2019年高一数列知识点总结
高一必修五数学数列全章知识点(完整版)
高一数学数列知识总结知识网络二、知识梳理一、看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n②112-+⋅=n n na a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )三、在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
四.数列通项的常用方法：（1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①⎩⎨⎧≥-==-)2()111n S S n S a n n n（；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+（4）造等差、等比数列求通项：① q pa a n n +=+1；②nn n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ⋅+⋅=++12.第一节通项公式常用方法题型1 利用公式法求通项例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。
求a n 。
2.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，求下列数列{}n a 的通项公式：⑴ 1322-+=n n S n ； ⑵12+=nn S .总结:任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项例2：⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式；⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ⋅=2，求数列{}n a 的通项公式.总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”； 迭乘法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n ⋅=+“；⑵迭加法、迭乘法公式：① 11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=----- ② 1122332211a a aa a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=----- . 题型3 构造等比数列求通项例3已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式.总结：递推关系形如“q pa a n n +=+1” 适用于待定系数法或特征根法：①令)(1λλ-=-+n n a p a ；② 在q pa a n n +=+1中令pqx x a a n n -=⇒==+11，∴)(1x a p x a n n -=-+； ③由q pa a n n +=+1得q pa a n n +=-1，∴)(11-+-=-n n n n a a p a a .例4已知数列{}n a 中，nn n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式.总结：递推关系形如“nn n q pa a +=+1”通过适当变形可转化为： “q pa a n n +=+1”或“nn n n f a a )(1+=+求解.例5已知数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,2,11221-===++，求数列{}n a 的通项公式.总结：递推关系形如“n n n a q a p a ⋅+⋅=++12”，通过适当变形转化为可求和的数列. 强化巩固练习1、已知n S 为数列{}n a 的前n 项和， )2,(23≥∈+=+n N n a S n n ，求数列{}n a 的通项公式.2、已知数列{}n a 中，)(0)1()2(,211++∈=+-+=N n a n a n a n n ，求数列{}n a 的通项公式. 小结：数列通项的常用方法：⑴利用观察法求数列的通项；⑵利用公式法求数列的通项；⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+（4）构造等差、等比数列求通项：①q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ⋅+⋅=++12.3、数列{}n a 中，)(,111n n n a a n a a -==+，则数列{}n a 的通项=n a 。
高中数学数列知识点总结(精华版)
..一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项a n与项数n是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列a n的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即af(n)n.3.递推公式：如果已知数列a n的第一项（或前几项），且任何一项a n与它的前一项a（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即a n f(a n1)或a n f(a n1,a n2)，n1那么这个式子叫做数列a的递推公式.如数列an中，a11,a n2a n1，其中na n2a n1是数列a n的递推公式.4.数列的前n项和与通项的公式①Sn a1a2a；②nS(n1)1a n.SS(n2)nn15.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何nN,均有a n1a n.②递减数列:对于任何nN,均有a n1a n.③摆动数列:例如:1,1,1,1,1,.④常数数列:例如:6,6,6,6,⋯⋯.⑤有界数列:存在正数M使a n M,n N.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项a使得a n M.n1、已知n*a2(nN)nn156，则在数列{}a的最大项为__（答：n125）；2、数列{}a的通项为nana n，其中a,b均为正数，则a n与a n1的大小关系为___（答：bn1aa n1）；n23、已知数列{a}中，a是递增数列，求实数的取值范围（答：3）；ann，且{}nnn4、一给定函数yf(x)的图象在下列图中，并且对任意a(0,1)，由关系式a n1f(a n)1*得到的数列{}a满足a n1a n(nN)，则该函数的图象是（）（答：A）neord完美格式..二、等差数列1、等差数列的定义：如果数列a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
高一数学-数列基础知识归纳
一、等差数列与等比数列
等差数列
等比数列
文字定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。
符号定义
如： （下标成等差数列）
3. 等比，则
也等比。
4.等比数列的通项公式类似于 的指数函数，
即：
等比数列的前 项和公式是一个平移加振幅的 的指数函数，即：
5.等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。
证明方法
证明一个数列为等差数列的方法：
1.定义法
2.中项法
证明一个数列为等比数列的方法：
1.定义法
即把每一项都乘以 的公比 ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。
3.裂项相消法 即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。
适用于数列 和 （其中 等差）可Βιβλιοθήκη 项为：分类递增数列：
递减数列：
摆动数列：
常数数列：
通项
前n项和
中项
主要性质
等和性：
若 则
推论：若 则
即：首尾颠倒相加，则和相等
等积性：
若 则
推论：若 则
即：首尾颠倒相乘，则积相等
其
它
性
质
1.等差数列中连续 项的和，组成的新数列是等差数列。即：
等差，则有
2.从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。
2.中项法
设元技巧
三数等差：
四数等差：
三数等比：
