等腰三角形中角度的计算.doc
八年级上册数学-等腰三角形(一)数学思想与求角
第14讲 等腰三角形（一）数学思想与求角知识导航等腰三角形两底角相等（等边对等角）．1．等腰三角形顶角处的外角等于底角的2倍． 2．多边形内角和计算公式：（n －2）·180°．【板块一】 整体思想求角方法技巧1．和为定值时可用整体思想求解单角的度数；也可已知单角度数求角的和或差的度数． 2．在共顶点的双等腰三角形的图形中，关注隐含的三角形全等，运用全等导角． 3．当整体代换不明朗时，可以引入参数x ，y 进行代数运算，整体求值． 【例1】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝50°，P 为△ABC 内一点，∠PBC ＝∠PCA ，求∠BPC 的度数．AC【对练1】如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，∠FDE 的两边分别交直线AC ，BC 于点F ，E ，若AF ＝AD ，BD ＝BE ，∠FDE ＝30°，求∠ACB 的度数．ABF【例2】如图，△ABC 和△DEC 均为等边三角形，∠ADB ＝80°． （1）求证：△DAC ≌△EBC ； （2）求∠DBE 的度数．EACD【例3】如图，OA ＝OB ＝OC ，∠AOB ＝20°，∠BOC ＝2∠BAC ，求∠ACB 的度数．BOAC【例4】如图，∠ACD ＝∠BED ＝90°，AC ＝DC ，BE ＝DE ，点E 在AC 上，求∠CDE ＋∠EBA 的度数．BC AD【对练2】如图，∠ACD ＝∠BED ＝40°，AC ＝DC ，BE ＝DE ，点E 在AC 上，求∠CDE ＋∠EBA 的度数．A针对练习11．已知∠A ＝∠D ，AB ＝AC ，∠DBC ＋∠DCA ＝70°，则∠A 的度数．B AD2．如图，O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠D ＝50°，∠OAD ＋∠OCD ＝2∠ABC ，求∠AOC 的度数．C 3．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝40°，若∠DCA＝130°，求∠BDC的度数．ED4．如图，△ABC于△EDC均为等边三角形，且∠EBD＝70°，求∠AEB的度数．B5．如图，△ADC与△DEB均为等腰三角形，AC＝CD，ED＝EB，点E在CA延长线上，∠DEB＝∠C，连接AB，若∠CDE－∠ABE＝75°，求∠C的度数．C【板块二】方程思想求角度方法技巧等腰三角形求角度问题主要有一个等腰三角形或多个等腰三角形接力型或共顶点型及镶嵌接力型等．复杂问题要寻找角度之间的联系，巧设未知数，根据几个角的和或两个角之间的关系列方程（组）求解，关注三角形的外角和内角的关系．【例5】如图，△ABC中，∠A＝∠ABC，DE垂直平分BC于点D，交AC于点E．（1）若AB＝5，AC＝8，求△ABE的周长；（2）若BE＝BA，求∠C的度数．BC 【例6】如图，AB＝AC，D为BC上一点，BD＝AB，E为AD延长线上一点，DC＝CE，AE ＝A C．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AB＝DE＋E C．ACB【例7】如图，∠MAN＝16°，点A1在AM上，在AN上任取一点A2，使A2A1＝AA1，再在AM上取一点使A3A2＝A2A1，…，如此一直作下去，则不能再作为止．那么作出的最后一点是（）O M31A．A5B．A6C．A7DA8【例8】如图，在Rt△ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点E，交AB于点D，CD＝DB，点F在CD上，EF＝E C．（1）求证：△AEC≌△BEF；（2）若∠DFB＝3∠DBF，求∠DEB的度数．AC B针对练习21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAD ＝30°，AD ＝AE ，求∠EDC 的度数．CBA2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝BD ，AD ＝DE ＝EB ，求∠A 的度数．CBA3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，点E 在AB 上，BD ＝BC ＝BE ，AE ＝ED ，求∠C 的度数．BC4．如图，一钢架中，∠A ＝15°，焊上等长的钢条来加固钢架．若AP 1＝P 1P 2，P 2P 3＝P 1P 2，…，则这样的钢条最多能焊上（ ）．31A ．4条B ．5条C ．6条D ．7条4．如图，△ABD 与△ACE 中，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠DAB ＝∠CAE ． （1）求证：CD ＝BE ； （2）若∠ABE ＝15°，DC 与AB ，BE 分别交于点F ，点O ，DF ＝DB ，求∠BOD 的度数．DE6．如图，∠BAC ＝90°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，CM ⊥CD ，点M 在AB 的垂直平分线上，AM 交BC 于点O ，MG ⊥AC 于点G ．（1）求证：∠BCM ＝∠GCM ； （2）若CG ＝2，求BC －AG 的长；（3）若点D 在BC 的垂直平分线上，求∠AMB 的度数．GMBA【板块三】 分类讨论求角度方法技巧当等腰三角形的底与腰不明，顶角与底角不明，或是三角形的形状不明时，常需要分类讨论． 【例9】（1）等腰三角形两边分别为2，3时，求其周长； （2）等腰三角形两边分别为2，4时，求其周长．【例10】等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°，求这个三角形的底角的度数．【例11】平面直角坐标系中，已知A （3，3），B （0，5）．点C 为坐标轴上一点，且△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．7个 【例12】（2018绍兴）（1）等腰△ABC 中，∠A ＝80°，求∠B 的度数；（2）解（1）后，小敏发现，∠A 的度数不同，得到∠B 的度数的个数也可能不同，如果在等腰△ABC 中，设∠A ＝x °，当∠B 有三个不同的度数时，请你探索x 的取值范围．【例13】如图1，△ABC 和△ADE 中，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，BC 交DE 于点O ，设∠BAD ＝α． （1）求证：∠BOD ＝α； （2）求证：OA 平分∠BOE ；（3）如图2，设AC 与DE 交于点F ，若△AOF 是等腰三角形，∠C ＝30°，直接写出∠α的度数是 ．EBAEAB针对练习31．等腰三角形的两边长为5和6，则其周长为 ． 2．等腰三角形的两边长为2和5，则其周长为 ． 3．等腰三角形有一个角为50°．其底角为 ． 4．等腰三角形有一个角为100°．其底角为 ． 5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则底角的度数为（ ） A ．60° B ．120° C ．60°或120° D ．60°或30°6．△ABC 中，AB ＝AC ，AB 垂直平分线与AC 所在的直线所得的锐角为50°，则∠B 的度数是 ．7．△ABC 的高AD ，BE 所在的直线交于点M ，若BM ＝AC ，求∠ABC 的度数． 8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以△ABC 的一边为等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）CBA ABCA ．4B ．5C ．6D ．7 9．如图，直线a ，b 相交于点O ，∠1＝50°，点A 在直线a 上，直线b 上存在点B ，使以点O ，A ，B 为顶点的三角形，这样的B 点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．已知E 是等边△ABC 内一点，∠AEB ＝100°，∠BEC ＝α，以EC 作等边△CEF ，连接AF ，当△AEF 为等腰三角形时，试求α的度数．FABC。
(一) 等腰三角形的角度计算
(3)解：假设△DEF 是等腰直角三角形，即∠DEF＝90°， ∴∠BDE＋∠DEB＝90°，∴∠B＝∠C＝90°. ∵这与三角形的内角和定理相矛盾， ∴△DEF 不可能是等腰直角三角形． (4)解：猜想∠A＝60°时，∠EDF＋∠EFD＝120°. 理由：∵∠A＝60°，∠B＝∠C， ∴∠B＝∠C＝60°.∴∠BDE＋∠DEB＝120°. ∵△DBE≌△ECF，∴∠FEC＝∠EDB， ∴∠FEC＋∠DEB＝120°，∴∠DEF＝60°， ∴∠EDF＋∠EFD＝定理和角平分线的性质列出方程是求角 大小的重要方法，这充分运用了方程的思想．
如图，在△ABC 中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD 是边 AC 上的高， 求∠DBC 的度数．
解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A， ∴∠C＋∠ABC＋∠A＝5∠A＝180°， ∴∠A＝36°， ∴∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°. 又∵BD 是边 AC 上的高， ∴∠DBC＝90°－∠C＝18°.
