求不等式组的特殊解
不等式的特殊解集与性质
不等式的特殊解集与性质不等式是数学中常见的一种表达式，用于表示数之间的大小关系。
在解不等式时，有时会出现一些特殊的解集及其性质。
本文将探讨不等式的特殊解集，并分析其性质。
一、绝对值绝对值不等式是一类常见的不等式，其解集具有一些特殊的性质。
考虑以下形式的绝对值不等式：|ax + b| ≤ c (其中 a、b、c 均为实数，且a ≠ 0)1. 当c ≥ 0 时，绝对值不等式恒成立，即其解集为全体实数。
2. 当 c < 0 时，绝对值不等式无解，因为绝对值的值不可能小于负数。
二、分式分式不等式是另一类常见的不等式，其解集也具有一些特殊的性质。
考虑以下形式的分式不等式：f(x)/g(x) ≤ 0 (其中 f(x) 和 g(x) 均为多项式函数，且g(x) ≠ 0)1. 若 f(x) 和 g(x) 异号（即一个为正，一个为负），则不等式的解集为不等式的所有解。
2. 若 f(x) 和 g(x) 同号（即两者都为正或负），则需进一步考虑 g(x) ≠ 0 的条件，即分母不为零的情况。
a) 若 g(x) > 0，则不等式的解集为满足f(x) ≤ 0 的所有解。
b) 若 g(x) < 0，则不等式的解集为满足f(x) ≥ 0 的所有解。
三、复合复合不等式是多个不等式同时存在的情况，其解集和性质需要综合考虑。
考虑以下形式的复合不等式：f(x) < g(x) < h(x) (其中 f(x)、g(x)、h(x) 均为函数)1. 首先解决 f(x) < g(x) 不等式，得到解集 A。
2. 然后解决 g(x) < h(x) 不等式，得到解集 B。
3. 最终复合不等式的解集为 A 与 B 的交集。
四、二次二次不等式是具有二次项的不等式，其解集和性质与一次不等式不同。
考虑以下形式的二次不等式：ax^2 + bx + c < 0 (其中 a、b、c 均为实数，且a ≠ 0)1. 若 a > 0，则二次不等式的解集为开口朝下的抛物线在 x 轴下方。
9.3一元一次不等式组课时2-2022-2023学年七年级数学下册同步精品随堂教学课件(人教版)
解不等式①，得 x≥3．
解不等式②，得 x≤5．
∴ 不等式组的解集为 3≤x≤5．
∴ x 可取的整数值是 3，4，5．
课堂小结
1.求一元一次不等式组的特殊解的方法：
先求出不等式组的解集，然后在不等式组的解集中找出符
合条件的特殊解(如非负整数解、最小整数解等),还可以借
助数轴直观地找特殊解.
第九章
不等式与不等式组
9.3 一元一次不等式组（课时2）
人教版七年级◑下册
主讲：XXX
温故知新
一元一次不等式组的解集有四种情况：
不等式组
(a>b>0)
各不等式组
的解集在数
轴上的表示
不等式组的
解集
巧记口诀
0 b a
0 b a
0 b a
0 b a
x>a
x<b
无解
b<x<a
同大取大 同小取小
大大小小 大小小大
都成立？
5 + 2 > 3( − 1),
1
2
−1≤7−
3
.
2
求不等式组解集中
的整数值
新知探究
知识点1：一元一次不等式组的应用
解：解不等式组
5 + 2 > 3( − 1), ①
1
2
−1≤7−
x>
3
, ②
2
5
2
解不等式①，得
.
解不等式②，得 x≤4.
5
所以不等式组的解集是− <x≤4，
中间找
无处找
解不等式组：
8 − 4 < 0, ①
不等式的解法(难)
不等式的解法题型一：求不等式的特殊解1.求不等式3261445432++-≥---x x x 的正整数解。
变式：求适合不等式3（2+x ）> 2x 的最小负整数。
题型二：方程与不等式的综合2。
若关于x 的方程222x m x x -=--的解是非负数，求m 的取值范围。
变式：若关于x 的方程x a a x ++=++)21(321)(2是不等式235+≤-a x 的解，求a 的取值范围，并将其在数轴上表示出来。
题型三：不等式的解求值与范围3.已知关于x 的不等式21432-≤+mx x m 的解是43≥x ，求m 的值。
4.若不等式42<x 的解都能使关于x 的不等式5)1(+<-a x a 成立，则a 的取值范围。
变式：1.若关于x 的不等式（3-2k ）x ≤ 6-4k 的解是x ≤ 2，求自然数k 的值。
2.已知a,b 是实数，若不等式043)2(<-+-b a x b a 的解是94>x ，则不等式032)4(>-+-b a x b a 的解。
3.已知不等式03≥+ax 的正整数解为1,2,3，求a 的取值范围。
题型四：含有绝对值的不等式1.求不等式321≤-x 的解 求不等式332>-x 的解变式：1.1022-≤-x x 2.()x n mx 332<-+ 3.211<+<-x x x题型五：不等式求最值1.在满足0,0,32≥≥≤+y x y x 的条件下，y x +3能达到的最大值。
变式：1。
已知c b a c b a >>=++,0，则a c 的取值范围。
2.若3-=+b a ，且b a 2≥，求ba 的最大值 3.若实数a,b,c 满足9222=++cb a ，那么求()()()222ac c b b a -+-+-的最大值。
九年级数学不等式的解法
九年级数学不等式的解法数学不等式是中学数学的重要内容之一，它在提升学生的逻辑思维和解决问题的能力方面起到了重要作用。
九年级是学生接触到较为复杂的数学不等式的阶段，因此，掌握不等式的解法对九年级学生来说至关重要。
本文将介绍九年级数学不等式的解法，帮助学生更好地理解和掌握相关知识。
一、一元一次不等式的解法一元一次不等式是九年级学生首先接触到的不等式类型。
解决一元一次不等式的步骤主要包括以下几个方面：1. 确定不等式的解集首先，我们需要将不等式中的未知数和常数项分别放到不等式的左右两边，使得不等式变为形如ax+b<0的标准形式。
接下来，我们可以通过分析a的正负情况，以及确定b对不等式解集的影响来确定不等式的解集。
2. 根据不等式的基本性质进行解答在确定了不等式的解集后，我们可以利用不等式的基本性质进行进一步求解。
具体来说，可以使用图像法、试数法、代入法等方法，找出所有满足不等式的解。
二、一元二次不等式的解法一元二次不等式是九年级学生掌握的更为复杂的不等式类型。
解决一元二次不等式的步骤如下：1. 化简不等式首先，我们需要将一元二次不等式化简为标准形式，即将所有项移到不等式的一边，使得不等式化为形如ax^2+bx+c<0的形式。
2. 求解不等式的解集求解一元二次不等式的解集可以借助二次函数的图像进行分析。
一般来说，我们可以先求出二次函数的零点，然后根据二次函数的凹凸性来判断不等式解集的情况。
3. 注意特殊情况在求解一元二次不等式时，需要注意特殊情况的处理。
比如当a=0时，不等式将退化为一元一次不等式；当a>0时，二次函数开口朝上，解集将是两个零点之间的区间；当a<0时，二次函数开口朝下，解集将是两个零点之外的区间。
三、绝对值不等式的解法绝对值不等式是九年级学生需要掌握的重要内容之一。
解决绝对值不等式的步骤如下：1. 确定不等式的类型首先，我们需要判断绝对值不等式的类型，即是形如|ax+b|<c的形式，还是形如|ax+b|>c的形式。
2018中考数学题型专项研究12讲：2018中考数学题型专项研究第3讲：不等式(组)的解法
