安徽省黄山市屯溪一中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷 (有解析)
2019-2020学年安徽省黄山市“八校联盟”高二上学期期中数学试题(解析版)
， 为等边三角形，
设 的外接圆圆心为点 ，连接 ，则 ，且 ，
由中位线的性质可知点 为 的中点， 为圆 的一条直径，
所以， ，由圆的内接四边形的性质可知， ，
，由正弦定理可得 ，
，因此，球 的表面积为 ，故答案为： .
【点睛】
本题考查多面体的外接球表面积的计算，解题时要充分分析多边形的形状，找出球心的位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
【答案】 或5
【解析】由点到直线的距离公式进行解答，即可求出实数a的值．
【详解】
点（1，a）到直线x﹣y+1＝0的距离是 ，
∴ ；
即|a﹣2|＝3，
解得a＝﹣1，或a＝5，
∴实数a的值为﹣1或5．
故答案为：﹣1或5．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离公式的应用问题，解题时应熟记点到直线的距离公式，是基础题．
【点睛】
本题考查的知识点是斜二侧画法，三角形形状的判断，解答的关键是斜二侧画法还原 在直角坐标系的图形．
6．圆台的两个底面面积之比为 ，母线与底面的夹角是 ，轴截面的面积为 ，则圆台的母线长 ()
A． B． C． D．12
【答案】D
【解析】设圆台的上底面半径为 ，根据面积比可知下底面半径为 ；利用圆台的轴截面面积构造关于 的方程，求得 后，利用 即可得到结果.
【详解】
对于A，由正方体的特征可得 平面 即 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 ，故A正确；
对于B，由正方体特征可得 平面 ， ，所以 ，由 可得 平面 ，则 ，故B正确；
对于C，由 且 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，所以点 到平面 的距离为定值，由 为定值可得 为定值，故C正确；
2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高二(上)期中数学试卷试题及答案(Word解析版)
2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高二（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知两条直线1:(1)210l a x y -++=，2:30l x ay ++=平行，则(a = ) A ．1-B ．2C ．0或2-D ．1-或22．如图所示，在斜三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ⊥，则1C 在面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上B ．直线BC 上C ．直线CA 上D ．ABC ∆内部3．设b 、c 表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是( ) A ．若b α⊂，//c α，则//b c B ．若b α⊂，//b c ，则//c αC ．若//c α，αβ⊥，则c β⊥D ．若//c α，c β⊥，则αβ⊥4．已知直线m 、n ，平面α、β，给出下列命题 ①若m α⊥，n β⊥且m n ⊥，则αβ⊥ ②若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ ③若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥ ④若m α⊥，//n β，且//m n ，则αβ⊥ 其中正确的命题是( ) A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③5．直线l 经过点(1,2)A ，在x 轴上的截距的取值范围是(3,3)-，则其斜率的取值范围是( ) A ．1(1,)5-B ．(-∞，11)(,)2-+∞ C ．(-∞，11)(,)5-+∞ D ．1(,)(12-∞⋃，)+∞6．给出下面四个命题：其中正确的命题是( )①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行③对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行 ④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等 A ．②③B ．②④C ．①②③D ．①②④7．已知l αβ--是大小确定的一个二面角，若a ，b 是空间两条直线，则能使a ，b 所成的角为定值的一个条件是( ) A ．//a α且//b βB ．//a α且b β⊥C ．a α⊥且//b βD ．a α⊥且b β⊥8．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是( )A ．1BC D 9．若二面角l αβ--的大小为56π，直线m α⊥，直线n β⊂，则直线m 与n 所成的角取值范围是( ) A ．(0,)2πB ．[,]32ππC ．[,]62ππD ．[,]63ππ10．正方体1111ABCD A B C D -的棱上到异面直线AB ，1CC 的距离相等的点的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．511．（理)如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角的大小是( )A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒12．某几何体的三视图如图所示，当a b +取最大值时，这个几何体的体积为( )A ．16B ．13C ．23D ．12二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设a ，b ，c 分别是ABC ∆中A ∠、B ∠、C ∠所对边的边长，则直线sin 0x A ay c ++=与sin sin 0bx y B C -+=的位置关系是 ．14．（理)点(1,1)A 到直线cos sin 20x y θθ+-=的距离的最大值是 ．15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点E 为1AA 的中点，在对角面11BB D D 上取一点M ，使AM ME +最小，其最小值为 ．16．如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线，其中真命题的编号是 ．（写出所有真命题的编号）三．解答题（本大题共有6小题，总分70分） 17．设直线l 的方程为(1)20()a x y a a R +++-=∈． （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； （2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．18．有一个倒置圆锥，它的轴截面是一个正三角形，容器内放一个半径为R 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器内水的深度．19．如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=︒，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （1）求证：PC AB ⊥．（2）求二面角B AP C --的正弦值．20．如图，已知，在空间四边形ABCD 中，BC AC =，AD BD =，E 是AB 的中点． （1）求证：平面CDE ⊥平面ABC ；（2）若3AB DC ==，5BC =，4BD =，求几何体ABCD 的体积；（3）若G 为ADC ∆的重心，试在线段AB 上找一点F ，使得//GF 平面CDE ．21．如图，四棱锥P ABCD-的底面是菱形，PO⊥底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，6BAD∠=︒．AP=，60AB=，5（1）求证：平面PAC⊥平面POE；（2）求直线PB与平面POE所成角的正弦值；（3）若F是边DC的中点，求异面直线BF与PA所成角的余弦值．22．如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE∆是等腰直角三角形，AB AE=，FA FE=，45∠=︒．AEF（1）求证：EF⊥平面BCE；（2）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PMP平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（3）求二面角F BD A--的正切值．2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知两条直线1:(1)210l a x y -++=，2:30l x ay ++=平行，则(a = ) A ．1-B ．2C ．0或2-D ．1-或2【解答】解：因为直线1:(1)210l a x y -++=的斜率存在， 又12//l l ， ∴112a a-=--， 1a ∴=-或2a =，两条直线在y 轴是的截距不相等，所以1a =-或2a =满足两条直线平行． 故选：D ．2．如图所示，在斜三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ⊥，则1C 在面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上B ．直线BC 上C ．直线CA 上D ．ABC ∆内部【解答】解：1CA AB CA CA BC ⊥⎧⎫⇒⊥⎨⎬⊥⎩⎭面1ABC⇒面ABC ⊥面1ABC ，∴过1C 在面ABC 内作垂直于平面ABC ，垂线在面1ABC 内，也在面ABC 内， ∴点H 在两面的交线上，即H AB ∈．故选：A ．3．设b 、c 表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是( )A ．若b α⊂，//c α，则//b cB ．若b α⊂，//b c ，则//c αC ．若//c α，αβ⊥，则c β⊥D ．若//c α，c β⊥，则αβ⊥【解答】解：A 选项不正确，因为线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面； B 选项不正确，因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行； C 选项不正确，因为两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；D 选项正确，因为线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直．故选：D ．4．已知直线m 、n ，平面α、β，给出下列命题 ①若m α⊥，n β⊥且m n ⊥，则αβ⊥ ②若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ ③若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥ ④若m α⊥，//n β，且//m n ，则αβ⊥ 其中正确的命题是( ) A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③【解答】解：①若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，由面面垂直的判定定理可得αβ⊥，因此正确；②若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ或相交，因此不正确； ③若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则//αβ也可能相交，因此不正确；④若m α⊥，//n β，且//m n ，利用面面垂直的判定定理可得αβ⊥，因此正确． 综上可知：只有①④正确． 故选：C ．5．直线l 经过点(1,2)A ，在x 轴上的截距的取值范围是(3,3)-，则其斜率的取值范围是( ) A ．1(1,)5-B ．(-∞，11)(,)2-+∞ C ．(-∞，11)(,)5-+∞ D ．1(,)(12-∞⋃，)+∞【解答】解：因为直线l 过点(1,2)A ，在x 轴上的截距取值范围是(3,3)-， 所以直线端点的斜率分别为：20113-=--，201132-=+， 如图：所以12k >或1k <-． 故选：B ．6．给出下面四个命题：其中正确的命题是( )①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行 ③对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行 ④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等 A ．②③B ．②④C ．①②③D ．①②④【解答】解：对于①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条，当90θ=︒时有且只有一条．故错误．②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行，正确；③对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行，有时过一条线上的点就不存在这样的平面，故错误．④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等，正确． 故选：B ．7．已知l αβ--是大小确定的一个二面角，若a ，b 是空间两条直线，则能使a ，b 所成的角为定值的一个条件是( ) A ．//a α且//b βB ．//a α且b β⊥C ．a α⊥且//b βD ．a α⊥且b β⊥【解答】解：如图，若a α⊥且b β⊥，过A 分别作直线a 、b 的平行线，交两平面α、β分别为C 、B 设平面ABC 与棱l 交点为O ，连接BO 、CO易知四边形ABOC 四点共面 BOC ∴∠与BAC ∠互补l αβ--是大小确定的一个二面角，而BOC ∠就是它的平面角，BOC ∴∠是定值，BAC ∴∠也是定值即a ，b 所成的角为定值 故选：D ．8．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是( )A ．1BC D 【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．因此可知：A ，B ，D 1<，故C 不可能． 故选：C ．9．若二面角l αβ--的大小为56π，直线m α⊥，直线n β⊂，则直线m 与n 所成的角取值范围是( ) A ．(0,)2πB ．[,]32ππC ．[,]62ππD ．[,]63ππ【解答】解：由二面角l αβ--的大小为56π，直线m α⊥，得m 与β所成的角的大小为3π， 于是β所在平面内的直线与m 所成的角的最小值为3π，而最大值为2π．故选：B ．10．正方体1111ABCD A B C D -的棱上到异面直线AB ，1CC 的距离相等的点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：如图：正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别是BC 和11A D 的中点，连接AF 和1FC ，根据正方体的性质知，1BB AB ⊥，111C C B C ⊥，故1B 到异面直线AB ，1CC 的距离相等， 同理可得，D 到异面直线AB ，1CC 的距离相等，又有AB BC ⊥，1C C BC ⊥，故E 到异面直线AB ，1CC 的距离相等，F 为11A D 的中点，易计算1FA FC =，故F 到异面直线AB ，1CC 的距离相等，共有4个点． 故选：C ．11．（理)如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角的大小是( )A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒【解答】解：设三棱柱111ABC A B C -的棱长等于2，延长1MC 到N 使1MN BB =，连接AN ，则1//MN BB ，1MN BB =，∴四边形1BB NM 是平行四边形，可得1//B N BM因此，1AB N ∠（或其补角）就是异面直线1AB 和BM 所成角Rt △11B C N 中，112B C =，11C N =，1B N ∴=Rt ACN ∆中，2AC =，3CN =，AN ∴=又正方形11AA B B 中，1AB =∴△1AB N 中，1cos 0AB N ∠==，可得190AB N ∠=︒即异面直线1AB 和BM 所成角为90︒ 故选：A ．