初中数学《反比例函数》练习题及答案 (50)

初中数学《反比例函数》练习题

50．如图，点P在曲线上，P A⊥x轴于点A，点B在y轴正半轴上，P A＝PB，OA、OB的长是方程t2﹣8t+12＝0的两个实数根，且OA＞OB，点C是线段PB延长线上的一个动点，△ABC的外接圆⊙M与y轴的另一个交点是D．

（1）填空：OA＝6；OB＝2；k＝﹣60；

（2）设点Q是⊙M上一动点，若圆心M在y轴上且点P、Q之间的距离达到最大值，则点Q的坐标是（，﹣8﹣3）；

（3）试问：在点C运动的过程中，BD﹣BC的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请给出合理的解释．

解：（1）t2﹣8t+12＝0，

解得：t＝2或6，

∵OA、OB的长是方程t2﹣8t+12＝0的两个实数根，且OA＞OB，

即OA＝6，OB＝2，即点A、B的坐标为（﹣6，0）、（0，2），

设点P（﹣6，），

由P A＝PB得：36+（2+）2＝（）2，

解得：k＝﹣60，

故点P（﹣6，10），

故答案为：6，2，﹣60；

（2）当PQ过圆心M时，点P、Q之间的距离达到最大值，

tan∠ACO＝，

线段AB中点的坐标为（﹣3，1），

则过AB的中点与直线AB垂直的直线PQ的表达式为：y＝mx+n＝﹣3x+n，将点（﹣3，1）的坐标代入上式并解得：n＝﹣8，

即点M的坐标为（0，﹣8），

则圆的半径r＝MB＝2+8＝10＝MQ，

过点Q作QG⊥y轴于点G，

tan∠QMG＝tan∠HMP＝＝＝，则sin∠QMG＝

故GQ＝MQ sin∠QMG＝，MG＝3，

故点Q（，﹣8﹣3）；

故答案为：（，﹣8﹣3）．

（3）是定值，理由：

延长P A交圆M于E，过点E作EH⊥BD于H，连接CE，DE，

∵P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA，

∵四边形ABCE是圆的内接四边形，

∴∠P AB＝∠PCE，∠PBA＝∠PEC，

∴∠PEC＝∠PCE，

∴PE＝PC，

∴AE＝BC，

∵AO⊥BD，EH⊥BD，P A⊥OA，

∴四边形AOHE是矩形，

∴AO＝EH，AE＝OH＝BC，

∵P A∥BD，

∴＝，∴，

∴∠ABD＝∠BDE，且∠AOB＝∠EHD＝90°，AO＝EH，∴△AOB≌△EHD（AAS）

∴OB＝DH＝2，

∴BD﹣BC＝BD﹣OH＝OB+DH＝4．