设直线NA ,NB 的斜率分别为1k ,2k ,求证:21k k -为定值.【典例6-2】已知双曲线2222;1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点æççè,右焦点为(),0F c ,且222,,c a b 成等差数列.(1)求C 的方程;(2)过F 的直线与C 的右支交于,P Q 两点(P 在Q 的上方),PQ 的中点为,M M 在直线:2l x =上的射影为,N O 为坐标原点,设POQ △的面积为S ,直线,PN QN 的斜率分别为12,k k ,试问12k k S-是否为定值,如果是,求出该定值,如果不是,说明理由.【变式6-1】已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的离心率为12,A ,B ,C 分别为椭圆的左顶点,上顶点和右顶点,1F 为左焦点,且1ABF V P 是椭圆M 上不与顶点重合的动点,直线AB 与直线CP 交于点Q ,直线BP 交x 轴于点N .(1)求椭圆M 的标准方程;(2)求证:2QN QC k k -为定值,并求出此定值(其中QN k 、QC k 分别为直线QN 和直线QC 的斜率).【变式6-2】(2024·高三·上海闵行·期中)已知双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>,点()3,1-在双曲线C 上.过C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A 、B 两点.(1)求双曲线C 的方程;(2)若()2,0M -,试问:是否存在直线l ,使得点M 在以AB 为直径的圆上?请说明理由.(3)点()4,2P -,直线AP 交直线2x =-于点Q .设直线QA 、QB 的斜率分别1k 、2k ,求证:12k k -为定值.题型七:线段定值【典例7-1】(2024·高三·山西·期末)已知椭圆E :()2221024x y b b +=<<.(1)若椭圆E 22y x =-与椭圆E 交于M ,N 两点,求证:OM ON ^;(2)P 为直线l :4x =上的一个动点,A ,B 为椭圆E 的左、右顶点,PA ,PB 分别与椭圆E 交于C ,D 两点,证明CA PD PC BD××为定值,并求出此定值.【典例7-2】如图,已知圆22:210T x y ++-=,圆心是点T ,点G 是圆T 上的动点,点H 的坐标为),线段CH 的垂直平分线交线段TC 于点R ,记动点R 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程;(2)过点H 作一条直线与曲线E 相交于A ,B 两点,与y 轴相交于点C ,若CA AH l =uuu r uuur ,CB BH m =uuur uuur ,试探究l m +是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由;(3)过点()2,1M 作两条直线MP ,MQ ,分别交曲线E 于P ,Q 两点,使得1MP MQ k k ×=.且MD PQ ^,点D 为垂足,证明:存在定点F ,使得DF 为定值.【变式7-1】已知点N 在曲线22:11612x y C +=上,O 为坐标原点,若点M 满足2ON OM =uuu r uuuu r ,记动点M 的轨迹为G .(1)求G 的方程;(2)设,C D 是上G 的两个动点,且以CD 为直径的圆经过点O ,证明:2211OCOD+为定值.【变式7-2】(2024·湖北·模拟预测)平面直角坐标系xOy 中,动点(,)P x y 满足=,点P 的轨迹为C ,过点(2,0)F 作直线l ,与轨迹C 相交于A ,B 两点.(1)求轨迹C 的方程;(2)求OAB △面积的取值范围;(3)若直线l 与直线1x =交于点M ,过点M 作y 轴的垂线,垂足为N ,直线NA ,NB 分别与x 轴交于点S ,T ,证明:||||SF FT 为定值.【变式7-3】(2024·浙江宁波·模拟预测)已知12(2,0),(2,0),(1,0),(1,0)A B F F --,动点P 满足34PA PB k k ×=-,动点P 的轨迹为曲线1,PF t 交t 于另外一点2,Q PF 交t 于另外一点R .(1)求曲线t 的标准方程;(2)已知1212PF PF QF RF +是定值,求该定值;题型八:坐标定值【典例8-1】(2024·陕西安康·模拟预测)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,上顶点为A ,122AF AF AF -=uuur uuuu r uuuu r ,12AF F △(1)求C 的方程;(2)B 是C 上位于第一象限的一点,其横坐标为1,直线l 过点2F 且与C 交于M ,N 两点(均异于点B ),点P 在l 上,设直线BM ,BP ,BN 的斜率分别为1k ,2k ,3k ,若2312k k k -=,问点P 的横坐标是否为定值?若为定值,求出点P 的横坐标;若不为定值,请说明理由.【典例8-2】(2024·全国·模拟预测)一般地,抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形,对应的三个切点形成的三角形称为抛物线的切点三角形.如图,012P PP V ,ABC V 分别为抛物线y 2=2px(p >0)的切线三角形和切点三角形,F 为该抛物线的焦点.当直线AB 的斜率为1-时,AB 中点的纵坐标为2-.(1)求p .(2)若直线AC 过点F ,直线,AB BC 分别与该抛物线的准线交于点,D E ,记点,D E 的纵坐标分别为,D E y y ,证明:D E y y 为定值.(3)若,,A B C 均不与坐标原点重合,证明:012FA FB FC FP FP FP ××=××【变式8-1】(2024·四川凉山·三模)已知平面内动点P 与两定点()11,0A -,()21,0A 连线的斜率之积为3.(1)求动点P 的轨迹E 的方程:(2)过点()2,0的直线与轨迹E 交于A ,B 两点,点A ,B 均在y 轴右侧,且点A 在第一象限,直线2AA 与1BA 交于点M ,证明:点M 横坐标为定值.题型九:角度定值【典例9-1】抛物线C :()20x py p =>的焦点为()0,1F ,直线l 的倾斜角为a 且经过点F ,直线l 与抛物线C 交于两点A ,B .(1)若16AB =,求角a ;(2)分别过A ,B 作抛物线C 的切线1l ,2l ,记直线1l ,2l 的交点为E ,直线EF 的倾斜角为b .试探究a b -是否为定值,并说明理由.【典例9-2】(2024·高三·广东广州·期中)已知椭圆C :()222210+=>>x y a b a b的离心率为12,焦距为2.(1)求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的左顶点为A ,过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于B ,D (异于点A )两点,直线AB ,AD 分别与直线4x =交于M ,N 两点,试问MFN Ð是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.【变式9-1】(2024·辽宁沈阳·模拟预测)在平面直角坐标系xOy 中,利用公式x ax byy cx dy¢=+ìí¢=+î①(其中a ,b ,c ,d 为常数),将点(,)P x y 变换为点(),P x y ¢¢¢的坐标,我们称该变换为线性变换,也称①为坐标变换公式,该变换公式①可由a ,b ,c ,d 组成的正方形数表a b c d æöç÷èø唯一确定,我们将a b c d æöç÷èø称为二阶矩阵,矩阵通常用大写英文字母A ,B ,…表示.(1)如图,在平面直角坐标系xOy 中,将点(,)P x y 绕原点O 按逆时针旋转a 角得到点(),P x y ¢¢¢(到原点距离不变),求坐标变换公式及对应的二阶矩阵A ;(2)在平面直角坐标系xOy 中,求双曲线1xy =绕原点O 按逆时针旋转π4(到原点距离不变)得到的双曲线方程C ;(3)已知由(2)得到的双曲线C ,上顶点为D ,直线l 与双曲线C 的两支分别交于A ,B 两点(B 在第一象限),与x 轴交于点T ö÷÷ø.设直线DA ,DB 的倾斜角分别为a ,b ,求证:a b +为定值.【变式9-2】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上的点到它的两个焦点的距离之和为4,以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点,点A ,B 分别是椭圆C 的左、右顶点.(1)求圆O 和椭圆C 的方程;(2)已知P ,Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点(P ,Q 位于y 轴两侧),且直线PQ 与x 轴平行,直线AP ,BP 分别与y 轴交于点M ,N .求证:MQN Ð为定值.题型十:直线过定点【典例10-1】(2024·陕西·模拟预测)已知动圆M 经过定点1(F ,且与圆222:(16F x y +=内切.(1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程;(2)设轨迹C 与x 轴从左到右的交点为点A ,B ,点P 为轨迹C 上异于A ,B 的动点,设直线PB 交直线4x =于点T ,连接AT 交轨迹C 于点Q ;直线AP ,AQ 的斜率分别为AP k ,AQ k .(i )求证:AP AQ k k ×为定值;(ii )设直线:PQ x ty n =+,证明:直线PQ 过定点.【典例10-2】(2024·广西·模拟预测)已知圆E 恒过定点()1,0,且与直线=1x -相切,记圆心E 的轨迹为G ,直线11:10l x m y --=与G 相交于A ,B 两点,直线22:10l x m y --=与G 相交于C ,D 两点,且121m m =-,M ,N 分别为弦,AB CD 的中点,其中A ,C 均在第一象限,直线AC 与直线BD 的交点为G .(1)求圆心E 的轨迹G 的方程;(2)直线MN 是否恒过定点?若是,求出定点坐标?若不是,请说明理由.【变式10-1】(2024·江西·二模)已知()12,0F -,()22,0F ,M 是圆O :221x y +=上任意一点,1F 关于点M 的对称点为N ,线段1F N 的垂直平分线与直线2F N 相交于点T ,记点T 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)设(),0E t (0t >)为曲线C 上一点,不与x 轴垂直的直线l 与曲线C 交于G ,H 两点(异于E 点).若直线GE ,HE 的斜率之积为2,求证:直线l 过定点.【变式10-2】在平面直角坐标系xoy 中,已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>,F 是椭圆的右焦点且椭圆C与圆M :()22616x y -+=外切,又与圆N :(223x y +-=外切.(1)求椭圆C 的方程.(2)已知A ,B 是椭圆C 上关于原点对称的两点,A 在x 轴的上方,连接AF ,BF 并分别延长交椭圆C 于D ,E 两点,证明:直线DE 过定点.题型十一:动点在定直线上【典例11-1】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>,A ,B 分别为C 的上、下顶点,O 为坐标原点,直线4y kx =+与C 交于不同的两点M ,N .(1)设点P 为线段MN 的中点,证明:直线OP 与直线MN 的斜率之积为定值;(2)若AB 4=,证明:直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上.【典例11-2】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点31,2H æö-ç÷èø,离心率12e =.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设过点()4,3P 且倾斜角为135o 的直线l 与x 轴,y 轴分别交于点,M N ,点R 为椭圆C 上任意一点,求RMN V 面积的最小值.(3)如图,过点()4,3P 作两条直线,AB CD 分别与椭圆C 相交于点,,,A B C D ,设直线AD 和BC 相交于点Q .证明点Q 在定直线上.【变式11-1】已知A ,B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右顶点,P 是C 上异于A ,B 的一点,直线PA ,PB 的斜率分别为12,k k ,且12||4k k AB ==.