北师大版七年级数学下册1.5.2平方差公式第二课时导学案设计(无答案)
七年级数学下册《1.5 平方差公式》导学案 北师大版(2021年整理)
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1。
5平方差公式预习案一、学习目标1。
探索平方差公式的运算过程，发展合作交流能力、推理能力和有条理的表达能力。
2。
正确地运用公式进行简单的运算，并能解决一些实际问题。
3。
会用几何图形说明公式的意义,体会数形结合的思想方法。
二、预习内容1．阅读课本第20—22页2．平方差公式运算法则：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.3. 平方差公式：3．平方差公式运算巩固练习：(1）.(2)。
（3)。
三、预习检测1．判断下列式子是否可用平方差公式（1）（—a+b)（a+b) （ ) （2）（—2a+b)（-2a—b） ( ）（3) （-a+b）(a-b) （） (4） (a+b）（a—c）（）2.计算(1）(3x+2)（3x-2) （2）（—x+2y）（—x-2y) （3) 101×993．(a+1)(a—1）（1—a2)=_____．4。
若x2-y2=48,x+y=6，则3x-3y=_____探究案一、合作探究（8分钟)，要求各小组组长组织成员进行合作探究、讨论。
探究(一）:平方差公式运算法则：列出算式为： 思考：你列出的算式有什么规律？ 2、探究算法 （1）.))((22b a b a b a -+=-（图1—5） （图1-6） (2）。
（2x + 3)（2x –3）=（ ） ( )（3）. (a +3b) (a −3b ）= ( ） （ ） 3、仿照计算，寻找规律①（-21a -b ）(21a —b ） =（ ) （ ）②（x+2a 2）（x —2a 2)= （ ） （ ）小结：平方差公式运算法则:两数和与这两数差的积,等于它们的平方差.探究（二）:平方差公式简便运算：列出算式为：思考:你列出的算式有什么规律？2、探究规律7×9 = （ -1）×( +1）=( - ）=( )。
北师大版七年级数学下册1.5平方差公式教案(2)
1．5平方差公式1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解； (要点 )2．掌握平方差公式的应用．(要点 )一、情境导入1．教师指引学生回想多项式与多项式相乘的法例． 学生踊跃举手回答．多项式与多项式相乘的法例： 多项式与多项式相乘， 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．2．教师一定学生的表现，并解说一种特别形式的多项式与多项式相乘 —— 平方差公式．二、合作研究研究点：平方差公式【种类一】 直接运用平方差公式进行计算利用平方差公式计算：(1)(3x － 5)(3x ＋ 5)； (2)( － 2a －b)(b － 2a)；(3)( － 7m ＋ 8n)(－ 8n － 7m)； (4)(x － 2)(x ＋ 2)( x 2＋ 4) ．分析： 直接利用平方差公式进行计算即可．解： (1)(3 x －5)(3 x ＋5) ＝(3x) 2－ 52＝ 9x 2－25； (2)( － 2a －b)(b － 2a)＝ (－2a)2－b 2＝ 4a 2－ b 2；(3)( － 7m ＋ 8n)(－ 8n － 7m)＝ (－ 7m)2－(8n)2＝ 49m 2－ 64n 2；2224(4)(x － 2)(x ＋ 2)( x ＋ 4) ＝(x － 4)(x ＋ 4)＝ x － 16.方法总结： 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左侧是两个二项式相乘，而且这两个二项式中有一项完整同样，另一项互为相反数；(2)右侧是同样项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的 a 和 b 能够是详细的数，也能够是单项式或多项式．【种类二】 利用平方差公式进行简易运算利用平方差公式计算：(1)201× 192； (2)13.2× 12.8.3 3分析： (1) 把 1 2 1 1)，而后利用平方差公式进行计算；(2) 把 13.2× 12.820 × 19 写成 (20＋ )× (20－ 3 3 3 3写成 (13＋0.2)× (13－ 0.2)，而后利用平方差公式进行计算．解： (1)20 12 ＝(20 1 1 21 2 1 8× 19 3 ＋ )× (20－ )＝ 20 －( ) ＝400 － ＝399 ；3 3 33 9 9(2)13.2×12.8＝ (13＋0.2)× (13－ 0.2)＝ 132－0.22＝ 169－ 0.04＝ 168.96. 方法总结： 熟记平方差公式的构造是解题的要点．【种类三】 化简求值先化简，再求值： (2x － y)(y ＋ 2x)－ (2y ＋ x)(2y － x)，此中 x ＝ 1， y ＝ 2.分析： 利用平方差公式睁开并归并同类项，而后把x 、 y 的值代入进行计算即可得解．解： (2x－ y)( y＋2x)－ (2y＋ x)(2y－ x)＝ 4x2－ y2－ (4y2－ x2)＝ 4x2－ y2－ 4y2＋ x2＝ 5x2－ 5y2.当 x＝ 1，y＝ 2 时，原式＝ 5× 12－ 5× 22＝－ 15.方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．【种类四】平方差公式的几何背景如图①，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形 (a＞ b)，把剩下部分拼成一个梯形 (如图② )，利用这两幅图形的面积，能够考证的乘法公式是______________．221分析：∵ 图① 中暗影部分的面积是a－ b ，图②中梯形的面积是2(2a＋ 2b)(a－ b)＝ (a＋ b)(a－b)，∴ a2－ b2＝ (a＋b)(a－b)，即可考证的乘法公式为(a＋ b)( a－b)＝a2－ b2.方法总结：经过几何图形面积之间的数目关系可对平方差公式做出几何解说．【种类五】平方差公式的实质应用王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了街坊李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，此外一边增添 4 米，持续原价租给你，你看怎样？”李大妈一听，就答应了．你以为李大妈吃亏了吗？为何？分析：依据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，而后比较两者的大小即可．解：李大妈吃亏了．原因以下：原正方形的面积为a2，改变边长后边积为 (a＋ 4)(a－ 4)＝ a2－16.∵ a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．方法总结：解决实质问题的要点是依据题意列出算式，而后依据公式化简解决问题．三、板书设计1．平方差公式：两数和与这两数差的积等于它们的平方差．即(a＋ b)(a－ b)＝ a2－ b2.2．平方差公式的应用学生经过“做一做”发现平方差公式，同时经过“试一试”用几何方法证明公式的正确性．通过这两种方式的演算，让学生理解平方差公式．本节教课内容许多，所以教材中的练习能够让学生在课后达成。
2021年北师大版七年级数学下册第一章《平方差公式(二)》导学案.doc
优质资料新北师大版七年级数学下册第一章《平方差公式（二）》导学案课题§1.5.2 平方差公式（二）课时1课型自学+展示学生活动（自主参与、合作探究、展示交流）学习目标1、会推导平方差公式，了解公式的几何背景，会用公式计算。
2、进一步体会数形结合的数学思想和方法。
练习2：若()22()16,8,a b a b+=-=，求ab的值。
探究四：灵活运用平方差公式计算：1.已知5,2,m n m n+=-=求22m n-的值。
2.已知226,20x y x y-=+-=，求5x y--的值。
3.已知224,x y-=求22()()x y x y-+的值。
三、巩固提升1. 运用平方差公式计算：（1）69×71（2）503×497（3）10298⨯2、计算：（1）(2)(2)(1)(5)y y y y+---+（2）222(2)(2)()()x x y x y x y x y-+-+-（3）2200820092007-⨯四、课堂小结本节课你都有哪些收获？重难点重点：会推导平差方公式，并能运用公式进行简单的计算。
难点：掌握平方差公式的结构特征，理解公式中a、b的广泛含义。
学生活动（自主参与、合作探究、展示交流）一、预习交流1、平方差公式: 。
2、判断正误：（1）(4x＋3b)(4x－3b)＝4x2－3b2；( ) （2）(4x＋3b)(4x－3b)＝16x2－9；( ) （3）(4x＋3b)(4x－3b)＝4x2＋9b2；( ) （4）(4x＋3b)(4x－3b)＝4x2－9b2；( )3、运用平方差公式计算：（1）(a2＋b)(a2－b)；（2）(－4m2＋5n)(4m2＋5n)；4、通过自学你还有什么疑问？二、探究释疑探究一：运用平方差公式计算：（1）102×98；（2）59.8×60.2；探究二：计算：（1）(y＋2)( y－2)(y2＋4)．（2）(12)(12)(32)(32)a b a b a b a b +-----练习1：（1）（2）(25)(25)2(23) x x x x-+--探究三：平方差公式的逆运用：1、X2－25＝( )( )；2、4m2－49＝(2m－7)( )；3、a4－m4＝(a2＋m2)( )＝(a2＋m2)( )( )；4、（1）22()()x y x y--+（2）222524-教学后记成功：不足：。
