粘性流体微元流束伯努利方程
第六章 粘性流体的一维定常流动
p V p V z 1 1 1 1 z 2 2 2 2 hf g 2g g 2g
(b)
(c)
4
排水 进水
a.
b.
v 0 vc
层流=>过渡状态 紊流
v vc
v vc vc
c. d.
vc vc
紊流=>过渡状态
v vc
层流
层流——紊流的临界速度——上临界流速 紊流——层流的临界速度——下临界流速
v c ——上临界速度 v c ——下临界速度
p 1、 z g gdqV qV
的积分（势能）
有效截面1和有效截面2处的流动都是缓变流动
z1 p1 C1 g
z2 p2 C2 g
C1
C2 是两个不同的常数
p z gdqV g qV
不可压缩流体
2 V1 p 1 z2 2 2 g dqV g qV qV
V2 1 2 g dqV qV qV
2
h dq
w qV
V
p z g
1 qV
qV
V
V2 dqV 2g 2g
2
hW
1 qV
h dq
紊流流动:
2 2
1.0
42 H hw h2 h1 13 0.7 9 5.52 (m) 2g 2 9.806
【例6-1】 有一文丘里管如图6-3所示，若水银差压计的指示为 360mmHg，并设从截面A流到截面B的水头损失为0.2 mH2O， dA =300mm， dB=150mm，试求此时通过文丘里管的流量是多 少?
伯努利方程——精选推荐
伯努利⽅程伯努利⽅程伯努利⽅程就是能量守衡定律在流动液体中的表现形式。
(动能定理)1、理想液体的运动微分⽅程在微⼩流束上，取截⾯积为dA，长为ds的微元体，现研究理想液体定常流动条件下在重⼒场中沿流线运动时其⼒的平衡关系。
微元体的所受的重⼒为-ρgdAds，压⼒作⽤在两端⾯上的⼒为微元体在定常流动下的加速度为微元体的⼒平衡⽅程为上式简化后可得p，z，u只是s的函数，进⼀步简化得上式即为重⼒场中，理想液体沿流线作定常流动时的运动⽅程，即欧拉运动⽅程。
2、理想液体的伯努利⽅程沿流线对欧拉运动⽅程积分得上式两边同除以g 得以上两式即为理想液体作定常流动的伯努利⽅程。
伯努利⽅程推导简图物理意义：第⼀项为单位重量液体的压⼒能称为⽐压能（p/ρg ）；第⼆项为单位重量液体的动能称为⽐动能（u2/2g ）；第三项为单位重量液体的位能称为⽐位能（z）。
由于上述三种能量都具有长度单位，故⼜分别称为压⼒⽔头、速度⽔头和位置⽔头。
三者之间可以互相转换，但总和（H，称为总⽔头）为⼀定值。
3．实际液体流束的伯努利⽅程实际液体都具有粘性，因此液体在流动时还需克服由于粘性所引起的摩擦阻⼒，这必然要消耗能量，设因粘性⼆消耗的能量为hw'，则实际液体微⼩流束的伯努利⽅程为4．实际液体总流的伯努利⽅程将微⼩流束扩⼤到总流，由于在通流截⾯上速度u是⼀个变量，若⽤平均流速代替，则必然引起动能偏差，故必须引⼊动能修正系数。
于是实际液体总流的伯努利⽅程为式中hw---由液体粘性引起的能量损失；α1，α2---动能修正系数，⼀般在紊流时取α＝1，层流时取α＝2。
5．伯努利⽅程应⽤举例例1 侧壁孔⼝流出速度条件: p1和p2 ，h为⾼，以⼩孔中⼼线为基准。
例2 ⽂丘利流量计例3 液压泵的最⼤吸油⾼度例4 试运⽤连续性⽅程和伯努利⽅程分析变截⾯⽔平管道各处的压⼒情况.条件:A1>A2>A3 ⽐较:流速和压⼒的⼤⼩四、动量⽅程液体作⽤在固体壁⾯上的⼒，⽤动量定理来求解⽐较⽅便。
伯努利方程%26粘滞流体运动
本节课主要内容•伯努利方程及其应用•粘滞定律（粘度系数）•泊肃叶公式•雷诺数•斯托克斯公式伯努利(Bernoulli )方程伯努利方程是理想流体定常流动的基本动力学方程，它是在理想流体中应用机械能定理推导出来的结果。
伯努利方程是1738 年首先由丹尼耳·伯努利（Daniel Bernoulli1700～1782）提出。
丹·伯努利(Daniel Bernoull, 1700−1782) 瑞士科学家.科学世家伯努利家族老尼古拉·伯努利（公元1623-1708年）雅各布（Jocob，公元1654-1705年）小尼古拉（Nicolaus I，公元1662-1716年）约翰（Johann，公元1667-1748年）•1654年12月27日，雅各布·伯努利生于巴塞尔，毕业于巴塞尔大学，1671年17岁时获艺术硕士学位。
这里的艺术指“自由艺术”，包括算术、几何学、天文学、数理音乐和文法、修辞、雄辩术共7大门类。
遵照父亲的愿望，他于1676年22岁时又取得了神学硕士学位。
然而，他也违背父亲的意愿，自学了数学和天文学。
1676年，他到日内瓦做家庭教师。
