《电动力学(第三版)》chapter0_绪论
电动力学 (郭硕鸿+第三版)11
要想学好电动力学，必须树立严谨 的学习态度和刻苦的学习作风。
电动力学比电磁学难学，主要体现在思维抽象、 习题难解等。为此，在学习时要注意掌握好概念、原 理、结构和方法，这些在听课、阅读、复习、小结和 总复习时都要注意做到，既见树木，更见森林。要在 数学与物理结合上下硬功夫，培养物理与数学间相互 “翻译”的能力，能熟练地运用数学独立地对教材内 容进行推导，并明确它们的物理意义和图象。 学习电动力学是一个艰苦的过程，只有“衣带渐 宽终不悔”的精神，才能做到“独上高楼，望断天涯 路”，站得高，看得远。
麦克斯韦(James Clerk Maxwell 1831～1879)
生平简介：英国物理学家，1831年6月13日生于 英国爱丁堡的一个地主家庭，8岁时，母亲去世， 在父亲的诱导下学习科学，16岁时进入爱丁堡大 学，1850年转入剑桥大学研习数学，1854年以优 异成绩毕业于该校三一学院数学系，并留校任职。 1856年到阿伯丁的马里沙耳学院任自然哲学教授。 1860年到伦敦任皇家学院自然哲学及天文学教授。 1865年辞去教职还乡，专心治学和著述。1871年 受聘为剑桥大学的实验物理学教授，负责筹建该 校的第一所物理学实验室——卡文迪许实验室， 1874年建成后担任主任。1879年11月5日在剑桥 逝世，终年只有49岁。 科学成就：电磁场理论和光的电磁理论，预言了电磁波的存在 ，1873 《电磁学通论》。他建立了实验验证的严格理论，并重复卡文迪许的实验， 他还发明了麦克斯韦电桥。运用数学统计的方法导出了分子运动的麦克斯 韦速度分布律，创立了定量色度学，负责建立卡文迪许实验室 。
爱因斯坦
1879-1955
20世纪最杰 出的科学家
爱因斯坦生于德国乌尔姆一个经营电器 作坊的小业主家庭。一年后，随全家迁 居慕尼黑。1894年，他的家迁到意大利 米兰。1895年他转学到瑞士阿劳市的州 立中学。1896年进苏黎世工业大学师范 系学习物理学，1900年毕业。1901年取 得瑞士国籍。1902年被伯尔尼瑞士专利 局录用为技术员，从事发明专利申请的 技术鉴定工作。他利用业余时间开展科 学研究，于1905年在物理学三个不同领 域中取得了历史性成就，特别是狭义相 对论的建立和光量子论的提出，推动了 物理学理论的革命。同年，以论文《分 子大小的新测定法》，取得苏黎世大学 的博士学位。
yang_经典电动力学教案, Chapter0
它们可以等价地表达为： B “ 0; H¨~ E “ {0 ; H ˆ ~ E ` Bt ~ J: E “ 0~ H¨~ B “ 0; H ˆ ~ B ´ 0 0 Bt~
9 / 30
. 梯度算符：
H
X3 A θ P r X2 X1 O B
式中的符号 是所谓“梯度”算符。 在 Cartesian 直角坐标系里，
.
电动力学
.
开场白与数学准备之一：矢量分析
杨焕雄
中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@
January 31, 2014
1 / 30
. 几句说在课前的话
. 任课教师信息： . 姓名：杨焕雄 电话：18949882795 邮箱：hyang@ 教学经历：已主讲过五次本科生的电动力学。本次是第六次。 . . 作 . 业与考试的计划： . 每次课将布置 3 道左右习题 (有例外)。整个学期按计划将布 置教材所附习题约 70%. . 2 作业将作为平时成绩的一部分评分。评分标准着重是否独立 完成，习题答案的正确与否不作过分强调。 . 3 平时成绩也包括对课堂提问的参与。 平时成绩比重为 20%. . 考试分期中考试和期终考试两次，皆闭卷 (期终可能会包含 4 教学组其他老师所命试题)，比重分别为 20% 和 60%.
1 2 / 30
. 教学特点：
. Self-assessment ： . . 清晰性、启发性和准确性或许可以保证。 1 . 通俗性欠佳，做不到浅入深出。 2 . 语言能力一般，不会讲故事、不风趣。 . 普通话水平低下，许多汉字的发音不准确。声音不够洪亮。 4
3
.
建议以“物理学”作为主修专业的同学选修在下主讲的这门课。 虽然也欢迎其他专业、例如“应用物理专业”的同学赏光，但 诸位的学习过程无疑会伴随些许苦涩味。
郭硕鸿《电动力学》第三版 课后解答详细解释
电动力学答案
第一章 电磁现象的普遍规律
1. 根据算符 的微分性与向量性，推导下列公式： ( A B) B ( A) (B ) A A ( B) ( A )B
A (
A)
1 2
A2
(A )A
解：（1） ( A B) ( A Bc ) (B Ac )
Bc ( A) (Bc ) A Ac ( B) ( Ac )B
可见 r 'r
○2
1 r
d dr
1 r
r
1 r2
r
r r3
'
1 r
d dr
1 ' r r
1 r2
' r
r r3
可见 1/ r '1/ r
○3 (r / r 3 ) [(1/ r 3 )r] (1/ r 3 ) r (1/ r 3 ) r
d dr
1 r3
r r
第1页
电动力学习题解答
从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：
r ' r r / r ； (1/ r) '(1/ r) r / r 3 ； (r / r 3 ) 0 ； (r / r 3 ) '(r / r 3 ) 0 ， (r 0) 。 （2）求 r ， r ， (a )r ， (a r) ， [E0 sin(k r)] 及 [E0 sin(k r)] ，其中 a 、 k 及 E0 均为常向量。
M
1 2r1
M dl 0
在 r r2 处，磁化面电流密度为
M
0 1 2r2
M
dl
( 0
1) (r22 r12 ) 2r22
《电动力学》郭硕鸿_第三版_答案.
1. 根据算符∇的微分性与矢量性推导下列公式B A B A A B A B B A rr r r r r r r r r )()()()()(∇⋅+×∇×+∇⋅+×∇×=⋅∇ AA A A A r r r r r )(21)(2∇⋅−∇=×∇×解1BA B A A B A B B A vv v v v v v v v v )()()()()(∇⋅+×∇×+∇⋅+×∇×=⋅∇首先算符∇是一个微分算符其具有对其后所有表达式起微分的作用对于本题∇将作用于BA vv 和又∇是一个矢量算符具有矢量的所有性质因此利用公式b a c b c a b a c vv v v v v v v v )()()(⋅−⋅⋅=××可得上式其中右边前两项是∇作用于Av 后两项是∇作用于Bv2根据第一个公式令AvB v可得证2. 设u 是空间坐标xy z 的函数证明.)()()(duA d u u A du Ad u u A u dudf u f rr rr ×∇=×∇⋅∇=⋅∇∇=∇证明1ududfe z u du df e y u du df e du df e z u f e y u f e x u f u f z y x x u z y x ∇=∂∂⋅+∂∂⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∇∂∂r r r r r r )()()()(2du A d u zu dz u A d y u du u A d x u du u A d z u z A y u A x u A u A z y x z y x rr r r r r r r ⋅∇=∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()()()()(3=∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=∂∂∂∂∂∂=×∇z x yy z x x y z z y u x z y xe y A x A e x A z A e z A y A u A u A A zy x e e e u A r r r r rr r r r r r r r r rr )()()()()()()(duA d u e y u du A d x udu A d e x u du A d z u du A d e z u du A d y u du A d z x y y z x x y z r r r r r r r r r r ×∇=∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=)()()(3. 设2'2'2')()()(z z y y x x r −+−+−=为源点'x 到场点x 的距离r 的方向规定为从源点指向场点1 证明下列结果并体会对源变数求微商(''''ze y e x e z y x∂∂+∂∂+∂∂=∇r r r 与对场变数求微商)(ze y e x e z y x∂∂+∂∂+∂∂=∇r r r 的关系 )0.(0,0,11,3'333''≠=−∇=⋅∇=×∇−=−∇=∇=−∇=∇r rr r r r r r r r r r r r r r r r r r (最后一式在人r 0点不成立见第二章第五节)2求均为常矢量及其中及000,)],sin([)]sin([),(,)(,,E k a r k E r k E r a r a r r rr r r r r r r r r r r r r r ⋅×∇⋅⋅∇⋅∇∇⋅×∇⋅∇证明3)()()('''=∂−∂+∂−∂+∂−∂=⋅∇z z z y y y x x x r r 0'''=−−−∂∂∂∂∂∂=×∇z z y y x x z y x e e e r z y xr r r r ])'()'()')][(()[()(z y x z y x z z y y x x e z z e y y e x x e ze y e x e a e a e a r a v r v v v v v v v r v −+−+−∂∂+∂∂+∂∂⋅++=∇⋅ ])'()'()')[((z y x z yxe z z e y y e x x za y a x a v r v −+−+−∂∂+∂∂+∂∂= ae a e a e a z z y y x x vvvv=++=ar a r r a r a r a vv v r v v v v v v ⋅∇⋅+×∇×+∇⋅+×∇×=⋅∇)()()()()( a a r a r r a v r v v v v v ⋅⋅+×∇×+∇⋅=)()()( ar a r a vvv v v ⋅∇⋅+×∇×+=)()())(sin()](sin([)]sin([000E r k E r k r k E rr r r r r r r r ⋅∇⋅+⋅⋅∇=⋅⋅∇0])sin()sin()sin([E e r k z e r k y e r k x z y x r r r r r r r r r ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂= ))(cos())(cos(0E k r k E e k e k e k r k z z y y x x r r r r rr r r r r ⋅⋅=++⋅=000)sin()]sin([)]sin([E r k E r k r k E rr r r r r r r r ×∇⋅+×⋅∇=⋅×∇4. 