(1)求证：△DEF 是等腰三角形； (2)当∠A＝40°时，求∠DEF 的度数； (3)△DEF 可能是等腰直角三角形吗？为什么？ (4)请你猜想：当∠A 为多少度时，∠EDF＋∠EFD＝120°？并请说明理由．
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵AD＋EC＝AB＝AD＋BD，∴BD＝EC.
(2)不变．理由如下： 由(1)知∠DAE＝90°－180°－2 ∠B＋12∠ACB＝12(∠B＋∠ACB)＝45°. 从上式可看出，当 AB 和 AC 不相等时，∠B＋∠ACB 也是定值，为 90°， ∴∠DAE 的度数不变．
如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，AD 平分∠BAC，点 M 是 AC 的中点，在 AD 上取点 E，使得 DE＝AM，EM 与 DC 的延长线交于点 F.
八年级等腰三角形知识点
八年级等腰三角形知识点
等腰三角形是指两边长度相等的三角形，下面我们来详细了解
一下八年级等腰三角形知识点。
一、等腰三角形的性质
等腰三角形有以下性质：
1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（底边两侧的角）相等。
2. 顶角平分底边：等腰三角形顶角（顶点处的角）平分底边。
3. 高线对称：等腰三角形的高线（从顶点到底边垂线）对称，
即高线分成的两段相等。
二、等腰三角形的面积公式
等腰三角形的面积公式为 S = 1/2 × b × h，其中 b 为底边长度，
h 为高线长度。
三、等腰三角形的角度计算
当知道等腰三角形的两边长度和其中一个角的度数时，我们可以计算出其余角的度数。
比如，已知等腰三角形的两边长度均为 5cm，其中一个角度为60°，则另外两个角的度数都是 60°，因为两个底角相等。
四、等腰三角形的特殊情况
1. 等腰直角三角形：等腰三角形中，如果其中一个角是直角（90°），则另外两个角度一定是 45°，即两底角相等，且顶角为底角的平分线。
2. 等边三角形：等腰三角形中，如果两边长度相等的三角形也满足两边长度相等，那么这个等腰三角形就是等边三角形。
五、等腰三角形的应用
等腰三角形在生活中有许多应用，比如构建正方形、六边形等
多边形，也经常用于计算三角形的面积和角度。
六、小结
以上就是八年级等腰三角形的知识点，包括等腰三角形的性质、面积公式、角度计算、特殊情况和应用。
了解等腰三角形的知识，有助于我们更好地理解几何学的基础知识，并应用于实际生活中。
等腰三角形性质定理
知识点一：等腰三角形、腰、底边 在小学里我们就已经学过，有两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，则它叫等腰三角形，其中AB 、AC 为腰，BC 为底边，∠A 是顶角，∠B 、∠C 是底角．知识点二：三角形按边分类不等边三角形三角形底边与腰不相等的等腰三角形 等腰三角形等边三角形（正三角形）3例题讲解 40分钟 4随堂练习 20分钟等腰三角形的性质定理知识点三：等腰三角形的性质1、性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2、这两个性质证明如下：在△ABC中，AB=AC，如图所示．作底边BC的高AD，则有∴ Rt△ABD≌Rt△ACD．∴∠B=∠C，∠1=∠2．BD=CD．于是性质1、性质2均得证．3、说明：（1）①等腰三角形的性质1用符号表示为：∵AB=AC，∴∠B=∠C；②性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角相等的又一个重要依据．（2）①性质2实质包含三条性质，符号表示为：∵ AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴ BD=CD；或∵ AB=AC，BD=CD，∠l=∠2，∴ AD⊥BC．②性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．一、规律方法指导1．等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。
2．常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。
（2）在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。
专题06 利用等腰三角形的性质求角的度数(解析版)
专题06 利用等腰三角形的性质求角的度数知识对接考点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：(1)具有三角形的一切性质.(2)两底角相等(等边对等角)(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.3.判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.要点补充：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.考点二、角1．对顶角(1)定义：如果两个角有一个公共顶点，而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这两个角叫对顶角.(2)性质：对顶角相等.2．邻补角(1)定义：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.(2)性质：邻补角互补.3．同位角、内错角、同旁内角(1)基本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截，构成八个角，简称三线八角，如图所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是内错角；∠1和∠5、∠2和∠6是同旁内角.(2)特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个角.两个角的一条边在同一直线(截线)上，另一条边分别在两条直线(被截线)上.专项训练1一、单选题1．（2021·江苏九年级专题练习）等腰三角形的一个外角是130°，则它的底角的度数为（ ） A ．65° B ．80°或50° C ．50° D ．65°或50°【答案】D 【分析】分该外角是底角的外角还是顶角的外角两种情况解答即可． 【详解】解：①当该外角是底角的外角时，底角为：180°-130°=50°； ①当该外角是顶角的外角时，则底角为：130°×12=65°所以底角为65°或50°． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．2．（2021·湖北黄冈·九年级模拟预测）如图，有一块含有45︒角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果120∠=︒，那么2∠的度数是（ ）A ．20︒B ．25︒C ．30D ．45︒【答案】B 【分析】依题意，由直尺边是相互平行、三角形为等腰直角三角形，可得+2=45DAC ∠∠︒，即可； 【详解】由题知，如图，ABC 为等腰直角三角形，① 45BAC BCA ∠=∠=︒； 直尺边相互平行，120∠=︒① ADCE ，①120DAC ∠=∠=︒；又+245DAC ∠∠=︒，① 225∠=︒； 故选：B ；【点睛】本题考查平行线、等腰直角三角形的性质，关键在熟练应用等腰直角三角形的角的关系； 3．（2021·福建省福州咨询有限公司九年级模拟预测）如图，在①ABC 中，①B=40°，将①ABC 绕点A 逆时针旋转，得到①ADE ，点D 恰好落在直线BC 上，则旋转角的度数为( )3A ．70°B ．80°C ．90°D ．100°【答案】D 【分析】利用旋转的性质得到①ABC①①ADE ，根据全等三角形的性质可知AB=AD ，进而得到①ADB=①B=40°，再利用三角形内角和定理即可解答. 【详解】①将①ABC 绕点A 逆时针旋转，得到①ADE ①①ABC①①ADE ①AB=AD ①①ADB=①B=40° ①①ADB+①B+①BAD=180° ①①BAD=180°-40°-40°=100° 故选D 【点睛】本题考点涉及旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题关键.4．（2021·湖北黄石八中九年级三模）如图，在①ABC 中，①BAC ＝116°，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，E ，作直线DE ，交BC 于点M ；分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点P 、Q ，作直线PQ ，交BC 于点N ；连接AM 、AN ．