从1677年起，他开始在那里写内容丰富的《沉思录》。
•1678年和1681年，雅各布·伯努利两次外出旅行学习，到过法国、荷兰、英国和德国，接触和交往了许德、玻意耳、胡克、惠更斯等科学家，写有关于彗星理论（1682年）、重力理论（1683年）方面的科技文章。
1687年，雅各布在《教师学报》上发表数学论文《用两相互垂直的直线将三角形的面积四等分的方法》，同年成为巴塞尔大学的数学教授，直至1705年8月16日逝世。
•1699年，雅各布当选为巴黎科学院外籍院士；1701年被柏林科学协会（后为柏林科学院）接纳为会员。
•许多数学成果与雅各布的名字相联系。
例如悬链线问题（1690年），曲率半径公式（1694年），“伯努利双纽线”（1694年），“伯努利微分方程”（1695年），“等周问题”（1700年）等。
第五章 实际(粘性)流体动力学基础
p
p
(5.12)
上式表示总流重力流量（γQ）所具有的势能。
u2 （2）第二类积分 Q dQ A u3dA ，表示总流重力流量 2g 2g
所具有的动能。 总流在同一过流断面上的流速分布一般是不均匀的，即
3 3 u dA v A A
引入修正系数α，即令
3 3 u dA u dA A A 3 v A Qv 2
u y u y u y u y 1 p 2 Y u y ux uy uz y t x y z
1 p uz uz uz uz 2 Z uz ux uy uz z t x y z
（5.1）
与理想流体的欧拉运动微分方程w dhw
1
2
实际流体恒定元流的伯努利方程或能量方程，式中 z：位置水头；
p
: 动水压强水头；
u2 : 流速水头； 2g
: 损失水头。 hw
即单位重力流体在运动中为了克服1~2元流段中水流阻力 hw
所消耗的机械能，称为水头损失。
§5.3
5.3.1
恒定总流的伯努利方程
下降，平均测压管水头线可以上升，
可以下降。
总水头线的坡度叫做水力坡度， 表示单位重力流体在单位长度的 流程上所损失的平均水头。以H 表示总流的平均总水头，则水力
坡度为
dH dhw J ds ds
(5.21)
5.3.3
恒定总流伯努利方程的应用
总流伯努利方程适用条件：
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流； （3）作用于流体上的质量力不可压缩流体； （4）所取过流断面1-1，2-2都在渐变流区域，但两断面之
这些功时所消耗的机械能，就是能量的损失。
ns方程与伯努利方程
ns方程与伯努利方程一、引言NS方程和伯努利方程是流体力学中非常重要的两个方程。
它们分别描述了流体的运动和压力分布。
本文将介绍这两个方程的基本概念、推导过程以及应用场景。
二、NS方程1.基本概念NS方程，即Navier-Stokes方程，是描述粘性流体运动的基本方程。
它由法国数学家纳维-斯托克斯于19世纪提出，被认为是流体力学中最重要的非线性偏微分方程之一。
2.推导过程NS方程的推导过程相对较为复杂，需要涉及到牛顿第二定律、连续性方程、黏度等概念。
简单来说，NS方程可以通过对流体质点进行质量、动量和能量守恒等物理规律的数学表达式进行推导得到。
3.应用场景NS方程广泛应用于工业生产、地球物理学研究、气象预报等领域。
例如，在航空航天工业中，使用NS方程模拟飞机在空气中飞行时的气动力学特性；在地球物理学研究中，使用NS方程模拟地球内部的流体运动；在气象预报中，使用NS方程模拟大气环流等。
三、伯努利方程1.基本概念伯努利方程，是描述静态流体压力分布的方程。
它由瑞士数学家伯努利于18世纪提出，被广泛应用于流体力学中。
2.推导过程伯努利方程的推导过程相对简单，只需要涉及到质量守恒和能量守恒等基本物理规律。
简单来说，伯努利方程可以通过对流体在不同位置的压力、速度和高度进行数学表达式推导得到。
3.应用场景伯努利方程广泛应用于飞行器设计、水力工程设计等领域。
例如，在飞行器设计中，使用伯努利方程计算机翼产生升力的原理；在水力工程设计中，使用伯努利方程计算水泵的扬程等。
四、NS方程与伯努利方程的联系和区别1.联系NS方程和伯努利方程都是描述流体运动的基本物理规律。
它们都涉及到质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理规律。
2.区别NS方程描述的是粘性流体的运动，而伯努利方程描述的是静态流体的压力分布。
NS方程需要涉及到黏度等复杂概念进行推导，而伯努利方程则相对简单。
