群伦[1]
群论第8章
能级简并(时间反演的结果). 实表示：Cn 的特征标为+1（ A 表示），-1（ B 表示）。 反演对称操作i 的特征标为 1（偶宇称，下标用 g ），-1（奇宇称，下标用u ）.
除Ci ，有 10 个点群具有反演操作i 对称，它们均可以表示为Ci 群与另一正 则转动群的直积：
对 n = 2,4,6 ，它包含一个反演操作 I (≡ C2σ h )。
Sn 群：有一个 n 度转动反演轴（ n = 4,6 ）； 对 n = 2,3的 S2 和 S3 ，一般用 Ci 和 C3h 符号；
Dn 群：有一个 n 度转动轴及 n 个与之垂直的二度轴（ n = 2,3,4,6 ）； Dnd 群： Dn 群加 4 n 个垂直对交镜面（ n = 2,3）镜面将二度轴角度平分。 Dnh 群： Dn 群加一个水平镜面（ n = 2,3,4,6 ）. n = 2,4,6 时， Dnh 包含反演操作。 除以上 27 个群外，还有Oh ， O ，Td ，Th 和T 群。
群 论 讲 稿----吴 长 勤
第八章 点群和空间群 (Point Groups and Space Groups)
§1 点群 (Point Groups)
点群：使系统（如分子）不变的对称操作的集合构成的群。（某点固定，空 间任何两点距离不变的有限群）
一般，几何对称操作有：
E : 恒等操作；
Cn ：转角 2π / n 的操作，转动轴称 n 度轴；
{ } C3v : {E}, C3,C32 , {σ1,σ 2 ,σ 3}; 三个共轭类。 { } { } C'3v : {E},{E}, C3,C32 , EC3, EC32 ,{σ1,σ 2 ,σ 3},{Eσ1, Eσ 2 , Eσ 3};
群论绪论
群论简介
一、历史：
群论源于十九世纪初，由高斯、柯栖、阿贝尔、哈密顿、伽罗 瓦、西勒维斯特等人初创。 二十世纪初，相对论和量子力学诞生，随后，群论被引进物理 学，成为物理学的一个重要研究工具。
二、群论与对称性
群论是研究系统对称性质的数学工具。 中国古代：殷商时期的“司母戊大方鼎”上的蟠龙纹和饕餮纹 。 河姆渡象牙雕刻件“双鸟朝阳”。 古埃及：金字塔。
还有 0 0,0,,0
1.1.2内积空间（inner product space）
1．内积公理 （两矢量乘积变成数的运算，称为矢量的内积）
令 a, b∈R，定义内积( a, b )，并满足
ⅱ) a , b = b , a
ⅰ) (a, a )是非负实数，( a, a )≥0, 且如果( a, a = 0，必有 a ) =0
2 a -------- a 的模（modulus） ** or a 的范数（norm） ** if a , b 0 ，称 a b --------orthogonal
a, a 0, a , a
基 v1 , v2 ,vn 的方法如下：
v2
：v2 C21v1 u2
u1 v1： v1 u1
;
令 v1 , v2 C21 v1 , v1 v1 , u2 C21 v1 , u2 0
2．物理学的根本问题：对称性？ 例： ①晶格平移不变性（周期为a） 能带理论 各种晶体、材料：导体、半导体、绝缘体等。 ②全同粒子交换对称性 玻色子、费米子、量子统计…… ③标度不变性 细胞繁殖、生命起源。 ④宇宙的时空平移不变性？ “人类”的起源和未来 …………
[理学]群论群论基础
![[理学]群论群论基础](https://img.taocdn.com/s3/m/917951d425c52cc58bd6bec7.png)
物理学中的群论——群论基础主讲翦知渐教材教材：自编参考书：群论及其在固体物理中的应用参考书群论及其在固体物理中的应用（徐婉棠）物理学中的群论（马中骐）物理学中的群论基础（约什）群的基本概念和基本性质1.11.21.3131.41.51.6161.71.81.1抽象代数的基本概念1抽象代数研究的对象什么都不是，所以什么都是集合的直乘：C=A×B，表示“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的C A表示“一对有序元”，也称为A和B的直乘，用符号表示即：, a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={aA}B b b}则集合1C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。
定义设是两个集合若有种规则使得2定义：设A 与B 是两个集合，若有一种规则f ，使得A 的每一个元素在B 上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f 的一个映射记为就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → Bf ：x → y = f ( x ) , 或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，而x 称为y 在A 上的原象。