则①MAN 的度数为（ ）A ．52°B ．50°C ．58°D ．64°【答案】A 【分析】先根据作图可知DE 和FG 分别垂直平分AB 和AC ，再利用线段的垂直平分线的性质得到①B ＝①BAM ，①C ＝①CAN ，即可得到①MAN 的度数． 【详解】解：由作图可知，DE 和FG 分别垂直平分AB 和AC ，①MB ＝MA ，NA ＝NC ，①①B ＝①MAB ，①C ＝①NAC =116°， 在①ABC 中，BAC ∠=， ①①B ＋①C ＝180°−①BAC ＝64°， 即①MAB ＋①NAC ＝64°，则①MAN ＝①BAC −（①MAB ＋①NAC ）＝52°． 故选A ． 【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理．解题时注意：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．5．（2021·陕西西安·交大附中分校）如图，①ABC 是①O 的内接三角形，AB ＝AC ．BO 的延长线交AC 于点D ．若①ABD ＝23°．则①A 的度数为（ ）A ．23°B ．32°C ．46°D ．60°【答案】C 【分析】延长BD 交O 于点E ，连接AE ，由圆周角定理可得90BAE ∠=︒，继而解得67AEB ∠=︒，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解题即可． 【详解】解：延长BD 交O 于点E ，连接AE ，则90BAE ∠=︒23ABD ∠=︒9067AEB ABD ∴∠=︒-∠=︒67ACB AEB ∴∠=∠=︒AB AC =567ABC ACB ∴∠=∠=︒18046BAC ABC ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒ 故选：C ． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与圆心、圆周角定理、直径所对的圆周角是90°、等腰三角形、三角形的内角和定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．6．（2021·浙江）如图，直线////a b c ，等腰直角ABC 的三个顶点分别在直线a ，b ，c 上（A 为直角顶点），若120∠=︒，则①2的度数为（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【答案】C 【分析】利用平行线的性质可以得到1320∠=∠=︒，由ABC 是等腰直角三角形可得到45ABC ∠=︒，再利用角的等量关系列式计算即可． 【详解】解：如图所示建立3∠①////a b c ①1320∠=∠=︒①ABC 是等腰直角三角形 ①45ABC ∠=︒①23452025ABC =-=︒-︒=︒∠∠∠ 故答案选：C 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，利用平行线的性质进行角度等量代换是解题的关键．7．（2021·湖北随州·九年级一模）如图，PA、PB分别是①O的切线，A、B为切点，AC是①O的直径，已知①BAC=35°，①P的度数为（）A．35°B．45°C．65°D．70°【答案】D【分析】由PA与PB都为圆的切线，根据切线的性质得到OA与AP垂直，OB与BP垂直，可得出①OAP与①OBP都为直角，又OA=OB，根据等边对等角可得①ABO与①BAC相等，由①BAC 的度数求出①ABO的度数，进而利用三角形的内角和定理求出①AOB的度数，在四边形APBO中，利用四边形的内角和定理即可求出①P的度数；【详解】①PA，PB分别是圆的切线①OA①AP，OB①BP，①①OAP=①OBP=90°，① OA=OB，①BAC=35°，① ①ABO=①BAC=35°，①①AOB=180°-35°-35°=110°，在四边形APBO中，①OAP=①OBP=90°，①AOB=110°，则① P=360°-(①OAP+①OBP+①AOB)=70°，故选：D．【点睛】此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形及四边形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键；∠=︒，则①2 8．（2021·全国）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若120的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．40°【答案】C【分析】利用平行线的性质求得①3的度数，即可求得①2的度数．【详解】①AD①BC，①①3=①1=20︒，①①DEF是等腰直角三角形，①①EDF=45︒，①①2=45︒-①3=25︒，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．9．（2021·沙坪坝区·重庆八中九年级）如图，已知AB①CD，AD＝CD，①1＝40°，则①2的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°【答案】C【分析】由等腰三角形的性质可求①ACD＝70°，由平行线的性质可求解．【详解】①AD＝CD，①1＝40°，①①ACD＝70°，①AB①CD，①①2＝①ACD＝70°，故选：C．7【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，是基础题．10．（2021·河南九年级二模）如图，在①ABC中，AB＝AC，AE平分①BAC，DE垂直平分AB，连接CE，①B＝70°．则①BCE的度数为（）A．55°B．50°C．40°D．35°【答案】B【分析】连接BE，根据等腰三角形性质求出EB＝EC，根据线段垂直平分线性质求出AE＝BE，根据等边对等角求出①BAE＝①EBA、①BCE＝①EBC，即可求出答案．【详解】解：如图，连接BE，①AB＝AC，AE平分①BAC，①EB＝EC，①①EBC＝①ECB，①①ABC＝70°，AC＝AB，①①ACB＝①ABC＝70°，①①BAC＝180°﹣①ABC﹣①ACB＝40°，①AE平分①BAC，①①BAE＝20°，①DE垂直平分AB，①AE＝EB，①①ABE＝①BAE＝20°，①①BCE＝①EBC＝①ABC﹣①ABE＝70°﹣20°＝50°，故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出①BAE=①EBA和①BCE=①EBC是解此题的关键．二、填空题11．（2021·辽宁九年级）AD是等腰三角形ABC的高，BC=2AD，则①BAC的度数是_____．【答案】90°或75°或15°【分析】可以分别从若BC是底边，即AB＝AC，与若BC是腰，即BC＝BA，①点D在BC边上，①若点D在CB的延长线上去分析，根据等腰三角形的性质与直角三角形的性质，即可求得答案．【详解】解：①AD是BC边上的高线，若BC是底边，即AB＝AC，如图（1）所示，①BD＝DC，AD①BC，①BAD＝①CAD①AD＝BD①①B＝①BAD＝45°①①BAC＝2①BAD＝90°若BC是腰BC＝BA，①若点D在BC边上，如图（2）所示，则在Rt①BAD中，①BA＝2AD，①①B＝30°，①①BAC＝75°；①若点D在CB的延长线上，如图（3）所示，类似地，得：①DBA＝30°，则：①ABC＝150°，①①BAC＝15°．综上：①BAC的度数为90°，75°，15°．912．（2021·华中科技大学附属中学）如图，将Rt ABC ∆绕直角顶点C 逆时针旋转50︒，使顶点A 的对应点D 落在边AB 上，点B 的对应点E 与点D 的连线交BC 于点F ，则CFE ∠的度数为_______︒．【答案】105． 【分析】将Rt ABC ∆绕直角顶点C 逆时针旋转50︒得到Rt DEC ∆，可得旋转角=50DCA ECB ∠=∠︒，由CA =CD ，可求65A CDA ∠=∠=︒，由旋转性质①EDC =①A=65°，可求①FCD =90°-①ACD =90°-50°=40°，由外角性质=105CFE FCD CDF ∠∠+∠=︒． 【详解】解：将Rt ABC ∆绕直角顶点C 逆时针旋转50︒得到Rt DEC ∆， ①旋转角=50DCA ECB ∠=∠︒， ①CA =CD ， ①()1180652A CDA DCA ∠=∠=︒-∠=︒， ①①EDC =①A=65°，①①FCD =90°-①ACD =90°-50°=40°，①=4065105CFE FCD CDF ∠∠+∠=︒+︒=︒， 故答案为：105．