人造地球卫星问题大盘点
关于人造地球卫星运行的问题分析
向心 力时 ， 星做 向心 （ 卫 轨道 半径 减小 ） 动 。 运
例 ３ （０ ０年 江 苏 柏 ２１
（ ） 星动能 增大 ， Ａ卫 引力 势能 减小 （ ） 星动 能增 大 ， Ｂ卫 引力势 能增 大
（） Ｃ 卫星 动能减 小 ， 引力势 能减 小 （ 卫 星动 能减 小 ， 力势 能增 大 Ｄ） 引 解 析 在 每次变 轨完成 后 ．卫 星运行 周期 变
近 地 卫 星 ６４ ｌ ｎ ０ ｉ ７８ ｎ ｓ １ｍ， ．ｘ 吣 ９ｒ ｎ ．ｋ ｇ ０ ｓ ａ 同 步卫 星 ４２ １７ ．ｘ ０ｍ ２ｈ ４ 月球 ３
．
万 有 引 力 提
小 结 解答 卫 星 运 行 问题 时 。 以根 据 前 面 可 计 算 结果 归 纳成 四字 诀 ：越 高 越慢 ” 即轨 道 半 “ 。
例 １ （ ０ １年 山 东卷 ） 、 ２１ 甲 乙为 两 颗 地 球卫 星 ， 中 甲 为地 球 同步 卫 星 ， 的运 行 高 度低 于 其 乙
甲 的运 行 高度 ， 卫 星轨 道 均可视 为 圆 轨道 。 以 两
下 判 断正 确 的是
（ 甲的周期 大 于 乙的周 期 Ａ） （ 乙的速 度 大于第 一 宇宙 速度 Ｂ）
（ 目编 辑 栏
罗琬 华 ）
分析 的是 和 Ｃ；具有 相 同角 速度 的是 和 Ｃ， 遵循 运动 学规 律 ，、 系式 是 ， ｏ 和 口 关 ￣ｔｒ ２
２ 卫星 变轨 问题
ｒ 。
时 变到 大 圆轨 道 。这样 ， 变轨 使用 的能 量最 小 。 例 ４ （ ０ １年 全 国卷 ）我 国 “ 娥 一 号 ” ２１ 嫦 探
（ ｒ 于地球 半 径 时 ，卫 星 的绕地 速 度 为第 当 等
有关人造地球卫星的各类问题
有关人造地球卫星的各类问题在高中物理中，人造地球卫星的相关问题始终是一个重点问题，也是学生难得的理解的抽象问题，本文通过归类向大家系统介绍卫星的一些问题。
一、卫星的在轨稳定运行所谓定轨稳定运行，就是卫星已经在圆形轨道上做匀速圆周运动，卫星处于稳定的运行状态，涉及的问题又有下面一些。
1．在轨卫星的轨道问题 例1．如图，实线圆表示地球，竖直虚线a 表示地轴，虚线圆b 、c 、d 、e 表示地球卫星可能的轨道，对于此图以下说法正确的有 （ ）A ．b 、c 、d 、e 都可能是地球卫星的轨道B ．c 不可能是地球卫星的轨道C ．b 可能是地球同步卫星的轨道D ．d 可能是地球同步卫星的轨道解析：对于在轨稳定运行的卫星来说，地球对卫星的万有引力全部提供向心力，其圆周运动的圆心必须是地球地心，图中c 不可能是地球卫星的轨道，按照地球卫星的轨道特点及卫星运动规律，又将卫星分为同步卫星、极地卫星和一般卫星。
极地卫星只是要求其轨道经过地球南北极上空，对高度没有要求，但由于地球在自转，不可能实现同步；同步卫星只能定点在赤道上空，与地球自转方向一致，高度是唯一的，太高或太低都不是同步卫星，本题选择BD 。
2．连续物或卫星群的判断问题例2．根据观察，在土星外层有一个环带，该环带有星云等物质构成，为了判断环带是土星的连续物还是小卫星群。
可测出环中各层的线速度v 与该层到土星中心的距离R 之间的关系，从而加以确定。
对此下列判断正确的是：（ ）A.若v 与R 成正比，则环带是连续物B.若2v 与R 成正比，则环带是小卫星群C.若v 与R 成反比，则环带是连续物D.若2v 与R 成反比，则环带是小卫星群。
解析：本题是弄清连续物和小卫星群的特点，所谓连续物，就是说它是土星的一部分，跟土星应该有相等的角速度，则有：R v ω=；当是小卫星群时，在轨运行时万有引力全部提供向心力，则有：R v m RGMm 22= ，由此可知选项AD 正确。
人造地球卫星问题大盘点
人造地球卫星问题大盘点由于人造卫星、宇宙飞船、航天飞机的问世，使人们不断地探索宇宙，为开发宇宙新能源而努力，是当今世界先进的科学领域，近几年针对人造卫星问题考查的频率较高，卫星问题与现代科技结合密切，出应用型试题，结合实际，正是今后高考的命题趋势。
现就卫星问题盘点如下，供同学们学习参考。
一、卫星的原理当地球与物体之间的万有引力恰好提供物体围绕地球做匀速圆周运动的向心力时，物体就会围绕地球永远运动下去，就成了地球的人造卫星。
二、卫星轨道卫星运动时，地球对其万有引力提供向心力，所以卫星的轨道平面必过地球球心。
其可能轨道分别如图1、2、3所示．但卫星不可能位于某一纬度平面上，如图4所示，原因是卫星仅受一个万有引力作用，这个万有引力将分解成垂直地轴的向心力和指向赤道面的分力，由牛顿第二定律可知，卫星将会在该方向上加速而脱离纬度平面。
由于地球的自转，图2所示卫星轨道平面不可能总和某一经线圈所在平面重合。
三、人造卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系1）运动速度：由得，即半径越大，线速度越小。
角速度：由得，即半径越大，角速度越小。
周期：由得，即半径越大，周期越长。
向心加速度：得，即半径越大，向心加速度越小。
也为该处的重力加速度。
2)求中心天体的质量或密度（设中心天体的半径）若已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的周期与半径若已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的线速度与半径若已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的线速度与周期若已知中心天体表面的重力加速度及中心天体的球半径例1一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量（）A．飞船的轨道半径 B．飞船的运行速度C．飞船的运行周期D．行星的质量例2“神舟六号”飞行到第５圈时，在地面指挥控制中心的控制下，由近地点250km圆形轨道1经椭圆轨道2转变到远地点350km的圆轨道3。