对应规则函数对应规则：函数满射单射一一映射逆映射：f -1恒等映射：e 变换恒等映射：体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换，若f 是一一映射则称为对称变换一一变换有性质：射，则称为对称变换。
变换有性质：f f -1= f -1f = e3定义：若对A 上的每对有序元(a, b ) ，在A 上有唯确定的A每一对a,b)A上有唯一确定的c与之对应，即有一规则R 使得A×A → A，则R 称为A上的一个二元运算，记为()()R：A×A → A，或R：a, b ) →c= R(a, b)一般记为c = a·b，或c = ab。
二元运算般也称为乘法二元运算一般也称为“”——数值加法数值乘法对称操作……AmlOC kBe a b k l m D3e e a b k l ma ab e m k lb b e a l m k k k l m e a b l l m k b e a m m k l a b e4设A和B是两个不同集合，其中分别定义了乘法· 和×，若有满射f，使得对于y i f( x i ), y j f( x j)来说，=f(i)=f(f( x i · x j) = f( x i) ×f( x j)——即像的乘积=乘积的像则称f 为A到B的同态，记为A ~ B同态映射若是一一映射→同构同构：乘法表完全一样的结构，只是换了记录的符号数学上，同构即是同一数学上同构即是同→1:1= {e= a4, a, a2, a3} →G ={ 1, i, -1, -i}例如：C4物理上同构的集合有分别：物理上，同构的集合有分别：C 2= {e, c 2} 和C i = {e, c i }同态：A 到B 的等比例缩小保持了乘法结构3:1例如{{1→ 3:1例如：C 4= {e, a, a 2, a 3}→ G ' ={ 1, -1}二对一的同态二对的同态1.2什么是群？1G ={ e, g2, …, g i, …} 是一个集合，其中定义了乘法。
群论-三维转动群
物理学中的群论——三维转动群主讲翦知渐群论-三维转动群第四章三维转动群三维转动群的表示4.1 维转动群的表示§拓扑群和李群42§4.2轴转动群SO (2)§4.3 三维转动群SO (3)§4.4二维特殊幺正群SU (2)§4.1拓扑群和李群连续群的基本概念1拓扑群无限群分为分立无限群和连续无限群有关有限群的理论对于分立无限群来说几乎全部成立定义4.1 连续群的维数, a2, …, a n所标明连续群G的元素由一组实参数a1其中至少有一个参数在某一区域上连续变化，且该组参数对标明群的所有元素是必需的而且足够的则该组参数中连续参数的个数l 称为连续群的维数。
在具体的群中，参数的取法可能不唯一例子如下的线性变换T(a,b)x'= T(a,b)x = ax +b,a,b∈(-∞,+∞), a≠0构成的集合，定义其上的乘法为：T(a1,b1)T(a2,b2)x = T(a1a2, a1b2+b1)x，b b T封闭律是显然的逆元素为T-1(a,b) = T(1/a, -b/a) ，单位元是T(1,0)结合律也容易证明因此{T(a,b)}构成个连续群。
构成一个连续群。
由于群元素的连续性质，需要在群中引入拓扑由于群元素的连续性质需要在群中引入简单说拓扑是个集子集族简单地说，拓扑是一个集合以及它的子集族拓扑学研究的是某个对象在连续变形下不变的性质为简单起见，我们仅讨论其元素可与l 维实内积空间的某个子有对应关系的群有一一对应关系的群集Sl该子集称为参数空间定义4.2 拓扑群群元的乘法法则和取逆法则在群的所有元素处都连续的群，称为拓扑群定义4.3 简单群和混合群拓扑群G的任意两个元素x1和x2在参数空间中如果能用一条或者多条道路连接（道路连通），则该群的参数空间是连通的，该群称为连通群或简单群。
若群的参数空间形成不相连结的若干片，则该群称为混合群。
前者如三维转动群SO(3)，后者如三维实正交群O(3)。
群论 第1章 群论基础(1)
在不引起歧义的情况下, 我们会省略乘法符号. 群G的元素个数称为群的阶(order), 记为|G|. 根据群的元素个数, 可以将群分为有限 群(元素的数目有限)和无限群(元素的数目无限). 在无限群中, 连续群可以用一个或多个 实参数来标记群的元素. 另一种对群的分类方式, 是按照群的乘法是否可以交换位置. 定义 2 (Abel群) G是群, 并且满足 ∀a, b ∈ G, ab = ba, 则称群G是Abel群. Abel群的乘法一般又称为加法. 例1 例2 例3 实数的集合按数值加法运算(R, +)构成Abel群. 非零实数的数值乘法(R\{0}, *)构成Abel群. n-维非奇异复矩阵按矩阵乘法构成非Abel群GL(n, C). (1.1.1)
e e a b c d f a a e d f b c b b f e d c a c c d f e a b d d c a b f e f f b c a e d 表 1.4: D3 群的乘法表
∀g ∈ G, ∃n, m ∈ N, n > m, g n = g m . 记k = n − m ∈ N, 那么 g k = e, 称使上式满足的最小自然数k 为元素g 的阶. 有限群的生成元的数目是有限的, 其中最小的数目称为有限群的秩(rank).
