暨南大学810高等代数2010--2020年考研专业课真题

招生专业与代码：070101基础数学、070102计算数学、070103概率论与数理统计、070104应用数学、070105运筹学与控制论
考试科目名称及代码：810高等代数（A卷）
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、（10分）设 为给定正整数， 为给定常数，计算对角线上元素均为 、其它位置元素均为1的 阶矩阵 的行列式 .
2证明 在某基下的矩阵是
六（15分）1设 ，证明秩 =秩 =秩 。
2设 是实对称矩阵， ，证明 。
七（15分）已知矩阵 是数域 上的一个 级方阵，如果存在 上的一个 级可逆方阵 ，使得 为对角矩阵，那么称 在 上可对角化。分别判断 能否在实数域上和复数域上可对角化，并给出理由。
八（16分）用 表示实数域 上次数小于4的一元多项式组成的集合，它是一个欧几里得空间，内积为 。设 是由零次多项式及零多项式组成的子空间，求 以及它上的一个基。
研究方向：各专业研究方向
考试科目名称：810高等代数
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分
一、判断下列命题的正误（只需回答“正确”或“错误”并将你的答案写在答题纸上，不需说明理由，每题2分，共20分）：
1唯一解，并求其解；
2无穷多解，给出解的表达式；
3无解。
四（15分）设
1求 的全部特征值；
2对 的每个特征值 ，求 的属于特征值 的特征子空间的维数和一组基；
3求正交矩阵 ，使 是对角矩阵，并给出此对角矩阵。
五（15分）设 是数域 上的一个n维线性空间 ，若有线性变换 与向量 使得 ，但 。
1证明 线性无关；
2020年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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招生专业与代码：070101基础数学、070102计算数学、070103概率论与数理统计、070104应用数学、070105运筹学与控制论
3设 是 中全体对称矩阵作成的数域 上的一个线性空间，则 的维数为，一组基为。
4给出 的两组基 和 ： ， 。则基 到 的过渡矩阵为。若线性变换 在基 下的矩阵为 ，则 在基 下的矩阵为。
5设 是数域 上的一个3维线性空间， 是 的一组基，若 上的一个线性函数 满足 ，则 =。（ ）
6已知方阵 的初等因子组为 ，则 的Jordan标准形是。
考试科目：共2页，第1页
6.（15分）设 ，证明 可逆当且仅当存在矩阵 ，使得 正定。
7.（15分）设矩阵 ，求正交矩阵 ，使 为对角形。
8.（15分）求矩阵 的初等因子与若尔当典范形。
9.（20分）记 ，对任一 ，定义 上的线性变换 为：对任意 ， 。假设 。试求： 的所有特征值以及与这些特征值相对应的特征向量。
二、（10分）设 证明：
三、（15分）设 是 阶方阵 的一个特征值， 证明：
四、（20分）设线性ห้องสมุดไป่ตู้程组
讨论参量 取何值时，上述方程则有唯一解？无解？有无穷多解？有解时写出所有解.
五、（20分）已知矩阵 求
的值，并求一正交矩阵
六、 (20分) 已知二次型 的秩为2. (1)求 的值;(2)求一正交变换，将其化为标准型.
考试科目：高等代数共页，第页
2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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学科、专业名称：数学学科、基础数学应用数学概率论与数理统计等专业
10.（20分）设 、 是 矩阵，且 （ 是 阶单位矩阵），且 ，证明： 不是可逆矩阵。
考试科目：共2页，第2页
2019年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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七、(15分)
，
定义线性变换
.
分别求
八、(10分)设3维线性空间V的线性变换 在基 下的矩阵为
证明：由 生成的子空间 是 的不变子空间.
九、（10分） 设 是n维实向量，且向量组 线性无关. 已知 是线性方程组
的非零解向量.试判断向量组 的线性相关性.
十、（10分）设n级方阵 两两可交换，且满足 .记 的解空间为 , 的解空间为 , 的解空间为 .证明 .
学科、专业名称：数学学科、基础数学应用数学概率论与数理统计等专业
研究方向：各专业研究方向
考试科目名称：810高等代数
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一填空题（共9小题44分，每空4分）
1 级行列式 等于____________。
2设 是一个 级方阵， 是 级单位矩阵，且 ，则 ______。
考试科目名称及代码：810高等代数（B卷）
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
1.（10分）证明：如果 ，则 ， 。
2.（10分）计算 阶行列式 。
3.（15分）求下列线性方程组的全部解,并写出对应齐次方程组的基础解系
。
4.（15分）设 为 阶方阵，证明：
。
5.（15分）设向量组 线性无关，向量组 线性相关。证明： 可以由向量组 线性表示。
十一、（10分） 证明n阶实对称矩阵 是正定的充分必要条件是：存在n阶可逆实对称矩阵 使得 .
科目：高等代数共3页，第3页
2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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7“代数基本定理”的内容是_______________。
8设 ， 都是 级正定矩阵，则 中为正定矩阵的是。
9正交矩阵的实特征值为。
二（15分）设 是数域 上的一个不可约多项式，若 |（ + ），且 | ，则 | 且 | 。其中 ， 是数域 上的多项式。
三（15分）线性方程组 当 为何值时方程组有：