高一数学必修5：数列(知识点梳理)
第二章：数列一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成a a a a n ,,,,,123，简记为数列a n {}，其中第一项a 1也成为首项；a n 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集*N （或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列a n {}的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成=a f n n ()，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列a n {}，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即>+a a n n 1，那么这个数列叫做递增数列;高一数学必修5：数列（知识点梳理）如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列; 如果数列的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列满足21=2n n n a a a +++，则数列是等差数列.4、等差数列的性质：（1）等差数列中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题：设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和； （2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）.即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a qa q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ; （2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质：（1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列， {}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则 （1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------， 设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列的首项,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列的首项,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项. 给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子： ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。
(完整版)高中数学数列知识点整理
1数列中a n 与S n 之间的关系:a nS ‘（n 1）注意通项能否合并。
S n & i ,（n 2）.2、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即a n - a n 1=d ， (n >2, n € N ), 那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数 a 、A b 成等差数列或a n pn q （p 、q 是常数）⑷前n 项和公式：n n 1 S n n^d2⑸常用性质： ① 若 mn p q m,n, p,q N ，贝U a m a n a p a q；② 下标为等差数列的项 a k ,a k m ,a k 2m ,，仍组成等差数列； ③ 数列 a n b （ ,b 为常数）仍为等差数列；④ 若｛a n ｝、｛0｝是等差数列，则｛ka n ｝、｛ka n pb n ｝ （k 、p 是非零常数）、｛a p nq ｝（ p,q N ）、，…也成等差数列。
⑤单调性： a n 的公差为d ，则：i) d 0 a n 为递增数列； ii) d 0 a n 为递减数列； iii) d 0a n 为常数列；⑥数列｛a n ｝为等差数列 a n pn q （ p,q 是常数）⑦若等差数列 a n 的前n 项和S n ,则S k 、S 2kS k 、S 3k S 2k …是等差数列。
3、等比数列⑴定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
⑵等比中项：若三数a 、Gb 成等比数列G 2 ab, （ ab 同号）。
反之不一定成立。
数列⑶通项公式：a n a 1(n 1)d a m (n m)dn a-i a n2⑶通项公式：a nn 1n maga m q⑷前n 项和公式：a 1 1 q n S i1 qa 1 a n q 1 q⑸常用性质①若m n pq m,n, p,q N , 则 am ana p a q；② a k ，a k m ，a k 2m ,为等比数列， 公比为 q k （下标成等差数列，则对应的项成等比数列）③ 数列a n （为不等于零的常数）仍是公比为 q 的等比数列；正项等比数列 a n ；则lg a n 是公差为lg q 的等差数列；④ 若a n 是等比数列，则 ca n , a n 2 ,a n r（r Z ）是等比数列，公比依次是⑤ 单调性：a i 0,q 1或印 0,0 q 1 a “为递增数列； a i 0,0 q 1或q 0,q1a .为递减数列；q 1 a n 为常数列； q 0a n 为摆动数列；⑥ 既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
高一数列知识点总结
高一数列知识点总结高一数列知识点总结「篇一」等差数列的基本性质⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d。
⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd。
⑶若{an}{bn}为等差数列，则{ an ±bn }与{kan +bn}(k、b为非零常数)也是等差数列。
⑷对任何m、n ，在等差数列中有：an = am + (n-m)d(m、n∈N+)，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性。
⑸、一般地，当m+n=p+q(m，n，p，q∈N+)时，am+an=ap+aq 。
⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)。
(7)下表成等差数列且公差为m的项ak.ak+m.ak+2m.(k,m∈N+)组成公差为md 的等差数列。
⑻在等差数列中，从第二项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项。
⑼当公差d>0时，等差数列中的数随项数的.增大而增大;当d<0时，等差数列中的数随项数的减少而减小;d=0时，等差数列中的数等于一个常数。
高一数列知识点总结「篇二」高考题中的数列试题,往往比较难,同学们有点怕,究其原因,还是数列试题综合性强,变形灵活，为大家分享了高二数学数列知识点的总结，一起来看看吧！数列概念①数列是一种特殊的函数。
其特殊性主要表现在其定义域和值域上。
数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，n}的函数，其中的{1，2，3，n}不能省略。
②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。
图像法;c.解析法。
其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。
③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。
等差数列1.等差数列通项公式an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b2.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。