新北师大版数学七年级下册《1.5平方差公式》导学案学习活动单
1.5 平方差公式（1）学习活动单班级： 姓名： 组名： 【学习目标】 会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算 【学习重点】掌握平方差公式的特点，能熟练运用公式 【学习难点】理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式 【创设情境，揭示目标】 计算： （1） x 2x 2 （2） （m+3） （m-3） （3） （-x+y） （-x-y）（4） 1 3a 1 3a （5） x 5 y x 5 y （6） （2x+1） （2x-1）【指导自学，基础达标】 1、预习书 p20-21 以上习题都是求两数和与两数差的积，大家应该不难发现它们的规律．用公式可以表示为：a ba b －我们称它为平方差公式平方差公式的推导 （a＋b） （a－b）＝ （多项式乘法法则）＝ （合并同类项） 即：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差 平方差公式结构特征： ① 左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ② 右边是乘式中两项的平方差。
即用相同项的平方减去相反项的平方 注意： （1）公式的字母 a、 b 可以表示数，也可以表示单项式、多项式； （2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式 1 计算： （1） (2 x 3)(3 2 x) （2） (3b 2a)(2a 3b) （3） (4a 1)(4a 1)思考：能运用平方差公式的多项式相乘有什么特点？【问题引领，交流展示】 1、用平方差公式计算： （1） ( x 1 21 1 1 y )( x y ) ； 3 2 3（2） (2m2 7)(7 2m2 ) ；（3） 2 x 3 y 2 x 3 y （4） (2a 3b)(2a 3b)2．下列各式都能用平方差公式吗? （1） a ba c （4） (a 3)(a 3) （7） (2a 3b)(2a 3b) （9） (2a 3b)(2a 3b) （11） ab 3x 3x ab 【课堂检测，反馈小结】 1、判断 （1） 2a b2b a 4a b2 2 2（2） x y y x （5） (a 3)(a 3) （8） (2a 3b)(2a 3b) （10） (2a 3b)(2a 3b)（3） m nm n （6） (a 3)(a 3)（） （2） 1 1 1 x 1 x 1 x 2 1 2 2 22（）（3） 3x y 3x y 9x y （5） a 2a 3 a 622（ （） （4） 2x y 2 x y 4x y ） （6） x 3 y 3 xy 9 （2） 4a 12（ ））（2、填空： （1） 2 x 3 y 2 x 3 y 2x 16a21（3）1 1 ab ab 3 7 49 2 29（4） 3 y 4x 2 9 y 2拓展： （1）若 x y 12 , x y 6 , 则x y =2 2（2）已知 (2a 2b 1)(2a 2b 1) 63 ，则 a b ____________我的收获与发现我的问题与思考。
北师大版七年级下册数学教学设计：1.5.2《平方差公式》
北师大版七年级下册数学教学设计：1.5.2《平方差公式》一. 教材分析《平方差公式》是北师大版七年级下册数学的第二节内容。
本节课的主要目标是让学生掌握平方差公式的推导过程和应用。
平方差公式是代数学习中一个重要的公式，它不仅在解决实际问题中有着广泛的应用，而且为学生以后学习更高级的数学知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘法运算，能够进行简单的代数运算。
但是，对于如何从实际问题中抽象出代数式，以及如何推导和应用平方差公式，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出代数式，培养学生的抽象思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握平方差公式的推导过程，能够灵活运用平方差公式解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作、探究学习，培养学生的合作精神和探究能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的推导过程和应用。
2.难点：如何引导学生从实际问题中抽象出代数式，以及如何灵活运用平方差公式解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出代数式。
2.运用小组合作、探究学习的方式，让学生通过合作、交流、讨论，共同推导出平方差公式。
3.通过例题讲解和练习，让学生掌握平方差公式的应用。
六. 教学准备1.准备相关的问题和例题，用于引导学生从实际问题中抽象出代数式。
2.准备多媒体教学设备，用于展示问题和例题。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出代数式，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示问题和例题，让学生观察和分析，引导学生思考如何解决这些问题。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，通过探究学习，共同推导出平方差公式。
教师在这个过程中给予适当的引导和指导。
4.巩固（10分钟）通过讲解和练习，让学生掌握平方差公式的应用。
2022-2023学年北师大版七年级下册数学：1.5平方差公式2教学设计
2022-2023学年北师大版七年级下册数学：1.5平方差公式2教学设计一、教学目标1.知识与技能：理解平方差公式的概念和用法，并能够灵活运用。
2.过程与方法：培养学生观察问题、发现规律和解决问题的能力。
3.情感态度价值观：培养学生积极主动学习数学的兴趣和乐趣，培养学生合作学习的意识。
二、教学重点和难点重点1.掌握平方差公式的定义和用法。
2.能够灵活运用平方差公式解决实际问题。
难点1.理解平方差公式的概念和推导过程。
2.能够运用平方差公式解决复杂的实际问题。
三、教学内容和步骤内容1.了解平方差公式的概念和用法。
2.运用平方差公式解决实际问题。
步骤第一步：导入新知识（5分钟）引导学生讨论和回顾上节课所学的平方差公式，复习并加深对平方差公式的理解。
第二步：讲解平方差公式2（20分钟）1.展示平方差公式2的定义和推导过程。
2.解释平方差公式2的意义和用途。
3.示例演示平方差公式2的具体应用。
4.引导学生思考和讨论平方差公式2的特点和规律。
第三步：练习与巩固（20分钟）1.给学生一些练习题，要求运用平方差公式2解答。
2.鼓励学生独立思考和解决问题，提高解题的能力。
3.师生互动，讲解解题思路和方法。
第四步：拓展与应用（15分钟）1.提供一些拓展题目，要求学生运用平方差公式2解决实际问题。
2.鼓励学生思考和探索更复杂的问题，培养解决实际问题的能力。
第五步：总结与展示（10分钟）总结本节课所学内容，强化学生对平方差公式2的理解和掌握，并鼓励学生展示自己的解题思路和方法。
四、教学评价与反思通过本节课的教学设计和实施，我将学生的参与度和探究能力提高到了一个新的水平。
学生在课堂上积极思考和解决问题，提出了许多有价值的观点和想法。
他们对平方差公式2的定义和应用有了更深入的理解，能够灵活运用平方差公式2解决实际问题。
然而，我也发现了一些问题，有些学生对平方差公式2的推导过程还不够理解，需要进一步加强讲解和示范。
另外，针对一些学生的学习困难，我需要提供更多的练习和辅导，帮助他们提高解题的能力。
北师大版数学七年级下册1.5.2平方差公式的应用教案设计
《平方差公式（二）》教学设计
教学课型：新授课
教材分析或设想：学生在上节课经历了平方差公式的探索和推导过程，并能够运用
平方差公式进行简单计算.在此基础上，教材提出本节课的学习任务，是对上一节课平方差公式的进一步巩固，并拓展到有关数的简便运算当中去.本节课又通过拼图游戏，对平方差公式进行几何意义解释，目的是使学生对平方差公式有一个直观的认识，进一步体会数形结合的数学思想.
教学目标：1.经历探索平方差公式的过程，会通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并会运用所学的知识，进行简单的混合运算.
2.通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，通过探索规律，归纳出利用平方差公式，解决数字运算问题的方法，培养学生观察、归纳、应用能力.
3.了解平方差公式的几何背景，培养学生的数形结合意识.在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.