于是, 生成元的任意乘积可以写成标准的形式q m pn , 从而|G| = 6. 群的乘法见表 1.3. p2 p2 qp2 qp2 qp q p2 p e
e
p
q
qp
e
a
b
c
d f
e e p q qp 2 2 p p p e qp q 2 2 p p e p qp qp2 q q qp qp2 e p qp qp qp2 q p2 e 2 2 qp qp q qp p p2 表 1.3: ⟨p, q ⟩群的乘法表 对有限群, 必有
群的定义
第 5 讲第二章群论§1 群的定义（2课时）本讲教学目的和要求：群论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础。
变换群在几何学中起着重要的作用，而有限群则是伽罗华理论（Galois,E[法] 1811—1832）的基础。
在所有只含一个代数运算的代数体系中，最重要的一个研究对象就是群。
而群的等价关系可谓“品种繁多”，本讲只是依教材作一些一般性地介绍，为扩大知识面，这里将适当引入一些如同“半群”和“monoid（幺半群）”这样的基本概念。
本讲的教学里要求学生对逆元（左逆元、右逆元），单位元（左单位元、右单位元）和群以及元素的阶要弄清楚，尤其是彼此的联系务必要明白其脉络。
教材中定义的群的第一定义和第二定义的区别及关系必须清楚。
本讲的重点和难点：由于本讲知识群论的最基本部分，照理不该出现什么难点，但仍希望能对下列问题引起注意：（1）半群，幺半群和群的关系.（2）本讲的论证部分（通过逐渐熟悉这些理论证明，慢慢踏上“近世代数”的学习之路.（3）群的阶和群中元素的阶.本讲的教法和教具：使用多媒体教室中的教学设备，并鼓励学生参与教学活动。
说明：本章教学活动中群的代数运算“ ”习惯上称为乘法（这时群也称为乘群），特殊情况下，“ ”也叫加法并改用“+”表示（群也随之叫做加群）一、 半群定义 1. 设G 为任一非空集合，G 上定义了一个能封闭的代数运算“ ”，如果 “ ”满足结合律，即)()(,,,c b a c b a G c b a =∈∀，那么代数体系},{ G 叫做是一个半群.注：（1）乘法“ ”的表达形式上，以后都用“ab ”来替代“b a ”.（2）在不发生混淆的前提下，半群},{ G 可简记为G .定义2. 设},{ G 是一个半群，那么∙如果乘法“ ”满足交换律，则称},{ G 为可换半群.∙如果G 是有限集，则称},{ G 为有限半群.例1、},{},,{⋅+Z Z 都是半群，并且是可换半群.其中“+”和“·”分别是通常的加法和乘法。
群论
第六章群论6.1 群论基础1 群的定义设G是一些元素的集合，G = {g0, g1, …, g i, …}. 在G中定义了乘法运算，如果G对这种运算满足下面四个条件：(1) 有唯一的单位元e. e∈G, 对任意f∈G, 都有ef = fe = f(2) 封闭性. 对任意f , g∈G, 若f g= h, 必有h∈G.(3) 结合律 . 对任意f , g, h∈G, 都有(f g) h = f (g h)(4) 逆元素. 对任意f∈G, 有唯一的f -1∈G，使f f -1= f -1f = e,则称G为一个群. e 称为群G 的单位元，f –1称为f的逆元素。
有限群中群元素的数目称为群的阶。
2群的乘法表二阶群G2 E AE E AA A E三阶群G3 E A BE E A BA AB EB B E A(i) 若AA = A2 = E -> BB = B2 = E; -> AB = B -> A = E（不合理） (ii) 若 AA = A2 = B, AB = AA2 = A3 = E; BA = E, BB = A.G3 E A A2E E A A2A A A2 EA2 A2 E A—循环群G = { X, X2, X3, …, X n = E}—Abel群 AB = BA.四阶群(i) 四阶循环群X = A X2 = B X3 = C X4 = EG4(1) E A B CE E A B CA ABC EB BC E AC C E A B(ii)G4(2) E A B CE E A B CA A E C BB BC E AC C B A EEx1构造五阶群的乘法表。
3 子群在G4(2)中，子集：{E, A}; {E, B}; {E, C} 构成较小的群——子群。
定理：g阶群G的任意子群H, 它的阶h必为g的除数。
即，g =hn, n为整数。
如：G6的子群的阶是：6和1，2，3。
群论讲解
∪ {a} × FP ( a ) = ∪ ( G
m∈M or m∈P a∈G a≠e
m
− e ) × {m}
∴ o (Y ) = ∑ o ({a} × FP ( a ) ) = ∑ o ( FP ( a ) )
a∈G a≠e
Pf:
=
m∈M or m∈P
∑ o ((G
iห้องสมุดไป่ตู้
m
− e ) × {m} ) = ⎛
群轮基础
一、基本概念
群 Df：设 集合 G = {a, b, c,……}
⎧ab = c ∈ G，∀a, b ∈ G ⎪ ⎪( ab ) c = a ( bc )，∀a, b, c ∈ G ⎨ ⎪∃e ∈ G st. ea = ae = a，∀a ∈ G ⎪∀a ∈ G，∃a −1 ∈ G st. aa −1 = a −1a = e ⎩
如果满足:
则 G 是一个群（Group）.