数列基础 知识点总结高中
数列基础知识点总结高中1. 什么是数列数列是指按照一定顺序排列的一组数，数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
数列可以写成一般形式为{an}，其中an表示数列的第n项，也可以写成a1, a2, a3, ..., an的形式。
2. 数列的分类数列可以按照项的性质和数列中项的变化规律进行分类，主要可以分为以下几种类型：- 等差数列：如果一个数列中的相邻两项的差都相等，那么这个数列就叫做等差数列。
- 等比数列：如果一个数列中的相邻两项的比都相等，那么这个数列就叫做等比数列。
- 菲波那契数列：这是一种非常有趣的数列，它的每一项都是前两项的和，即an = a(n-1) + a(n-2)。
3. 数列的通项公式对于某些特定的数列，我们可以通过推导或者观察得到一个通项公式，这个公式可以用来表示数列中任意一项的值。
例如对于一个等差数列{an}，它的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1表示数列的首项，d表示数列的公差，n表示数列的项数。
4. 数列的性质数列有很多性质，例如对于一个等差数列，它的前n项的和可以用一个公式来表示，即Sn = (a1 + an) × n ÷ 2，其中a1为首项，an为末项。
对于一个等比数列，它的前n项的和也可以用一个公式来表示。
5. 数列的求和对于一些特定的数列，我们可以通过一些方法来求解它的前n项的和，例如使用公式、数学归纳法等。
6. 数列的应用数列在数学中有很多实际应用，例如在计算机科学中，数列可以用来表示计算机程序的执行次数；在经济学中，数列可以用来分析经济增长趋势等。
7. 数列的递推公式对于一些特定的数列，我们可以用递推公式来表示数列的变化规律，通过递推公式可以方便地计算数列的各项的值。
8. 数列的极限数列的极限是数学分析中一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解数列的收敛性、发散性等性质。
数列的极限可以用来解决一些实际问题，例如计算机程序的性能优化等。
高一数学必修一 - 数列知识点总结
高一数学必修一 - 数列知识点总结1. 数列的概念数列是由一组按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列可以分为等差数列和等比数列两种。
a. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。
如果数列的公差为d，则数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$为第n项，$a_1$为首项，n为项数。
b. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。
如果数列的公比为r，则数列的通项公式为：$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$，其中$a_n$为第n项，$a_1$为首项，n为项数。
2. 数列的性质a. 通项公式通项公式是数列中任意一项与项数之间的关系式。
根据数列的类型，可以通过公式求解任意项。
b. 公差和公比对于等差数列，公差是指相邻两项之间的差值。
公差可以用于确定数列的特征和性质。
对于等比数列，公比是指相邻两项之间的比值。
公比可以用于确定数列的特征和性质。
c. 首项和末项首项是数列中的第一项，通常用$a_1$表示。
末项是数列中的最后一项，通常用$a_n$表示。
d. 项数项数是数列中项的个数，通常用n表示。
e. 等差数列的和等差数列的前n项和可以通过公式求解：$S_n =\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$，其中$S_n$表示前n项和。
f. 等比数列的和等比数列的前n项和可以通过公式求解：$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$，其中$S_n$表示前n项和。
3. 数列的应用数列在数学中有着广泛的应用，其中一些常见的应用包括：a. 金融计算数列可以应用于金融中的利息计算、贷款计算等，帮助人们进行财务规划和计算。
b. 物理学数列可以应用于物理学中的运动学问题，如运动物体所经过的位置、速度等的计算。
c. 统计学数列可以应用于统计学中的数据分析和预测，帮助人们了解和预测事物的发展趋势。
总结数列是数学中非常重要的概念，常见的数列包括等差数列和等比数列。
高中数学数列知识点总结5篇
高中数学数列知识点总结5篇篇1一、数列的基本概念数列是一种特殊的函数，其定义域为自然数集或其自然数子集。
数列分为等差数列和等比数列两种基本形式，此外还有更为复杂的数列形式。
数列的通项公式是描述数列的一般规律的重要工具，对于等差数列和等比数列，其通项公式分别为an=a1+(n-1)d和an=a1×q^(n-1)。
掌握数列的基本概念对于后续的学习至关重要。
二、等差数列等差数列是一种常见且重要的数列形式，其任意两项之差都相等。
在等差数列中，需要掌握的主要知识点包括等差数列的通项公式、求和公式、中项公式等。
等差数列的求和公式为Sn=n(a1+an)/2或Sn=na1+[n(n-1)/2]d，这些公式在处理与等差数列相关的问题时非常实用。
等比数列的特点是任意两项之比都相等。
在等比数列中，需要掌握的知识点包括等比数列的通项公式、求和公式以及公比的概念。
等比数列的求和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，掌握这个公式对于解决涉及等比数列的问题非常关键。
四、数列的极限数列的极限是描述数列变化趋势的重要概念。
当n趋近于无穷大时，数列的项会趋近于一个固定的值，这个值就是数列的极限。
掌握数列极限的概念和计算方法是分析数列性质的重要工具。
五、数列的应用数列在实际生活中有着广泛的应用，如金融、物理、工程等领域。
例如，在金融领域，复利计算就涉及等比数列的应用；在物理领域，许多物理量的变化可以看作是等差或等比数列的形式。
掌握数列的应用对于解决实际问题具有重要意义。
除了等差数列和等比数列外，还有一些特殊数列需要了解，如斐波那契数列、三角数列等。
这些数列具有独特的性质和应用场景，了解这些数列有助于拓宽数学视野，提高数学素养。
七、数列的证明在数列的学习中，还需要掌握一些证明方法，如数学归纳法、反证法等。
这些证明方法在证明数列的性质和解决问题时非常有用。
掌握这些证明方法有助于提升数学思维和逻辑推理能力。
综上所述，高中数学中的数列知识点丰富且重要，需要掌握基本概念、等差数列和等比数列的性质、数列的极限、应用、特殊数列以及证明方法等方面的知识。
高中数列知识点总结(附例题)
高中数列知识点总结（附例题）知识点1：等差数列及其前n 项 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d .3．等差中项如果 A ＝a ＋b2 ，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋（n-m ）d ，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数)．7．等差数列的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最 大 值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最 小 值．[难点正本 疑点清源] 1．等差数列的判定(1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2)； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.2．等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (3)S 2n －1＝(2n －1)a n .(4)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝n2d . 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．例1（等差数列的判定或证明）：已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明 ∵a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1.