高等几何答案

(2) [0,1,0] 所表示的直线的方程是 x2 = 0 2.下列各方程表示什么图形?
(1) u1 − u2 = 0
(2) 2u1 + u2 = 0
(3)
u12
−
u
2 2
=0
(4) u1 − u2 + 2u3 = 0
解: (1) u1 − u2 = 0 表示点(0,1,-1)
(2) 2u1 + u2 = 0 表示点(2,1,0)
后 使T（A）=A′、T（B）=B′、T（C）=C′。设D为线段BC中点，则AD⊥BC， 课 且∠α=∠β，但在 V A′B′C′中∠α′≠∠β′，否则，A′B′=A′C
′，这与 Δ A′B′C′为不等腰三角形矛盾。因此，角平分线不是仿射不
7．给定点A、B，作出点C使：（1）(ABC)=4 (2)(ABC)=- 3 (3)(ABC)=-1 4
解:因为过 A 的实直线必过 A 的共轭复点 A (1, i ,2),所以所求直线方程为
x1 x2 x3 1 −i 2 =0 1i 2
即 − 4x1i + 2x3i = 0 ,亦即 2x1 − x3 = 0
5.求复直线[2, i ,3-4 i ]上的实点坐标. 解: 复直线[2, i ,3-4 i ]与其共轭复直线[2,- i ,3+4 i ]的交点是实点,所以,所求实点
′、C′F′是V A′B′C′R的三条中线，如图2——4，即三角形的中线是 仿射不变性。
T(A)=A',T(B)=B',T(C)=C'.设D为线段BC中点,则AD⊥BC,且∠α=∠
β,设T(D)=D’,由T保留简比不变,即（BCD）=（B′C′D′），于是 B ' D ' = BD = C ' D ' CD
坐标为:
i 3 − 4i 3 − 4i 2 2 i
x1 : x2 : x3 = − i
: 3 + 4i 3 + 4i
: 22
= 6i :16i : (−4i) =3:(-8):(-2) −i
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所以复直线[2, i ,3-4 i ]上的实点坐标为(3,8,-2) 6.证明(2, i ,1- i )与(2+2 i ,1- i ,2 i )表示一对共轭复点,并求其连线方程.
BC
4 BC 4
1＋λ
1＋λ
内部且距点A三等分点处，如图2—9所示
A
C
B
解得 λ＝1 所以（ABP）=- AP =-λ=-1 BP
9.求仿射变换式使直线x＋2y－1＝0上的每个点都不变，且
01 2 3 4 5 6 7 8
使点（1，-1）变为（-1，2）。
图2——9 （3）∵（ABC）=-1，即 AC =-1，
AC B
后 课
⎧α ⎩⎨α
1 2
+ +
c1 c2
=1 =0
， ⎩⎨⎧33αα
1 2
− −
b1 b2
+ c1 + c2
=3 = −1
⎧α ⎩⎨α
1 2
− −
b1 b2
+ c1 + c2
= −1 =2
由以上
0 0.5 1 .
方程联立解得：α1 ＝2 ， b1 =2 , c1 =-1 ,
图2——10
α
2
=-
⎪⎧x′
⎨ ⎪⎩
y′
= =
x α b
y
1,0 0, α
=α b
≠0
b
则椭圆的对应图形便是圆 x′2 + y′2 = α 2
椭圆内的三角形OAB中，O（0，0），A（α，0），B（b,0）,经过以 上的仿射变换，三角形OAB的对应图形为三角形OA′B′，其中A≡A′，B ′（0，α）。
根据定理2.2.5的推论2,就得
故所求交比为λ1 =- 4 λ2 11
3.设（AB、CD）=-1，O为CD的中点，则OC2=OA·OB（此题为有向线段）
证明 这里所用的都是有向线段，利用O为CD中点这一假设，便有OD=-OC来论证的，由（AB，CD）
=-1，得 AC • BD =-1 AD • BC 即 AC·BD+AD·BC=0
4 −1 −1 3 3 4
u1 : u2 : u3 = − 3
: 11
:
=1:(-8):(-29)
5 5 −3
再求二直线[1,-1,2],[1,-3,-2]交点坐标
−1 2 2 1 1 −1
=
:
:
=45:31:(-7)
− 8 − 29 − 29 1 1 − 8
4.求经过点 A(1,- i ,2)的实直线方程.
－1，因此，D′为线段B′D′中点，即线段中点是仿射不变性。
3．证明三角形的重心是仿射不变性。
证明 如图2——4所示，设G是V ABC的重心，且G′=T（G）。因为G∈AD， 由性质2、1.2得G′∈A′D′；又因为（AGD）=（A′G′D′），即
2．证明三角形的中线是仿射不变性。
A' D ' = AD = 3 G ' D ' GD 1
3 2
, b2 =-2
,
c
2
=
3 2
8．经过A（-3，2）和B（6，1）两点的直线被直线ｘ+3ｙ-6=0 截于P，求简比（ABP）。
故所求的仿射变换为：
⎪⎧x′
⎨ ⎪⎩
y′
= =
2x + − 3x
2
2y −1 −2y +
3 2
解 设 AP =λ，则点P的坐标为P（ －3＋6λ， 2＋λ），因为点P在
PB
1＋λ 1＋λ
10.应用仿射变换求椭圆的面积.
解 如图2—14所示,
3