【点睛】本题考查旋转变换，旋转角，等腰三角形的性质，三角形内角和，互余角计算，三角形外角性质，掌握旋转变换性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，互余角计算，三角形外角性11质，能从图中找到旋转角是解题关键．13．（2021·苏州高新区第二中学九年级二模）如图，在ABC ∆中，90,BAC ∠=︒点D 在BC 上，BD BA =，点E 在BC 的延长线上，CA CE =，连接AE ，则DAE ∠的度数为_____________．【答案】45 【分析】利用余角、等腰三角形和三角形外角的性质即可求出． 【详解】①BDA DAE AEC ∠=∠+∠，DAE DAC EAC ∠=∠+∠， ①BDA DAC EAC AEC ∠=∠+∠+∠． ①90DAC BAC BAD BAD ∠=∠-∠=︒-∠， ①90BDA BAD EAC AEC ∠=︒-∠+∠+∠． 根据题意可知=BDA BAD EAC AEC ∠=∠∠∠，． ①45BDA AEC ∠-∠=︒， ①=45DAE ∠︒． 故答案为：45． 【点睛】本题考查等腰三角形和三角形外角的性质以及余角．找出图形中角的等量关系是解答本题的关键．14．（2021·辽宁九年级）如图，在ABC 中，AB AC =，40B ∠=︒，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于点E ，在点D 从B 向C 运动过程中，如果ADE 是等腰三角形，则BDA ∠的度数是____________【答案】110°或80° 【分析】根据等腰三角形的性质，先求出①BAC 的度数，然后分3种情况：①AD ＝AE 时，①AD＝ED时，①当AE＝DE时，分别求解，即可．【详解】①在①ABC中，AB＝AC，①B＝40°，①①B＝①C=40°①①BAC＝100°，①AD＝AE时，①AED＝①ADE＝40°，①①DAE＝100°，此时，点D与点B重合，不符合题意舍去，①AD＝ED时，①DAE＝①DEA，①①DAE＝12（180°−40°）＝70°，①①BAD＝①BAC−①DAE＝100°−70°＝30°，①①BDA＝180°−①B−①BAD＝110°，①当AE＝DE时，①DAE＝①ADE＝40°，①①BAD＝100°−40°＝60°，①①BDA＝180°−40°−60°＝80°，综上所述：①BDA的度数为110°或80°时，①ADE的形状是等腰三角形，故答案是：110°或80°【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质，三角形内角和定理的理解和掌握，解本题的关键是分类讨论，是一道基础题目．15．（2021·四川广安市·）规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“雅系特征值”，记作k，若2k3，则该等腰三角形的顶角为_____．【答案】45°．【分析】根据等腰三角形的性质得出①B=①C，根据三角形内角和定理和已知得出5①A=180°，求出即可．【详解】解：①①ABC中，AB=AC，①①B=①C，13①等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k ，若k=2k 3=， ①①A ：①B ：①C =2：3：3， 即①A=180°×22+3+3=45°， ①①A=45°． 故答案为：45°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质，能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理和已知得出①A=180°×22+3+3是解题关键． 三、解答题16．（2021·厦门市松柏中学九年级）如图，在Rt ABC △中，①BAC ＝90°，将Rt ABC △绕直角顶点A 逆时针旋转一定角度后得到Rt ADE △，当点D 在边BC 上时，连接CE ． （1）若旋转角为60°，求①ACB 的度数； （2）若AB ＝3，AC ＝4，求sin①DAC 的值．【答案】（1）30°；（2）725【分析】（1）由旋转的性质得出AD AB =，60BAD ∠=︒，进而由等腰三角形的性质及三角形的内角和得出60B ADB ∠=∠=︒，最后再由直角三角形的两个锐角互余即可求得答案；（2）由勾股定理求出5BC =，过点A 作AF BC ⊥于点F ，由三角形的面积求出AF 的长，进而可求出CD ，DE 的长，则可得出答案． 【详解】解：（1）将Rt ABC △绕直角顶点A 旋转一定角度后得到Rt ADE △，旋转角为60°，AD AB ∴=，60BAD ∠=︒，60B ADB ∴∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，9030ACB B ∴∠=︒-∠=︒，①①ACB 的度数为30°；（2）90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，5BC ∴==，如图，过点A 作AF BC ⊥于点F ，∴1122ABCSAB AC BC AF =⋅=⋅， 341255AB AC AF BC ⋅⨯∴===，95BF ∴，=AD AB ，AF BC ⊥，95DF BF ∴==， 75CD BC BD ∴=-=， 设AC 与DE 相交于点K ，①将Rt ABC △绕直角顶点A 旋转一定角度后得到Rt ADE △，AD AB ∴=，AE AC =，90BAC DAE ∠=∠=︒，B ADB ∴∠=∠，ACE AEC ∠=∠，90BAC DAE ∠=∠=︒，①90BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，又1902B BAD ∠=︒-∠，1902ECA CAE ∠=︒-∠，ECA B ∴∠=∠，又①旋转，15①B ADE ∠=∠，5DE BC ==，ECA B ADE ∠=∠=∠，AKD EKC ∠=∠，DAC CED ∴∠=∠，90ACB B ∠+∠=︒，ECA B ∠=∠，90ACB ECA ∴∠+∠=︒，775sin sin 525CD DAC CED DE ∴∠=∠===．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．17．（2021·湖北九年级）如图，ABC 中，点D 在BC 边上，且1902ADB CAD ∠=+∠°．（1）求证：AD AC =；（2）点E 在AB 边上，连接CE 交AD 于点F ，且CFD CAB ∠=∠，AE BD =， ①求ABC ∠的度数；①若8AB =，2DF AF =，直接写出EF 的长． 【答案】（1）见解析；（2）①60°；①23EF =． 【分析】（1）根据ADB ACB CAD ∠=∠+∠，1902ADB CAD ∠=+∠°可得C ADC ∠=∠，进而可得结论；（2）①过点D 作//DG CE 交AB 于点G ，根据“AAS”证出AEC ①DGA △，进而可得BDG 为等边三角形，可得答案；①过点D 作//DH AB 交CE 于点H ，可得FAE ①ACE ，根据比例式可得答案． 【详解】解：（1）①ADB ACB CAD ∠=∠+∠，1902ADB CAD ∠=+∠°，①1902ACB ADB CAD CAD ∠=∠-∠=-∠°，①180ADB CDA ∠+∠=°，①11180180909022CDA ADB CAD CAD ⎛⎫∠=-∠=-+∠=-∠ ⎪⎝⎭°°°°，①ACB ADC ∠=∠， ①AD AC =；（2）①过点D 作//DG CE 交AB 于点G ，①CFD CAB ∠=∠，CFD CAD ACE ∠=∠+∠，CAB CAD DAB ∠=∠+∠， ①ACE DAB ∠=∠，又①ACD ADC ∠=∠，ECB ACD ACE ∠=∠-∠，B ADC DAB ∠=∠-∠， ①ECB B ∠=∠， ①CE BE =， ①//DG CE ， ①ECB B ∠=∠， ①DG BG =，①AEC DGA ∠=∠，AC DA =，ACE DAG ∠=∠， ①AEC ①DGA △(AAS)， ①DG AE =， 又①AE BD =， ①DG BD BG ==， ①BDG 为等边三角形， ①60ABC ∠=︒； ①23EF =． 过点D 作//DH AB 交CE 于点H ，由①知EBC 和HDC △均为等边三角形，17设AE BD x ==，则8BE BC x ==-， ①82DH CD x ==-， ①//DH AB ， ①AE AF DH FD =，即182x x =-， ①2x =，①ACE DAB ∠=∠， ①FAE ①ACE ， ①EF AFAE AC=， ①3AC AD AF ==， ①13EF AE =，1233EF AE ==.