应用高斯定理证明∫∫×=×∇SVfS d f dV r r r 应用斯托克斯Stokes 定理证明∫∫=∇×LSl d S d φφr r证明1)由高斯定理∫∫⋅=⋅∇SVgS d g dV r r r即∫∫++=∂∂+∂∂+∂∂S zz y y x x V zy x dS g dS g dS g dV z g y g x g )( 而dVk f yf x j f x f z i f z f y dV f x y z x y z V ])()()[(r r r r ∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=×∇∫∫ ∫−∂∂+−∂∂+−∂∂=dVi f j f zk f i f y j f k f x y x x z z y )]()()([r r r r r r 又])()()[(k S d f dS f j dS f dS f i dS f dS f f S d y Sx x y x z z x z y y z Sr rr r r ∫∫−+−+−=× ∫−+−+−=zy x y x z x z y dS i f j f dS k f i f dS j f k f )()()(rr r r r r 若令if j f H k f i f H j f k f H y x Z x z y z y x rr r r r r −=−=−=,, 则上式就是∫∫⋅=⋅∇SVH S d dV H r r r,高斯定理则证毕2)由斯托克斯公式有∫∫⋅×∇=⋅SlSd f l d f r r r r∫∫++=⋅lz z y y x x ldl f dl f dl f l d f )(rr ∫∫∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=⋅×∇S zx y y z x x y z S dS f y f x dS f x f z dS f z f y S d f )()()(r r 而∫∫++=lz k y j x i ldl dl dl l d )(φφφφr∫∫∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=∇×S y x x z z y S k dS x dS y j dS z dS x i dS y dS z S d r r r r )()()(φφφφφφφ ∫∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=zy x dS i yj x dS k x i z dS j z k y )()()(rr r r r r φφφφφφ若令k z j y i x f f f φφφ===,,则证毕5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为,),()('''∫=VdV x t x t P r r r ρ利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇tJ ρr 证明P r 的变化率为∫=V dV t x J dtPd ''),(r r r证明∫∫∇−=∂∂=∂∂V V dV x j dV x t tP '''''''r r r r r ρ ∫∫∫⋅∇−=⋅∇−⋅∇−=∇−=∂∂V x V x dVj x j dV j x j x dV x j tP '''''''''''''''')((])()([)(r r r r r∫∫⋅−=Sx Sd j x dV j r r '若)0(,0)(,==⋅∞→∫S j S d j x S rr r 则 同理∫∫=∂∂=∂∂'')(,)(dVj t dV j t z z y y ρρr r 即∫=V dV t x j dtPd ''),(r r r6. 若m r是常矢量证明除R 0点以外矢量3R R m A r r r ×=的旋度等于标量3RR m r r ⋅=ϕ的梯度的负值即ϕ−∇=×∇A r其中R 为坐标原点到场点的距离方向由原点指向场点证明mr m r r m r m R m R R m A vv v v v v v v ])1[()]1([1)(1)()]1([)(3∇⋅∇−∇⋅∇−∇∇⋅+∇⋅∇=∇××−∇=××∇=×∇)0(,1)(≠∇∇⋅=r rm vr m m r r m r m R R m 1)()()1()]1([)]1([)(3∇∇⋅−×∇×∇−∇×∇×−=∇⋅−∇=⋅∇=∇vv v v v v ϕ rm m r 1)(])1[(∇∇⋅−=∇⋅∇−vvϕ−∇=×∇∴A v7有一内外半径分别为r 1和r 2的空心介质球介质的电容率为ε使介质内均匀带静止自由电荷f ρ求1 空间各点的电场2极化体电荷和极化面电荷分布解1∫∫=⋅dV S d D f Sρrr , (r 2>r>r 1)f r r r D ρππ)(3443132−=⋅即)(,3)(123313r r r r r r r E f >>−=∴rr ερ 由)(,)(342313200r r r r Q S d E f f S >−==⋅∫ρεπεr r )(,3)(2303132r r r rr r E f >−=∴r r ρε 01时E r r r <2)EE E P e r r r r )(00000εεεεεεχε−=−=)(3]3)([)()(3310331300r rr r r r r r E P f f P r r r r r −⋅∇−−=−⋅∇−−=⋅∇−−=⋅−∇=∴ρεεερεεεεερ f f ρεεερεεε)()03(300−−=−−−=nn P P P 21−=σ考虑外球壳时r r 2 n 从介质1指向介质2介质指向真空2=n Pfr r f n P r r r rr r r P ρεερεεεσ32313203313013)1(3)(2−−=−−===r 考虑到内球壳时r r 23)(133130=−−−==r r f P rrr r rρεεεσ8内外半径分别为r 1和r 2的无穷长中空导体圆柱沿轴向流有恒定均匀自由电流J f 导体的磁导率为µ求磁感应强度和磁化电流解fS f I S d D dtd I l d H =⋅+=⋅∫∫rr r r 当0,0,1===<B H I r r f rr 故时 当r 2>r>r 1时)(2212r r j S d j rH l d H f Sf l−=⋅==⋅∫∫ππr r r r r j r r r r r r j B ff rr v ×−=−=22122122)(2)(µµ 当r>r 2时)(22122r r j rH f −=ππ r j r r r B frr r ×−=2212202)(µ )2()1())()(2212000rr r r j H H M J f M M−××∇−=−×∇=×∇=×∇=r r r r r µµµµµχ )(,)1()1(2100r r r j H f <<−=×∇−=r r µµµµ指向介质从介质21(),(12n M M n Mr r rr−×=α 在内表面上0)2)1(,012212021=−−===r r rr r M M µµ故)(,012r r M n M ==×=rr rα在上表面r r 2时)1(22)(0212221211222−−−=×−×−=×−=−×===µµαr f r r fr r Mj rr r r j r r r r r M n M n rr r rrr r r rf j rr r r 2212202)1(−−−=µµ9证明均匀介质内部的体极化电荷密度P ρ总是等于体自由电荷密度f ρ的倍)1(0εε−−证明ff P E E P ρεεερεεεεεερ)1()()()(0000−−=−−=⋅∇−−=−⋅−∇=⋅−∇=r r r 10证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律)证明1线圈1在线圈2的磁场中的受力 ∫×=23121222024l r r l d I B v v v πµ21112B l d I F d v v v×=∫∫∫∫××=××=∴12123121221210312122211012)(4)(4l l l l r r l d l d I I r r l d I l d I F v r vvv v v πµπµ )()(41221312123121212210∫∫⋅−⋅=l l l d l d r r r r l d l d II v v v v v v πµ12线圈2在线圈1的磁场中受的力同1可得∫∫⋅−⋅=21)()(41232121321212121021l l l d l d r r r r l d l d I I F v v v v v v v πµ2分析表达式1和21式中第一项为0)1()(21221212221212231212123121212=−⋅==⋅=⋅∫∫∫∫∫∫∫l l l l l l r l d r dr l d r r l d l d r r l d l d 一周v v v v v v v v 同理对2式中第一项 ∫∫=⋅210)(3212121l l r r l d l d v v v ∫∫⋅−==∴12)(421312122102112l l l d l d r r II F F v v rv v πµ11. 