12．某几何体的三视图如图所示，当a b +取最大值时，这个几何体的体积为( )A ．16B ．13C ．23D ．12【解答】解：如图所示，可知AC =1BD =，BC b =，AB a =．设CD x =，AD y =，则226x y +=，221x b +=，221y a +=，消去2x，2y得222()82a ba b++=…，所以()4a b+…，当且仅当2a b==时等号成立，此时x=y=所以1111322V=⨯⨯=．故选：D．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设a，b，c分别是ABC∆中A∠、B∠、C∠所对边的边长，则直线sin0x A ay c++=与sin sin0bx y B C-+=的位置关系是垂直．【解答】解：两直线的斜率分别为sin Aa-和sinbB，ABC∆中，由正弦定理得2sin sina bRA B==，R为三角形的外接圆半径，∴斜率之积等于sin121sin2A bRa B R-⨯=⨯=--，故两直线垂直，故答案为：垂直．14．（理)点(1,1)A到直线cos sin20x yθθ+-=的距离的最大值是2+【解答】解：由点到直线的距离公式可得，)2|24dπθ==+-…故答案为：2+15．如图，正方体1111ABCD A B C D-的棱长为a，点E为1AA的中点，在对角面11BB D D上取一点M，使AM ME+最小，其最小值为2．【解答】解：取1CC的中点F，则ME MF=，32AM ME AM MF AF a∴+=+==…故答案为：32a16．如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线，其中真命题的编号是 ①③④ ．（写出所有真命题的编号）【解答】解：①1//BC 平面1ACD ，1//BC ∴上任意一点到平面1AD C 的距离相等，所以体积不变，正确．②P 在直线1BC 上运动时，直线AB 与平面1ACD 所成角和直线1AC 与平面1ACD 所成角不相等，所以不正确．③当P 在直线1BC 上运动时，AP 的轨迹是平面1PAD ，即二面角1P AD C --的大小不受影响，所以正确．④空间中到点D 和1C 距离相等的点的轨迹是线段1DC 的中垂面，又点M 在面1111A B C D 内，则点M 的轨迹是面1111A B C D 与 线段1DC 的中垂面的交线，即1AD ，所以正确． 故答案为：①③④三．解答题（本大题共有6小题，总分70分） 17．设直线l 的方程为(1)20()a x y a a R +++-=∈． （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； （2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）若20a -=，解得2a =，化为30x y +=． 若10a +=，解得1a =-，化为30y +=，舍去． 若1a ≠-，2，化为：1221x y a a a +=--+，令221a a a -=-+，化为11a +=，解得0a =， 可得直线l 的方程为：20x y ++=．综上所述直线l 的方程为：20x y ++=或30x y +=； （2）(1)2y a x a =-++-， l 不经过第二象限，∴(1)020a a -+⎧⎨-⎩……， 解得：1a -…．∴实数a 的取值范围是(-∞，1]-．18．有一个倒置圆锥，它的轴截面是一个正三角形，容器内放一个半径为R 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器内水的深度．【解答】解：如图．在容器内注入水，并放入一个半径为R 的铁球，这时水面记为AB ， 将球从圆锥内取出后，这时水面记为EF ． 三角形PAB 为轴截面，是正三角形，三角形PEF 也是正三角形，圆O 是正三角形PAB 的内切圆． 由题意可知，DO CO R ==，2AO R OP ==，AC =， V ∴球343R π=，未取出小于时，圆锥的体积，即231)333V V R R ππ+=⋅=水球，又设HP h =，则EH =231)39V h h ππ∴=⋅=水，则3334393h R R πππ+=，h ∴=19．如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=︒，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （1）求证：PC AB ⊥．（2）求二面角B AP C --的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB 中点D ，连接PD ，CD ．AP BP =，PD AB ∴⊥．CA CB =，CD AB ∴⊥． PDCD D =，AB ∴⊥平面PCD ．PC ⊂平面PCD ，PC AB ∴⊥．（Ⅱ）AC BC =，PA PAB =，APC BPC ∴∆≅∆，又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥．又90ACB ∠=︒，即AC BC ⊥，且AC PC C =，BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ，连接BE ，CE ．BA BP =，BE AP ∴⊥．EC 是BE 在平面PAC 内的射影，CE AP ∴⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．在BCE ∆中，90BCE ∠=︒，2BC =，BE AB ==，sin BC BEC BE ∴∠==．∴二面角B AP C --20．如图，已知，在空间四边形ABCD 中，BC AC =，AD BD =，E 是AB 的中点． （1）求证：平面CDE ⊥平面ABC ；（2）若3AB DC ==，5BC =，4BD =，求几何体ABCD 的体积；（3）若G 为ADC ∆的重心，试在线段AB 上找一点F ，使得//GF 平面CDE ．【解答】解：（1）证明：BC AC =，E 为AB 的中点， AB CE ∴⊥．又AD BD =，E 为AB 的中点AB DE ∴⊥． DECE E =AB ∴⊥平面DCE AB ⊂平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC ．（2）在BDC ∆中，3DC =，5BC =，4BD =， CD BD ∴⊥，在ADC ∆中，3DC =，4AD BD ==，5AC BC ==， CD AD ∴⊥，AD BD D CD =∴⊥平面ABD ．所以线段CD 的长是三棱锥C ABD -的高又在ADB ∆中，DE ==11553553332C ABD V -∴==（3）在AB 上取一点F ，使2AF FE =，则可得//GF 平面CDE 取DC 的中点H ，连AH 、EH G 为ADC ∆的重心，G ∴在AH 上，且2AG GH =，连FG ，则//FG EH又FG ⊂/平面CDE ，EH ⊂平面CDE ， //GF ∴平面CDE21．如图，四棱锥P ABCD -的底面是菱形，PO ⊥底面ABCD ，O 、E 分别是AD 、AB 的中点，6AB =，5AP =，60BAD ∠=︒． （1）求证：平面PAC ⊥平面POE ；（2）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值；（3）若F 是边DC 的中点，求异面直线BF 与PA 所成角的余弦值．【解答】（1）证明：四棱锥P ABCD -的底面是菱形， AC BD ∴⊥，又O ，E 分别是AD 、AB 的中点， //OE BD ∴， OE AC ∴⊥， PO ⊥底面ABCD ， AC ⊂面ABCD ，PO AC ∴⊥，又OE OP O =，AC ∴⊥平面POE ，又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面POE ．（2）解：过点B 作BM OE ⊥ 于M ，易证PO BM ⊥，OE ，OE OP O =，BM ∴⊥平面POE ，PM ∴ 是PB 在平面POE 上的射影，BPM ∠ 即为所求．四边形ABCD 是菱形， E 是AB 中点， 116322BE AE AB ∴====， 又底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒， AOE ∴∆是等边三角形， 60AEO BEM ∴∠=∠=︒，BM ∴=又5AP =，3OA =，∴在直角三角形POA 中得4OP ==，在直角三角形POB 中，OB =，4OP =，PB ∴==，∴在Rt PMB ∆中，BM =PB =，所以sin BM BPM PB ∠==； （3）解：取PB 的中点T ，AB 的中点H ，连BF ，DH ，TH ．易证//DH BF ，//TH PA DHT ∴∠ 即为异面直线BF 与PA 所成角或其补角，在三角形PDB 中，5PD =，6DB =，PB = 222cos2PD PB DB BPD PD PB +-∠===在三角形PDT 中，2224379 2cos25543441043DT PD PT PD PT BPD=+-∠=+-=，所以DT=在DHT∆中，DH=，52HT=，DT=222cos2522332HT DH DTDHTHT DH+-∠===，tan DHT∠=．22．如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE∆是等腰直角三角形，AB AE=，FA FE=，45AEF∠=︒．（1）求证：EF⊥平面BCE；（2）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PMP平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（3）求二面角F BD A--的正切值．【解答】（1）证明：因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，平面ABEF⋂平面- 21 - ABCD AB =，所以BC ⊥平面ABEF ，所以BC EF ⊥．因为ABE ∆为等腰直角三角形，AB AE =，所以45AEB ∠=︒ 又因为45AEF ∠=︒，所以90FEB ∠=︒，即EF BE ⊥，因为BC BE B =，所以EF ⊥平面BCE ．（2）解：存在点M ，当M 为线段AE 的中点时，//PM 平面BCE ． 取BE 的中点N ，连接CN ，MN ，PM ，则MN 平行且等于12AB 平行且等于PC ， 所以PMNC 为平行四边形，所以//PM CN ，因为CN 在平面BCE 内，PM 不在平面BCE 内，所以//PM 平面BCE ；（3）解：由EA AB ⊥，平面ABEF ⊥平面ABCD ，易知，EA ⊥平面ABCD ， 作FG AB ⊥，交BA 的延长线于G ，则//FG EA ，从而，FG ⊥平面ABCD ， 作GH BD ⊥于G ，连结FH ，则由三垂线定理知，BD FH ⊥，因此，AEF ∠为二面角F BD A --的平面角． 因为FA FE =，45AEF ∠=︒，所以90AFE ∠=︒，45FAG ∠=︒． 设1AB =，则1AE =，AF =，1sin 2FG AF FAG =∠= 在Rt FGH ∆中，45GBH ∠=︒，13122BG AB AG =+=+=，3232sin 2GH BG GBH =∠== 在Rt FGH ∆中，tan FG FHGGH ==，故二面角F BD A --．。
安徽省黄山市屯溪第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
2020-2021高二上学期第一学期期中考试数学（文理共卷）班级_________ 姓名__________学号___________
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的周长是()
A. 6cm
B. 8cm
C. (2+3√2)cm
D. (2+2√3)cm
2.已知直线l：y=−tan π
7
x+1，则该直线的倾斜角为()
A. π
7B. −π
7
C. 6π
7
D. 8π
7
3.若在直线y=−2上有一点P，它到点A(−3,1)和B(5,−1)的距离之和最小，则该最小值为()
A. 2√5
B. 5√2
C. 4√5
D. 10√2
4.已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别
是BC，CD上的点，且CG=1
3BC，CH=1
3
DC，则直线FH与直线EG()
A. 平行
B. 相交
C. 异面
D. 垂直
5.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积和表面积分别为()
A. 4
3π，(3+√2)π B. 2
3
π，(4+√2)π
C. 4
3π，(4+√2)π D. 2
3
π，(3+√2)π
6.已知直线l1：x+my+1=0和l2：mx+4y+2=0互相平行，则实
数m的值为()
A. −2
B. 2
C. ±2
D. 2或4
7.在下列条件中，可判断平面α与β平行的是()
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2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高二(上)期中数学试卷
2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高二（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知两条直线l1：(a−1)x+2y+1=0，l2:x+ay+3=0平行，则a=()A.−1B.2C.0或−2D.−1或2【答案】D【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】由两直线平行，且直线的斜率存在，所以，他们的斜率相等，解方程求a．【解答】解：因为直线l1：(a−1)x+2y+1=0的斜率存在，又∵l1 // l2，∴a−1−2=−1a，∴a=−1或a=2，两条直线在y轴的截距不相等，所以a=−1或a=2满足两条直线平行．故选D．2. 如图所示，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC＝90∘，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A.直线AB上B.直线BC上C.直线CA上D.△ABC内部【答案】A【考点】平面与平面垂直棱柱的结构特征【解析】如图，C1在面ABC上的射影H必在两个相互垂直平面的交线上，所以证明面ABC⊥面ABC1就可以了．【解答】{CA⊥ABCA⊥BC1}⇒CA⊥面ABC1⇒面ABC⊥面ABC1，∴过C1在面ABC内作垂直于平面ABC，垂线在面ABC1内，也在面ABC内，∴点H在两面的交线上，即H∈AB．3. 设b、c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是（）A.若b⊂α，c // α，则b // cB.若b⊂α，b // c，则c // αC.若c // α，α⊥β，则c⊥βD.若c // α，c⊥β，则α⊥β【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】由题设条件，对四个选项逐一判断即可，A选项用线线平行的条件进行判断；B选项用线面平行的条件判断；C选项用线面垂直的条件进行判断；D选项用面面垂直的条件进行判断，【解答】A选项不正确，因为线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面；B选项不正确，因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行；C选项不正确，因为两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；D选项正确，因为线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直．4. 已知直线m、n，平面α、β，给出下列命题①若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β②若m // α，n // β，且m // n，则α // β③若m⊥α，n // β，且m⊥n，则α⊥β④若m⊥α，n // β，且m // n，则α⊥β其中正确的命题是（）A.①②B.③④C.①④D.