【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键，题目难度较大，综合性较强．18．（2021·江苏南通田家炳中学九年级）如图，已知点D 、E 在ABC 的边BC 上，AB AC =，AD AE =．（1）求证：BD CE =；（2）若AD BD DE CE ===，求BAE ∠的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）90． 【分析】（1）作AF BC ⊥于点F ，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF CF =，DF EF =，相减后即可得到正确的结论；（2）根据等边三角形的判定得到ADE 是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点A 作AF BC ⊥于F ．AB AC =，AD AE =，∴BF CF =，DF EF =， ∴BF DF CF EF -=-， ∴BD CE =．（2）AD DE AE ==，∴ADE 是等边三角形， ∴60DAE ADE ∠=∠=，AD BD =，∴DAB DBA ∠=∠， ∴1302DAB ADE ∠=∠=， ∴603090BAE DAB DAE ∠=∠+∠=+=．答：BAE ∠的度数为：90． 【点睛】本题考查了等腰三角形和等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是本题的关键．19．（2021·福建九年级）如图，已知等腰三角形ABC 的顶角108A ∠=︒．（1）在BC 上作一点D ，使AD CD =（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．（2）直接写出BAD ∠的度数． 【答案】（1）见解析；（2）72° 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可在BC 上作一点D ，使AD=CD ； （2）结合（1）根据三角形内角和及等腰三角形的性质求出C ∠及DAC ∠，所以BAD BAC DAC ∠=∠-∠问题得解．【详解】19解：（1）如图，点D 即为所求；（2）连接AD ，①AB AC =，108A ∠=︒， ①36B C ∠==︒， 由（1）得：AD CD =， ①36DAC C ∠=∠=︒，1083672BAD BAC DAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据图形正确找到角之间的关系是解题的关键．20．（2021·湖南湘西·）如图，在ABC ∆中，点D 在AB 边上，CB CD =，将边CA 绕点C 旋转到CE 的位置，使得ECA DCB ∠=∠，连接DE 与AC 交于点F ，且70B ∠=︒，10A ∠=︒． （1）求证：AB ED =； （2）求AFE ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）50AFE ∠=︒ 【分析】（1）由题意易得ECD ACB ∠=∠，AC EC =，则有≌ACB ECD △△，然后问题可求证； （2）由（1）可得10E A ∠=∠=︒，然后可得40ECA DCB ∠=∠=︒，进而根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：①ECA DCB ∠=∠，①ECA ACD DCB ACD ∠+∠=∠+∠，即ECD ACB ∠=∠，①AC EC =，CB CD =， ①()ACB ECD SAS ≌， ①AB ED =；（2）解：①CB CD =，70B ∠=︒， ①70CDB B ∠=∠=︒，①根据三角形内角和可得180240BCD B ∠=︒-∠=︒， ①40ECA DCB ∠=∠=︒，由（1）可得≌ACB ECD △△， ①10A ∠=︒， ①10E A ∠=∠=︒，①50AFE E ACE ∠=∠+∠=︒． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．21．（2021·江苏九年级）如图，在四边形ABCD 中，①B ＝90°，AC 平分①DAB ，DE ①AC ，垂足为E ，且AE ＝AB ． （1）求证：BC ＝DE ；（2）若①DAC ＝40°，求①CDE 的度数．【答案】（1）见解析；（2）20° 【分析】（1）根据ASA 证明①ABC ①①AED ，由全等三角形的性质即可求证；（2）根据①ABC ①①AED 可得AC =AD ，根据等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】证明：①DE ①AC ，①B =90°， ①①B =①AED =90°， ①AC 平分①DAB ， ①①BAC =①EAD ，21 在①ABC 和①AED 中，BAC EADAB AE B AED∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，①①ABC ①①AED （ASA ），①BC =DE ；（2）①①ABC ①①AED ，①AC =AD ，①①ACD =①ADC ，①①DAC =40°，DE ①AC ，①①ACD =①ADC =70°，①ADE =50°，①①CDE =20°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．22．（2021·浙江九年级二模）已知：如图，在五边形ABCDE 中，AB AE =，B E ∠=∠，BC ED =．（1）求证：ABC AED ≌△△．（2）当//AC DE ，40ADE ∠=︒时，求ACD ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）70︒【分析】（1）利用SAS 即可证明结论；（2）结合（1）可得AC =AD ，根据等腰三角形的性质即可求出①ACD 的度数．【详解】（1）证明：①AB AE =①B E ∠=∠①BC ED =①()ABC AED SAS ≌△△（2）①//AC DE ，40ADE ∠=︒①40CAD ADE ∠=∠=︒①ABC AED ≌△△①AC AD = ①()1180702ACD CAD ∠=︒-∠=︒ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用边角边证明①ABC ①①AED ． 23．（2021·温州市第十二中学九年级）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，//FB EA 交EC 于H 点，EA FB =，AB CD =．（1）求证：ACE BDF ≌；（2）若CH BC =，50A ∠=︒，求D ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）80°【分析】（1）由//EA FB ，利用同位角相等可得EAC FBD ∠=∠．由AB CD =，利用等式性质可得AC BD =，可证()ACE BDF SAS ≌；（2）由//FB EA 可得=50EAC FBD ∠=∠︒，由CH BC =利用等角对等边，可求50HBC BHC ∠=∠=︒．利用三角形内角和可得80ECA ∠=︒．利用ACE BDF ≌性质，可得80ECA D ∠=∠=︒．【详解】（1）证明：①//EA FB ，①EAC FBD ∠=∠．①AB CD =，①AB BC CD BC +=+，即AC BD =，在ACE 和BDF 中，①AC BD EAC FBD EA FB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()ACE BDF SAS ≌．23 （2）解：//FB EA ，①=50EAC FBD ∠=∠︒，①CH BC =，①50HBC BHC ∠=∠=︒．①180505080ECA ∠=︒-︒-︒=︒．①ACE BDF ≌，①80ECA D ∠=∠=︒．【点睛】本题考查平行线性质，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，三角形内角和，掌握平行线性质，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，三角形内角和是解题关键．。
等腰直角三角形公式
等腰直角三角形是指两条腰相等，一个直角的三角形。
这种特殊的三角形有着很多有趣的性质和公式，本文主要介绍等腰直角三角形的公式。
第一段：等腰直角三角形的定义和图形
等腰直角三角形的定义比较简单，即两条腰相等，一个角为直角的三角形。
