华中科技大学复变函数与积分变换练习册问题详解

练 习 一

1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。

（1）

i i

i i 524321----； 解：

i i

i i 524321---- =i 258

2516+

z

k k Argz z z z ∈+==

=

=

π

22

1

arctan 25

5825

8Im 25

16Re

（2）3

)

231(i + 解： 3)

231(i +

z

k k Argz z z z e i i

∈+===-=-==+=π

ππ

ππ

210Im 1Re 1][)3

sin 3(cos 333

2．将下列复数写成三角表示式。 1）i 31- 解：i 31-

)35sin 35(cos

2ππi +=

（2）i i +12

解：i i

+12 )4sin 4(cos

21π

π

i i +=+=

3．利用复数的三角表示计算下列各式。

（1）i i

2332++- 解：i i 2332++- 2sin

2

cos

π

π

i i +==

（2）

4

22i +-

解：4

22i +-4

1

)]43sin 43(cos 22[ππi +=

3,2,1,0]

1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 283

8

3

=+++=+++=k k

i k k i k ππππππ

4．.设

321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆

z =1的一个正三角形的项点。

证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周,11==z z 又因321z z z ++=0

则

,

321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又

,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量2

11z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π，于是21z z 与之间的张角是32π

，同理1

z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π

，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。

5．解方程013

=+z

i i z i z i

i z k k i k z z 2

32135sin 35cos

1sin cos 2

3

213sin 3cos 2

,1,03

2sin 32cos

1:3213-=+=-=+=+=+==+++=⇒-=πππππππ

πππ解

6．试证：当1,1<=βα时，则1

1=--βαβ

α。

证：1

1

1==--=-⋅-=--α

βααβαβαααβαβαβα

7．设θθ,0(cos 21≠=+-z z z 是Z 的辐角），求证.cos 2θn z z n n =+-

证：01cos 2cos 221

=+⋅-⇒=+-z z z z θθ

则

θθsin cos i z ±=

当θθsin cos i z

+=时 θθsin cos 1i z -=-

θθθθθn n i n i n z z n n cos 2)]sin()[cos()sin (cos =-+-++=+-

故 θn z z n

n

cos 2=+-

当θθsin cos i z -=时，同理可证。

*8 .思考题：

（1）复数为什么不能比较大小？

答：复数域不是有序域，复数的几何意义是平面上的点。 （2）是否任意复数都有辐角？ 答：否，0=z 是模为零，辐角无定义的复数。

练 习 二

1．指出满足下列各式的点Z 的轨迹是什么曲线？ （1）

4)arg(π

=

-i z

解：设iy x z += 则

4)]1(arg[)arg(π

=

-+=-y i x i z

⎪⎩⎪

⎨⎧-=>->∴1010y x y x 则点Z 的轨迹为：

（2）

)Re(b z a z -=-，其中b a ,为实数常数； 解：设iy x z

+= 则：)Re()(iy b x iy a x +-=+-

⎩⎨

⎧≥--=+-∴0)()(222b x b x y a x 则：⎪⎪⎩⎪

⎪

⎨

⎧≥+--=-+-=b x b a x b a a b x b a y )2)((2)(22

22

若：b a = 则轨迹为： 0=y

若：b a > 则b b

a x >+≥

2

轨迹：

)

2)((22b

a x

b a y +--= 若：b a < 则

,

2b a x +≤

无意义

（3）0=+++b z a z a z z ，其中为a 复数b 为实常数。

解：由题设可知：0))((2

=-+++a b a z a z

即：

b a a z -=+2

2 若：

b a =2

，则Z 的轨迹为一点-a ， 若：b a >2，则Z 的轨迹为圆，圆心在-a ，半径为b a -2

若：

b a <2

，无意义