②③【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】①利用面面垂直的判定定理即可判断出；②利用线线、线面平行的判定与性质即可得出；③利用线面平行于垂直的判定与性质定理即可得出；④利用面面垂直的判定定理即可得出．【解答】①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，因此正确；②若m // α，n // β，且m // n，则α // β或相交，因此不正确；③若m⊥α，n // β，且m⊥n，则α // β也可能相交，因此不正确；④若m⊥α，n // β，且m // n，利用面面垂直的判定定理可得α⊥β，因此正确．综上可知：只有①④正确．5. 直线l经过点A(1, 2)，在x轴上的截距的取值范围是(−3, 3)，则其斜率的取值范围是（）)A.(−1, 15,+∞)B.(−∞, −1)∪(12C.(−∞, −1)∪(15,+∞)D.(−∞,12)∪(1, +∞)【答案】B【考点】直线的截距式方程【解析】直接利用直线斜率公式求出两个端点的斜率，即可得到结果．【解答】因为直线l过点A(1, 2)，在x轴上的截距取值范围是(−3, 3)，所以直线端点的斜率分别为：2−01−3=−1，2−01+3=12，如图：所以k>12或k<−1．6. 给出下面四个命题：其中正确的命题是（）①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行③对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等A.②③B.②④C.①②③D.①②④【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】直接利用线面平行的判定和性质的应用，异面直线的应用求出结果．【解答】对于①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条，当θ＝90∘时有且只有一条．故错误．②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行，正确；③对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行，有时过一条线上的点就不存在这样的平面，故错误．④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等，正确．7. 已知α−l−β是大小确定的一个二面角，若a，b是空间两条直线，则能使a，b所成的角为定值的一个条件是（）A.a // α且b // βB.a // α且b⊥βC.a⊥α且b // βD.a⊥α且b⊥β【答案】D【考点】异面直线及其所成的角【解析】采用直接法，证明若a⊥α且b⊥β，则a，b所成的角为定值，方法是将直线平移到一个平面内，利用二面角的定义和线线角的定义证明两角互补【解答】如图，若a⊥α且b⊥β，过A分别作直线a、b的平行线，交两平面α、β分别为C、B设平面ABC与棱l交点为O，连接BO、CO易知四边形ABOC四点共面∴∠BOC与∠BAC互补∵α−l−β是大小确定的一个二面角，而∠BOC就是它的平面角，∴∠BOC是定值，∴∠BAC也是定值即a，b所成的角为定值8. 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A.1B.√2C.√2−12D.√2+12【答案】C【考点】简单空间图形的三视图【解析】此题暂无解析【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为√2．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的取值范围为[1,√2]．因此可知，A，B，D均有可能，而√2−12<1，故C不可能．故选C．9. 若二面角α−l−β的大小为5π6，直线m⊥α，直线n⊂β，则直线m与n所成的角取值范围是（）A.(0,π2) B.[π3,π2] C.[π6,π2] D.[π6,π3]【答案】B【考点】异面直线及其所成的角【解析】根据二面角的平面角大小可知m与β所成的角的大小，考虑特殊位置可得β所在平面内的直线与m所成角，从而求出所求．【解答】由二面角α−l−β的大小为5π6，直线m⊥α，得m与β所成的角的大小为π3，于是β所在平面内的直线与m所成的角的最小值为π3，而最大值为π2．10. 正方体ABCD−A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【考点】简单组合体的结构特征点、线、面间的距离计算【解析】画出正方体，结合正方体中线面、线线垂直，先找定点、再找棱的中点，找出符合条件的所有的点．【解答】解：如图：正方体ABCD−A1B1C1D1，E、F分别是BC和A1D1的中点，连接AF和FC1，根据正方体的性质知，BB1⊥AB，C1C⊥B1C1，故B1到异面直线AB，CC1的距离相等，同理可得，D到异面直线AB，CC1的距离相等，又有AB⊥BC，C1C⊥BC，故E到异面直线AB，CC1的距离相等，F为A1D1的中点，易计算FA=FC1，故F到异面直线AB，CC1的距离相等，共有4个点．故选C．11. （理）如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是( )A.90∘B.60∘C.45∘D.30∘【答案】A【考点】异面直线及其所成的角【解析】设三棱柱ABC−A1B1C1的棱长等于2，延长MC1到N使MN=BB1，连接AN．可得∠AB1N（或其补角）就是异面直线AB1和BM所成角，然后在△AB1N中分别算出三条边的长，利用余弦定理得cos∠AB1N=0，可得∠AB1N=90∘，从而得到异面直线AB1和BM所成角．【解答】解：设三棱柱ABC−A1B1C1的棱长等于2，延长MC1到N使MN=BB1，连接AN，B1N.∵MN // BB1，MN=BB1，∴四边形BB1NM是平行四边形，可得B1N // BM.因此，∠AB1N（或其补角）就是异面直线AB1和BM所成角.∵Rt△B1C1N中，B1C1=2，C1N=1，∴B1N=√5.∵Rt△ACN中，AC=2，CN=3，∴AN=√13.又∵正方形AA1B1B中，AB1=2√2，∴△AB1N中，cos∠AB1N=2×√5×2√2=0，可得∠AB1N=90∘.即异面直线AB1和BM所成角为90∘.故选A.12. 某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积为（）A.1 6B.13C.23D.12【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】三视图复原几何体是长方体的一个角，设出棱长，利用勾股定理，基本不等式，求出最大值．【解答】如图所示，可知AC=√6，BD＝1，BC＝b，AB＝a．设CD＝x，AD＝y，则x2+y2＝6，x2+1＝b2，y2+1＝a2，消去x2，y2得a2+b2＝8≥(a+b)22，所以(a+b)≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，此时x=√3，y=√3，所以V=13×12×1×√3×√3=12．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）设a，b，c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c＝0与bx−ysinB+sinC＝0的位置关系是________．【答案】垂直【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】先由直线方程求出两直线的斜率，再利用正弦定理化简斜率之积等于−1，故两直线垂直．【解答】两直线的斜率分别为sinA−a 和bsinB，△ABC中，由正弦定理得asinA =bsinB=2R，R为三角形的外接圆半径，∴斜率之积等于sinA−a ×bsinB=−12R×2R＝−1，故两直线垂直，（理）点A(1, 1)到直线xcosθ+ysinθ−2＝0的距离的最大值是________．【答案】2+√2【考点】同角三角函数间的基本关系点到直线的距离公式两角和与差的三角函数正弦函数的定义域和值域【解析】先由点到直线的距离求得距离模型，再由三角函数的辅助角公式及三角函数的性质求得最值．【解答】由点到直线的距离公式可得，d=√cos2θ+sin2θ=|√2sin(θ+π4)−2|≤2+√2如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，点E为AA1的中点，在对角面BB1D1D上取一点M，使AM+ME最小，其最小值为________．【答案】32a【考点】棱柱的结构特征直线与平面垂直的性质【解析】设棱CC1的中点为F，则ME=MF，连接EF求解即可．【解答】解：取CC1的中点F，则ME=MF，∴AM+ME=AM+MF≥AF=√(√2a)2+(12a)2=32a故答案为：32a如图，正方体ABCD−A1B1C1D1，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A−D1PC的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角P−AD1−C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线，其中真命题的编号是________．【答案】①③④【考点】异面直线及其所成的角柱体、锥体、台体的体积计算二面角的平面角及求法【解析】①易知BC1 // 平面AD1C，所以BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，底不变，所以体积不变．②通过举例说明，如直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等．③P 在直线BC 1上运动时，可知AP 的轨迹是平面PAD 1，即二面角P −AD 1−C 的大小不受影响．④空间中到点D 和C 1距离相等的点的轨迹是线段DC 1的中垂面，又点M 在面A 1B 1C 1D 1内，则点M 的轨迹是面A 1B 1C 1D 1与 线段DC 1的中垂面的交线，即AD 1，所以必过D 1点．【解答】①∵ BC 1 // 平面ACD 1，∴ BC 1 // 上任意一点到平面AD 1C 的距离相等，所以体积不变，正确．②P 在直线BC 1上运动时，直线AB 与平面ACD 1所成角和直线AC 1与平面ACD 1所成角不相等，所以不正确．③当P 在直线BC 1上运动时，AP 的轨迹是平面PAD 1，即二面角P −AD 1−C 的大小不受影响，所以正确．④∵ 空间中到点D 和C 1距离相等的点的轨迹是线段DC 1的中垂面，又点M 在面A 1B 1C 1D 1内，则点M 的轨迹是面A 1B 1C 1D 1与 线段DC 1的中垂面的交线，即AD 1，所以正确．三．解答题（本大题共有6小题，总分70分）设直线l 的方程为(a +1)x +y +2−a ＝0(a ∈R)．（1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【答案】若2−a ＝0，解得a ＝2，化为3x +y ＝0．若a +1＝0，解得a ＝−1，化为y +3＝0，舍去．若a ≠−1，2，化为：x a−2a+1+y a−2=1，令a−2a+1=a −2，化为a +1＝1，解得a ＝0， 可得直线l 的方程为：x +y +2＝0．综上所述直线l 的方程为：x +y +2＝0或3x +y ＝0；y ＝−(a +1)x +a −2，∵ l 不经过第二象限，∴ {−(a +1)≥0a −2≤0， 解得：a ≤−1．∴ 实数a 的取值范围是(−∞, −1]．【考点】直线的截距式方程【解析】（1）对a 分类讨论，利用截距式即可得出；（2）y ＝−(a +1)x +a −2，由于l 不经过第二象限，可得{−(a +1)≥0a −2≤0，解出即可得出．【解答】若2−a ＝0，解得a ＝2，化为3x +y ＝0．若a +1＝0，解得a ＝−1，化为y +3＝0，舍去．若a ≠−1，2，化为：x a−2a+1+y a−2=1，令a−2a+1=a −2，化为a +1＝1，解得a ＝0， 可得直线l 的方程为：x +y +2＝0．综上所述直线l 的方程为：x +y +2＝0或3x +y ＝0；y＝−(a+1)x+a−2，∵l不经过第二象限，∴{−(a+1)≥0a−2≤0，解得：a≤−1．∴实数a的取值范围是(−∞, −1]．有一个倒置圆锥，它的轴截面是一个正三角形，容器内放一个半径为R的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器内水的深度．【答案】如图．在容器内注入水，并放入一个半径为R的铁球，这时水面记为AB，将球从圆锥内取出后，这时水面记为EF．三角形PAB为轴截面，是正三角形，三角形PEF也是正三角形，圆O是正三角形PAB的内切圆．由题意可知，DO＝CO＝R，AO＝2R＝OP，AC=√3R，∴V球=43πR3，未取出小于时，圆锥的体积，即V水+V球=13π(√3R)2⋅3R＝3πR3，又设HP＝ℎ，则EH=√33ℎ∴V水=13π(√33ℎ)2⋅ℎ=π9ℎ3，则π9ℎ3+43πR3＝3πR3，∴ℎ=√153R即圆锥内的水深是√153R【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】由题意求出球的体积，求出圆锥的体积，设出水的高度，求出水的圆锥的体积，利用V 水+V球＝V容器，求出圆锥内水平面高．【解答】如图．在容器内注入水，并放入一个半径为R的铁球，这时水面记为AB，将球从圆锥内取出后，这时水面记为EF．三角形PAB为轴截面，是正三角形，三角形PEF也是正三角形，圆O是正三角形PAB的内切圆．由题意可知，DO＝CO＝R，AO＝2R＝OP，AC=√3R，∴V球=43πR3，未取出小于时，圆锥的体积，即V水+V球=13π(√3R)2⋅3R＝3πR3，又设HP＝ℎ，则EH=√33ℎ∴V水=13π(√33ℎ)2⋅ℎ=π9ℎ3，则π9ℎ3+43πR3＝3πR3，∴ℎ=√153R即圆锥内的水深是√153R如图，在三棱锥P−ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90∘，AP＝BP＝AB，PC⊥AC．（1）求证：PC⊥AB．（2）求二面角B−AP−C的正弦值．【答案】取AB中点D，连接PD，CD．∵AP＝BP，∴PD⊥AB．∵CA＝CB，∴CD⊥AB．∵PD∩CD＝D，∴AB⊥平面PCD．∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥AB．∵AC＝BC，PA＝PAB，∴△APC≅△BPC，又PC⊥AC，∴PC⊥BC．又∠ACB＝90∘，即AC⊥BC，且AC∩PC＝C，∴BC⊥平面PAC．取AP中点E，连接BE，CE．∵BA＝BP，∴BE⊥AP．∵EC是BE在平面PAC内的射影，∴CE⊥AP．∴∠BEC是二面角B−AP−C的平面角．在△BCE中，∠BCE＝90∘，BC＝2，BE=√32AB=√6，∴sin∠BEC=BCBE=√63．∴二面角B−AP−C的正弦值为√63．【考点】直线与平面平行二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)取AB中点D，利用等腰三角形的性质可得PD⊥AB，CD⊥AB，由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面PCD，从而得到PC⊥AB．(Ⅱ)利用线面垂直的判定定理得BC⊥平面PAC，取AP中点E，可证∠BEC是二面角B−AP−C的平面角，利用sin∠BEC=BCBE求出结果．【解答】取AB中点D，连接PD，CD．∵AP＝BP，∴PD⊥AB．∵CA＝CB，∴CD⊥AB．∵PD∩CD＝D，∴AB⊥平面PCD．∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥AB．∵AC＝BC，PA＝PAB，∴△APC≅△BPC，又PC⊥AC，∴PC⊥BC．又∠ACB＝90∘，即AC⊥BC，且AC∩PC＝C，∴BC⊥平面PAC．取AP中点E，连接BE，CE．∵BA＝BP，∴BE⊥AP．∵EC是BE在平面PAC内的射影，∴CE⊥AP．∴∠BEC是二面角B−AP−C的平面角．在△BCE中，∠BCE＝90∘，BC＝2，BE=√32AB=√6，∴sin∠BEC=BCBE=√63．∴二面角B−AP−C的正弦值为√63．如图，已知，在空间四边形ABCD中，BC＝AC，AD＝BD，E是AB的中点．（1）求证：平面CDE⊥平面ABC；（2）若AB＝DC＝3，BC＝5，BD＝4，求几何体ABCD的体积；（3）若G为△ADC的重心，试在线段AB上找一点F，使得GF // 平面CDE．【答案】证明：∵BC＝AC，E为AB的中点，∴AB⊥CE．又∵AD＝BD，E为AB的中点∴AB⊥DE．∵DE∩CE＝E∴AB⊥平面DCE∵AB⊂平面ABC，∴平面CDE⊥平面ABC．∵在△BDC中，DC＝3，BC＝5，BD＝4，∴CD⊥BD，在△ADC中，DC＝3，AD＝BD＝4，AC＝BC＝5，∴CD⊥AD，∵AD∩BD＝D∴CD⊥平面ABD．