第3讲不等式（组）的解法1．确定不等式的解集并把它表示在数轴上．2．确定不等式组的解集并把它表示在数轴上．3．确定不等式组的特殊解．1．去分母时，容易出现漏项或者是两边所乘的不是最简公分母．2．去括号时，如果括号前是负因数，容易出现部分变号错误．3．移项时，对“被移动的项”理解错误，导致该变号的不变，不该变号的变了号．4．化系数为1时，两边同时除以未知数的系数，容易把该系数写到分子上．5．在不等式两边同时乘上或除以负数时不等号的方向要改变．6．在数轴上表示解集时，要注意有等号的点用实心点，无等号的点用空心圈．7．确定不等式组的解集时对公共部分的表示不合理，规律：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1、把解集表示在数轴上．近几年直接考查解不等式(组)题目较少，但不等式(组)是解决实际问题的有效工具，所以能够准确解不等式(组)就显得尤为重要．确定不等式组的解集时，先确定每个不等式的解集，再利用数轴寻找它们的公共部分．【典例解析】【例题1】（2017毕节）关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（）A．14 B．7 C．﹣2 D．2【考点】C3：不等式的解集．【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据x≥4，求得m的值．【解答】解：≤﹣2，m﹣2x≤﹣6，﹣2x≤﹣m﹣6，x≥m+3，∵关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，∴m+3=4，解得m=2．故选：D．【例题2】关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是（）A．3 B．2 C．1 D．【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得最小值．【解答】解：，解①得x≤a，解②得x＞﹣a．则不等式组的解集是﹣a＜x≤a．∵不等式至少有5个整数解，则a的范围是a≥2．a的最小值是2．故选B．【例题3】（2017内蒙古赤峰）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．【分析】（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，根据两种树苗购买的棵树一样多列出方程求出其解即可；（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，根据购买两种树苗的总费用不超过6000元建立不等式求出其解即可．【解答】解：（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，依题意得：=，解得x=5．经检验x=5是原方程的解，且符合题意．答：梨树苗的单价是5元；（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，依题意得：（5+2）+5a≤6000，解得a≥850．答：梨树苗至少购买850棵．【例题4】为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元．（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？（2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？【分析】（1）可根据“改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元”，列出方程组求出答案；（2）要根据“国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案．【解答】解：（1）设改扩建一所A类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y万元由题意得，解得，答：改扩建一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为1200万元和1800万元．（2）设今年改扩建A类学校a所，则改扩建B类学校（10﹣a）所，由题意得：，解得，∴3≤a≤5，∵x取整数，∴x=3，4，5．即共有3种方案：方案一：改扩建A类学校3所，B类学校7所；方案二：改扩建A类学校4所，B类学校6所；方案三：改扩建A类学校5所，B类学校5所．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的数量关系．【专项训练】一、选择题：1.（2017湖南株洲）已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（）A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b【考点】C2：不等式的性质．【分析】根据不等式的性质即可得到a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．【解答】解：由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．2.（2017浙江湖州）一元一次不等式组的解是（）A．x＞﹣1 B．x≤2 C．﹣1＜x≤2 D．x＞﹣1或x≤2【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．2-1-c-n-j-y【解答】解：解不等式2x＞x﹣1，得：x＞﹣1，解不等式x≤1，得：x≤2，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，故选：C．3.（2017青海西宁）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式﹣2x+1＜3，得：x＞﹣1，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，故选：B．4.（2017•益阳）如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（）A．错误!未找到引用源。
高中数学二元一次不等式组的特殊求解.doc
高中数学二元一次不等式组的特殊求解一、特殊目标函数的求解：二、例题分析与讲解：例题1、若变量x , y 满足条件则xy 的取值范围是（D ）解析：根据约束条件可以画出可行域如图所示，目标函数Z = xy 表示为反比例函数y = Z/x 的比例系数，根据反比例函数的性质可得，当反比例函数越往上平移，比例系数越大。
故而可得当反比例函数与直线BC 相切时，Z = xy 取最大值，此时联立当y = 0 时，取最小值0。
例题2、已知点P（x , y ) 的坐标满足条件解析：根据约束条件可以画出可行域如图所示，目标函数Z = y/( x + 2 ) 表示为点( x , y ) 和点( -2 , 0 ) 之间的斜率，根据图像可得故而可得a = 1 ；目标函数表示点( x , y ) 和点( 0 , -√3 ) 之间的距离平方，根据图像可得故而最小值为4，即b = 4 ，因此可得a + b = 5。
例题3、过平面区域内一点P 作圆O ：x + y = 1 的两条切线，切点分别为A ，B , 记∠APB = α ，当α 最大时，求点P 的坐标是多少？解析：根据约束条件可以画出可行域如图所示，根据图像可得∠APB = 2∠APO ，故而要使得角α 最大，即满足∠APO 最大即可。
故而可得当OP 取最小值时角α 最大。
此时OP⊥DF ，根据直线的性质可得点P（-1 ，-1 ）。
三、知识拓展与应用：例题4、某工厂有A , B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件，耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件，耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h，若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为__________万元。