∴n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.∴数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解 由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n＝1＋22n －7，设函数f (x )＝1＋22x －7，易知f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞内为减函数． ∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.例2（等差数列的基本量的计算）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1 (2)求d 的取值范围．解 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8.所以⎩⎨⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7. (2)方法一 ∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.因为关于a 1的一元二次方程有解，所以 Δ＝81d 2－8(10d 2＋1)＝d 2－8≥0，解得d ≤－22或d ≥2 2. 方法二 ∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0， 9da 1＋10d 2＋1＝0.故(4a 1＋9d )2＝d 2－8.所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.例3（前n 项和及综合应用）(1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值； (2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和．解 方法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653.∴a 13＝0，即当n ≤12时，a n >0，n ≥14时，a n <0，∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 13＝S 12＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.方法二 同方法一求得d ＝－53.∴S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1)－25， ∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列． 令⎩⎨⎧a n ＝4n －25<0， ①a n ＋1＝4(n ＋1)－25≥0， ②由①得n <614；由②得n ≥514，所以n ＝6. 即数列{|a n |}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列， 而|a 7|＝a 7＝4×7－24＝3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ，则T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧21n ＋n (n －1)2×(－4) (n ≤6)66＋3(n －6)＋(n －6)(n －7)2×4 (n ≥7)＝⎩⎨⎧－2n 2＋23n (n ≤6)，2n 2－23n ＋132 (n ≥7).例4，已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 3例5等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为{},{}n n S T ，且7453n nS n T n,则使得n na b 为正整数的正整数n 的个数是 3 . （先求an/bn n=5,13,35）已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有三常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“a n+1=pa n+q ”这种形式通常转化为an +1+λ=p (an +λ),由待定系数法求出,再化为等比数列； (3)逐差累加或累乘法.例6 已知数列{}n a 中，113a =，当2≥n 时，其前n 项和n S 满足2221nn n S a S =-，则数列{}n a 的通项公式为例7在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n+=++，则n a = .知识点2：等比数列及其n 项和 1．等比数列的定义 2．等比数列的通项公式 3．等比中项若G 2＝a ·b (ab ≠0)，那么G 叫做a 与b 的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a n q n－m，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n . (3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，21221nn n n S S S S --=-1.21n S n ⇒=+1111122(2)n n n n n n S S S S n S S ---⇒-=⇒-=≥()()21132214n n a n n ⎧=⎪=⎨⎪-⎩≥13211221, 2.≥n n n n n a a a a a a n a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅2ln n+⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q(q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .7. 等比数列的单调性【难点】1．等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非常数． 2．等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小． 3．等比数列的前n 项和S n(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1及前n 项和公式S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q(q ≠1)共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，知三求二，体现了方程的思想的应用．(3)在使用等比数列的前n 项和公式时，如果不确定q 与1的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比q ＝1和q ≠1两种情况．例1：(1)在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3a 5＝64，求{a n }的前8项和S 8； (2)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3 280，且前n 项中数值最大的项为27，求数列的第2n 项． (1)设数列{a n }的公比为q ，由通项公式a n ＝a 1q n －1及已知条件得： ⎩⎨⎧a 6－a 4＝a 1q 3(q 2－1)＝24， ①a 3·a 5＝(a 1q 3)2＝64. ②由②得a 1q 3＝±8.将a 1q 3＝－8代入①式，得q 2＝－2，无解将a 1q 3＝8代入①式，得q 2＝4，∴q ＝±2.，故舍去．当q ＝2时，a 1＝1，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝255；当q ＝－2时，a 1＝－1，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝85.(2)若q ＝1，则na 1＝40,2na 1＝3 280，矛盾．