所以线段CD的长是三棱锥C−ABD的高又在△ADB中，DE=√16−94=√552∴VC−ABD =13⋅12⋅3⋅√552⋅3=3√554在AB上取一点F，使AF＝2FE，则可得GF // 平面CDE取DC的中点H，连AH、EH∵G为△ADC的重心，∴G在AH上，且AG＝2GH，连FG，则FG // EH又∵FG平面CDE，EH⊂平面CDE，∴GF // 平面CDE【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面平行平面与平面垂直【解析】（1）先证出直线AB与平面上的两条相交直线垂直，得到线面垂直，而线又在一个平面上，得到面面垂直．（2）要求的几何体是一个三棱锥，线段CD的长是三棱锥C−ABD的高，做出对应的底面的面积，根据三棱锥的体积公式做出结果．（3）在AB上取一点F，使AF＝2FE，则可得GF // 平面CDE，取DC的中点H，连AH、EH，根据G为△ADC的重心，得到G在AH上，且AG＝2GH，连FG，则FG // EH，再说明线在平面上，得到结论．【解答】证明：∵BC＝AC，E为AB的中点，又∵AD＝BD，E为AB的中点∴AB⊥DE．∵DE∩CE＝E∴AB⊥平面DCE∵AB⊂平面ABC，∴平面CDE⊥平面ABC．∵在△BDC中，DC＝3，BC＝5，BD＝4，∴CD⊥BD，在△ADC中，DC＝3，AD＝BD＝4，AC＝BC＝5，∴CD⊥AD，∵AD∩BD＝D∴CD⊥平面ABD．所以线段CD的长是三棱锥C−ABD的高又在△ADB中，DE=√16−94=√552∴VC−ABD =13⋅12⋅3⋅√552⋅3=3√554在AB上取一点F，使AF＝2FE，则可得GF // 平面CDE取DC的中点H，连AH、EH∵G为△ADC的重心，∴G在AH上，且AG＝2GH，连FG，则FG // EH又∵FG平面CDE，EH⊂平面CDE，∴GF // 平面CDE如图，四棱锥P−ABCD的底面是菱形，PO⊥底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，AB＝6，AP＝5，∠BAD＝60∘．（1）求证：平面PAC⊥平面POE；（2）求直线PB与平面POE所成角的正弦值；（3）若F是边DC的中点，求异面直线BF与PA所成角的余弦值．【答案】证明：∵四棱锥P−ABCD的底面是菱形，又∵ O ，E 分别是AD 、AB 的中点， ∴ OE // BD ， ∴ OE ⊥AC ，∵ PO ⊥底面 ABCD ， AC ⊂面ABCD ， ∴ PO ⊥AC ，又∵ OE ∩OP ＝O ， ∴ AC ⊥平面 POE ， 又∵ AC ⊂平面 PAC ， ∴ 平面 PAC ⊥平面 POE ．过点 B 作 BM ⊥OE 于 M ，易证 PO ⊥BM ，OE ，OE ∩OP ＝O ，∴ BM ⊥平面 POE ， ∴ PM 是 PB 在平面 POE 上的射影，∠BPM 即为所求． ∵ 四边形ABCD 是菱形， ∵ E 是AB 中点，∴ BE ＝AE =12AB =12⋅6=3， 又∵ 底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60∘， ∴ △AOE 是等边三角形， ∴ ∠AEO ＝∠BEM ＝60∘， ∴ BM =3√32， 又∵ AP ＝5，OA ＝3，∴ 在直角三角形POA 中得OP =√AP 2−AO 2=4， ∵ 在直角三角形POB 中，OB =3√3，OP ＝4， ∴ PB =√OP 2+OB 2=√43，∴ 在Rt △PMB 中，BM =3√32，PB =√43，所以sin∠BPM =BM PB=3√12986；取PB 的中点T ，AB 的中点H ，连BF ，DH ，TH ．易证 DH // BF ，TH // PA ∴ ∠DHT 即为异面直线 BF 与 PA 所成角或其补角， 在三角形PDB 中，PD ＝5，DB ＝6，PB =√43，cos∠BPD =PD 2+PB 2−DB 22PD⋅PB=10√43=1043，在三角形PDT 中，DT 2=PD 2+PT 2−2PD ⋅PTcos∠BPD =25+434−5√4310√43=794，所以DT =√792，在△DHT 中，DH =3√3，HT =52，DT =√792，cos∠DHT =HT 2+DH 2−DT 22HT⋅DH=254+27−7942⋅252⋅3√3=3√310，tan∠DHT =√2199．【考点】异面直线及其所成的角直线与平面所成的角平面与平面垂直【解析】（1）根据菱形的对角线互相垂直及线面垂直的性质得OE⊥AC，PO⊥AC，由面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面POE．（2）根据线面所成角的定义找到直线PB与平面POE所成角的，∠BPM即为所求再计算正弦值．（3）根据中位线得DH // BF，TH // PA，∠DHT即为异面直线BF与PA所成角或其补角，结合余弦定理去计算DT，和计算角∠DHT的余弦值．【解答】证明：∵四棱锥P−ABCD的底面是菱形，∴AC⊥BD，又∵O，E分别是AD、AB的中点，∴OE // BD，∴OE⊥AC，∵PO⊥底面ABCD，AC⊂面ABCD，∴PO⊥AC，又∵OE∩OP＝O，∴AC⊥平面POE，又∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面POE．过点B作BM⊥OE于M，易证PO⊥BM，OE，OE∩OP＝O，∴BM⊥平面POE，∴PM是PB在平面POE上的射影，∠BPM即为所求．∵四边形ABCD是菱形，∵E是AB中点，∴BE＝AE=12AB=12⋅6=3，又∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝60∘，∴△AOE是等边三角形，∴ BM =3√32，又∵ AP ＝5，OA ＝3，∴ 在直角三角形POA 中得OP =√AP 2−AO 2=4， ∵ 在直角三角形POB 中，OB =3√3，OP ＝4， ∴ PB =√OP 2+OB 2=√43， ∴ 在Rt △PMB 中，BM =3√32，PB =√43，所以sin∠BPM =BM PB=3√12986；取PB 的中点T ，AB 的中点H ，连BF ，DH ，TH ．易证 DH // BF ，TH // PA ∴ ∠DHT 即为异面直线 BF 与 PA 所成角或其补角， 在三角形PDB 中，PD ＝5，DB ＝6，PB =√43，cos∠BPD =PD 2+PB 2−DB 22PD⋅PB=10√43=10√43，在三角形PDT 中，DT 2=PD 2+PT 2−2PD ⋅PTcos∠BPD =25+434−5√4310√43=794，所以DT =√792，在△DHT 中，DH =3√3，HT =52，DT =√792，cos∠DHT =HT 2+DH 2−DT 22HT⋅DH=254+27−7942⋅252⋅3√3=3√310，tan∠DHT =√2199．如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，AB ＝AE ，FA ＝FE ，∠AEF ＝45∘． （1）求证：EF ⊥平面BCE ；在，请指出点M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（3）求二面角F −BD −A 的正切值．【答案】证明：因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面ABEF ，所以BC ⊥EF ．因为△ABE 为等腰直角三角形，AB ＝AE ，所以∠AEB ＝45∘ 又因为∠AEF ＝45∘，所以∠FEB ＝90∘，即EF ⊥BE ， 因为BC ∩BE ＝B ，所以EF ⊥平面BCE ．存在点M ，当M 为线段AE 的中点时，PM // 平面BCE ．取BE 的中点N ，连接CN ，MN ，PM ，则MN 平行且等于12AB 平行且等于PC ， 所以PMNC 为平行四边形，所以PM // CN ， 因为CN 在平面BCE 内，PM 不在平面BCE 内， 所以PM // 平面BCE ；由EA ⊥AB ，平面ABEF ⊥平面ABCD ，易知，EA ⊥平面ABCD ，作FG ⊥AB ，交BA 的延长线于G ，则FG // EA ，从而，FG ⊥平面ABCD ，作GH ⊥BD 于G ，连结FH ，则由三垂线定理知，BD ⊥FH ，因此，∠AEF 为二面角F −BD −A 的平面角．因为FA ＝FE ，∠AEF ＝45∘，所以∠AFE ＝90∘，∠FAG ＝45∘．设AB ＝1，则AE ＝1，AF =√22，FG ＝AF ⋅sin∠FAG =12在Rt △FGH 中，∠GBH ＝45∘，BG ＝AB +AG ＝1+12=32，GH ＝BG ⋅sin∠GBH =32⋅√22=3√24在Rt △FGH 中，tanFHG =FGGH =√23， 故二面角F −BD −A 的正切值为√23．【考点】二面角的平面角及求法 【解析】（1）利用面面垂直的性质证明BC ⊥平面ABEF ，可得BC ⊥EF ，再证明EF ⊥BE ，利用线面垂直的判定可得结论；（2）存在点M ，当M 为线段AE 的中点时，PM // 平面BCE ，证明PMNC 为平行四边形，可得PM // CN ；（3）作出二面角的平面角，再利用三角函数求解即可． 【解答】证明：因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面ABEF ，所以BC ⊥EF ．因为△ABE 为等腰直角三角形，AB ＝AE ，所以∠AEB ＝45∘ 又因为∠AEF ＝45∘，所以∠FEB ＝90∘，即EF ⊥BE ， 因为BC ∩BE ＝B ，所以EF ⊥平面BCE ．存在点M ，当M 为线段AE 的中点时，PM // 平面BCE ．取BE 的中点N ，连接CN ，MN ，PM ，则MN 平行且等于12AB 平行且等于PC ， 所以PMNC 为平行四边形，所以PM // CN ， 因为CN 在平面BCE 内，PM 不在平面BCE 内， 所以PM // 平面BCE ；由EA ⊥AB ，平面ABEF ⊥平面ABCD ，易知，EA ⊥平面ABCD ，作FG ⊥AB ，交BA 的延长线于G ，则FG // EA ，从而，FG ⊥平面ABCD ，作GH ⊥BD 于G ，连结FH ，则由三垂线定理知，BD ⊥FH ，因此，∠AEF 为二面角F −BD −A 的平面角．因为FA ＝FE ，∠AEF ＝45∘，所以∠AFE ＝90∘，∠FAG ＝45∘．设AB ＝1，则AE ＝1，AF =√22，FG ＝AF ⋅sin∠FAG =12在Rt △FGH 中，∠GBH ＝45∘，BG ＝AB +AG ＝1+12=32，GH ＝BG ⋅sin∠GBH =32⋅√22=3√24在Rt △FGH 中，tanFHG =FG GH=√23， 故二面角F −BD −A 的正切值为√23．。
精校版---2018-2019学年安徽省黄山市屯溪第一中学高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年安徽省黄山市屯溪第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【答案】D，可能相交或垂直；选【解析】试题分析：选线A，,m n可能相交或异面；选项B，αβ，可能相交或垂直.故选D.项C，αβ【考点】直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质.2．直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为() A．－12 B．－14 C．10 D．8【答案】A【解析】由直线mx+4y﹣2=0与直线2x﹣5y+n=0垂直，求出m=10，把（1，p）代入10x+4y﹣2=0，求出p=﹣2，把（1，﹣2）代入2x﹣5y+n=0，能求出n．【详解】∵直线mx+4y﹣2=0与直线2x﹣5y+n=0垂直，垂足为（1，p），∴2m﹣4×5=0，解得m=10，把（1，p）代入10x+4y﹣2=0，得10+4p﹣2=0，解得p=﹣2，把（1，﹣2）代入2x﹣5y+n=0，得2+10+n=0，解得n=﹣12．故答案为：A【点睛】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．下列命题①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；②有三个角是直角的四边形是矩形；③如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直④如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行⑤圆锥的顶点与底面上任意一点的连线是圆锥的母线；其中正确命题的是()A．①②③ B．①②⑤ C．①③ D．②③⑤【答案】C【解析】逐一判断每一个命题的真假得解.【详解】①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内,是真命题；②有三个角是直角的四边形是矩形，是假命题，因为空间四边形中也有三个角是直角的，但是空间四边形不是矩形；③如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直，可以证明是真命题；④如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行，是假命题，因为这两条直线还有可能相交或异面；⑤圆锥的顶点与底面上任意一点的连线是圆锥的母线，是假命题，因为圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线.故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查空间几何元素之间的位置关系，意在考察学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.(2)类似这种位置关系的判断，常利用举反例和直接证明两种方法. 4．若直线无论取何值，直线恒过定点()A．(0,4) B．(2,2) C．(－2,4) D．(2，－2)【答案】B【解析】先化简直线L的方程为a(x-2)+4-2y=0,得到x-2=0且4-2y=0，即得到定点坐标.【详解】由题得a(x-2)+4-2y=0，所以，所以定点坐标为（2,2）.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查直线的方程和定点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求直线经过的定点常用分离参数法和赋值法,本题使用的是分离参数法.5．圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为,则圆锥的表面积是底面积的( )倍，A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】先根据已知得到l=3r，再计算圆锥的表面积和底面积的倍数关系.【详解】设圆锥的底面圆半径为r,母线长为l,由题得.故答案为：C【点睛】本题主要考查圆锥的表面积和底面积的计算，考查扇形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.6．如图，在中，面，，是的中点，则图中直角三角形的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】试题分析：因为面，所以，则三角形为直角三角形，因为，所以，所以三角形是直角三角形，易证，所以面，即，则三角形为直角三角形，即共有7个直角三角形；故选C ．【考点】空间中垂直关系的转化．7．直线xsin α-y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ． [0，π)B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围． 【详解】直线xsinα﹣y +10=0的斜率为k=sinα， ∵|sinα|≤1，∴|k |≤1∴倾斜角的取值范围是：．故答案为： 【点睛】本题主要考查直线的斜率和倾斜角的关系，考查正切函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.8．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，B1C1的中点，那么正方体过P ，Q ，R 的截面图形是( ) A ． 三角形 B ． 四边形 C ． 五边形 D ． 六边形 【答案】D 【解析】延长QP ，CB 交于V ，连接RV ，交BB 1于S ．作RT ∥PQ ，交C 1D 1于M ．延长PQ ，CD 交于T ，连接TM ，交DD 1于N ．那么PQNMRS 即为所求截面． 【详解】延长QP ，CB 交于V ，连接RV ，交BB 1于S ．作RT ∥PQ ，交C 1D 1于M ．延长PQ ，CD 交于T ，连接TM ，交DD 1于N ． 