解析：由题意假设工厂每天生产甲产品x 件，乙产品y 件，故而可得约束条件目标函数为Z = 3x + 4y ，根据约束条件作出可行域如图所示，故而可得在点B( 4 , 2 ) 处取最大值20. 。
不等式组的解法与绝对值与根号不等式
不等式组的解法与绝对值与根号不等式不等式的解法是初中数学重要内容之一，因为在实际工作和生活中常常需要解决各种不等式关系。
在这篇文章中，我们将介绍不等式组的解法，同时关注绝对值与根号不等式的特殊情况和解法。
一、不等式组的解法不等式组是多个不等式的组合，如下例子：x < 52x > 83x < 15要求我们解出 x 的取值范围。
这时，我们可以通过逐步缩小 x 的取值范围来解出不等式组的解。
通过根据不等式分别得到x 的取值范围，再找到它们的交集即可。
例如，对于上面的不等式组，我们可以分别解出：① x < 5② x > 4③ x < 5它们的交集是 4 < x < 5，即不等式组的解为 4 < x < 5。
二、绝对值不等式的解法绝对值不等式的一般形式为：|ax + b| < c其中 a、b、c 都是已知实数，且a ≠ 0。
对于求解绝对值不等式，我们可以按照以下步骤进行：①分类讨论，即将绝对值内部的式子分类，使其不再涉及绝对值。
②构造新的不等式，根据分类讨论的结果构造新的不等式来代替原绝对值不等式。
③求解新的不等式，根据不等式的性质，我们可以解出构造的新不等式的解集，并将其与分类讨论的结果相结合，最终得出原绝对值不等式的解集。
三、根号不等式的解法对于形如 x² < a 或 x² > a 的根号不等式，我们可以按照以下步骤进行求解：①当 a > 0 时，根号不等式有两个解，即x > √a 或 x < -√a。
②当 a = 0 时，根号不等式仅有一个解，即 x = 0。
③当 a < 0 时，根号不等式无解，因为不能存在负数的平方等于一个负数。
对于形如 a < x² < b 的根号不等式，我们可以将其转化为 a + x² < b，即|x| < √(b-a)。
中考数学专题复习四--分式方程和不等式
中考数学专题复习四--分式方程和不等式(组)(总6页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除中考数学专题复习（四）分式方程和不等式（组）【知识梳理】1．分式方程:分母中含有的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列；（2）检验所求的解是否 . 5．易错知识辨析：（1）去分母时，不要漏乘没有分母的项.（2）解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.（3）如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.6．不等式的有关概念：用连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的的值叫做不等式的解；一个含有的不等式的解的叫做不等式的解集.求一个不等式的的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.7．不等式的基本性质：（1）若a ＜b ，则a +c c b +； （2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或ca cb ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a cb ）. 8．一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 且系数 的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为 或ax b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为1.9．一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集.10．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <）x a x b <⎧⎨<⎩的解集是x a <，即“小小取小”； x a x b >⎧⎨>⎩的解集是x b >，即“大大取大”；x a x b >⎧⎨<⎩的解集是a x b <<，即“大小小大中间找”； x a x b <⎧⎨>⎩的解集是空集，即“大大小小取不了”.11．易错知识辨析：（1）不等式的解集用数轴来表示时，注意“空心圆圈”和“实心点”的不同含义.（2）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.如不等式ax b >（或ax b <）（0a ≠）的形式的解集： 当0a >时，b x a >（或b x a <）； 当0a <时，b x a <（或b x a>）； 当0a <时，b x a <（或b x a>）. 12．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案.13．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ）；③找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥验：检验所求解是否符合题意；⑦答：写出答案（包括单位）.14．易错知识辨析：判断不等式是否成立，关键是分析不等号的变化，其根据是不等式的性质.【真题回顾】一、选择题1．(2010年山东菏泽全真模拟1)下列运算中，错误．．的是（ ） A.(0)a ac c b bc =≠ B.1a b a b--=-+2(4)4-= D.x y y x x y y x --=++ 2．(2010年江西省统一考试样卷)若分式21x x +有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞1B ．x ＞－1C ．x ≠0D ．x ≠－13.（2009年孝感）关于x 的方程211x a x +=- 的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1 B ．a ＞－1且a≠0 C ．a ＜－1 D ．a ＜－1且a≠－24.（2011.鸡西）分式方程)2)(1(11+-=--x x m x x 产生增根，则m 的值是（ ） A. 0和3 B. 1 C. 1和-2 D. 35.（2009年安徽）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）A ．8 B.7 C ．6 D ．5二、填空题1.（2010年西湖区月考）若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 2.(2010年江苏省泰州市中考模拟题)使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是 . 3．（2009年滨州）解方程2223321x x x x --=-时，若设21x y x =-，则方程可化为 ． 4．（2011襄阳）已知关于x 的分式方程1131=-+-xx m 的解是正数，则m 的取值范围为 5．（2010新疆乌鲁木齐）在数轴上，点A 、B 对应的数分别为2 ，15+-x x ，且A 、B 两点关于原点对称，则x 的值为 。
求不等式(组)的特殊解