设轨道2与1相切于Q点，与轨道3相切于P点，如图３所示，则飞船分别在1、2、轨道上运行时（）A．飞船在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B．飞船在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C．飞船在轨道1上经过Q点时的加速度大于在轨道2上经过Q点的加速度D．飞船在轨道2上经过P点时的加速度等于在轨道3上经过P点的加速度例3在地球上（看做质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（）A．它们的质量可能不同B．它们的速度可能不同C．它们的角速度可能不同D．它们离地心的距离可能不同四、同步地球卫星（通讯卫星）（1）所谓的同步地球卫星就是相对地球静止的和地球具有相同周期的卫星，T=24小时。
人造卫星问题专题-9页精选文档
人造卫星问题专题一. 教学内容：人造卫星问题专题二. 学习目标：1、掌握人造卫星的力学及运动特点。
2、掌握地球同步卫星的特点及相关的题目类型。
3、强化对于人造卫星问题中典型题型的相关解法。
考点地位：人造卫星问题是万有引力定律应用部分的难点问题，是近几年高考命题的热点，这部分内容综合性很强，从高考出题形式上分析，突出了对于卫星的发射、运转、回收等多方面的考查，人造卫星问题中涉及到的同步卫星的定位，人造卫星问题中的超重失重问题，人造卫星与地理知识与现代科技知识的综合问题，都是近几年高考考查的热点问题，2019年全国各地的高考题目中，2019年广东单科卷第16题是以大型计算题目形式出现的，2019年天津理综卷的第17题四川理综卷的第17题均以绕月探测工程为物理背景以选择题形式出现。
三. 重难点解析：1. 人造地球卫星的发射速度对于人造地球卫星，由，得，这一速度是人造地球卫星在轨道上的运行速度，其大小随轨道半径的增大而减小，但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到距地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大。
2. 人造卫星的运行速度、角速度、周期与半径的关系根据万有引力提供向心力，则有（1）由，得，即人造卫星的运行速度与轨道半径的平方根成反比，所以半径越大（即卫星离地面越高），线速度越小。
（2）由，得，即，故半径越大，角速度越小。
（3）由，得，即，所以半径越大，周期越长，发射人造地球卫星的最小周期约为85分钟。
3. 人造卫星的发射速度和运行速度（环绕速度）（1）发射速度是指被发射物在地面附近离开发射装置时的速度，并且一旦发射后就再也没有补充能量，被发射物仅依靠自身的初动能克服地球引力做功上升一定高度，进入运动轨道（注意：发射速度不是应用多级运载火箭发射时，被发射物离开地面发射装置的初速度）。
要发射一颗人造卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度。
因此，第一宇宙速度又是最小的发射速度。
专题高中物理人造卫星问题
天平 弹簧秤测重力 液体压强计
五.模型三、“双星”
• “双星”是由两颗绕着共同的中心旋转的星球组 成。它们围绕它们的连线上的某一固定点做同周 期的匀速圆周运动，这种结构称为双星。
达到新的稳定运行状态
卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向 心力的大小关系判断；
稳定在新轨道上的运行速度变化由 v GM 判断
r
卫星变轨原理
思考：人造卫星在低轨道上运行，要想让其在 高轨道上运行，应采取什么措施？
在低轨道上加速，使其沿椭
圆轨道运行，当行至椭圆轨
·
道的远点处时再次加速，即
可使其沿高轨道运行。
可求得 T=85min
此处的 万有引 力与重 力之差
m(2π)2R G Mm m g
T
R2
在赤道上与 地球保持相
对静止
此处的 万有引
力
m
( 2π)2 T
R
G
M R
m 2
离地高度近 似为0，与 地面有相对
运动
同步 卫星
可求得距
地面高度 与地球自 h≈36000 周期相同， km，约为 即24h
地球半径
此处的 万有引
力
的5.6倍
轨道面与赤
m
(
2π) 2 T
R
G
Mm R2
道面重合， 在赤道上空， 与地面保持
相对静止
巩固与练习
（2011·北京）由于通讯和广播等方面的需要， 许多国家发射了地球同步卫星，这些卫星的：
A.质量可以不同 B.轨道半径可以不同 C.轨道平面可以不同 D.速率可以不同
1、卫星在二轨道相切点 2、卫星在椭圆轨道运行
万有引力相同，加速度相同
人造卫星变轨及错题解析
人造卫星变轨及错题解析一、人造卫星基本原理绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供。
轨道半径r 确定后，与之对应的卫星线速度r GM v =、周期GMr T 32π=、向心加速度2r GM a =也都是确定的。
如果卫星的质量也确定，一旦卫星发生变轨，即轨道半径r 发生变化，上述物理量都将随之变化。
同理，只要上述物理量之一发生变化，另外几个也必将随之变化。
在高中物理中，会涉及到人造卫星的两种变轨问题。
二、渐变由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化（逐渐增大或逐渐减小），由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看做是匀速圆周运动。
解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径是增大还是减小，然后再判断卫星的其他相关物理量如何变化。
如：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，无论轨道多高，都会受到稀薄大气的阻力作用。
如果不及时进行轨道维持（即通过启动星上小型火箭，将化学能转化为机械能，保持卫星应具有的速度），卫星就会自动变轨，偏离原来的圆周轨道，从而引起各个物理量的变化。
由于这种变轨的起因是阻力，阻力对卫星做负功，使卫星速度减小，所需要的向心力rmv 2减小了，而万有引力大小2r GMm 没有变，因此卫星将做向心运动，即半径r 将减小。