在应用场景上，NS方程主要应用于工业生产、地球物理学研究、气象预报等领域，而伯努利方程主要应用于飞行器设计、水力工程设计等领域。
流体流动状态与伯努利方程
流体流动状态与伯努利方程
流体力学伯努利的方程是p+1/2ρv2+ρgh=C。
p为流体中某点的压强，v为流体该点的流速，ρ为流体密度，g 为重力加速度，h为该点所在高度，C是一个常量。
它也可以被表述为p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2。
扩展资料：
使用伯努利定律必须符合以下假设，方可使用；如没完全符合以下假设，所求的解也是近似值：
1、定常流：在流动系统中，流体在任何一点之性质不随时间改变。
2、不可压缩流：密度为常数，在流体为气体适用于马赫数(Ma)<0.3。
3、无摩擦流：摩擦效应可忽略，忽略黏滞性效应。
4、流体沿着流线流动：流体元素沿着流线而流动，流线间彼此是不相交的。
参考资料来源：百度百科—伯努利原理。
粘性流体中的伯努利原理
粘性流体中的伯努利原理粘性流体中的伯努利原理是流体动力学中的一个重要定律，它描述了粘性流体沿着流线运动时的压力、速度和高度之间的关系。
伯努利原理是将质量守恒、动量守恒和能量守恒三个定律综合起来，可以解释一系列现象，如飞机的升力和水龙头的喷射效果等。
首先，我们来回顾一下伯努利原理的基本表述。
伯努利原理指出，在粘性流体中，单位体积的流体沿着流线的总能量始终保持不变。
这里的总能量包括压力能、动能和重力能。
根据伯努利原理，流体在速度增加时，压力会减小；而在速度减小时，压力会增加。
这意味着流体越快越稀薄，压力就越低。
伯努利原理可以通过流体的连续性方程、动量方程和能量方程来推导。
先来看一下连续性方程。
在稳态流动中，流体通过一个截面的质量流率应该等于通过另一个截面的质量流率，即质量守恒。
根据连续性方程，流体的速度与流体通过截面的截面积成反比。
当流体通过一个截面的速度增加时，截面积将减小，反之亦然。
接下来看一下动量方程。
动量方程描述了流体中力的平衡。
在粘性流体中，流体的动量变化等于外力对流体的作用力。
在伯努利原理中，我们假设流体没有外力作用，所以动量方程简化为流体的动量守恒。
根据动量守恒定律，流体在速度增加时，其动量减小；而在速度减小时，其动量增加。
因此，伯努利原理可以解释为什么流体在速度增加时，压力会降低。
最后，我们来看一下能量方程。
能量方程是描述了流体的能量变化。
在伯努利原理中，我们假设流体没有外界能量输入或输出，所以能量方程简化为流体的能量守恒。
根据能量守恒定律，单位体积的流体在加速时，其总能量减少；而在减速时，其总能量增加。
因此，伯努利原理可以解释为什么流体加速时压力减小，而减速时压力增加。
总结一下，粘性流体中的伯努利原理指出，流体沿着流线运动时，单位体积的总能量保持不变。
这一原理可以通过质量守恒、动量守恒和能量守恒来推导。
根据伯努利原理，流体在速度增加时，压力会减小；而在速度减小时，压力会增加。
这一原理可以应用于许多自然和工程领域，如航空、海洋和水力工程等。
工程流体力学423粘性流体的伯努利方程
工程流体力学
2. 物理意义
式（4.4）每一项都表示单位重量流体具有的某种能量。
z是单位重量流体具有的位置势能；
p
是单位重量流体具有的压强势能；
v2 是单位重量流体具有的动能；
2g
z
p
是单位重量流体具有的总势能；
z p v2 是单位重量流体具有的总机械能。
2g
伯努利方程表示理想流体恒定流动，沿同一条流 线，各点单位重量流体的机械能守恒 。
Cl
式（4.4）就是沿流线的伯努利方程，这是水力 学中最常用的方程之一。
伯努利方程的限制条件包括：（1）理想流体； （2）恒定流动；（3）不可压缩流体；（4）质量力 仅为重力；（5）沿流线。
在同一条流线上取1，2两点，则式（4.4）可表
达成 ：
z1
p1
v12 2g
z2
p2
v22 2g
dt
即为静力学基本方程。
(2)对于恒定流动， v 0 。
t
（3）在方程中有8个物理量：u 、v 、w 、fx 、f y 、 f z ， 和p。一般情况下，表示重力的 fx 、f y 、f z是已
知的，这个方程组和连续性方程及流体的状态方程， 在一定条件下积分便可得到压强p的分布规律。
工程流体力学
工程流体力学
【解】（1）管中流动若不计损失，则管中流动为均 流。现要测量过流断面上A点的流速，用水银比压计 来测量，其原理是：由于来流在A点受比压计的阻滞， 该处的速度为零（或者A点为两条流线相交的前驻 点）；该处动能全部转化成势能，而水银比压计另一 端B点在管壁，该处的流速是管中均流每一点的速度， 也可看成A点前方某一点的速度。