求不等式（组）的特殊解的常见题型一、求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案.二、经典题型训练1. 已知方程kx +1=2x -1的根是正数，则k 的取值范围是 ．2.已知关于x 的方程4（x -3）=3t +9的解为正数，则t 的取值范围为 ．3. 若三角形的三边长分别为2，a -1，4，则a 的取值范围为 ．4. 一根12cm 长得铁丝围成一个等腰三角形，如果腰长为x ，则x 的取值范围为 .5. 关于x ，y 的方程组的解满足x ＞y ，求m 的最小整数值．6. 关于x 、y 的方程组的解满足x 、y 均小于2，求m 的取值范围．7. 若关于x 的方程 的解为正数，则实数a 的取值范围是 .8. 在平面直角坐标系中，已知点P （4m -6，m -3）在第四象限，则m 的取值范围是 ．9. 在平面直角坐标系内，点P （x -2，2x -1）在第二象限，则x 的取值范围是10. 如图，直线y =ax +b 经过点（-4，0），则不等式ax +b ≥0的解集为 ．11. 如图，直线y =kx -1经过点（2，1），则不等式0≤x ＜2kx +2的解集为 ．12. 解不等式215312+--x x ≤1，并把它的解集在数轴上表示出来．13. 试确定实数a 的取值范围，使不等式组)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++a x ＞a x ＞x x 1343450312恰有两个整数解。
⎩⎨⎧-=-+=+131m y x m y x ⎩⎨⎧=++=+m y x m y x 212122-=++x ax。
解不等式的方法与技巧
解不等式的方法与技巧在数学中，不等式是比较两个数或两个式子大小关系的一种数学表达式。
解不等式的过程就是寻找满足不等式条件的变量取值范围。
本文将介绍解一元不等式的常用方法与技巧。
一、一元一次不等式的解法一元一次不等式通常具有形如 ax + b > 0 或 ax + b < 0 的形式，其中a 和b 是实数，x 是变量。
解这类不等式的方法如下：1. 求解步骤：a. 将不等式转化为等价的形式：ax + b = 0，即找到临界点。
b. 根据临界点将数轴分为几个区间。
c. 分别选取每个区间内的一个点代入不等式，判断是否满足不等式，得出最终解的范围。
2. 解题要点：a. 当 a > 0 时，解集为临界点右侧的一段区间。
b. 当 a < 0 时，解集为临界点左侧的一段区间。
c. 当 a = 0 时，解集为b ≠ 0 时的全部实数。
二、一元二次不等式的解法一元二次不等式通常具有形如 ax² + bx + c > 0 或 ax² + bx + c < 0 的形式，其中 a、b 和 c 是实数，x 是变量。
解这类不等式的方法如下：1. 求解步骤：a. 将不等式转化为等价的形式：ax² + bx + c = 0，即找到临界点。
b. 根据临界点将数轴分为几个区间。
c. 分别选取每个区间内的一个点代入不等式，判断是否满足不等式，得出最终解的范围。
2. 解题要点：a. 当 a > 0 时，解集为临界点两侧的区间的并集。
b. 当 a < 0 时，解集为临界点两侧的区间的交集。
三、常见不等式的特殊解法除了一元一次和一元二次不等式外，还存在一些特殊形式的不等式，可以通过特殊的方法来解决，如以下几种情况：1. 绝对值不等式：a. |f(x)| < c：解集为 -c < f(x) < c。
b. |f(x)| > c：解集为 f(x) < -c 或 f(x) > c。
2022年初中数学《一元一次不等式组的解法2》教案(推荐)
9．3 一元一次不等式组第1课时 一元一次不等式组的解法1．理解一元一次不等式组及其解集的概念； 2．掌握一元一次不等式组的解法；(重点)3．会利用数轴表示一元一次不等式组的解集．(难点)一、情境导入你能列出上面的不等式并将其解集在数轴上表示出来吗？ 二、合作探究探究点一：在数轴上表示不等式组的解集不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＜3，x ≥1的解集在数轴上表示为( )解析：把不等式组中每个不等式的解集在数轴上表示出来，它们的公共局部是1≤x C. 方法总结：利用数轴确定不等式组的解集，如果不等式组由两个不等式组成，其公共局部在数轴上方应当是有两根横线穿过．探究点二：解一元一次不等式组解以下不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥1，x ＋2＜2x ； (2)⎩⎪⎨⎪⎧3〔x ＋2〕＞x ＋8，x 4≥x －13.解析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求它们的公共局部．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥1，①x ＋2＜2x .②解不等式①，得x ≥2，解不等式②，得x ＞2.所以这个不等式组的解集为x ＞2.将不等式组的解集在数轴上表示如下：(2)⎩⎪⎨⎪⎧3〔x ＋2〕＞x ＋8，①x 4≥x －13.②解不等式①，得x ＞1，解不等式②，得x ≤4. 所以这个不等式组的解集是1＜x ≤4. 将不等式组的解集在数轴上表示如下：方法总结：解一元一次不等式组的一般步骤：先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来，然后利用数轴确定这几个不等式解集的公共局部．也可利用口诀确定不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找．探究点三：求不等式组的特殊解求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，x －12－2x －13＜13的整数解．解析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x 的整数值即可．解：⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，①x －12－2x －13＜13.②解不等式①，得x ≤2，解不等式②，得x ＞－3.故此不等式组的解集为－3＜x ≤2，x 的整数解为－2，－1，0，1，2.方法总结：求不等式组的特殊解时，先解每一个不等式，求出不等式组的解集，然后根据题目要求确定特殊解．确定特殊解时也可以借助数轴．探究点四：根据不等式组的解集求字母的取值范围假设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ≥0，1－2x ＞x －2无解，那么实数a 的取值范围是( )A ．a ≥－1B ．a ＜－1C ．a ≤1D ．a ≤－1解析：解第一个不等式得x ≥－a ，解第二个不等式得x ，所以－a ≥1，解得a ≤D. 方法总结：根据不等式组的解集求字母的取值范围，可按以下步骤进行：①解每一个不等式，把解集用数字或字母表示；②根据条件即不等式组的解集情况，列出新的不等式．这时一定要注意是否包括边界点，可以进行检验，看有无边界点是否满足题意；③解这个不等式，求出字母的取值范围．三、板书设计一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧概念解法不等式组的解集⎩⎪⎨⎪⎧利用数轴确定解集利用口诀确定解集解一元一次不等式组是建立在解一元一次不等式的根底之上，解不等式组时，先解每一个不等式，再确定各个不等式的解集的公共局部．教学中可以把利用数轴与利用口诀确定不等式组的解集结合起来，互相验证第2课时 余弦和正切【知识与技能】1.理解余弦、正切的概念，了解锐角三角函数的定义；2.能运用余弦、正切的定义解决问题. 【过程与方法】逐步培养学生观察、分析、类比、概括的思维能力. 