⎛1 S3: C1 ⎜ ⎝3 Eg. : ⎛1 C4 ⎜ ⎝3
2 3⎞ ⎛1 2 3 ⎞ ⎛1 ⎟ = (1 3 2 ) ≡ f , C2 ⎜ ⎟ = (1 2 3) ≡ d , C3 ⎜ 1 2⎠ ⎝ 2 3 1⎠ ⎝1 2 3⎞ ⎛1 2 3 ⎞ ⎛1 C5 ⎜ C5 ⎜ ⎟ = (1 3) ≡ b, ⎟ = (1 2 ) ≡ c, 2 1⎠ ⎝ 2 1 3⎠ ⎝1 e d f a b c e e d f a b c d d f e c a b 乘法表为: f f e d b c a a a b c e d f b b c a f e d c c a b d f e
⎛1 0 0 0 ⎞ ⎛ −1 ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 0 0 ⎟ 0 ⎜ , It = ⎜ Is = ⎜ 0 0 −1 0 ⎟ ⎜0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 0 −1 ⎠ ⎝0
群论初探——精选推荐
群论初探简单群论群定义群G 是⼀个定义在⼆元组(S ,⋅)的代数结构。
其中S 是⼀个集合，·是⼀个⼆元运算符。
G 所含元素的个数称为群G 的阶，记为|G |。
⼀般的，称阶为+∞的群为⽆限群，否则称为有限群（定义同样适⽤于集合）。
在群G 中，a ∈G 。
若存在最⼩正整数k 使得a k =e ，则称k 为a 的阶，记为|a |=k ；否则称a 的阶是⽆限的，记为|a |=+∞。
群论中，集合或群中的⼀个元素也被称为⼀个点。
提醒，你可能会在下⽂看到“由元素组成的群”等不严谨的说法，请不要纠结。
判定与性质满⾜下列条件的⼆元组G =(S ,⋅)可以称为群：封闭性： ∀x ,y ∈S ,x ⋅y ∈S ；结合律：∀x ,y ,z ∈S ,(x ⋅y )⋅z =x ⋅(y ⋅z )；单位元：∃e ∈S ,∀x ∈S ,e ⋅x =x ⋅e =x ；当G 为加法群是，其单位元称为零元，记作0。
逆元：∀x ∈S ,∃y ∈S ,x ⋅y =y ⋅x =e ；在式x ⋅y =e 中，称x 为y 的左逆元，y 为x 的右逆元。
当G 为加法群时，a 的逆元也称作负元，并记为−a 。
结论：在群中，左逆元=右逆元。
证明：∀x ∈G ,∃a ∈G ,a ⋅x =e 。
a 为x 的左逆元。
∃b ∈G ,b ⋅a =e 。
由1、2，x ⋅a =(b ⋅a )⋅(x ⋅a )=b ⋅(a ⋅x )⋅a =b ⋅a =e ，即a 也是x 的右逆元。
得证。
消去律： x =y 与x ⋅a =y ⋅a 互为充要条件，x ,y ,a ∈G 。
结论：当S 为有限集，在具有封闭性、结合律、单位元的⼆元组(S ,⋅)⾥，逆元存在⇔消去律存在。
证明：逆元存在⇒消去律存在结合消去律定义与a ⋅a −1=e 可证。
消去律存在⇒逆元存在对于∀a ∈S ，建⽴新⼆元组(S ′={x ⋅a |x ∈S },⋅)。
根据封闭性，S ′∈S 。
⼜S 存在消去律，考虑集合的互异性，不会存在x ,y 使得x =y ；同样的S ′中不会存在值为x ⋅a 的两个相同元素即|S |=|S ′|。
群论(1)第三章
2
3.3 SO(3)群的欧拉角表示
绕n轴转动w角也可通过下述步骤实现
1. 绕z轴转动alpha角 R(ez; ®)~r = ~r 0; 0 · ® < 2¼
2. 绕y’轴转动beta角 R(e0y; ¯)~r 0 = ~r 00; 0 · ¯ · ¼
3. 绕z’’轴转动gamma角 R(e0z0; °)~r 00 = ~r 000; 0 · ° < 2¼
y
¡ sin μ
0
cos μ
Á
x
三维转动群的基础表示
R(n^; w) = S(μ; Á)R(ez; w)S¡1(μ; Á)
0
=
B@
n2x(1 ¡ cos w) + cos w nxny(1 ¡ cos w) + nz sin w
nxny(1 ¡ cos w) ¡ nz sin w n2y(1 ¡ cos w) + cos w
¡i 2
(a2
¡
a¤2
+
b2
¡
b¤2)
1 2
(a2
+
a¤2
+
b2
+
b¤2)
i(a¤b ¡ ab¤)
nxnz(1 ¡ cos w) ¡ ny sin w nynz(1 ¡ cos w) + nx sin w
1 nxnz(1 ¡ cos w) + ny sin w nynz(1 ¡ cos w) ¡ nx sin w CA
n2z(1 ¡ cos w) + cos w
nx = sin μ cos Á; ny = sin μ sin Á; nz = cos μ
二维幺模幺正矩阵
群论小结
19
