量子力学初步

上式可以看出，势垒厚度a越大，粒子通过的几率越小；粒子的能量E越大，则穿透几率也越大， 两者呈指数关系。例，一粒子质量为1kg，势垒的厚度a～10cm，V0-E=1eV，穿透几率约为10-24 ， 几乎不能穿透。这说明对宏观物体来说，即便是总能量比势垒仅少1eV，其量子效应也是极其不明 显的。对电子而言，me～10-31kg，V0-E=1eV，a～10-8cm，大体求得穿透几率为e-0.1 ～0.9(一般情 况下，穿透几率是比较小的)，隧道效应就变得十分明显了。
图3.2.1 无限深势阱
4.2.2
4.2.3)
4.2.4) 式中，A，δ为待定常数，为确定A与δ之值，利用ψ的边界条件及归一化条件。从物理上考 虑，粒子不能透过势阱，要求在阱壁及阱外波函数为零，
即 上式舍去了n=0和n为负值的情况
(4.2.5) 这个结果表明，粒子在无限高势垒中的能量是量子化的。又由归一化条件
动能算符可由动量算符得到。因动能 故有
在势场中，一个粒子的动能与势能函数之和叫哈密顿量，记为H，H=T+V
薛定谔方程(3.1.1)和定态薛定谔方程(3.1.7)
ih(r) H ˆ(r), H ˆ(r) E (r) t
算符 作用于自己的本征函数ψA，等于一个数值A乘以ψA。上式称为算符 的本征方程。解这个方
硅单晶表面
直接提走硅 原子形成2纳 米的线条
4.4 简谐振子 简谐振动是物理学中经常出现的一类运动。本节介绍一维微观简谐振子的运动特点。在简谐振动 中，粒子所受的力正比于它的位移x，而方向相反，即粒子受力的F=-kx，势能为V=1/2kx .故薛 定谔方程是:
V 1 kx2 2
上式可改写成 式中
例4.1.1 试由自由粒子的平面波方程给出建立薛定谔方程的一种方法
ll （1）
对（1）x,y,z取二阶偏微商得到
等式相边相加，即有
把(1)对t取一阶偏微商 ..
如果自由粒子的速度较光速小得多，它的能量公式 是p2/2m=E，两边乘以ψ，即得
（2） （3） 为拉普拉斯算符
（4） （5）
把(3)和(4)代入(5)
与自由粒子的波函数比较，可知上式中的常数E就是能量，具有这种形式的波函数所描述的状 态称为定态.在定态中几率密度｜ψ(r,t)｜2=｜ψ(r)｜2与时间无关。另一方面，式(4.1.5)右边 也等于E，故有
2 [
2 V] (r)E(r)
2m
这是波函数中与坐标有关的部分ψ(r)所满足的方程，此方程称作定态薛定谔方程
量子力学初步
1
量子力学中的薛定谔方程，相当于经典力学中的牛顿运动定律，是不能从什么更基本的原理中推 出来的。它的正确与否，只能由科学实验来检验。实际上，薛定谔方程是量子力学的一个基本原 理。我们可以从不同侧面发现薛定谔方程与经典力学概念之间的联系。
从形式上看，如在经典关系式4.1.2)中作如下变换：
4.1.2
然后作用于波函数ψ，就得到薛定谔方程 下面研究定态薛定谔方程 在势能V不显含时间的问题中，薛定谔方程可以用一种分离变数的方法求其特解，令特解表为
代入式(4.1.1)，并把坐标函数和时间函数分列于等号两边：
令这常数为E，有 于是波函数ψ(r,t) 可以写成
4.1.4 4.1.5 4.1.6
3.4.2
图4.4.1简谐振子能级 3.4.3
3.4.4 3.4.5
简谐振子的能级示于图3.4.1，习惯上把能级画在势能曲线 上。微观简谐振子能级的特点:
一是等距分布，
ω.二是最低能级，即n=0的能级，仍有能量1/2 ω，叫做“零点能”。这
意味着没有静止的简谐振子。三是跃迁只能逐级进行，即能级之间的跃迁服从Δn=1的选择定则。
某种型号的扫描隧道显微镜
1 9 9 1 年 恩 格 勒 等 用 S T M 在 镍 单 晶 表 面 遂 个 移 动 氙 原 子 拚 成 了 字 母 I B M ， 每 个 字 母 长 5 纳 米 ，
操纵原子不是梦 “原子书法”
1994年中国科学院科学家“写”出的 平均每个字的面积仅百万分之一平方厘米 “原子和分子的观察与操纵” -- 白春礼 插页彩图13
得到一个自由粒子的薛定谔方程。
对于一个处在力场中的非自由粒子，它的总能量等于动能加势能
两边乘以ψ 自由粒子的薛定谔方程可以 按此式推广成
（6） （7）
（8） （9）
薛定谔方程是非相对论微观粒子的基本方程 --量子力学基本假设
地位同经典物理的牛顿定律
薛定谔 Erwin Schrodinger
奥地利人 1887-1961 创立量子力学 获1933年诺贝尔物理学奖
A
d
B
U0
U0
电子云重叠
隧道电流i
A
U0
探针
U
d
E
B
样品
i UeA d
用隧道效应观察样品表面的微结构
A——常量
图象处理系统
扫描探针
样品表面电子云
——样品表面平均势 垒高度（~eV）
。 d ~ 10A
d变
i变
反映表面情况
显示器
压电控 制
加电压 反馈传感器
参考信号 扫描隧道显微镜示意图
隧道电 流
图4.3.3 STM示意图
2 sin 1 sin sin 1 2 2 2 Y (,) 2 Y (,)
Lˆ Y(,)是 2本征函数
Y(,) 为使函数
在整个变化区域有界
(0)
l(l1)l,0,1,2,...