∴q ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q ＝40， ①a 1(1－q 2n )1－q ＝3 280， ②②①得：1＋q n ＝82，∴q n＝81， ③ 将③代入①得q ＝1＋2a 1. ④又∵q >0，∴q >1，∴a 1>0，{a n }为递增数列． ∴a n ＝a 1q n －1＝27， ⑤ 由③、④、⑤得q ＝3，a 1＝1，n ＝4. ∴a 2n ＝a 8＝1×37＝2 187.例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n ＝n.(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． 1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ， ① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1. ②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列． ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，∴c 1＝－12，公比q ＝12. 又c n ＝a n －1，∴{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)解 由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .例3 在等比数列{a n }中，(1)若已知a 2＝4，a 5＝－12，求a n ；(2)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．解 (1)设公比为q ，则a 5a 2＝q 3，即q 3＝－18，∴q ＝－12，∴a n ＝a 5·q n －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －4.(2)∵a 3a 4a 5＝8，又a 3a 5＝a 24，∴a 34＝8，a 4＝2.∴a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝25＝32.例4已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． 规范解答(1)证明 b 1＝a 2－a 1＝1， [1分]当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1， [5分]∴{b n }是首项为1，公比为－12的等比数列． [6分](2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1， [8分]当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) [10分]＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1， ∴a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1 (n ∈N *)． [14分]例4 （07 重庆11）设11a a -+是和的等比中项，则a +3b 的最大值为 2 .（三角函数）例5 若数列1, 2cos θ, 22cos 2θ,23cos 3θ, … ,前100项之和为0, 则θ的值为（ ）例 6 △ABC 的三内角成等差数列, 三边成等比数列,则三角形的形状为__等边三角形__________.【综合应用】例7.已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；22,Z 3k k ππ±∈(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013.解 (1)由已知有a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )．解得d ＝2 (∵d >0). ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3， ∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n＝a n ＋1得当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n .两式相减得：n ≥2时，c nb n＝a n ＋1－a n ＝2.∴c n ＝2b n ＝2·3n －1 (n ≥2)．又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3.∴c n ＝⎩⎨⎧3 (n ＝1)2·3n －1 (n ≥2).∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013＝3＋6－2×32 0131－3＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.知识点3：数列的基本知识1，1-1)1(n n n n n S S n S a S a -==或的关系：与例1：设{}n a 数列的前n 项和2n S n =，则8a 的值为 15 .2，数列的递推公式及应用：利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有三种方法：累加法，累积法，构造法①对形如q pa a a a n n +==+11;的递推公式()1.≠p q p 为常数且，可令()λλ+=++n n a p a 1，整理得()λλλ+=+=+n n a p a p q1,1-，所以是{}λ+n a 等比数列②对形如q pa a a n n n +=+1的递推公式，两边取倒数后换元转化为nn a qp a +=+11，再求出⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1即可例2：已知数列{}n a 满足n a a a n n 2-,3311==+，则na n的最小值为 10.5。
高一数列知识点的梳理总结
高一数列知识点的梳理总结数列是高中数学中的重要概念之一，也是数学建模、微积分等领域的基础知识。
本文将对高一数列的基本概念、性质和常见的数列类型进行梳理和总结。
1. 数列的基本概念和性质- 数列：按照一定的顺序排列的一组数。
- 公式：数列中每一项与其位置之间的关系可以用一个公式来表示。
- 项数：数列中的元素个数。
- 通项公式：用公式表示数列的每一项。
- 首项：数列中的第一项。
- 公差：数列中相邻两项的差值。
- 递推公式：用前一项来表示后一项的公式。
2. 常见的数列类型- 等差数列：数列的相邻两项之差是一个常数。
通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示首项，$d$表示公差。
- 等比数列：数列的相邻两项之比是一个常数。
通项公式为：$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$，其中$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示首项，$r$表示公比。
- 斐波那契数列：数列中的每一项是前两项的和。
通项公式为：$f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$，其中$f_n$表示第$n$项，$f_1 = 1$，$f_2 = 1$。
3. 数列的应用- 数列在数学建模中的应用：数列可以用来描述一定规律的变化过程，通过数列的性质和规律，可以解决实际问题。
- 数列在微积分中的应用：数列是微积分的基础，通过研究数列的趋势和极限，可以刻画函数的性质和变化规律。
以上是对高一数列知识点的基本梳理和总结，掌握这些知识对于学习高中数学和应用数学都具有重要意义。
高一数学数列知识点梳理总结
数列知识点梳理总结【要点梳理】 要点一：等差数列判定一个数列为等差数列的常用方法①定义法：1n n a a d +-=（常数）⇔{}n a 是等差数列； ②中项公式法：122(*){}n n n n a a a n N a ++=+∈⇔是等差数列； ③通项公式法：n a pn q =+（p ，q 为常数）⇔{}n a 是等差数列；④前n 项和公式法：2n S An Bn =+（A ，B 为常数）⇔{}n a 是等差数列。
