高等几何试题及答案汇总

第1页 系 专业 班 学号 姓名 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 试卷类型： A 高等几何 使用专业年级 考试方式：开卷（ ）闭卷（√） 共 6 页 题号 一 二 三 四 五 六 合计 得分 填空题（每小题4分，共20分） 1、设1P(1)，2P(-1)，3P()为共线三点，则)(321PPP 。 2、写出德萨格定理的对偶命题： 。 3、若共点四直线a,b,c,d的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=______。 4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为： 。 5、二次曲线的点坐标方程为042231xxx，则其线坐标方程为是 。 选择题（每小题2分，共10分） 1.下列哪个图形是仿射不变图形？( ) A.圆 B.直角三角形 C.矩形 D.平行四边形 2. 221122280uuuu表示( ) A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点
第2页 B. 以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点 C. 以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点 D. 以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点 3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？( ) A.一次 B.两次 C.三次 D.四次 4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有( )： A. 三角形的垂心 B. 梯形 C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点 D.椭圆 5.二次曲线按射影分类总共可分为( ) A.4类 B.5类 C.6类 D.8类 三、判断题（每小题2分，共10分） 1.仿射对应不一定保持二直线的平行性。（ ） 2.两直线能把射影平面分成两个区域。（ ） 3.当正负号任意选取时，齐次坐标)1,1,1(表示两个相异的点。（ ） 4. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素(非自对应元素)符合对合条件，则此 射影变换一定是对合。（ ） 5.配极变换是一种非奇线性对应。（ ）
第3页 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 四、作图题（8分） 已知线束中三直线a,b,c，求作直线d，使(ab,cd)=-1。（画图，写出作法过程和根据） 五、证明题（10分） 如图，设FGH是完全四点形ABCD对边三点形，过F的两直线TQ与SP分别交AB，BC，CD，DA于T，S，Q，P.试利用德萨格定理（或逆定理）证明： TS与QP的交点M在直线GH上。
第4页 六、计算题（42分） 1. （6分）平面上经过A（-3，2）和B（6，1）两点的直线被直

线x+3y-6=0截于P点，求单比(ABP) 2. （6分）已知仿射平面上直线l的非齐次坐标方程为x-2y+1=0，求 （1）l的齐次坐标方程； （2）l上无穷远点的坐标； （3）l上无穷远点的方程。
第5页 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3. (8分)在直线上取笛氏坐标为 2，0，3的三点作为射影坐标系的P*,P0, E，(i)求此直线上任一点P的笛氏坐标x与射影坐标λ的关系；（ii）问有没有一点，它的两种坐标相等？ 4. （8分）求点列上的射影变换，它将参数为1,2,3的点分别变为参数为1,3,2的点，并求出此射影变换的自对应元素的参数。
第6页 5. (6分)求由两个射影线束031xx，032xx，30所构成的二阶曲线的方程。 6. (8分) 试求二次曲线Γ：22212134xxxx+2x1x3-4x2x3=0的中心与渐近线。
第7页 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 填空题（每小题4分，共20分） 1（4分） 如果两个三线形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点的连线交于一点。（4分） 2（4分） 射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群（4分） 2132uuu0（4分） 选择题（每小题2分，共10分） 1.( D),2.( C),3.(B),4.( A),5.( B) 判断题（每小题2分，共10分） 1.( ×),2.( √),3.( ×),4.( √),5.( √) 作图题（8分） 第 1 页 共 4 页
第8页 作法过程： 1、设a,b,c交于点A，在c上任取一点C, （2分） 2、过C点作两直线分别与a交于B、E，与b交于F，D，（2分） 3、BD与EF交于G,4、AG即为所求的d。（2分） 根据：完全四点形的调和共轭性（2分） 证明题（10分） 证明： 在三点形BTS与三点形DQP中（4分） 对应顶点的连线BD,TQ,SP三线共点，（2分） 由德萨格定理的逆定理知，（2分） 对应边的交点BT与DQ的交点G，TS与QP的交点M以及BS与DP的交点H三点共线，即TS与QP的交点M在直线GH上。（2分） 六、计算题（42分） （6分） 解：设P点的坐标为（x0，yo） ()APAPABPBPPB（分割比）， （2分） 00362,11xy而: 且P在直线x+3y-6=0上， 362()3()6011 解得λ=1， （2分） 即P是AB中点，且（ABP）=－1 （2分）
第9页 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ （6分） （1）123x2xx0-+= （2分） （2）（1，1/2，0） （2分） （3）12uu1/20 （2分） (8分) 解：笛氏坐标 0 2 3 x 射影坐标： P* P0 E λ （i）由定义 λ=（P*P0，EP）=（2 0，3x）=(32)(0)(2)(30)36xxxx 10603636xx故：，且 （4分） (ii) 若有一点它的两种坐

标相等，即x=λ则有36xxx，即3x2－7x=0， ∴当x=0及x=73时两种坐标相等。 （4分） （8分） 设射影变换的方程为：0dcba （2分） 由题意知：a+0dcb, 0326dcba ,6a+3b+2c+d=0 得到：7:5:5:3:::dcba 故射影变换方程为：07'55'3 （4分） 二重元素满足：071032 得=7/3或=1 （2分）
第10页 （6分） 解：由题意：3 2330xx （2分） 由上式得：21333xxxx （2分） 故所求方程即为132330xxxx（2分） 6.(8分) 解：二次曲线的齐次方程为：x12+3x1x2-4x22+2x1x3－10x2x3=0， 31123453602150ijDa∴二次曲线为常态的， 设中心31323333(,),,AAAA且 312333331111713252,,233224545422AAA而： 则中心为1426(,)2525 （4分） 求渐近线方程：a11X2+2a12XY+a22Y2=0， X=x－ξ，Y=y－η。 从X2+3XY－4Y2=0 →（X+4Y）（X－Y）=0. X+4Y=(x－1425)+4 (y+2625)=0→5x+20y+18=0， （2分） X－Y=(x－1425)－(y+2625)=0→5x－5y－8=0。 （2分）
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