【情感态度】在探索结论的过程中，体验探索的乐趣，增强数学学习的信心，感受成功的快乐.【教学重点】掌握余弦、正切的概念，并能运用它们解决具体问题.【教学难点】灵活运用三角函数的有关定义进行计算.一、情境导入，初步认识问题我们知道，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.试问：∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比是否分别也是一个固定值呢？为什么？【教学说明】这种设置问题的方式既是对上节课重要知识的回忆，又为引入本节知识做好铺垫，同时也暗示着解决问题的方法与上节课利用相似获得结论的方法完全类似，让学生有法可依.学生可相互交流，教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论，帮助学生获取正确认知.二、思考探究，获取新知问题如图，在Rt △ABC和Rt △A B C''',中，∠C=∠C'=90°∠A =∠A'.求证：〔1〕ACAB=A CA B''''；〔2〕BCAC=B CA C''''【教学说明】这个问题可由学生自主探究，得出结论.教师在学生探讨过程中，提出问题∠A确定后，∠A的邻边与斜边的比也确定吗？它的对边与邻边的比呢？在学生得出结论后，应与学生一道进行总结归纳.余弦：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA ，即cosA =A bc ∠的对边＝斜边正切：在RtAABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，tanA =A aA b∠的对边＝∠的邻边.锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数.三、典例精析，掌握新知例1 在Rt△ABC中，∠C = 900，BC= 6，sinA = 35，求 cosA，tanB的值.分析与解由正弦函数定义及sinA = 35知，sinA =BCAB=35，又BC = 6，故AB = 10，所以AC = 22AB BC- = 8，从而 cosA = ACAB=810=4 5，tanB =8463ACBC＝＝.【教学说明】此题可先让学生独立完成，教师巡视指导，时时关注学生解题时是否能紧扣定义，即sinA = BCAB，cosA =ACAB，tanB= ACBC的运用是否得当，有没有出现混淆情形.例2在△ABC中，AB = AC = 20，BC = 30，试求 tanB，sinC 的值.【分析】由于∠B和∠C都不是直角三角形中的锐角，而题意却要求出tanB，sinC的值，这样迫使我们要将∠B，∠C放到直角三角形中去，这时，过A作AD丄BC于D可到达这一目的，问题可逐步解决.解过A作AD丄BC于D. AB = AC，∴BD = CD = 12BC=12⨯30 = 15.又 AB = AC = 20，∴AD = 57，因此tanB = BCAC= 577153＝，sinC =AD577AC204＝＝.四、运用新知，深化理解1.分别求出以下直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，tanA=，求cosB,sinA,tanB的值.△ABC中，∠C=90°，cosB=〔1〕求cosA和tanA的值;〔2〕假设AB=5，求BC和AC的长.△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a,AB=c.〔1〕sinA与cosB的关系如何？为什么？〔2〕sin2A与cos2A的关系如何？说说你的理由〔sin2A=(sinA)2).〔3〕找出tanA与tanB的关系；〔4〕由〔1〕，〔2〕，〔3〕，你能发现什么有趣的结论？【教学说明】让学生通过对上述问题的思考，稳固所学知识，增强运用解决问题的能力.其中第2题在学生探究交流后，教师应予以评讲，让学生的分析能力和解决问题能力得到进一步开展.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学〞局部.【答案】 1.〔1〕sinA =513，sinB =1213,cosA =1213,cosB =513,tanA=5 12tanB = 125.31313＝21313＝21313＝, cosB =313 13＝,tanA = 32,tanB = 23.2.解：tanA =BCAC = 34，AC = 8. ∴BC = 6，在△ABC 中，AB = 22AC BC += 10. ∴ cosB =63105＝，tanB = 8463＝. 3.解：〔1〕由于cosB = BC 1AB 3＝，设BC = x,那么AB = 3x.∴AC =22AB BC - = 22(3x)2x x -＝2.∴cosA = AC AB= 223,tanA =BC AC= 24.(2) 假设AB = 5，即3x = 5, ∴x = 53,∴BC = 53,AC = 1023.4.解：〔1〕sinA = cosB (2)sin 2A + cos 2A = 1 (3)tanA ·tanB = 1 (4)略五、师生互动，课堂小结通过本节课的学习你有哪些收获？你还有哪些疑虑，请与同伴交流. 【教学说明】 教师应与学生一起进行交流，共同回忆本节知识，理清例题思路方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.1.布置作业：从教材P 68～70习题28.1中选取.“课时作业〞局部.本节课的引入可采用探究的形式.首先引导学生认知特殊角直角三角形的余弦、正切，进而引出锐角三角函数的定义.其次利用一个联系生活实际的问题，让学生对三角函数有关定义能够灵活运用.最后，应注重让学生用自己的语言归纳和表达经由探索得出的结论，引导学生对知识与方法进行回忆总结，形成良好的反思习惯，掌握高效的学习方法.。
9.3.1一元一次不等式
(2)求不等式组
2 x 1 5 1 2 ( x 2) 3
的整数解.
(2)求不等式组
2 x 1 5 1 2 ( x 2) 3
的整数解.
解: 由不等式①得: x＞2
由不等式②得: x≤4
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
议一议：
比一比,看谁 又快又好
解: 解不等式①,得， x 8
2 x 3 x 11 2x 5 3 1 2 x
① ②
解不等式②,得， x
把不等式①和 ②的解集在数 轴上表示出来:
4 5
0
4 5
8
这两个不等式的解集没有公共 部分，所以不等式组无解。
例2：求不等式组的特殊解：
1
三角形的两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边.
x>10-3
2
类似于方程组的概念，你能说出 一元一次不等式组的概念吗？
把两个或两个以上的含有同一个未知数 的一元一次不等式合起来，就组成一个一 元一次不等式组。
注意：
(1)每个不等式必须为一元一次不等式； (2)不等式必须是只含有同一个未知数； (3)不等式的数量至少是两个或者多个。
学习目标
1、理解有关不等式组的概念。
2、会解由两个一元一次不等式组成的不等 式组的解集以及求不等式组的特殊解。
问题：
能用你学过的知识分析一下吗？
现有两根木条a和b，a长10 cm，b 长3 cm.如果再找一根木条c，用这三 根木条钉成一个三角形木框，那么对 木条c的长度有什么要求？
解：设这根木条c的长度为Xcm．
小专题(五) 一元一次不等式的特殊解法