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椭圆面积 = πα 2
1 αb
1α2
2
2
因此，椭圆面积= παb
网
案
答
图2——14
后
课 设在笛氏直角坐标系下，有椭圆 x2 α2
+
y2 b2
=
1
，如果经过仿射变换
以CA • CB • CD除（2）式两边，得 2 = 1 + 1
CD CA CB
∴ 1 =1（ 1 + 1 ）
CD 2 CA CB
6．试证：一线脚被它的中点和这直线上的无穷远点所调和分割。
1
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证明 设C为线脚AB的中点， D∞ 为直线AB和无穷远点，由交此的定义，得
B
D
C B'
D'C）功能四边形A′B′C′
网D′相对应，由于仿射对应保持平性不变，所以A′B′∥C′D′,A′D′‖
案 C'
B′C′,故A′B′C′D′为梯形，即梯形在仿射对应下仍为梯形。
图2——6
答
取等腰 Δ ABC（AB=AC）由平面仿射几何的基本定理，存在仿射变换T，
（1）
把所有线段都以O点做原点来表达，由（1）得（OC-OA）（OD-OB）+（OD-OA）（OC-OB）=0 （2） 由
（2）去括号，移项，分解因子，得2（OA·OB+OC·OD）=（OA+OB） （OC+OD）
2（OA·OB- OC2）
=（OA+OB）·0
∴ OA·OB-OC2=0即 OC2=OA·OB

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第一章部分习题及答案
1.证明线段的中点是仿射不变性.
A'
A'
A'
AA E'
F
F' E
B
D
C
B'
D'
C'
B'
D'
C' B'
D'
网 案 证明
图2——4 设仿射变换T将V ABC变为V A′B′C′，D、E、F分别是BC、CA、
证明:因为(2, i ,1- i )的共轭复点是(2,- i ,1+ i ),但(1+ i )(2,- i ,1+ i )=( 2 + 2i ,1− i ,2 i ) 所以(2, i ,1- i )与(2+2 i ,1- i ,2 i )表示一对共轭复点. 先求其连线坐标.
i 1−i 1−i 2 2 i
同理
B'E' =C'F'=3 G'E' G'F' 1 ∴G′是V A′B′C′的重心，即三角形的重心是仿射不变性。
1

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4．角的平分线是不是仿射不变量？
答：不是。如图2——6所示。
A
B
A'
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B'
A
A'
D
C D'
C'
如图2——7
解 (1)∵(ABC)= AC = 4 BC 1
即 AB =3，故点C在AB延长线上，且 AC
变性。
BC= 1 AB，如图2——8所示。 3
5．两直线垂直是不是仿身不变量？
答：不是。在上题中，AD⊥BC但A′D′不垂直于B′C′，这说明两直线
A
BC
垂直不是不变性。
0
1
2
6．证明梯形在仿射对应下仍为梯形。
(3)
u12
−
u
2 2
=
0
,可化为
(u1
− u2 )(u1
+ u2)
=