图形上来看，这种三角形的两条腰对称轴的对称点是直角，而另一条边是斜边。
第二段：等腰直角三角形面积公式
三角形的面积是初中数学中的基本知识，对于等腰直角三角形而言也有自己的独特面积公式。
利用等腰直角三角形的几何特征，我们可以推导出它的面积公式：
面积 = （腰长）的平方 / 2
第三段：等腰直角三角形斜边长公式
斜边是等腰直角三角形中最长的一条边，也是图形中最为容易推导的公式，斜边长与腰长有何关系呢？斜边长 = （腰长）*根号2
第四段：等腰直角三角形的角度关系公式
等腰直角三角形的角度关系相对比较复杂，其中最为详细的就是三条角的度数之间的关系。
因为其中包括了一个90度的直角，所以关系比较简单：
斜角 = 45度
腰边角 = 45度
第五段：等腰直角三角形的三边比例公式
在数学学科中，等腰直角三角形也有自己的三条边比例公式，它们是：
斜边 : 腰 = 根号2 : 1
腰 : 斜边 = 1 : 根号2
腰 : 斜边 : 腰 = 1 : 根号2 : 1
总之，等腰直角三角形公式是初中数学学科中最为基础、重要的知识，掌握好这些公式可以迅速地解决问题，也可以推导出许多其他的知识。
希望对学生们的学习有所帮助！。
三角形角度公式大全
三角形角度公式大全
在平面几何中，三角形是指由三条线段所构成的图形。
三角形具有一些特殊的属性和角度公式，下面列出了一些常见的三角形角度公式大全：
1. 内角和公式：三角形的三个内角之和总是等于180°，表示为：A + B + C = 180°，其中A、B、C分别表示三角形的三个内角。
2. 外角和公式：三角形的一个外角等于其不相邻两个内角的和，表示为：D = A + B 或 D = B +
C 或
D = A + C，其中D表示一个外角。
3. 直角三角形的角度公式：直角三角形的两个小角相加等于直角，表示为：A + B = 90°或 A +
C = 90°或 B + C = 90°，其中A、B、C分别表示三角形的三个内角。
4. 等边三角形的角度公式：等边三角形的三个内角都等于60°。
5. 等腰三角形的角度公式：等腰三角形的两个底角相等，表示为：A = B 或 A = C 或 B = C，
其中A、B、C分别表示三角形的三个内角。
6. 锐角三角形的角度公式：锐角三角形的三个内角都小于90°。
7. 钝角三角形的角度公式：钝角三角形的一个内角大于90°。
这些是一些常见的三角形角度公式大全，根据具体的三角形形状和条件，可以应用不同的公式进行角度计算。
等腰三角形知识点+经典例题
等腰三角形知识点+经典例题本文介绍了等腰三角形的定义、作法、对称性、性质和判定定理。
首先定义了等腰三角形是有两条边相等的三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
然后介绍了作法，即以已知的线段a,b作等腰三角形ABC，使AB=AC=b,BC=a。
接着讲解了等腰三角形的对称性，包括轴对称、底角相等、底边上的中线等长、底边上的高线垂直于底边等。
其次，介绍了等边三角形与等腰三角形的关系，即等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
接下来，讲解了等腰三角形的性质，包括底角相等、顶角平分线、底边上中线和高线互相重合等。
最后，介绍了等腰三角形的判定定理，即若一条角平分线同时是等腰三角形的两边之一，则该三角形是等腰三角形。
同时，还给出了等腰三角形中重要线段的性质，包括两底角的平分线相等、底边上的高上任一点到两腰的距离相等等。
1.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
简单来说，等角对等边。
要点解释：要明确判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆。
判定定理得到的结论是等腰三角形，而性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角的关系。
此外，不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形。
2.等边三角形的判定定理如果三个角相等，那么这个三角形就是等边三角形。
另外，一个角是60°的等腰三角形也是等边三角形。
3.含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
要点解释：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后通过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。
这种证明命题的方法叫做反证法，也称归谬法，适用于直接证明有困难的命题。
典型例题】类型一、等腰三角形中有关角度的计算题例1、（2016春•太仓市期末）如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数。
等腰三角形的性质及计算方法
等腰三角形的性质及计算方法等腰三角形是指两条边相等的三角形。
在数学中，我们经常需要计算三角形的各种属性和特性。
本文将介绍等腰三角形的性质，并提供一些计算等腰三角形的方法。
一、等腰三角形的性质1. 两边相等：等腰三角形的两条边长度相等，即AB = AC。
这是等腰三角形最基本的性质。
2. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即两个基边所对的角）相等，即∠B = ∠C。
3. 顶角平分底角：等腰三角形的顶角（即顶点所对的角）平分底角，即∠A = ∠B = ∠C。
4. 等腰三角形的高：等腰三角形的高是从顶点向底边的垂直距离，记作h。
5. 等腰三角形的中线：等腰三角形的中线是连接底边中点与顶点的线段，记作AM。
二、等腰三角形的计算方法1. 计算等腰三角形的周长：等腰三角形的周长可以通过两边的长度和底边的长度来计算。
由于等腰三角形的两边相等，可以使用以下公式计算周长：周长 = AB + AC + BC = 2AB + BC。
2. 计算等腰三角形的面积：等腰三角形的面积可以通过高和底边的长度来计算。
使用以下公式计算面积：面积 = 1/2 * 底边长度 * 高 = 1/2 * BC * h。
3. 计算等腰三角形的高：若已知等腰三角形底边长度BC和两边的长度AB（或AC），可以使用勾股定理计算三角形的高。
假设底边的中点是M，则通过三角形的中线AM可以得到高h，并使用以下公式计算高：h = √(AB² - (1/2 * BC)²)。
4. 计算等腰三角形的底边长度：若已知等腰三角形的两边长度AB 和AC，可以使用以下公式计算底边的长度：BC = 2√(AB² - (1/2 * AC)²)。
5. 计算等腰三角形的顶角和底角：等腰三角形的顶角和底角相等，可以使用以下方法计算角度值：- 计算顶角的度数：∠A = ∠B = ∠C = 180度 / （3 - 1）= 90度。
- 使用正弦函数计算角度的弧度值：sin(∠A) = sin(∠B) = sin(∠C) = (1/2 * BC) / AB。
等腰三角形的性质与计算
等腰三角形的性质与计算等腰三角形是一种具有特殊性质的三角形，其中两条边的长度相等，被称为等腰边，而夹角相等的两条边则被称为底边或基边。
在本文中，我们将详细探讨等腰三角形的性质，并介绍一些常见的计算方法。
一、等腰三角形的性质1. 夹角性质等腰三角形中，夹角的度数相等。
也就是说，两条等腰边所夹的角度相等。
这个性质可以用来判断一个三角形是否为等腰三角形。
2. 垂直平分线等腰三角形的底边上的高的中点，同时也是等腰边上的高的中点，被称为垂直平分线。
垂直平分线将底边分成两段长度相等的部分，并且与底边垂直。
3. 对称性等腰三角形具有对称性。
也就是说，等腰三角形的两个等腰边关于底边相互对称。
二、等腰三角形的计算方法1. 底角计算底角是等腰三角形底边两边夹角的度数，我们可以通过以下公式来计算底角的大小：底角 = （180度 - 顶角度数）/ 22. 等腰边计算已知等腰三角形底边和底角的值，我们可以通过以下公式来计算等腰边的长度：等腰边长度 = （底边长度 / sin(底角)） x sin(顶角)3. 高的计算已知等腰三角形的底边和等腰边的长度，我们可以通过以下公式来计算高的长度：高的长度 = 等腰边长度 x cos(底角)三、例题分析现在，我们通过几个例题来应用上述等腰三角形的计算方法。
例题1：已知一个等腰三角形的底边长度为6 cm，底角为60度，求等腰边和高的长度。
解答：根据底角计算公式，底角 = （180度 - 60度）/ 2 = 60度根据等腰边计算公式，等腰边长度 = （6 cm / sin(60度)） x sin(60度) = 6 cm根据高的计算公式，高的长度 = 6 cm x cos(60度) = 3 cm例题2：已知一个等腰三角形的等腰边长度为10 cm，顶角为45度，求底角和高的长度。