小专题(五) 一元一次不等式的特殊解法一元一次不等式的常规解法是按去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1等步骤进行,但对于一些特殊一元一次不等式,可以不按常规套路进行,可以用特殊的方法来解,比常规解法要简单得多.类型1 小数化整数法1.解不等式0.5x+3>0.25x-1.解:不等式两边同时乘以4,得 2x+12>x-4 ,移项、合并,得x> -16 .2.解不等式2x -0.50.5−2x -1.40.2>0.5-x 0.25. 解:利用分数基本性质化小数分母为整数,得2(2x -0.5)2×0.5−5(2x -1.4)5×0.2>4(0.5-x )4×0.25, 去括号,得4x-1-10x+7>2-4x ,移项、合并同类项,得-2x>-4,系数化为1,得x<2.类型2 直接对消法3.解不等式x+22-x ≥2x+44+3. 解:原不等式可化简为x+22-x ≥ x+22 +3,即-x ≥3, 系数化为1,得x ≤ -3 .4.解不等式2x-x -32>6-2x 4+4. 解:原不等式可化为2x+3-x 2>3-x 2+4,即2x>4,系数化为1,得x>2.类型3 分数直接加减法5.解不等式2x3−37>47−x3.解:原不等式可化为2x3+x3>47+37,合并,>即x>1.6.解不等式2x+35−13<53−3x+25.解:原不等式可化为2x+35+3x+25<53+13,合并,得2x+3+(3x+2)5<5+13,即x+1<2,移项,得x<1.类型4拆项法7.解不等式x+42−6+x3>0.解:原不等式化为(x2−x3)>0,即x2−x3>0,去分母,得3x-2x>0, 合并,得x>0.8.解不等式x+24+3-4x6>1.解:原不等式化为(x4+24)+(36-4x6)>1,即x4−2x3>0,解得x<0.类型5倒去括号法9.解不等式23[32(x-3)-6]≤2.解:先去中括号,得(x-3)-4≤2,再去小括号,得x-3-4≤2,移项并合并,得x≤9.10.解不等式35[53(x+1)-5(2-x)]>x+1.解:先去中括号,得(x+1)-3(2-x)>x+1,再去小括号,得x+1-6+3x>x+1,移项、合并,得3x>6,系数化为1,得x>2.。
最新人教版七年级下册数学整合提升密码 (2)
专训1巧用一元一次不等式(组)进行方案设计名师点金：利用一元一次不等式(组)来设计方案问题应用广泛，解答这类问题的关键是先根据题意列出不等式(组)，再根据问题的实际意义得出不等式(组)的特殊解来确定方案．其主要类型有：通信计费方案、商品购买方案、车辆调配方案等．通信计费方案1．某人的移动电话(手机)可选择两种收费办法中的一种，甲种收费办法是先交月租费20元，每通一分钟电话再收费0.1元；乙种收费办法是不交月租费，每通一分钟电话收费0.2元．问每月通话时间在什么范围内选择甲种收费办法合适？在什么范围内选择乙种收费办法合适？商品购买方案2．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案．在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．设小红在同一商场累计购物x元，其中x＞100.(1)根据题意，填写下表：(单位：元)累计购物额130290 (x)在甲商场实际花费127…在乙商场实际花费126…(2)当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？(3)当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？车辆调配方案3．某镇组织20辆汽车装运A，B，C三种脐橙共100 t到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题．脐橙品种 A B C每辆汽车运载量/t 6 5 4(1)设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的关系式；(2)如果装运每种脐橙的车辆都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？写出所有的安排方案．4．某市果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．(1)王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？(2)若甲种货车每辆要付运费300元，乙种货车每辆要付运费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运费最少？最少运费是多少？【导学号：86962092】专训2全章热门考点整合应用名师点金：本章中的一元一次不等式(组)的解法及应用是中考的必考内容，从近几年的中考试题来看，重点考查不等式的基本性质，求一元一次不等式(组)的解集，主要以选择题、填空题的形式出现，难度较小．有关列不等式(组)解应用题的试题不断渗透新的理念、新的情境，题型涉及选择题、填空题和解答题．全章主要热门考点脉络：四个概念―→一个性质―→四个解法―→两个应用．四个概念概念1：不等式1．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． (1)x ＋y ；(2)3x ＞7；(3)5＝2x ＋3；(4)x 2＞0；(5)2x －3y ＝1；(6)52；(7)2＞3.概念2：一元一次不等式2．下列式子是一元一次不等式的是( ) A ．2x 2＋1＞3 B .1x －4＜5 C ．3(x －1)＜32(2x ＋1) D ．2y ＞0 概念3：一元一次不等式组3．下列式子中，一元一次不等式组的有( ) ①⎩⎨⎧x ＞0，2x ＋5＜－1；②⎩⎨⎧x ＋π＞－2，3－x ＜0；③⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2＜3，x －5＞4； ④⎩⎨⎧ab ＜－5，a ＋b ＞0；⑤⎩⎨⎧m ＋2n ＋2≥0，m －2n －2≤0.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 概念4：不等式组的解或解集 4．下列说法中，正确的有( )①x ＝7是不等式x ＞1的解；②不等式2x ＞4的解是x ＞2；③不等式组⎩⎨⎧x ＞3，x ≥－2的解集是－2≤x ＜3；④不等式组⎩⎨⎧x ≥6，x ≤6的解集是x ＝6；⑤不等式组⎩⎨⎧x ＞4，x ＜2无解．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个一个性质5．下列不等式变形中，一定正确的是( ) A ．若ac ＞bc ，则a ＞b B ．若a ＞b ，则am 2＞bm 2 C ．若ac 2＞bc 2，则a ＞bD ．若a ＞0，b ＞0，且1a ＞1b ，则a ＞b四个解法类型1：一元一次不等式的解法 6．(2015·安徽)解不等式：x3＞1－x －36.7．解不等式12x －1≤23x －12，并把它的解集在数轴上表示出来．类型2：一元一次不等式组的解法8．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． (1)(2015·遂宁)⎩⎨⎧－2x ＜6 ①，3（x ＋1）≤2x ＋5 ②；(2)(2015·扬州)⎩⎪⎨⎪⎧3x ≥4x －1 ①，5x －12＞x －2 ②.类型3：求一元一次不等式(组)的整数解 9．使x －5＞4x －3成立的最大整数是什么？10.解不等式组5134,12,2x x x --⎧⎪⎨-≤-⎪⎩＞①②并求它的正整数解．类型4：含字母系数的一元一次不等式组的解法 11．已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧3x ＋y ＝k ＋1，x ＋3y ＝3的解满足－1＜x ＋y ＜1，求k 的取值范围．