平行板电容器内有两层介质它们的厚度分别为l 1和l 2电容率为21εε和今再两板接上电动势为Ε的电池求1 电容器两板上的自由电荷密度f ω2 介质分界面上的自由电荷密度f ω若介质是漏电的电导率分别为21σσ和当电流达到恒定时上述两问题的结果如何解在相同介质中电场是均匀的并且都有相同指向则,)00f 2211212211==−=−Ε=+σεε介质表面上E E D D E l E l n n故122112122121,εεεεεεl l E l l E +Ε=+Ε=又根据fn n D D σ=−21 n 从介质1指向介质2在上极板的交面上 121f D D σ=− D 2是金属板故D2即12212111εεεεεσl l D f +== 而02=f σ)0(,'1'1'2'2'13=−=−=D D D D D f 是下极板金属故σ 13122121ff l l σεεεεεσ−=+−=∴ 若是漏电并有稳定电流时222111,σσjE j E r r r r == 又 ===Ε=+积稳定流动电荷不堆,2121222111j j j j j l j l n nrrr σσ 得+Ε==+Ε==+Ε==1221122212212111221121:,σσσσσσσσσσl l j E l l j E l l j j 即12212`13σσσεσl l D f +Ε==上1221122σσσεσl l D f +Ε−=−=下Ε+−=−=1221121232σσσεσεσl l D D f 中12. 证明1 当两种绝缘介质得分界面上不带面自由电荷时电场线的曲折满足1212tan tan εεθθ=其中21εε和分别为两种介质的介电常数21θθ和分别为界面两侧电场线与法线的夹角2当两种导电介质内流有恒定电流时分界面上电场线曲折满足1212tan tan σσθθ=其中21σσ和分别为两种介质的电导率证明(1)根据边界条件112212sin sin ,0)(θθE E E E n ==−×即vv 由于边界面上0=fσ故)(12=−⋅D D n v vv 即111222cos cos θεθεE E = 12121122,εεθθεθεθ==∴tg tg tg tg 即有(2)根据E J vv σ=可得电场方向与电流密度同方向由于电流I 是恒定的故有1221cos cos θθj j =即122211cos cos θσθσE E =而0)(12=−×E E n v vv 即 1122sin sin θθE E = 故有2121σσθθ=tg tg 13试用边值关系证明在绝缘介质与导体的分界面上在静电情况下导体外的电场线总是垂直于导体表面在恒定电流的情况下导体内电场线总是平行于导体表面证明1导体在静电条件下达到静电平衡01导体内E v∴ 而 0)(12=−×E E n v vv 02=×∴E n vv故0E v垂直于导体表面3导体中通过恒定电流时导体表面0=fσ∴导体外0,022==D E vv即 而 0:,0)(10112=⋅=⋅==−⋅E n D n D D n f v vv v v v v εσ即 01=⋅∴E n vv 导体内电场方向和法线垂直即平行于导体表面14内外半径分别为a 和b 的无限长圆柱形电容器单位长度电荷为fλ板间填充电导率为σ的非磁性物质1 证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消因此内部无磁场2求f λ随时间的衰减规律3 求与轴相距为r 的地方的能量耗散功率密度4求长度为l 的一段介质总的能量耗散功率并证明它等于这段的静电能减少率1 证明由电流连续性方程0=∂∂+⋅∇t J f ρr 据高斯定理 D f r⋅∇=ρ 0=∂⋅∂∇+⋅∇∴tDJ rr 即0=∂∂⋅∇+⋅∇tDJ rr 0.0)(=∂∂+∴=∂∂+⋅∇∴t DJ t D J r r r r 即传到电流与位移电流严格抵消(2)解由高斯定理得∫∫=⋅dl dl r D f λπrr 2 rf r f e r E e r D rr r r πελπλ2,2==∴ 又ED E J t D J rr r r rr εσ===∂∂+,,0 t e E E tEE εσεσ===∂∂+∴0,0r r r r rt r r f e e re r r rεσπελπελ−=∴220电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律tf f e εσλλ−=∴03解re r t t D J ft f πλεσπλεσ2)2(0⋅=∂∂−=∂∂−=−r r 能量耗散功率密度σπελσρ222)2(1rJ J f ==5解 单位体积rdrl dV π2⋅= ∫==b a f f abl rdr l r P ln22)2(222πεσλπσπελr 静电能 abl dr r l dV E D W f b a f baln2212212122⋅⋅==⋅=∫∫πελπελr r 减少率 ab l t a b l t W f ff ln2ln 222πεσλλπελ=∂∂⋅−=∂∂−1. 一个半径为R 的电介质球极化强度P=K2r r电容率为(1) 计算束缚电荷的体密度和面密度(2) 计算自由电荷体密度(3) 计算球外和球内的电势(4) 求该带电介质球产生的静电场总能量解(1)2222/)11(rK r rr r K r r K P P −=⋅∇+⋅∇−=⋅∇−=⋅−∇=r r r r ρ RP P P n )(12rr r −⋅−=σ 又球外无极化电荷02=P r RK rr K n P n RRp /21=⋅=⋅=r r rr σ(2) 由公式 E D rr ε= PE D rr r +=0εεεε−=P D r r200)(rKP D f εεεεεερ−=⋅∇−=⋅∇=r r`(3)对于球外电场由高斯定理可得∫=⋅0εQs d E rr外 022002sin )(4εϕθθεεεερπ∫∫∫∫⋅−==⋅∴d drd r r KdV r E f 外r r r )(300r rεεεε−∴KRE 外同理可得球内电场20r rK Er r ⋅−εε内球外电势外外r)(rd 00εεεεϕ−⋅∴∫∞∞KRE r rrR ln)(rd rd 000rεεεεεεϕ−+−⋅⋅∫∫∞K KE E RR球内电势内外内rr r r42022020r2rr r r 2121内内内εεεεεεεεωK K K E D rr r r ⋅⋅⋅⋅⋅∴ ∫∫∫∫−⋅−⋅∴2022202)2d drd sin r r )(21d εεπεϕθθεεεωK R K V W 内内∫∫∫∫−⋅⋅−⋅=2002224200222)(2d drd sin r r 1)(21dεεεπεϕθθεεεεωRK R K V W R 外外200))(1(2εεεεπε−+=∴K R W W W 外内2 在均匀外电场中置入半径为0R 的导体球试用分离变数法球下列两种情况的电势1导体球上接有电池使球与地保持电势差;0φ2 导体球上带总电荷Q.解1当导体球上接有电池与地保持电势差0φ时以地为电势零点本问题的定解条件如下φφ内R=0R02外ϕ∇R>0R 且 =−==∞→0000cos φϕϕθϕR R R R E 外外0ϕ是未置入导体球前坐标原点的电势根据有关的数理知识可解得)cos R Ran 1n nnnn θϕ外P b ∑∞由于00cos ϕθϕ外R E R −=∞→即021210210cos )(cos cos )(cos cos a ϕθθθθθϕ+−=+++++∞→∞=+∞=∑∑R E P RbR b R b P R a R a R n n n n n n nn 外故而有)1(0),1(0,,0100>=>=−==n b n a E a a n n ϕθθϕϕcos b cos 21000Rb R R E +∴外又020100000cosb cos ,0φθθϕϕφϕ=+−====R b R R E R R R R 即外外故而又有=+−=+∴0cos cos 201000000θθφϕR b R E R b 得到 20010000,)(R E b R b =−=ϕφ最后得定解问题的解为)(cos )(cos 03000000R R RR E R R R E >+−++−=θϕφϕθϕ外2当导体球上带总电荷Q 时定解问题存在的方式是=∂∂−+>∇<∇∫∞→→)(ds (Rcos )(0)(00s0R 000R 0R 02020R R Q R E R R R R R 原点的电势是未置入导体球前坐标有限外外内外内外内φεφφϕϕθφφφφ解得满足边界条件的解是∑=0n n n n cos R 内θϕP a ∑=0n n1n n00cos R Rcos 外θθϕϕP b E由于∞→R 外ϕ的表达式中只出现了)1(0cos cos (1>=n b P n 项故θθθθϕϕcos b cos 21000Rb R R E +∴外又有0R R =外ϕ是一个常数导体球是静电平衡C R b R R E R R =+−==θθϕϕcos b cos 201000000外301201000cos cos R E b R b R E ==+−∴即θθθθϕϕcos cos 230000RR E R b R E ++外 又由边界条件Q 外∫∂∂−sds rφε 004πεQ b =∴,000R 4R R Q <−∴ϕπεϕ内023000Rcos cos R 4R R E RR E Q>+外θθπεϕ3均匀介质球的中心置一点电荷fQ 球的电容率为ε球外为真空试用分离变数法求空间电势把结果与使用高斯定理所得结果比较提示空间各点的电势是点电荷f Q 的电势RQ πε4f与球面上的极化电荷所产生的电势的叠加后者满足拉普拉斯方程解一. 高斯法在球外0R R >,由高斯定理有fP f Q Q Q Q s d E =+=⋅∫总rr 0ε对于整个导体球而言束缚电荷)0=P Q 204R Q E f πε=∴r积分后得是积分常数外C C RQ .(40f +πεϕ又由于0,0=∴=∞→C R 外ϕ)(400R R RQ f >=∴πεϕ外在球内0R R <,由介质中的高斯定理∫=⋅fQ s d D r r 又24,R Q E E D f πεε=∴=rrr积分后得到是积分常数内22f.(4C C RQ +πεϕ由于20f 44,0C R Q R Q f R R +==πεπεϕϕ故而有外内).(4400002R R R Q R Q C f f<−=∴πεπε)(44400f0ff R R R Q R Q RQ <−∴πεπεπεϕ内二. 