全国中考测试题

函数零点讨论中的赋值问题

测试题:

1.讨论函数()e ln 1(R)x f x ax x x a =---∈的零点个数.

2.【2019济南一模】已知函数2()(1)ln (0)2

a f x x x x a =--+>. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1e a <<，试判断()f x 的零点个数.

测试题答案：

1. 解：令e 1()ln 1x g x a x x -=---，'2

(e 1)(1)()x x g x x --= '()0g x =，1x =

在(0,1)上，'()0g x <，()g x 单调递减，在(1,)+∞上，'

()0g x >，()g x 单调递增。 min ()(1)e 1g x g a ==--

当e 1a =-时，()g x 有唯一零点；

当e 1a <-时，()g x 没有零点；

当e 1a >-时，min ()(1)0g x g =<，(e )0a g >，(e )0a g ->，()g x 有两个零点。

综上：当e 1a =-时，()f x 有唯一零点；当e 1a <-时，()f x 没有零点；

当e 1a >-时，()f x 有两个零点。

2. 解：（1）'11()(1)1(1)(1)f x a x x ax x x

=--+=--. 当01a <<时，在(0,1)，1(,)a +∞上，'()0f x >，()f x 是增函数，在1(1,)a 上，'()0f x <，()f x 是减函数；

当1a =时，在(0,)+∞上，'()0f x >，()f x 是增函数；

当1a >时，在1(0,)a ，(1,)+∞上，'()0f x >，()f x 是增函数，在1(,1)a 上，'()0f x <，()f x 是减函数。 综上：略

（2）由（1）知，当1e a <<时，()f x 在1

(0,)a ，(1,)+∞上是增函数，在1(,1)a

上是减函数。 (1)1ln110f =-+=-<，

222111()(1)ln (1)ln 2ln 2222a f x x x x x x x x x x =

--+>---=-++ 212ln 2

x x x >-+，(4)88ln 40f >-+>。 211111()(1)ln 1ln 22

a a f a a a a a a =--+=--+- 1112022

a a a a a -<--+-=-+<。 所以()f x 只有一个零点。