教学重点和难点：过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并会运用所学的知识，进行简单的混合运算
教学方法：探究法类比法
教学课时：1课时
课前准备：多媒体
教学过程。
北师大版七年级数学下册1.5平方差公式导学案(2)
1.5 平方差公式一．研究公式1、沿直线裁一刀，将不规则的右图从头拼接成一个矩形，并用代数式表示出你新拼图形的面积2、计算以下各式的积(1) 、x1x1(2)、m2m2==(3)、 2 x 1 2 x1(4)、x 5 y x 5 y==察看算式构造，你发现了什么规律？计算结果后，你又发现了什么规律？①上边四个算式中每个因式都是项.②它们都是两个数的与的.(填“和”“差”“积” )依据大家作出的结果，你能猜想（a+b）（a－b）的结果是多少吗？为了考证大家猜想的结果，我们再计算：（ a+b ）（a－b）==.得出： a b a b。
此中 a、b 表示随意数，也能够表示随意的单项式、多项式，这个公式叫做整式乘法的公式，用语言表达为。
1、判断正误：(1)(4x+3b)(4x-3b)＝4x2-3b 2；()(2)(4x+3b)(4x-3b)＝16x2-9 ；()2、判断以下式子能否可用平方差公式(1)(-a+b)(a+b)（）(2) (-2a+b)(-2a-b) (3) (-a+b)(a-b)（）(4) (a+b)(a-c)22（1）(t+s)(t-s)=(2) (3m+2n)(3m-2n)=（（））＝二、自主研究例 1：运用平方差公式算（1） 3 x 2 3 x2（2）b 2 a 2 a b（3）x 2 y x 2 y例 2：算（1）102 98（2） y 2 y 2 y 1 y 1达1、以下各式算的不？假如不，怎更正？(1) (x+2)( x-2)= x2-2(2) (-3a-2)(3 a-2)=9 a2-4(3) (x+5)(3 x-5)=3 x2-25(4) (2ab- c)( c+2ab)=4a2b2- c2 2、用平方差公式算：1）(3x+2)(3x-2)2）（b+2a）（2a-b ）3）（-x+2y ）（-x-2y ）4）（-m+n）(m+n）5) (-0.3 x+y)( y+0.3 x)6) (-1a- b)(1a- b) 223、利用便方法算：2 -1999 2 (1) 102 ×98(2) 2001(1) ( x+y)( x2+y2 )( x4+y4)( x- y) (2) ( a+2b+c)( a+2b- c)(3) ( x+5) 2 2-( x-5) 2 2研究： 1002-99 2+982-97 2+962-95 2+⋯⋯ +22-1 2的。
北师大版七年级下册数学教案：1.5.2《平方差公式》x
北师大版七年级下册数学教案：1.5.2《平方差公式》x一. 教材分析《平方差公式》是北师大版七年级下册数学的重要内容。
本节课主要让学生掌握平方差公式的推导过程及其应用。
平方差公式是代数运算中的一个基本公式，对于学生理解和掌握整式的运算具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘方、完全平方公式的知识，具备了一定的整式运算基础。
但学生对于平方差公式的推导过程及应用可能还存在一定的困难，因此，在教学过程中，要注重引导学生积极参与，激发学生的学习兴趣。
三. 教学目标1.理解平方差公式的推导过程。
2.掌握平方差公式的结构特征及应用。
3.培养学生的运算能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程及其应用。
2.教学难点：平方差公式的灵活运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等教学方法，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.练习题。
3.教学黑板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示生活中的实际问题，引导学生运用数学知识解决实际问题，从而引出平方差公式。
2.呈现（10分钟）引导学生通过小组合作，利用完全平方公式推导出平方差公式。
在推导过程中，强调平方差公式的结构特征。
3.操练（10分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，巩固对平方差公式的理解。
教师及时给予解答和指导。
4.巩固（10分钟）让学生运用平方差公式解决实际问题，培养学生的应用能力。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：平方差公式在实际生活中的应用有哪些？激发学生的创新意识。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调平方差公式的结构特征及应用。
7.家庭作业（5分钟）布置适量的家庭作业，巩固所学知识。
8.板书（5分钟）出示本节课的板书设计，总结平方差公式的推导过程及其应用。
本节课通过问题驱动、合作学习等教学方法，引导学生积极参与，激发学生的学习兴趣。
2020北师大版数学七年级下册1.5平方差公式word导学案2
文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编辑.欢迎下载支持.1.5 平方差公式（2）一、学习目标1．进一步使学生掌握平方差公式，让学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异二、学习重点：公式的应用及推广三、学习难点：公式的应用及推广四、学习设计（一）预习准备（二）预习书p21-22（三）思考：如何确定平方差公式中哪个是多项式中的和哪个是多项式的差？（四）预习作业：你能用简便方法计算下列各题吗？（1）10397⨯ （2）9981002⨯ （3）59.860.2⨯（4）2(3)(3)(9)x x x +-+ （5）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2141212x x x学习设计：1、做一做：如图，边长为a 的大正方形中有一个边长为b b （1）请表示图中阴影部分的面积：S =（2多少？你能表示出它的面积吗？长＝ 宽＝ S =（3）比较1，2的结果，你能验证平方差公式吗?∴ ＝进一步利用几何图形的面积相等验证了平方差公式 平方差公式中的a 、b 式加括号；学会灵活运用平方差公式。
有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．•如：()()x y z x y z +---中相等的项有 和 ；相反的项有 ，因此22()()[()][()]()()x y z x y z y y +---=+-=-形如这类的多项式相乘仍然能用平方差公式例1．计算（1）()()x y z x y z +-++ （2）()()a b c a b c -++-（1）题中可利用整体思想，把x y +看作一个整体，则此题中相同项是()x y +，相反项是z -和z ；（2）题中的每个因式都可利用加法结合律改变形式，则a 是相同项，相反项是b c -+和b c - 变式训练：计算：（1）)])(())()][()((2[2b c c b a c a c b a b a a +-++--+-；（2）22)()(c b a c b a +--++方法小结 我们在做恒等变形时，一定要仔细观察：一是观察式子的结构特征，二是观察数量特征，看是否符合公式或是满足某种规律，同时逆用公式可使运算简便。
北师大版七年级下册：《1.5 平方差公式》导学案2
- 1 -1.5 平方差公式（2）一、学习目标1．进一步使学生掌握平方差公式，让学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异二、学习重点：公式的应用及推广三、学习难点：公式的应用及推广四、学习设计（一）预习准备（二）预习书p21-22（三）思考：如何确定平方差公式中哪个是多项式中的和哪个是多项式的差？（四）预习作业：你能用简便方法计算下列各题吗？（1）10397⨯ （2）9981002⨯ （3）59.860.2⨯（4）2(3)(3)(9)x x x +-+ （5）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2141212x x x学习设计：1、做一做：如图，边长为a 的大正方形中有一个边长为b b （1）请表示图中阴影部分的面积：S =（2多少？你能表示出它的面积吗？长＝ 宽＝ S =（3）比较1，2的结果，你能验证平方差公式吗?∴ ＝进一步利用几何图形的面积相等验证了平方差公式 平方差公式中的a 、b 式加括号；学会灵活运用平方差公式。
有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．•如：()()x y z x y z +---中相等的项有 和 ；相反的项有 ，因此22()()[()][()]()()x y z x y z y y +---=+-=- 形如这类的多项式相乘仍然能用平方差公式例1．计算（1）()()x y z x y z +-++ （2）()()a b c a b c -++-2 （1）题中可利用整体思想，把x y +看作一个整体，则此题中相同项是()x y +，相反项是z -和z ；（2）题中的每个因式都可利用加法结合律改变形式，则a 是相同项，相反项是b c -+和b c - 变式训练：计算：（1）)])(())()][()((2[2b c c b a c a c b a b a a +-++--+-；（2）22)()(c b a c b a +--++方法小结 我们在做恒等变形时，一定要仔细观察：一是观察式子的结构特征，二是观察数量特征，看是否符合公式或是满足某种规律，同时逆用公式可使运算简便。
2024北师大版数学七年级下册1.5.2《平方差公式》教学设计2
2024北师大版数学七年级下册1.5.2《平方差公式》教学设计2一. 教材分析平方差公式是初中数学中的重要内容，对于学生来说，掌握平方差公式不仅有助于解决实际问题，而且为后续学习代数方程、函数等知识打下基础。
北师大版数学七年级下册1.5.2《平方差公式》通过丰富的例题和练习，使学生能够理解和掌握平方差公式的推导过程及其应用。
二. 学情分析七年级的学生已经学习了有理数的乘法、完全平方公式等知识，对于代数式的运算有一定的基础。
但平方差公式与完全平方公式相似，学生容易混淆。
因此，在教学过程中，需要帮助学生明确平方差公式与完全平方公式的区别和联系。
三. 教学目标1.理解平方差公式的推导过程。
2.掌握平方差公式的结构特点和应用。
3.能够运用平方差公式解决实际问题。
四. 教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程和应用。