解答：根据等腰边计算公式，底角 = （180度 - 45度）/ 2 = 67.5度根据高的计算公式，高的长度 = 10 cm x cos(67.5度) ≈ 4.14 cm通过以上例题，我们可以看到如何根据已知条件计算等腰三角形的各个性质。
三角形中的角度计算
三角形中的角度计算要进行三角形的角度计算，首先要搞清楚三角形角度之间的关系变化。
1、内角和定理在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°2、外角定理三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和3、直角三角形的两锐角直角三角形的两个锐角之和等于90°4、等腰三角形的三角的关系1(180°－n°n°，则两底角为);已知等腰三角形的一个底角为已知等腰三角形的顶角为2n°，则另一个底角也是n°,顶角为180°－2n°.三角形中的角度计算主要分以下三种形式：1、方程法，2、推理代换法，3、特殊值法1、方程法例1、在△ABC中，AB=AC，CD平分∠C，∠ADC=150°，求∠B[分析] (1)所求的∠B在△DBC内，已知的∠ADC是△DBC的外角，所以有∠ADC=∠B+∠BCD。
∠B是等腰△ABC的顶角，∠BCD B是底角的一半，可以用∠B表示，所以可利用方D程式求∠B。
CA ACD是底角的一半，(2)因为∠A是底角，∠A。
∠ADC是已知角，所以可以先求出∠11由三角形的内角和定x),BCD=(180°－(180°－x),∠解法1、设∠B=x，则∠ACB=42，即BCD=∠ADC理，可得∠B+∠1°°－x+x)=150(1804°所以x=1401ACD=∠，则∠ACB=x,ADC=180∠ACD+∠°，解法2、设∠A=xx。
因为∠A+21 =180x+°x+150°所以2 A=20°°,即∠解得x=20 °=140×20°∴∠B=180°－2C°，求∠大10A：7，∠C比∠A例2、在△ABC中，∠：∠B=57 ),所以有∠B=(x-10°A=x解：设∠C=x,则∠－10°,57°10－°)=180)+x+(x－10°(x5°即∠C=60°解得x=60,BAC ，求∠，边上一点，AD=BDAB=AC=CD的、例3D是△ABCBC C，∠∠所以有∠AB=AC=CDAD=BD][分析因为，，B=BAD=A CBD．∠DAC=∠ADC，且∠BAC+∠B+∠C=180°，这样我们可以设∠B=x,列出方程即可求。
等腰三角形中角度的计算
等腰三角形中角度的计算1.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD求∠A的度数2. 如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若∠EDF=70°，求∠AFD的度数3 如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A的度数4. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数5如图11，△ABC 中，点D 在AC 上，且AB=AD ， ∠ABC=∠C+30°，则∠CBD 等于（ ）6)如图,在Rt △ABC 中,D ,E 为斜边AB 上的两个.点,且BD=BC ,AE=AC ,则∠DCE 的大小为DB A C7．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．∠A=40°，则∠DEF的度数是______8．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于（）（A）顶角．（B）顶角的一半．（C）顶角的2倍．（D）底角的一半．9如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．∠A=40°，则∠DEF的度数为）（）10如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P=的度数为A．44°B．66°C．88°D．92°12如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为A．50°B．51 °C．51.5 °D．52.513如图在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N，分别交BC于D，E（1）若∠DAE=30°，则∠BAC=______．（2）若∠BAC=120°，则∠DAE= _____ ，（3）若MD，NE的延长线交于一点G，∠G=50°，则∠DAE= _____ ，14如图∠DEF=36°，AB=BC=CD =DE =EF,求∠A。
等腰三角形的一些定理
等腰三角形的一些定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：等腰三角形是指两边长度相等的三角形，它是三角形中一种常见的特殊三角形。
在几何学中，等腰三角形有许多有趣的性质和定理，这些定理在解题和证明中起着重要的作用。
本文将就等腰三角形的一些定理进行详细介绍。
等腰三角形的性质之一是两底角相等。
也就是说，等腰三角形的两个底角（非等边所对顶的两个角）是相等的。
这个定理可以通过等角的方法来证明，只需要利用等腰三角形两个底角相等的性质，我们就可以得到两个底角相等这个结论。
等腰三角形的高线经过底边的中点。
等腰三角形的高线是指从顶点到底边上某一点的垂直线段，而且高线会将底边平分成两等分。
这个定理可以通过高线垂直于底边、高线相等等方法来推导证明。
这个性质在解题中非常有用，可以帮助我们快速找到等腰三角形的高线长度。
等腰三角形的内角和为180度。
等腰三角形的内角和是指三个角的和，等于180度。
这个定理可以通过等腰三角形两底角相等的性质以及角的和为180度的性质来推导证明。
这个定理在解题时也经常用到，可以帮助我们快速计算等腰三角形的内角和。
等腰三角形的周长公式为P=2a+b，其中a为腰长，b为底边长。
等腰三角形的周长可以通过两腰长和底边长的和来计算得到。
这个公式在解题时非常实用，可以帮助我们快速计算等腰三角形的周长。
等腰三角形是几何学中比较简单且常见的一个特殊三角形。
通过对等腰三角形的一些定理进行学习和掌握，可以帮助我们更好地理解和应用几何学知识。
希望本文介绍的等腰三角形定理能够对大家有所帮助。
【文章至此完毕，共XXX字】。
第二篇示例：等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，其特点是两条边长度相等，两个底角也相等。
在几何学中，等腰三角形是比较常见的一种三角形，具有一些特殊的性质和定理，下面我们来详细了解一下关于等腰三角形的一些定理。
等腰三角形的性质之一就是两边对应的角相等。
也就是说，等腰三角形的两个底角是相等的，这是由对称性质决定的。
等腰三角形公式大全
等腰三角形公式大全
等腰三角形是指两条边长度相等的三角形，它具有一些特殊的性质和公式。
下面我们来详细介绍等腰三角形的公式大全。
1. 等腰三角形的性质。
等腰三角形的性质有：
两边相等，等腰三角形的两条边长度相等。
两底角相等，等腰三角形的两个底角（底边两边的角）相等。
顶角平分，等腰三角形的顶角（顶点处的角）平分底边。
2. 等腰三角形的周长。
等腰三角形的周长可以通过以下公式计算：
周长 = 底边长度 + 两边长度之和。
3. 等腰三角形的面积。
等腰三角形的面积可以通过以下公式计算：
面积 = 1/2 ×底边长度×高。
其中，高可以通过勾股定理或正弦定理计算得出。
4. 等腰三角形的高。
等腰三角形的高可以通过以下公式计算：
高 = 根号下( 两边长度的平方 1/4 ×底边长度的平方 )。
5. 等腰三角形的角度计算。
等腰三角形的角度可以通过以下公式计算：
顶角 = 180° 2 ×底角。
6. 等腰三角形的中线。
等腰三角形的中线可以通过以下公式计算：
中线 = 根号下( 底边长度的平方 1/4 ×两边长度的平方 )。
以上就是等腰三角形的公式大全，通过这些公式我们可以更方便地计算等腰三角形的各种性质，希望对大家有所帮助。
全效学习八上数学专题等腰三角形的角度计算
用了方程的思想．
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如图2，在△ABC中，AB＝AC， CD平分∠ACB，∠A＝36°，则∠BDC的度数
72° ． 为_________
【解析】∵AB＝AC，CD 平分∠ACB， ∠A＝36°， 1 ∴∠B＝∠ACB＝ (180°－∠A)＝72°， 2 1 ∠DCB＝ ∠ACB＝36°. 2 ∴∠BDC＝180°－∠B－∠DCB＝72°. 故答案为 72°.
