粘性流体微元流束伯努利方程

( z1

p1
g

u12 2g
)

gu1dA1

A2
( z2

p2
g

u22 2g
) gu2dA2

Q hw ' gdQ
A1
( z1

p1
g
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

gu1dA1

A1
u12 2g
gu1dA1

A2
( z2

p2
g
)

gu2
dA2

A2
v22 2g
gu2dA2

Q hw gdQ

p u2 W C
2
X

1
p x
2ux

dux dt

Y

1
p y
2uy

duy dt

Z

1
p z
2uz

duz dt

§3.8 实际流体的伯努利方程及其 工程应用
一、实际流体微小流束的伯努利方程
实际流体的总水头线 沿着流体的流动路程是一 条下降的曲线。
u u 0
是是 缓
否
变
接
流
近
均 匀
否
急 变
流
流
流线虽不平行，但夹角较小; 流线虽有弯曲，但曲率较小。
流线间夹角较大;流线弯曲 的曲率较大;或二者兼有。
缓变流和急变流是工程意义上对流动是否符合均匀
流动的划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需 要根据实际情况来判定。
急变流示意图
缓变流其性质
d.当 hw 时0，方程变为理想流体总流的伯努利方程。
e.选取过流断面除了满足缓变流条件外,还应使所选断面上未 知量尽量少,以简化伯努利方程的求解过程。
f.求解伯努利方程必须确定动能修正系数α ,一般可以取 α 1=α 2=1.0计算。
g.当一个问题中有2-3个未知数的时候,伯努利方程需要和连续
方程、动量方程组成方程组联合求解。
使用伯努利方程时的注意事项
a.必须选基准面，且方程中 Z1、的Z基2 准面可任选，但必须
选择同一基准面，一般使 z ; 0
b. A1、 A必2 须取在缓变流段中，在 、A1 之A间2 是否为缓变流， 则无关系；
c.方程中的压强 p和1 ，p2既可用绝对压强，也可用相对压强， 但等式两边的标准必须一致；
缓变流性质： 1、过流断面近于平面，面上各点的速度方向近于平行； 2、过流断面上动压强与静压强分布规律相同，z即 ρpg C
2、定常流动总流的伯努利方 程
质量力只有重力：微小流束的伯努利努方程
对总流积分 定常流动总流的伯利努方程
粘性流体微元流束伯努利方程：
z1

p1
g

u12 2g

z2


z

p
g


gudA


z

p
g


gQ
急变流中同一过流断面上的测压管水头不是常数。因为急变 流中位变加速度不等于零，过流断面上有压差力、重力和惯性 力，不再是仅有压差力和重力相平衡的情况，惯性力也参与进 来，造成断面测压管水头不等于常数。
（2）动能积分
A
u2 2g
势能积分
动能积分
水头损失积分
为把总流能量方程的表达一维化，将测压管水头、 速度水头、水头损失积分分开考虑
（1）势能积分
A

z

p
g


gudA
解决测压管水 头(势能)积分
均匀流过流断面测 压管水头是常数
渐变流近似于均匀流，所以过流断面 上的测压管水头可视为常数
过流断面取 渐变流段
势能（测压管水头）积分：A
p2
g

u22 2g
hw
'
dQ u1dA1 u2dA2
单位时间黏性流体微元流动两过流断面的能量关系：
( z1

p1
g

u12 2g
) gdQ

(z2

p2
g

u22 2g
) gdQ

hw
' gdQ
总流是无数微元流动的累加：
单位时间总流两过流断面的能量关系：
A1
上次课内容回顾
流体平衡 微分方程
X

1

p x

0
Y

1

p y

0

Z

1

p z

0

p W C
理想流体运 动微分方程
实际流体运 动微分方程
X

1

p x

dux dt

Y
1

p y

dux dt

Z

1

p z

dux dt
gudA

A
u3 2g
gdA
解决速度水头 (动能)积分
用断面平均流速 v代
替 ，u v并2 /不2g
能作为u 2 /平2g均值
设 v2 /为2速g 度水
头 u 2 /的2g平均值
*****************
称为动能修正系数。它是一个
大于1.0的数，大小取决于断面上 的流速分布。流速分布越均匀， 越接近于1.0；流速分布越不均匀， 越大。在一般渐变流中 值为1.05
实际流体微小流束伯努利方程
：
z1

p1
g

u12 2g

z2

p2
g

u22 2g
hw
二、实际流体总流的伯努利方程
1、缓变流及其性质
急变流——流线的曲率半径r 很小，流线之间的夹 角β很大的流动。 缓变流——流线的曲率半径r 无限大，流线之间的 夹角β无限小，即流线接近于平行直线的流动。
z1
p1
g
1v12
2g
z2

p2
g
2v22
2g
hw
粘性流体总流 伯努利方程
定常流动总流伯努利方程的限制条件
a. 流体为不可压缩的实际流体； b. 流体的运动为定常流动； c. 流体所受质量力只有重力； d. 所选取的两过流断面必须处在缓变流段中； e. 总流的流量沿程不变； g. 除了hw外，总流没有能量的输入或输出。
********
－1.10为简单起见，常近似取1.0
u2 gudA v2 gQ
A 2g
2g
u3dA v3 A
2A
2
u3dA

A
v3 A
（3）水头损失积分 Q hw gdQ hw gQ
A1
( z1

p1
g
) gv1dA1

A1
u12 2g
gv1dA1

A2
( z2

p2
g
)

gv2
dA2

A2
u22 2g
gv2dA2

Q hw ' gdQ
z1

p1
g
gQ1

1v12
2g
gQ1

z2

p2
g
gQ2

2v22
2g
gQ2
hw gQ
两断面间无分流及汇流
Q1 Q2 Q
3、总流伯努利方程的物理意义和几何意义
z ——总流过流断面上某点 （所取计算点）单位重量 流体的位能，位置水头；
p ——总流过流断面上某点 ρg （所取计算点）单位重量
流体的压能，测压管高度 或压强水头； v2 ——总流过流断面上单位重 2g 量流体具有的平均动能，平 均速度水头；