粘性流体的伯努利方程
• 泊肃叶定律
粘性流体在水平细管内作稳定层流时的流量
Q R4P 8L
I V R
R 细管半径 流体粘度 L 细管长度
２、流阻:
R f 8L R4
Q P Rf
三、斯托克司定律（ Stokes’s law ）
在粘性流体中运动时，物体表面附着有一层流体，因而与 周围流体存在粘性力。
流体运动
物理教研组
流体的运动
1、掌握理想流体、稳定流动的概念及其物理意义； 2、掌握连续性方程及其应用； 3、掌握伯努利方程及其应用； 4、了解粘性流体的流动 5、了解粘性流体的运动规律
§3-1 理想流体 稳定流动
一、理想流体 1、实际流体 水、油……可压缩，具有粘滞性。
2、理想流体 绝对不可压缩、完全没有粘滞性（内摩擦）。
ghghgh121012201010002010001210001024二伯努利方程的应用1汾丘里venturimeter流量计gh2流速计皮托管pitottubeghghgh工作液体密度待测流体密度3体位对血压的影响若流体在等截面的流管中流动且流速不变则由若流体在等截面的流管中流动且流速不变则由伯努利方程可得
12(m
s)
vB
Q SB
0.12 6 103
20(m
s)
PA
1 2
v
2 A
PB
1 2
vB2
ghB
PB
PA
1 2
vA2
1 2
vB2
ghB
2 105 1 1000122 1 1000 202 1000 9.8 2
2
2
伯努利方程三种公式
伯努利方程三种公式1.伯努利定理伯努利定理是伯努利方程最基本的形式，适用于无粘度、不可压缩、可压缩的流体在稳定流动过程中的情况。
该定理的数学表达式如下：P + 0.5ρv² + ρgh = 常数其中，P为流体在其中一位置的压强，ρ为流体的密度，v为流体的流速，g为重力加速度，h为流体所在位置的高度。
这个定理表明，在稳态流动的过程中，当流速增加时，压强降低；当流速减小时，压强增加。
伯努利定理的应用广泛，例如可以解释飞机升力产生的原理。
2.精细伯努利定理精细伯努利定理是伯努利方程的一种推广形式，适用于粘性流体（包括有粘度、可压缩和不可压缩的流体）。
该定理是通过对流体在一段流动管道中的微元进行能量平衡而推导得出的。
精细伯努利定理的数学表达式如下：P + 0.5ρv² + ρgh + hδP = 常数其中，δP是流体受到粘度效应产生的附加压强。
精细伯努利定理中的附加压强项考虑了粘性对流体流动的影响，使得该定理适用于更广泛的应用情况。
例如在液体流经狭窄或弯曲管道时，会出现流速变化和附加压强的影响。
3.伯努利方程的动能定理形式P₁ + 0.5ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + 0.5ρv₂² + ρgh₂ + W其中，P₁和P₂分别表示流体在起始位置和结束位置的压强，v₁和v₂分别表示流体在起始位置和结束位置的流速，h₁和h₂分别表示起始位置和结束位置的高度，W表示单位时间内除了涡旋引起的机械功之外的其他功。
该定理表明，除了涡旋的机械功之外，流体在一段路径上的压强和动能之和是一个常数。
该定理的应用范围较狭窄，一般适用于非稳态的流动情况。
以上就是伯努利方程的三种不同形式的公式。
它们在流体力学的研究和应用中具有重要的作用，可以帮助分析和解释流体运动的规律，并应用于相关领域的问题求解。
流体动力学动量方程及伯努利方程一流体力学
R
2
d2
p1
R
1
2
R Q(v3x v2x ) Q(0 v2x )
1000( 25 )( 4 25 / 3600 ) 3600 3.14 0.022 4
180N
3 v3 3 R′
v2
3
3
v3
对平板冲击力 F R 180N
总流伯努利方程
z1
p1
1V12
2g
z2
p2
2V2 2
2g
hl
总流伯努利方程意义与微小流束方程相 同，式中以均速替代实际流速，用系数修正
§5.6 动量方程
讨论运动的流体与固体边界的相互作用力。
质点系动量定理
dM dt
d ( mu)
dt
F
概念：
控制体
控制面
流体系统
一、定常不可压缩流体动量方程
p1
d12
4
0
Q(v2 x
v1x) )
Q2
d 2 2
[1 ( d2 )2 ]
4
d1
R
1000( 25 )2 3600
4 0.02 2
[1
( 0.02 ) 2 0.05
]
2.38
105
0.052 4
338N 喷嘴接头处拉力 F R 338N