定义2 设是A到A’的满射 定义 到 的满射, 的满射 称为S在 之下的象 若SA, 则S’={(a)|a∈S}称为 在之下的象; ∈ 称为 称为S在 若S’A’, 则S={a∈S |(a) ∈S’}称为 在之下 ∈ 称为 逆象; 的逆象 定理3 是两个群, 同态, 定理 设G和G’是两个群 并且 同G’同态 那 和 是两个群 并且G同 同态 么在这个同态满射之下, 么在这个同态满射之下 的一个子群H的象 的子群; ⑴G的一个子群 的象 是G’的子群 的一个子群 的象H’是 的子群 的一个不变子群N的象 的不变子群. ⑵G的一个不变子群 的象 是G’的不变子群 的一个不变子群 的象N’是 的不变子群 定理4 是两个群, 同态, 定理 设G和G’是两个群 并且 同G’同态 那么 和 是两个群 并且G同 同态 在这个同态满射之下, 在这个同态满射之下 的一个子群H’的逆象 的子群; ⑴G’的一个子群 的逆象 是G的子群 的一个子群 的逆象H是 的子群 的一个不变子群N’的逆象 的不变子群. ⑵G’的一个不变子群 的逆象 是G的不变子群 的一个不变子群 的逆象N是 的不变子群
是一个群, 第一定义 <G, *>是一个群,如果 , *>是一个群 Ⅰ.运算封闭 运算封闭； Ⅰ.运算封闭； Ⅱ.结合律成立 结合律成立； Ⅱ.结合律成立； Ⅲ.对 中任意的 中任意的a， 方程 * = Ⅲ.对G中任意的 ，b,方程 a*x=b ， y*a=b 在G中都有解。 中都有解。 * = 中都有解
3
2-1 群的定义
群的第二定义 是一个群, <G, *>是一个群,如果 , *>是一个群 Ⅰ.运算封闭 运算封闭; Ⅰ.运算封闭; Ⅱ.结合律成立 结合律成立; Ⅱ.结合律成立; 中存在一个左单位元e; Ⅳ．G中存在一个左单位元 中存在一个左单位元 Ⅴ. 对任意 ∈G ,存在一个左逆元 -1 ∈G , 对任意a∈ 存在一个左逆元 存在一个左逆元a 使a-1 a=e.
群伦
群论在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。
群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。
群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。
群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。
于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。
群的定义设G是一个非空集合，*是它的一个代数运算，如果满足以下条件：Ⅰ.结合律成立，即对G中任意元素a,b,c都有(a*b)*c=a*(b*c)；Ⅱ.G中有元素e，叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e*a=a；Ⅲ.对G中每个元素a在G中都有元素a^（-1），叫做a的左逆元，使a^（-1）*a=e；则称G对代数运算*做成一个群。
一般说来，群指的是对于某一种运算*，满足以下四个条件的集合G：（1）封闭性若a,b∈G,则存在唯一确定的c∈G,使得a*b=c;（2）结合律成立任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c);（3）单位元存在存在e∈G,对任意a∈G，满足a*e=e*a=a，称e为单位元，也称幺元;（4）逆元存在任意a∈G,存在唯一确定的b∈G, a*b=b*a=e（单位元），则称a与b互为逆元素，简称逆元，记作a^(-1)=b.通常称G上的二元运算*为“乘法”，称a*b为a与b的积，并简写为ab.若群G中元素个数是有限的，则G称为有限群。
否则称为无限群。
有限群的元素个数称为有限群的阶。
定义运算对于g∈G，H包含于G，g*H={gh|h∈H}，简写为gH；H*g={hg|h∈H}，简写为Hg.A，B包含于G，A*B={ab|a∈A,b∈B}，简写为AB.群的替换定理G对*是群，则对于任一g∈G，gG=Gg=G.定义记法G对*是群，集合H包含于G，记H^(-1)={h^(-1)|h∈H}子群的定义如果G对于运算*为一个群，H包含于G并且H对*构成一个群，那么称H为G的子群。
群论(1)第一章
不变子群
不变子群：若子群H的所有左陪集都与对应的右 陪集相等，则称H为G的不变子群。
1.5 同构与同态
G1:
G2:
同构：若群G1和G2的所 有元素都按某种规则一一 对应，而元素的乘积也按 同一规则一一对应，则称 G1与G2同构，记为 G1≈G2。
R S RS
R’ S’
R’S’
1.两群同构，阶相同 2.两群同构，乘法表相同 3.同构的传递性，若G1≌G2， G2≌G3，则G1≌G3 判断同构时，只需找到一种对应规则即可。
下图为上图对 中间轴做镜像 变换得到。
左
右
具体的例子
变换群G：{E,D,F,A,B,C}
E：保持不变 D：绕O轴逆时针转动120度 F：绕O轴顺时针转动120度 A：绕a轴翻转180度 B：绕b轴翻转180度 C：绕c轴翻转180度