分离变量法本题所求的电势是由点电荷f Q 与介质球的极化电荷两者各自产生的电势的叠加且有着球对称性因此其解可写作'4ϕπεϕ+=R Qf 由于'φ是球对称的其通解为R b a+='ϕ由于球心有f Q 的存在所以有∞→内R ϕ 即a4内RQ f πεϕ在球外有外0R ∞→ϕ 即Rb 4f 外R Q πεϕ 由边界条件得0f 0fRb4a 4,0R R Q R Q R ++πεπεϕϕ即外内20f20020f 0R4b 4,RR 0R Q R R Q R πεεεπεεϕεϕε−=−∂∂∂∂即外内)11(4a),11(400f 0εεπεεπε−−=∴R Q Q b f<−>∴00f00f f 00f ,444,R 4R R R Q R Q R Q R R Q πεπεπεϕπεϕ内外4 均匀介质球电容率为1ε的中心置一自由电偶极子fP r球外充满了另一种介质电容率为2ε求空间各点的电势和极化电荷分布提示同上题'431φπεφ+⋅=RR P f r r ,而'φ满足拉普拉斯方程解RR∂∂=∂∂外内φεφε21又内∑+−=∂∂l 1l 0l 31f 11l 4cos 2(0P R A R P R R πεθεφε∑−−=∂∂外l2l 0l301f 221l (4cos 2(0P R B R P RR πεθεφε比较系数)(cos θl P B00A30113012312113,24242R B A R B R A R ff=−−=+及επερεεπρ得)2(4)(2,)2(4)(22112113211211εεπερεεεεπερεε+−=+−=f fB R A 比较的系数)(cos 2θP 40224221,32R B A R B R A=ε及011(012=+R A ε所以0,022==B A 同理)3,2(,0L ===l B A l l 最后有)(,)2(4)(24cos )2(4)(2403211213132112131R R R RR R R R R R f f f f <+⋅−+⋅=+−+⋅εεπερεεπερθεεπερεεπερφrrr rr r内)(,)2(43)2(4)(24cos )2(4)(2403213211213122112131R R RR RRRRRRR f f f f f >+⋅=+⋅−+⋅=+−+⋅εεπρεεπερεεπερθεεπερεεπερφr r rrr r r r 外球面上的极化电荷密度n P P n n P r,21−=σ从2指向1如果取外法线方向则nn n n p P P )])[()])[(0102内外球外φεεφεεσ∇−−∇−=−= 0)()(0102R RRR内外∂∂−+∂∂−−=φεεφεε]cos )2(4)2(2)(2)2(4cos )(6)[()2(4cos 6)(32112121321200132102θρεεπεεεεεεεπθρεεεεεεπθρεεf f f R R R ++−−−+−−−+−−= θρεεπεεεεθρεεπεεεεεεεcos )2(2)(3cos )2(4)(6)(632112103211012201f f R R +−−=+−+−=求极化偶极子l q P f r r=可以看成两个点电荷相距l 对每一个点电荷运用高斯定理就得到在每个点电荷旁边有极化电荷 ))(1(,)1(1010f P f P q q q q −−=−−=εεεε两者合起来就是极化偶极子 f P P P r r )1(1−=εε5.空心导体球壳地内外半径为R 1和R 2球中心置一偶极子Pr球壳上带电Q 求空间各点电势和电荷分布解+⋅=∞====∇→→∞→为有限值0'1'1301022332,4,0,0r r r r r P C φφπεφφφφφr r=∂∂+∂∂−+⋅====∫∑∫∑===−+013301223131212)(cos 4,),(cos εφφθπεφφφφθφQdS rdS r P r A r r P CC CP r B R r R r l ll f R r R r l l l rr2φ=+++=+++CR A A R P C P R B R B R B f L L θπεθθcos 4cos cos 110210232222120即)4.3.2(0),3.2.1(0,0cos )4(,2111200L L =====+==l A l B R P R A C R B A l l f θπε∑∑+−−=−−=∂∂++−=+−=∂∂+−L L θφθπεθπεθφcos 2)1(cos 2cos 4cos 2311210231310113101R B R B P r B l r A R P P R lA R P r l l l f L l l f 又则∫∫∫====∂∂−02121210210344B R B R dS R B dS R B dS r ππφ000sin cos 4sin cos 22002131020*******=+=−+−=∂∂∫∫∫∫∫ππππϕθθθπεϕθθθπεφd d R R P d d R R P dS r f f 故∫∫==∂∂+∂∂−00134επφφQB r dS r 3101200004,4,4R P A R Q A Q B f πεπεπε−===最后有<<=>=<+⋅−⋅=)(,4)(,4)(,44421202203120310201R r R R QR r r Q R r R QR r P r r P f πεφπεφπεπεπεφr r r r 电荷分布在r R 1的面上313131104cos 4cos 2cos 1R P R P R P r f f f Pπθπθπθφεσ−=−+−=∂∂=在r R 2面上223042R Qr P πφεσ=∂∂−=6在均匀外电场0E r中置入一带均匀自由电荷f ρ的绝缘介质球ε求空间各点的电势解=∇++∑+061)(cos )('2'21φφρεφθφr P r B r A f l l l ll内外内φ是由高斯定理解得的f ρ的作用加上0E r的共同作用'0,cos →∞→−=r r r E φθφ外有限++∑∑+)(cos 61)(cos cos 210θρεφθθφl l e f l l l P r c r P r B r E 内外:)0R r =外内φφ++++23022010000cos P R BR B R B R E θ ++++22020120cos 610P R c R c c R f θρε即000206R B c R f =+ερ012100R c R B R E =+20232R c R B =rr ∂∂=∂∂外内φεφε∑+−−+−=∂∂)1(cos (200l l l R P B l E rθεφ外]L +++= +=∂∂∑−202101002cos 3)(cos 3P R c c R P R lc R r f l l l f εθερθερφ内LL+−−−−2423123cos2cos PRBRBRBEεθεεθε即23RBRfερ−=3112RBECεεε−−=LL42232RBRCεε−=解方程得fRBρε303−=)6131(20εερ+−=fRC33123REREB++−=εεε123εεε+−=EC及2232CRRCεε−=即0)32(2=+RRCεε022==BC同理0==llBC LL3,2=l得<+±>+−+±22223233,cos236131(6,cos)2(3cos3cosRrrERrRrrRErRErRrEfffθεεεεερερφθεεεθερθφ内外7在一个很大的电解槽中充满电导率为2σ的液体使其中流着均匀的电流0fδ今在液体中置入一个电导率为1σ的小球求稳衡时电流和电荷分布讨论21σσ>>及12σσ>>两种情况的电流分布特点先求空间电势∇∇22外内φφ外内φφRr=因为)(Rrnn=外内δδ稳恒电流认为表面无电流堆积即nn流出流入=故rr222221外内φσφσ=并且δδ=∞→r外即θφcosrEr−=∞→外()02Ej fσ=有限内∞→rφ可以理解为在恒流时0→r的小封闭曲面流入流出这时的解即为>+−+<022121300000212,cos )2(cos ,cos 23R r rR E r E R r r E θσσσσθφθσσσφ外内求内外电场)22sin 12222(φθφθθφφφe r e r e E r rr rΦ++−=−∇=)sin (cos 23)22122(0212θθθθσσσθφφe e E e r re E r r r r rr r−+=+内内内ze E r021223σσσ+=[]θθθθσσσσθθe e r R E e e E E r r rr r r sin cos 2)2()sin (cos 212133000++−+−外[]θθθθθσσσσθθe e e rR E e e E r r r rr r r r sin cos cos 3)2()sin (cos 212133000+−+−+−−+−+30302121300cos 3)2(r E e r E R E r v v θσσσσ求电流 根据内内E j vr1σ 外外E j v v2σ 及 =⋅=r f f e r r r E rr r j E j r vr v v v5025020cos )(0θσσ得])(3[2,2335302121211000rj rrr j R j j j j f f f r rr r r r −⋅=σσσσσσσ内外内)(2cos 3)()(2121000120σσσσθεεεω−+=−=−=E E E E E n n n n f 内外8.半径为0R 的导体球外充满均匀绝缘介质ε导体球接地离球心为a 处)(0R a >置一点电荷f Q 试用分离变数法求空间各点电势证明所得结果与镜像法结果相同提示).