取2-2,3-3面及射流表面 为控制面
d1
1
v1
2g
z p — 测压管水头；
单位重量流体 具有的比势能
z p u2 H
2g
H—总水头；
单位重量流体的总机械能，总比能
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
风力机空气动力学3.1黏性流体总流的伯努利方程3.1 黏性流体总流的伯努利方程
用断面平均流
解决动能积分
速v代替实际
流速u
u3 gdA v3 gA
A 2g
2g
引入动能修正 系数α
u3 gdA v3 gA
A 2g
2g
A
u2 2g
gudA v3
2g
gA v2
2g
gqv
⑹
第一节 黏性流体总流的伯努利方程
第Ⅲ类积分 hw ' gdqv qv
当为输入能量时，H 前符号为“＋”； 当为输出能量时， H 前符号为“－”。
第一节 黏性流体总流的伯努利方程
若所取的断面1-1到2-2之间有能量输入或输出时，总流伯努 力方程可写为：
z1
p1 γ
1v12
2g
H t＝z2
p2 γ
2v22
2g
hw
式中, H 为水力机械对单位重量液体所作的功。
不可压缩实际液体定常流动微小流束的伯努力方程为
z1
p1
g
u12 2g
＝z2
p2
g
u22 2g
hw
'
⑴
实际工程中， 考虑的流体都 是总流
总流是无数 元流的累加
应用伯努力方程解决实 际问题，需把微小流束 的伯努力方程推广到总 流中去。
第一节 黏性流体总流的伯努利方程
dA1
1
dA2
2
u1
p1
1
v
流体对水轮机做 功，流体向外输 出能量。
1 水轮机
发电机 2 尾水渠
2
第一节 黏性流体总流的伯努利方程
若所取的断面1-1到2-2之间有能量输入或输出时，总流伯努 力方程可写为：
粘性流体动力学基础Y
2ux z2
ddxutfx1 p xν 2yu2x2zu2x
根据牛顿第二定理： m a F （1） max Fx
ma x F x ma y F y ma z F z
ddxutfx1 p xν 2yu2x2zu2x
（2） may Fy
ddyutfy1 p yν 2xu2y2zu2y
（3） maz Fz
根据牛顿第二定理： max Fx
x轴方向受到的表面压力：
p dxdydz x
x轴方向受到的表面切应力的合力力：
2ux y2
2ux z2
dxdydz
x轴方向受到的质量力： fxdxdydz
dxdyddduxztpxdxdydfxzdxdydz2yu2x 2zu2xdxdyd
dduxtfx
1px2yu2x
dx dy dz
ν fxd x fyd y fzd z1d p d u 2 2 2 u xd x 2 u yd y 2 u zd z 2 u x u y u z
x y z
dx dy dz
ν fxd x fyd y fzd z1d p d u 2 2 2 u xd x 2 u yd y 2 u zd z 2 u x u y u z
粘性流体动力学基础Y
（优选）粘性流体动力学基础 Y
一、 粘性流体的运动微分方程
——纳维—斯托克斯方程（N—S方程）
理想流体： ，0 表面力无粘性切应力，只有法向压应力。 粘性流体： ，0 表面力有粘性切应力和法向压应力。
取六面体的流体微团为控制体， 其边长分别为：dx、dy、dz C点（六面体的中心点）:
坐标：x、y、z
平均密度：ρ
动压强：p
速度：ux、uy、uz
流体力学第四章-黏性流体的运动和阻力计算
6、层流起始段长度——见课本74页
*4.4 圆管中的湍流流动
30
一、脉动现象与时均值
1、这种在定点上的瞬时运动参数随时间而发生波动的现象称为
脉动。
2、时均法分析湍流运动
u u u'
如取时间间隔T，瞬时速度在T时间内的平均值称为时间平均 速度，简称时均速度，即
二局部阻力某段管道上流体产生的总的能量损失应该是这段管路上各种能量损失的迭加即等于所有沿程能量损失与所有局部能量损失的和用公式表示为三总能量损失能量损失的量纲为长度工程中也称其为水头损失221圆管层流时的运动微分方程牛顿力学分析法可参考课本71页的ns方程分析法取长为dx半径为r的圆柱体不计质量力和惯性力仅考虑压力和剪应力则有pdpdxdprdxdpdrdudxdpdrdu根据牛顿粘性定律再考虑到则有dr图41圆管层流的速度和剪应力分布25在过流断面的任一半径r处取一宽度为dr的圆环如图42所示
u1
Tudt1
T(uu')dt1
Tudt1
T
u'dt
T0
T0
T0
T0
u1
T
u'dt
T0
时均压强
p
1
T
pdt
T0
.
