简单组合体的结构特征

自主探究 探究 1：多面体与旋转体的主要区别是什么？
【答案】 多面体是由多个平面多边形围成的几何体， 旋转体是 由平面图形绕轴旋转而形成的几何体．
探究 2：如图所示，是由两个相同形状的三棱柱叠放在一起形 成的几何体，请问这个几何体是棱柱吗？
【答案】这个几何体不是棱柱．这是因为虽然上、下面平行， 但是四边形 ABB1A1 与四边形 A1B1B2A2 不在一个平面内．所以多边 形 ABB1B2A2A1 不是一个平面图形，它更不是一个平行四边形，因 此这个几何体不是一个棱柱．
因此，柱体与锥体都是台体的特例．在学习时，要注意柱体、 锥体、台体这三类几何体之间的联系．
典例剖析 题型一 空间几何体有关概念的理解 【例 1】 判断下列说法是否正确． (1)棱柱的各个侧面都是平行四边形； (2)一个 n(n≥3)棱柱共有 2n 个顶点； (3)棱柱的两个底面是全等的多边形； (4)如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形． 思路点拨：利用它们的概念进行判断．
图形
表示法
如上、下底面 分别是四边形 A′B′C′D ′、四边形 ABCD 的四棱 柱，可记为棱 柱 ABCD－ A′B′C′D ′
有一个面是多边形 ______，其余各面都 是有一个公共顶点的三角形 ______，由 这些面所围成的多面体叫做棱 锥．这个__________ 多边形面 叫做棱锥的 棱 底面或底；有公共顶点的各个 锥 三角形面 叫做棱锥的侧面； _________ 各侧 面的_________ 公共顶点叫做棱锥的顶点； 相邻侧面的公共边 ______叫做棱锥的侧 棱
1．给出下列命题： ①以直角三角形的一条边为轴， 其余两边旋转形成的曲面围成 的几何体是圆锥； ②以等腰三角形底边上的中线为轴， 将三角形旋转形成的曲面 围成的几何体是圆锥； ③经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形； ④圆锥侧面的母线长一定大于圆锥底面圆直径． 其中正确命题的序号是________．
【解析】 (1)由棱柱的定义可知，棱柱的各侧棱互相平行，同一个侧面 内两条底边也互相平行，所以各侧面都是平行四边形． (2)一个 n 棱柱的底面是一个 n 边形，因此每个底面都有 n 个 顶点，两个底面的顶点数之和即为棱柱的顶点数，即 2n 个． (3)因为棱柱同一个侧面内的两条底边平行且相等，所以棱柱 的两个底面的对应边平行且相等，故棱柱的两个底面全等． (4)如果棱柱有一个侧面是矩形，只能保证侧棱垂直于该侧面 的底边， 但其余侧面的侧棱与相应底边不一定垂直， 因此其余侧面 不一定是矩形． 故(1)(2)(3)正确，(4)不正确．
题型三 空间几何体的简单计算 【例 3】 一个圆台的母线长为 12 cm，两底面面积分别为 4π cm2 和 25π cm2.求： (1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长． 思路点拨： 圆锥的轴截面是等腰梯形，利用等腰梯形的性质可求解．
【解析】 (1)如图所示， 圆台的轴截面是等腰梯形 ABCD， 由已知可得上 底半径 O1A＝2 cm，下底半径 OB＝5 cm，又腰长为 12 cm，所以 高为 AM＝ 122－5－22＝3 15(cm)． (2)设截得此圆台的圆锥的母线长为 l cm， l－12 2 则由△SAO1∽△SBO 可得 l ＝5.∴l＝20(cm)． 即截得此圆台的圆锥的母线长为 20 cm.
3.旋转体 旋转 结构特征 体 以______________ 矩形的一边 所在直 线为旋转轴，其余三边旋 转形成的面所围成的 ________ 旋转体 叫 做 圆 柱 ， 旋转轴 ______ 叫 做 圆 柱 的 轴 ； 垂直于轴 的边旋转而成 _________ 圆柱 的 ______ 圆面 叫 做 圆 柱 的 底 面； ________的边旋转而 平行于轴 成的曲面叫做圆柱的侧 面；无论旋转到什么位置 不垂直于轴 的边都叫做 ____________ 圆柱侧面的母线
预习测评 1．下列几何体是棱柱的有(
ห้องสมุดไป่ตู้
)
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】D
2．以钝角三角形的较小边所在直线为轴，其他两边旋转一周 所得到的几何体是( ) A．两个圆锥拼接而成的组合体 B．一个圆台 C．一个圆锥 D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
【答案】D
3．一个棱柱有 10 个顶点，所有的侧棱长的和为 60 cm，则每 条侧棱长为________ cm.