()(cos )(1cos 211022a R P aR a aR a R rn n n>=−+=∑∞=θθ解1分离变数法由电势叠加原理球外电势''f,4φφπεφ+RQ 外是球面上感应电荷产生的电势且满足定解条件 ==>=∇=∞→00)(,00''2R r r R r 外φφφ根据分离变数法得)(,)(cos 001'R r P r B l l l l>=∑∞=+θφ ∑∞=++−+∴0122f )(cos cos 214l l l lP rB ar r a Q θθπεφ外*)(,)(cos )(cos )(14010a r P rB P a r a Q l ll ln n n f <+=∑∑∞=+∞=θθπε 又0)(cos ])(4[100=+=∑∞=+=n l l oll fR r P R B a R a Q θπεφ外即 0)(4,...,04,0410201000=+=+=++l ll f f fR B a R a Q R B a R a Q R B a Q πεπεπε,4,4,41203100aQ a R B a Q a R B a Q R B fl l l f O fπεπεπε+−=−=−=∴代入*式得解2镜像法如图建立坐标系本题具有球对称性设在球内0r 处有像电荷'Q ,'Q 代替球面上感应电荷对空间电场的作用由对称性'Q 在O f Q 的连线上先令场点P 1在球面上根据边界条件有常数即=−==+fQ Q Q Q f Q Q r r r Q r Q f f'''',0将'Q 的位置选在使∆'Q P 1O∆f Q P 1O,则有常数aR r r fQ Q 0'=为达到这一目的令'Q 距圆心为r 0则 aR r a R R r 200000,==并有aQ R Q aR Q Q r r f f Q Q f0'0''−===−=常数这样满足条件的像电荷就找到了空间各点电势为).(],cos 2)(cos 2[414422020222'1a r aR r a R r aQ R ar r a Q r Qr Q fff >++−−+=+=θθπεπεπεφ外将分离变数法所得结果展开为Legend 级数可证明两种方法所求得的电势相等9接地的空心导体球的内外半径为R 1和R 2在球内离球心为a(a<R 0)处置一点电荷Q 用镜像法求电势导体球上的感应电荷有多少分布在内表面还是外表面解球外的电势及导体内电势恒为0而球内电势只要满足即可内01r =R φ因此做法及答案与上题同解略cos 2cos 2[412124121220θθπεφa R R aR R a QR Ra a R Q−+−−+=内因为球外0=φ故感应电荷集中在内表面并且为Q.R 1R2P210.上题的导体球壳不接地而是带总电荷Q 0,或使其有确定电势0ϕ试求这两种情况的电势又问0ϕ与Q 0是何种关系时两种情况的解是相等的解由于球壳上有自由电荷Q 0并且又是导体球壳故整个球壳应该是等势体其电势用高斯定理求得为2004R Q Q πε+所以球壳内的电势将由Q 的电势像电荷aQR 1−的电势及球壳的电势叠加而成球外电势利用高斯公式就可得故>+=<++−+−−+==)(,4)].(cos 2cos 2[412001202124121220R R RQ Q R R R Q Q a R R aR R a QR Ra a R Q πεφθθπεφφ外内或>=<+−+−−+==)(,).(cos 2cos 2[41202102124121220R R r R R R a R R a R R a QR Ra a R Q φφφθθπεφφ外内当20004R Q Q πεφ+=时两种情况的解相同11在接地的导体平面上有一半径为a 的半球凸部如图半球的球心在导体平面上点电荷Q 位于系统的对称轴上并与平面相距为bb>a 试用电象法求空间电势解如图利用镜像法根据一点电荷附近置一无限大接地导体平板和一点电荷附近置一接地导体球两个模型可确定三个镜像电荷的电量和位置rb r Q Q rba r Qb a Q rb a r Q b a Q rr r−=−=−===−=33222211,,,θθθπεφcos 2cos 21cos 21[4224222220R b a ba Rb aRb b R Rb b R Q +++++−−+=O),20(],cos 22242a R R b a ba Rb a><≤−++πθθ12. 有一点电荷Q 位于两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内它到两个平面的距离为a 和b 求空间电势解可以构造如图所示的三个象电荷来代替 两导体板的作用−++−+−−−+−+−=222022200)()()(1)()()(1[4b z a y x x b z a y x x Q πεφ )0,()()()(1)()()(122202220>++++−+−+++−−z y b z a y x x b z a y x x 13.设有两平面围成的直角形无穷容器其内充满电导率为的液体取该两平面为xz 面和yz 面在x 0,y 0,z 0和x 0,y 0,-z 0两点分别置正负电极并通以电流I 求导电液体中的电势解本题的物理模型是由外加电源在A B 两点间建立电场使溶液中的载流子运动形成电流I,当系统稳定时是恒定场即0=∂∂+⋅∇t j ρr 中对于恒定的电流可按静电场的方式处理于是在A 点取包围A 的包围面∫=⋅nQ s d E εr r 而又有σ⋅=⋅=∫E i s d i I rr r r }∫⋅=⇒sd E I r r σ1∴有σεεσ111I Q QI =⇒=对BQ σε1I Q Q B −=−=又在容器壁上,0=n j r即元电流流入容器壁由Ej r rσ=有0=n j r时=n E r∴可取如右图所示电像B(x 0,y 0,z 0)y14.画出函数dx x d )(δ的图说明)()(x P rr δρ∇⋅−=是一个位于原点的偶极子的电荷密度解=∞≠=0,0,0)(x x x δx x x x dx x d x ∆−∆+=→∆)()(lim )(0δδδ10)(0=≠dxxd x δ时2=∆∞−=>∆=→∆x dxx d x x 0lim )(,0x a 00δ时 +∞=∆∞−=<∆→∆xdx x d x b x 0lim )(,0)0δ15证明1)0).((1)(>=a x a ax δδ若a<0,结果如何20)(=x x δ证明1根据∑−=)(()](['kk x x x x φδφδ所以ax ax )()(δδ=2从)(x δ的定义可直接证明有任意良函数f(x),则)()(x F x x f =⋅也为良函数∫=⋅==0)()()(0x x x f dx x x x f δ16一块极化介质的极化矢量为)('x P r r 根据偶极子静电势的公式极化介质所产生的静电势为∫⋅=V dV r rx P '3'4)(πεϕr r r 另外根据极化电荷公式,)(''P n x P P P r r r r r r ⋅=⋅−∇=σρ及极化介质所产生的电势又可表为∫∫⋅+⋅∇−=S V r Sd x P dV r x P 0'''0''4)(4)(πεπεϕr r r r r 试证明以上两表达式是等同的证明∫∫∇⋅=⋅=VVdV rx P dV r r x P '''0'3'01)(41)(41r r rr r πεπεϕ 又有r P r P r P p 11)1('''∇⋅+⋅∇=∇r r r 则][41])([41'''''''''0∫∫∫∫⋅+⋅∇−=⋅∇+⋅∇−=S V V V S d r P dV r P dV r P dV r P r r r r r πεπεϕ ][41][41'0'''0∫∫∫∫+=⋅+⋅∇−=S P V P S V dS r dV rdS r n P dV r P r s rr r σρπεπε刚好是极化体电荷的总电势和极化面电荷产生的总电势之和17证明下述结果并熟悉面电荷和面偶极层两侧电势和电场的变化1 在面电荷两侧电势法向微商有跃变而电势是连续的2 在面偶极层两侧电势有跃变 P n rr ⋅=−0121εϕϕ而电势的法向微商是连续的各带等量正负面电荷密度σ±而靠的很近的两个面形成面偶极层而偶极矩密度.)lim 0l P l r rσσ→∞→=证明1如图可得,20εσss E ∆⋅=∆⋅ 022,200210=−=−=∴z z E εσεσφφεσ面z e E n r r 01112εσφ==∂∂ )(20222z e E nr −==∂∂εσφ 02211εσφφ=∂∂−∂∂∴n n 2)可得ze E r r 0εσ= 00012limlim εεσφφP n l n l E l l r r r r r r ⋅=⋅=⋅=−∴→→ 又EnE n r r =∂∂=∂∂21,φφ++z12lr.012=∂∂−∂∂∴nn φφ18.一个半径为R 0的球面在球坐标20πθ<<的半球面上电势为0ϕ在πθπ<<2的半球面上电势为0ϕ−求空间各点电势提示=−===+−=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−+∫)(,)1()(,0)0(1)1(,12)()()(642)1(531211011偶数奇数n n P P n x P x P dx x P n n n n n n n 解=∞<=∇∇∞→→0022r r 外内外内φφφφ≤<−<≤===πθπφπθφθφ2,20,)(000f R r ∑=)(cos θφl l l P r A内 这是内φ按球函数展开的广义傅立叶级数l l r A 是展开系数∫∫⋅−+=+==−πθθθφθθφ011]sin )(cos [212]cos )(cos [21200d P l d P l f R A l R l R l ll 内内]sin )(cos sin )(cos [21220200∫∫+−+=πππθθθφθθθφd P d P l l l ])()([212100010∫∫−−+=dx x P dx x P l l l φφ ∫∫+−+=−10010)()([212dxx P dx x P l l l φ由)()1()(x P x P l ll −=−则])()()1[(2121010100∫∫+−+=+dx x P dx x P l R A l ll φ∫+−+=+1010)(]1)1[(212dxx P l l l φ当l 为偶数时00=ll R A 当l 为奇数时有101101010012)()()12()(]1)1[(212+−+=+−+=−++∫l x P x P l dx x P l R A l l l l ll φφ ])1(642)2(531)1()1(642531)1[(2121−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−=−+l l l ll l φ ])1(642)2(531)1()1(642531)1[(2121−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=−−l l l ll l φ )12()1(642)2(531)1()11()1(642)2(531)1(210210++⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−=++−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−=−−l l l l ll l l l φφ则 )12()1(642)2(531)1(2100++⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−=−l l l R A l ll φ∑<++⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−=−)(),(cos ))(12()1(642)2(531)1(00210R r l P R rl l l l l l 取奇数内θφφ∑+)(cos 1θφl l lP r B 外又)12()1(642)2(531)1(])(cos [212211110++⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−=+=−−+∫l l l P l r B l l R l lφθφ外即∑>++⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−=+−)(),(cos ))(12()1(642)2(531)1(01021R r l P rR l l l l l l 为奇数外θφ。