a轴
O c轴 b轴
O轴垂直纸面向上 abc三轴间夹角60度
群论（1）
主讲教师：郝 钢 单 位：中科院研究生院
教师简介
姓名：郝 钢
单位：中国科学院研究生院 联系方式 电 话：88256521 Email: haog@ 办公室：玉泉路园区教学楼429室，313室
课程简介（1）
课程名称：群论（1），Group Theory(1) 课程类型：学科基础课 主要内容：群论在物理中的应用 一，群的基本概念 二，群的表示理论 三，三维转动群 四，点群和空间群
群论第1章
参考书目
《量子化学 》李俊筏、田安民 《群论在化学中的应用》 F.A 科顿 《量子化学基本原理和从头计算法》 上册 徐光宪
《群论和化学》 O.M 毕校普（美） 中译本
《群论与现代化学入门》 周宏应 《群论基础及化学应用》 肖鹤鸣 《群论与分子对称性》 誉文德 《结构化学基础》 周公度
加罗瓦和群
Cij = a ik b kj
k
A的第i行乘以B的第j列，得C的第ij元
例1:
2 1 4 A 3 0 2
3 5 B 2 1 4 2
24 17 C A B 1 11
两个以上矩阵相乘，只能多次运用乘法规则，一次将
aij
mn
是一个n阶方阵
1.4 矩阵迹、相似变换和对角化
⑴ 矩阵的迹（trace）：
矩阵的对角化之和称为阵迹，简称迹，用X表示。
TrA= a ii A
i＝1
n
a. n个方阵的乘积的阵迹和乘的次序无关
Tr(ABC)=Tr(BCA)=Tr(CAB)
b. 相似矩阵的阵迹相等
若B=Q-1AQ，则 XA=XB
• 加罗瓦（1811-1832）是近代法国优秀的数学家，可惜二 十一岁那年就战死在爱情的决斗场上。十四年后，他的数 学群论得到世人的理解，被公认为是近代代数的里程碑。 • 加罗瓦的数学“群论”萌生于中学时期，那时他才十七岁。 在处理五次方程的代数解法时，首次提出了“群”的概念。 这种对于数学世界崭新描述的横空出世，虽然解决了当时 困扰数学界三百年之久的难题，但没人去相信他。因为他 的年龄太小了，人们不相信他会有这样的创建，另外这个 创建也超出当时数学界学者的素养太远了，根本就无法让 人接受。 • 当他的遗稿真正被数学界认可的时候，数学家拉格郎承认 说加罗瓦的群论是在“向人类的智慧挑战”。
卓识洞见迥绝群伦——魏哲先生的书法识见与创作
往者风流CHINESE PAlNI ING & CAILIGRAPHY 卓识洞见迥绝群伦——魏哲先生的书法识见与创作◊郑雪峰自2()世纪8()年代书法复兴以来，乂批又一 批的书法爱好者和书法家在书坛闪过，虽然 '了能曾经耀眼一时，但大多数都只是流星般地 匆匆一划，很难说他们在书坛留下了真正的痕迹，即便是现在仍然活跃甚至处于书坛重要位 置的书家，被行内推重而无异词者也是屈指可 数。
历史是残酷的,它所看重的是艺术本身，而卜:炒作艺术的本领或世俗的声名、爵位。
在屈 指可数的当代真止廿家中，魏哲先生毫无疑义 地占有一席之地。
魏哲先生的艺术成就当然得力于其对艺术 孜孜不倦的追求。
他视书法创作为生命，而这 几乎是所呆(热爱艺术的人J 打r 的优秀品质。
魏哲先生成功的关键，更在丁•他对书法史的认真 研读、思索，形成了高超洞明的识见。
才、学、识缺一不足以成就事业，然二者之中必以识最为可贵。
虽然识也是由才学培养生 成而渐次深入的，但识决定着才学的方向甚至 方法。
清代著名学者章学诚云：“夫才须学也，学贵识也。
才而不学，是为小慧；小慧不识，是为不尢”清代诗人袁枚在《续诗品》专有一节 《尚识》云“学如弓弩才如箭離。
识以领之， 方能中鹊。
善学邯郸，莫失故步。
善求仙方,不为药误。
我有神灯,独照独知。
不取亦取，虽师勿师。
”深刻充分地谈及识见在诗歌创作'I ＞的 关键作用。
在书法的学习与创作中，识见有着同样的重要性。
在2()世纪8()年代开始直到眼卜一的新时期书 法大潮中，先后风行交替有流行书风(受古代民间书法影响)、“二£书风(以晋唐古典书风 为主)、明清书风(以祝允明、张瑞图、黄道周、 倪元璐、王铎、傅山为主)，其间的小派别、小风尚缤纷呈现，不可胜数。
在这个大潮流中，魏哲先生是始终的参与者,也是明清书风的重要 开创者，他的书法风格几经变化，在3()年中始终走在时代的前面，始终是书坛的先锋。
群论讲义
D3 群的循环子群: D3=｛e, d, f, a, b, c｝ 2 阶循环子群：｛a, a2=e｝,｛b, b2 =e｝,｛c, c2=e｝ 3 阶循环子群：｛d, d2(＝f), d3=e｝,｛f, f2(=d), f3=e｝
【定义 1.4】 (左陪集和右陪集)
n 为循环群的阶，循环群是阿贝尔群。
an = e}
例 1.10 从 n 阶有限群 G 的任一元素出发，总可以生成一个 G 的循环子群。
G = {e, , gα , }， ∀gα ∈G
3