二、湍流的速度结构、水力光滑管和水力粗糙管
31
1．湍流的速度结构 管中湍流的速度结构可以划分为以下三个区域：
（1）粘性底层区（层流底层）：在靠近管壁的薄层区域内，流 体的粘性力起主要作用，速度分布呈线性，速度梯度很大，这 一薄层叫粘性底层。如图所示。
湍流 层流的临界速度 ——下临界流速
v c ——上临界速度
v c ——下临界速度
流体力学中的三大基本方程
3.1 伯努利方程积分形式
1.沿流线的积分方程：
g d z d pd 0
1
2
2
dP gz C
设：
const
gz p
2
2
C
Or
p z C r 2g
2
——理想流体微元流束的伯努利方程。
①适用条件：理想流体、不可压缩性流体、稳定 流动、质量力只有重力，且沿某一根流线； ②任选一根流线上的两点：
于是，单位时间内在x方向流出与流入控制体的质量差为
v v v 1 1 x x x v dx dydz v dx dydz dx x x x x x 2 2
同理可得在单位时间内沿y，z方向流出与流入控制体的质 量差为
（ d t ） d x d y d z d x d y d z d t d x d y d z t t
单位时间内，微元体质量增量：
dtdxdydz /dt dxdydz t t
（微团密度在单位时间内的变率与微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
div ( ) 0
⑷二维平面流动： x
x
y y
0
2.理想流体的运动方程
3.4.1---欧拉运动微分方程
理 论 依 据 ： 是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用，它建 立了理想流体的密度、速度、压力与外力之间的关系。 1775年由欧拉推出流体力学中心问题是流速问题，流体流速 与其所受到外力间的关系式即是运动方程。
粘性流体微元流束伯努利方程
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
2g
hw
1
1
z1 H , z2 0, 1 2 1
（1）当阀门关闭时
H p1 5m
g
2
qV
2
（2）当阀门打开时，不计水头损失
H p2 v22
g 2g
v2 7.67m/s
Q v2 A2 0.060 m3/s
g
2gh
Ⅰ管 —— 测压管，开口方向与流速垂直。 Ⅱ管 —— 总压管，开口方向迎着流速。
13.68m
HP2
z2
p2
g
H p v22
g 2g
5 147150 9800
4.952 18.76m 2 9.8
H P3
z3
p3
g
H p v32
g 2g
5 147150 9800
7.132 17.42m 2 9.8
HP4
3、总流伯努利方程的物理意义和几何意义
z ——总流过流断面上某点 （所取计算点）单位重量 流体的位能，位置水头；
p ——总流过流断面上某点 ρg （所取计算点）单位重量
流体的压能，测压管高度 或压强水头； v2 ——总流过流断面上单位重 2g 量流体具有的平均动能，平 均速度水头；
hw ——总流两断面间单位重量流体平均的机械能损失；
p u2 W
2ux
dux dt
Y
1
p y
2uy
duy dt
伯努利方程-伯努利方程式
伯努利方程的导出过程
1
欧拉方程
伯努利方程是由欧拉方程推导得出的，欧拉方程描述了流体中的运动。
2
能量守恒原理
伯努利方程中的常数是由能量守恒原理确定的，即流体在运动过程中能量始终保 持不变。
3
简化假设
伯努利方程的导出过程中，需要做出一些简化假设，如忽略粘性、可压缩性和外 力。
伯努利方程的假设
• 流体是理想流体，无粘性和可压缩性。 • 流体受到的外力可以忽略不计。 • 流体在运动过程中，能量守恒。
伯努利方程-伯努利方程 式
伯努利方程是研究流体动力学中的一项重要理论，用于描述在流体中，速度、 压力和高度之间的关系。
方程的定义
伯努利方程是一种流体力学方程，描述了在一个定常流体中速度、压力和高 度之间的关系。它是基于牛顿运动定律和能量守恒原理。
伯努利方程的公式和含义
公式
伯努利方程的数学表达式是： P + 1/2ρv² + ρgh = 常数 其中，P是压力，ρ是密度，v是速度，g是重力 加速度，h是高度。
含义
伯努利方程说明了在流体中，速度增加时，压 力会降低；同时，高度增加时，速度和压力都 会减小。