2.教学难点：平方差公式与完全平方公式的区别和联系。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生主动探究、积极参与，提高学生的动手能力和团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关例题和练习题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、计算机等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习完全平方公式，引导学生发现完全平方公式中的平方差部分，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示平方差公式的推导过程，引导学生观察、分析并总结平方差公式的结构特点。
3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，运用平方差公式解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）挑选几道典型题目，让学生上黑板演示解题过程，讲解解题思路。
其他学生听讲，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：平方差公式在实际问题中的应用，如何将实际问题转化为平方差公式的形式。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调平方差公式与完全平方公式的区别和联系。
7.家庭作业（5分钟）布置适量作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
2020—2021学年北师大版七年级下册1.5.2平方差公式教案
在今天的教学中，我尝试了多种方法来帮助学生理解平方差公式。首先，通过日常生活中的例子导入新课，我发现学生们的兴趣被激发了，他们开始思考这个公式与他们生活的联系。在理论介绍环节，我注重了公式推导的逻辑性和直观性，希望通过图形和具体的例子让学生明白公式的来龙去脉。
在讲授过程中，我注意到了一些学生对于公式的理解和记忆存在困难。为此，我采用了案例分析和重点难点解析的方式，尽可能用简洁明了的语言解释公式，并通过对比和重复强化记忆。实践活动和小组讨论的环节，让我看到了学生们积极参与的热情，他们能够在讨论中相互学习，共同解决问题。
b.记忆难点：学生可能记不住公式的具体形式，可以通过编写记忆口诀或者与生活实际结合的方式，如“大的平方减小的平方”来帮助学生记忆。
c.应用难点：在实际问题中，学生可能不知道如何运用平方差公式。可以通过典型例题的讲解和练习，如求解(x+3)(x-3)=64这类问题，指导学生如何识别并应用平方差公式。
d.运算难点：学生在运用平方差公式进行计算时可能会出现错误，特别是符号的处理。需要通过反复练习和强调，帮助学生掌握正确的运算步骤和方法。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平方差公式的基本概念、推导过程、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平方差公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
然而，我也意识到在教学中还存在一些不足。比如，对于一些理解能力较弱的学生，我可能需要更多的时间和耐心去个别辅导，帮助他们真正消化吸收这个公式。同时，我在引导学生讨论时，可能需要提供更多的开放性问题，以拓宽他们的思维。
七年级数学下册151平方差公式导学案(新版)北师大版
1.5平方差公式（1） 【学习目标】1、经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算和推理 重点：运用平方差公式进行简单的计算和推理难点：理解理解平方差公式及其探索过程。
【预习导学】1、幂的运算有哪些?① ； 。
② ； 。
③ ； 。
④ ； 。
⑤ ； 。
⑥ ； 。
2、整式的乘法（1）单项式乘以单项式： 。
（2）单项式乘以多项式： 。
（3）多项式乘以多项式： 。
3、计算下列各题：（1）()()22-+x x（2）)31)(31(a a -+（3）)5)(5(y x y x -+（4）)2)(2(z y z y -+①思考：观察以上算式及运算结果，你有什么发现？用自已的语言叙述你的发现。
②结合上述规律，请你直接写出结果))((b a b a -+= 。
【新课导读】一、、平方差公式（1）符号语言： 。
（2）文字语言： 。
（3）平方差公式的推导根据是什么？ 。
（4）平方差公式的结构特点是什么？把你自己的发现写下来。
二、平方差公式的应用1、判断下列多项式相乘，哪几个能用平方差公式计算 （1）)21)(21(a a +- （2）)431)(431(+-+y y （3）)24)(23(b a b a -+（4）))((b a b a --+ （5）))((n m n m +-- （6）)2)(2(q p q p ---2、例题1、利用平方差公式计算：（1）)65)(65(x x -+ （2）)2)(2(y x y x +- （3）))((n m n m --+-课堂线练习：利用平方差公式计算（1）)5)(5(+-x x （2）)63)(63(+-x x （3）)35)(35(---m m3、例题2：利用平方差公式计算：（1）)41)(41(y x y x +--- （2）)8)(8(-+ab ab课堂练习：课本P21随堂练习三、心得总结1、平方差公式中的两个字母b a ,可以表示什么？2、利用平方差公式计算需要注意的地方有哪些？3、平方差公式的变化形式有哪些？四、基础巩固1、下列多项式的乘法运算能用平方差公式运算的是（ ）A.))((m n n m --B.))((n m n m -+-C.))((n m n m ---D.))((n m n m --2、下列各式中，运算结果为2236y x -的是（ ）A.)9)(4(y x y x -+B.)6)(6(x y x y --+-C. )6)(6(x y x y -+-D. )6)(6(x y x y ---3、y x 54-需要乘下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算（ ）A.y x 54--B.y x 54+-C.2)54(y x - D.y x 54-4、=-+)2)(2(a a ；)(3(--a )=29a -；+x 31( ）（ +22914)2x y y -= 5、若,3,2b y x a y x =-=+则22y x -的值为 。
北师大版七下数学1.5.2平方差公式教学设计
北师大版七下数学1.5.2平方差公式教学设计一. 教材分析平方差公式是北师大版七下数学1.5.2的内容，它是代数学习的重要基础，也是解决实际问题的重要工具。
本节内容通过平方差公式的学习，使学生能够理解和掌握平方差公式的推导过程和应用，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式等基础知识，但对于平方差公式的推导和应用还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的实际情况进行教学设计和调整。
三. 教学目标1.理解平方差公式的推导过程。
2.掌握平方差公式的应用。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.平方差公式的推导过程。
2.平方差公式的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究平方差公式的推导过程。
2.通过实例讲解，让学生理解平方差公式的应用。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT。
2.准备一些实际问题，用于引导学生应用平方差公式。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何求解两个数的平方差。
例如：已知一个数的平方是16，另一个数的平方是25，求这两个数的平方差。
2.呈现（15分钟）呈现平方差公式的推导过程，引导学生理解平方差公式的由来。
通过讲解和示例，让学生掌握平方差公式的表达式。
3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，运用平方差公式解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）针对学生的练习情况，进行讲解和巩固。
通过一些变式题目，让学生熟练掌握平方差公式的应用。
5.拓展（10分钟）引导学生思考平方差公式的推广和应用。
例如：已知两个数的和与差，如何求解这两个数的平方和与平方差。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，强调平方差公式的推导过程和应用。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关平方差公式的练习题目，让学生巩固所学知识。
七年级初一数学下册15平方差公式二学案北师大版
平方差公式 课题：第一章整式的乘除第5节平方差公式（二课时）学习目标 1、 会通过图形的拼接验证平方差公式，了解公式的几何解释2、 灵活应用平方差公式计算重点 灵活应用平方差公式计算难点 通过图形的拼接验证平方差公式教学流程 学校年级组二备 教师课前备课自主学习，尝试解决 一. 探索1-3 1-4 如图1-3，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形.（1）请表示图1-3中阴影部分的面积小颖将阴影部分拼成了一个长方形（2）（如图1-4），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？（3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？a b ab合作学习，信息交流探索：计算下列各组算式，并观察它们的共同特点（1）7×9= 8×8=（2）11×13= 12×12=从以上过程中，你发现了什么规律？请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？课堂达标训练（5至8分钟）（要求起点低、分层次达到课标要求）。
