高等几何试卷及答案

《高等几何》考试试题A 卷(120分钟)

一、填空题(2分⨯12=24分)

1

平行四边形 ;2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0)

3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2

4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x

5、方程0652

2

2121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-=

x x x ,则原点的对应点 -3

1

7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212

322

21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x

8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1

9、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b

10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应

12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的:

130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。

解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。

由两线束的方程有:1233

,'x x

x x λλ=

=。 将它们代入射影对应式并化简得,

2

122313320x x x x x x x +-+=

此即为所求二阶曲线的方程。

三、证明:如果两个三点形内接于同一条二次曲线,则它们也同时外切于一条二次曲线。(10分)

证明:三点形ABC 与三点形C B A '''内接于二次曲线(C),设 AB I C B ''=D AB I C A ''=E B A ''I BC=D ' B A '

'I AC=E ',则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所

以,),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B

这两个点列对应点的连线AC,B C '',A C '',BC 连同这两个点列的底AB,B A ''属于同一条二级曲线(C '),亦即三点形ABC 与三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。 四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0,13x +2x -32x =0,

17x -2x =0,15x -3x =0, 求证四直线共点,并求(1l 2l ,3l 4l )的值。(10分)

解:因为

1

7213

112---=0且1

5

01

7213---=0

所以1l ,2l ,3l ,4l 共点。四直线与x 轴(2x =0)的交点顺次为A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),非齐次坐标为A(-21,0),B(32,0),C(0,0),D(5

1,0), 所以 (1l 2l ,3l 4l )=(AB,CD)=

)

2

151)(320()

32

51)(210(+--+=21 五、求两对对应元素,其参数为12

1

→,0→2,所确定的对合方程。(10分)

解 设所求为

a λλ'+b(λ+λ')+d=0

①

将对应参数代入得:

21a+(1+2

1

)b+d=0 ②

(0+2)b+d=0 ③ 从①②③中消去a,b,d 得

1

2

0123211

λλλλ'+'=0 即λλ'+λ+λ'-2=0为所求

六、求直线32163x x x +-=0关于212

2

212x x x x -++231x x -632x x =0之极点。(12分) 解:设0p (0

30201,,x x x )为所求,则

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----031311111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡03020

1x x x =⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-613 解线性方程组

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=--=-+-=+-6133020103020

10

30201x x x x x x x x

得即,1,1,30

30201-=-==x x x (3,-1,-1)为所求极点的坐标

七、叙述帕萨卡定理的内容并证明其定理。(12分)

定理:内接于二阶曲线的简单六点形,三对对应边的交点在同一直线上。 证明:设简单六点形654321A A A A A A ,其三对对边的交点分别为L,M,N,

L= 21A A I 54A A ,M=32A A I 65A A ,N=43A A I 16A A 以1A ,3A 为中心,分别连接其她四点,则由定理得到()65421A A A A A ∧()65423A A A A A

设P A A A A =5421I , Q A A A A =4365I

则()65421A A A A A ∧()P A A L 54,,,()65423A A A A A ∧()65,,A A Q M

所以,()P A A L 54,,∧()65,,A A Q M 由于两个点列底的交点5A →5A ,故有 ()P A A L 54,,∧()65,,A A Q M

所以LM,Q A 4,5PA 三点共点,但Q A 4I 5PA =N, 即L,M,N 三点共线。 八、用两种方法求双曲线042322

2

=-+-+y x xy y x 的渐近线方程。(12分)

解:方法一

设渐近线的方程为

0)3

23

2

22

1

12

3

13

2

12

1

11

(=+++++x a x a x a k x a x a x a

根据公式得 01232=++-k k

解之,得3

1

,121-==k k ,所以渐近线方程为