2012年研究生考试真题

6.
考
虑
两个关在一维无穷深势阱V
(x)

0; ;
0 x a （ a 为正常数）
x 0, x a
中，并以接触势V (x1, x2) d (x1 x2) (d 1) 相互作用的全同中子系统。
1） 以接触势为微扰，求出其零级近似归一化波函数（考虑自旋态）的形式；
2） 求准确到 d 的一次方的近似基态能量。
间的相互作用，请写出该体系的基态和第一激发态的能级公式。
5） 两个力学量算符 Aˆ, Bˆ ，如果它们的对易子[Aˆ, Bˆ]是个不等于零的常量，它们是否有
可能有共同本征态？如果对易子是个算符，情况又如何？
6）电子在沿 z 方向的均匀磁场中运动，体系哈密顿量为H 1 pˆ 2 eEz ，试判断下列
0 0的一段圆弧上运动，即
V



0,0 ,0


0 2
1 ） 求解粒子的能量本征值和本征函数；
2 ） 设粒子处在上述情形的基态，现突然撤去“路障”，问撤去“路障”后，粒子仍然
处在最低能量态的几率是多少？
（本题 20 分）
提示：在柱坐标系下
2u

1 r
（本题 15 分）第Fra bibliotek页5. 在 (Jˆ 2, Jˆz ) 表象中， j 1的三个基矢量张成维数为三的子空间，试求： 1） Jˆx 在此三维子空间中的矩阵表示 Jx ； 2）求出 Jx 的本征值与本征态； 3）求出从 Jˆz 表象到 Jˆx 表象的变换矩阵，并将矩阵 Jx 对角化。 （本题 20 分） 提示： Jˆ j, m ( j m)( j m 1) j, m 1
1 ） 为什么作为力学量的算符必须要求是线性的、厄密的？
2） 两个非全同粒子处于态 x1, x2 ，写出一个粒子处于(x1, x1) 之间，另一个粒子处于
(x2 , x2) 之间的几率。 3 ） 什么是定态？什么是束缚态？
4） 五个质量为 m 的粒子被限制在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，不考虑它们之
sin 1 cos 2 ，其中θ是混合角。某体系中在 t = 0 时，中微子处于态 e ，
求：
1） t 时刻中微子所处的状态；
2） t 时刻中微子处于 的概率。
（本题 20 分）
4. 一维谐振子的湮灭算符aˆ 的本征方程可表示为 aˆ ，其中本征值 为复数， 可以表示为谐振子能量本征态 n 的相干叠加，试求出该归一化态 的表示形式。
（本题 15 分）
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r

r
u r


1 r2
2u 2

2u z 2
。
3. 已知中微子的两种本征态为 1
和 2
，能量本征值分别为 Ei
pc mi2c4 pc
（其中
i
=1, 2）， 电子 中 微 子的 本 征态 为 e cos 1 sin 2 ， μ 子 中 微子 的 本 征态 为
2m
量中，哪些是体系守恒量： pˆ x , pˆ y , pˆz , pˆ 2,lˆx ,lˆy ,lˆz 。
7） 在sˆ2, sˆz 表象中，写出 sˆx , sˆy 的矩阵表示，并说明是否可以找到这样一个表象，使
得 sˆx, sˆy , sˆｚ 在该表象中的矩阵表示均为实矩阵（所有矩阵元均为实数），并说明理由。
华东师范大学 2012 年攻读硕士学位研究生入学试题
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考试科目代码及名称：622 量子力学
招生专业(领域)名称：凝聚态物理、理论物理、光学、无线电物理、纳米物理学、生物物理学
考生注意： 无论以下试题中是否有答题位置，均应将答案做在考场另发的答题纸上（写明题号）。
1. 简答题（每小题 6 分，共 60 分）
8）
试将
I ˆx iˆ y
1 2
表示成
I
, ˆ x
,ˆ
y
, ˆ z
的线性叠加，
I
为单位算符。
9） 简述碱金属原子光谱双线结构的产生原因。
1 0 ）试比较微扰论与变分法在处理近似计算问题时的各自优劣特点。
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2. 质量为 m 的粒子被约束在半径为 r 的圆周上运动，设立“路障”进一步限制粒子在