北邮通信网性能分析实验二MM1排队系统实验报告

《通信网理论基础》

实验二：二次排队问题——M/M/1排队系统的级联一、实验目的

M/M/1是最简单的排队系统，其假设到达过程是一个参数为λ的Poisson过程，服务时间是参数为μ的负指数分布，只有一个服务窗口，等待的位置有无穷多个，排队的方式是FIFO。

M/M/1排队系统的稳态分布、平均队列长度，等待时间的分布以及平均等待时间，可通过泊松过程、负指数分布、生灭过程以及Little公式等进行理论上的分析与求解。

本次实验的目标有两个：

实现M/M/1单窗口无限排队系统的系统仿真，利用事件调度法实现离散事件系统仿真，并统计平均队列长度以及平均等待时间等值，以与理论分析结果进行对

比。

仿真两个M/M/1级联所组成的排队网络，统计各个队列的平均队列长度与平均系统时间等值，验证Kleinrock有关数据包在从一个交换机出来后，进入下一个

交换机时，随机按负指数分布取一个新的长度的假设的合理性。

二、实验原理

1、M/M/1排队系统

根据排队论的知识我们知道，排队系统的分类是根据该系统中的顾客到达模式、服务模式、服务员数量以及服务规则等因素决定的。

设到达过程是一个参数为λ的Poisson过程，则长度为t的时间内到达k个呼叫的概率

)(t P k 服从Poisson 分布，即()()!

k

t

k t P t k e

λλ-=

，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,2,1,0k ，其中λ>0为

一常数，表示了平均到达率或Poisson 呼叫流的强度。设每个呼叫的持续时间为

i τ，服从

参数为μ的负指数分布，即其分布函数为

{}1,0t P X t e t μ-<=-≥.服务规则采用先进

先服务的规则（FIFO ）。

在该M/M/1系统中，设

λρμ=

，则稳态时的平均队长为[]1E N ρ

ρ=

-，顾客的平均

等待时间为

1

T μλ=

-。

2、 二次排队网络

由两个M/M/1排队系统所组成的级联网络，顾客以参数为λ的泊松过程到达第一个排队系统A ，服务时间为参数为1μ的负指数分布；从A 出来后直接进入第二个排队系统B ，B

的服务时间为参数为

2μ的负指数分布，且与A 的服务时间相互独立。

在该级联网络中，如稳态存在，即

1λμ<且2λμ<，则两个排队系统相互独立，顾客

穿过网络的总时延为各个排队系统的时延之和，即

1211

T μλμλ=

+

--。

如将该模型应用于数据包穿越网络的平均时延的计算，假设数据包的包长服从负指数分布，平均包长为b ；排队系统A 的信道速率为

1C ，B 的信道速率为2C 。为保证两次排队的

独立性，Kleinrock 假设数据包在从一个交换机出来后，进入下一个交换机时，随机按负指数分布取一个新的长度。

三、 实验内容

1、 仿真时序图示例

本实验中的排队系统为当顾客到达分布服从负指数分布，系统服务时间也服从负指数分布，单服务台系统，单队排队，按FIFO 方式服务为M/M/1排队系统。

理论上，我们定义服务员结束一次服务或者有顾客到达系统均为一次事件。i b 为第i

个任何一类事件发生的时间，其时序关系如下图所示。

第i 个任何一类事件发生的时间 第i 个顾客到达类事件发生的时间 c

第i 个顾客离开类事件发生的时间 为第i-1个与第i 个顾客到达时间间隔 第i 个顾客排队等待的时间长度 第i 个顾客服务的时间长度

顾客平均等待队长()Q n 及平均排队等待时间()d n 的定义为

1

011()()()T

n

i

i Q n Q n Q t dt R T T ===≈∑⎰

其中，

i R 为在时间区间1[,]i i b b -上排队人数i q 乘以该区间长度1()i i b b --。

11()()n

i

i d n D n D n ===∑

i D 为第i 个顾客排队等待时间。

2、仿真设计算法

（1）利用负指数分布与泊松过程的关系，产生符合泊松过程的顾客流。

（2）对每个排队系统，分别构建一个顾客到达队列和一个顾客等待队列。顾客到达后，首先进入到达队列的队尾排队，并检测是否有顾客等待以及是否有服务台空闲，如果无人等待并且有服务员空闲则进入服务状态，否则顾客将进入等待队列的队尾等待。

（3）产生符合负指数分布的随机变量作为每个顾客的服务时间。

（4）当服务员结束一次服务后，就取出等待队列中位于队头的顾客进入服务状态，如果等待队列为空则服务台空闲等待下一位顾客的到来。

（5）顾客结束A系统的服务后，立即进入B系统排队等待服务。

（6）由事件来触发仿真时钟的不断推进。每发生一次事件，记录下两次事件间隔的时间以及在该时间段内排队的人数。

（7）在排队网络达到稳态时，计算顾客平均系统时间以及平均队长。

3、仿真结果分析

（1）分析仿真数据，统计顾客的平均系统时间与平均队长，计算其方差，分析与理论计算结果的吻合程度，验证仿真程序的正确性。

（2）验证Kleinrock假设的合理性。——假设包长不变，即二次排队不独立，统计平均值与理论值的相近程度。

4、仿真结果分析

分析仿真数据，统计顾客的平均等待时间与顾客的平均等待队长，计算其方差，分析与理论计算结果的吻合程度，验证仿真程序的正确性。