(1)求双曲线C 的方程;(2)已知过点(4,0)的直线:4l x my =+,交C 的左,右两支于D ,E 两点(异于A ,B ).(i )求m 的取值范围;(ii )设直线AD 与直线BE 交于点Q ,求证:点Q 在定直线上.【变式11-2】已知椭圆G :()222210+=>>x y a b a b 的右焦点为F ,过点F 作x 轴的垂线交椭圆G 于点3(1,)2P .过点P 作椭圆G 的切线,交x 轴于点Q .(1)求点Q 的坐标;(2)过点Q 的直线(非x 轴)交椭圆G 于A 、B 两点,过点A 作x 轴的垂线与直线BP 交于点D ,求证:线段AD 的中点在定直线上.【变式11-3】(2024·河北·三模)已知椭圆C 的中心在原点O 、对称轴为坐标轴,A æççè、12B ö÷÷ø是椭圆上两点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)椭圆C 的左、右顶点分别为1A 和2A ,M ,N 为椭圆上异于1A 、2A 的两点,直线MN 不过原点且不与坐标轴垂直.点M 关于原点的对称点为S ,若直线1A S 与直线2A N 相交于点T .(i )设直线1MA 的斜率为1k ,直线2MA 的斜率为2k ,求12k k -的最小值;(ii )证明:直线OT 与直线MN 的交点在定直线上.题型十二:圆过定点【典例12-1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>A 、B 分点是椭圆C 的左、右顶点,P 是椭圆C 上不同于A 、B 的一点,ABP V 面积的最大值是2.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)记直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ,且直线AP 、BP 与直线6x =分别交于D 、E 两点.①求D 、E 的纵坐标之积;②试判断以DE 为直径的圆是否过定点.若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.【典例12-2】(2024·西藏拉萨·二模)已知抛物线2:2(0)C x py p =>上的两点,A B 的横坐标分别为4,8,AB -=.(1)求抛物线C 的方程;(2)若过点()0,8Q 的直线l 与抛物线C 交于点,M N ,问:以MN 为直径的圆是否过定点?若过定点,求出这个定点;若不过定点,请说明理由.【变式12-1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4,离心率为12,点P 是椭圆上异于顶点的任意一点,过点P 作椭圆的切线l ,交y 轴于点A ,直线l ¢过点P 且垂直于l ,交y 轴于点B .(1)求椭圆的方程;(2)试判断以AB 为直径的圆能否过定点?若能,求出定点坐标;若不能,请说明理由.【变式12-2】(2024·山东泰安·模拟预测)已知抛物线2:2(0)E x py p =>,焦点为F ,点(2,1)C 在E 上,直线1l ∶1y kx =+(0)k ¹与E 相交于,A B 两点,过,A B 分别向E 的准线l 作垂线,垂足分别为11,A B .(1)设1111,,FA B FAA FBB V V V 的面积分别为123,,S S S ,求证:21234S S S =×;(2)若直线AC ,BC 分别与l 相交于,M N ,试证明以MN 为直径的圆过定点P ,并求出点P 的坐标.1.(2024·全国·模拟预测)已知复平面上的点Z 对应的复数z 满足2297z z --=,设点Z 的运动轨迹为W .点O 对应的数是0.(1)证明W 是一个双曲线并求其离心率e ;(2)设W 的右焦点为1F ,其长半轴长为L ,点Z 到直线Lx e=的距离为d (点Z 在W 的右支上),证明:1ZF ed =;(3)设W 的两条渐近线分别为12l l ,,过Z 分别作12l l ,的平行线34l l ,分别交21l l ,于点P Q ,,则平行四边形OPZQ 的面积是否是定值?若是,求该定值;若不是,说明理由.2.(2024·湖南常德·三模)已知O 为坐标原点,椭圆C :2221(1)x y a a +=>的上、下顶点为A 、B ,椭圆上的点P 位于第二象限,直线PA 、PB 、PO 的斜率分别为123,,k k k ,且312114k k k =-+.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过原点O 分别作直线PA 、PB 的平行线与椭圆相交,得到四个交点,将这四个交点依次连接构成一个四边形,则此四边形的面积是否为定值?若为定值,请求出该定值;否则,请求出其取值范围.3.已知一张纸上画有半径为4的圆E ,在圆E 内有一个定点F ,且EF =,折叠纸片,使圆上某一点F ¢刚好与F 点重合,这样的每一种折法,都留下一条直线折痕,当F ¢取遍圆上所有点时,所有折痕与EF ¢的交点形成的曲线为C .(1)若曲线C 的焦点在x 轴上,求其标准方程;(2)在(1)的条件下,是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与曲线C 恒有两个交点,A B ,且OA OB ^,(O 为坐标原点),若存在,求出该圆的方程;若不存在,说明理由;(3)在(1)的条件下,P 是曲线C 上异于上顶点1A 、下顶点2A 的任一点,直线12,PA PA 分别交x 轴于点,N M ,若直线OT 与过点,M N 的圆G 相切,切点为T ,证明:线段OT 的长为定值,并求出定值.4.(2024·全国·模拟预测)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>,短轴长为1F ,2F ,P 是椭圆C 上的一个动点,12PFF V 面积的最大值为2.(1)求椭圆C 的方程;(2)求12PF PF ×uuu r uuu u r的取值范围;(3)过椭圆的左顶点A 作直线l x ^轴,M 为直线l 上的动点,B 为椭圆右顶点,直线BM 交椭圆C 于点Q .试判断数量积AQ OM ×uuu v uuuu v ,OQ OM ×uuu v uuuu v是否为定值,如果为定值,求出定值;如果不是定值,说明理由.5.(2024·重庆沙坪坝·模拟预测)如图, 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的上下焦点分别为()10,F c ,()20,F c -. 已知点(e 和(都在双曲线上, 其中e 为双曲线的离心率.(1)求双曲线的方程;(2)设,A B 是双曲线上位于y 轴右方的两点,且直线1AF 与直线2BF 平行,2AF 与1BF 交于点P .(i) 若122AF BF -=,求直线1AF 的斜率;(ii) 求证:12PF PF +是定值.6.已知椭圆22142x y +=,设动点P 满足OP OM ON =+uuu r uuuu r uuu r ,其中M ,N 是椭圆上的点,直线OM 与ON 的斜率之积为12-.问:是否存在两个点1F ,2F ,使得21PF PF +为定值?若存在,求1F ,2F 的坐标;若不存在,请说明理由.7.(2024·黑龙江齐齐哈尔·三模)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴长为2,设F 为C 的右焦点,T 为C 的左顶点,过F 的直线交C 于A ,B 两点,当直线AB 斜率不存在时,TAB △的面积为9.(1)求C 的方程;(2)当直线AB 斜率存在且不为0时,连接TA ,TB 分别交直线12x =于P ,Q 两点,设M 为线段PQ 的中点,记直线AB ,FM 的斜率分别为12,k k ,证明:12k k 为定值.8.(2024·辽宁葫芦岛·一模)已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,(,2)M m 是抛物线C 上一点,且||2MF =.(1)求抛物线C 的方程.(2)若()()004,0P y y >是抛物线C 上一点,过点(1,4)Q -的直线与拋物线C 交于,A B 两点(均与点P 不重合),设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ,试问12k k 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.9.(2024·河南新乡·三模)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别是12,A A ,椭圆C 的焦距是2,P (异于12,A A )是椭圆C 上的动点,直线1A P 与2A P 的斜率之积为34-.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)12,F F 分别是椭圆C 的左、右焦点,Q 是12PFF V 内切圆的圆心,试问平面上是否存在定点,M N ,使得QM QN +为定值?若存在,求出该定值;若不存在,请说明理由.10.(2024·江苏盐城·一模)已知抛物线O :2x y =,圆C :()2221x y +-=,O 为坐标原点.(1)若直线l :()0y kx m k =+¹分别与抛物线O 相交于点A ,B (A 在B 的左侧)、与圆C 相交于点S ,T (S 在T 的左侧),且OAT !与OBS V 的面积相等,求出m 的取值范围;(2)已知1A ,2A ,3A 是抛物线O 上的三个点,且任意两点连线斜率都存在.其中12A A ,13A A 均与圆C 相切,请判断此时圆心C 到直线23A A 的距离是否为定值,如果是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由.11.设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>,1F ,2F 分别是C 的左、右焦点,C 上的点到1F 的最小距离为1,P是C 上一点,且12PFF V 的周长为6.(1)求C 的方程;(2)过点2F 且斜率为k 的直线l 与C 交于M ,N 两点,过原点且与l 平行的直线与C 交于A ,B 两点,求证:2ABMN为定值.12.(2024·内蒙古赤峰·三模)已知点P 为圆()22:24C x y -+=上任意一点,()2,0A -,线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点M ,设点M 的轨迹为曲线H .(1)求曲线H 的方程;(2)若过点M 的直线l 与曲线H 的两条渐近线交于S ,T 两点,且M 为线段ST 的中点.(i )证明:直线l 与曲线H 有且仅有一个交点;(ii ) 求证:OS OT ×是定值.13.(2024·湖北·模拟预测)已知F 为抛物线G :()20y mx m =>的焦点,A ,B ,C 是G 上三个不同的点,直线AB ,BC ,AC 分别与x 轴交于F ,D ,E ,其中AB 的最小值为4.(1)求G 的标准方程;(2)ABC V 的重心G 位于x 轴上,且D ,G ,E 的横坐标分别为d ,g ,e ,32g d e --是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.14.(2024·湖南岳阳·三模)已知动圆P 过定点(0,1)F 且与直线3y =相切,记圆心P 的轨迹为曲线E .(1)已知A 、B 两点的坐标分别为(2,1)-、(2,1),直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ,证明:121k k -=;(2)若点()11,M x y 、()22,N x y 是轨迹E 上的两个动点且124x x =-,设线段MN 的中点为Q ,圆P 与动点Q 的轨迹G 交于不同于F 的三点C 、D 、G ,求证:CDG V 的重心的横坐标为定值.。
圆锥曲线十大题型全归纳
目录圆锥曲线十大题型全归纳题型一弦的垂直平分线问题 (2)题型二动弦过定点的问题 (3)题型三过已知曲线上定点的弦的问题 (4)题型四共线向量问题 (5)题型五面积问题 (7)题型六弦或弦长为定值、最值问题 (10)题型七直线问题 (14)题型八轨迹问题 (16)题型九对称问题 (19)题型十存在性问题 (21)圆锥曲线题型全归纳题型一:弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N :2y x =交于A 、B 两点,在x 轴上是否存在一点E(0x ,0),使得ABE ∆是等边三角形,若存在,求出0x ;若不存在,请说明理由。
题型二:动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32,且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