如图所示：正方体过P、Q、R的截面图形是六边形，且是边长是正方体棱长的倍的正六边形．故答案为：D【点睛】本题主要考查平面公理2，公理2指出：如果两平面有一个公共点，那么有且只有一条通过这个点的公共直线．其作用：①它是判定两平面相交的方法；②它说明了两平面交线与两平面公共点之间的关系，交线必过公共点；③它是判别点在直线上，即证若干点共线的依据．9．水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中，，则绕所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据“斜二测画法”可得AB=4，OC=2，AC=BC=4，△ABC是等边三角形；△ABC绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，求它的表面积即可．【详解】根据“斜二测画法”可得AO=BO=2，OC=2，∴AC=BC==4，如图所示，∴△ABC 是边长为4的等边三角形；△ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体， 它的表面积为S=2πrl=2π×2×4=16π．故答案为：B 【点睛】本题考查了平面图形的直观图问题，也考查了旋转体的表面积求法，是基础题．10．已知函数 求的大小关系（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】把、、分别看作函数图象上的点（a ，f （a ）），（b ，f （b ）），（c ，f（c ））与原点连线的斜率，对照图象可得答案． 【详解】由题意可得，、、分别看作函数图象上的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c））与原点连线的斜率，结合图象可知当a时，．故答案为：B【点睛】本题考查了对数函数的图象，考查了直线的斜率，意在考察学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.11．三棱锥P -ABC中，PA⊥平面ABC，Q是BC边上的一个动点，且直线PQ与面ABC所成角的最大值为则该三棱锥外接球的表面积为()A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意画出图形，结合图形找出△ABC的外接圆圆心与三棱锥P﹣ABC外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．【详解】三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，直线PQ与平面ABC所成角为θ，如图所示；则sinθ==，且sinθ的最大值是，∴（PQ）min=2，∴AQ的最小值是，即A到BC的距离为，∴AQ⊥BC，∵AB=2，在Rt△ABQ中可得，即可得BC=6；取△ABC的外接圆圆心为O′，作OO′∥PA，∴=2r，解得r=2；∴O′A=2，取H为PA的中点，∴OH=O′A=2，PH=，由勾股定理得OP=R==，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是S=4πR2=4×=57π．故答案为：C【点睛】本题主要考查正弦定理和线面位置关系，考查了几何体外接球的应用问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键求外接球的半径．12．如图所示，是正方形所在平面外一点，在面上的正投影,∥，．有以下四个命题：（1）⊥面；（2）；（3）以作为邻边的平行四边形面积是8；（4）恰在上．其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对每一个命题逐一判断得解.【详解】因为CD⊥EF,CD⊥FG,EF∩FG=F,EF,FG平面EFG,所以⊥面，所以该命题是真命题.设四棱锥E-ABCD的内切球的半径为r,由题得四棱锥是棱长均为2的棱锥，所以每个侧面的面积为，棱锥的高为,所以，所以该命题是真命题.以作为邻边的平行四边形面积是,所以该命题是假命题.由题可证该四棱锥的所有棱长均为2，所以恰在上．所以该命题是真命题.故答案为：C【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查面积的计算，考查几何体内切球的半径的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.二、填空题13．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)：若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x的值为______【答案】【解析】试题分析：由图可得．【考点】1、三视图；2、体积.【方法点晴】本题主要考查三视图和体积，计算量较大，属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称．此外本题应注意掌握柱体的体积公式.14．正四面体相邻两侧面所成二面角的正弦值是________【答案】【解析】由已知中正四面体的所有面都是等边三角形，取CD的中点E，连接AE，BE，由等腰三角形“三线合一”的性质，易得∠AEB即为相邻两侧面所成二面角的平面角，解三角形ABE即可得到正四面体（所有面都是等边三角形的三棱锥）相邻两侧面所成二面角的余弦值和正弦值．【详解】取CD的中点E，连接AE，BE，如下图所示：设四面体的棱长为2，则AE=BE=且AE ⊥CD ，BE ⊥CD ，则∠AEB 即为相邻两侧面所成二面角的平面角，在△ABE 中，cos ∠AEB==， 故正四面体（所有面都是等边三角形的三棱锥）相邻两侧面所成二面角的正弦值是. 故答案为：【点睛】 (1)本题主要考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）15．己知a ，b 为正数，且直线60ax by +-=与直线()2350x b y +-+=互相平行，则2a+3b 的最小值为________.【答案】25【解析】试题分析：由题意得：，所以()41223343391325,33b a b b b b b +=+=++-+≥+=--当且仅当5,5b a ==时取等号. 【考点】基本不等式求最值16．如图,在正四棱锥S-ABCD(顶点S 在底面ABCD 上的射影是正方形ABCD 的中心)中,底边长2，高E 是BC 的中点,点P 在表面上运动,并且总是保持PE ⊥AC ．则动点P 的轨迹的长度____【答案】【解析】根据题意可知点P 的轨迹为三角形EFG ，其中G 、F 为中点，根据中位线定理求出EF 、GE 、 GF ，从而求出轨迹的长度．【详解】由题意知，点P 的轨迹为如图所示的三角形EFG ，其中G 、F 为中点，此时AC ⊥EF ，AC ⊥GE ，则AC ⊥平面EFG ，则PE ⊥AC ．∵ABCD 是边长为2的正方形，∴，∴EF=BD=， ∵SO=2，OB=，∴,∴GE=GF=SB=， ∴轨迹的长度为． 故答案为：【点睛】本题主要考查了轨迹问题，考查了线面垂直的证明以及点到面的距离等有关知识，同时考查了空间想象能力，计算推理能力，属于中档题．三、解答题17．经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且倾斜角比直线l3：4x－3y ＋5＝0的倾斜角小的直线方程,求该直线与坐标轴所围成的三角形面积.【答案】【解析】先求出点P的坐标和直线l3的斜率，再求出直线l的斜率和方程，最后求出其与坐标轴围成的三角形的面积.【详解】由方程组得即P(0,2)．直线l3的斜率所以直线l的倾斜角为所以直线l的方程为，当x=0时，y=2；当y=0时，x=-14.所以直线l与坐标轴围成的三角形面积.【点睛】本题主要考查直线的交点和位置关系，考查直线方程的求法和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P,Q分别为的中点．求证：(1)平面D1 BQ∥平面PAO.(2)求异面直线QD1与AO所成角的余弦值；【答案】（1）见解析；（2） .【解析】（1）先证明BQ||平面PAO,再证明平面D1BQ∥平面PAO.（2）取中点E,连接EQ,则EQ||AO,所以直线EQ和所成的锐角或直角就是异面直线QD1与AO所成的角,再解三角形求出其余弦值得解.【详解】因为BO=DO,,所以因为BQ||PA,,所以BQ||平面PAO,因为所以平面D1BQ∥平面PAO.（2）取中点E,连接EQ,则EQ||AO,所以直线EQ和所成的锐角或直角就是异面直线QD1与AO所成的角.设正方体的边长为2，则EQ=,所以所以异面直线QD1与AO所成角的余弦值为.【点睛】(1)本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）,方法二：（向量法），其中是异面直线所成的角，分别是直线的方向向量.19．如图，在四棱锥P -ABCD中，E是棱PC上一点，且2，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAD为正三角形，平面ABE与棱PD交于点F，平面PCD与平面PAB交于直线l，且平面PAD⊥平面ABCD．(1)求证：l∥EF；(2)求四棱锥P-ABEF的体积．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】(1) 取PD的中点F,连接EF,先证明AB||平面PCD,再证明l∥EF.（2）先证明PF面，再求四棱锥P-ABEF的体积．【详解】证明：取PD的中点F,连接EF,∵底面ABCD是正方形，∴AB∥CD，因为2，所以点E是PC的中点，所以PE=EC,因为DF=PF,所以EF||CD,因为AB||CD,所以AB||EF,因为,所以AB||平面PCD,又平面PAB与平面PCD交于直线l，,∴AB∥l.∴l∥EF.（2）由面面，交线为因为CD⊥平面PAD,面，所以EF⊥PF,因为AF⊥PF,因为AF,EF面，AF∩EF=F,所以PF面，所以，所以体积为【点睛】（1）本题主要考查空间几何元素位置关系的证明和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.(2)几何体体积的计算常用的方法有公式法、割补法和体积变换法.20．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是、边长为的菱形，又，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．（1）证明：DN//平面PMB；（2）证明：平面PMB平面PAD；（3）求点A到平面PMB的距离．【答案】（1）见解析；(2)见解析；（3）.【解析】取PB中点Q，连接MQ、NQ，再加上QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；（2）易证PD⊥MB，又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明；（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离，过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB，DH是点D到平面PMB的距离，从而求解．【详解】（1）取PB中点Q，连接MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC中点，所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．⇒DN∥平面PMB．（2）⇒PD⊥MB又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，所以MB⊥AD．又AD∩PD=D，所以MB⊥平面PAD，⇒平面PMB⊥平面PAD．（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离．过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．故DH是点D到平面PMB的距离.．∴点A到平面PMB的距离为．【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想．21．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F分别在线段BC，AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF.(1)在线段BC是否存在一点E，使得ND⊥FC ，若存在，求出EC的长并证明；若不存在，请说明理由．(2)求四面体N-EFD体积的最大值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）EC＝3时符合；连接ED，交FC于点O，先证明FC⊥平面NED，再证明ND⊥FC.(2) 设NE＝x，则FD＝EC＝4－x，其中0<x<4，再求出，再利用基本不等式求四面体NEFD体积的最大值.【详解】（1）证明：EC＝3时符合；连接ED，交FC于点O，如图所示．∵平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，平面MNEF∩平面ECDF＝EF，NE⊂平面MNEF，∴NE⊥平面ECDF.∵FC⊂平面ECDF，∴FC⊥NE.∵EC＝CD，∴四边形ECDF为正方形，∴FC⊥ED.又∵ED∩NE＝E，ED，NE⊂平面NED，∴FC⊥平面NED.∵ND⊂平面NED，∴ND⊥FC.(2)设NE＝x，则FD＝EC＝4－x，其中0<x<4，由(1)得NE⊥平面FEC，∴四面体NEFD的体积为，所以，当且仅当x＝4－x，即x＝2时，四面体NEFD的体积最大，最大值为2【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查体积的最值的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.22．如图,四棱锥的底面是正方形, 平面,,点是上的点,且.（1）求证:对任意的,都有.（2）设二面角C-AE-D的大小为,直线BE与平面所成的角为,若,求的值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）因为SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理只要证AC ⊥BD即可．（2）先找出θ计算出cosθ,再找到，求出点O到BE的距离，再求出sin,解方程得到的值.【详解】（1）证明：连接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD．∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE（2）解：由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，∵SD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴SD⊥CD．又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，而SD∩AD=D，CD⊥平面SAD．连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，故∠CFD是二面角C﹣AE﹣D的平面角，即∠CFD=θ．在Rt△ADE中，∵AD=a，DE=λa∴AE=a从而DF==在Rt△CDF中，tanθ==,所以.过点B作EO的垂线BG，因为AC⊥平面BDE,所以AC⊥BG,所以∠BEO就是直线BE与平面所成的角，设点O到BE的距离为h,则由等面积得所以，因为,所以.【点睛】(1)本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查二面角和线面角的计算，考查三角函数的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析转化推理计算能力.（2）本题的解题关键是求出.。
安徽省黄山市2019-2020年度高二上学期数学期中考试试卷(I)卷