【导学号：86962093】两个应用应用1：一元一次不等式的应用12．(中考·长沙)为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．(1)若购买两种树苗的总金额为90 000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？ (2)若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，则至少应购买甲种树苗多少棵？应用2：一元一次不等式组的应用13．(2015·凉山州)2015年5月6日，凉山州政府在邛海“空列”项目考察座谈会上与多方达成初步合作意向，决定共同出资60.8亿元，建设40千米的环邛海空中列车，这将是国内第一条空中列车．据测算，将有24千米的“空列”轨道架设在水上，其余架设在陆地上，并且每千米水上建设费用比陆地建设费用多0.2亿元．(1)每千米“空列”轨道的水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元？(2)预计在某段“空列”轨道的建设中，每天至少需要运送沙石1 600 m3，施工方准备租用大、小两种运输车共10辆，已知每辆大车每天运送沙石200 m3，每辆小车每天运送沙石120 m3，大、小车每天每辆租车费用分别为1 000元、700元，且要求每天租车的总费用不超过9 300元，问施工方有几种租车方案？哪种租车方案费用最低，最低费用是多少？【导学号：86962094】答案专训11．解：设通话x分钟，则若20＋0.1x<0.2x，解得x>200，若20＋0.1x>0.2x，解得x<200，所以当每月通话时间多于200分钟时，选择甲种收费办法合适，当每月通话时间少于200分钟时，选择乙种收费办法合适．2．解：(1)271；0.9x ＋10；278；0.95x ＋2.5 (2)根据题意，得0.9x ＋10＝0.95x ＋2.5， 解得x ＝150.所以当x ＝150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同． (3)令0.9x ＋10＜0.95x ＋2.5，解得x ＞150； 令0.9x ＋10＞0.95x ＋2.5，解得x ＜150.所以当小红累计购物超过150元时，在甲商场的实际花费少；当小红累计购物超过100元但不足150元时，在乙商场的实际花费少．点拨：此题主要考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，此类问题出现的较多且不简单，有一定难度，涉及方案选择时应与方程或不等式联系起来．3．解：(1)根据题意，装运A 种脐橙的车辆数为x ，装运B 种脐橙的车辆数为y ，那么装运C 种脐橙的车辆数为(20－x －y)，则有6x ＋5y ＋4(20－x －y)＝100.整理，得y ＝－2x ＋20.(2)由(1)知装运A ，B ，C 三种脐橙的车辆数分别为x ，－2x ＋20，x. 由题意，得－2x ＋20≥4，解得x ≤8.又因为x ≥4，且x 取正整数，所以x 的值为4，5，6，7，8，所以安排方案共有5种．方案一：装运A 种脐橙的汽车4辆，B 种脐橙的汽车12辆，C 种脐橙的汽车4辆； 方案二：装运A 种脐橙的汽车5辆，B 种脐橙的汽车10辆，C 种脐橙的汽车5辆； 方案三：装运A 种脐橙的汽车6辆，B 种脐橙的汽车8辆，C 种脐橙的汽车6辆； 方案四：装运A 种脐橙的汽车7辆，B 种脐橙的汽车6辆，C 种脐橙的汽车7辆； 方案五：装运A 种脐橙的汽车8辆，B 种脐橙的汽车4辆，C 种脐橙的汽车8辆． 4．解：(1)设安排甲种货车x 辆，则安排乙种货车(8－x)辆，由题意得 ⎩⎨⎧4x ＋2（8－x ）≥20，x ＋2（8－x ）≥12，解得2≤x ≤4. ∵x 是整数，∴x 可取2，3，4. ∴安排甲、乙两种货车有三种方案：甲种货车 乙种货车 方案一 2辆 6辆 方案二 3辆 5辆 方案三4辆4辆(2)方案一所需运费为300×2＋240×6＝2 040(元)； 方案二所需运费为300×3＋240×5＝2 100(元)； 方案三所需运费为300×4＋240×4＝2 160(元)．∵2 040<2 100<2 160，∴果农王灿应选择方案一，使运费最少，最少运费是2 040元．专训21．解：等式有(3)(5)，不等式有(2)(4)(7)，既不是等式也不是不等式的有(1)(6)． 点拨：根据等式和不等式的概念可知，用“＝”连接的式子一般是等式，用“＞”“＜”“≥”“≤”或“≠”连接的式子一般是不等式，没有等号和不等号的式子一般既不是等式，也不是不等式．2．D3．B 点拨：③中1x 不是整式，④⑤中均含有2个未知数，所以③④⑤均不是一元一次不等式组．只有①②是一元一次不等式组．故选B .4．C 点拨：当x ＝7时，x ＞1成立，所以x ＝7是不等式x ＞1的解，故①正确；不等式2x ＞4的解集是x ＞2，故②错误；不等式组⎩⎨⎧x ＞3，x ≥－2的解集是x ＞3，故③错误；不等式组⎩⎨⎧x ≥6，x ≤6的解集是x ＝6，故④正确；不等式组⎩⎨⎧x ＞4，x ＜2无解，故⑤正确．故正确的有①④⑤，共3个，故选C .5．C 点拨：A 中，若c ＜0，则两边同时除以c ，得a ＜b ；B 中，若m ＝0，则两边同时乘m 2，得am 2＝bm 2＝0；C 中，由ac 2＞bc 2可知c ≠0，两边同时除以c 2(c 2＞0)，有a ＞b ；D 可用特殊值法，设a ＝1，b ＝2，代入检验即可．要注意不等式中的隐含条件，如ac 2＞bc 2中，隐含着“c ≠0”这一条件．6．解：去分母，得2x ＞6－x ＋3，移项，合并同类项，得3x ＞9，化系数为1得x ＞3，∴原不等式的解集为x ＞3.7．解：去分母，得3x －6≤4x －3，移项，得4x －3x ≥3－6，合并同类项，得x ≥－3，在数轴上表示如图：(第7题)8．解：(1)由①得x ＞－3，由②得x ≤2，故此不等式组的解集为－3＜x ≤2.在数轴上表示如图：[第8(1)题](2)由①得x ≤1；由②得x ＞－1，故此不等式组的解集为－1＜x ≤1.在数轴上表示如图：[第8(2)题]9．解：将原不等式移项、合并同类项，得－3x ＞2. 系数化为1，得x ＜－23.将不等式的解集在数轴上表示出来，如图(第9题)因为在这个解集范围内的最大整数为－1，所以使x －5＞4x －3成立的最大整数是－1.点拨：利用数轴求不等式(组)的整数解更简捷一些．10．解：解不等式①，得x ＞－32.解不等式②，得x ≤4.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图．(第10题)从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为－32＜x ≤4.所以这个不等式组的正整数解为1，2，3，4.方法总结：求不等式组的特殊解的方法：先求出这个不等式组的解集，然后在不等式组的解集里面找出需要的特殊解．找特殊解时，借助数轴会更直观一些．11．解：(方法1)解方程组⎩⎨⎧3x ＋y ＝k ＋1，x ＋3y ＝3.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝38k ，y ＝8－k 8.∵－1＜x ＋y ＜1，∴－1＜38k ＋8－k8＜1.解得－8＜k ＜0.(方法2)将方程组中的两式左右两边分别相加，得4x ＋4y ＝k ＋4，即x ＋y ＝k4＋1.又∵－1＜x ＋y ＜1，∴－1＜k4＋1＜1.解得－8＜k ＜0.12．解：(1)设购买甲种树苗x 棵，则购买乙种树苗(400－x)棵． 根据题意，得200x ＋300(400－x)＝90 000，解得x ＝300， 400－300＝100(棵)．