流体力学的应用
航空工程
伯努利方程用于设计和优化飞机的翼型和机翼。
水力工程伯努利方程可以源自助工程师研究水流、水压和水位的关系，用于设计水坝和水力发电站。
气象学
伯努利方程可以解释和预测气候现象，如气旋和台风。
伯努利方程的限制条件
• 伯努利方程适用于稳态流动，不适用于非稳态流动。 • 伯努利方程适用于流速远小于光速的流体问题。 • 在实际应用中，需要考虑粘性、湍流和压缩性等因素对流体行为的影响。
实际应用示例
动力工程—18-2粘性流体的伯努利方程及流动损失
粘性流体的伯努利方程及流动损失Ø总流的伯努利方程Ø流动损失1z 2z 212gυ222gυ1gp ρ2gp ρp 粘性流体的伯努利方程（微元流束）wh '粘性总水头线理想流体总水头线Ø理想流体2211221222p p z z g g g gυυρρ++=++Ø粘性流体2211221222wp p z g h z g g gυυρρ+++'++=w h '：单位重力流体的能量损失222g υ粘性流体伯努利方程缓变流缓变流缓变流缓变流缓变流急变流急变流急变流急变流急变流p 缓变流与急变流Ø流线的切线之间夹角很小，即流线近乎平行；Ø流线的曲率很小，即流线近乎为直线。
Ø缓变流特点Ø压强分布规律符合静压强分布规律；gp z ρ+=常数Ø同一有效截面，可忽略惯性力和离心力；•微元流束伯努利方程•粘性流体总流伯努利方程2211221212g 2g 2wp p z z g gh υυρραα++=+++p 粘性流体伯努利方程（总流）：动能修正系数，通常取1α能量损失wh 不可压缩粘性流体在重力作用下，作定常流动的任意两缓变流截面。
Ø适用条件p 粘性流体的伯努利方程（几何意义）1z 2z 212gυ1gp ρ2gp ρ222gυwh 沿程损失局部损失f w jh h h =∑+∑总损失p 沿程损失Ø发生在缓变流区域的一种能量损失22f l h d gυλ=λ：沿程损失系数，无量纲量d ：管道直径，ml ：流道长度或管长，m沿程损失缓变流缓变流缓变流缓变流缓变流沿程能量损失（沿程阻力）i i i il d υλ3333l d υλ2222l d υλ1111l d υλp 局部损失Ø发生在急变流区域的一种能量损失22j h gυζ=ζ：局部损失系数υ：流速局部损失损失急变流急变流急变流急变流1ζ2ζ3ζiζ22i j ih gυζ=∑局部能量损失（局部阻力）4层流和紊流p 层流和紊流Ø雷诺实验层流紊流（湍流）p 雷诺数雷诺数Re d υγ=Re 2000≤ü层 流Re 2000>ü紊流（湍流）Ø圆管管内流动物理意义：惯性力和粘性力的比值。
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gv1dA1
A2
( z2
p2
g
)
gv2
dA2
A2
u22 2g
gv2dA2
Q hw ' gdQ
z1
p1
g
gQ1
1v12
2g
gQ1
z2
p2
g
gQ2
2v22
2g
gQ2
hw gQ
两断面间无分流及汇流
Q1 Q2 Q
gudA
A
u3 2g
gdA
解决速度水头 (动能)积分
用断面平均流速 v代
替 ，u v并2 /不2g
能作为u 2 /平2g均值
设 v2 /为2速g 度水
头 u 2 /的2g平均值
*****************
称为动能修正系数。它是一个
大于1.0的数，大小取决于断面上 的流速分布。流速分布越均匀， 越接近于1.0；流速分布越不均匀， 越大。在一般渐变流中 值为1.05
势能积分
动能积分
水头损失积分
为把总流能量方程的表达一维化，将测压管水头、 速度水头、水头损失积分分开考虑
（1）势能积分
A
z
p
g
gudA
解决测压管水 头(势能)积分
均匀流过流断面测 压管水头是常数
渐变流近似于均匀流，所以过流断面 上的测压管水头可视为常数
过流断面取 渐变流段
势能（测压管水头）积分：A
缓变流性质： 1、过流断面近于平面，面上各点的速度方向近于平行； 2、过流断面上动压强与静压强分布规律相同，z即 ρpg C
2、定常流动总流的伯努利方 程
质量力只有重力：微小流束的伯努利努方程
对总流积分 定常流动总流的伯利努方程
粘性流体微元流束伯努利方程：
z1
p1
g
u12 2g
Hale Waihona Puke z2d.当 hw 时0，方程变为理想流体总流的伯努利方程。