要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性。
等差数列的有关性质：（1）通项公式的推广：+()n m a a n m d =－（2）若*()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a +=+；特别，若2m n p +=，则2m n p a a a +=（3）等差数列{}n a 中，若*m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等差数列.（4）公差为d 的等差数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等差数列。
（5）等差数列{}n a ，前n 项和为n S①当n 为奇数时，12n n S n a +=⋅；12n S S a +-=奇偶；11S n S n +=-奇偶； ②当n 为偶数时，122()2n nn a a S n ++=⋅；12S S dn -=偶奇；212nna S S a +=奇偶。
等差数列前n 项和n S 的最值问题： 等差数列{}n a 中① 若a 1＞0，d ＜0，n S 有最大值，可由不等式组10n n a a +≥⎧⎨≤⎩来确定n ；② 若a 1＜0，d ＞0，n S 有最小值，可由不等式组10n n a a +≤⎧⎨≥⎩来确定n ，也可由前n 项和公式21()22n d dS n a n =+-来确定n. 要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法. 要点二 ：等比数列判定一个数列是等比数列的常用方法 （1）定义法：1n na q a +=（q 是不为0的常数，n ∈N*）{}n a ⇔是等比数列； （2）通项公式法：nn a cq =（c 、q 均是不为0的常数n ∈N*）{}n a ⇔是等比数列； （3）中项公式法：212n n n a a a ++=⋅（120n n n a a a ++⋅⋅≠，*n N ∈）{}n a ⇔是等比数列.等比数列的主要性质：（1）通项公式的推广：n mn m a a q -=（2）若*()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a ⋅=⋅.特别，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=（3）等比数列{}n a 中若*m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等比数列.（4）公比为q （q ≠0）的等比数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等比数列。
高中数学数列知识点总结8篇
高中数学数列知识点总结8篇篇1一、数列的基本概念数列是一组按照一定顺序排列的数字的集合。
其中每一个数字称为项，第一项称为首项，最后一项称为末项。
数列的通项公式是用来表示数列中每一项的公式，如果存在的话。
此外，数列还有和的概念，即数列所有项的和。
二、等差数列等差数列是一种特殊的数列，任意两项的差都等于常数，这个常数被称为公差。
等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
等差数列的求和公式为：S = n/2 * (a1 + an)，其中S表示数列的和，n表示项数。
三、等比数列等比数列是一种每一项与它的前一项的比值都等于常数的数列。
这个常数被称为公比。
等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，q表示公比。
等比数列的求和公式较为复杂，需要根据公比q的值分别讨论。
四、数列的极限数列的极限是指当项数趋近于无穷大时，数列的项趋近于某一常数。
了解数列极限的概念对于理解数列的性质非常重要。
此外，还需要掌握一些与极限有关的性质，如夹逼准则等。
五、数列的应用数列在实际生活中有着广泛的应用。
例如，金融中的复利计算、物理学中的衰变问题等都可以转化为数列问题来解决。
在解决这些问题时，需要灵活运用数列的知识和方法。
此外，数列还与高等数学中的许多概念有着紧密的联系，如微积分、级数等。
因此，掌握数列的知识对于后续的学习和研究也有着重要的意义。
六、数列的题型与解题方法高中数学中，数列是一个重要的知识点，常常作为考试的重点内容。
在考试中，数列的题型多种多样，如填空题、选择题、解答题等。
常见的解题方法包括：利用通项公式求解、利用求和公式求解、利用等差或等比数列的性质求解、利用夹逼准则求解极限等。
在解题过程中，需要熟练掌握这些方法和技巧，并能够灵活运用。
七、总结与展望本文对高中数学中的数列知识点进行了全面的总结，包括基本概念、等差数列、等比数列、数列的极限以及应用等方面。
高中数列知识点总结总结
高中数列知识点总结总结一、数列的概念及性质1.1 数列的定义数列是按照一定顺序排列的数的序列。
数列中的每一个数称为这个数列的项。
数列通常用a1, a2, a3, ......, an表示。
1.2 数列的性质- 数列有限项和无穷项- 数列的项可以是实数或复数- 数列的任意项可以用下标来表示- 数列中的项是按照一定的规律排列的，这就是数列的定义二、数列的分类2.1 等差数列若一个数列的相邻项之间的差是一个常数，则这个数列称为等差数列。
这个常数称为公差，通常用d表示。
等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d等差数列的前n项和：Sn = (a1 + an)*n/22.2 等比数列若一个数列的相邻项之间的比是一个常数，则这个数列称为等比数列。
这个常数称为公比，通常用q表示。
等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)等比数列的前n项和：Sn = (a1*(1-q^n))/(1-q)2.3 菲波那契数列菲波那契数列是一个非常特殊的数列，它的定义是：F1=1，F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2(n>2)。
这个数列的通项公式比较复杂，但它的性质非常有趣，包括黄金分割比例等等。
三、数列的通项公式数列的通项公式是数列中每一项的一般表示形式。
对于等差数列来说，通项公式通常是一个关于n的线性函数；对于等比数列来说，通项公式则通常是一个指数函数。
通项公式的求解是数列问题中一个非常重要的问题，也是数列的一个基本性质。
四、数列求和在数列的学习中，求和也是一个非常重要的问题。
数列的求和通常要涉及到前n项和的计算，这是一个基本的数列问题。
对于等差数列和等比数列来说，求和公式是非常有用的，它们可以简化前n项和的计算。
通过求和，可以得到数列中所有项的总和，从而更好地理解数列的性质和规律。
五、数列的应用数列在现实生活和科学研究中有许多重要的应用，包括金融、物理、生物等等领域。
例如，利息计算、天文学中的天体运动、生物中的种群变化等等都可以用数列来进行建模和计算。
高一数学数列知识点总结
高一数学数列知识点总结一、数列的概念与表示数列是由按照一定顺序排列的一列数构成的数学对象。
通常用大写字母或数字来表示数列，如数列{a_n}表示数列的第n项为a_n。
数列可以是有限的，也可以是无限的，根据数列的项是否有规律，数列可以分为等差数列、等比数列、递推数列等。
二、等差数列等差数列是最常见的数列类型之一，它的每一项与前一项的差是一个常数，这个常数称为公差。
等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n - 1)d，其中a_1是首项，d是公差。
等差数列的前n项和公式为S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)。
等差数列的性质包括：1. 等差数列中，任意两项的差是相同的。
2. 如果一个等差数列的首项不为零，那么它的所有项的符号相同。
3. 等差数列的前n项和是关于n的二次函数。
三、等比数列等比数列是每一项与前一项的比值是一个常数的数列，这个常数称为公比。
等比数列的通项公式为a_n = a_1 * q^(n - 1)，其中a_1是首项，q是公比。
等比数列的前n项和公式为S_n = a_1(1 - q^n) / (1 - q)，当q的绝对值小于1时，S_n趋向于a_1/(1 - q)。
等比数列的性质包括：1. 等比数列中，任意两项的比值是相同的。
2. 如果公比q的绝对值小于1，那么等比数列的项会逐渐趋近于零。
3. 当公比q大于1时，等比数列的项会无限增大。