由㈠中结论可知：卫星线速度v 将增大，周期T 将减小，向心加速度a 将增大。
三、突变 由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其到达预定的目标。
如：发射同步卫星时，通常先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v 1，第一次在P 点点火加速，在短时间内将速率由v 1增加到v 2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；卫星运行到远地点Q 时的速率为v 3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v 3增加到v 4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。
第一次加速：卫星需要的向心力r mv 2增大了，但万有引力2rGMm 没变，因此卫星将开始做离心运动，进入椭圆形的转移轨道Ⅱ。
专题课：人造卫星问题课件(24张)
[答案] AB
B．a的向心加速度比b的小
C．a的向心力比b的小 D．a的角速度比b的大
图Z2－5
自我检测
[解析] 设地球的质量为 M，卫星的质量为 m，轨道半径为 r，周期为 T，角速度为 ω， 2π 2 卫星绕地球做匀速圆周运动， 由地球的万有引力提供向心力， 有 G 2 ＝mω2r＝m r T Mm r＝ma，解得：T＝2π GM ，a＝ 2 ，ω＝ GM r r3 GM r3 ，卫星的轨道半径越大，角速度、
学习互动
2π v2 [答题要点] 卫星在圆轨道上稳定运行时有 G 2 ＝m ＝mrω2＝mr 2＝ma，由此可推 r r T Mm GM v＝ r GM ω＝ r3 出 ，所以根据卫星轨道半径大小可以进行线速度、角速度、周期、向心加速 r3 T＝2π GM GM a＝ 2 r 度等运行参量的比较．
新课导入
【导入一】 同学们经常收看卫星电视节目，卫星电视信号就是通过通信卫星进行转播的，卫星为 什么能高高悬挂在天上呢？这节课我们重点研究人造卫星问题． 【导入二】 同学们都知道月球是地球的卫星，而且地球只有一个天然卫星，但是月球并不孤单， 人类迄今为止已经给月球发射了很多小伙伴——人造地球卫星．这节课我们重点研究 人造卫星问题.
备用习题
[解析]由于在P点推进器向前喷气，故飞行器将做减速运动，飞行器所需向心力减
小，而在P点万有引力保持不变，故飞行器将开始做近心运动，轨道半径减小，故
将沿轨道3运动，选项A错误；根据开普勒行星运动定律知，卫星轨道半径减小， 则周期减小，选项B错误；因为变轨过程是飞行器向前喷气过程，故是减速过程，
【重点】 (1)人造卫星运行参量比较．
人造卫星的相关问题
宇宙航行人造卫星的相关问题周末练习本周习题1.要使人造卫星绕地球运行，它进入地面附近的轨道速度是________ km/s，要使卫星脱离地球引力不再绕地球运行，必须使它的轨道速度等于或大于________km/s，要使它飞行到太阳系以外的地方，它的速度必须等于或大于________km/s。
2.某行星的卫星在靠近行星的轨道上飞行，若要计算行星的密度，需要测出的物理量是( )A.行星的半径B.卫星的半径C.卫星运行的线速度D.卫星运行的周期3.关于人造地球卫星与宇宙飞船的下列说法中，正确的是( )A.如果知道人造地球卫星的轨道半径和它的周期，再利用万有引力恒量，就可算出地球质量B.两颗人造地球卫星，只要它们的绕行速率相等，不管它们的质量、形状差别有多大，它们的绕行半径和绕行周期一定是相同的C.原来在同一轨道上沿同一方向绕行的人造卫星一前一后，若要后一卫星追上前一卫星并发生碰撞，只要将后者速率增大一些即可D.一艘绕火星飞行的宇宙飞船，宇航员从舱内慢慢走出并离开飞船，飞船因质量减小，所受万有引力减小，故飞行速度减小4.一颗人造地球卫星离地面高h=3R(R为地球半径).若已知地球表面的重力加速度为g,则卫星做匀速圆周运动的速度是________，角速度是________，周期是________，若已知地球质量为M，万有引力常量为G，则卫星做匀速圆周运动的速度是________，角速度是________，周期是________.5.人造地球卫星中的物体处于失重状态，是指物体（）A．不受地球引力的作用 B．受到的合力为零C．对支持它的物体没有压力D．地球的吸引力和向心力平衡6．关于地球同步卫星，它们一定具有相同的（）A．质量 B．高度 C．向心力 D．周期7．人造地球卫星绕地球作匀速圆周运动，其轨道半径为R，线速度为v，周期为T，要使卫星周期变成2T，可能的办法是（）A．R不变，使线速度变为v/2B．v不变，使轨道半径变为2RC．轨道半径变为D．速度、轨道半径都加倍8．从1999年至2005年，在五年多的时间内，我国已成功发射了六艘“神舟”号宇宙飞船，并实现中国两次载人航天飞行，标志着我国载人航天事业取得了新进展．若飞船在绕地球的轨道上作匀速圆周运动，则运行速度v的大小( ) A．v＜7.9km/sB．v＝7.9km/sC．7.9km/s＜v＜11.2km/sD．v＝11.2km/s9．我们的银河系的恒星中大约有四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点Ｃ做匀速圆周运动，由天文观察测得其运动周期为Ｔ，S1到Ｃ点的距离为r1,S1和S2的距离为r，已知引力常量为Ｇ，由此可求出S2的质量为( )10．关于人造地球卫星及其中物体的超重、失重问题，下面说法正确的是（）A．在发射过程中向上加速时产生超重现象B．在降落过程中向下减速时产生超重现象C．进入轨道时作匀速圆周运动，产生失重现象D．失重是由于地球对卫星内物体的作用力减小而引起的11．两个质量相等的人造地球卫星a、b绕地球运行的轨道半径ra =2rb，下列说法中正确的是：( )A、由公式F=可知，卫星a的向心力是b的1/2，B、由公式F=G可知，卫星a的向心力是b的1/4，C、由公式F=m可知，卫星a的向心力是b的2倍，D、以上说法都不对。
人造地球卫星问题的拓展
毒 令窗
甲 赤道轨道 乙 极 地轨 道 图 丙 其他轨 道
例
如图