课堂达标：用平方差公式进行计算：（1）103×97 （2）118×122（3）704×696 （4）9.9 ×10.1巩固练习：计算：（1）（x+2y）（x-2y）+（x+1）（x－1）（2）x（x－1）－)31(-x)31(+x（3）（a-b）（a+b）（a2+b2）七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列调查中，调查方式不合理的是（ ）A ．用抽样调查了解建昌县中学生每周完成家庭作业所用的时间B ．用抽样调查了解神舟十号零部件合格情况C ．用全面调查了解某班学生对6月5日是“世界环境日”的知晓情况D ．用全面调查了解乘坐高铁的旅客是否携带危险品情况【答案】B【解析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．由此即可解答.【详解】选项A ，用抽样调查了解建昌县中学生每周完成家庭作业所用的时间,调查方式合理； 选项B ，用抽样调查了解神舟十号零部件合格情况，调查方式不合理；选项C ，用全面调查了解某班学生对6月5日是“世界环境日”的知晓情况，调查方式合理； 选项D ，用全面调查了解乘坐高铁的旅客是否携带危险品情况，调查方式合理.故选B ．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．2．在下列各式中正确的是（ ）A 2=-B ．3=C 8=D 2=【答案】D【解析】根据算术平方根和平方根的定义逐一判断即可．【详解】A ． 2==，故本选项错误；B ． 3=±，故本选项错误；C ．4=，故本选项错误；D ．2==，故本选项正确．故选D ．【点睛】此题考查的是求一个数的算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根的定义是解决此题的关键． 3．不等式组230x x >-⎧⎨-≥⎩的解集是（ ） A ．23x -≤≤B ．2x <-或3x ≥C ．23x -<<D ．23x -<≤ 【答案】D【解析】分别解两个不等式，再取解集的公共部分即可． 【详解】解： 230x x >-⎧⎨-≥⎩①② 由②得：3x ≤，所以不等式组的解集是23x -<≤．故选D ．【点睛】本题考查不等式组的解法，掌握解不等式组及解集的确定是解题的关键．4．已知一种植物种子的质量约为0.0000026千克，将数0.0000026用科学记数法表示为（ ） A ．2.6×10﹣6 B ．2.6×10﹣5 C ．26×10﹣8 D ．0.26x10﹣7【答案】A【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.000 0021＝2.1×10﹣1．故选：A ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5．已知a ，b 满足方程组51234a b a b +=⎧⎨-=⎩则a+b 的值为（ ） A ．﹣4B ．4C ．﹣2D ．2 【答案】B【解析】试题解析：512{34a b a b +=-=①②，①+②：4a+4b=16则a+b=4，故选B ．考点：解二元一次方程组．6．如图，在ABC ∆中，AC BC =，若有一动点P 从A 出发，沿A C B A →→→匀速运动，则CP 的长度s 与时间t 之间的关系用图像表示大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】该题属于分段函数：点P 在边AC 上时，s 随t 的增大而减小；当点P 在边BC 上时，s 随t 的增大而增大；当点P 在线段BD 上时，s 随t 的增大而减小；当点P 在线段AD 上时，s 随t 的增大而增大．【详解】解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ．∵在△ABC 中，AC=BC ，∴AD=BD ．①点P 在边AC 上时，s 随t 的增大而减小．故A 、B 错误；②当点P 在边BC 上时，s 随t 的增大而增大；③当点P 在线段BD 上时，s 随t 的增大而减小，点P 与点D 重合时，s 最小，但是不等于零．故C 错误； ④当点P 在线段AD 上时，s 随t 的增大而增大．故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．7．如图在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为边BC 、AD 、CE 的中点，且△ABC 的面积是4，则△BEF 的面积是( )A ．1B ．2C ．3D ．3.5 【答案】A【解析】4ABC S =，E 为AD 中点，△ABC 与△BEC 同底，2BEC S∴=，F 为CE 的中点，△BEF 与△BEC 等高， 1BEFS ∴=.选A. 8．如图，将ABC ∆沿直线AB 向右平移后到达BDE ∆的位置，连接,CD CE ,若ACD ∆的面积为10，则BCE ∆的面积为( )A ．5B ．6C ．10D ．4【答案】A 【解析】根据平移的性质可得AB=BD=CE ，再由三角形的面积计算公式求解即可.【详解】由平移得，AB=BD=CE ，CE ∥BD ，根据“等底等高，面积相等”得，S △ABC =S △BDC =S △CBE ，∵△ACD 的面积为10，∴S △CBE =12S △ACD =5. 故选A.【点睛】此题主要考查了平移的性质，注意掌握性质的运用是解题的关键.9．如图，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A 等于A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°【答案】C 【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知∠ACD=∠A+∠B ，∴∠A=∠ACD ﹣∠B=120°﹣40°=80°．故选C ．10．下列运算结果为22425x y -的是（ ）A ．()()2525x y x y --B ．()()2525x y x y -++C ．()()2525x y x y +--D ．()()2525x y x y ---+【答案】D【解析】根据完全平方公式及平方差公式对各选项逐一进行计算即可得结果.【详解】A. ()()2525x y x y --=()225x y -=4x 2-20xy+25y 2，故错误； B. ()()2525x y x y -++=- 4x 2+25y 2，故错误；C. ()()2525x y x y +--=-()225x y +=-4x 2-20xy-25y 2，故错误； D.（-2x+5y ）（-2x-5y ）=4x 2-25y 2，故正确.故选：D ．【点睛】此题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式的特征是解本题的关键．二、填空题题11．如图直线l ∥m,将含有45°角的三角板的直角顶点放在直线m 上,若∠1=16°,则∠2的度数为_____．【答案】29°【解析】过点A 作直线b ∥l,再由直线m ∥可知m ∥l ∥b,得出∠3=∠1,∠2=∠4,由此可得出结论【详解】过点A 作直线b ∥l,如图所示∵直线m ∥1∴m ∥l ∥b,∴.∠3=∠1,∠2=∠4.∵∠1=16°∴∠3=16°∴∠4=45°-16°=29°∴∠2=∠4=29°故答案为:29°【点睛】此题考查平行线的性质，做辅助线是解题关键12．计算：222018403620162016-⨯+=________．【答案】1【解析】根据完全平方公式计算即可．【详解】222018403620162016-⨯+＝20182−2×2018×2016＋20162＝（2018−2016）2＝1．故答案为1．【点睛】本题考查了完全平方公式：（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．熟记公式是解题的关键．13．的倒数是. 平方等于9的数是__ __【答案】-3；±3【解析】解：-13的倒数是-3，平方等于9的数是±3. 14．已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组113ax by ax by +=⎧⎨-=-⎩的解，则a+b 的平方根为_____． 【答案】±3【解析】把21x y =⎧⎨=⎩代入二元一次方程组113ax by ax by +=⎧⎨-=-⎩得21123a b a b +=⎧⎨-=-⎩①②，解方程组可得a 、b 的值，然后可得a+b 的平方根．【详解】解：把21x y =⎧⎨=⎩代入二元一次方程组113ax by ax by +=⎧⎨-=-⎩得21123a b a b +=⎧⎨-=-⎩①②， ①+②得：4a ＝8，解得a ＝2，把a ＝2代入②得：b ＝7，则a+b ＝9，9的平方根为±3，故答案为：±3【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解，以及算术平方根，关键是掌握方程组的解满足方程． 15．如图，在ABC △中，AB AC =，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D 、过点D 作DE AB ∥，交BC 于点E ，那么图中等腰三角形有___________个.【答案】1【解析】根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论．【详解】解：∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C,∴△ABC 是等腰三角形；∵DE ∥AB ，∴∠ABC=∠DEC, ∠BDE=∠ABD ， ∴∠C=∠DEC∴△CED 是等腰三角形； ∵BD 平分∠ABC ，∠BDE=∠ABD ， ∴∠ABD=∠CBD ， ∴∠CBD=∠BDE ， ∴△EBD 是等腰三角形； 故答案为：1． 【点睛】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．16．不等式21x ->的解集为_____. 【答案】3x >【解析】移项可得3x >，即为所求解集. 【详解】解：21x ->，移项可得3x >， 所以解集为：3x > 【点睛】本题主要考察了不等式的解法，考察运算能力，属于基础题. 17．若1m n -=-，则2()22m n m n --+的值是________. 【答案】３【解析】原式变形后，将m−n 的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵1m n -=-，∴原式＝()()22123m n m n ---=+= 故答案为：1． 【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 三、解答题18．如图，C 为x 轴正半轴上一动点，()0,A a ，(),0Bb ，且a 、b 80b +=，10AB =.（1）求ABO 的面积；（2）若60ACB ∠=︒，G 、N 为线段BC 上的动点，作GF AB ∥交AC 于F ，FP 平分∠GFC ，FN 平分∠AFP 交x 轴于N ，记∠FNB=α，求∠BAC （用α表示）；（3）若()3,6P ，PC x ⊥轴于C ，点M 从P 点出发，在射线PA 上运动，同时另一动点N 从点B 向A 点运动，到A 停止运动，M 、N 的速度分别为2个单位/秒、3个单位/秒，当13MACBONS S =时，求运动的时间. 【答案】（1）24ABCS=；（2）4600BAC α∠=-︒；（3）1514t =或52t =. 