作 gα , gα 2 , gα 3 ,…, 存在 k ≤ n, gα k = e ，
则{gα1, gα 2 , ..., gα k = e} 构成循环群 Zk ,且 Zk < G 。
在乘法表中，每行和每列都是群元的重排，每个群元只出现一次。
§1.2 子群和陪集
【定义 1.2】 设 H 是群 G 的一个子集，若对于与群 G 同样的乘法运算，H 也构成一个群，
则称 H 为 G 的子群，记为 H < G 。 ·系 1. H < G 的充要条件为: （1） ∀hα , hβ ∈H,有 h α hβ ∈H
证：f1 ～ h, 故 ∃ g1, 使 f1 = g1hg1-1 ，故有 h=g1-1f1g1 f2 ～ h, 故 ∃ g2, 使 f2 = g2hg2-1 = g2g1-1f1g1g2-1 = (g2g1-1)f1(g2g1-1) -1 故 f1 ～ f2
【定义 1.6】 群 G 的所有相互共轭的元素集合，称为群 G 的一个类。 ·系 1 一个类被类中任意一个元素所决定，知道了类中某一个元素 f，则 f 所属类的所有
群论及应用ppt课件
xAB cii
aij b ji
i
i
j
xBA d jj
b ji aij
b ji aij
aij b ji xAB
j
ji
i
j
i
j
3、共轭矩阵特征标相同
B X 1 AX
xB bii
X
a 1
ij
jk
X
ki
i
i jk
X
ki
X
a 1
ij
jk
jk i
kj a jk a jj xA
（5）所有群都有一个全对称表示
（6） xi2 (R) 4 xi2 (R) 1 R
（7）正交性： xi (R)x j (R) 0
R
x(R) 1
（8）特征标表
C 2V
E
A1
1
A2
1
B1
1
B2
1
C2
1 V
2 V
1
1
1
1
-1
-1
-1
1
-1
-1
-1
1
熊夫利符号 对称操作 A，B 一维 E 二维 T 三维 g, u 中心对称与反对称
还是(x,y,z)，设P’点在OXYZ坐标系的坐标为(x’,y’,z’)，则： OP' e' r er '
因为
e ' eD(R)
OP' eD(R)r er'
r ' D(R)r
（3）
比较（3）和（2）式， 将物体固定变换基矢与将基矢固定使物体 作相反方向变动时，物体上各点的坐标变换情况是一样的。
R
h lil j
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
群论
在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。
在1896～1911年期间，W.伯恩赛德的“有限群论”先后两版,颇多增益。G.弗罗贝尼乌斯、W.伯恩赛德、I.舒尔建立起有限群的矩阵表示论后，有限群论已然形成。无限群论在20世纪初，也有专著,如1916年Ο.ю.施米特的著作。群论的发展导致20世纪30年代抽象代数学的兴起。尤其是近30年来,有限群论取得了巨大的进展,1981年初，有限单群分类问题的完全解决是一个突出的成果。与此同时，无限群论也有快速的进展。
在若尔当的专著影响下，（C.）F.克莱因于1872年在其著名的埃尔朗根纲领中指出，几何的分类可以通过无限连续变换群来进行。克莱因和（J.-）H.庞加莱在对 "自守函数”的研究中曾用到其他类型的无限群（即离散群或不连续群）。在1870年前后，M.S.李开始研究连续变换群即解析变换李群,用来阐明微分方程的解,并将它们分类。这无限变换群的理论成为导致抽象群论产生的第三个主要来源。
群的定义
设G是一个非空集合，*是它的一个代数运算，如果满足以下条件： Ⅰ.结合律成立，即对G中任意元素a,b,c都有 (a*b)*c=a*(b*c)；
Ⅱ.G中有元素e，叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有 e*a=a；
Ⅲ.对G中每个元素a在G中都有元素a^（-1），叫做a的左逆元，使 a^（-1）*a=e；
则称G对代数运算*做成一个群。
一般说来，群指的是对于某一种运算*，满足以下四个条件的集合G：
（1）封闭性
若a,b∈G,则存在唯一确定的c∈G,使得a*b=c;
（2）结合律成立
任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c);
（3）单位元存在
另外，晶体学中早期的关于晶体的各种结构的问题中，也是靠群论中的费得洛夫群的研究给出了答案。群论指出，空间中互不相同的晶体结构只有确定的230种。
在研究群时，使用表象而非群元是较方便的，因为群元一般来说都是抽象的事物。表象可以看成矩阵，而矩阵具有和群元相同的性质。不可约表象和单位表象是表象理论中的重要概念。
全体非零实数的乘法构成一个群
对三个互不相同的有序对象的6种不同顺序间的改变（包括不变的情况）构成一个六阶的群（这是一个有限的置换群的例子） ,它由此被标记为S3.