所示 ,实线 圆表示 地球 , 竖 直虚 线 表示 地轴 ,虚 线 圆
沪 沪 口 , 、 、 、
、 、 、 表示 乏
、
、
、
、 口 沪 尹
地球 卫星可 能 的 轨道 ,对 于此 图 以 下说 法正确 的有
图
、 、 、 都可 能是地 球卫 星 轨道 不可 能是 地球 卫 星 的轨道 可 能 是地球 同步卫 星 的轨道 可能 是 地球 同步 卫星 的轨 道 解析 对 于 在 轨稳 定 运行 的卫星 来 说 , 地球 对卫 星 的万 有 引力全 部提 供 向心力 , 其 圆周运 动 的 圆心 必须 是地球 地 心 , 图 中 不
胡软波 , 关
前
晖从 造地球卫星问题 的拓展
卫 星在 轨道 上 的速率 卫星 在轨 道 上 的角速 度 卫 星在 轨 道 上经过 点 时的加 速 上 的角 速度 小于 在 轨道 上 的速率 大于 在轨 道
在 后 , 它 都配 有 能沿运 动方 向 向前 或 向 尽 快 追上 并完
后喷 气 的发 动机 , 现 要想 成对 接 , 应 采取 的措 施是 沿运 动 方 向喷气
湖南中学物理
勿
年第 期
人 造地 球 卫 星 问题 的拓 展
胡软 波 ' , 关
广益 实验 中学 , 湖南 长沙
晖
文 昌高级中学 湖北 潜江
教 材 中有 关 人造 地 球 卫星 的知识 介 绍较 少 , 致 使 学 习 时模糊 , 考试 错 误 较 多 。 教学 中应对 下面 的 内容进 行 补充 或拓 展 。 一 、 人 造 地球 卫星 运行 速度 和 发射 速度
复习人造地球卫星时应弄清的几个问题
复习人造地球卫星时应弄清的几个问题近年高考注重考查物理知识在高科技方面的应用，人造卫星也就频频出现在试题中，为提高学生解这方面题的能力，应弄清以下几个问题。
一、宇宙速度、卫星的发射速度和在轨道运行速度三个宇宙速度都是发射速度，中学物理所指的发射速度一般指运载火箭使卫星在近地轨道上获得的最大速度。
1、地面发射速度越大，卫星进入的轨道就越高，在轨道的运行速度越小；2、7.9km/s是近地卫星的最小速度(第一宇宙速度)，即卫星绕地球做半径最小的匀速圆周运动时的速度；3、地面发射速度不等于卫得在圆形轨道的运行速度[例]关于第一宇宙速度，下面说法中正确的是( )A、它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度B、它是近地圆形轨道上人造地球卫星的运行速度C、它是能使卫星进入近地圆形轨道的最大速度D、它是卫星在椭圆轨道上运行时在近地点的速度应选(B)。
二、几个物理量与轨道半径r的关系轨道半径r为地心到卫星的距离，设M为地球质量，m为卫星质量，由=m=mω2r=ma可推得以下几式：1、v=，v随r的增大而减小；2、ω=，ω随r的增大而减小；3、T=，T随r的增大而增大；4、a=，a随r的增大而减小；地表附近a=g。
以上各物理量(v、ω、T、a)均与卫星的质量无关，而以下三个量既与轨道半径r 有关，也与卫星的质量有关：5、p=mv=m，m一定时，p随r的增大而减小；6、Ek =mv2=，m一定时，Ek随r的增大而减小；7、重力势能Ep ，由于卫星一般离地很高，重力势能Ep=mgh已不适用，Ep∝m仍成立，但Ep∝r不成立，只要让学生定性知道，r增大，引力做负功，重力势能增大，即m一定时，Ep随r的增大而增大。
[例]地球同步卫星的发射过程可分为三个阶段：先将卫星发射到近地的圆轨道1；然后使其沿椭圆轨道2运行；最后使其进入同步轨道3。
轨道1、2相切于Q点，轨道2、3要相切于P点，如图所示。
卫星分别在3条轨道上正常运行时，它( )A、在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B、在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C、在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度D、在轨道2上运行时经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度分析：上述1-6表达式中，a==与轨道形状无关，其余表达式只适用于圆轨道，应选(B)(D)。
人造地球卫星知识点解析
一、难点形成原因： 卫星问题是高中物理内容中的牛顿运动定律、运动学基本规律、能量守恒定律、万有引力定 律甚至还有电磁学规律的综合应用。 其之所以成为高中物理教学难点之一， 不外乎有以下几 个方面的原因。 1、不能正确建立卫星的物理模型而导致认知负迁移 由于高中学生认知心理的局限性以及由牛顿运动定律研究地面物体运动到由天体运动规律 研究卫星问题的跨度，使其对卫星、飞船、空间站、航天飞机等天体物体绕地球运转以及对 地球表面物体随地球自转的运动学特点、 受力情形的动力学特点分辩不清， 无法建立卫星或 天体的匀速圆周运动的物理学模型（包括过程模型和状态模型） ，解题时自然不自然界的受 制于旧有的运动学思路方法，导致认知的负迁移，出现分析与判断的失误。 2、不能正确区分卫星种类导致理解混淆 人造卫星按运行轨道可分为低轨道卫星、 中高轨道卫星、 地球同步轨道卫星、 地球静止卫星、 太阳同步轨道卫星、 大椭圆轨道卫星和极轨道卫星； 按科学用途可分为气象卫星、 通讯卫星、 侦察卫星、科学卫星、应用卫星和技术试验卫星。 。 。 。 。 。由于不同称谓的卫星对应不同的规 律与状态， 而学生对这些分类名称与所学教材中的卫星知识又不能吻合对应， 因而导致理解 与应用上的错误。 3、不能正确理解物理意义导致概念错误 卫星问题中有诸多的名词与概念，如，卫星、双星、行星、恒星、黑洞；月球、地球、土星、 火星、太阳；卫星的轨道半径、卫星的自身半径；卫星的公转周期、卫星的自转周期；卫星 的向心加速度、 卫星所在轨道的重力加速度、 地球表面上的重力加速度； 卫星的追赶、 对接、 变轨、喷气、同步、发射、环绕等问题。 。 。 。 。 。因为不清楚卫星问题涉及到的诸多概念的含 义，时常导致读题、审题、求解过程中概念错乱的错误。 