【解析】（1）由二次根式和绝对值的非负性可得a 、b 的值，即可知OA 、OB 的长，继而可得三角形的面积；（2）设∠PFC=x 、∠AFN=y ，由角平分线的定义知∠AFN=∠PFN=y 、∠CFP=∠GFP=x ，∠AFP=2y 、∠GFC=2x ，根据∠AFP+∠GFC=180°+∠GFP 、∠FNB=∠NFP+∠PFC+∠ACB 列出关于x 、y 的方程组，解之求得x ，从而得出∠GFC 度数，继而由平行线的性质可得答案； （3）过O 作OG AB ⊥于G ，利用面积法求出OG=245，设运动时间为t 秒，由题意可得()32,6M t -，3BN t =，32AM t =-，根据三角形的面积公式列式表示MAC S 和BON S ，由已知13MAC BON S S =可得关于t 的方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1680a b -+=， ∴a-6=0且b+8=0， 解得：a=6、b=-8， ∴OA=6、OB=8， 则S △AOB =12×OA×OB=12×6×8=24； （2）设∠PFC=x 、∠AFN=y ， ∵FP 平分∠GFC ，FN 平分∠AFP ，∴∠AFN=∠PFN=y 、∠CFP=∠GFP=x ，∠AFP=2y 、∠GFC=2x ， 由∠AFP+∠GFC=180°+∠GFP 、∠FNB=∠NFP+∠PFC+∠ACB 知，2218060y x x x y α++⎨+⎩+⎧＝＝ ， 整理，得：218060x y x y α++-⎧⎨⎩＝＝ ， 解得：2300240x y αα⎩-⎨-⎧＝＝ ，则∠GFC=2x=4α-600， ∵GF ∥AB ，∴∠BAC=∠GFC=4α-600；（3）过O 作OG AB ⊥于G ，则6824105OG ⨯==，设运动时间为t 秒， 由题意得()3,6P ，()32,6M t -，3BN t =，32AM t =-，∴1326962MAC St t =⋅-⋅=-，124363255BON S t t =⋅⋅=， ∵13MAC BON S S =，∴1369635t t -=⨯， ∴1369635t t -=⨯或1366935t t -=⨯， ∴1514t =或52t =.故答案为：（1）24ABCS =；（2）4600BAC α∠=-︒；（3）1514t =或52t =. 【点睛】本题考查三角形的面积，非负数性质、角平分线的性质、平行线的性质及三角形外角的性质等知识点，用方程的思想解决问题是解题的关键．19．已知关于x 、y 的方程组233741x y m x y m +=+⎧⎨-=+⎩的解是一对正数；（1）试用m 表示方程组的解； （2）求m 的取值范围； （3）化简|m ﹣1|+|m+23|． 【答案】（1）321x m y m=+⎧⎨=-⎩ ；（2）213m -；（3）53.【解析】（1）由②得③，再把③代入①即可消去x 求得y 的值，然后把求得的y 的值代入③即可求得x 的值，从而可以求得结果；（2）根据方程组的解是一对正数即可得到关于m 的不等式组，再解出即可； （3）先根据绝对值的规律化简，再合并同类项即可得到结果. 【详解】解：233741x y m x y m +=+⎧⎨-=+⎩①②（1）由②得x=4 m+1+y ③把③代入①得2(4 m+1+y)+3 y=3 m+7，解得y=-m+1 把y=-m+1代入③得411,32x m m x m =+-+=+∴方程组的解为321x m y m =+⎧⎨=-+⎩；（2）∵方程组的解是一对正数∴32010m m +>⎧⎨-+>⎩ ，解得213m -<<；（3）∵213m -<< .222|1|11333m m m m ∴-++=-++= 20．计算：（1）(－2)3＋6×2－1－(－3.5)0； （2）n(2n ＋1)(2n －1)． 【答案】（1）-6；（2）4n 3-n.【解析】（1）原式第一项运用有理数的乘方计算，第二项先计算负整数指数幂再算乘法，第三项零指数幂公式进行化简，计算即可得到结果；（2）后两个因式利用平方差公式计算后再与第一个因式相乘即可得解. 【详解】（1）(－2)3＋6×2－1－(－3.5)0 =-8+3-1， =-6；（2）n(2n ＋1)(2n －1) =n(4n 2-1), =4n 3-n.【点睛】此题考查了整式的混合运算，以及实数的混合运算，弄清公式和法则是解本题的关键.21．已知方程组231953mx myy x-=⎧⎨-=⎩和3247x ymx ny-=⎧⎨+=⎩有相同的解,求m和n的值.【答案】41 mn=⎧⎨=-⎩【解析】根据两个方程组解相同，可先由32453x yy x＝＝-⎧⎨-⎩求出x、y的值，再将x和y的值代入72319mx nymx ny+⎧⎨-⎩＝＝得到m、n的二元一次方程组，解方程组求出m和n．【详解】∵方程组231953mx myy x-=⎧⎨-=⎩和3247x ymx ny-=⎧⎨+=⎩有相同的解，∴32453x yy x＝＝-⎧⎨-⎩与原两方程组同解．由5y-x=3可得：x=5y-3，将x=5y-3代入3x-2y=3，则y=1．再将y=1代入x=5y-3，则x=2．将21xy⎧⎨⎩＝＝代入72319mx nymx ny+⎧⎨-⎩＝＝得：274319m nm n+⎧⎨-⎩＝＝，将（1）×2-（2）得：n=-1，将n=-1代入（1）得：m=3．∴41 mn=⎧⎨=-⎩【点睛】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，运用代入法，得关于a和b的二元一次方程组，再解方程组求解．22．在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20只，某学习小组做摸球实验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据摸到白球的频率mn0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601(1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近(精确到0.1)．(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是．(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．【答案】（1）0.6；（2）35，25；（3）12，8【解析】试题分析：（1）本题需先根据表中的数据，估计出摸到白球的频率．（2）本题根据摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率．（3）根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．试题解析：(1)根据题意可得当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；(2)因为当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；所以摸到白球的概率是35；摸到黑球的概率是25（3）因为摸到白球的概率是35，摸到黑球的概率是25，所以口袋中黑、白两种颜色的球有白球是320125⨯=个，黑球是22085⨯=个23．解不等式组()43115213x xxx⎧-≤+⎪⎨+-⎪⎩＜，把其解集表示在数轴上，并写出不等式组的最大整数解．【答案】不等式组的解集为-1.5≤x＜4，最大整数解为1，见解析.【解析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【详解】解：()43115213x xxx⎧-≤+⎪⎨+-⎪⎩①＜②解不等式①得：x≥-1.5，解不等式②得：x＜4，∴不等式组的解集为-1.5≤x＜4，在数轴上表示不等式组的解集为：，∴不等式组的最大整数解为1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，在数轴上表示不等式组的解集的应用，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．24．已知，点A ，点D 分别在y 轴正半轴和负半轴上，AB DE ∥． （1）如图1，若44m m =-+，BAD m OED ∠=∠，求CAD ∠的度数；（2）在BAO ∠和DEO ∠内作射线AM ，EN ，分别与过O 点的直线交于第一象限内的点M 和第三象限内的点N ．①如图2，若AM ，EN 恰好分别平分BAO ∠和DEO ∠，求AMN ENM ∠-∠的值； ②若1MAO BAM n ∠=∠，1NEO NED n∠=∠，当4060AMN ENM ︒<∠-∠<︒，则n 的取值范围是__________．【答案】（1）60CAD ∠=︒；（2）①45AMN ENM ∠-∠=︒；②425n << 【解析】（1）利用二次根式的性质求得m 的值，根据三角形内角和定理结合已知条件构建方程，再利用平行线的性质即可求解；（2）①过M 作MF ∥AB ，NG ∥AB ，根据角平分线的性质和平行线的性质，求得∠AMN-∠ENM = α – θ，再根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解；②设MAO α∠=，OEN θ∠=，则BAM n α∠=，NED n θ∠=，根据①的解法即可求得∠AMN-∠ENM=n 901n ︒+，再解不等式组即可求解． 【详解】（1）∵44m m =-44m m -=-，∴4040m m -≥⎧⎨-≤⎩，解得：4m =，∴∠BAD=4∠OED ，∵∠OED+∠ODE=90︒①，∠BAD+∠ODE=180︒，即4∠OED +∠ODE=180︒②， 联立①②解得：∠OED=30︒，∠ODE=60︒， ∵AB ∥DE ，∴∠CAD=∠ODE=60︒；（2）①∵AM 、EN 是∠BAO 、∠DEO 的平分线， ∴设BAM MAO α∠=∠=，OEN NED θ∠=∠=， 过M 作MF ∥AB ，NG ∥AB 分别交AD 于F ，G ，∵AB ∥DE ，∴AB ∥MF ∥NG ∥DE ，∴∠FMA=∠BAM=α，∠FMN=∠MNG ，∠GNE=∠NED=θ，∴∠AMN=∠FMA+∠FMN=α +∠FMN ， ∠ENM=∠GNE +∠MNG =θ +∠FMN ，∴∠AMN-∠ENM= α +∠FMN- θ-∠FMN= α – θ；∵∠ODE+∠OED=∠ODE+2 θ =90︒， ∵AB ∥DE ，∴∠BAD+∠ODE=180︒，即2α+∠ODE=180︒， ∴2α –2?