Lˆ2Yl,m l(l 1)
2Yl,mlm0l,,1l,2,1
,n1 ,l
Yl,m l,mml,m BPl m(cos)
势垒。按经典力学，粒子的能量
不够，不能越过势垒，将被反射
而折回。但在微观世界则不然， Nhomakorabea粒子的德布罗意波将部分地穿
过势垒。解题如下。
图4.3.1 有限高势垒
4.3.1
4.3.2
e ik 1 x 代 表 由 左 向 右 的 入 射 波
在Ⅱ区，有
其通解为
Ⅲ区的方程同Ⅰ区，但这里无反射波，故
为求出通解ψ1，ψ2及ψ3中的待定常数，需应用边条件。波函数应在x=0及x=a处连续。由此可以 求出比值A3/A1及B1/A1的表达式。三个区域中波函数示意图见图4.3.2，图中表明，在势垒后面 (Ⅲ区)，粒子还有一定的概率分布。处在势垒前(Ⅰ区)的粒子有一定的概率穿透势垒而逸出。
§ 3.6
图4.5.1角动量的矢量模型
氢原子问题是用薛定谔方程唯一可以严格求解的原子结构问题，因而也是最有代表性的。 本节将给出解题的大致步骤，列出结果，并讨论其物理意义。
3.4.1氢原子的能量本征值与本征函数
(4.4.1)
图4.4.1 球坐标
式中左边第一与第三项只作用于波函数中与矢径r有关的部分，第二项只作用3于.4与.2 角度θ，φ有关 的部分，可以应用分离变数法.令
一维无限深势阱中的粒子
一个粒子在两个无限高势垒之间的运动，实际上与一个粒子在无限深势阱中的运动属于同一 类问题。设势阱位于x=0及x=a处。势阱之间(图3.2.1中Ⅰ区)，V=0，势阱本身(图3.2.1中Ⅱ， Ⅲ区)，V=∞，求粒子在势阱间的运动情况。
(4.2.1)
在Ⅱ，Ⅲ区，只能有ψ=0.因为从物理上考虑，粒子不能存在 于势能为无限大的地区，在Ⅰ区，
n
sin x
a
粒子在势阱中的运动，是一种较为常见的现象；金属中的自由电子在各晶格结点(正离子)形成的 “周期场”中运动，它们不会自发地逃出金属，简化这个模型，可以粗略地认为粒子被无限高的势 能壁束缚在金属之中。
氢原子中的电子就是在三维库仑势阱中运动，不过“阱壁”不是直立的，而是按-1/r分布。近来， 人们设计制作了一种具有“量子阱”的半导体器件，它具有介观(介于宏观与微观)尺寸的势阱，阱 宽约在10nm上下。这种材料具有若干特性，已用于制造半导体激光器、光电检测器、双稳态器件 等。
(2)含时间的波函数是
,这是一个驻波,
指数部分表示振动，振幅为
~s(如in图n4.2.2x(b))e，在iE 形t 式上像一个两端固定的弦的驻波振动。
这又一次指出，在有限空间内，物质波只能以a驻波形式稳定地存在着。(3)粒子在势垒中的概率分
布｜ψ｜2是不均匀的，而且有若干概率为零的点(节点)(见图4.2.2(c)).
在这电压下，针尖中的电子还不能越过“空隙”这一势垒进入平面，但有一定的概率穿越势垒，形 成“隧道电流”。隧道电流的大小对势垒宽度(针尖到平面的距离)的变化非常敏感。当针尖沿平面 扫描时，通过隧道电流的变化，便能描绘出平面高低变化的轮廓。这种方法的分辨率极高，其横向 分辨率达0.1nm,纵向为0.01nm，可分辨出单个原子，目前STM已可直接绘出表面的三维图象。STM 技术不仅可用来进行材料的表面分析，直接观察表面缺陷，还可利用STM针尖对原子和分子进行操 纵和移动，重新排布原子和分子。应用到生命科学中，可研究DNA分子的构形等。
是实际情况的极端化和简化
U(x)
U(x)0
方势阱
金属中的电子 分子束缚在箱子内 三维方势肼
§4.3
势垒贯穿
设如图3.3.1，在x=0到x=a之间有一个有限高的一维势垒
V=V0.在x<0区域有一个粒子，其动能E<V0，从左向右射向势垒，求粒子的概率分布。 在图中，将空间分为三个区域.粒
子从Ⅰ区射向Ⅱ区，在x=0处遭遇
4.5.13
4.5.14 4.5.15 4.5.16
i d d L z , ()= A exp(-i1L z)
exp i1 l(z)exp i1 l[z(2)],
exp[ 2ilz ]1
lz m ,m 0,1,2,
() 1 eim 2
式向中上的投1影为/ 值归为2一m化因，子这，个m现称象为称磁为量角子动数量。的从空物间理量图子像化上看，以上结果表明轨道角动量在z方