4、不能正确分析受力导致规律应用错乱 由于高一时期所学物体受力分析的知识欠缺不全和疏于深化理解， 牛顿运动定律、 圆周运动 规律、 曲线运动知识的不熟悉甚至于淡忘， 以至于不能将这些知识迁移并应用于卫星运行原 理的分析，无法建立正确的分析思路，导致公式、规律的胡乱套用，其解题错误也就在所难 免。 5、不能全面把握卫星问题的知识体系，以致于无法正确区分类近知识点的不同。如，开普 勒行星运动规律与万有引力定律的不同； 赤道物体随地球自转的向心加速度与同步卫星环绕 地球运行的向心加速度的不同； 月球绕地球运动的向心加速度与月球轨道上的重力加速度的 不同； 卫星绕地球运动的向心加速度与切向加速度的不同； 卫星的运行速度与发射速度的不 同；由万有引力、重力、向心力构成的三个等量关系式的不同；天体的自身半径与卫星的轨 道半径的不同；两个天体之间的距离Ｌ与某一天体的运行轨道半径ｒ的不同。 。 。 。 。 。只有明 确的把握这些类近而相关的知识点的异同时才能正确的分析求解卫星问题。 二、难点突破策略： （一）明确卫星的概念与适用的规律： 1、卫星的概念： 由人类制作并发射到太空中、能环绕地球在空间轨道上运行（至少一圈） 、用于科研应用的 无人或载人航天器， 简称人造卫星。 高中物理的学习过程中要将其抽象为一个能环绕地球做 圆周运动的物体。
人造卫星系列问题
人造卫星系列问题一.命题趋向与考点卫星问题贴近科技前沿，且与物理知识（如万有引力定律、匀速圆周运动、牛顿运动定律等）及地理知识有十分密切的相关性，以此为背景的高考命题立意高、情景新、综合性强，对考生的理解能力、综合分析能力、信息提炼处理能力及空间想象能力提出了极高的要求，是新高考突出学科内及跨学科间综合创新能力考查的命题热点，亦是考生备考应试的难点.考生应试失误的原因主要表现在：（1）对卫星运行的过程及遵循的规律认识不清，理解不透，难以建立清晰的物理情景.（2）对卫星运行中力与运动量间，能量转化间的关系难以明晰，对诸多公式含义模糊不清. 二.知识概要与方法一般情况下运行的卫星，其所受万有引力不刚好提供向心力，此时，卫星的运行速率及轨道半径就要发生变化，万有引力做功，我们将其称为不稳定运行即变轨运动；而当卫星所受万有引力刚好提供向心力时，它的运行速率就不再发生变化，轨道半径确定不变从而做匀速圆周运动，我们称为稳定运行. 用M 、m 分别表示地球和卫星的质量，用R 表示地球半径，r 表示人造卫星的轨道半径，可以得到：2222⎪⎭⎫ ⎝⎛==T mr r mv r GMm π……① 由此可以得出两个重要的结论：rrGM v 1∝=……②即卫星离地心越远，它运行的速度越慢。
332r GMr T ∝=π……③即卫星离地心越远，它运行的周期越长。
即对于稳定运行状态的卫星:①运行速率不变；②轨道半径不变.其轨道半径r 、线速度大小v 和周期T 是一一对应的，其中一个量确定后，另外两个量也就唯一确定了。
而不稳定运行的卫星则不具备上述关系，其运行速率和轨道半径都在发生着变化.地球表面上的物体所受的万有引力大小可以认为和重力大小相等（万有引力的另一个分力是使物体随地球自转所需的向心力，最多只占万有引力的0.3%，计算中可以忽略）。
因此有2RGMm mg =，即GM=gR 2。
一、第一宇宙速度人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须．．具有的最小发射速度，叫做第一宇宙速度。
(完整版)人造卫星变轨问题
人造卫星变轨问题一、人造卫星基本原理绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供。
轨道半径r 确定后，与之对应的卫星线速度r GM v =、周期GMr T 32π=、向心加速度2r GM a =也都是确定的。
如果卫星的质量也确定，一旦卫星发生变轨，即轨道半径r 发生变化，上述物理量都将随之变化。
同理，只要上述物理量之一发生变化，另外几个也必将随之变化。
在高中物理中，会涉及到人造卫星的两种变轨问题。
二、渐变由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化（逐渐增大或逐渐减小），由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看做是匀速圆周运动。
解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径是增大还是减小，然后再判断卫星的其他相关物理量如何变化。
如：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，无论轨道多高，都会受到稀薄大气的阻力作用。
如果不及时进行轨道维持（即通过启动星上小型火箭，将化学能转化为机械能，保持卫星应具有的速度），卫星就会自动变轨，偏离原来的圆周轨道，从而引起各个物理量的变化。
由于这种变轨的起因是阻力，阻力对卫星做负功，使卫星速度减小，所需要的向心力r mv 2减小了，而万有引力大小2r GMm 没有变，因此卫星将做向心运动，即半径r 将减小。
由㈠中结论可知：卫星线速度v 将增大，周期T 将减小，向心加速度a 将增大。
三、突变由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其到达预定的目标。
如：发射同步卫星时，通常先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v 1，第一次在P 点点火加速，在短时间内将速率由v 1增加到v 2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；卫星运行到远地点Q 时的速率为v 3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v 3增加到v 4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。
第一次加速：卫星需要的向心力r mv 2增大了，但万有引力2rGMm 没变，因此卫星将开始做离心运动，进入椭圆形的转移轨道Ⅱ。
卫星问题分析(高中物理大难点突破)
卫星问题分析1（高中物理10大难点突破)一、难点形成原因：卫星问题是高中物理内容中的牛顿运动定律、运动学基本规律、能量守恒定律、万有引力定律甚至还有电磁学规律的综合应用。