安徽省黄山市2019-2020年度高二上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共10分)1. （1分） (2019高二上·九台月考) 已知一条直线过点(3，-2)与点(-1，-2),则这条直线的倾斜角是（）.A .B .C .D .2. （1分） (2020高一上·林芝期末) 过点（1，0）且与直线垂直的直线方程是（）A .B .C .D .3. （1分）如果实数、满足条件，那么的最大值为（）A . 2B . 1C . -2D . -34. （1分） (2019高二上·砀山月考) 当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是（）A .B .C .D .5. （1分）已知直线l1：y=x+1与直线 l2关于点（1，1）对称，则l2的方程是（）A . 2x+y﹣12=0B . 2x+y+3=0C . x﹣y+3=0D . x﹣y﹣1=06. （1分） (2016高二上·汕头期中) 在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE：EB=CF：FB=1：2，则AC和平面DEF的位置关系是（）A . 平行B . 相交C . 在平面内D . 不能确定7. （1分） (2019高二上·定远期中) 如图,在正四棱柱ABCD - A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A .B .C .D .8. （1分）设集合S={x||x+3|+|x﹣1|＞m}，T={x|a＜x＜a+8}，若存在实数a使得S∪T=R，则m∈（）A . {m|m＜8}B . {m|m≤8}C . {m|m＜4}D . {m|m≤4}9. （1分）(2018·鞍山模拟) 执行如图所示的程序框图，则输出的最大值为（）A .B .C . 2D .10. （1分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱B1B长为3，底面是边长为2的菱形，∠A1AB=120°，∠A1AD=60°，点E在棱B1B上，则AE+C1E的最小值为（）A .B . 5C . 2D . 7二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分）已知，，在轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是________12. （1分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________13. （1分）(2019·北京) 若x，y满足 .则y-x的最小值为________，最大值为________.14. （1分） (2016高二上·苏州期中) 已知过定点P（2，0）的直线l与曲线y= 相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大时，直线的倾斜角可以是：①30°；②45°；③60°；④120°⑤150°．其中正确答案的序号是________．（写出所有正确答案的序号）15. （1分） (2016高一下·厦门期中) 在正四棱锥V﹣ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为________．16. （1分）(2017·江苏模拟) 在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足 = +λ ，且• =1，则实数λ的值为________．17. （1分） (2016高二上·六合期中) 两圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）相交，则r的取值范围是________．三、解答题 (共4题；共9分)18. （2分） (2017高一上·新乡期末) 已知不过第二象限的直线l：ax﹣y﹣4=0与圆x2+（y﹣1）2=5相切．（1）求直线l的方程；（2）若直线l1过点（3，﹣1）且与直线l平行，直线l2与直线l1关于直线y=1对称，求直线l2的方程．19. （2分） (2017高二上·静海期末) 如图，四棱锥的底面为正方形，⊥底面，分别是的中点， .（Ⅰ）求证∥平面；（Ⅱ）求直线与平面所成的角；（Ⅲ）求四棱锥的外接球的体积.20. （2分）求过三点A（4，1），B（﹣6，3），C（3，0）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．21. （3分） (2015高二下·宜昌期中) 如图，在长方体A1B1C1D1﹣ABCD中，AD=CD=4，AD1=5，M是线段B1D1的中点．（1）求证：BM∥平面D1AC；（2）求直线DD1与平面D1AC所成角的正弦值．参考答案一、单选题 (共10题；共10分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共4题；共9分) 18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、。
安徽省黄山市2019-2020年度数学高二上学期理数期中考试试卷B卷
安徽省黄山市 2019-2020 年度数学高二上学期理数期中考试试卷 B 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2017 高一下·玉田期中) 如果 a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）A. B . ab＜b2 C . ac2＜bc2 D . |a|＞|b|2. （2 分） (2018 高二上·海口期中) 已知双曲线 顶点到较近焦点的距离为 1,则双曲线 C 的方程为（ ）A. B.的离心率,且它的一个C.D.3. （2 分） (2017 高一下·长春期末) 等比数列{an}中,a3= ,a9=8,则 a5·a6·a7 的值为（ ）A . 64B . -8C.8D . ±84. （2 分） 为第一象限角是的（）A . 充分不必要条件第 1 页 共 11 页B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件5. （2 分） 椭圆和A . 相同的离心率B . 相同的焦点C . 相同的顶点D . 相同的长、短轴具有（）6. （2 分） (2014·山东理) 已知 a＞b＞0，椭圆 C1 的方程为 C1 与 C2 的离心率之积为 ，则 C2 的渐近线方程为（ ）A . x± y=0B . x±y=0 C . x±2y=0 D . 2x±y=07. （2 分） 已知正实数 x,y 满足 x+2y=1,则 A.6 B.8 C.9 D . 16的最小值是=1，双曲线 C2 的方程为=1，（）8. （2 分） 椭圆与A . 有相等的长、短轴=1（0＜k＜9）关系为（ ）第 2 页 共 11 页B . 有相等的焦距 C . 有相同的焦点 D . 有相等的离心率 9. （2 分） (2017·莆田模拟) 公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 若 a6=3a4 ， 且 S10=λa4 ， 则 λ 的值为（ ） A . 15 B . 21 C . 23 D . 25 10. （2 分） 若 p 是真命题，q 是假命题。
安徽省黄山市2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷C卷
安徽省黄山市2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高一上·阜城月考) 如图，设直线的斜率分别为，则的大小关系为（）A .B .C .D .2. （2分） (2015高一上·娄底期末) 已知两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：2x﹣5y=0，且l1⊥l2 ，则满足条件a的值为（）A .B . ﹣C . ﹣5D . 53. （2分） (2019高二上·宁波期中) 在空间中，已知是直线，是平面，且，则的位置关系是（）A . 平行B . 相交C . 异面D . 平行或异面4. （2分）在圆内任取一点，则该点恰好在区域内的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）正方体的棱长为1，E是的中点，则E是平面的距离是（）A .B .C .D .6. （2分）若=(x,2,0),=(3,2-x,x2)，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（）A . x＜﹣4B . ﹣4＜x＜0C . 0＜x＜4D . x＞47. （2分） (2016高二上·眉山期中) 若圆x2+y2﹣6x+6y+14=0关于直线l：ax+4y﹣6=0对称，则直线l的斜率是（）A . 6B .C .D .8. （2分）已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α∥β④若m∥l，则α⊥β其中正确命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分）(2017·衡阳模拟) 已知对任意平面向量 =（x，y），把绕其起点沿逆时针旋转θ角得到向量 =（xcosθ﹣ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角θ得到点P，设平面内曲线C上的每一点绕原点逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线x2﹣y2=2，则原来曲线C的方程是（）A . xy=﹣1B . xy=1C . y2﹣x2=2D . y2﹣x2=110. （2分）若函数的图象在处的切线与圆相切，则a+b的最大值是（）A . 4B .C . 2D .二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分）直线5x＋12y＋3＝0与直线10x＋24y＋5＝0的距离是________．12. （1分）(2019·新宁模拟) 圆x2+y-4x+8y=0的圆心坐标为________.13. （1分） (2017高二上·汕头月考) 直线，对任意直线恒过定点________．14. （1分）(2016·新课标Ⅰ卷文) 若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为________．15. （1分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角B﹣A1D1﹣C1的大小为________16. （1分）如图所示的四个正方体中，A ， B为正方体的两个顶点，M ， N ， P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是________．(填序号)17. （1分） (2016高一下·盐城期中) M（﹣1，0）关于直线x+2y﹣1=0对称点M′的坐标是________．三、解答题 (共5题；共50分)18. （5分）求过点P（2，3），且满足下列条件的直线方程：（1）倾斜角等于直线x﹣ y+4=0的倾斜角的二倍的直线方程；（2）在两坐标轴上截距相等的直线方程．19. （10分） (2016高二上·眉山期中) 已知⊙C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心C在直线y=x上，直线L：y=kx+1与⊙C相交于P，Q点．（1）求⊙C的方程．（2）过点（0，1）作直线L1⊥L，且L1交⊙C于M，N，求四边形PMQN的面积最大值．20. （10分） (2015高一上·腾冲期末) 如图，四棱锥P﹣ABCD底面是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为PA，PD中点．（1）求证：EF∥面PBC（2）求证：平面PBC⊥平面PAB．21. （15分） (2019高二上·内蒙古月考) 已知⊙ ，是轴上的动点，分别切⊙ 于两点．（1）若，求及点的坐标;（2）求证：直线恒过定点.22. （10分）(2017高三上·湖南月考) 已知直角梯形中，，，，、分别是边、上的点，且，沿将折起并连接成如图的多面体，折后．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若折后直线与平面所成角的正弦值是，求证：平面平面．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共50分) 18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
安徽省黄山市2019年高二上学期数学期中考试试卷(I)卷
安徽省黄山市2019年高二上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共10分)1. （1分）已知直线l1过点A(－1，－1)和B(1,1)，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则直线l2的斜率是（）A . 1B . －1C . 2D . 不存在2. （1分） (2019高二上·慈溪期中) 直线过点且与直线垂直，则的方程为（）A .B .C .D .3. （1分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则的最小值（）A .B .C .D . 44. （1分） (2016高一下·岳阳期末) 已知圆（x+1）2+y2=4的圆心为C，点P是直线l：mx﹣y﹣5m+4=0上的点，若该圆上存在点Q使得∠CPQ=30°，则实数m的取值范围为（）A . [﹣1，1]B . [﹣2，2]C .D .5. （1分）若函数的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数f(x) 的图象交于B,C两点，则（）A . -32B . 16C . 32D . -166. （1分）“如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面构成一组正交线面对；如果两个平面互相垂直，则称这两个平面构成一组正交平面对．”在正方体的12条棱和6个表面中，能构成正交线面对和正交平面对的组数分别是（）A . 12和12B . 24和24C . 24和12D . 48和247. （1分）(2018·中山模拟) 如右图，在正方体中，异面直线与所成的夹角为（）A .B .C .D .8. （1分）设函数的定义域为Ａ，关于x的不等式的解集为Ｂ，且，则a的取值范围是：（）A .B . (0,3]C .D .9. （1分） (2017高一下·赣州期末) 已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，O是坐标原点，向量满足，则实数a的值（）A . 2B . ﹣2C . 或﹣D . 2或﹣210. （1分）已知空间4个球，它们的半径分别为2, 2, 3, 3，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2019高二上·慈溪期中) 将一张坐标纸折叠一次，使得点P(1，2)与点Q(-2，1)重合，则直线y=x+4关于折痕对称的直线为_________.12. （1分） (2018高一下·安庆期末) 如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为________.13. （1分） (2019高三上·梅州月考) 若满足约束条件，则的最大值为________.14. （1分）(2018·益阳模拟) 已知斜率为，且在轴上的截距为正的直线与圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，则 ________．15. （1分）(2018·朝阳模拟) 如图，在正方体中，分别为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为________．16. （1分） (2016高三上·思南期中) 向量 =（cos10°，sin10°）， =（cos70°，sin70°），| ﹣2 |=________．17. （1分）(2020·厦门模拟) 已知圆：，圆： . 若圆上存在点，过点作圆的两条切线. 切点为，使得，则实数的取值范围是________三、解答题 (共4题；共9分)18. （2分） (2017高一上·石嘴山期末) 已知圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，P点坐标为（2，3），求：（1）过P点的圆的切线长．（2）过P点的圆的切线方程．19. （2分）(2018·石嘴山模拟) 如图所示，在三棱锥中，平面，，、分别为线段、上的点，且， .（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求点到平面的距离.20. （2分） (2018高一上·深圳月考) 已知圆C过点M（0，-2）、N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．21. （3分） (2017高三下·正阳开学考) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．参考答案一、单选题 (共10题；共10分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共4题；共9分) 18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、第11 页共11 页。