电动力学第三版答案
电动力学第三版答案第一章：静电学1.1 静电场静电场是由电荷所产生的场，它是一种无时间变化的电磁场。
静电场的性质可以通过电场强度、电势和电荷分布来描述。
电场强度表示单位正电荷所受到的力，并且是一个向量量。
在任意一点的电场强度可以通过库仑定律计算。
电势是单位正电荷所具有的势能，它是一个标量量。
电势可以通过电势差来定义，电势差是两点之间的电势差别。
1.2 电场的高斯定律电场的高斯定律是描述电场在闭合曲面上的通量与该闭合曲面内的电荷有关系的定律。
它可以通过以下公式表示：\[ \oint \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} \, ds =\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} \]其中，\(\mathbf{E}\) 是电场强度，\(\mathbf{n}\) 是曲面上的单位法向量，\(ds\) 是曲面上的微元面积，\(Q_{\text{enc}}\) 是闭合曲面内的总电荷，\(\varepsilon_0\) 是真空电容率。
1.3 电势电势是单位正电荷所具有的势能，它是一个标量量。
它可以通过电势差来定义，电势差是两点之间的电势差别。
电势可以通过以下公式计算：\[ V = - \int \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} \]其中，\(V\) 是电势，\(\mathbf{E}\) 是电场强度，\(d\mathbf{l}\) 是路径上的微元长度。
1.4 静电场中的导体在静电场中，导体内部的电场强度为零。
当导体受到外部电场作用时，其表面会产生等效于外部电场的电荷分布，这种现象被称为静电感应。
静电感应可以通过以下公式来计算表面电荷密度：\[ \sigma = \mathbf{n} \cdot \mathbf{E} \]其中，\(\sigma\) 是表面电荷密度，\(\mathbf{n}\) 是表面法向量，\(\mathbf{E}\) 是外部电场强度。
电动力学高教第三版5精品课件(2024)
康普顿散射与经典电磁理论的差异
经典电磁理论认为光是一种波动现象，而康普顿散射实验表明光具有粒子性。这种差异促进了量子力学 的发展，并推动了现代物理学的进步。
26
电动力学的发展历史及重 要人物
电动力学与经典物理学的 关系
电动力学在现代科技中的 应用
4
电磁场基本概念
2024/1/26
01
电磁场的基本性质
02 电磁场的描述方式：电场强度、磁感应强 度
03
电磁场的源：电荷与电流
04
电磁场的能量与动量
5
矢量分析与场论初步
标量与矢量场
矢量及其运算
01
梯度、散度与旋度的定义及
电场强度的叠加原
理
多个点电荷在空间中某点产生的 电场强度是各个点电荷单独存在 时在该点产生的电场强度的矢量 和。
2024/1/26
8
电势与电势差
电势
描述电场中某点的电势能高低，是标量，具 有相对性。通常选择无穷远处为电势零点。
2024/1/26
电势差
两点间电势的差值，等于将单位正电荷从一点移动 到另一点时电场力所做的功。
黑体辐射的应用
黑体辐射在热力学、光谱学等领域有广泛应用，如测量温度、分析物 质成分等。
2024/1/26
25
康普顿散射实验及意义
2024/1/26
康普顿散射实验
康普顿散射实验是指X射线或伽马射线与物质中的电子发生碰撞，导致射线方向改变并伴随能量损失的过程。该实验 证实了光子的粒子性。
康普顿散射的意义
郭硕鸿《电动力学》第三版 课后答案详细解释
证明： （1） f (u )
f (u ) f (u ) f (u ) df u df u df u ex ey ez ex ey ez x y z du x du y du z df u u u df ( ex ey ez ) u du x y z du Ax (u ) Ay (u ) Az (u ) dAx u dAy u dAz u （2） A(u ) x y z du x du y du z d Ay dA dA u u u dA ( x ex e y z ez ) ( ex ey e z ) u du du du x y z du
（2）在（1）中令 A B 得：
( A A) 2 A ( A) 2( A ) A ， 所以 A ( A) 1 2 ( A A) ( A ) A
即
2 A ( A ) 1 2 A ( A ) A 2. 设 u 是空间坐标 x, y, z 的函数，证明： df dA dA f (u ) u ， A(u ) u ， A(u ) u du du du
方向由原点指向场点。 证明： （ 1 / r ) r / r
3
方法（II）
mr 1 1 ) [m ( )] [( ) m ] 3 r r r 1 1 1 1 ( m ) (m ) [ ( )]m [( ) ]m r r r r 1 1 (m ) [ 2 ]m r r 2 其中 (1 / r ) 0 ， （r 0） 1 A (m ) ， （ r 0 ） r mr 1 又 ( 3 ) [ m ( )] r r 1 1 1 1 m [ ( )] ( ) ( m ) (m )( ) [( ) ]m r r r r 1 (m )( ) r 所以，当 r 0 时， A 7. 有一内外半径分别为 r1 和 r2 的空心介质球，介质的电容率为 ，使介质球内均匀带静 A (
郭硕宏第三版电动力学课件资源
微分方程与特殊函数
微分方程
描述物理量之间关系的数学方程，包 括常微分方程和偏微分方程等。
特殊函数
具有特定性质和结构的函数，如三角 函数、指数函数、对数函数、贝塞尔 函数等，它们在电动力学中有广泛应 用。
02
静电场
库仑定律与电场强度
库仑定律
描述两个点电荷之间的相互作用力，是静电 场的基本定律。
电场强度
表示电荷在电场中受到的力与其所带电荷量 的比值，是矢量场。
电场强度的叠加原理
多个点电荷产生的电场强度可以矢量叠加。
电势与电势差
电势
描述电场中某点的电势能与电荷量的比值，是 标量场。
电势差
两点间电势的差值，等于将单位正电荷从一点 移动到另一点时电场力所做的功。
等势面
电势相等的点构成的面，与电场强度方向垂直。
06
数值计算方法与仿真技术在电动力 学中的应用
有限差分法求解静电场问题
01
差分格式的构造
通过泰勒级数展开等方法，将静 电场问题的偏微分方程转化为差 分方程。
02
03
边界条件的处理
求解方法
针对不同类型的边界条件，如狄 利克雷边界、诺依曼边界等，采 用相应的差分格式进行处理。
利用迭代法、追赶法等数值计算 方法求解差分方程，得到静电场 的数值解。
磁场
磁体周围空间存在着一种特殊形态的物质，磁场对放 入其中的磁体有力的作用。
电磁波
电场与磁场在空间中相互激发、相互转化并传播出去， 形成电磁波。
矢量分析与场论基础
矢量分析
研究矢量场性质及其运算的数学分支， 包括矢量函数的极限、连续、微分和 积分等运算。
场论基础
研究物理量在空间中的分布和变化规律 的理论，包括标量场、矢量场和张量场 等。
郭硕鸿第三版电动力学 第1章
0 有电荷，也有电场。
0 电场线发出，正电荷。
0 电场线终止，负电荷。
E
空间某点电场的散度只和该点电荷密度有关。
0
三、电场的旋度
问：静电场的电场线有旋涡么？答：显然没有。
E 0
静电场的微分方程
简证：
E
Qr
4 0r 3
Q
4 0
r r3
0
静电场基本规律：
E
0
E 0
即电荷是电场的源，电场线从正电荷发出，终止于负电 荷，在自由空间电场线连续通过；静电场下电场没有旋 涡状结构。
一、法线分量的边值关系 二、切线分量的边值关系
边界上的电磁场问题
1、实际电磁场问题都有边值问题
实际电磁场问题都是在一定的空间和时间范围内发生的， 它有起始状态（静态电磁场例外）和边界状态。即使是无界 空间的电磁场问题，该无界空间也可能是由多种不同介质组 成的，不同介质的交界面和无穷远界面上电磁场构成了边界 条件。
一、介质的概念
介质，由分子组成，内有原子核和电子。构成带电粒 子系统，内有微观电磁场。
我们研究的宏观物理量，用大数目分子在小体积内的 平均值来描述。无外场时，介质无宏观电流分布。
加外场时，分子内电荷发生相对位移，介质极化或磁 化，引起宏观电荷电流分布，产生附加宏观电磁场， 和外场迭加后形成总的电磁场。
l
s
s
B 0 J 恒定磁场基本微分方程
四、磁场的散度及公式证明
因为磁场线总是闭合的曲线，所以磁场为无源场。
B 0 磁场基本微分方程
例题：半径为a的直导线，沿轴向有恒定均匀自由电流J，
求个点的磁场强度及其磁场的旋度。
解：由安培环路定理可得 B dl 0 I
电动力学(第三版)