e.选取过流断面除了满足缓变流条件外,还应使所选断面上未 知量尽量少,以简化伯努利方程的求解过程。
f.求解伯努利方程必须确定动能修正系数α ,一般可以取 α 1=α 2=1.0计算。
g.当一个问题中有2-3个未知数的时候,伯努利方程需要和连续
方程、动量方程组成方程组联合求解。
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
2g
hw
粘性流体总流 伯努利方程
定常流动总流伯努利方程的限制条件
a. 流体为不可压缩的实际流体； b. 流体的运动为定常流动； c. 流体所受质量力只有重力； d. 所选取的两过流断面必须处在缓变流段中； e. 总流的流量沿程不变； g. 除了hw外，总流没有能量的输入或输出。
3、总流伯努利方程的物理意义和几何意义
z ——总流过流断面上某点 （所取计算点）单位重量 流体的位能，位置水头；
p ——总流过流断面上某点 ρg （所取计算点）单位重量
流体的压能，测压管高度 或压强水头； v2 ——总流过流断面上单位重 2g 量流体具有的平均动能，平 均速度水头；
上次课内容回顾
流体平衡 微分方程
X
1
p x
0
Y
1
p y
0
Z
1
p z
0
p W C
理想流体运 动微分方程
实际流体运 动微分方程
X
1
p x
dux dt
Y
1
p y
dux dt
Z
1
p z
dux dt
p u2 W C
2
X
1
p x
2ux
dux dt
Y
1
p y
2uy
duy dt
Z
1
p z
2uz
duz dt
§3.8 实际流体的伯努利方程及其 工程应用
一、实际流体微小流束的伯努利方程
实际流体的总水头线 沿着流体的流动路程是一 条下降的曲线。
( z1
p1
g
u12 2g
)
gu1dA1
A2
( z2
p2
g
u22 2g
) gu2dA2
Q hw ' gdQ
A1
( z1
p1
g
)
gu1dA1
A1
u12 2g
gu1dA1
A2
( z2
p2
g
)
gu2
dA2
A2
v22 2g
gu2dA2
Q hw gdQ
使用伯努利方程时的注意事项
a.必须选基准面，且方程中 Z1、的Z基2 准面可任选，但必须
选择同一基准面，一般使 z ; 0
b. A1、 A必2 须取在缓变流段中，在 、A1 之A间2 是否为缓变流， 则无关系；
c.方程中的压强 p和1 ，p2既可用绝对压强，也可用相对压强， 但等式两边的标准必须一致；
p2
g
u22 2g
hw
'
dQ u1dA1 u2dA2
单位时间黏性流体微元流动两过流断面的能量关系：
( z1
p1
g
u12 2g
) gdQ
(z2
p2
g
u22 2g
) gdQ
hw
' gdQ
总流是无数微元流动的累加：
单位时间总流两过流断面的能量关系：
A1
z
p
g
gudA
z
p
g
gQ
急变流中同一过流断面上的测压管水头不是常数。因为急变 流中位变加速度不等于零，过流断面上有压差力、重力和惯性 力，不再是仅有压差力和重力相平衡的情况，惯性力也参与进 来，造成断面测压管水头不等于常数。
（2）动能积分
A
u2 2g
********
－1.10为简单起见，常近似取1.0
u2 gudA v2 gQ
A 2g
2g
u3dA v3 A
2A
2
u3dA
A
v3 A
（3）水头损失积分 Q hw gdQ hw gQ
A1
( z1
p1
g
) gv1dA1
A1
u12 2g
实际流体微小流束伯努利方程
：
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hw
二、实际流体总流的伯努利方程
1、缓变流及其性质
急变流——流线的曲率半径r 很小，流线之间的夹 角β很大的流动。 缓变流——流线的曲率半径r 无限大，流线之间的 夹角β无限小，即流线接近于平行直线的流动。
u u 0
是是 缓
否
变
接
流
近
均 匀
否
急 变
流
流
流线虽不平行，但夹角较小; 流线虽有弯曲，但曲率较小。
流线间夹角较大;流线弯曲 的曲率较大;或二者兼有。
缓变流和急变流是工程意义上对流动是否符合均匀
流动的划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需 要根据实际情况来判定。
急变流示意图
缓变流其性质