四、递推数列递推数列是指通过数列中前一项或前几项的关系来确定下一项的数列。
递推数列没有简单的通项公式，但可以通过递推公式来计算任意一项。
递推数列的例子包括斐波那契数列，其递推公式为a_n = a_(n-1) +a_(n-2)，其中a_1 = a_2 = 1。
递推数列的性质和特点：1. 递推数列的计算依赖于前面的项。
2. 递推关系可以复杂多变，需要通过具体的递推公式来分析。
3. 递推数列可能具有周期性或者无界性等特点。
五、数列的应用数列在数学和其他科学领域都有广泛的应用。
高一数学数列全章知识点
高一数学数列全章知识点数列是数学中比较重要的一个概念，它是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
在高一数学课程中，数列是一个重要的章节，它是以高中数学的理论与实践紧密结合的一门学科。
下面将介绍高一数学数列全章的知识点。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
我们用a表示首项，d表示公差。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项。
等差数列有以下几个重要的性质：1. 等差数列的前n项和公式为Sn=(a1+an)n/2。
通过将首项和末项相加，再乘以项数的一半可以得到数列的前n项和。
2. 相邻两项之和等于常数项，即an+an+1=常数。
这是等差数列的一个重要性质，它说明了等差数列中相邻两项的和是一个常数。
3. 若数列的首项、末项和公差已知，则可通过等差数列的前n项和公式求出项数n。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列。
我们用a 表示首项，q表示公比。
等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，其中an表示第n项。
等比数列有以下几个重要的性质：1. 等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
通过将首项乘以1与公比的n次方之差再除以1与公比之差可以得到数列的前n项和。
2. 相邻两项之比等于常数项，即an/an+1=常数。
这是等比数列的一个重要性质，它说明了等比数列中相邻两项的比值是一个常数。
3. 若数列的首项、末项和公比已知，则可通过等比数列的前n 项和公式求出项数n。
三、求和公式的推导除了等差数列和等比数列的求和公式外，我们还可以通过数学推导得到其他类型数列的求和公式。
如一个比较常见的例子是求和公式Sn=1^k+2^k+...+n^k，其中k为常数，n为项数。
我们可以通过写出Sn与Sn-1的差值来进行推导。
假设Sn-Sn-1=an，则Sn=an+Sn-1。
我们可以观察到，当n增加时，an的值具有一定的规律性。
通过观察可以得到以下结论：1. 若k=1，则an=n，所以Sn=n(n+1)/2。
高一数列归纳知识点总结
高一数列归纳知识点总结数列是高中数学中一个非常重要的概念，也是数学研究中的一个基本对象。
在高一阶段，数列的学习是数学学习的一个重要内容。
本文将从数列的定义、常见数列的特点以及数列的求和公式等方面进行归纳总结。
一、数列的定义与表示方法1. 数列的定义：数列是按照一定的顺序排列起来的数的集合，其中每个数称为数列的项。
2. 数列的表示方法：（1）通项公式表示法：数列可以通过一个解析式来表示，该解析式可以计算出数列中各项的具体数值。
（2）递推公式表示法：数列可以通过一个递推公式来表示，该递推公式利用前一项或前几项来递推求得后一项。
二、常见数列的特点与分类1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
常用通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
常用通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。
通常用F(n)表示第n项，前两项分别为F(1) = 1，F(2) = 1。
4. 平方数列：平方数列是指数列中每一项都是某个整数的平方的数列。
例如1，4，9，16，25，...5. 等差-等比混合数列：等差-等比混合数列是指数列中同时满足等差和等比条件的数列。
通常用an表示第n项，其通项公式为：an = a1 * r^(n-1) + (n-1)d。
三、数列的性质与求和公式1. 数列的有界性：数列可以是有界的，即存在一个上界或下界，也可以是无界的。
2. 数列的递增性与递减性：数列可以是递增的，即每一项都大于前一项，也可以是递减的，即每一项都小于前一项。
3. 奇数数列与偶数数列：数列中的奇数项或偶数项构成了两个新的数列，分别称为奇数数列和偶数数列。
4. 数列的求和公式：对于某些特殊的数列，可以通过递推或另外的方法得出它们的求和公式。
数列知识点总结高一
数列知识点总结高一数列是数学中非常重要的一个概念，高中数学中也有很多关于数列的考点和应用题。
本文将对高一数学学习中的数列知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和掌握数列的概念和性质。
一、数列的概念数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列中的每个数称为这个数列的项，用通项公式表示为An。
二、等差数列等差数列是指数列中的每一项与它前一项之差都相等的数列。
等差数列的通项公式为An = A1 + (n-1)d，其中A1为首项，d为公差，n为项数。
1. 等差中项公式对于等差数列，如果知道了首项和末项，可以用等差数列中项公式求解中间项。
它的公式为An = A1 + (n-1)d。
2. 等差数列的性质（1）前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn为前n项和，a1为首项，an为末项，n为项数。
（2）通项和前n项和的关系：可以通过前n项和公式推导得到通项公式An = A1 + (n-1)d，其中d = (an - a1) / (n-1)。
三、等比数列等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比值都相等的数列。
等比数列的通项公式为An = A1 * q^(n-1)，其中A1为首项，q为公比，n为项数。
1. 等比数列的性质（1）前n项和公式：Sn = (a1 * (q^n - 1)) / (q - 1)，其中Sn为前n项和，a1为首项，q为公比，n为项数。
（2）通项和前n项和的关系：可以通过前n项和公式推导得到通项公式An = A1 * q^(n-1)，其中q = (an / a1)^(1/(n-1))。
四、数列的应用数列在数学中有着广泛的应用，下面简要介绍一些常见的数列应用。
1. 等差数列的应用（1）求和问题：通过等差数列的前n项和公式，可以快速求解等差数列前n项的和，常用于计算问题。
（2）算术平均数问题：等差数列的项之间都有相等的差值，因此可以利用这个性质进行算术平均数的计算。
2. 等比数列的应用（1）求和问题：通过等比数列的前n项和公式，可以快速求解等比数列前n项的和，常用于计算问题。
高一数列复习讲义
数列复习讲义（一）知识点一、数列的概念1．数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．2．数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系．二、等差数列1相关公式：（1） 定义：),1(1为常数d n d a a n n ≥=-+（2） 通项公式：d n a a n )1(1-+=；d m n a a m n )(-+=（3） 前n 项和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2.等差数列}{n a 的一些性质（1）对于任意的整数s r q p ,,,，如果s r q p +=+，那么r q p a a a a +=+ （2）对于任意的正整数r q p ,,，如果q r p 2=+，则q r p a a a 2=+（3）n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等差数列三、等比数列1（1）定义：)0,1(1≠≥=+q n q a a nn （2）通项公式：11-=n n q a a ；m n m n q a a -=（3）前n 项和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==q 1)1(1q 11q q a na S n n 2.