该书是作者在1997年所编《电动力学（第二版）》的基础上，根据电动力学学科的发展和教学实践的需要修 订而成的。该次修订，在保持原书整体结构精炼、严谨，叙述简明、流畅，便于教学的特色下，改写了部分内容， 新增了部分内容，除对个别地方作出修改与校订之外，主要的改动有：第三章改写了“超导体的电磁性质”一节， 增加了伦敦理论中超导电流与矢势的局域关系、指出伦敦局域理论所给出的磁场在超导体内的穿透深度与实验结 果的偏离，增加了皮帕德非局域修正，以及若干例题；第四章新增了“光子晶体”和“光学空间孤子”；第七章 新增了“原子光陷阱”。此外，为了减少篇幅，删减了第六章第1节“相对论的实验基础”中有关相对论效应实验 验证的部分简要陈述（因为在后面的第3节和第4节中分别提到了相关效应的重要实验验证）。中山大学佘卫龙教 授提供了建议。
教材目录
（注：目录排版顺序为从左列至右列）
教学资源
《电动力学（第三版）》有学习辅导书——《电动力学（第三版）学习辅导书》。 《电动力学（第三版）》配有数字化资源。
教材特色
该版教材，做到既重视基本理论，又扩展学生视野，引导学生学科前沿的发展动态，训练学生提出问题和解 决问题的能力，激励学生的创新精神。
2008年6月，《电动力学（第三版）》由高等教育出版社出版发行。
2012年11月21日，《电动力学（第三版）》入选中华人民共和国教育部第一批“十二五”普通高等教育本科 国家级规划教材书目。
内容简介
该书共7章，第一章讲解电荷和电场、电流和磁场、麦克斯韦方程组、介质的电磁性质、电磁场边值关系、电 磁场的能量和能流，第二章讲解静电场的标势及其微分方程、唯一性定理、拉普拉斯方程分离变量法、镜像法、 格林函数、电多极矩，第三章讲解矢势及其微分方程、磁标势、磁多极矩、阿哈罗诺夫玻姆效应、超导体的电磁 性质，第四章讲解平面电磁波、电磁波在介质界面上的反射和折射、有导体存在时电磁波的传播、谐振腔、波导 等，第五章讲解电磁场的矢势和标势、推迟势、电偶极辐射、磁偶极辐射和电四极辐射、天线辐射、电磁波的衍 射、电磁场的动量，第六章讲解相对论的实验基础、相对论的基本原理洛伦兹变换、相对论的时空理论、相对论 理论的四维形式、相对论力学等，第七章讲解运动带电粒子的势和辐射电磁场、切连科夫辐射、带电粒子的电磁 场对粒子本身的反作用、电磁波的散射和吸收介质的色散等，书后有矢量分析、轴对称情形下拉普拉斯方程的通 解、国际单位制和高斯单位制中主要公式对照表三个附录。
2024版电动力学高教第三版3
RC电路暂态过程
在RC电路中，当电源接通或断开时，电容器上的 电压和电流不能突变，需要经过一段时间才能达 到新的稳定状态。
三要素法
通过分析初始值、稳态值和时间常数三个要素来 求解一阶线性电路的暂态过程。
06
麦克斯韦电磁场理论
麦克斯韦方程组及其物理意义
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程， 包括高斯定律、高斯磁定律、法拉第电磁 感应定律和安培环路定律。
电动力学高教第三版3
目
CONTENCT
录
• 绪论 • 静电场 • 稳恒电流场 • 稳恒磁场 • 电磁感应与暂态过程 • 麦克斯韦电磁场理论
01
绪论
电动力学的历史与发展
静电学和静磁学的研究
从古希腊时期开始，人们就开始研究静电和静磁现象， 如摩擦起电、磁石的吸铁性等。
电流和电磁感应的发现
19世纪初，奥斯特发现了电流的磁效应，法拉第发现 了电磁感应现象，揭示了电与磁之间的密切联系。
静电场中的导体和电介质
导体的静电平衡
导体内部没有电荷定向移动的状态。在此状态下，导体内部场强为零，电荷只分布在导 体表面。
电介质的极化
在外电场作用下，电介质内部产生感应电荷的现象。极化程度用电介质的相对介电常数 表示。
有电介质存在时的静电场
电介质的存在会改变空间的电场分布。根据电介质的性质（线性或非线性）和分布情况 （均匀或不均匀），可采用不同的方法求解空间的电场分布。
电场线
形象地描述电场分布的一系列 曲线，其疏密程度反映电场的 强弱，切线方向表示该点的场 强方向。
电势与电势差
01
电势
描述电场中某点电势能的性质， 是标量，具有相对性。通常选无 限远处或大地为零电势点。
电动力学课件0-(带目录)
电动力学课件01.引言电动力学是物理学中的一个重要分支，主要研究电荷、电流、电磁场以及它们之间的相互作用规律。
电动力学的发展历程可以追溯到19世纪，当时的科学家们通过实验和理论研究，逐步揭示了电磁现象的本质和规律。
本课件旨在介绍电动力学的基本概念、理论框架和重要应用，帮助读者系统地了解电动力学的基本原理和方法。
2.麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是电动力学的基础，描述了电磁场的基本性质和演化规律。
麦克斯韦方程组包括四个方程，分别是：（1）高斯定律：描述了电荷分布与电场之间的关系，即电荷产生电场，电场线从正电荷出发，终止于负电荷。
（2）高斯磁定律：描述了磁场的无源性质，即磁场线是闭合的，没有磁单极子存在。
（3）法拉第电磁感应定律：描述了时变磁场产生电场的现象，即磁场的变化会在空间产生电场。
（4）安培环路定律：描述了电流和磁场之间的关系，即电流产生磁场，磁场线围绕电流线。
3.电磁波的传播（1）电磁波的传播速度：在真空中，电磁波的传播速度等于光速，即c=3×10^8m/s。
（2）电磁波的能量：电磁波传播过程中，电场和磁场交替变化，携带能量。
（3）电磁波的极化：电磁波的电场矢量在空间中的取向称为极化，可分为线极化、圆极化和椭圆极化。
（4）电磁波的反射、折射和衍射：电磁波在遇到边界时会发生反射和折射现象，同时还会产生衍射现象。
4.动态电磁场（1）电磁场的波动方程：描述了电磁波的传播规律，包括波动方程的推导和求解。
（2）电磁场的能量和动量：研究电磁场携带的能量和动量，以及它们与电荷、电流之间的相互作用。
（3）电磁场的辐射：研究电磁波在空间中的辐射现象，包括辐射源、辐射功率和辐射强度等。
5.电动力学应用（1）通信技术：电磁波的传播特性使其成为无线通信的理想载体，广泛应用于方式、电视、无线电等领域。
（2）能源传输：电磁感应原理使电能的高效传输成为可能，如变压器、发电机等。
（3）电子设备：电磁场的控制和应用是电子设备工作的基础，如电脑、方式、家用电器等。
《电动力学第三版》电动力学总结
q'q,x'ak
4π 1
q
q
x2y2(za)2 x2y2(za)2
(2) 接地导体球外点电荷
b R02 a
Q' R0 Q a
(P) 1 4π0
Qr Ra0rQ'
(3) 接地导体球内点电荷
b R12 a
Q' R1 Q a
(P) 1 4π0
Qr Ra1rQ'
4 拉普拉斯方程的解 分离变量法
其中
Ex
A1 cos kx x sin k y yeikzz
Ey A2 sin kx x cos k y yeikzz
Ez A3 sin kx x sin k y yeikzz
kxA 1kyA 2ikzA 30
kx
m,
a
ky
n,
b
为求三角形波导的E, 只需从上述解中选出满足最后一个边
界条件的即可
面电荷 0 R|RR 00 R 0 l0n R 02E 0co s
第一项是均匀面电荷,它在柱体内激发的电场为零.第二项是非 均匀分布,它贡献的总电量是零,它在柱体内激发的电场正好与 均匀电场抵消.
例3 试用格林函数证明:在无电荷空间任—点的电势恒等于以该 点为球心的任一球面的电势的平均值.
E
B
H
t D
J
t
D
B 0
电荷守恒定律
J
t
罗伦兹力公式
FQ (EvB )
欧姆定律
JE
第二、三章：静电场和稳恒磁场
利用电磁场唯一性定理，通过求解拉普拉斯方程（或
者镜像法，格林函数）主要研究电偶极矩、电四极矩
和磁偶极矩产生的稳态场。
电动力学第一章 郭硕鸿第三版
第一章一．主要内容：电磁场可用两个矢量—电场强度 ),,,(t z y x 和磁感应强度),,,(t z y x B 来完全描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出 E , B所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。
在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。
完成由普通物理到理论物理的自然过渡 知 识 体 系：库仑定律： 30()4V x r E x dV r r r r rDr电磁感应定律：L S ddl dS dtr r r r Ñ t介质极化规律：0D P r rr 毕——萨定律：Lr rdV J B 3040 r 介质磁化规律：0rr rD J tr r r 能量守恒定律能量密度12w D H B r r，能流密度：H S二．内容提要：1．电磁场的基本实验定律： （1）库仑定律： 对静电场：30()4V x rE x dV rr r r r 对n 个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量 和，即：涡旋电场假设位移电流假设 边值 关 系3110()4n n i ii i i i Q r E x E r r r r r 对于场中的一个点电荷，受力 F Q E r r（2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律） 闭合线电流 ：Lr r l Id B 304闭合体电流：Lr rdV J B 304（3）电磁感应定律L S i S d dt d l dt①感生电场为有旋场（i E r 又称漩涡场）,与静电场S E r本质不同。
②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。
（4）电荷守恒的实验定律Vs dV t s d JtJ①反映空间某点 与J r之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。
《电动力学(第三版)》chapter0_绪论
• Classical Electrodynamics John David Jackson
• 《经典电动力学》
蔡至善
• 《电动力学》
尹真
• 《电动力学》
虞福春
• 《电动力学题解》
林璇英等
• 《电动力学题解指导》 王雪君
电 第零章 绪论及数学准备 动 第一章 电磁现象的普遍规律
第二章 静电场
力 第三章 静磁场
张量 可写为
Tijeiej , (i, j 1,2,3)
因此并矢eiej可以作为张量的9个基. 其对应分量就是Tij.