其之所以成为高中物理教学难点之一，不外乎有以下几个方面的原因。
1、不能正确建立卫星的物理模型而导致认知负迁移由于高中学生认知心理的局限性以及由牛顿运动定律研究地面物体运动到由天体运动规律研究卫星问题的跨度，使其对卫星、飞船、空间站、航天飞机等天体物体绕地球运转以及对地球表面物体随地球自转的运动学特点、受力情形的动力学特点分辩不清,无法建立卫星或天体的匀速圆周运动的物理学模型(包括过程模型和状态模型），解题时自然不自然界的受制于旧有的运动学思路方法,导致认知的负迁移，出现分析与判断的失误。
2、不能正确区分卫星种类导致理解混淆人造卫星按运行轨道可分为低轨道卫星、中高轨道卫星、地球同步轨道卫星、地球静止卫星、太阳同步轨道卫星、大椭圆轨道卫星和极轨道卫星；按科学用途可分为气象卫星、通讯卫星、侦察卫星、科学卫星、应用卫星和技术试验卫星。
.由于不同称谓的卫星对应不同的规律与状态,而学生对这些分类名称与所学教材中的卫星知识又不能吻合对应，因而导致理解与应用上的错误。
3、不能正确理解物理意义导致概念错误卫星问题中有诸多的名词与概念，如，卫星、双星、行星、恒星、黑洞；月球、地球、土星、火星、太阳;卫星的轨道半径、卫星的自身半径；卫星的公转周期、卫星的自转周期；卫星的向心加速度、卫星所在轨道的重力加速度、地球表面上的重力加速度；卫星的追赶、对接、变轨、喷气、同步、发射、环绕等问题。
.。
因为不清楚卫星问题涉及到的诸多概念的含义，时常导致读题、审题、求解过程中概念错乱的错误。
4、不能正确分析受力导致规律应用错乱由于高一时期所学物体受力分析的知识欠缺不全和疏于深化理解，牛顿运动定律、圆周运动规律、曲线运动知识的不熟悉甚至于淡忘，以至于不能将这些知识迁移并应用于卫星运行原理的分析，无法建立正确的分析思路，导致公式、规律的胡乱套用，其解题错误也就在所难免.5、不能全面把握卫星问题的知识体系,以致于无法正确区分类近知识点的不同。
人造卫星运动疑点排查
其加速度都相 同， 但卫星在 圆轨道上的 Ａ 多， 发射速 度就要 越大 ， 以第 一宇宙 速度是 最小 个轨道上 ， 所 同时也是卫星在 轨道 上运 行的最 大速度 ． 这里的“ 最 度的 公式可知： ，｛ ， 和ｖ 嘞 ＝ 隋 ÷ 式中 ＝ ｒ 分别 小 ” 最大 ” 和“ 其实 并不矛盾 ， 只是从不 同 的角 度来 表 示卫星在 圆轨道上 Ａ点 的速率和 在椭 圆轨 道上 说 的而 已 实际上 ， 发射人造卫星是一个逐渐加速的 Ａ点 的速 率 ， 表示 圆轨道 的半 径 ， 表示椭 圆轨道 ｒ ｒ 过 程 ， 可能在地面上瞬间给卫星一个这 么大的初 不 Ａ点 的曲率半径 ， 由几 何知识知 ： ｒ而 向心加速 ｒ＞ ， 速度 ， 以这样计算也只是一种理想化的情况． 所 度相 同， 以 ＞ 即卫 星在椭圆轨道上 Ａ点 的速 所 ， 例 １ 关 于 地球 的 第 一 宇 宙速 度 ， 列说 法 正 率大于在圆轨道上 Ａ点的速率．为什么会 出现这种 下
热点、 点， 难 同时也 是广大考 生感到 棘手 的问题 之
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下面就人造卫 星考点中常见的几 个疑点问题逐
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剖析 ， 以期对同学们有所帮助．
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式 中 表 示 人 造 卫 星
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关 于 第一 宇 宙速 度
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确 的是 ｆ １
情 况 呢 ？ 因是 卫星 在进 行 变轨 时ｆ 在 Ａ点 ） 原 比如 ， 必须
Ａ 它是 人 造 地 球 卫 星 绕 地球 运 行 的 最 小速 度 ． Ｂ 它是 近地 圆形 轨 道 上 人 造 卫 星 的运 行 速 度 ．
人造卫星问题的易错点
人造卫星问题的易错点人造卫星的相关问题是《万有引力定律》这一章最重要的内容之一，历年高考均有涉及，其主要考点是：卫星的线速度、角速度、周期、加速度与轨道半径的关系。
一、思路点拨：研究人造卫星的基本方法：1、把卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。
即222224Mm v G ma m m r m r r r T πω====向，得到v =ω=，T =2GM a r =向；建立各个量与r 之间的函数关系进行计算讨论。
2、利用地表物体的重力近似等于万有引力，即2Mm mg GR=，得2G M g R =，从而建立g 和其他几个量的关系。
例1：如图所示，A 、B 、C 是在地球大气层外圆轨道上运动的三颗卫星，下列说法正确的是（ ）A. B 、C 的线速度大小相等，且小于A 的线速度B. B 、C 的向心加速度大小相等，且小于A 的向心加速度C. C 加速可追上同一轨道的B ，B 减速可等候同一轨道上的CD. A 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，线速度将增大 分析：由万有引力提供向心力：222224Mm v G ma m m r m r r r Tπω====向得：v =ω=，T =2GM a r =向，根据题意可知A B C r r r <=，因此A B C v v v >=，A B C a a a >=，故A 、B 正确。
若C 加速，则2v F m r<引，万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，它的轨道半径将变大，B 、C 将不在同一轨道上。
同理，若B 减速，则2v F m r>引，卫星将做近心运动，它的轨道半径将减小，B 、C 也将不在同一轨道上。
故C 错。
由v =A 在轨道半径缓慢减小的过程中，线速度将会增大，故D 正确。