∴购买甲种树苗300棵，购买乙种树苗100棵． (2)设应购买甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗(400－a)棵． 由题意，得200a ≥300(400－a)，解得a ≥240， ∴至少应购买甲种树苗240棵．13．解：(1)设每千米“空列”轨道的水上建设费用需x 亿元，每千米陆地建设费用需y 亿元，则⎩⎨⎧24x ＋（40－24）y ＝60.8，x －y ＝0.2，解得⎩⎨⎧x ＝1.6，y ＝1.4.答：每千米“空列”轨道的水上建设费用需1.6亿元，每千米陆地建设费用需1.4亿元；(2)设每天租m辆大车，则需要租(10－m)辆小车，则⎩⎨⎧200m ＋120（10－m ）≥1 600，1 000m ＋700（10－m ）≤9 300，∴5≤m ≤233.∵m 是整数，∴m ＝5，6，7，∴施工方有3种租车方案：①租5辆大车和5辆小车 ；②租6辆大车和4辆小车；③租7辆大车和3辆小车．①租5辆大车和5辆小车时，租车费用为1 000×5＋700×5＝5 000＋3 500＝8 500(元)；②租6辆大车和4辆小车时，租车费用为1 000×6＋700×4＝6 000＋2 800＝8 800(元)；③租7辆大车和3辆小车时，租车费用为1 000×7＋700×3＝7 000＋2 100＝9 100(元)．∵8 500＜8 800＜9 100，∴租5辆大车和5辆小车时，租车费用最低，最低费用是8 500元．。
完整版一元一次不等式常见题型
常见题型题型一：求不等式的特殊解【例】(1)求X+3V 6的所有正整数解(2)求10-4 (X-3 )> 2 ( X-1 )的非负整数解，并在数轴上表示出来。
【变式训练】(1 )求不等式竽1 0的非负整数解。
(2)设不等式2x-a<0只有3个正整数解，求正整数题型二：不等式与方程的综和题【例】关于X的不等式2x—aw 1的解集如图，求a的取值。
-2f x 9 5x 1【变式训练】不等式组 [x m 1 的解集是X >2,则m 的取值范围是?r 5x 3y 31【例】若关于X 、y 的二元一次方程组 l x y P 0的解是正整数，求整数P 的值。
x a b a 2x a 2b 1的解集为3<XV 5，求吊的值。
题型三：确定方程或不等式中的字母取值范围【例】k 为何值时方程5X —6=3 (x+k )的值是非正数。
【变式训练】已知关于 X 的方程3k — 5x =- 9的解是非负数，求 k 的取值范围【例】已知在不等式 3x — aw 0的正整数解是1、2、3,求a 的取值范围。
9x a 0【变式训练】如果｛ 8x b 0的整数解为1、2、3,求整数【变式训练】已知关于X 的不等式组 a 、b 的值。
题型四：求最小值问题5x 4 7 1 x【例】x取什么值时，代数式—厂的值不小于"8 "V 的值，并求出x的最小值。
【变式训练】已知代数式5a+8b—a(a2—b)—9的值不小于2a—a3+b(a+8) —6的值，求a的最小值。
题型五：不等式解法的变式应用【例】根据下列数量关系，列不等式并求解(1) X的1与x的2倍的和是非负数。
C与4的和的30 %不大于-2 O(3) X除以2的商加上2,至多为5o1与b两数和的平方不可能大于3o题型六：解不定方程【例】求方程4x+y —20=0的正整数解。
人教版数学七年级下册辅导资料10
16．若不等式组的解集为x>3，则m的取值范围是________．
三、解答题(共52分)
17．解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．（15分）
①②③
4、学校要到体育用品商场购买篮球和排球共１００只．已知篮球、排球的单价分别为130元、100元。购买100只球所花费用多于11800元，但不超过11900元。你认为有哪些购买方案？
练习:
1.根据下图所示，对a、b、c三种物体的重量判断正确的是( )
A. a<cB. a<bC. a>cD. b<c
2.点A（ ， ）在第三象限，则m的取值范围是（）
不等式单元总复习
•一、重要性质:
•1)不等式两边都加上(或减去)同一个数
或同一个整式,不等号的方向____.
•2)不等式两边都乘以(或除以)同一个
正数,不等号的方向____.
•3)不等式两边都乘以(或除以)同一个
负数,不等号的方向____.
另外:不等式还具有______性.如:当a>b, b>c时,则a>c
1．不等式组的解集是()
A．x＜2B．x≥－1C．－1≤x＜2D．无解
2．不等式组的解集是()
A．－<x≤2B．－3<x≤2C．x≥2D．x<－3
3．不等式组的解集是()
A．－1<x≤2B．－2≤x<1C．x<－1或x≥2D．2≤x<－1
4．不等式组的最小整数解为()
A．－1B．0C．1D．4
5．如图所示，在数轴上表示不等式组的解集为()
A. B. C. D.
3．关于x的不等式 的解集如图所示,则a的取值是( )
中考中的不等式组分类例说
的有数 所 整
的方 程 ２ 一 ＝ ｘ 根 ， ａ 值 ． ｘ ４ ａ的 求 的
解 析 ： 不 等 式 组 得 一 ＜ ， 其 整 数 解 为 一 ， 因 为 一 解 ３ 一１ 故 ２又 ２ 是关 于 的方 程 ２ 一 ＝ ｘ 根 ， 以有 ２ （ ２） ４ 一 ａ， 得 ｘ ４ ａ的 所 ｘ一 ＿＝ ２ 解
大 小 小 解 没 了 ” ．
五 、 不 等 式 组解 决方 程 问题 用
三、 求不 等 式 组 的 特 殊 解
ｆ ＋＜ ， ２ ３１ ｘ 例６ （ 山市 ） 乐 若不等 式组 ｛＞１Ｌｘ － ． 的整数 解是关 于 Ｉ ５
— —
【
２
例 青 省求 等 组 ３（海 ）不 式 ｛
—
例 临 市若 等 组 ： — 解 为＜则的 ４（沂 ） 式 ｛ １ 集 ， 不 的 ０
取 值 范 围为 （
Ａ． ＞０ ａ
） ．
Ｂ． ＝０ ａ Ｃ． ＞４ ａ Ｄ． ＝４ ａ
＝
＇
－
＇
－
亍
－
—
—
卜 ＝
３
３
２ １ ０
１ ２
解 析 ： 不等 式 ３ ｏ ０ ＜ ； 不 等式 ２ ＋ ＞ 解 卅 ＜ 得 一 解 ７ 乱一１ ４ 得 ＜．
等 式 的 一般 步骤 ， 能 准确 求 出不 等 式 的 解 集． 并
二、 由解 集确 定 不 等 式 组 例 ２ （ 北 省 ） 某 不 等 式 组 中 两 个 不 等 式 的解 集 表 示 在 河 把
数 轴 上 ， 图 ２ 示 ， 这 个 不 等 如 所 则 式组可能是 （ ） ．
式组的解集是一≤ ＜ 则原不等式组的整数解是一，１０１ ２ ÷． ２－，， ．
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宜宾市八中初一数学教案与学案设计
课题：求不等式组的特殊解
教师：樊华 学生：2011级6班全体同学
学习目标：1、能求出不等式组 的特殊解。
2、进一步熟悉解不等式组的过程
教学过程：
一、课前准备：
1．解不等式
①. x -3≤1 ②.1-3(x -1)<x
2．解不等式组：
二、新课学习： 例1：解不等式组 并把此不等式组的整数解写出来.（写在前面2题的后面） 变式练习：解不等式组 并把此不等式组的整数解写出来.
例2：求不等式组2<3x -7<8的整数解.（记在书上）
变式练习：
三、当堂训练
三、走进中考
•
1
3)1(31{≤-<--x x x 13)1(31{≤-<--x x x 13238)1(31{
+≥+--<--x x x x .
1132.1的自然数解求≤+≤-x .1132.2的自然数解求≤+-≤-x ()().2823522.1的整数解求满足⎩⎨⎧>+-+<-x x x x ().,3122413.2解并写出不等式组的整数解不等式组
⎪⎩⎪⎨⎧-≥+>+x x x
x。