等比数列}{n a 的一些性质（1）对于任意的正整数s r q p ,,,,如果s r q p +=+，则r q p a a a a =（2）对于任意的正整数r q p ,,，如果r p q +=2，则2q r p a a a = (3)n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，当q ≠－1时，k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等比数列课前练习1．等差数列{}n a 满足4737a a =，且10a >，当前n 项和n S 最大时，n =2．等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1, a 3, a 9成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值是_________. 3．等比数列}{n a 中，已知5,1087654321-=+++=+++a a a a a a a a ，则数列}{n a 的前16项和S 16为________.4.设等差数列{}n a 中，21512841=+---a a a a a ， 133a a +=_____.S 15=______.5. 等比数列中，q ＝2，S 99=77， 9963a a a +++ =_______.例题例1． 设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，已知S 7=7，S 15=75，T ｎ为数列｛nS n ｝的前ｎ项和，求T n例2．在正项等比数列{}n a 中，400,60,364231>=+=n S a a a a ，求n 的范围例3 已知数列}{n a 的前n 项和1+n S =4n a +2(n ∈N ＋)，a 1=1.(1)设n b =1+n a －2n a ,求证：数列}{n b 为等比数列，(2)设C n =n n a 2,求证：}{n C 是等差数列．课后练习1.若数列{}n a 满足121,2,a a ==且()123n n n a a n a --=≥则2004a 为 2.已知数列{a n }满足a n +2=－a n （n ∈N *），且a 1=1，a 2=2，则该数列前2002项的和为___________.3.在数列{a n }中，a 1=3，且对任意大于1的正整数n ，点（n a ，1-n a ）在直线 x －y －3=0上，则a n =___________________4.在83和272之间插入三个数，使五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积是 ．5.数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-+1，则n a =6.数列{}n a 的前n 项积为2n ，则{}n a 的通项公式为_____________. 7.已知数列的通项公式为122+=n n a n （*n N ∈） (1)0.98是否是它的项？(2)求此数列的最小项8. 数列{a n }的前n 项和为S n =npa n （n ∈N *）且a 1≠a 2，（1）求常数p 的值；（2）证明：数列{a n }是等差数列.9.已知数列{a n }中，a 1=65且对任意非零自然数n 都有a n +1=31a n +（21）n +1.数列{b n }对任意非零自然数n 都有b n =a n +1－21a n . （1）求证:数列{b n }是等比数列；（2）求数列{a n }的通项公式.。
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2019年高一数列知识点总结
数列是高一数学的重点，以下是整理的高一数列知识点总结，欢迎参考阅读！
求数列通项公式常用以下几种方法：
一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。
例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2（n1），求该数列的通项公式an。
解：由an+1=an+2（n1）及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。
所以an=2n—1。
此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。
二、已知数列的前n项和，用公式
S1（n=1）
Sn—Sn—1（n2）
例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2—9n，第k项满足5
（A）9（B）8（C）7（D）6
解：∵an=Sn—Sn—1=2n—10，∴5<2k—10
此类题在解时要注意考虑n=1的情况。
三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的（二）方法求通项公式。
例：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn—1（n2），且a1=—，求数列{an}的通项公式。
解：∵an=SnSn—1（n2），而an=Sn—Sn—1，SnSn—1=Sn—Sn —1，两边同除以SnSn—1，得———=—1（n2），而—=—=—，∴{—}是以—为首项，—1为公差的等差数列，∴—=—，Sn=—，
再用（二）的方法：当n2时，an=Sn—Sn—1=—，当n=1时不适合此式，所以，
—（n=1）
—（n2）
四、用累加、累积的方法求通项公式
对于题中给出an与an+1、an—1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。
例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足（n+1）an+12—nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式
解：∵（n+1）an+12—nan2+an+1an=0，可分解为[（n+1）an+1—nan]（an+1+an）=0
又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an≠0，∴—=—，由此得出：—=—，—=—，—=—，…，—=—，这n—1个式子，将其相乘得：∴—=—，
又∵a1=1，∴an=—（n2），∵n=1也成立，∴an=—（n∈N*）
五、用构造数列方法求通项公式
题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有an（或Sn）的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an（或Sn）与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。
例：已知数列{an}中，a1＝2，an+1=（——1）（an+2），n=1，2，3，……
（1）求{an}通项公式（2）略
解：由an+1=（——1）（an+2）得到an+1——＝（——1）（an ——）
∴{an——}是首项为a1——，公比为——1的等比数列。
由a1＝2得an——=（——1）n—1（2——），于是an=（——1）n—1（2——）+—
又例：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an—3n+1（n∈N*），证明数列{an—n}是等比数列。
证明：本题即证an+1—（n+1）=q（an—n）（q为非0常数）
由an+1=4an—3n+1，可变形为an+1—（n+1）=4（an—n），又∵a1—1=1，
所以数列{an—n}是首项为1，公比为4的等比数列。
若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an—n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。
又例：设数列{an}的首项a1∈（0，1），an=—，n=2，3，4……（1）求{an}通项公式。
（2）略
解：由an=—，n=2，3，4，……，整理为1—an=——（1—an —1），又1—a1≠0，所以{1—an}是首项为1—a1，公比为——的等比数列，得an=1—（1—a1）（——）n—1。