点评：1、卫星的轨道半径越大，周期越大，线速度越小，角速度越小，向心加速度越小。
据此，若已知其中某个量的关系就可以很迅速的判断其他量的关系。
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人造地球卫星问题大盘点由于人造卫星、宇宙飞船、航天飞机的问世，使人们不断地探索宇宙，为开发宇宙新能源而努力，是当今世界先进的科学领域，近几年针对人造卫星问题考查的频率较高，卫星问题与现代科技结合密切，出应用型试题，结合实际，正是今后高考的命题趋势。
现就卫星问题盘点如下，供同学们学习参考。
一、卫星的原理当地球与物体之间的万有引力恰好提供物体围绕地球做匀速圆周运动的向心力时，物体就会围绕地球永远运动下去，就成了地球的人造卫星。
二、卫星轨道卫星运动时，地球对其万有引力提供向心力，所以卫星的轨道平面必过地球球心。
其可能轨道分别如图1、2、3所示．但卫星不可能位于某一纬度平面上，如图4所示，原因是卫星仅受一个万有引力作用，这个万有引力将分解成垂直地轴的向心力和指向赤道面的分力，由牛顿第二定律可知，卫星将会在该方向上加速而脱离纬度平面。
由于地球的自转，图2所示卫星轨道平面不可能总和某一经线圈所在平面重合。
三、人造卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系1）运动速度：由得，即半径越大，线速度越小。
角速度：由得，即半径越大，角速度越小。
周期：由得，即半径越大，周期越长。
向心加速度：得，即半径越大，向心加速度越小。
也为该处的重力加速度。
2)求中心天体的质量或密度（设中心天体的半径）若已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的周期与半径若已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的线速度与半径若已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的线速度与周期若已知中心天体表面的重力加速度及中心天体的球半径例1一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量（）A．飞船的轨道半径 B．飞船的运行速度C．飞船的运行周期D．行星的质量例2“神舟六号”飞行到第５圈时，在地面指挥控制中心的控制下，由近地点250km圆形轨道1经椭圆轨道2转变到远地点350km的圆轨道3。
设轨道2与1相切于Q点，与轨道3相切于P点，如图３所示，则飞船分别在1、2、轨道上运行时（）A．飞船在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B．飞船在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C．飞船在轨道1上经过Q点时的加速度大于在轨道2上经过Q点的加速度D．飞船在轨道2上经过P点时的加速度等于在轨道3上经过P点的加速度例3在地球上（看做质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（）A．它们的质量可能不同B．它们的速度可能不同C．它们的角速度可能不同D．它们离地心的距离可能不同四、同步地球卫星（通讯卫星）（1）所谓的同步地球卫星就是相对地球静止的和地球具有相同周期的卫星，T=24小时。
（2）同步地球卫星必位于赤道的上方，相对地面的高度为定值，与地球的自转方向相同。
五、宇宙速度（1）由知，当卫星绕地球近表上空运行时，半径最小，运行速度最大，称为第一宇宙速度，其大小为。
若卫星的发射速度小于第一宇宙速度，则卫星所受万有引力大于卫星所需向心力而使卫星落回地球。
因此，发射卫星的最小速度不能小于第一宇宙速度，所以说第一宇宙速度是卫星发射的最小速度，是卫星运行的最大环绕速度。
这里的规律同样适用于其它星体。
（2）卫星能挣脱地球引力的速度，称为第二宇宙速度（脱离速度），其大小为。
（3）卫星能挣脱太阳引力的速度，称为第三宇宙速度（逃逸速度），其大小为。
六、卫星的发射、回收和对接（1）卫星的发射速度要求大于或等于，小于。
卫星的高度越高，要求发射的速度就要越大，在上升过程机械能守恒，动能转化成势能，速度逐渐减小，到达该轨道的速度都要比低轨道的速度小，同一卫星所在处的轨道越高，机械能越大。
（2）发射同步卫星一般采用变轨发射的方法首先利用第一级火箭将卫星送到180—200km的高空，绕地球做匀速圆周运动，该轨道为停泊轨道A。
当到达赤道上空时，第二、三级火箭点火，此时卫星的速度增加，万有引力不足以提供向心力而发生离心运动，进入赤道平面内的椭圆轨道B。
当卫星到达最远点时，恰好到达同步轨道c，由于克服地球引力做功速度减小，万有引力大于所需的向心力，因而要在该处启动卫星发动机，提高卫星的速度，使万有引力恰好提供向心力，卫星就停留在同步轨道c上，如图５所示。
（3)卫星的变轨问题卫星绕中心天体稳定运动时万有引力提供了卫星做匀速圆周运动的向心力，有．当卫星由于某种原因速度突然增大时，，卫星将做离心运动；当突然减小时，，卫星做向心运动。
（4）卫星的对接和回收卫星对接：由于卫星的运动仅有万有引力控制，同轨道卫星速率相同，加速则发生离心而高于本轨道，因而要求从低轨道上加速才能实现对接。
卫星的回收：卫星在圆轨道上正常运行时，万有引力恰好提供向心力，要想回收则必需产生一个指向地心的加速度。
因而只有先将卫星减速后，万有引力提供向心力后还可以产生一个指向地心的加速度，回收过程中由于重力做功，速度不断增大（可见减速是瞬时的，最终速度增加），角速度增加，周期减小，加速度越来越大。
(5)卫星的追及与相遇问题两卫星在同一轨道绕中心天体同向运动，要使后一卫星追上前一卫星，我们称之为追及问题。
两卫星在不同轨道绕中心天体在同一平面内做匀速圆周运动，当两星某时相距最近时我们称之为两卫星相遇问题。