(I )求椭圆的方程;(II )若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点,直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点,试问直线MN 是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E :22221x y a b+= (0)a b >>上的三点,其中点A (23,0)是椭圆的右顶点,直线BC 过椭圆的中心O ,且0AC BC =,2BC AC =,如图。
(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程;(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ,使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称,求直线PQ 的斜率。
题型四:共线向量问题1:如图所示,已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点,点P 在AM 上,点N 在CM 上,且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E.I )求曲线E 的方程;II )若过定点F (0,2)的直线交曲线E 于不同的两点G 、H (点G 在点F 、H 之间),且满足FH FG λ=,求λ的取值范围.2:已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点,离心率为5.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,交y 轴于M 点,若1MA AF λ=,2MB BF λ= ,求证:1210λλ+=-.题型五:面积问题例题1、已知椭圆C :12222=+by a x (a >b >0)的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。
(自己整理)圆锥曲线常考题型总结——配有大题和练习
圆锥曲线大综合第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题一.常考题型题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二:弦的垂直平分线问题 题型三:动弦过定点问题题型四:过已知曲线上定点的弦的问题 题型五:共线向量问题 题型六:面积问题题型七:弦或弦长为定值的问题 题型八:角度问题 题型九:四点共线问题题型十:范围为题(本质是函数问题)题型十一:存在性问题(存在点,存在直线y kx m =+,存在实数,三角形(等边、等腰、直角),四边形(矩形,菱形、正方形),圆)二.热点问题 1.定义与轨迹方程问题2.交点与中点弦问题3.弦长及面积问题4.对称问题5.范围问题6.存在性问题7.最值问题8.定值,定点,定直线问题第二部分 知识储备一. 与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠相关的知识(三个“二次”问题)1. 判别式:24b ac ∆=-2.韦达定理:若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ,则12b x x a +=-,12c x x a⋅= 3.求根公式:若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ,则1,22b x a-=二.与直线相关的知识1. 直线方程的五种形式:点斜式,斜截式,截距式,两点式,一般式2.与直线相关的重要内容:①倾斜角与斜率:tan y θ=,[0,)θπ∈;②点到直线的距离公式:d =或d =(斜截式)3.弦长公式:直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离:1212)AB x AB y =-==-或 4.两直线1111122222:,:l y k x b l y k x b =+=+的位置关系:① 12121l l k k ⊥⇔⋅=- ②121212//l l k k b b ⇔=≠且5. 中点坐标公式:已知两点1122(,),(,)A x y B x y ,若点(),M x y 线段AB 的中点,则1112,22x x y y x y ++== 三.圆锥曲线的重要知识考纲要求:对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质,文理要求有所不同。
高中圆锥曲线题型及解题方法
高中圆锥曲线题型及解题方法
高中数学中的圆锥曲线是指椭圆、双曲线和抛物线这三种曲线。
下面是一些常见的高中圆锥曲线题型及其解题方法:
1.椭圆题型:
o方程转化:将标准方程转化为对称轴方程或标准方程。
o确定关键参数:通过比较方程的系数,确定椭圆的中心、长轴和短轴的长度。
o图形性质:通过关键参数判断椭圆的形状,并确定焦点和直径等性质。
2.双曲线题型:
o方程转化:将标准方程转化为对称轴方程或标准方程。
o确定关键参数:通过比较方程的系数,确定双曲线的中心、焦距和各轴的长度。
o图形性质:通过关键参数判断双曲线的形状,确定焦点、渐近线和渐近角等性质。
3.抛物线题型:
o方程转化:将标准方程转化为顶点形式或焦点式。
o确定关键参数:通过比较方程的系数,确定抛物线的顶点、焦距和开口方向。
o图形性质:通过关键参数判断抛物线的形状,确定
对称轴、焦点和准线等性质。
解题方法的关键在于确定关键参数,然后利用这些参数来判断曲线的形状和性质。
同时,要熟练掌握方程转化的方法,以便在解题过程中将方程转化为更容易分析的形式。
除了掌握相应的公式和技巧,还需要多做练习,加深对圆锥曲线图形和性质的理解。
同时,理论和实践相结合,通过画图、观察和推理的方式加深对圆锥曲线的认识。
最重要的是理解概念和思想,而不只是死记硬背。
只有真正理解了圆锥曲线的几何性质,才能更好地应用于解题,并在应用过程中灵活运用。
高中数学圆锥曲线常考题型(含解析)
(1)当5AC =时,求cos POM ∠(2)求⋅PQ MN 的最大值.7.已知抛物线1C :28x y =的焦点点,1C 与2C 公共弦的长为4(1)求2C 的方程;(2)过F 的直线l 与1C 交于A ,(i )若AC BD =,求直线l 的斜率;(ii )设1C 在点A 处的切线与系.8.已知圆()(2:M x a y b -+-点O 且与C 的准线相切.(1)求抛物线C 的方程;(2)点()0,1Q -,点P (与Q 不重合)在直线切线,切点分别为,A B .求证:9.已知椭圆2212:12x y C b+=的左、右焦点分别为2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为于y 轴的直线l 交曲线1C 于点Q 两点.a b (1)求椭圆的方程;(2)P 是椭圆C 上的动点,过点P 作椭圆为坐标原点)的面积为5217,求点12.过坐标原点O 作圆2:(2)C x ++参考答案:)(),0a-,(),0F c,所以AF时,在双曲线方程中令x c=,即2bBFa=,又AF BF= ()所以BFA V 为等腰直角三角形,即易知2BFA BAF ∠=∠;当BF 与AF 不垂直时,如图设()()0000,0,0B x y x y >>00tan(π)y BFA x c -∠=-即tan -又因为00tan y BAF x a∠=+,002tan 2y x aBAF +∠=4.(1)21±2(2)证明见解析.【分析】(1)求出椭圆左焦点F1 1x5.(1)21 2x y =(2)1510,33 P⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】(1)根据抛物线的焦半径公式可解;【点睛】方法技巧:圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题,常涉及不等式、函数的值域问题,综合性比较强,解法灵活多样,但主要有两种方法:(1)几何转化代数法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决;(2)函数取值法:若题目的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,再求这个函数的最值(或值域),常用方法:三角换元法;(5)平面向量;(7.(1)2213x y -=(2)(i )36±;(ii )点F 在以【分析】(1)根据弦长和抛物线方程可求得交点坐标,结合同焦点建立方程组求解可得;(2)(i )设()11,A x y ,(2,B x 物线方程和双曲线方程,利用韦达定理,结合以及点M 坐标,利用FA FM ⋅【详解】(1)1C 的焦点为(0,2F 又1C 与2C 公共弦的长为46,且所以公共点的横坐标为26±,代入所以公共点的坐标为(26,3±所以229241a b -=②联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩,得28160x kx --=,Δ=联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得()2231129k x kx -++则3421231kx x k +=--,342931x x k =-,9.(1)2212x y +=,2212x y -=(2)12y x =-或12y x=(3)2【分析】(1)用b 表示12,e e ,由12e e ⋅=10.(1)2222114222x y x y +=-=,;(2)1;(3)是,=1x -【分析】(1)根据椭圆和双曲线的关系,结合椭圆和双曲线的性质,求得343+因为AB 既是过1C 焦点的弦,又是过所以2212||1()AB k x x =+⋅+-且121||()()22p p AB x x x =+++=所以212(1)k +=2240123(34)k k +,【点睛】因为//l OT ,所以可设直线l 的方程为由22x y =,得212y x =,得y '所以曲线E 在T 处的切线方程为联立22y x m y x =+⎧⎨=-⎩,得2x m y m =+⎧⎨=⎩()2,22N m m ++NT。
圆锥曲线题型归类总结
高考圆锥曲线的常见题型题型一:定义的应用 1、圆锥曲线的定义:(1)椭圆 (2)椭圆 (3)椭圆 2、定义的应用(1)寻找符合条件的等量关系 (2)等价转换,数形结合 3、定义的适用条件: 典型例题例1、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2=4外切,求圆心M 的轨迹方程。
例2、方程表示的曲线是题型二:圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): 1、椭圆:由,分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
2、双曲线:由,项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;3、抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
典型例题例1、已知方程12122=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是例2、k 为何值时,方程15922=---ky k x 的曲线:(1)是椭圆; (2)是双曲线.题型三:圆锥曲线焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题1、椭圆焦点三角形面积2tan2αb S = ;双曲线焦点三角形面积2cot2αb S =2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解3、22,,,n m mn n m n m +-+四者的关系在圆锥曲线中的应用; 典型例题例1、椭圆x a yba b 222210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12,的张角∠F P F 12=α,求证:△F 1PF 2的面积为b 22tan α。
例2、已知双曲线的离心率为2,F 1、F 2是左右焦点,P 为双曲线上一点,且,.求该双曲线的标准方程题型四:圆锥曲线中离心率,渐近线的求法1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式,可求离心率,渐进线的值;2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式,可求离心率,渐进线的最值或范围;3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题例1、已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x (0,0>>b a )的两焦点,以线段21F F 为边作正三角形21F MF ,若边1MF 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )A. 324+B. 13-C.213+ D. 13+例2、双曲线22221x y a b==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1,3) B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞例3、椭圆G :22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为12(,0),(,0)F c F c -,椭圆上存在点M 使120FM F M ⋅=. 求椭圆离心率e 的取值范围;例4、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 (A )(1,2] (B )(1,2) (C )[2,)+∞ (D )(2,)+∞题型五:点、直线与圆锥的位置关系判断1、点与椭圆的位置关系点在椭圆内⇔12222<+b y a x点在椭圆上⇔12222=+b y a x点在椭圆外⇔12222>+by a x2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题:∆>0⇔相交∆=0⇔相切 (需要注意二次项系数为0的情况) ∆<0⇔相离 3、弦长公式:=AB )(11212212x x k x x k -+=-+ak ∆+=21 =AB )(1111212212y y k y y k -+=-+ak ∆+=211 4、圆锥曲线的中点弦问题: 1、伟达定理: 2、点差法:(1)带点进圆锥曲线方程,做差化简(2)得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系典型例题例1、双曲线x 2-4y 2=4的弦AB 被点M (3,-1)平分,求直线AB 的方程.例2、已知中心在原点,对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:x+y=1交于A,B 两点,C 是AB 的中点,若|AB|=22,O 为坐标原点,OC 的斜率为2/2,求椭圆的方程。
圆锥曲线经典题型总结(含答案)
圆锥曲线整理1.圆锥曲线的定义:(1)椭圆:|MF 1|+|MF 2|=2a (2a >|F 1F 2|);(2)双曲线:||MF 1|-|MF 2||=2a (2a <|F 1F 2|); (3)抛物线:|MF |=d .圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容,在解题中有广泛的应用,在理解时要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。
若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):(1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时2222bx a y +=1(0a b >>)。
%(2)双曲线:焦点在x 轴上:2222b y a x - =1,焦点在y 轴上:2222b x a y -=1(0,0a b >>)。
(3)抛物线:开口向右时22(0)y px p =>,开口向左时22(0)y px p =->,开口向上时22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->。
注意:1.圆锥曲线中求基本量,必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。
2.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):椭圆:由x2,y 2分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
(完整版)圆锥曲线常见题型及答案
圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质,如求圆锥曲线的标准方程,求准线或渐近线方程,求顶点或焦点坐标,求与有关的值,求与焦半径或长(短)轴或实(虚)轴有关的角和三角形面积。
此类题在考试中最常见,解此类题应注意:(1)熟练掌握圆锥曲线的图形结构,充分利用图形来解题;注意离心率与曲线形状的关系; (2)如未指明焦点位置,应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种(或四种)情况;(3)注意2,2,a a a ,2,2,b b b ,2,2,c c c ,2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同,椭圆中222b a c -=,双曲线中222b a c +=,离心率a c e =,准线方程a x 2±=;例题:(1)已知定点)0,3(),0,3(21F F -,在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 ( )A .421=+PF PFB .621=+PF PF C .1021=+PF PF D .122221=+PF PF (答:C );(2)方程8=表示的曲线是_____ (答:双曲线的左支)(3)已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P (x ,y ),则y+|PQ|的最小值是_____ (答:2)(4)已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆,则k 的取值范围为____ (答:11(3,)(,2)22---); (5)双曲线的离心率等于25,且与椭圆14922=+y x 有公共焦点,则该双曲线的方程_______(答:2214x y -=);(6)设中心在坐标原点O ,焦点1F 、2F 在坐标轴上,离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ,则C 的方程为_______(答:226x y -=)二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查,与动点到定点的距离(焦半径)和动点到定直线(准线)的距离有关,有时要用到圆的几何性质。
此类题常用平面几何的方法来解决,需要对圆锥曲线的(两个)定义有深入、细致、全面的理解和掌握。
(完整)圆锥曲线大题题型归纳,推荐文档
圆锥曲线大题题型归纳基本方法:1.待定系数法:求所设直线方程中的系数,求标准方程中的待定系数、、、、等等;a b c e p 2.齐次方程法:解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题;3.韦达定理法:直线与曲线方程联立,交点坐标设而不求,用韦达定理写出转化完成。
要注意:如果方程的根很容易求出,就不必用韦达定理,而直接计算出两个根;4.点差法:弦中点问题,端点坐标设而不求。
也叫五条等式法:点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式;5.距离转化法:将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题;基本思想:1.“常规求值”问题需要找等式,“求范围”问题需要找不等式;2.“是否存在”问题当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解;3.证明“过定点”或“定值”,总要设一个或几个参变量,将对象表示出来,再说明与此变量无关;4.证明不等式,或者求最值时,若不能用几何观察法,则必须用函数思想将对象表示为变量的函数,再解决;5.有些题思路易成,但难以实施。
这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验;6.大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来,即可自然而然产生思路。
题型一:求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例1、已知F 1,F 2为椭圆+=1的两个焦点,P 在椭圆上,且∠F 1 PF 2=60°,则△F 1 PF 2的面积为多少?2100x 264y 点评:常规求值问题的方法:待定系数法,先设后求,关键在于找等式。
变式1-1 已知分别是双曲线的左右焦点,是双曲线右支上的一点,且12,F F 223575x y -=P=120,求的面积。
12F PF ∠︒12F PF ∆处理定点问题的方法:⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明。
高三高考数学总复习《圆锥曲线》题型归纳与汇总
高考数学总复习题型分类汇《圆锥曲线》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一求曲线的方程 (3)题型二最值(范围)问题 (4)题型三定点定值与存在性 (6)【巩固训练】题型一求曲线的方程 (8)题型二最值(范围)问题 (9)题型三定点定值与存在性 (11)高考数学《圆锥曲线》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 求曲线的方程例1 已知定点()0,3-G ,S 是圆()723:22=+-y x C (C 为圆心)上的动点,SG 的垂直平分线与SC 交于点E ,设点E 的轨迹为M . 求M 的方程. 【答案】见解析【解析】由题意知ES EG =,所以26=+=+EC ESEC EG ,又因为266<=GC .所以点E 的轨迹是以G ,C 为焦点,长轴长为26的椭圆,动点E 的轨迹方程为191822=+y x . 例2 设O 为坐标原点,动点M 在椭圆22:12x C y +=上,过点M 作x 轴的垂线,垂足为N , 点P 满足2NP NM =.求点P 的轨迹方程.【答案】见解析【解析】如图所示,设(),P x y ,(),0N x ,()1,M x y . 由2NP NM =知,12y y =,即12y =.又点M 在椭圆2212x y +=上,则有22122x y +=,即222x y +=.例3 如图,矩形ABCD 中, ()()()()2,0,2,0,2,2,2,2A B C D -- 且,AM AD DN DC λλ==,[]0,1,AN λ∈交BM 于点Q .若点Q 的轨迹是曲线P 的一部分,曲线P 关于x 轴、y 轴、原点都对称,求曲线P 的轨迹方程.【答案】Q 的轨迹为第二象限的14椭圆,由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【解析】设(),Q x y ,由,AM AD DN DC λλ==,求得()()2,2,42,2M N λλ--, ∵1,22QA AN QB BM k k k k λλ====-,∴11224QA QB k k λλ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭, P x,y ()NM Oxy∴1224y y x x ⋅=-+-,整理得()22120,014x y x y +=-≤≤≤≤.可知点Q 的轨迹为第二象限的14椭圆,由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【易错点】求轨迹问题学生容易忽视范围 【思维点拨】高考中常见的求轨迹方程的方法有:1.直译法与定义法:直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐标的关系式,化简; 定义法求轨迹方程:轨迹方程问题中,若能得到与所学过的圆锥曲线定义相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程.2.相关点法:找动点之间的转化关系(平移,伸缩,中点,垂直等),用要求的代替已知轨迹的,代入化简3.参数法:可用联立求得参数方程,消参.注意此种问题通常范围有限制.4.交轨法:联立求交点,变形的轨迹. 题型二 最值(范围)问题例1 已知F 为抛物线C :x y 42=的焦点,过F 作两条互相垂直的直线1l ,2l ,直线1l 与C 交于A 、B 两点,直线2l 与C 交于D 、E 两点,则DE AB +的最小值为( )A. 16B. 14C. 12D. 10 【答案】A【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y D x y E x y ,直线1l 的方程为()11y k x =-,联立方程()214 1y xy k x ==-⎧⎪⎨⎪⎩,得2222111240k x k x x k --+=,∴21122124k x x k --+=- 212124k k +=, 同理直线2l 与抛物线的交点满足:22342224k x x k ++=, 由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=, 当且仅当121k k =-=(或1-)时,取等号.【易错点】本题考查抛物线的焦点弦长,利用抛物线的焦点弦长公式,表示出DE AB +,然后利用基本不等式求最值.对相关流程应有所熟练例2 已知点A (0,2)-,椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2,F 是椭圆E 的右焦点,直线AF,O 为坐标原点. (1)求E 的方程;(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点,当OPQ ∆的面积最大时,求l 的方程. 【答案】见解析【解析】(1)2(c,0)F c c 设,由条件知,222=2, 1.c a b a c a ==-=又所以 22 1.4x E y +=故的方程为 (2)1122:=2,(,),(,).l x l y kx P x y Q x y ⊥-当轴时不合题意,故设22214x y kx y =-+=将代入得22(14)16120.k x kx +-+=221,23=16(43)0,4k k x ∆->>=当即时,12PQ x =-=从而O PQ d OPQ =∆又点到直线的距离所以的面积21=241OPQ S d PQ k ∆⋅=+244,0,.44OPQ t t t S t t t∆=>==++则44,20.2t t k t +≥==±∆>因为当且仅当,即OPQ ∆所以,当的面积最大时,l 的方程为2222y x y x =-=--或. 【思维点拨】 圆锥曲线中的取值范围问题常用的方法有以下几个:(1)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系;(2)利用基本不等式求出参数的取值范围;(3)利用函数的值域的求法(甚至求导),确定参数的取值范围. 题型三 定点定值与存在性问题例1 已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>上.(1)求C 的方程.(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. 【答案】见解析【解析】 (1=22421a b+=,解得28a =,24b =. 所以C 的方程为22184x y +=. (2)设直线l :()00y kx b kb =+≠≠,,()11A x y ,, ()22B x y ,,()M M M x y ,.将 y kx b =+代入22184x y +=得()22221+4280k x kbx b ++-=. 故1222221M x x kb x k +-==+,221M M by kx b k =+=+ . 于是直线OM 的斜率12M OM M y k x k ==-,即12OM k k ⋅=-. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【思维点拨】解析几何是高考必考内容之一,在命题时多从考查各种圆锥曲线方程中的基本量关系及运算,在直线与圆锥曲线关系中.一般用方程的思想和函数的观点来解决问题,并会结合中点坐标,方程根与函数关系来求解.例2 已知抛物线2:4C y x =,点()0,m M 在x 轴的正半轴上,过M 点的直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,O 为坐标原点.(1) 若1=m ,且直线l 的斜率为1,求以AB 为直径的圆的方程;(2) 是否存在定点M ,使得不论直线:l x ky m =+绕点M 如何转动,2211AMBM+恒为定值?【答案】(1)()()223216x y -+-=. (2)存在定点M (2, 0). 【解析】(1)当1=m 时,()0,1M ,此时,点M 为抛物线C 的焦点,直线l 的方程为1-=x y ,设()()1122,,A x y B x y ,,联立24{ 1y xy x ==-,消去y 得, 2610x x -+=,∴126x x +=, 121224y y x x +=+-=,∴圆心坐标为(3, 2).又1228AB x x =++=,∴圆的半径为4,∴圆的方程为()()223216x y -+-=. (2)由题意可设直线l 的方程为x ky m =+,则直线l 的方程与抛物线2:4C y x =联立,消去x 得: 2440y ky m --=,则124y y m =-, 124y y k +=,()()22222211221111AMBMx m y x m y +=+-+-+()()()22122222222121211111y y k y k y k y y +=+=+++ ()()()()222121222222221221682111621y y y y k m k mky y k m m k +-++===+++ 对任意k R ∈恒为定值, 于是2=m ,此时221114AMBM+=. ∴存在定点()0,2M ,满足题意. 【易错点】定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果(取特殊位置或特殊值),因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现.【思维点拨】定点、定值问题通常先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在;若结论不正确,则不存在.在求解中通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的.【巩固训练】题型一 求曲线的方程1.设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点()0,1B 且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC的平行线交AD 于点E .证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程.【答案】13422=+y x (0≠y ) 【解析】因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠, 所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA .由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为13422=+y x (0≠y ).2.已知动圆G 过定点()4,0F ,且在y 轴上截得的弦长为8.求动圆G 的圆心点G 的轨迹方程; 【答案】28y x =【解析】设动圆圆心(),G x y ,设圆交y 轴于,M N 两点,连接,GF GM , 则GF GM =,过点G 作GH MN ⊥,则点H 是MN 的中点, 显然()22224,4GM x GF x y =+=-+,于是()222244x y x -+=+,化简整理得28y x =,故的轨迹方程为28y x =.3.已知抛物线C :22y x =的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ,两点,交C 的准线于P Q ,两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR FQ ∥;(2)若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.【答案】(1)见解析; (2)12-=x y .【解析】由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21,则0≠ab ,且记过B A ,两点的直线为l ,则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x .(1)由于F 在线段AB 上,故01=+ab .记AR 的斜率为1k ,FQ 的斜率为2k ,则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=.所以FQ AR ∥. (2)设l 与x 轴的交点为)0,(1x D , 则1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S -=-=--=△△. 由题设可得221211b a x a b -=--,所以01=x (舍去),11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时,由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y b a =+2,所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合.所以,所求轨迹方程为12-=x y .题型二 最值(范围)问题1.已知动点E 到点A ()2,0与点B ()2,0-的直线斜率之积为14-,点E 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程;(2)过点D ()1,0作直线l 与曲线C 交于P , Q 两点,求OP OQ ⋅的最大值.【答案】(1)()22124x y x +=≠±(2)14 【解析】(1)设(),E x y ,则2x ≠±.因为E 到点A ()2,0,与点B ()2,0-的斜率之积为14-,所以122y yx x ⋅=-+-,整理得C 的方程为()22124x y x +=≠±. (2)当l 垂直于轴时,l 的方程为1x =,代入2214x y +=得P ⎛ ⎝⎭,1,Q ⎛ ⎝⎭.11,4OP OQ ⎛⎛⋅=⋅= ⎝⎭⎝⎭. 当l 不垂直于x 轴时,依题意可设()()10y k x k =-≠,代入2214x y +=得 ()2222148440k xk x k +-+-=.因为()216130k ∆=+>,设()11,P x y , ()22,Q x y .则2122814k x x k +=+, 21224414k x x k -=+.()()21212121211OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+-- ()()22212121k x x k x x k =+-++14+21174416k =-+ 14< 综上OP OQ ⋅ 14≤,当l 垂直于x 轴时等号成立,故OP OQ ⋅的最大值是14.2.设椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>经过点12,,P F F ⎭是椭圆M 的左、右焦点,且12PF F ∆的面积为2. (1)求椭圆M 的方程;(2)设O 为坐标原点,过椭圆M 内的一点()0,t 作斜率为k 的直线l 与椭圆M 交于,A B 两点,直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ,若对任意实数k ,存在实数m ,使得12k k mk +=,求实数m 的取值范围.【答案】(1)22143x y +=;(2)[)2,m ∈+∞. 【解析】(1)略(2)设直线l 的方程为y kx t =+,由221{ 43x y y kx t+==+,得()2223484120k x ktx t +++-=,设()()1122,,,A x y B x y ,则21212228412,3434kt t x x x x k k -+=-=++,()212121221212122223t x x y y t t kt k k k k k k x x x x x x t ++=+=+++=+=--, 由12k k mk +=对任意k 成立,得22223t m t =--,∴()232m t m-=,又()0,t 在椭圆内部中,∴203t ≤<,∴2m ≥,即[)2,m ∈+∞.题型三 定点定值与存在性问题1.已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点,离心率为12, ,M N 分别是椭圆的上、下顶点,22•2MF NF =-.(1)求椭圆E 的方程;(2)若直线y kx m =+与椭圆E 交于相异两点,A B ,且满足直线,MA MB 的斜率之积为14,证明:直线AB 恒过定点,并求定点的坐标.【答案】(1)22143x y +=(2)直线AB恒过定点(0,.【解析】(1)由题知()0,2c F ,()b M ,0,()b N -,0,22222-=-=⋅∴b c NF MF ①由21==a c e ,得c a 2= ② 又222cb a =- ③ 由①②③联立解得:42=a ,32=b ∴椭圆E 的方程为13422=+y x . (2)证明:由椭圆E 的方程得,上顶点()3,0M ,设()11,y x A ,()22,y x B ,由题意知,01≠x ,02≠x由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x m kx y 得:()()034843222=-+++m kmx x k∴221438kkmx x +-=+,()22214334k m x x +-=, 又111133x m kx x y k MA -+=-=,222233x m kx x y k MB -+=-=, 由41=⋅NB MA k k ,得()()2121334x x m kx m kx =-+-+, ()()()()()()0433483414342222=+-+--+--k m km m k k m ,化简得:06332=+-m m 解得:3=m 或32=m ,结合01≠x ,02≠x 知32=m ,即直线AB 恒过定点()32,0.2.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2,(,0)A a ,(0,)B b ,(0,0)O ,ΔOAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P 是椭圆C 上一点,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N .求证:||||AN BM ⋅为定值.【答案】(1) 1422=+y x (2)见解析. 【解析】(1)由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为1422=+y x . (2)由(1)知,)1,0(),0,2(B A ,设),(00y x P ,则442020=+y x .当00≠x 时,直线PA 的方程为)2(200--=x x y y .令0=x ,得2200--=x y y M .从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ,得100--=y x x N .从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时,10-=y ,,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN .综上,BM AN ⋅为定值.3. 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =C 上的点 到(0,2)Q 的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程;(2)在椭圆C 上,是否存在点(,)M m n 使得直线l :1mx ny +=与圆O :221x y += 相交于不同的两点,A B ,且OAB ∆的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积;若不存在,请说明理由.【答案】(1) 2213x y += (2)见解析【解析】(1)由2223c e c a a ==⇒=,所以222213b ac a =-= 设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点,则22221x y a b+=,所以222222(1)3y x a a y b =-=-||PQ ===所以,当1y =-时,||PQ 3=,可得a =1,b c ==故椭圆C 的方程为:2213x y += (2)存在点M 满足要求,使OAB ∆得面积最大.假设直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同两点,A B , 则圆心O 到l的距离1d =<,∴221m n +> ①因为(,)M m n 在椭圆C 上,所以2213m n +=②,由①②得:203m <∵||AB ==所以1||2OABSAB d =⋅=2213m n =-代入上式得213221213OABmS m m ∆==+⋅,当且仅当22231(0,3]32m m =⇒=∈,∴2231,22m n ==,此时满足要求的点(M 有四个. 此时对应的OAB ∆的面积为12. 4.已知过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x < 两点,且6AB =.(1)求该抛物线E 的方程;(2)过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ,分别交曲线E 于点,C D 和,M N .设线段,CD MN 的中点分别为,P Q ,求证:直线PQ 恒过一个定点.【答案】(1)24y x = (2)直线PQ 恒过定点()3,0.【解析】(1)抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∴直线AB 的方程为:2p y x ⎫=-⎪⎭联立方程组22{ 2y pxp y x =⎫=-⎪⎭,消元得: 22204p x px -+=, ∴212122,4px x p xx +==∴6AB ===,解得2p =±.∵0p >,∴抛物线E 的方程为:24y x =.(2)设,C D 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ,则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭..由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠. 由()24{1y x y k x ==-,得()2222240k x k x k -++=.()24224416160k k k ∆=+-=+>因为直线1l 与曲线E 于,C D 两点,所以()1212122442,2x x y y k x x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由题知,直线2l 的斜率为1k-,同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-. 当1k ≠±时,有222112k k+≠+,此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以,直线PQ 的方程为()222121k y k x k k+=---,整理得()230yk x k y +--=. 于是,直线PQ 恒过定点()3,0; 当1k=±时,直线PQ 的方程为3x =,也过点()3,0.综上所述,直线PQ 恒过定点()3,0.新课程标准的内容与现形课标内容的对比如下表:与现形课标对比,必修3中的“算法初步”删掉了;删掉了必修5中的解三角形,不等式的大部分内容。
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】圆锥曲线的七种常见题型题型一:定义的应用圆锥曲线的定义包括椭圆、双曲线和抛物线。
在定义的应用中,可以寻找符合条件的等量关系,进行等价转换和数形结合。
适用条件需要注意。
例1:动圆M与圆C1:(x+1)+y=36内切,与圆C2:(x-1)+y=4外切,求圆心M的轨迹方程。
例2:方程表示的曲线是什么?题型二:圆锥曲线焦点位置的判断在判断圆锥曲线焦点位置时,需要将方程化成标准方程,然后判断。
对于椭圆,焦点在分母大的坐标轴上;对于双曲线,焦点在系数为正的坐标轴上;对于抛物线,焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
例1:已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是什么?例2:当k为何值时,方程是椭圆或双曲线?题型三:圆锥曲线焦点三角形问题在圆锥曲线中,可以利用定义和正弦、余弦定理求解焦点三角形问题。
PF,PF2=n,m+n,m-n,mn,m+n四者的关系在圆锥曲线中有应用。
例1:椭圆上一点P与两个焦点F1,F2的张角为α,求△F1PF2的面积。
例2:已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P 为双曲线上一点,且∠F1PF2=60,求该双曲线的标准方程。
题型四:圆锥曲线中离心率、渐近线的求法在圆锥曲线中,可以利用a、b、c三者的相等或不等关系式,求解离心率和渐近线的值、最值或范围。
在解题时需要注重数形结合思想和不等式解法。
例1:已知F1、F2是双曲线的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是多少?例2:双曲线的两个焦点为F1、F2,渐近线的斜率为±1/2,求双曲线的标准方程。
题型五:圆锥曲线的参数方程在圆锥曲线的参数方程中,需要注意参数的取值范围,可以通过消元或代数运算求解。
例1:求椭圆x^2/4+y^2/9=1的参数方程。
例2:求双曲线x^2/9-y^2/4=1的参数方程。
题型六:圆锥曲线的对称性圆锥曲线具有对称性,可以通过对称性求解问题。
高考数学丨圆锥曲线11大常考题-WPS Office
高考数学丨圆锥曲线11大常考题型&近5年真题汇总
本文汇总了圆锥曲线11大常考题型,当然,最最重要的当属题型十一:存在性问题,一起来看~
圆锥曲线11大常考题型如下
题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
题型二:弦的垂直平分线问题
题型三:动弦过定点的问题
题型四:过已知曲线上定点的弦的问题
题型五:共线向量问题
题型六:面积问题
题型七:弦或弦长为定值问题
题型八:角度问题
题型九:四点共线问题
题型十:范围问题(本质是函数问题)
题型十一:存在性问题(存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等)。
高中数学:圆锥曲线常考题型解析
高中数学:圆锥曲线常考题型解析今天给大家汇总了圆锥曲线的常考题型,一起来看看!圆锥曲线11大常考题型如下:题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二:弦的垂直平分线问题题型三:动弦过定点的问题题型四:过已知曲线上定点的弦的问题题型五:共线向量问题题型六:面积问题题型七:弦或弦长为定值问题题型八:角度问题题型九:四点共线问题题型十:范围问题(本质是函数问题)题型十一:存在性问题(存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等)题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二:弦的垂直平分线问题题型三:动弦过定点的问题题型四:过已知曲线上定点的弦的问题题型五:共线向量问题题型六:面积问题题型七:弦或弦长为定值问题题型八:角度问题题型九:四点共线问题题型十:范围问题(本质是函数问题)题型十一:存在性问题(存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等)例1:例2:例3:例4:例5:例6:确定圆的方程方法(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程。
(2)待定系数法①若已知条件与圆心和半径有关,则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组,从而求出的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D、E、F的方程组,进而求出D、E、F的值。
例7:答案:解析:该题考查的是有关直线与椭圆的问题,涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量,在解题的过程中,第一问求直线方程的时候,需要注意方法比较简单,需要注意的就是应该是两个,关于第二问,在做题的时候需要先将特殊情况说明,一般情况下,涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组,之后韦达定理写出两根和与两根积,借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.例8:解析:定点问题 例9:解析:例10:例11:解析:例12:例13:答案:例14:例15:解析:离心率问题例16:答案:D 解析:椭圆定义的应用主要有两个方面:一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆,二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等;“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点,在解决这类问题时经常会用到正弦定理,余弦定理以及椭圆的定义。