2．多面体 多面 结构特征 体 有两个面互相________ 平行 ，其 余各面都是________ 四边形 ，并且 每相邻两个四边形的公共边 都互相________ 平行 ，由这些面 所围成的多面体叫做棱 柱．棱柱中，两个互相平行 ____________ 棱柱 的面叫做棱柱的底面，简称 底；其余各面 ________叫做棱柱的侧 面；相邻的侧面的________ 公共边 叫做棱柱的侧棱；侧面与底 公共顶点叫做棱柱的 面的__________ 顶点
方法点评： (1)有关圆柱、圆锥、圆台的计算，应充分利用过轴的截面， 即轴截面图形． (2)在解答有关台体的问题时，有时还台为锥能找到元素间的 关系，给解决问题带来方便．
3．圆台侧面的母线长为 2a，母线与轴的夹角为 30° ，一个底 面的半径是另一个底面半径的 2 倍． 求两底面的半径与两底面面积 之和．
3．圆柱、圆锥、圆台、球的轴截面特征 过圆柱、 圆锥、 圆台和球的轴的截面叫做以上各几何体的轴截 面．其中圆柱的轴截面是矩形，如图(1)中矩形 ABCD；圆锥的轴截 面为等腰三角形，如图(2)中△ABC ；圆台的轴截面为等腰梯形， 如图(3)中梯形 ABCD；球的轴截面为圆，如图(4)中⊙O.
4．柱体、锥体、台体的联系 柱体、锥体、台体的形状虽然不同，但它们可以互相转化：当 台体的上、下底全等时，台体转化为柱体，当台体的上底面收缩为 一点时，台体转化为锥体，即：
圆锥用 表示它的轴的字母 ____________ 表示，左图中圆 锥表示为圆锥 SO 圆台用 ____________ 表示轴的字母 表示，左图中圆 台表示为圆台 OO′
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2．如图，已知三棱台 ABC－A′B′C′. (1)把它分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示； (2)把它分成三个三棱锥并用字母表示．
【解析】 (1)如下图①所示，三棱柱是棱柱 A′B′C′－AB″C″，多 面体是 B′C′CBB″C″. (2)如图②所示，三个三棱锥分别是 A′－ABC，B′－A′BC， C′－A′B′C.
【答案】②③
题型二 简单几何体的组合体
【例 2】 已知 AB 是直角梯形 ABCD 中与底边垂直的一腰， 如图．分别以 AB，BC，CD，DA 为轴旋转，试说明所得几何体的 结构特征． 思路点拨：关键是弄清简单组合体是由哪几部分组成．
【解析】 (1)以 AB 边为轴旋转所得旋转体是圆台．如图①所示． (2)以 BC 边为轴旋转所得旋转体是一个组合体：下部为圆柱， 上部为圆锥．如图②所示． (3)以 CD 边为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥， 下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图③所示． (4)以 AD 边为轴旋转得到一个组合体： 一个圆柱上部挖去一个 圆锥．如图④所示．
如图所示， 该棱锥可表 示为棱锥 S－ABCD
平行于棱锥底面 用一个_____________ 的平面去截棱锥，底面 和截面之间的部分叫做 棱 棱 台 ． 原 棱 锥 的 台 底面 和 ________ ________ 截面 分 别叫做棱台的下底面和 上底面
如上、下底面分别是 四边形 A′B′C′ D′、四边形 ABCD 的四棱台，可记为棱 台 ABCD－ A′B′C′D′
图形
表示法
圆柱用 表示它的轴的字母 _____________ 表示，左图中圆 柱表示为圆柱 OO′
以直角三角形的 圆 ____________ 一条直角边 所在直线为旋 锥 转轴， 其余两边旋转形成的面 所围成的旋转体叫做圆锥 用平行于圆锥底面的平面去 截圆锥， 底面与________ 截面 之间 圆 的部分叫做______ 与圆柱和 圆台 ． 台 圆锥一样，圆台也有____ 轴 、 底面 、______ 侧面 、______ 母线 ______
【答案】12
4．观察常见的六角螺母，可以近似地将它看成是由一个正六 棱柱挖去一个________后组成的简单组合体．
【答案】圆柱
要点阐释 1．各种四棱柱的关系 在棱柱中，当侧棱不垂直于底面时，称为斜棱柱；当侧棱垂直 于底面时，称为直棱柱；如果直棱柱的底面是正多边形，则称为正 棱柱；在四棱柱中，如果底面是平行四边形，则称为平行六面体； 当平行六面体的侧棱与底面不垂直时，称为斜平行六面体；当平行 六面体的侧棱与底面垂直时，称为直平行六面体；如果直平行六面 体的底面是矩形，则称为长方体；当长方体的棱长都相等时，称为 正方体．
球常用表示球 心的字母表示， 左图中的球表 示为球 O
4．简单组合体的结构特征
简单几何体 组合而成的几何体叫做简单组合体． (1)定义：由____________
(2)简单组合体的两种基本形式： 拼接 而成； 一种是由简单几何体________ 截去或挖去 一部分而成． 一种是由简单几何体____________
自学导引 1．空间几何体 平面多边形 围成的几何体叫做多面 (1) 多面体：由若干个 ____________ 多边形 叫做多面体的面；相邻两个面的 体．围成多面体的各个 ________ 公共边 叫做多面体的棱；棱与棱的________ ________ 公共点 叫做多面体的顶点． 定直线 (2)旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条 ________ 旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体， 这条________ 定直线 叫做旋转体的 轴．
在四棱柱中，可以用下面的图示帮助把握它们之间的关系：
2．正棱锥中的有关概念 (1)正棱锥是指底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的 中心，这样的棱锥叫做正棱锥，正棱锥的各个侧面