例4如图4所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是（）A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的cD．a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大例5如图5所示，A是地球的同步卫星．另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h。
已知地球半径为R，地球自转角速度为，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．（1）求卫星B的运行周期。
（2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，他们再一次相距最近？(6)卫星的发射能量问题发射卫星过程中，火箭带着卫星克服地球引力做功，将消耗大量能量，所以发射轨道越高的卫星，耗能越多，难度越大。
同步卫星必须自西向东运行，才可以与地球保持相对静止，故发射阶段，火箭在合适之时应尽量靠近赤道且自西向东输送，以便利用地球自转动能，节省火箭能量。
例6我国已经拥有甘肃酒泉、山西太原和四川西昌三个卫星发射中心，又计划在海南建设一个航天发射场，预计2010年前投入使用．关于我国在2010年用运载火箭发射一颗同步卫星，下列说法正确的是（）A．在海南发射同步卫星可以充分利用地球自转的能量，从而节省能源B．在酒泉发射同步卫星可以充分利用地球自转的能量，从而节省能源C．海南和太原相比，在海南的重力加速度略微小一点，同样的运载火箭在海南可以发射质量更大的同步卫星D．海南和太原相比，在太原的重力加速度略微小一点，同样的运载火箭在太原可以发射质量更大的同步卫星从以上各式可以看出：人造地球卫星的周期、线速度、角速度与它所在的轨道相对应，与卫星本身的质量无关，即同一轨道上的卫星具有相同的周期、线速度、角速度及加速度。
七、重力与万有引力关系模型1．考虑地球（或某星球）自转影响，地表或地表附近的随地球转的物体所受重力实质是万有引力的一个分力由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力，向心力必来源于地球对物体的万有引力，重力实际上是万有引力的一个分力，由于纬度的变化，物体作圆周运动的向心力也不断变化，因而地球表面的物体重力将随纬度的变化而变化，即重力加速度的值g随纬度变化而变化；从赤道到两极逐渐增大．在赤道上，在两极处，。
例7如图１所示，Ｐ、Ｑ为质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个均匀球体，Ｐ、Ｑ两质点随地球自转做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是：（）A．P、Q做圆周运动的向心力大小相等 B．P、Q受地球重力相等C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等 D．P、Q做圆周运动的周期相等例8荡秋千是大家喜爱的一项体育活动．随着科技的迅速发展，将来的某一天，同学们也许会在其它星球上享受荡秋千的乐趣。
假设你当时所在星球的质量是、半径为，可将人视为质点，秋千质量不计、摆长不变、摆角小于90°，万有引力常量为。
那么，（1）该星球表面附近的重力加速度等于多少？（2）若经过最低位置的速度为,你能上升的最大高度是多少？例9我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。
设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的,地球上的第一宇宙速度约为7．9km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为（）A．0．4km/s B．1．8km/s C．11km/s D．36km/s例10 地球赤道上有一物体随地球一起自转做圆周运动，所受的向心力为，向心加速度为，线速度为，角速度为；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度可忽略）所受的向心力为，向心加速度为，线速度为，角速度为；地球同步卫星所受的向心力为，向心加速度为，线速度为，角速度为；地球表面重力加速度为g，第一宇宙速度为，假设三者质量相等，则（）A．B．C．D．例11自1964年8月美国成功发射第一颗同步通信卫星以来，同步卫星给人们的生活带来很大的方便。
例如，打开电视，我们就可以收看到很多经同步卫星传送的节目。
卫星直播已成为日常用语。
同步卫星所在的轨道称为同步轨道．若已知地球表面的重力加速度为g。
地球半径为R，地球自转周期为T，试回答以下问题：（1）为了使同步轨道上的卫星互不影响，每两颗星之间要间隔100km，则同步轨道上最多能同时存在多少颗同步卫星？（2）世界上有很多发射同步卫星的航天发射场均尽可能建在靠近赤道的地方，这样有何优点？例12一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径r=2R（R为地球半径），卫星的运动方向与地球自转方向相同。
已知地球自转的角速度为，地球表面处的重力加速度为g。
（1）求人造卫星绕地球转动的角速度。
（2）若某时刻卫星通过赤道上某建筑物的正上方，求它至少经过多长时间再次通过该建筑物的正上方。
八、双星模型宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。
在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点O做同周期的匀速圆周运动。
如图6所示，这种结构叫做双星．双星问题具有以下两个特点：⑴由于双星和该固定点O总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。
⑵由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由可得，可得，，即固定点O离质量大的星较近。
列式时须注意：万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆。