特殊平行四边形：证明题

图 8-1
图 8-2
3、把正方形 ABCD 绕着点 A ，按顺时针方向旋转得到正方形 AEFG ，边 FG 与 BC 交于 点 H （如图）．试问线段 HG 与线段 HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．D来自CGH
F
A
B
E （第 5 题）
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4、 如图 12， B、C、 E 是同一直线上的三个点，四边形 ABCD与四边形 CEFG是都是正方形 . 连接 BG、 DE. （1）观察猜想 BG与 DE之间的大小关系，并证明你的结论 . （2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转 过程；若不存在，请说明理由 .
10.如图，在等腰梯形 ABCD 中，∠ C=60 °，AD∥ BC，且 AD=DC，E、F 分别在 AD 、DC 的 延长线上，且 DE =CF， AF 、 BE 交于点 P． （1）求证： AF =BE； （2）请你猜测∠ BPF 的度数，并证明你的结论．
A
DE
P
B
C
（第 22 题）
F
11．如图（七） ，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AB AD DC ， AC AB ，将 CB 延 长至点 F ，使 BF CD ． （1）求 ABC 的度数； （2）求证： △CAF 为等腰三角形．
A
D
F
B
EC
9、在矩形 ABCD中， AD＝ 2AB，E 是 AD的中点，一块三角板的直角顶点与点 E 重合，将三角
板绕点 E 按顺时针方向旋转，当三角板的两直角边与
AB、BC分别相交于点 M，N 时， 观察或
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测量 BM与 CN的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论。
题型四：梯形的相关证明题
2. 如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC，AB∥ DE，AF ∥ DC， E、 F 两点在边 BC 上，
且四边形 AEFD 是平行四边形．
（1） AD 与 BC 有何等量关系？请说明理由； （2）当 AB DC 时，求证： ABCD 是矩形．
A
D
B
EF
C
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3.如图，四边形 ABCD 是矩形，△ PBC 和△ QCD 都是等边三角形，且点 Q 在矩形内． 求证：（ 1）∠ PBA=∠PCQ=30°；（ 2） PA=PQ．
为菱形．
A
B
M E
F
N
D
C
6. 如图，在△ ABC中， AB=AC， D 是 BC的中点，连结 AD，在 AD的延长线上取一 点 E，连结 BE， CE.
（ 1）求证：△ ABE≌△ ACE （ 2）当 AE 与 AD 满足什么数量关系时，四边形
ABEC 是菱形？并说明理由 .
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7.如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开，再把 △ ACD 沿 CA 方向平移得到 △ A C D ．
AA 是 BC 边上的中线
C. AA 是 BC 边上的高
D.
AA 是△ ABC 的角平分线
A
D E
B
A
C
2．已知：如图，在 ABCD 中， AE 是 BC 边上的高，将 △ ABE 沿 BC 方向平移，使点 E 与点 C 重合，得 △GFC ．
（ 1）求证： BE DG ；
（ 2）若 B 60°，当 AB 与 BC 满足什么数量关系时，四边形
（2）求证： △ ABE ≌△ DCF ．
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4.如图，△ ABC 中， AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 O， CE∥ AB 交 MN 于
E，连结 AE、CD ．
（ 1）求证： AD ＝ CE；
（ 2）填空：四边形 ADCE 的形状是
．
A
MD
OE N
B
C
5.两个完全相同的矩形纸片 ABCD 、BFDE 如图 7 放置， AB BF ，求证：四边形 BNDM
ABFG 是菱形？证明你的结论．
A
G D
B
E
F
C
3、将平行四边形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使点 C 与 A 重合，点 D 落到 D′处，折痕 为 EF．
（1）求证：△ ABE ≌△ AD ′F； （2）连接 CF，判断四边形 AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．
D′
A
F
D
B
E
C
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A
D
G
F
B
C
E
图 12
5．如图①，四边形 ABCD 是正方形 , 点 G 是 BC 上任意一点， DE ⊥ AG 于点 E，BF ⊥ AG 于 点 F.
(1) 求证： DE －BF = EF ． (2) 当点 G 为 BC 边中点时 , 试探究线段 EF 与 GF 之间的数量关系， 并说明理由． (3) 若点 G 为 CB 延长线上一点， 其余条件不变． 请你在图②中画出图形， 写出此时 DE、 BF 、 EF 之间的数量关系（不需要证明）．
（ 1）证明 △ A AD ≌△CC B ；
（ 2）若 ACB 30°，试问当点 C 在线段 AC 上的什么位置时，四边形 ABC D 是菱
形，并请说明理由．
D
D
A
A
CC
B
8．在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AB 交 BC 的延长线于点 E ．
（ 1）求 △ BDE 的周长；
P 在矩形上方，点
P
A
D
Q
B
C
4.如图，△ ABC 中， AB=AC， AD 、AE 分别是∠ BAC 和∠ BAC 和外角的平分线， BE⊥ AE． （ 1）求证： DA⊥ AE； （ 2）试判断 AB 与 DE 是否相等？并证明你的结论．
B
D
E
C
A
F
5、如图，在△ ABC中，点 O是 AC边上的一个动点，过点 O作直线 MN∥ BC，设 MN交∠ BCA的角平 分线于点 E，交∠ BCA的外角平分线于点 F． （1）求证： EO=FO； （2）当点 O运动到何处时，四边形 AECF是矩形？并证明你的结论．
D
A
C
B
F
图七
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12.如图 9，梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AB DC ， P 为梯形 ABCD 外一点， PA、 PD
分别交线段 BC 于点 E、 F ，且 PA PD ．
（ 1）图中除了 △ ABE ≌△ DCF 外，请你再找出其余三对全等的三角形（不再添加辅助
线）．
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6．如图 ，ABCD 是正方形． G 是 BC 上的一点， DE⊥ AG 于 E，BF ⊥ AG 于 F ．
（ 1）求证： △ ABF ≌△ DAE ； （ 2）求证： DE EF FB ．
A
D
E F
B
G
C
7、已知：如图，在正方形 ABCD中， G是 CD上一点，延长 BC到 E，使 CE＝CG，连接 BG并 延长交 DE于 F． （1）求证：△ BCG≌△ DCE； （2）将△ DCE绕点 D顺时针旋转 90°得到△ DAE′，判断四边形 E′BGD是什么特殊四边形？ 并说明理由．
论．
F
A
D
O
B
C
E
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13、如图，四边形 ABCD 中， AB ∥ CD ， AC 平分 BAD ， CE ∥ AD 交 AB 于 E ． （1）求证：四边形 AECD 是菱形； （2）若点 E 是 AB 的中点，试判断 △ ABC 的形状，并说明理由．
14、 如图 8，在 ABCD 中， E，F 分别为边 AB， CD 的中点，连接 DE， BF， BD ． （1）求证： △ ADE ≌△ CBF ． （2）若 AD BD ，则四边形 BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．
A
E B
F
C D
题型三：矩形的证明题 1. 如图，在△ ABC 中， D 是 BC 边上的一点， E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F ，且 AF=BD，连结 BF 。
（ 1） 求证： BD =CD； （ 2） 如果 AB=AC，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论。
猜想．
2、如图 8-1，已知 P 为正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点 (不与 A、C 重合 )，PE⊥ BC 于点 E， PF ⊥ CD 于点 F .
(1) 求证： BP=DP ； (2) 如图 8-2，若四边形 PECF 绕点 C 按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有 BP=DP ？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明； (3) 试选取正方形 ABCD 的两个顶点，分别与四边形 PECF 的两个顶点连结，使得到的 两条线段在四边形 PECF 绕点 C 按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结 论.
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9 ． 如 图 ： 已 知 在 △ ABC 中 ， A B A C， D 为 BC 边 的 中 点 ， 过 点 D 作 DE ⊥ AB， DF ⊥ AC ，垂足分别为 E， F .
（ 1） 求证： △ BED ≌△CFD ； （ 2）若 A 90°，求证：四边形 DFAE 是正方形 .
（2）过点 C 作 CN∥ BD ，过点 B 作 BN∥ AC， CN 与 BN 交于点 N，试判断线段 BN 与 CN
A
D
的数量关系，并证明你的结论．
M
B
C
N
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10． 如图，在△ ABC中，∠ A、∠ B 的平分线交于点 于点 F． （1）点 D是△ ABC的 ________心； （2）求证：四边形 DECF为菱形．