θ=90︒，∴∠AMN-∠ENM=α–θ=45︒； ②∵1MAO BAM n ∠=∠，1NEO NED n∠=∠， ∴设MAO α∠=，OEN θ∠=，则BAM n α∠=，NED n θ∠=， 过M 作MF ∥AB ，NG ∥AB 分别交AD 于F ，G ，∵AB ∥DE ，∴AB ∥MF ∥NG ∥DE ，∴∠FMA=∠BAM=n α，∠FMN=∠MNG ，∠GNE=∠NED=n θ， ∴∠AMN=∠FMA+∠FMN=n α +∠FMN ， ∠ENM=∠GNE +∠MNG =n θ +∠FMN ，∴∠AMN-∠ENM=n α +∠FMN-n θ-∠FMN=n α –n θ=()–n αθ； ∵∠ODE+∠OED=∠ODE+()1n θ+ =90︒， ∵AB ∥DE ，∴∠BAD+∠ODE=180︒，即()1n α++∠ODE=180︒， ∴()1n α+–()1n θ+=90︒，即α–θ=901n ︒+， ∴∠AMN-∠ENM=()–n αθ=n 901n ︒+； ∵4060AMN ENM ︒<∠-∠<︒，∴n 9040601n ︒︒<<︒+， 解不等式n 90601n ︒<︒+，化简得：n 213n <+， 解得：2n <， 解不等式n 90401n ︒︒<+，化简得：n 419n >+， 解得：45n >， ∴n 的取值范围是425n <<． 【点睛】本题考查了角的计算，解不等式组，角平分线的定义以及n 等分角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，准确识图，理清图中各角度之间的关系，用方程的思想解答是解题的关键．25．对于平面直角坐标系xOy中的任意两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，给出如下定义：将|x1﹣x2|称为点M，N之间的“横长”，|y1﹣y2|称为点M，N之间的纵长”，点M与点N的“横长”与“纵长”之和称为“折线距离”，记作d(M，N)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|“．例如：若点M(﹣1，1)，点N(2，﹣2)，则点M与点N的“折线距离”为：d(M，N)=|﹣1﹣2|+|1﹣(﹣2)|=3+3=1．根据以上定义，解决下列问题：已知点P(3，2)．（1）若点A(a，2)，且d(P，A)=5，求a的值；（2）已知点B(b，b)，且d(P，B)＜3，直接写出b的取值范围；（3）若第一象限内的点T与点P的“横长”与“纵长”相等，且d(P，T)＞5，简要分析点T的横坐标t的取值范围．【答案】（1）a=﹣2或a=8；（2）1＜b＜4；（3）t112>或0＜t12<．【解析】（1）将点P与点A代入d（M，N）＝|x1−x2|＋|y1−y2|即可求解；（2）将点B与点P代入d（M，N）＝|x1−x2|＋|y1−y2|，得到d（P，B）＝|3−b|＋|2−b|，分三种情况去掉绝对值符号进行化简，有当b＜2 时，d（P，B）＝3−b＋2−b＝5−2b＜3；当2≤b≤3时，d（P，B）＝3−b ＋b−2＝1＜3；当b＞3时，d（P，B）＝b−3＋b−2＝2b−5＜3；（3）设T点的坐标为（t，m），由点T与点P的“横长”与“纵长”相等，得到|t−3|＝|m−2|，得到t与m的关系式，再由T在第一象限，d（P，T）＞5，结合求解即可．【详解】（1）∵点P(3，2)，点A(a，2)，∴d(P，A)=|3﹣a|+|2﹣2|=5，∴a=﹣2或a=8；（2）∵点P(3，2)，点B(b，b)，∴d(P，B)=|3﹣b|+|2﹣b|，当b＜2 时，d(P，B)=3﹣b+2﹣b=5﹣2b＜3，∴b＞1，∴1＜b＜2；当2≤b≤3时，d(P，B)=3﹣b+b﹣2=1＜3成立，∴2≤b≤3；当b＞3时，d(P，B)=b﹣3+b﹣2=2b﹣5＜3，∴b＜4，∴3＜b＜4；综上所述：1＜b＜4；（3）设T点的坐标为(t，m)，点T与点P的“横长”=|t﹣3|，点T与点P的“纵长”=|m﹣2|．∵点T与点P的“横长”与“纵长”相等，∴|t﹣3|=|m﹣2|，∴t﹣3=m﹣2或t﹣3=2﹣m，∴m=t﹣1或m=5﹣t．∵点T是第一象限内的点，∴m＞0，∴t＞1或t＜5，又∵d(P，T)＞5，∴2|t﹣3|＞5，∴t112＞或t12＜，∴t112＞或0＜t12＜．【点睛】本题考查平面内点的坐标，新定义；能够将定义内容转化为绝对值不等式，再将绝对值不等式根据绝对值的意义转化为一元一次不等式的求解是解题的关键．七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（-1，3）、（-4，1）、（-2，1），将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是（1，2），则点A1，C1的坐标分别是（）A．A1（4，4），C1（3，2）B．A1（3，3），C1（2，1）C．A1（4，3），C1（2，3）D．A1（3，4），C1（2，2）【答案】A【解析】根据点B（-4，1）的对应点B1的坐标是（1，2）知，需将△ABC向右移5个单位、上移1个单位，据此根据平移的定义和性质解答可得．【详解】解：由点B（-4，1）的对应点B1的坐标是（1，2）知，需将△ABC向右移5个单位、上移1个单位，则点A（-1，3）的对应点A1的坐标为（4，4）、点C（-2，1）的对应点C1的坐标为（3，2），故选：A．【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是根据对应点的坐标得出平移的方向和距离及平移的定义和性质．2．如图，已知，，点，，，在同一直线上.要使，则下列条件添加错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【详解】A、根据∠A＝∠E，∠B＝∠D，AB＝ED，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△EDF，故本选项不符合题意；B 、由BF ＝DC 得出BC ＝DF ，根据∠B ＝∠D ，BC ＝DF ，AB ＝ED ，符合全等三角形的判定定理SAS ，能推出△ABC ≌△EDF ，故本选项不符合题意；C 、由AC ∥EF ，得出∠ACB ＝∠EFD ，根据∠B ＝∠D ，∠ACB ＝∠EFD ，AB ＝ED ，符合全等三角形的判定定理AAS ，能推出△ABC ≌△EDF ，故本选项不符合题意；D 、不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC ≌△EDF ，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，牢记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．3．下列调查中，适宜采用全面调查的是()A ．对现代大学生零用钱使用情况的调查B ．对某班学生制作校服前身高的调查C ．对温州市市民去年阅读量的调查D ．对某品牌灯管寿命的调查【答案】B【解析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．【详解】解：A 、对现代大学生零用钱使用情况的调查，工作量大，用抽样调查，故此选项错误； B 、对某班学生制作校服前身高的调查，需要全面调查，故此选项正确；C 、对温州市市民去年阅读量的调查，工作量大，用抽样调查，故此选项错误；D 、对某品牌灯管寿命的调查，有破坏性，用抽样调查，故此选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查的是调查方法的选择，正确选择调查方式要根据全面调查和抽样调查的优缺点再结合实际情况去分析． 4．如图，已知AD BC ，25B ∠=︒，DB 平分∠ADE ，则∠DEC 等于（） A ．25︒B ．50︒C ．75︒D ．100︒ 【答案】B【解析】解：∵AD ∥BC ，∠B=25°，∴∠ADB=∠B=25°．∵DB 平分∠ADE ，∴∠ADE=2∠ADB=50°．∵AD ∥BC ，∴∠DEC=∠ADE=50°．故选B ．点睛：本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 5．若a ＞b ，则下列不等式中正确的是（ ）A ．a ﹣1＜b ﹣1B ．a+2＞b+2C ．﹣3a ＞﹣3bD ．4a ＜4b 【答案】B【解析】根据不等式的3个基本性质：1.两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变； 2.两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；3.两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变.结合选项，即可得出答案.【详解】A 、由a ＞b 可得：a ﹣1＞b ﹣1，错误；B 、由a ＞b 可得：a+2＞b+2，正确；C 、由a ＞b 可得：﹣3a ＜﹣3b ，错误；D 、由a ＞b 可得：44a b >，错误； 故选B ．【点睛】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的3个基本性质是解题关键.6．如图 ，已知△ABC ≌△AEF ，其中 AB =AE ，∠B =∠E ．在下列结论① AC =AF ，② ∠BAF =∠B ，③ EF =BC ，④ ∠BAE =∠CAF 中，正确的个数有 ( )A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】C 【解析】根据全等三角形的性质依次判断即可得到答案.【详解】∵△ABC ≌△AEF ，其中 AB =AE ，∠B =∠E ，∴AC=AF ，EF=BC ，∠BAC=∠EAF ，∴∠BAE =∠CAF ，②∠BAF=∠B 错误；③ EF=BC 正确；④∠BAE=∠CAF正确；故选：C.【点睛】此题考查全等三角形的性质，根据全等即可判断对应的线段及角度相等的关系.7．若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（）A．10 B．13 C．17 D．13或17【答案】C【解析】因为等腰三角形的两边为3和7，但已知中没有点明底边和腰，所以有两种情况，需要分类讨论，还要注意利用三角形三边关系考查各情况能否构成三角形．【详解】当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为1；当3为腰时，其它两边为3和7，∵3+3＝6＜7，所以不能构成三角形，故舍去，∴答案只有1．故选：C．【点睛】考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．8．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．解答：解：严格按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从直角三角形的顶点处剪去一个菱形，展开后实际是从正方形的对角线的交点处剪去4个较小的角相对的菱形，得到结论．故选C．9．下列调查，适合全面调查的是（）A．了解某家庭一周的用水费用B．了解一批灯管的使用寿命C．了解一批种子的发芽率D．了解某市初中生课余活动的爱好【答案】A【解析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【详解】解：A、了解某家庭一周的用水费用，人数较少，适合普查；B、了解一批灯管的使用寿命，调查具有破坏性，不易普查；C、了解一批种子的发芽率，工作量大，不易普查；D、了解某市初中生课余活动的爱好，工作量大，不易普查；故选：A．