圆锥曲线10类大题梳理(解析版)
圆锥曲线大题梳理考情分析圆锥曲线问题是高考的热点问题之一,多数情况在倒数第二题出现,难度为中高档题型。
纵观近几年高考试卷,圆锥曲线的大题主要有以下几种类型:已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点,求直线方程或斜率、多边形面积或面积最值、证明直线过定点或点在定直线上等。
各种类型问题结构上具有一定的特征,解答方法也有一定的规律可循。
热点题型突破题型一:最值问题1(2024·安徽合肥·统考一模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F 0,1,过点F的直线l与C交于A,B两点,过A,B作C的切线l1,l2,交于点M,且l1,l2与x轴分别交于点D,E.(1)求证:DE= MF;d1d(2)设点P是C上异于A,B的一点,P到直线l1,l2,l的距离分别为d1,d2,d,求2d2的最小值.【思路分析】(1)利用导函数的几何意义求得直线l1,l2的表达式,得出D,E,M三点的坐标,联立直线l与抛物线方程根据韦达定理得出 DE= MF;d1d2d2k=221+1≥2,可求出d d12d2(2)利用点到直线距离公式可求得【规范解答的最小值.】(1)因为抛物线C的焦点为F 0,1,所以p=2,即C的方程为:x2=4y,如下图所示:设点A x 1,y 1,B x 2,y 2,由题意可知直线l 的斜率一定存在,设l :y =kx +1 ,=y =联立 x kx 2 y 4+1得x 2-4kx -4=0,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4.11由x 2=4y ,得y =4x 2,y =2x ,所以l 1:y -y 1=x 1 x -x 1,即y =x 122x -x 14.2令y =0,得x =x 12x12,即D ,0 ,同理l 2:y =x 222x -x 24x22,且E ,0 ,1 1所以 DE =2 x 1-x 2=2 x 1+x 22-4x 1x 2=2k 2+1.x 122x 14x 22x -x -2x 24由y =y ==2y ,得 x =-k1,即M 2k ,-1 .所以 MF =4k 2+4=2 k 2+1,故 DE = MF .(2)设点P x 0,y 0,结合(1)知l 1:y -y 1=x12x -x 1,即l 1:2x 1x -4y -x 2=101因为x 2=4y 1,x 2=4y 00,所以d 1=4y -x 022x 1x 01-24x 1+16=0-2x 0-x 21 2x 1x42x 1+16x =1-x 0222x 1+4.同理可得d 2=x 2-x 022x 2+24,所以d 1d 2=x x 10- 222x 1+4-x ⋅2x 0222x 2+4x =1-2x 0x +x 21 + 0x x 22x 42x 122+4x + 1x 222 +16-4=kx -0+4 x 022k 322+1.又d =y kx 0+01-k 2+12=x 04kx 0+1-+k 21 4kx 0+2=x 04-4k 2+1,d 1所以d 2d 2-4=kx 0 -04+x 2232+k 2116⋅k 2+1 -2x 04kx 0 +42k =221+1≥2.当且仅当k =0时,等号成立;d21即直线l 斜率为0时,d 1d 2取最小值2;求最值及问题常用的两种方法:(1)几何法:题中给出的条件有明显的几何特征,则考虑用几何图形性质来解决;(2)代数法:题中所给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,再求该函数的最值,求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等。
圆锥曲线题型归类总结
高考圆锥曲线的常见题型题型一:定义的应用 1、圆锥曲线的定义:(1)椭圆 (2)椭圆 (3)椭圆 2、定义的应用(1)寻找符合条件的等量关系 (2)等价转换,数形结合 3、定义的适用条件: 典型例题例1、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2=4外切,求圆心M 的轨迹方程。
例2、方程表示的曲线是题型二:圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): 1、椭圆:由,分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
2、双曲线:由,项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;3、抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
典型例题例1、已知方程12122=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是例2、k 为何值时,方程15922=---ky k x 的曲线:(1)是椭圆; (2)是双曲线.题型三:圆锥曲线焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题1、椭圆焦点三角形面积2tan2αb S = ;双曲线焦点三角形面积2cot2αb S =2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解3、22,,,n m mn n m n m +-+四者的关系在圆锥曲线中的应用; 典型例题例1、椭圆x a yba b 222210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12,的张角∠F P F 12=α,求证:△F 1PF 2的面积为b 22tan α。
例2、已知双曲线的离心率为2,F 1、F 2是左右焦点,P 为双曲线上一点,且,.求该双曲线的标准方程题型四:圆锥曲线中离心率,渐近线的求法1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式,可求离心率,渐进线的值;2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式,可求离心率,渐进线的最值或范围;3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题例1、已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x (0,0>>b a )的两焦点,以线段21F F 为边作正三角形21F MF ,若边1MF 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )A. 324+B. 13-C. 213+ D. 13+例2、双曲线22221x y a b==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1,3) B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞例3、椭圆G :22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为12(,0),(,0)F c F c -,椭圆上存在点M 使120FM F M ⋅=. 求椭圆离心率e 的取值范围;例4、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 (A )(1,2] (B )(1,2) (C )[2,)+∞ (D )(2,)+∞题型五:点、直线与圆锥的位置关系判断1、点与椭圆的位置关系点在椭圆内⇔12222<+b y a x点在椭圆上⇔12222=+b y a x点在椭圆外⇔12222>+by a x2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题:∆>0⇔相交∆=0⇔相切 (需要注意二次项系数为0的情况) ∆<0⇔相离 3、弦长公式:=AB )(11212212x x k x x k -+=-+ak ∆+=21 =AB )(1111212212y y k y y k -+=-+ak ∆+=211 4、圆锥曲线的中点弦问题: 1、伟达定理: 2、点差法:(1)带点进圆锥曲线方程,做差化简(2)得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系典型例题例1、双曲线x 2-4y 2=4的弦AB 被点M (3,-1)平分,求直线AB 的方程.例2、已知中心在原点,对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:x+y=1交于A,B 两点,C 是AB 的中点,若|AB|=22,O 为坐标原点,OC 的斜率为2/2,求椭圆的方程。
完整版)圆锥曲线大题题型归纳
完整版)圆锥曲线大题题型归纳圆锥曲线大题题型归纳基本方法:1.待定系数法:求解直线方程中的系数,求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等;2.齐次方程法:解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题;3.韦达定理法:直线与曲线方程联立,交点坐标设而不求,用韦达定理写出转化完成。
但是,如果方程的根很容易求出,就不必用韦达定理,而直接计算出两个根;4.点差法:解决弦中点问题,端点坐标设而不求。
也叫五条等式法:点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式;5.距离转化法:将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化为水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题;基本思想:1.“常规求值”问题需要找等式,“求范围”问题需要找不等式;2.“是否存在”问题当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解;3.证明“过定点”或“定值”,总要设一个或几个参变量,将对象表示出来,再说明与此变量无关;4.证明不等式,或者求最值时,若不能用几何观察法,则必须用函数思想将对象表示为变量的函数,再解决;5.有些题思路易成,但难以实施。
这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验;6.大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来,即可自然而然产生思路。
题型一:求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例1、已知F1,F2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的两个焦点,P在椭圆上,且∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为多少?点评:常规求值问题的方法:待定系数法,先设后求,关键在于找等式。
变式1、已知F1,F2分别是双曲线3x^2-5y^2=75的左右焦点,P是双曲线右支上的一点,且∠F1PF2=120°,求△F1PF2的面积。
变式2、已知F1,F2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(0<b<10)的左、右焦点,P是椭圆上一点。
1)求|PF1|/|PF2|的最大值;2)若∠F1PF2=60°且△F1PF2的面积为100b^2,求b的值。
圆锥曲线题型归纳(经典含答案)