单位张量为
II eiei , (i 1,2,3)
(ii) 张量的代数运算
并矢AB与矢量C及并矢CD的点乘规则为
1 h1
u1
e1
1 h2
u2
e2
1 h3
u3
e3
f
1 h1h2h3
u1
h2h3
f1
u2
h3h1
f2
u3
h1h2
f3
f
1 h2h3
u2
h3
f3
u3
h2
f2
e1
1 h3h1
u3
h1
f1
u1
h3
f3
e2
1 h1h2
u1
h2
f2
u2
h1
f1 e3
2
1 h1h2h3
u1
学 第四章 电磁波的传播 目 第五章 电磁波的辐射
第六章 狭义相对论
录 第七章 带电粒子和电磁场的相互作用
二、 教学课时安排
• 绪论及数学准备（2）
• 电磁场的矢势和标势（2）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基本常量
真空中点电 荷电场 真空中电流 的磁场
电磁学知识回顾
国际单位制
0=4107 H·m1 0=8.854187818
1012 F·m1
c= (00) 1/2
=E29947π9Q2r04r538 m·s1
B
0
J (x' 4πr
)
3
r
dV'
高斯单位制
0=1 0=1
c= 2.99792458
1010 cm·s1
1785年发现库仑定律（Coulomb）
古希腊人已经知道琥珀和天然磁石, 电磁学作为一门定量科 学发展起来：卡文迪许著名的静电学实验是从1771年开始,到 1773年完成的. 库仑的有纪念意义的研究开始发表于1785年. 这 标志了世界上电学和磁学定量研究的开始.
电动力学在电磁学的基础上系统阐述电磁场的基本理论. 它 的研究对象是电磁场的基本属性、运动规律以及它和带电物质之 间的相互作用.
• 光子晶体 （2）
• 电磁波的散射和吸收（2）
放假，复习，临时调整
三、 联系方式和评分标准
联系方式
• 办公室： • E-mail:
成绩
期终考试，XX%； 平时成绩，XX％
§0.3 数学预备知识(矢量)
数学是必备的工具，但绝 对不是学习的目的！！！
z
A Axi Ay j Azk
Az
Ax Acos, Ay Acos , Az Acos
就说在这空间中确定了该物理的场. 如强度场、速度场、引力
场、电磁场.
场用一个空间和时间 坐标的函数来描述：
标量场 矢量场
（（xx,,yy,,zz,,tt））
稳恒场（稳定场、静场）：场与时间无关.
变化场（时变场）：场函数与时间有关.
已知场函数的梯度、散度、旋度可以确定场函数，这 是电动力学求解电磁场的主要方法.
1
r sin
(sin
f
)
r
1 sin
f
f
r
1 sin
sin
f
f
er
1 r
1
sin
fr
r
rf
e
1 r
r
rf
fr
e
2
1 r2
r
r 2
r
1
r2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
7. 并矢和张量
(i) 定义
两矢量A和B并列, 它们之间不作任何运算, 称为并矢, 记为AB. 把并矢AB看作一个量, 它有 9个分量:
f
1 r
f z
f z
er
fr z
f z r
e
1 r
r
rf
fr
ez
2
1 r
r
r
r
1 r2
2 2
2
z 2
(ii) 球坐标系 u1 r, u2 , u3
r
h1 1, h2 r, h3 r sin
r
er
1 r
e
1
r sin
e
f
1 r2
r
r2 fr
1865年建立电磁场理论（Maxwell）
1864年麦克斯韦发表了他论述电磁场的动力学理论的著 名论文, 把电磁规律总结为麦克斯韦方程组,并从理论上预 言电磁波的存在.
1905年建立狭义相对论（Einstein）
在电动力学的发展过程中,人们发现经典力学的时空观和电 磁现象的新的实验事实发生矛盾. 矛盾的解决导致新时空现的 建立. 狭义相对论在1905年由爱因斯坦建立起来, 电动力学只有 在新时空观的基础上才发展成为完整的、适用于任何惯性参考 系的理论.
D E 4πP B H 4πM
电磁能量密度
dw E dD H dB
dw 1
4
E dD H dB
坡印亭矢量
S EH
S
c
EH
4
电荷守恒定律 欧姆定律
S
J dS
V
t
dV
J
t
J E
二、 电动力学的主要内容
静磁场
电磁波 的传播
静电场
电磁现 象的普 遍规律
三、 电动力学的发展
物理规律最终由实验检验 纯数学必须依赖原理加演绎
▪ 奇异性
▪ 间断、奇异等性质是数学上引入，物理体系一定是非奇异的 物理世界总是有解 实验结果就是解
1. 矢量的矢积
A和B 是两个任意矢量,它们的矢积定义为
A B ( Ay Bz Az By)i ( Az Bx AxBz ) j ( AxBy Ay Bx )k
fx
f y
fz
x y z
i jk
rot
f
f z y
f y z
i
f x z
fz x
j
f y x
fx y
k
x
y
z
grad
i
j
k
fx fy fz
x y z
(v) 算符
i
j
k
x y z
由上述定义， 算符具有矢量的性质又具有微
分的性质.
div f f 散度
rot f f 旋度
E
Qr r3
B
J(
x' ) cr 3
r dV'
洛伦兹力
麦克斯韦 方程组
介质 电磁性质
F Q(E v B)
E
B
H
t D
J
tHale Waihona Puke D B 0D 0E P B 0H 0M
F
Q(E
v
B)
c
E
1
B
H
c t 1 D
4π
J
c t c
D 4π
B 0
i jk
Ax Ay Az
C
Bx By Bz
C A B ABsin k
B
A B B A
(反交换律)
A
A B C AB AC
2. 矢量的三重积
物理学中经常遇到矢量的三重积,常见的两种
(i) 三重标积
A BC
Ax Ay Az
A B C Bx By Bz Cx Cy Cz
电动力学
Electrodynamics
第零章 绪论及数学准备
§0.1 闲话电动力学
一、 电磁学和电动力学的关系
范围——既讨论静场又讨论变化场，外加 相对论. 深度——从矢量场论出发，总结电磁现象 普遍规律，解题更具一般性. 方法——建立模型、求解方程、注重理论. 数学——矢量场论、张量分析初步、线性 代数、数理方程、特殊函数 …….
已知场函数可以了解场的各种性质：随时空的变化关系 （梯度、散度、旋度）.
(i) 矢量场的散度
dN v dS v cos dS
en
v
N v dS
s
设闭合曲面
S
围着体积V.
当V0 时,
dS
f对
S
的通量与V之比的极限称为 f 的散度
div
f
lim V 0
f dS V
div f 0 正源 div f 0 负源 div f 0 无源场
1820年发现电流的磁效应（Oersted） 1831年发现电磁感应定律（Faraday）
电动力学是在人类对电磁现象的长期观察和生产活动的基 础上发展起来的. 重大进展是在人们认识到电现象和磁现象之间 的深刻内在联系以后才开始的. 1820年,奥斯特发现电流的磁效 应;1831年,法拉第发现电磁感应定律,并提出场的概念. 至此,电 现象和磁现象不再是孤立地,而是作为统一的整体被认识.
(ii) 三重矢积
A BC B C A C AB
A BC
A BC AC B AB C
显然这个矢积还是在矢量B和C平面内.
3. 散度、旋度和梯度
场的概念：描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量. 或
说, 若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，
散度的重要性：表征空间各点矢量场发散的强弱程度.
高斯定理：
S f dS V div f dV
(ii) 矢量场的旋度
c L f dl
设闭合曲线 L 围着面积S. 当S 0 时, f 对 L 的
环量与S 之比的极限称为 f 的旋度沿着该面法线的分
量.
f dl
lim rot f n S 0
S
• Classical Electrodynamics John David Jackson
• 《经典电动力学》
蔡至善
• 《电动力学》
尹真
• 《电动力学》
虞福春
• 《电动力学题解》
林璇英等
• 《电动力学题解指导》 王雪君
电 第零章 绪论及数学准备 动 第一章 电磁现象的普遍规律
第二章 静电场
力 第三章 静磁场
个为坐e1,标e2u和1,ue23和. 沿u3这表三示个. 沿方这向些的坐线标元增为加方向的单位矢量
dl1 h1du1, dl2 h2du2, dl3 h3du3
其中h1, h2和h3一般为坐标的函数. 在P点上任一矢量可 以写为
f f1e1 f2e2 f3e3
在曲线正交坐标系中有一般公式
f f f
f f f
f g
f
g
f
g
f g
g
f
g
f
f g
f
g
f g
f
g
f g g f
g
f
2
f f 2 f
6. 曲线正交坐标系
在一般曲线正交坐标系中, 空间一点P的位置用三