安徽省黄山市2020版高二上学期期中数学试卷(I)卷
安徽省黄山市2020版高二上学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3=8，且a1 ， a3 ，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（）A . 13，12B . 13，13C . 12，13D . 13，142. （2分） (2019高一上·宁波期中) 已知函数是定义在上的偶函数,且在区间单调递减. 若实数满足，则的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二下·湖南期中) 在△ABC中，已知A=120°，b=1，c=2，则a=（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高一下·伊春期末) 已知中，，则等于（）A .B .C .D .5. （2分）若x＞y＞1，则下列不等式一定成立的是（）A . （）x＞（）yB . x﹣2＞y﹣2C . x ＞yD . log0.2x＞log0.2y6. （2分） (2018高二上·宁夏月考) 设是等差数列，公差为，是其前项的和，且，，则下列结论错误的是（）A .B .C .D . 和均为的最大值7. （2分） (2017高一下·石家庄期末) 已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若2acosB=c，则该三角形一定是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等边三角形D . 等腰直角三角形8. （2分） (2016高一上·饶阳期中) 函数f（x）=x2﹣4x+5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则实数m的取值范围是（）A . [2，+∞）B . [2，4]C . [0，4]D . （2，4]9. （2分）数列{an}中，an+1=， a1=2，则a4为（）A .B .C .D .10. （2分）等比数列{an}的各项均为正数，且a2a9=9，数列{bn}满足bn=log3an ，则数列{bn}前10项和为（）A . 10B . 12C . 8D . 2+log3511. （2分）(2017·甘肃模拟) 在等差数列{an}中，a1+a2=1，a2016+a2017=3，Sn是数列{an}的前n项和，则S2017=（）A . 6051B . 4034C . 2017D . 100912. （2分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A . （0，]B . [，π）C . （0，]D . [，π）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·南京期末) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csinA=atanC，则角C的大小是________．14. （1分）等差数列{an}中，a2与a6的等差中项为5 ，a3与a7的等差中项为7 ，则a4=________．15. （1分）关于x的不等式m﹣|x﹣2|＞1的解集为（0，4），则m=________16. （1分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+，则=________三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）已知等差数列{an}满足a3=5，a5﹣2a2=3，又等比数列{bn}中，b1=3且公比q=3．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）若cn=an+bn ，求数列{cn}的前n项和Sn ．18. （10分）(2017·长沙模拟) 已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x|．（1）解不等式f（x）＞﹣3；（2）求函数y=f（x）的图象与x轴围成的三角形的面积．19. （10分） (2016高二上·福州期中) 已知数列{an}中，a1=2，a2=6，且数列{an﹣1﹣an}{n∈N*}是公差为2的等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）记数列{ }的前n项和为Sn，求满足不等式Sn＞的n的最小值．20. （10分）(2016·山东理) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）= ．（1）证明：a+b=2c；（2）求cosC的最小值．21. （10分） (2017高一下·南通期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且a1+a5=17．（1）若{an}还同时满足：①{an}为等比数列；②a2a4=16；③对任意的正整数n，a2n＜a2n+2，试求数列{an}的通项公式．（2）若{an}为等差数列，且S8=56．①求该等差数列的公差d；②设数列{bn}满足bn=3n•an，则当n为何值时，bn最大？请说明理由．22. （5分） (2016高一下·天全期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
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安徽省黄山市屯溪一中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线l1：x+ay+6=0与l2：(a−2)x+3y+2a=0平行，则a的值等于()A. −1或3B. 1或3C. −3D. −12.如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，若P为三角形A1B1C1内一点(不含边界)，则点P在底面ABC的投影可能在()A. △ABC的内部B. △ABC的外部C. 直线AB上D. 以上均有可能3.已知两条直线l，m，α,β是两个平面，下列命题正确的是()A. 若α//β，l//α，则l//βB. 若l//α，m//α，则l//mC. 若α//β，l//α，m//β，则l//mD. 若α//β，l⊂α，则l//β4.已知直线l，m和平面α，β，且l⊥α，m//β，则下列命题中正确的是()A. 若α⊥β，则l//mB. 若α//β，则l⊥mC. 若l//β，则m⊥αD. 若l⊥m，则α//β5.若直线l过点(1,3)且在两条坐标轴上的截距相等，则直线l的斜率k是()A. k=−1或k=3B. k=±1或k=3C. k=−1D. k=1或k=36.给出以下四个命题，其中真命题的个数是()①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；②若直线l不平行千平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④垂直于同一直线的两条直线相互平行．A. 1B. 2C. 3D. 47.在三棱锥P−ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P−BC−A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为()A. 58B. 34C. 78D. 148.已知正四棱柱底面边长为1高为2，俯视图是一个面积为1的正方形，则该正四棱柱的正视图的面积不可能等于()A. 2B. 2.5C. 2√3−1D. 2√2+19.已知锐二面角α−l−β中，异面直线a，b满足：a⊂α，a⊥l，b⊂β，b与l不垂直，设二面角α−l−β的大小为θ1，a与β所成的角为θ2，异面直线a，b所成的角为θ3，则()A. θ1>θ2>θ3B. θ3>θ2>θ1C. θ1=θ2>θ3D. θ3>θ2=θ110.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知点A(1,0，3)，C(3,2，−1)，则这个正方体的棱长为()A. √3B. 2C. 2√3D. 311.在各棱长均相等的直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知M是棱AC的中点，N是棱BB1的中点，则异面直线A1N与BM所成角的正切值为()A. √3B. 1C. √63D. √2212.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是()A. 4+8√2B. 8+4√2C. 4√2D. 2√2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若直线(3a+2)x+(1−4a)y+8=0与(5a−2)x+(a+4)y−7=0垂直，则a=________．14.设当x=θ时，函数f(x)=sinx+2cosx取得最大值，则cosθ=______ ．15.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB1的中点，在面ABCD中取一点F，使EF+FC1最小，则最小值为__________.16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，上底面中心为O，则异面直线AO与DC1所成角的余弦值为______ ，直线AC1与平面BDC1所成角的正弦值为___________。
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)求过点(1,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程(2)求到直线2x+3y−5=0和4x+6y+8=0的距离相等点的轨迹．18.如图所示的容器，由一个有下底面但没有上底面的圆柱和一个与圆柱底面相同的圆锥侧面组成.已知圆柱的高为2米，底面的周长为2π米，圆锥的母线长为2米．(1)求该容器的表面积；(2)求该容器的体积．19.如图，AD//BC且AD=2BC，AD⊥CD，EG//AD且EG=AD，CD//FG且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2．(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN//平面CDE；(2)求二面角E−BC−F的正弦值；20.如图四棱锥E−ABCD中，底面ABCD为菱形，BE⊥平面ABCD．(1)求证：AC⊥平面BED；(2)若，AB=2，求三棱锥E−ABD的体积．21.已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB//CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1AB=1，M是PB的中点．2(1)求异面直线AC与PB所成的角的余弦值；(2)求直线BC与平面ACM所成角的正弦值．22.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E，F为PC，PA的中点．(1)求证：平面BDE⊥平面ABCD；(2)二面角E—BD—F的大小；(3)设点M在线段PB(端点除外)上，试判断CM与平面BDF是否平行，并说明理由-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：因为两条直线平行，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由1a−2=a3≠62a，解得：a=−1，故选：D．直接利用两直线平行的充要条件，列出方程求解，解得a的值．本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验．2.答案：B解析：【分析】本题考查棱柱结构特征，考查了线面垂直的判定和性质，考查空间想象能力，是中档题．由题意结合线面垂直的判定可得平面ABC1⊥平面ABC，再由线面垂直的性质可得C1在底面ABC的射影H的位置，即可得出结论．【解答】解：∵AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1，AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．若P为三角形A1B1C1内一点(不含边界)，则点P在底面ABC的投影可能在△ABC的外部，故选B．3.答案：D解析：【分析】本题考查空间中直线与平面的位置关系，属于基础题．对选项逐个进行分析判断即可．解：A.错误，可能l⊂β；B.错误，平行于同一平面的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；C.错误，两直线还可能相交，可能异面；D.正确，两平面平行，则一平面内的任意一条直线平行另一平面．故选D．4.答案：B解析：【分析】本题考查空间中线线、线面以及面面的位置关系，属于基础题．根据空间中线线、线面以及面面的位置关系逐一判断即可．【解答】解：对于A，l⊥α，m//β，若α⊥β，则l与m可能相交，平行，异面，所以错误;对于B，l⊥α，m//β，若α//β，则l⊥β，又m//β，所以在β内存在直线n，使得m//n，所以l⊥n，得l⊥m，所以正确;对于C，l⊥α，m//β，若l//β，则m与α的位置关系不定，所以错误;对于D，l⊥α，m//β，若l⊥m，则α与β还可能相交，所以错误．故选B．5.答案：A解析：解：直线l经过原点时，可得斜率k=3．直线不经过原点时，直线l过点(1,3)且在两条坐标轴上的截距相等，∴经过点(a,0)，(0,a).(a≠0)．∴k=−1．综上可得：直线l的斜率k=−1或3．故选：A．通过分类讨论，利用斜率计算公式即可得出．本题考查了斜率计算公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解析：解：①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面，正确；②若直线l不平行于平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线，不正确，可能存在，比如l在平面α内，存在与l平行的直线；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，不正确，可能相交或异面；④垂直于同一直线的两条直线相互平行不正确，可能平行或异面．故选：A．由线面垂直的判定定理可判断①；由线面的位置关系可判断②；由线面平行的性质可判断③；由两直线的位置关系可判断④．本题考查空间直线和平面的位置关系、空间两直线的位置关系，注意运用反例法和线面的位置关系的判定定理，考查空间想象能力，属于基础题．7.答案：A解析：【分析】本题是一道考查两异面直线所成角和二面角的综合题，解题需用到解三角形的有关知识，属于中档题．取BC中点O，连接AO,PO，得到二面角P−BC−A的平面角，利用余弦定理求出PA的长，再分别取AB,PA中点D,E，得到直线PB和直线AC所成的角∠ODE，解△ODE即可求出异面直线PB和AC所成角的余弦值．【解答】解：取BC中点O，连接AO,PO，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以∠POA是二面角P−BC−A的平面角，即∠POA=120°，设AB=2，则AO=PO=√3，利用余弦定理求出PA=3，分别取AB,PA中点D,E，则∠ODE是异面直线PB和直线AC所成的角，在△ODE中，OD=DE=1，OE=√3，所以2即异面直线PB和AC所成角的余弦值为58故选A8.答案：D解析：解：∵正四棱柱的俯视图是一个面积为1的正方形，∴正方形的边长为1，正方形的对角线长为√2，∵棱柱的高为2，∴当正方形的边长作为正视图的底面边长时，此时面积的最小值为S=2×1=2，当正方形的对角线作为正视图的底面边长时，此时面积的最大值为S=2×√2=2√2，∴正四棱的正视图的面积S的取值范围是[2,2√2].∵2√2+1∉[2,2√2]，∴D不成立，故选D．根据正四棱柱的正视图的边长变化，求出正视图的面积的取值范围即可判断．本题主要考查正四棱柱正视图的取值范围，根据不同的视角，得到正视图对应矩形的面积的最大值和最小值是解决本题的关键，利用函数的角度研究面积的取值范围是解决本题的突破点．9.答案：D解析：【分析】本题主要考查二面角的知识，关键是知道斜线与平面所成的角是斜线与平面内的任意直线所成角的最小角．【解答】解：在锐二面角α−l−β中，a⊂α，a⊥l，所以二面角α−l−β的平面角即a与β所成的角，则θ1=θ2，因为b⊂β，b与l不垂直，根据斜线与平面所成的角是斜线与平面内的任意直线所成角的最小角，所以θ3>θ2=θ1，故选D．