椭圆题型总结一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:1.命题甲:动点P 到两点A, B 的距离之和 PA+|PB =2a (a >0,常数);命题乙:P 的轨迹是以 A B 为 焦点的椭圆,则命题甲是命题乙的 (B )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.已知Fl 、F2是两个定点,且 "F2 =4,若动点P 满足|PF"+|PF2|=4则动点P 的轨迹是(D ) A.椭圆B.圆C.直线D.线段3. 已知F i 、F2是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上的一个动点,如果延长* 到 Q,使得 |PQ =|PF 2 ,那么 动点Q的轨迹是(B )A.椭圆B.圆C.直线D.点 22…一 x y … ,一一 ,一 … 一一 一.....4.椭圆一十二=1上一点M 到焦点F i 的距离为2, N 为MF i 的中点,O 是椭圆的中心,则 ON 的值25 9是 4。
225.选做:F I 是椭圆 —=1的左焦点,P 在椭圆上运动,定点A ( 1, 1),求| PA | + | PF 1 |的最小值。
9 5解:| PA | | PF 1 |=| PA | 2a - | PF 2 |_ 2a-| AF 2 |=6 - .. 2(二) 标准方程求参数范围221. 试讨论k 的取值范围,使方程 —二 十 _匚=1表示圆,椭圆,双曲线。
(略)5 —k k -32"m 》n >0”是“方程mx 2 +ny 2 =1表示焦点在y 轴上的椭圆”的(c )A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 3.若方程x 2sina +y 2cosa =1表示焦点在y 轴上的椭圆,0所在的象限是(A ) A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限5.已知方程x 2+ky 2 =2表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 k>1(三)待定系数法求椭圆的标准方程1. 根据下列条件求椭圆的标准方程:(1) 两个焦点的坐标分别为(0, 5)和(0, —5),椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为 26;22匕』=1169 144(2) 长轴是短轴的2倍,且过点(2, — 6);2222L+L =1 或 土+匕=1 52 13 ' 148 37(3) 已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点4.方程x =J I -3y 2所表示的曲线是椭圆的右半部分日(」6,1),以-。
圆锥曲线解答题12大题型解题套路归纳
【高考数学中最具震撼力的一个解答题!】注:【求解完第一问以后,】圆锥曲线题10大题型:(1)弦长问题(2)中点问题(3)垂直问题(4)斜率问题(5)对称问题(6)向量问题(7)切线问题(8)面积问题(9)最值问题(10)焦点三角形问题。
中的2-----4类;分门别类按套路求解;1.(总与三个问题有关):(1)———————;(2)——————————;(3)—————————;2.圆锥曲线题,直线代入圆锥曲线的:---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————;3.-------------------;---------------------------------------------;————————————;—————————;——————————;—————————————————;———————————;——————————————;4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长:(1)圆的弦长问题;(2)中点弦长问题(3)焦点弦长问题;→(1)圆的弦长问题:(2法)首选方法:垂径定理+勾股定理:图示:--------------------------------;公式为:-------------------------;其中求“点线距”的方法:———————;次选:弦长公式;→(2)中点弦长问题:(2法)首选方法:“点差法”(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;副产品:两直线永远不可能垂直!原因:___________;【两直线夹角的求法:(夹角公式)___________;】双曲线(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;抛物线:形式一:___________;(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;形式2:___________;(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;附:“点差法”步骤:椭圆:“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式:(公式一)-------------------;(公式二)---------------------;附:“点差法”步骤:抛物线;形式一___________;:“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式:(公式一)---------------------;(公式二)--------------------;附:“点差法”步骤:抛物线:形式二:____________;“点”_______________________;_________________;“差”__________________________________;“设而不求法”______________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式:(公式一)-------------------;(公式二)--------------------------------;法二次选:中点公式;→(2)焦点弦长问题:(2(公式一)左焦点弦长:--------------------------------;图示:__________________;右焦点弦长:--------------------------------;图示:__________________;公式一适用于:__________________________;(公式二)--------------------------------;其中:________________;适用于:__________________________; 形式一:________;公式一:__________________;图示:_____________________;公式一适用于:__________________________;焦点弦公式二:____________________;公式2适用于:__________________________;→STEP2:除了这三种特殊弦长以外,其余弦长求解都用【弦长公式】(保底方法);【弦长公式】3类型:【类1】___________;___________;_______________;适用于:__________________________;【类2】___________;____________;_______________;适用于:__________________________;【类3】___________;____________;_______________;适用于:__________________________;5.【2-------------------------;--------------------------;--------------------------;---------;6. 2种特殊的垂直问题:(1)涉【2法】:法一:“圆的直径式方程”____________________________________;法二:向量垂直法:____________________;____________________________________;→(2)“原点张角垂直问题”首选方法:向量垂直法+韦达定理【最快!】图示:_____________________;套路:___________________;_______________________________;7“结论法+代入法最快!”【2题型】(1【原点对称】_______________________________;结论二:【任意点对称】_______________________________;(2)结论一:【x轴对称】_______________________________;结论二:【y轴对称】_______________________________;结论三【x=a对称】------------------------------------------;结论四【y=b对称】:______________________;结论5【y=x对称】:__________________________;结论6【y=-x对称】:_______________________________;结论7【y=x+c对称】:___________________;结论8【y=-x+c对称】:_____________________;结论9【任意直线Ax+By+C=0对称】:_______________________________;8.【大纲内2题型】(1【3套路8结论】(1)“点线距等于半径”________________________;(2)斜率乘积等于-1;______________;(3)勾股定理:__________________;结论:(1)【切线长公式】_______________________;(2)【圆心在原点时】_______________________;(3)【切点弦直线方程】_______________________;(4)_______________________;(5)_______________________;(6)_______________________;(7)________________________;(2【导数法】(2形式)【形式一】________;____________________;【形式二】_________;__________________________;9.圆锥曲线题题型六:固定套路:_________+___________+_____________+___________+_____________+___________+____ _________;【相关结论】:【两焦半径】左焦半径_____________;右焦半径_____________;特别的,通径:______________;半通径:______________;【三边长】_____________;_____________;_____________;【周长】_____________;【两焦半径乘积】_____________;【焦点三角形面积】_____________;_____________;作用:_____________;_____________;【余弦定理式】_____________;_____________;_____________;【正弦定理式】________;【求解离心率】__________;_________;________;__________;_____;【焦点三角形中内心公式】_____________________;10.“向量法最快”!平解几中,向量问题均采用“坐标运算”最佳!】首先:坐标化→→【平面向量10公式】【向量平行】_____________________;【向量垂直】_____________________;【向量夹角公式】_____________________;【加减式】_____________________;【数乘式】_____________________;【向量数量积公式】_____________________;【向量模的公式】_____________________;【量模转化公式】_____________________;【向量平方差公式】_____________________;【向量完全平方公式】_____________________;11.【2类】(1】→→“成锐角时《=》向量数量积>0;”“成钝角时《=》向量数量积<0;”“成直角时《=》向量数量积=0;”(2【2法】(1)向量数量积公式_____________________;(2)两直线夹角公式_____________________;12.圆锥曲线题题型9:固定套路:方法基础:_____________________;_____________________;_____________________;【凡与中点相关【凡与垂直相关的斜率问题】首选:斜率乘积等于-1。