在数论中，拉格朗日和C.F.高斯研究过由具有同一判别式D的二次型类,即f=ax^2+2bxy+cy^2,其中a、b、с为整数，x、y 取整数值，且D＝b^2-aс为固定值，对于两个型的"复合"乘法,构成一个交换群。J.W.R.戴德金于1858年和L.克罗内克于1870年在其代数数论的研究中也引进了有限交换群以至有限群。这些是导致抽象群论产生的第二个主要来源。
历史
群论是法国传奇式人物伽罗瓦（ Galois，1811~1832年）的发明。他用该理论，具体来说是伽罗瓦群，解决了五次方程问题。在此之后柯西（Augustin-Louis Cauchy,1789~1857年)，阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802~1829年）等人也对群论作出了发展。
在许多研究群论的数学家眼中，也即指在抽象群论中，数学家关心的是各元素间的运算关系，也即群的结构，而不管一个群的元素的具体含义是什么。举一个具体的例子，群论研究表明，任何一个群都同构于由群的元素组成的置换群。于是，特别是对研究有限群来说，研究置换群就是一个重要的问题了。
群的例子
全体整数的加法构成一个群
今天，群论经常应用于物理领域。粗略地说，我们经常用群论来研究对称性，这些对称性能够反映出在某种变化下的某些变化量的性质。它也跟物理方程联系在一起。基础物理中常被提到的李群，就类似与伽罗瓦群被用来解代数方程，与微分方程的解密切相关。
在物理上，置换群是很重要的一类群。置换群包括S3群，二维旋转群，三维旋转群以及和反应四维时空相对应的洛仑兹群。洛仑兹群加上四维变换就构成了Poincare群。
时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群、算术群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构如拓扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学以至（代数）编码学、自动机理论等方面，都有重要的应用。作为推广“群”的概念的产物：半群和幺半群理论及其近年来对计算机科学和对算子理论的应用，也有很大的发展。群论的计算机方法和程序的研究，已在迅速地发展。
若群G中元素个数是有限的，则G称为有限群。否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。
定义运算
对于g∈G，H包含于G，*H={gh|h∈H}，简写为gH；H*g={hg|h∈H}，简写为Hg.
A，B包含于G，A*B={ab|a∈A,b∈B}，简写为AB.
群的替换定理
存在e∈G,对任意a∈G，满足a*e=e*a=a，称e为单位元，也称幺元;
（4）逆元存在
任意a∈G,存在唯一确定的b∈G, a*b=b*a=e（单位元），则称a与b互为逆元素，简称逆元，记作a^(-1)=b.
通常称G上的二元运算*为“乘法”，称a*b为a与b的积，并简写为ab.
G对*是群，则对于任一g∈G，gG=Gg=G.
定义记法
G对*是群，集合H包含于G，记H^(-1)={h^(-1)|h∈H}
子群的定义
如果G对于运算*为一个群，H包含于G并且H对*构成一个群，那么称H为G的子群。
这条定理可以判定G的子集是否为一个子群：
HH=H且H^(-1)=H <=> H是G的子群
最先产生的是n个文字的一些置换所构成的置换群，它是在研究当时代数学的中心问题即五次以上的一元多项式方程是否可用根式求解的问题时,经由J.-L.拉格朗日、P.鲁菲尼、N.H.阿贝尔和E.伽罗瓦引入和发展，并有成效地用它彻底解决了这个中心问题。某个数域上一元n次多项式方程,它的根之间的某些置换所构成的置换群被定义作该方程的伽罗瓦群，1832年伽罗瓦证明了：一元 n次多项式方程能用根式求解的一个充分必要条件是该方程的伽罗瓦群为“可解群”（见有限群）。由于一般的一元n次方程的伽罗瓦群是n个文字的对称群Sn，而当n≥5时Sn不是可解群，所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。伽罗瓦还引入了置换群的同构、正规子群等重要概念。应当指出，A.-L.柯西早在1815年就发表了有关置换群的第一篇论文，并在1844～1846年间对置换群又做了很多工作。至于置换群的系统知识和伽罗瓦用于方程理论的研究，由于伽罗瓦的原稿是他在决斗致死前夕赶写成的，直到后来才在C.若尔当的名著“置换和代数方程专论”中得到很好的介绍和进一步的发展。置换群是最终产生和形成抽象群的第一个最主要的来源。