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．10．某同学放学回家，在路上遇到了一个同学，一块去同学家玩了会儿，然后独自回家，下列图象能表示这位同学所剩路程与时间变化关系的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意可以写出各段过程中，所剩路程与时间的关系，从而可以解答本题．【详解】由题意可得，这位同学从学校出发到与同学相遇前这一过程中，所剩路程随着时间的增加而减小，这位同学与同学相遇到在同学家玩这一过程中，所剩路程随着时间的增加不变，这位同学离开同学家到回到家的这一过程中，所剩路程随着时间的增加而减小，故选：C.【点睛】此题考查函数的图象，解题关键在于根据题意判断出函数图象.二、填空题题11．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有种．【答案】13【解析】根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案．【详解】如图所示：故一共有13画法.12．在RtΔABC中，∠B=90°，∠A=30°,DE垂直平分AC,交AC于点E,交AB于点D,连接CD,若BD=2,则AD 的长是___.【解析】首先根据题意DE垂直平分AC,可判断AD=CD，可得出△ADC是等腰三角形，∠A=∠ACD=30°，又因为在RtΔABC中，∠B=90°，∠A=30°,得出∠ACB=60°，∠BCD=30°，又由BD=2,根据三角函数值，得出sin∠BCD=BDCD=12，得出CD=4，进而得出AD=4.【详解】解：∵DE垂直平分AC,∴AD=CD，∴△ADC是等腰三角形，∠A=∠ACD=30°又∵在RtΔABC中，∠B=90°，∠A=30°, ∴∠ACB=60°，∠BCD=30°又∵BD=2,∴sin∠BCD=BD CD=12∴CD=4∴AD=4.故答案为4.【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定和利用三角函数求三角形的边长，熟练掌握即可得解. 13．如图，把一张宽度相等的纸条按图上所示的方式折叠，则∠1的度数等于___________°.【答案】65°【解析】利用翻折不变性，平行线的性质，三角形的内角和定理即可解决问题．【详解】由翻折不变性可知：∠2=∠3，∵∠1=∠3，∴∠1=∠2，∵∠4=180°−130°=50°，∴∠1=∠2=12(180°−50°)=65°，。
1.5《平方差公式(2)》导学案
1.5《平方差公式(2)》导学案班级：姓名：【学习目标】1.了解平方差公式的几何背景.2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.3.体会符号运算对证明猜想的作用.掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解。
【学习重难点】1.重点：掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解。
2.难点：掌握平方差公式的应用。
【学习方法】小组合作学习【学习过程】模块一预习反馈一、学习准备1.预习书p21-222.回顾：(a+b)(a－b)=a2－b2两数和与这两数差的积，等于它们的 .二、教材精读你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形(如图1－23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗？图1－231.剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为 .2.先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是a;下面的小长方形长是(a－b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形(阴影部分)，它的长和宽分别为(a+b),(a－b),面积为(a+b)(a－b).图1－243.比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？模块二 合作探究1.想一想：(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点⎩⎨⎧=⨯=⨯8897 ⎩⎨⎧=⨯=⨯12121311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯80808179(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？例3用平方差公式计算：(1)103×97 (2)118×122例4计算：(1)a 2(a +b )(a －b )+a 2b 2; (2)(2x －5)(2x +5)－2x (2x －3).模块三 形成提升1.用平方差公式公式的逆用(1)(x +y )2－(x －y )2 (2)252－2422.解方程：(2x +1)(2x －1)+3(x +2)(x －2)=(7x +1)(x －1)模块四 小结评价1.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a 和b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．。
2019-2020学年七年级数学下册-1.5.2平方差公式(2)导学案(新版)北师大版
2019-2020学年七年级数学下册 1.5.2平方差公式（2）导学案（新版）北师大版【学习目标】1、了解平方差公式的几何背景。
2、 发展学生的符号感和推理能力；3、 通过小组讨论学习，培养学生的团结协作精神。
【重点】：了解平方差公式的几何背景【难点】：发展推理和表达能力【预习导学】1、分别用文字语言与符号语言叙述平方差公式。
2、平方差公式结构上有什么特点？3、下列计算能用平方差公式的是 。
①)532)(325(2222a c b bc a +-；②))((n m n m --+；③)23)(32(-+x x ；④)4332)(4332(3232n m n m ---4、已知7,3=-=+n m n m ，则=-22n m 。
5、利用平方差公式计算：（1）)31)(31(a b b a -+（2）)3)(3(a b b a ---（3）)4)(4(2222y x y x ---【新课导读】1、平方差公式的几何背景如图，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形(1) 请表示图1-5-1中阴影部分的面积_____________________(2) 小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图1-5-2），这个长方形的长和宽分别是多少？__________，它的面积是___________________(3) 比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？说一说验证的理由。
2、想一想： 图1-5-1 图1-5-2（1）计算下列各组算式，并观察它们的共同特点：（2）从以上的过程中，你发现了什么规律？（3） 请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？3、利用平方差公简化计算例3、用平方差公式进行计算：（1）103×97 （2）118×122例题反馈：用平方差公式计算（1）704×696 （2）20.2×19.84、平方差公式的综合运用例4、计算：（1）222))((b a b a b a a +-+（2）)32(2)52)(52(--+-x x x x例题反馈：课本P22随堂练习5、平方差公式的推广运用例5、计算：))((c b a c b a ++-+例题反馈:计算：)32)(32(z y x z x y -----【心得总结】总结平方差公式的变形有哪些？【达标训练】一、选择题1、为了美化城市，经统一规划，将一正方形的南北方向增加3米，东西方向缩短3米，则改造后的长方形草坪面积与原来的正方形草坪面积相比（ ）A.增加了6平方米B.增加了9平方米以C.减少了9平方米D.保持不变2、下列计算正确的是( )A.(2x+3)(2x －3)=2x 2－9B.(x+4)(x －4)=x 2－4C.(5+x)(x －6)=x 2－30D.(－1+4b)(－1－4b)=1－16b 23、a 4+(1－a)(1+a)(1+a 2)的计算结果是( )A.－1B.1C.2a 4－1D.1－2a 44、若21,4122=-=-b a b a ，则b a +的值为（ ） A.21- B.21 C.1 D.2 二、填空题224622222222)()())((.5))(____(____.4944)2)(2(.3))((.2)()()3)(3(.1-=++-+-=-+-=-+-=-=-=---z y x z y x b a b b y x x x a b b a x x 6.－(2x 2+3y)(3y －2x 2)=_____.7.(a －b)(a+b)(a 2+b 2)=_____.8．(_____－4b)(_____+4b)=9a 2－16b 2,(_____－2x)(_____－2x)=4x 2－25y 29..(xy －z)(z+xy)=_____,( x －0.7y)( x+0.7y)=_____.10.( x+y 2)(_____)=y 4－ x 211.观察下列各式：(x －1)(x+1)=x 2－1(x －1)(x 2+x+1)=x 3－1(x －1)(x 3+x 2+x+1)=x 4－1根据前面各式的规律可得(x －1)(x n +x n －1+…+x+1)=_____.三、解答题：1、计算：（1）))((m b a m b a ++-+（2）)23)(23(+--+b a b a（3）)4)(2)(16)(2(4282+++-x n n n x x x x（4）)2)(4)(2(22y x y x y x ++-（5）2(3x+1)(1-3x)+(x-2)(2+x)(6)（2x+1）(2x-1)+3(x+2)(x-2)-(7x+1)(x-1)2、计算：(1)10.3×9.7(2)652613⨯（3）2001×1999（4）32193120⨯3、先化简再求值（1）)1)(1()4(-++-x x x x ，其中21=x（2）)1()2)(2(a a a a -+-+，其中5=a4、计算（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1（2）(5+1)(52+1)(54+1)(58+1)(516+1)+14。