∵∠DAB＝45°，
∴∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝120°－45°＝75°；
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(2)证明：∵∠B＝30°，∠DAB＝45°， ∴∠ADC＝∠B＋∠DAB＝75°， ∴∠DAC＝∠ADC， ∴DC＝AC， ∴DC＝AB.
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∴∠A＝∠AP2P1＝∠AP13P14＝x， ∴∠P2P1P3＝∠P13P14P12＝2x， ∴∠P3P2P4＝∠P12P13P11＝3x， …，
∠P7P6P8＝∠P8P9P7＝7x，
∴∠AP7P8＝7x，∠AP8P7＝7x， 在△AP7P8中，∠A＋∠AP7P8＋∠AP8P7＝180°，
即x＋7x＋7x＝180°，
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如图6，△ABC中，AB＝AC，∠A ＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足， 连接EC. (1)求∠ECD的度数； (2)若CE＝5，求BC的长． 解：(1)解法一：∵DE垂直平分AC， 图6
∴CE＝AE，∴∠ห้องสมุดไป่ตู้CD＝∠A＝36°.
含120度角的等腰三角形三边关系
含120°角的等腰三角形三边关系及性质等腰三角形是指两条边长相等的三角形，当其中一条角为120度时，它就是一个特殊的等腰三角形。
等腰三角形是三角形中比较特殊的一类，有许多特殊的性质。
一、120°等腰三角形三边比例证明过程：120°的等腰三角形三边三个角分别是120°，30°，30°。
利用正弦定理的 BC / sin120°= AB / sin30°= AC / sin30°。
故有 BC =3×AB=3×AC。
即120°角的等腰三角形三边比为1 : 1 :3。
二、120°等腰三角形另外两个角度为30°三角形的内角和为180°，已知一个角为120°，所以另外两个角的和就是60°，再除以2就得到每个角的度数，也就是30°。
三、120°等腰三角形底边两侧的角度加起来也是120°底边角度是指底边两侧的角度之和，对于等腰三角形来说，底边角度等于360°除以三角形底边的边数，也就是120°。
这意味着，此三角形的底边两侧的角度加起来也是120°。
四、120°等腰三角形高为3（假设底边为2）通过勾股定理算出三角形的高。
由于此三角形的两边相等，所以它也是一个等边三角形，我们可以将其中一个等腰三角形分成两个等边三角形，然后用勾股定理求解。
假设这个等腰三角形的底边为2，那么它的高就是3。
五、知识延伸：120°等腰三角形边长和高的关系证明过程：设顶角为120°的等腰三角形的腰等于h，等腰三角形的两个底角相等是30°。
在高与底角组成的三角形是直角三角形，且底角等于30°。
直角三角形中30°所对应的边是斜边的一半，所以高等于h/2。
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等腰三角形中角度的计算
1.如图， CA=CB,DF=DB,AE=AD求∠ A 的度数
2.如图，△ ABC中，AB=AC，D 在 BC上， DE⊥AB 于 E，DF⊥ BC交 AC于点 F，若
∠EDF=70°，求∠ AFD 的度数
3 如图，△ ABC中，AB=AC,BC=BD=ED=EA求∠ A 的度数
4. 如图，△ ABC 中， AB=AC， D 在 BC 上, ∠ BAD=30°,在 AC 上取点 E，使 AE=AD, 求∠ EDC 的度数
5 如图 11，△ ABC中，点 D 在 AC上，且 AB=AD，∠ ABC=∠ C+30°，则∠CBD等于（）
A
D
B C
6)如图 ,在 Rt△ ABC 中 ,D,E 为斜边 AB 上的两个 .点 ,且 BD=BC,AE=AC,则∠ DCE的大小为
7．如图，在△ ABC中， AB=AC，点 D、 E、 F 分别在 BC、AB、 AC边上，且BE=CF， BD=CE．∠A=40 °则，∠ DEF的度数是 ______
8．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于（）
（A）顶角．（B）顶角的一半．（C）顶角的2倍．（D）底角的一半．
9 如图，在△ABC 中， AB=AC，点 D、 E、F 分别在 BC、 AB、 AC 边上，且BE=CF， BD=CE．
∠A=40 °则，∠ DEF的度数为）（）
10如图，在△ PAB中， PA=PB， M ，N，K 分别是 PA， PB， AB 上的点，且 AM=BK， BN=AK，若∠ MKN=44°，则∠ P=的度数为
A． 44°B． 66°C．88°D． 92°
12 如图，△ ABC 中， D 为 AB 上一点， E 为 BC 上一点，且 AC=CD=BD=BE，∠ A=50°，则∠CDE的度数为
A．50°B． 51° C．° D．
13 如图在△ ABC 中， DM ，EN 分别垂直平分AB 和 AC，垂足为M， N，分别交BC 于 D， E （1）若∠ DAE=30°，则∠ BAC=______．（ 2）若∠ BAC=120°，则∠ DAE= _____，
（3）若 MD， NE 的延长线交于一点G，∠ G=50°，则∠ DAE= _____，
14 如图∠ DEF=36°， AB=BC=CD =DE =EF,求∠ A。