10.答案：C解析：【分析】本题考查空间直角坐标系及空间两点间的距离公式，属于基础题．由AC距离即可求棱长．【解答】解：易知AC=√1−32+(0−2)2+(3+1)2=2√6，设正方体的棱长为a，√a2+a2=2√6，得a=2√3，故选C．11.答案：C解析：【分析】本题考查异面直线所成角，比较基础．根据已知∠DBN即为异面直线A1M与BN所成角，在△BDN中求解即可．【解答】解：取AA1的中点D，连接BD，则NA1//BD，所以∠DBM即为异面直线A1N与BM所成角，设各棱长均相等的直三棱柱ABC−A1B1C1的棱长为2，所以AD=AM=1，则DM=√2，BD=√5，BM=√3，所以△BDM为直角三角形，则．故选C．12.答案：D解析：解：由三视图可知几何体为四棱柱，棱柱的底面为等腰梯形，棱柱的高为√2．(1+3)×1×√2=2√2．∴V=12故选D．几何体为四棱柱，底面为等腰梯形，棱柱的高为√2．本题考查了棱柱的三视图与体积计算，属于基础题．13.答案：0或1解析：由两直线垂直的充要条件，得(3a +2)(5a −2)+(1−4a)(a +4)=0，解得a =0或a =114.答案：2√55解析：解：∵f(x)=sinx +2cosx =√5(√55sinx +2√55cosx) 设cosα=√55，sinα=2√55即f(x)=√5sin(x +α)当x =θ时，函数f(x)=sinx +2cosx =√5sin(x +α)取得最大值 即θ+α=π2+2kπ k ∈Z ∴cosθ=cos(π2+2kπ−α)=sinα=2√55故答案为：2√55把f(x)化简为一个角的正弦函数即可求解．此题考查了两角和与差公式以及同角三角函数的基本关系，熟练掌握公式是解题的关键，属于中档题15.答案：√142解析：作出点E 关于平面ABCD 的对称点P ，连接C 1P 交平面ABCD 于点F ，则此时EF +FC 1取得最小值，即C 1P 的长即为所求；因为E 为AB 1的中点，所以C 1P =√1+14+(1+12)2=√142；故填√142．16.答案：√32；13解析： 【分析】本题考查了异面直线所成角，余弦定理，棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积和直线与平面所成角．利用异面直线所成角求法，结合余弦定理得异面直线AO 与DC 1所成角的余弦值，再利用直线与平面所成角求法，结合三棱锥的体积等量，计算得结论． 【解答】解：如下图：设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的边长为2a ，连接AB 1，OB 1．因为ABCD −A 1B 1C 1D 1是正方体，所以AB 1//DC 1， 因此∠OAB 1就是异面直线AO 与DC 1所成角．又因为在ΔAB 1O 中，AO =√6a ，OB 1=√2a ，AB 1=2√2a ， 所以，即异面直线AO 与DC 1所成角的余弦值为√32．因为正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的边长为2a ，设A 到平面BDC 1的距离为h ，直线AC 1与平面BDC 1所成角为θ， 因为S ΔBDC 1=√34(2√2a)2=2√3a 2，AC 1=2√3a ，由V C 1−ABD =V A−BDC 1得13×12×(2a )2×2a =13×2√3a 2×ℎ，解得ℎ=2√33a ，所以，即线AC 1与平面BDC 1所成角的正弦值为13． 故答案为√32；13．17.答案：解：(1)当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，即直线过原点时，设该直线的方程为y =kx ， 吧(1,3)代入y =kx 得，k =3，此时方程为y =3x①当直线不过原点时，设方程为xa +ya =1，即直线的方程为x +y =a ，把(1,3)代入所设的方程得：a =3，则所求直线的方程为x +y =3即x +y −3=0； 综上直线方程为y =3x ，y =−x +4．(2)∵直线2x +3y −5=0即4x +6y −10=0与4x +6y +8=0是两条平行线， 则设与它们等距离的平行线的方程为：4x +6y +b =0， 由题意可得：√42+62=√42+62．即|b +10|=|b −8|，则b +10=b −8或b +10=−(b −8)， 即b =9.则定义的方程为4x +6y +9=0解析：(1)根据直线截距相等，利用待定系数法进行求解，(2)先判断两条直线为平行线，结合平行线的距离公式建立方程条件进行求解即可．本题主要考查直线方程的求解，利用待定系数法以及平行线之间的距离公式解决本题的关键．18.答案：解：(1)由题意得，表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积的和，而圆锥的底面周长为2π米，圆锥的母线长为2米，所以圆锥的侧面积为2π平方米，圆柱的底面周长为2π米，高为2米，所以圆柱的侧面积为4π平方米；而圆柱的底面周长为2π米，则底面半径为1 米， 底面面积为π平方米，综上，该容器的表面积为7π平方米． (2)由题意得，体积是圆锥的体积与圆柱的体积的和，由(1)得，圆锥的母线长为2米，底面半径为1 米，所以圆锥的轴截面是正三角形，圆锥的高为√3米，所以圆锥的体积为13×√3×π=√33π立方米，而圆柱的体积为2π立方米，所以该容器的体积为(√33+2)π立方米．解析：本题主要考查了圆柱、圆锥的表面积和体积公式，属于基础题．(1)由题意得，表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积的和，而圆锥的底面周长为2π米，圆锥的母线长为2米，进而求得答案．(2)由题意得，体积是圆锥的体积与圆柱的体积的和，由(1)得，圆锥的母线长为2米，底面半径为1 米，所以圆锥的轴截面是正三角形，进而求得答案．19.答案：证明：(1)依题意，以D 为坐标原点，分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．可得D(0,0，0)，A(2,0，0)，B(1,2，0)，C(0,2，0)，E(2,0，2)，F(0,1，2)，G(0,0，2)，M(0,32,1)，N(1,0，2)．所以DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2)，设n 0⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)为平面CDE 的法向量， 则{n 0⃗⃗⃗⃗ ⋅DC⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0n 0⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2z =0，不妨令z =−1，可得n 0⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1)， 又MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−32,1)，可得MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 0⃗⃗⃗⃗ =0， 又∵直线MN ⊄平面CDE ， ∴MN//平面CDE ；(2)解：依题意，可得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,2)，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,2)； 设n⃗ =(x 1,y 1,z 1)为平面BCE 的法向量， 则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 1=0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1−2y 1+2z 1=0，不妨令z 1=1，可得n⃗ =(0,1,1)， 设m⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)为平面BCF 的法向量， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 2=0m ⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−y 2+2z 2=0，不妨令z 2=1，可得m⃗⃗⃗ =(0,2,1)， 因此有cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=3√1010，于是sin <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=√1010．∴二面角E −BC −F 的正弦值为√1010．解析：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．(1)依题意，以D 为坐标原点，分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．求出对应点的坐标，求出平面CDE 的法向量n 0⃗⃗⃗⃗ 及MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 0⃗⃗⃗⃗ =0，结合直线MN ⊄平面CDE ，可得MN//平面CDE ；(2)分别求出平面BCE 与平面BCF 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E −BC −F 的正弦值．20.答案：(1)证明：∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD ， ∵BE ⊥平面ABCD ， ∴AC ⊥BE ， 又∵BD ∩BE =B ， ∴AC ⊥平面BED ；(2)解：∵∠ABC =120°，AB =2， ∴AB =DB =2，AG =√3，DG =1， ∵AE ⊥EC ，∴EG =12AC =√3，则BE =√2， ∴V E−ABD =13×12×2×2×sin60°×√2=√63．解析：本题考查了空间线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法．属于中档题．(1)证明AC ⊥BD ，AC ⊥BE ，即可证明AC ⊥平面BED ； (2)由已知求解三角形可得BE ，再由棱锥体积公式求解．21.答案：解：(1)以A 为坐标原点，分别以AD 、AB 、AP 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)，P(0,0，1)，C(1,1，0)，B(0,2，0)，M(0,1，12)， 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−1)，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2，|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5， AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2， cos(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√105， (2)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，12)，设n ⃗ =(x,y ，z)为平面的ACM 的一个法向量，则{AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即{x +y =0y +12z =0，令x =1，则y =−1，z =2， 所以n⃗ =(1,−1,2)， 则cos <n ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=2×6=√33， 设直线BC 与平面ACM 所成的角为α，则sinα=sin[π2−<n ⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >]=cos <n ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√33．解析：(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积，求AC 与PB 所成的角的余弦值， (2)设n ⃗ =(x,y ，z)为平面的ACM 的一个法向量，求出法向量，利用空间向量的数量积，直线BC 与平面ACM 所成角的正弦值．本小题考查空间中的异面直线所成的角、线面角、解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力．22.答案：(Ⅰ)证明：连接AC 与BD ，设交点为O ，连接EO ，由已知E ，O 分别为PC ，AC 中点，可得EO//PA ， 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥平面ABCD ，EO ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABCD ．(Ⅱ)以O 为原点，以OB ，OC ，OE 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系 设AB =a ，因为底面ABCD 为菱形，且∠ABC =60°，PA =AB ，则AC =a ，BO =√32a ，O(0,0，0)，A(0,−a2,0)，B(√32a,0,0)，C(0,a2,0)，D(−√32a,0,0)，E(0,0,a2)，F(0,−a 2,a2)，则FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32a,a2,−a2)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3a,0,0)． 设平面BFD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则有{m ⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{√3ax =0√32ax +a 2y −a2z =0，即{x =0y =z ， 令y =1，则m⃗⃗⃗ =(0,1,1)， 又由(Ⅰ)可知OC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0,a2,0)为平面BDE 的法向量，|cos〈m ⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|m ⃗⃗⃗ ⋅OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22， 所以二面角E −BD −F 的大小为π4．(Ⅲ)因为点M 在PB(端点除外)上，设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1)， 则P(0,−a2,a)，M(√32λa,λa 2−a2,a −λa)，MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32λa,a −λa 2,λa −a)，|cos〈m ⃗⃗⃗ ,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|m ⃗⃗⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=λa2|m ⃗⃗⃗ ||CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≠0 所以CM 与平面BDF 不平行．解析：本题考查二面角的平面角的求法，空间向量的数量积的应用，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力和计算能力，是中档题．(Ⅰ)连接AC 与BD ，设交点为O ，连接EO ，证明EO//PA ，通过PA ⊥平面ABCD ，得到EO ⊥平面ABCD ，然后证明平面BDE ⊥平面ABCD ．(Ⅱ)以O 为原点，以OB ，OC ，OE 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设AB =a ，求出平面BFD 的法向量以及平面BDE 的法向量，通过空间向量的数量积求解二面角E −BD −F 的大小． (Ⅲ)PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1)，说明利用空间向量的数量积不为0，证明CM 与平面BDF 不平行．。